18
Chapitre II II.1 Introduction La répartition optimale production et du contrôle d électriques alimentant un ens transport, l'objectif est la déte minimum le coût de product programmation non linéaire li classiques (déterministes) ont Figure I F est le coût d’exploitation d’u quadratique du type : P est la quantité de puissance p II.2 Méthode des Coûts M Dans ce cas, la seule contrainte à satisfaire est la p puissances générées doit être i Le problème est don d’exploitation totale afin de s tant qu’on peut sous la seul la puissance totale demandé formulation de ce problème de Répartition économ e de puissance est une des fonctions principal d'énergie électrique. Étant donné un ense semble de consommateurs par l’intermédia ermination optimale de production des unités tion. La répartition optimale de puissance e iée à des contraintes d’égalité et d’inégalité. été utilisées pour résoudre ce problème. II.1 N centrales thermiques alimentant une charge P R . ’une centrale thermique. Ce coût est représen Coût = F(P) = a + bP + c produite. Marginaux simples e condition est Production = Consommatio puissance totale demandée, ce qui signifie impérativement égale à la puissance totale dem nc de minimiser une fonction objective satisfaire la puissance totale demandée. Le s le contrainte que la somme des puissances pr ée. En négligeant les pertes, et les limites evient : mique de puissance les de l'opération de emble de centrales aire d’un réseau de s afin de réduire au est un problème de Plusieurs méthodes . nté par une équation on. Donc, la seule que la somme des mandée. égale au coût souci est de réduire roduites soit égale à s de génération la (II.1) (II.2)

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  • Chapitre II

    II.1 Introduction

    La rpartition optimale de puissance est une des fonctions principales de l'opration de production et du contrle d'nergie lectrique. tant donn un ensemble de centrales lectriques alimentant un ensemble de consommateurs par transport, l'objectif est la dtermination optimale de production des units afin de rduire au minimum le cot de production. La rpartition optimale de puissance est un problme de programmation non linaire lie des contclassiques (dterministes) ont t utilises pour rsoudre ce problme.

    Figure I

    F est le cot dexploitation dune centrale thermique. Ce quadratique du type :

    P est la quantit de puissance produite.

    II.2 Mthode des Cots Marginaux simple

    Dans ce cas, la seule condition est contrainte satisfaire est la puissance totale demande, ce qui signifie que la somme des puissances gnres doit tre imprativement gale la puissance totale demande.

    Le problme est donc de minimiser une fonction objective dexploitation totale afin de satisfaire la puissance totale demande. Le souci est de rduire tant quon peut sous la seule contrainte que la somme des puissances produites soit gale la puissance totale demande. En ngligeant les pertes, formulation de ce problme devient :

    Rpartition conomique de puissance

    La rpartition optimale de puissance est une des fonctions principales de l'opration de production et du contrle d'nergie lectrique. tant donn un ensemble de centrales lectriques alimentant un ensemble de consommateurs par lintermdiaire dun rseau de transport, l'objectif est la dtermination optimale de production des units afin de rduire au minimum le cot de production. La rpartition optimale de puissance est un problme de programmation non linaire lie des contraintes dgalit et dingalit. Plusieurs mthodes classiques (dterministes) ont t utilises pour rsoudre ce problme.

    II.1 N centrales thermiques alimentant une charge PR.

    e cot dexploitation dune centrale thermique. Ce cot est reprsent par une quation

    Cot = F(P) = a + bP + c

    est la quantit de puissance produite.

    ode des Cots Marginaux simples

    Dans ce cas, la seule condition est Production = Consommationcontrainte satisfaire est la puissance totale demande, ce qui signifie que la somme des puissances gnres doit tre imprativement gale la puissance totale demande.

    roblme est donc de minimiser une fonction objective totale afin de satisfaire la puissance totale demande. Le souci est de rduire

    sous la seule contrainte que la somme des puissances produites soit gale la puissance totale demande. En ngligeant les pertes, et les limites de gnration formulation de ce problme devient :

