Chapitre 3 rdm

Campus centre

Chapitre 4

Caractéristiques géométriques de la

surface plane :

05/04/2013 1

plan

Centre de gravité,

Moment statique,

Moments quadratiques

05/04/2013 2

Campus centre

Soit une section plane d’aire S définie dans un repère orthonormé Oxy.

Centre de gravité

Les coordonnées du centre de gravité G sont définies par :

S

y.dSY

S

x.dSX S

G

S

G

Si la section S peut être décomposée en sous-sections

simples, d’aires connues Si et de centres de gravités connus (xGi

et yGi) alors :

S

.

Y S

.

X 1G

1G

n

i

Gii

n

i

Gii ySxS

Campus centre

05/04/2013 3

Calcul du Centre de gravité

1

2

50 mm

10 mm

10 mm

50 mm

O

y

x

xG

G20

Campus centre

05/04/2013 4

Pour un élément dS, de coordonnées X et Y, le moment statique

élémentaire par rapport à l’axe Ox est la quantité :

Moment statique

Y.dSd x

De même :

Pour l’ensemble de la section :

S.Ysoit y.dS GS

xx

S.Xsoit x.dS GS

yy

Campus centre

05/04/2013 5

Moment statique

Le moment statique d’une section par rapport à un axe est égal

au produit de l’aire de la section par la distance entre son

centre de gravité et l’axe.

si la section S peut être décomposée n en sous-sections

simples, d’aires connues Si et de c.d.g connus (xGi et yGi) alors :

n

1i

Giiy

n

1i

Giix

.xS

.yS

Campus centre

05/04/2013 6

05/04/2013 7

Moment statique

Campus centre

Axe A

G

S

d

Axe A

G

d

Moment quadratique par rapport à un axe

Pour un élément dS, de coordonnées X et Y, le moment

quadratique élémentaire par rapport à l’axe Ox est, par

définition, la quantité :


Y².dSdIOx

De même :

Ce qui donne pour l’ensemble de la section :

y².dSIS

Ox

Sx².dSIOy

Campus centre

05/04/2013 8


• Le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe Δ est égalau moment d’inertie de ce corps par rapport à un axe ΔGparallèle à Δ passant par le centre de gravité augmenté duproduit

Campus centre

•Le moment quadratique est aussi appelé moment d’inertie dela section

05/04/2013 9


Remarque:

Si la surface peut être décomposée en n sous-sections de moments

quadratiques connus IOxiet IOyi

, alors:

n

i 1

OxOx iII

n

i 1

OyOy iII

Campus centre

1005/04/2013


n

i 1

GGiixGGx ² YY.SIIi

n

i 1

GGiiyGGy ² XX.SIIi

Remarque :

La section peut être décomposée en n sous-sections Si de centre

de gravité Gi et de moment quadratique IGixou IGiy

connus:

Campus centre

1105/04/2013

Moment quadratique par rapport à un couple d’axe

Ce moment quadratique est aussi appelé moment produit.

Pour un élément dS, le moment produit élémentaire par rapport

aux axes Ox et Oy est par définition la quantité:


X.Y.dSdIOxy

Ce qui donne pour l’ensemble de la section: x.y.dSIS

Oxy

Théorème de Huygens:GGGxyOxy .YS.XII

Campus centre

05/04/2013 12


Calculs pratiques :

Si la surface peut être décomposée en n sous-sections de

moments produits connus IOxyi, alors:

n

i 1

OxyOxy iII

Si on cherche le moment produit d’une section par rapport à

son centre de gravité et que celle-ci peut être décomposée en n

sous-sections de c.d.g. Gi connus et de moments produits par

rapport à leur c.d.g. connus IGixy, alors:

n

i 1

GGiGGiixyGGxy YY.XX.SIIi

Campus centre

05/04/2013 13

Moment quadratique par rapport à un point

Pour un élément dS, à une distance de O,le moment quadratique

polaire élémentaire par rapport à ce point est par définition la

quantité:


².dS dIo ρ

Ce qui donne pour l’ensemble de la section:

².dSIS

o

Remarque: on peut écrire

OyOx IIIo

²y²x ²SS

o ².dS².dSI yxsoit:

Finalement, on obtient:

Campus centre

05/04/2013 14

III.3 Moment quadratique par rapport à un point

Changement d’origine (Théorème de Huygens)


Soit:

²S.XI²S.YII GGyGGxo

ou:

Finalement, on obtient:

²Y²XS.III GGGyGxo

² OGS.II Go

OyOx IIIo

Campus centre

05/04/2013 15

Remarques

Les moments quadratiques s’ajoutent et se retranchent. Cette propriété permet

une détermination aisée dans le cas de surfaces composées d’éléments simples.


