Chapitre 5: Changements de référentiels · R fixe. muni d’un repère orthonormé , on dira que ce référentiel est le référentiel absolu. Dans la pratique, il s’agit d’un

Chapitre 5: Changements de référentielsIntroduction

1

La notion de vitesse est une notion relative au référentiel considéré. Afin de comprendre le

mouvement, il faut utiliser le principe fondamental de la dynamique qui ne s’applique que dans

un référentiel galiléen.

On peut montrer que tout mouvement peut se décomposer en un mouvement rectiligne et un

mouvement de rotation. Dans ce chapitre, on étudiera donc plus en détail ces deux

mouvements particuliers successivement.

Chapitre 5: Changements de référentiels

I Définitions

II Lois de composition des vitesses et accélérations

III Lois de Newton dans un référentiel non galiléen

IV Théorème de l’énergie cinétique dans un référentiel

non galiléen

2

Chapitre 5: Changements de référentielsI DEFINITIONS1) Introduction

Vidéo –course de rameurs : le rameur fait des mouvements dans son aviron et l’aviron

se déplace par rapport à la surface de la mer! Ceci permet donc de décomposer le

mouvement en deux parties: une première par rapport à l’aviron et la deuxième par

rapport à la ‘terre ferme’.

3

http://www.youtube.com/watch?v=9c3RtvH‐zr8

Régate d'Aviron de mer- Coastal Rowing Regatta- Festirame_(360p).mp4

Chapitre 5: Changements de référentielsI DEFINITIONS

2) Référentiels relatif et absolu

On considère un référentiel R fixemuni d’un repère orthonormé , on dira

que ce référentiel est le référentiel absolu. Dans la pratique, il s’agit d’un référentiel

associé à la Terre.

Un autre référentiel R’muni d’un repère orthonormé , en déplacement

par rapport à R sera appelé référentiel relatif.

( )K,J,IO,rrr

( )k,j,i,O'rrr

R

R’

4


3) Vitesses absolue et relative

La vitesse du point mobile dans R est dite vitesse absolue.

La vitesse du point mobile dans R’ est dite vitesse relative.

R

R’

Sur l’image : point mobile = ‘tête du rameur’ qui se déplace légèrement par rapportà l’aviron et beaucoup plus par rapport à la terre ferme.

On peut étendre les définitions aux accélérations

avr

avr

rvr

rvr

5


4) Point coïncidant ‐ Vitesse d’entrainement

On appelle point coïncidant de M dans R’, le point N fixe dans R’ qui coïncide à l’instant

t avec M. La vitesse de ce point coïncidant dans R est dite vitesse d’entrainement, son

accélération dans R’ est dite accélération d’entraînement.

RR’

Sur l’image : L’extrémité de l’aviron a une vitesse nulle dans R’, référentiel associé àl’aviron, on peut même la prendre comme origine pour R’. On considère la trajectoire(dans R) de ce point. A un instant t quelconque, il est alors facile de définir N et donc lavitesse d’entrainement est …la vitesse de l’aviron par rapport à la terre (ou la mer). 6

Chapitre 5: Changements de référentielsII LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS

1) Loi de composition des vitesses

Dans le référentiel R , le point M a pour coordonnées (X,Y,Z)

Dans le référentiel R’ , le point M a pour coordonnées (x,y,z)

( )K,J,IO,rrr

( )k,j,i,O'rrr

k zjy ix OO'K ZJ YIXOMrrrrrr

+++=++=

K ZJ YIX(M)vvr

&r

&r

&rr++== RaLa vitesse absolue du point M est :

La vitesse relative du point M est : k zj yi x(M)vv r

r&

r&

r&

rr++== R'

Remarque : dans le référentiel R, les vecteurs dépendent du temps.

Par contre, dans le référentiel R’, ils sont indépendants du temps. Dans le cas

où R’ est en translation par rapport à R, ces vecteurs sont indépendants du

temps même dans Rmais uniquement dans ce cas particulier.

ket j,irrr

!

7


1) Loi de composition des vitesses


+++=++=

R'r (M)vv rr=

Si on considère le point coïncidant, il a une vitesse nulle dans R’, donc .

Les quatre premiers termes correspondent donc à la vitesse d’entrainement .

( )RRR

dtk zjy ix d

dtOO'dK ZJ YIXv

dtOMd

a

rrrr

&r

&r

&r +++=++==

k zj yi xk zjy ix dtOO'dv a

r&

r&

r&

&r&r&rr++++++=

R

evr

0v r

rr=

evr

rea vvv rrr+=

8


2) Loi de composition des accélérations

Dans le référentiel R , le point M a pour coordonnées (X,Y,Z)

Dans le référentiel R’ , le point M a pour coordonnées (x,y,z)

( )K,J,IO,rrr

( )k,j,i,O'rrr


+++=++=

K ZJ YIX(M)aar

&&r

&&r

&&rr++== RaL’accélération absolue du point M est :

L’accélération relative du point M est : k zj yi x(M)aa r

r&&

r&&

r&&

rr++== R'

9




+++=++=

R'r (M)aarr

=

Si on considère le point coïncidant, il a une accélération nulle dans R’, donc seuls les

quatre premiers termes correspondent donc à l’accélération d’entrainement .

La 3 derniers termes de l’accélération correspondent à l’accélération complémentaire

ou accélération de Coriolis.