    Rpartition conomique de puissance

    La rpartition optimale de puissance est une des fonctions principales de l'opration de production et du contrle d'nergie lectrique. tant donn un ensemble de centrales

    lintermdiaire dun rseau de transport, l'objectif est la dtermination optimale de production des units afin de rduire au minimum le cot de production. La rpartition optimale de puissance est un problme de

    raintes dgalit et dingalit. Plusieurs mthodes

    .

    cot est reprsent par une quation

    Production = Consommation. Donc, la seule contrainte satisfaire est la puissance totale demande, ce qui signifie que la somme des puissances gnres doit tre imprativement gale la puissance totale demande.

    roblme est donc de minimiser une fonction objective gale au cot totale afin de satisfaire la puissance totale demande. Le souci est de rduire

    sous la seule contrainte que la somme des puissances produites soit gale et les limites de gnration la

    (II.1)

    (II.2)

  • Chapitre II Rpartition conomique de puissance

    C'est un problme d'optimisation avec contrainte qui peut tre attaqu formellement suivant les mthodes avances de calcul qui impliquent la fonction de Lagrange. Afin d'tablir les conditions ncessaires pour une valeur optimale de la fonction objective, ajoutons la fonction de contrainte la fonction objective aprs que la fonction de contrainte ait t multiplie par un coefficient dtermin. Ceci est connu comme fonction de Lagrange et est montr dans lquation (II.3) :

    (II.3)

    Les conditions ncessaires pour une valeur optimale de la fonction objective rsultent quand nous prenons la premire drive de la fonction de Lagrange par rapport chacune des variables indpendantes et la plaons gale zro. Dans ce cas, il y a N+1 variables, les N valeurs des puissances produites Pi, plus le coefficient de Lagrange . La drive de la fonction de Lagrange par rapport au coefficient restitue simplement l'quation de contrainte (II.2). D'une autre part, les N quations qui rsultent quand nous prenons la drive partielle de la fonction de Lagrange par rapport aux puissances de production Pi donnent l'ensemble d'quations suivant :

    0

    Ou

    0 (II.4) C'est--dire, la condition ncessaire pour l'existence d'une solution de fonctionnement

    de cot minimum pour le systme des units de production de puissance est que les Cots Marginaux de toutes les units soient gaux une certaine valeur indtermine . Naturellement cette condition ncessaire nous devons ajouter l'quation de contrainte, que la somme des puissances produites doit tre gale la puissance exige par la charge (II.2). En outre, il y a deux ingalits qui doivent tre satisfaites pour chacune des units, la puissance de production de chaque unit doit tre suprieure ou gal la puissance minimale autorise et doit galement tre infrieur ou gal la puissance maximale autorise sur cette unit particulirement.

    Ces conditions et ingalits peuvent tre rcapitules suivant l'ensemble d'quations (II.5).

    N quations . . 2N quations (II.5)

    1 contrainte

    Quand nous identifions les contraintes d'ingalit, alors les conditions ncessaires peuvent tre augmentes lgrement suivant les indications de l'ensemble d'quations (II.6).

    Pour . .

    Pour . (II.6)

    Pour .