1 1 1

2 2 2

[1]+[2] [1]+[2] [1]-[2]

Campus centre

05/04/2013 16

Moments quadratiques d’axes concourants

Rotations d’axes

Soit la section plane S, et deux systèmes d’axes Oxy et OXY obtenu par

une rotation d’angle .


Ox

y

dS

(S)

x

y

XY

Les relations liant les coordonnées dans les

deux repères sont:

Calculons le moment quadratique / OX :

y.cosθx.sinθY y.sinθx.cosθX

SSOX ².dS y.cosθx.sinθ- Y².dSI

SOX .dS y².cos²θcosθ2.xy.sinθ.x².sin²θI

Campus centre

05/04/2013 17

Rotations d’axes


Ce qui nous donne :

En passant à l’angle double :

OX Oy Ox OxyI =sin²θ.I +cos²θ.I -2.sinθ.cosθ.I

1 cos2 1 cos2 sin 2cos ² ; sin ² ; sin .cos

2 2 2On obtient :

Ox Oy Ox Oy

OX Oxy

I +I I -II = + .cos2θ-I .sin2θ

2 2

SS SOX xy.dScosθ2sinθy².dScos²θx².dSsin²θI

Campus centre

05/04/2013 18

Rotations d’axes


De même, pour le moment quadratique / OY, on obtient :

Calcul du moment produit :

OXYS S

I = XY.dS x.cos +y.sin . -x.sin +y.cos .dS

Ox Oy Ox Oy

OY Oxy

I +I I -II = - .cos2θ+I .sin2θ

2 2

OXYS S S

I =sin .cos . y².dS- x².dS (cos² sin ² ) x.y.dS

Soit :

Ox Oy

OXY Oxy

I -II = .sin2θ+I .cos2θ

2

Campus centre

05/04/2013 19

Recherche des directions principales


Il s’agit des directions donnant les moments quadratiques extrêmes

(maximal et minimal). Pour les trouver , dérivons IOX et IOY / et

annulons ces dérivées:

Ces deux expressions s’annulent pour :

Ox OyOXOxy

I -IdI=-2. .sin2θ-2.I .cos2θ=0

dθ 2

Ox OyOYOxy

I -IdI=2. .sin2θ+2.I .cos2θ=0

dθ 2

Oxy

Ox Oy

-2Itan(2θ)=

I -I

Campus centre

05/04/2013 20

Recherche des directions principales


Cette expression nous donne deux directions conjuguées définies parles angles:

Les directions ainsi déterminéess’appellent les directions principales(ou axes principaux), elles sontorthogonales et définies par larelation:

1 2 1 et = +2

Oxy

Ox Oy

-2Itan(2θ)=

I -I

Remarques:

Pour les directions principales, IOXY est nul.

Tout axe de symétrie, est axe principal d’inertie.

Tout axe perpendiculaire à un axe de symétrie est également axeprincipal d’inertie.

Ox

y(A)

Campus centre

05/04/2013 21

Expression des moments quadratiques principaux

III. Moments quadratiques

Pour connaître les expressions des moments quadratiques principaux(Imaxi et Imini), il suffit de remplacer, dans les formules donnant IOX, IOY etIOXY, la valeur de par les solutions de l’équation:

Oxy

Ox Oy

-2Itan(2θ)=

I -I

On obtient ainsi:

2

Ox Oy Ox Oy 2

maxi Oxy

2

Ox Oy Ox Oy 2

mini Oxy

I +I I -II = + +I

2 2

I +I I -II = - +I

2 2

Campus centre

05/04/2013 22

Représentation graphique – Cercle de Mohr


Reprenons les expressions donnant IOX et IOXY

Effectuons la somme des carrés, on obtient:

Ox Oy Ox Oy

OX Oxy

I +I I -II - = .cos2θ-I .sin2θ

2 2

Ox Oy

OXY Oxy

I -II = .sin2θ+I .cos2θ

2

2 2

Ox Oy Ox Oy2 2

OX OXY Oxy

I +I I -II - +I = +I

2 2

Ce qui correspond à l’équation d’un cercle de centre C et de rayon R

2

Ox Oy Ox Oy 2

c Oxy

I +I I -Ix = et R= +I

2 2

Campus centre

05/04/2013 23

Représentation graphique – Cercle de Mohr

III. Moments quadratiques

Iaxes

Icouples d’axes

O

ImaxiImini

C

IOx

IOxy

IOy

-IOxy

-2

2

Ox Oy Ox Oy 2

c Oxy

I +I I -Ix = et R= +I

2 2

Campus centre

05/04/2013 24

Application

05/04/2013 25

x

y

200

100

12

12

Calculer le centre de gravité Les moments en O Les moments on G Les axes principaux

Documents

Chapitre 3 rdm