  • Chapitre II Rpartition conomique de puissance

    La plupart des exemples dans ce chapitre utilisent les trois units de gnration (centrales) suivantes. Centrale 1 : centrale vapeur charbon. Pmax = 600 MW Pmin = 150 MW Caractristique d'entre-sortie : !"#$%& ' 510.0 7.2 0.00142 . Centrale 2 : centrale vapeur fuel. Pmax = 400 MW Pmin = 100 MW Courbe d'entre-sortie : . !"#$%& ' 310.0 7.85 . 0.00194 .. Centrale 3 : centrale vapeur fuel. Pmax = 200 MW Pmin = 50 MW Courbe d'entre-sortie : 2 !"#$%& ' 78.0 7.97 2 0.00482 2. Exemple II.A: Supposer que nous avons le souhait de dterminer le point de fonctionnement conomique pour ces trois centrales en livrant une puissance totale de 850 MW. Avant que ce problme puisse tre rsolu, le cot du carburant de chaque unit doit tre spcifi. Centrale 1 : Cot du carburant = 1.1 R/MBtu Centrale 2 : Cot du carburant = 1.0 R/MBtu Centrale 3 : Cot du carburant = 1.0 R/MBtu Alors, 3 1.1 561.0 7.92 0.001562 . 5/7 .. . . 3 1.0 310.0 7.85 . 0.00194 .. 5/7 22 2 2 3 1.0 78.0 7.97 2 0.00482 2. 5/7

    En utilisant lquation (II.5), les conditions dune rpartition optimale sont :

    88 7.92 0.003124

    99 7.85 0.00388 .

    :: 7.97 0.00964 2 Et : . 2 850 ;< On obtient : = 9.148 R/MWh

    En suite pour , . et 2 on trouve : 393.2 ;< . 334.6 ;< 2 122.2 ;<

  • Chapitre II Rpartition conomique de puissance

    On voit que toutes les contraintes se rencontrent, c.--d., chaque unit est entre sa limite infrieure et suprieure et toutes les puissances une fois additionne satisfont le total dsir de 850 MW.

    Exemple II.B : Supposons le prix du charbon diminu 0.9 R/MBtu. La fonction de cot du carburant pour l'unit 1 devient : 3 0.9 459 6.48 0.00128 . 5/7 Si on procde de la mme manire prcdant, la solution obtenue est : = 8.284 R/MWh Et : 704.6 ;< . 111.8 ;< 2 32.6 ;<

    Cette solution satisfait la contrainte exigeant de la gnration totale d'galer 850 MW. Mais les centrales 1 et 3 dpassent leurs limites de production. Pour trouver la rpartition la plus conomique tout en respectant les limites de production. On emploi lquation (II.6).

    Supposons que l'unit 1 est place sa puissance maximale et lunit 3 sa puissance minimale. La rpartition devient : 600 ;< . 200 ;< 2 50 ;<

    De l'quation (II.6) Nous voyons que doit tre gale au cot marginal de l'unit 2 puisqu'elle n'est pas l'une ou l'autre limite. Donc : =99>9.?? 8.626 5/;8@?? 8.016 5/;:A? 8.4525/;

  • Chapitre II Rpartition conomique de puissance

    Et : . 187.1 ;< 2 62.9 ;<

    Notons que cette rpartition satisfait lquation (II.6) puisque :

    =88>8@?? 8.016 5/;

  • Chapitre II Rpartition conomique de puissance

    Ou :

    G D E 0

    Il est beaucoup plus difficile de rsoudre ce systme d'quations compar au prcdent sans pertes puisque ce deuxime ensemble implique le calcul de des pertes du rseau afin d'tablir la validit de la solution en satisfaisant l'quation de contrainte. Il y a deux approches gnrales la solution de ce problme. La premire est le dveloppement d'une expression mathmatique pour les pertes dans le rseau seulement en fonction des puissances de production de chacune des units. C'est la mthode de loss-formula (formulation des pertes) discute une certaine poque dans Kirchmayer (Economic Operation of Power Systems, Wiley, 1958). L'autre approche fondamentale la solution de ce problme est d'incorporer les quations de lcoulement de charge en tant que contraintes essentielles dans l'tablissement formel du problme d'optimisation. Cette approche gnrale est connue sous le nom de lcoulement de charge optimal.

    Exemple I.C : En considrons les mmes centrales et cots du carburant que dans l'exemple I.A. On inclut une expression simplifie des pertes. D 0.00003 . 0.00009 .. 0.00012 2.

    Cette formule simplifie des pertes suffira pour montrer la complexit du calculer dune rpartition qui prend en considration les pertes. On Note que des formules relles des pertes sont plus compliques que celle utilise dans cet exemple.

    En appliquons les quations (I.8 et I.9) 88 !1 G8'

    Devient 7.92 0.003124 H1 2 0.00003 I Et pour . et 2, 7.85 0.00388 . H1 2 0.00009 .I 7.97 0.00964 2 H1 2 0.00012 .I Et . 2 850 D 0

    Nous n'avons plus un ensemble d'quations linaires comme dans l'exemple I.A. Ceci ncessite une procdure de rsolution plus complexe qui peut tre rsume par les tapes suivantes : Etape 1 : Slectionner un ensemble de valeurs initiales pour , ., et 2 tel que leurs somme soit gale la charge. Etape 2 : Calculer les pertes marginales G aussi bien que les pertes totales D. Les pertes marginales et les pertes totales seront considres constantes jusqu' ce que nous retournions ltape 2.

  • Chapitre II Rpartition conomique de puissance

    Etape 3 : Calculer la valeur de qui ralise lgalit entre la somme de , ., et 2 et la somme des charges plus les pertes. C'est simple, comme les calculs dans l'exemple I.A puisque les quations sont encore linaires. Etape 4 : Comparer les puissances , . et 2 de ltape 3 avec les valeurs utiliss au commencement de ltape 2. Si ya aucun changement significatif dans aucune des valeurs, aller ltape 5, sinon retourner ltape 2. Etape 5 : Fin.

    En utilisant cette procdure on obtient : Etape 1 : Initialisons , ., et 2 comme suit : 400.0 ;< . 300.0 ;< 2 150.0 ;< Etape 2 : Les pertes marginales sont : G8 20.00003400 0.0240 G9 20.00009300 0.0540 G: 20.00012150 0.0360 Les pertes totales : D 15.6 ;< Etape 3 : On peut maintenant retrouver en rsolvant le system : 7.92 0.003124 1 0.0240 0.9760 7.85 0.00388 . 1 0.0540 0.9460 7.97 0.00964 2 1 0.0360 0.9640 Et . 2 850 15.6 . 2 865.6 0 Ces quations sont maintenant linaires, donc on peut retrouver directement. Le rsultat est : = 9.5252 R/MWh Et les puissances rsultant des gnrateurs sont : 440.68 ;< . 299.12 ;< 2 125.77 ;< Etape 4 : Puisque ces valeurs de , ., et 2 sont trs diffrentes des valeurs initiales, on retourne ltape 2. Etape 2 : Les pertes marginales sont recalcules avec les nouvelles valeurs des puissances.

    G8 20.00003440.68 0.0264 G9 20.00009299.12 0.0538 G: 20.00012125.77 0.0301 Les pertes totales : D 15.78 ;< Etape 3 : Les nouvelles valeurs des pertes marginales et totales sont incorpor dans les quations pour retrouver des nouvelles valeurs de , , ., et 2 par : 7.92 0.003124 1 0.0264 0.9736 7.85 0.00388 . 1 0.0538 0.9462 7.97 0.00964 2 1 0.0301 0.9699 Et

  • Chapitre II

    Le rsultat est : Et :

    Le tableau (II.1) rcapitule le processus

    Tableau II.1 : Itration

    Initialisation 1 2 3 4

    400.00440.68433.94435.87435.13

    Figure II.3

    Rpartition conomique de puissance

    : = 9.5252 R/MWh

    rcapitule le processus itratif employ pour rsoudre ce problme.

    Processus itratif employ pour rsoudre l'exemple 3

    400.00 440.68 433.94 435.87 435.13

    300.00 299.12 300.11 299.94 299.99

    150.00 125.77 131.74 130.42 130.71

    15.60 15.78 15.84 15.83 15.83

    I.3 Organigramme de la mthode itrative Lambda

    Rpartition conomique de puissance

    itratif employ pour rsoudre ce problme.

    9.5252 9.5275 9.5285 9.5283 9.5284

  • Chapitre II

    II.4 Mthode ditration de Lambda

    La figure II.3 reprsentersolution du problme de la rpartition conomique sans pertes. Nous pouvons approcher la solution ce problme en considrant une technique de rsolution graphique puis prolonger les calculs pour une meilleure prcision avec un algorithme de projection.

    Supposons un systme de trois machines quon veut faire fonctionnement conomique optimal.caractristiques des cots marginaux pour chacune comme reprsent sur la figure

    Figure II.4 Solution graphique de la rpartition conomique.

    Afin d'tablir les points de fonctionnement de chacune de ces trois units tels que le cot soit minimal, nous pourrions choisir marginaux des trois units et trouver les valeur de cot marginal (). Naturellement, notre premire valuation sera incorrecte. Si nous avons choisi un cot marginal tel que touspossible, nous devons augmenter la valeur de solutions, nous pouvons extrapoler (ou interpoler) les deux solutions pour obtenir une puissance de production totale plus proche de la demande (voir la figure

    Rpartition conomique de puissance

    Mthode ditration de Lambda

    reprsente lorganigramme de la mthode itrative rsolution du problme de la rpartition conomique sans pertes. Nous pouvons approcher la solution ce problme en considrant une technique de rsolution graphique puis prolonger les calculs pour une meilleure prcision avec un algorithme bas sur une mthode numrique

    Supposons un systme de trois machines quon veut faire fonctionnerfonctionnement conomique optimal. La premire approche serait de tracer les caractristiques des cots marginaux pour chacune de ces trois units sur le mme graphe, comme reprsent sur la figure II.4.

    Solution graphique de la rpartition conomique.

    Afin d'tablir les points de fonctionnement de chacune de ces trois units tels que le cot soit choisir tout en respectant les domaines de variation des

    et trouver les puissances de production de chacune Naturellement, notre premire valuation sera incorrecte. Si nous

    cot marginal tel que tous les cots de productions sont aussi bas que possible, nous devons augmenter la valeur de et essayer une autre solution. Avec deux solutions, nous pouvons extrapoler (ou interpoler) les deux solutions pour obtenir une puissance de production totale plus proche de la demande (voir la figure II.5).

    Figure II.5 Projection de Lambda.

    Rpartition conomique de puissance

    de Lambda pour la rsolution du problme de la rpartition conomique sans pertes. Nous pouvons approcher la solution ce problme en considrant une technique de rsolution graphique puis prolonger

    bas sur une mthode numrique

    fonctionner son point de approche serait de tracer les

    de ces trois units sur le mme graphe,

    Afin d'tablir les points de fonctionnement de chacune de ces trois units tels que le cot soit de variation des cots

    chacune pour cette Naturellement, notre premire valuation sera incorrecte. Si nous

    les cots de productions sont aussi bas que er une autre solution. Avec deux

    solutions, nous pouvons extrapoler (ou interpoler) les deux solutions pour obtenir une .5).

  • Chapitre II Rpartition conomique de puissance

    Pour la projection de Lambda, on choisit par exemple les valeurs initiales suivantes :

    ? minMN 2OP Q 1, 2, . . , S maxN 2O Q 1, 2, . . , S

    Et la formule rcursive utilise dans cette mthode est la suivante :

    V. V W XYZ[\]^_`a8 Z[\]^_` YZ[\]^_`a8 3 Vb

    Cette formule interpole les deux solutions prcdentes n et n + 1 pour obtenir la nouvelle solution n+2 qui est utilise de nouveau dans un processus itratif jusqu' ce qu'une solution optimale soit atteinte.

    Exemple II.D : Supposons qu'on emploi des fonctions cubiques pour reprsenter les caractristiques d'entre-sortie des installations de production comme suit. !"#$%& ' c d e. f2 P en (MW) Pour ces trois units, trouvons la rpartition optimale suivant la mthode itration de Lambda.

    centrale A B C D 1 2 3

    749.55 1285.0 1531.0

    6.95 7.051 6.531

    9.68 3 10Yg 7.375 3 10Yg 1.04 3 10Y2 1.27 3 10Yh 6.453 3 10Yi 9.98 3 10Yi

    En supposant un cot de carburant gale 1.0 R/MBtu, les limites de production de chaque unit sont : 320 ;< 800;< 300 ;< . 1200;< 275 ;< 2 1100;<

    Deux exemples de calculs sont montrs, tous les deux utilisent l'organigramme de la figure II.3. Dans ce calcul, la valeur de dans la deuxime itration est toujours place 10% au-dessus ou au-dessous de la valeur initiale selon le signe de l'erreur, pour les itrations restantes, le Lambda est projet comme sur la figure II.5.

    Le premier exemple montre l'avantage de choisir prs de la valeur optimale. 2500 ;< jkjljmno 8.0 5/;

  • Chapitre II Rpartition conomique de puissance

    Itration Lambda Puissance totale (MW) ;

  • Chapitre II Rpartition conomique de puissance

    p .. q 88 p 99 p. q rr p . !9889 HpI.

    9999 Hp.I. q ' q (II.10) p 88 p 99 p. q rr p (II.11) Aprs, si on considre l'quation de contrainte (II.2) en supposant une variation de puissance de production dans chacune des centrales lquation de contrainte devient :

    p E 0 (II.12)

    Dans ce cas aussi les valeurs initiales ont t soustraites de sorte que les changements des contraintes maintiennent simplement que la somme des variations de toutes les puissances produites doit tre gale zro. Si on enlve un degr de libert au problme de sorte qu'au moins une unit doive tre choisie comme variable dpendante. Appelons cette unit dpendante la su unit. Dans ce cas, la variation de la puissance de production de cette unit dpendante est la somme des variations des N-1 units restantes (II.13) p pEv (II.13)

    Ces deux quations peuvent tre combines pour tablir une quation qui donne la variation de la fonction objectif , en fonction de la variation de la puissance de production dans les N-1 indpendantes machines (II.14) :

    p w xxy pv wz y pv (II.14)

    La technique commence par n'importe quelle solution faisable, c.--d., une solution qui satisfait l'quation de contrainte (II.2). Puis, les coefficients de lquation (II.14) sont valus pour ce point de fonctionnement aprs que la machine dpendante x a t choisie. Ceci a comme consquence l'expression numrique d'quation (II.14), les n-1 coefficients de chacune des variables indiquent le gain dans la fonction objective qui peut tre ralise par la variation de puissance de production dans chaque machine. videmment, la machine qui cause la variation la plus importante dans la fonction de cot total est celle varier d'abord. Cette unit peut tre obtenue en trouvant le maximum des valeurs absolues des divers coefficients des variations des puissances de production.

    Quand lunit (i) dont on doit varier a puissance de production est choisi, sa valeur doit tre attribu de sorte que ni lunit indpendante (l'unit i) ni l'unit dpendante (l'unit x) ne doivent excder leurs limites de fonctionnement. Les deux units doivent varier de la mme valeur et de signes opposs pour que le nouveau point de fonctionnement soit ralisable.

    Comme la figure II.6 le montre, les points de fonctionnement devraient tre vrifis aprs chaque tape. Si une limite d'opration pour l'unit dpendante est viole, alors il est temps de retourner cette tape du calcul o l'unit dpendante est choisie. Cette dmarche suivre est tout fait simple et directe. Elle exige cependant, un grand nombre d'itrations pour avoir une convergence satisfaisante.

  • Chapitre II

    Figure II.6 Mthode de gradient premier

    Exemple I.E : En prenant les donnes de l'exemple par la technique de gradient du premier ordre reprsente sur la figurecommence comme suit :

    Rpartition conomique de puissance

    Mthode de gradient premier-ordre pour la rpartition conomique.

    nnes de l'exemple II.A, trouver une rpartition conomique de puissance par la technique de gradient du premier ordre reprsente sur la figure II.6. La recherche sera

    Rpartition conomique de puissance

    ordre pour la rpartition conomique.

    A, trouver une rpartition conomique de puissance .6. La recherche sera

  • Chapitre II Rpartition conomique de puissance

    = 400 ;

  • Chapitre II Rpartition conomique de puissance

    Rappelons quil n'y a aucune deuxime drive partielle mixte dans notre cas. C'est--dire, la deuxime drive de la fonction cot du carburant d'une unit donne est par rapport la puissance de production seulement de cette unit, lui-mme. Ce qui veut dire :

    9 0 Pour ij

    En outre, la contrainte exigeant de la somme des puissances produites des diffrentes units d'galer toute la demande doit tre traite comme dans les quations (II.12) et (II.13) pour que le programme dvelopp ne change pas la frquence du systme :

    p E 0 (II.16) p pEv (II.17)

    Si nous remplaons l'quation (II.17) dans (II.15) en gardant les termes du premier et deuxime ordre et en introduisant la variation des puissances produites nous obtenons :

    p ! xx' p . w9889 HpI.

    9999 Hp.I. q y =

    = 9xx9 p. p.. q 2pp. 2pp2 q? { (II.18) La variation du cot total d'exploitation p, peut tre trouve suivant les mthodes de calcul ordinaires puisquelle est en fonction des n-1 variations des puissances de production indpendants p. Il n'y a aucun tat de contrainte autre que les limites sur les puissances de production de l'installation, que nous ignorerons actuellement. Le meilleur point de fonctionnement sera ralis quand la drive partielle de p par rapport a chaque variable indpendante p, est gale a zro. C'est--dire, les drivs partiels z doivent tre gale zro pour tous ix :

    z8 0 !88 xx' 9889 p

    9xx9 pv

    z9 0 !99 xx' 9999 p.

    9xx9 pv (II.19) .

    .

    .

    On pose : BC 99 (II.20)

    Les deux tant valu a partir du point de fonctionnement initial, le systme (II.19) peut tre crit sous cette forme matricielle :

  • Chapitre II Rpartition conomique de puissance

    . . . . . . . 2 . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .

    pp.p2...

    . 2 ...

    (II.21)

    Dmarche suivre :

    1-Commencer par une solution faisable et calculer les lments des quations de la matrice.

    2- Inverser la matrice pour rsoudre le systme et trouver la variation de production dans chaque gnrateur.

    3- Vrifier que la solution ne viole aucune contrainte.

    4- Vrifier les valeurs du vecteur ( ) au nouveau point de fonctionnement pour voir que tous les cots marginaux sont gaux.

    Si les cots marginaux ne sont pas gaux, cette dmarche suivre est rpte.

    Avec une fonction objective quadratique, la mthode de second ordre convergera dans une seule tape assumant une situation sans contrainte. Les exemples utiliss en ce texte peuvent vous mener l'impression que la mthode de second ordre est une, qui converge toujours dans une seule tape et ne semble pas avoir des problmes dimplmentation comme ceux lis aux mthodes de premier ordre. Toutes ces mthodes ont leurs difficults. Gnralement, en employant des techniques de gradient c'est les contraintes qui provoquent des problmes dimplmentation. (Dans certaine techniques d'optimisation ces mmes contraintes sont une bndiction et servent rduire la dimension du problme.)

    Exemple II.F : Nous allons rsoudre le mme problme de rpartition (exemple I.A) avec les mmes conditions initiales choisi dans l'exemple I.E suivant la mthode de gradient du second ordre. Les conditions initiales sont :

    400 ;

  • Chapitre II

    Donc

    Alors

    Et par dfinition

    II.7 Point de base et facteurs de participation

    Cette mthode suppose que le problme de rpartition conomique doit tre rsolu plusieurs reprises en portant le systme dun point de fonctionnement optimal a un autre quand une petite variation de la charge se prsente. Nous commenons partir d'un poptimal de fonctionnement dit point de base. Aprs, on suppose une variation de charge et on tudie de combien la puissance de production de chaque unit doit tre vari pour que la nouvelle charge soit gre par le meilleur point de fonctionnement

    Supposons que les premirespuissances de production sont disponibles (l'unit i est donne sur la figuremarginal du systme change de cette unit,

    Cest valable pour chacune des

    Rpartition conomique de puissance

    se et facteurs de participation

    Cette mthode suppose que le problme de rpartition conomique doit tre rsolu plusieurs reprises en portant le systme dun point de fonctionnement optimal a un autre quand une petite variation de la charge se prsente. Nous commenons partir d'un p

    de fonctionnement dit point de base. Aprs, on suppose une variation de charge et on tudie de combien la puissance de production de chaque unit doit tre vari pour que la nouvelle charge soit gre par le meilleur point de fonctionnement conomique.

    Figure II.7 Rapport entre et Pi.

    s et deuximes drivs de la fonction cot par rapport aude production sont disponibles ( et existent). La courbe du cot marginal de

    l'unit i est donne sur la figure II.7. Pendant que l'unit de charge varie de marginal du systme change de pour la variation de puissance de production sur

    Cest valable pour chacune des N units appartenant au systme donc :

    .

    .

    Rpartition conomique de puissance

    Cette mthode suppose que le problme de rpartition conomique doit tre rsolu plusieurs reprises en portant le systme dun point de fonctionnement optimal a un autre quand une petite variation de la charge se prsente. Nous commenons partir d'un point

    de fonctionnement dit point de base. Aprs, on suppose une variation de charge et on tudie de combien la puissance de production de chaque unit doit tre vari pour que la

    conomique.

    et deuximes drivs de la fonction cot par rapport aux existent). La courbe du cot marginal de

    .7. Pendant que l'unit de charge varie de , le cot variation de puissance de production sur

    (II.22)

  • Chapitre II Rpartition conomique de puissance

    La variation de production totale (=la variation totale de la demande) est naturellement la somme des diffrentes variations dans chaque unit. Posons la demande totale de gnration (o B}CB ). Alors :

    p p. q p p (II.23) Lquation (II.22) peut tre utilise pour trouver les facteurs de participation de chaque centrale comme suit :

    ! ' M

    P

    8

    (II.24)

    Le calcul de chaque niveau de rpartition conomique et direct, il pourrait tre fait par la disponibilit dun tableau des valeurs de en fonction des niveaux de charge et concevoir une petite variation de production qui prend en compte la valeur de la charge existante plus la variation projete et donc calculer les facteurs de participation.

    Exemple II.G : partir de la solution optimale de rpartition conomique trouve dans l'exemple I.A, employons la mthode des facteurs de participation pour calculer la rpartition pour une charge totale de 900MW. En utilisant lquation (II.24) :

    ZZ ?.??2.g

    8

    ?.??2.g8V?.??2ii8V?.??@g8 [email protected] 0.47

    De mme,

    9 ?.??2ii8

    @i.Ah 0.38

    : [email protected] 0.15 p 900 850 50

    La nouvelle valeur de la gnration est calcule par:

    u u ! ' p } Q 1,2,3 Ainsi pour chaque centrale, u 393.2+(0.47)(50)=416.7 u. 334.6+(0.38)(50)=353.6 u2 122.2+(0.15)(50)=129.7

    Le problme de la rpartition conomique suppose qu'il y a n units dj connectes au systme. Le but du problme est de trouver la politique de fonctionnement optimale pour ces n units. C'est le problme que nous avons tudi jusqu'ici dans ce texte.