( )RRR

2

2

2

2

a2

2

dtk zjy ix d

dtOO'dK ZJ YIXa

dtOMd

rrrr

&&r

&&r

&&r +++=++==

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++++++++= k zj yi x2k zj yi xk zjy ix

dtOO'da 2

2

a&r

&&r

&&r

&r

&&r

&&r

&&&&r&&r&&rr

R

ear

ear

crea aaaarrrr

++=

car

10



Remarque : le vecteur accélération d’entrainement n’est pas la dérivée du vecteur

vitesse d’entrainement

ecee aa

21a

dtvd rrrr

≠+=

11

!


3) Application à deux référentiels en translation

On obtient alors facilement les résultats suivants (et intuitifs) :

12

R (fixe)R’

O’(t0) O ’(t1) O ’(t2)

Déplacement de l’aviron

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

=

kK

jJ

iI

rr

rr

rr

( ) rarea vO'vvvv rrrrr+=+=

( ) rarea aO'aaaarrrrr

+=+= 0a c

rr=


3) Application à deux référentiels en rotation

13

Manip Lycée Montaigne de Bordeaux_ forces d'inertie sur un plateau en rotation_(360p).mp4

R (fixe) R’ (en rotation)

kKrr

=

Ir

Jr

ir

jr

θ

θ

http://www.youtube.com/watch?v=aoDlDSiBz‐Q

Les vecteurs correspondent auxvecteurs des coordonnéespolaires dans le repère

jet irr

θr uet u rr

( )K,J,IO,rrr

Pour un vecteur de norme constante,Ar

AωdtAd rrr

∧=

On définit le vecteur rotation par :ωr

k ωK ωωrrr

==

ωr

(main droite)



14

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∧==

=∧=

=∧=

kω0dtkd

i -ωjωdt

jd

j ωiωdt

id

rrrr

rrrr

rrrr


kKrr

=

Ir

Jr

ir

jr

θ

θ

ωr

Ar

Br

Πr

Règle des 3 doigts

Main droite

k zj yi xk zjy ix dtOO'dv a

r&

r&

r&

&r&r&rr++++++=

R

R'r (M)vv rr=

evr

OMωk zjy ix v e ∧=++=r&r&r&rr

ra vOMωv rrr+∧=



15


kKrr

=

Ir

Jr

ir

jr

θ

θ

ωr

ra vOMωv rrr+∧=

Pas de rotation :

ra vv rr=

0ωrr

=

Mouvement rectiligne dans leréférentiel absolu.



16


kKrr

=

Ir

Jr

ir

jr

θ

θ

ωr

ra vOMωv rrr+∧=

Rotation du plateau dans le sens trigonométrique

ωr

avr

evrear vvv rrr

−=

La caméra est solidaire du référentiel relatif

bille



17


kKrr

=

Ir

Jr

ir

jr

θ

θ

ωr

ra vOMωv rrr+∧=

Rotation du plateau dans le sens horaire

avr

evr

ear vvv rrr−=

ωr

La caméra est solidaire du référentiel relatif

bille



iωdt

idirr

r&r ∧==

crea aaaarrrr

++=

R'r (M)aarr

=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +++++++++= k zj yi x2k zj yi xk zjy ix

dtOO'da 2

2

a&r

&&r

&&r

&r

&&r

&&r

&&&&r&&r&&rr

R

ear

car

18

( ) ( )iωωiωiωiωiωirrrr

&r&rrr&r

rr&&r ∧∧+∧=∧+∧=

∧=

dtd

=0 car O=O’

( )OMωωOMωa e ∧∧+∧=rr&rr

rc vω2a rrr∧=



19


kKrr

=

Ir

Jr

ir

jr

θ

θ

ωr


ωr

avr

evr

rvr

La caméra est solidairedu référentiel relatif

bille

( )OMωωOMωa e ∧∧+∧=rr&rr

rc vω2a rrr∧= crea aaaa

rrrr++=

aar

On suppose ω=Cste donc

D’autre part,

On peut alors en déduire qui

est orienté vers l’intérieur de la trajectoire

ee va rr⊥

ear

rc va rr⊥

car

rar

rar

Chapitre 5: Changements de référentielsIII LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN

1) Référentiels galiléens et non galiléens

20

Nous avions vu qu’un référentiel terrestre R pouvait être considéré comme un référentiel

galiléen. On considère un référentiel un référentiel R’ en mouvement par rapport à R.

A quelle condition ce référentiel est‐il galiléen ?

Rappel : Un référentiel R est dit galiléen si un mobile infiniment éloigné de tout autre objet matériel est :‐) soit animé d’un mouvement rectiligne uniforme‐) soit y est immobile

Si R’ est en rotation autour de R, R’ est forcément non galiléen

Si R’ est en translation par rapport à R,

Pour que R’ soit galiléen, O’ doit avoir un mouvement uniforme dans R.

Donc R’ est galiléen ssi il est animé d’un mouvement rectiligne uniforme dans R.

crea aaaarrrr

++=

( ) raa aO'aarrr

+=


2) Principe fondamental de la dynamique (PFD)

21

Que fait‐on pour un référentiel non galiléen ? On doit écrire le PFD dans un référentiel

galiléen, dans R donc :

Rappel : Dans un référentiel galiléen, le mouvement d’un point matériel de masse m soumis à un ensemble deforces dont la résultante est possède une accélération

On écrit ce principe sous la forme : crea aaaarrrr

++=Fr

m / Farr

=

dtpd

dtvd ma m F

rrrr

===

( )rce aaa ma m Frrrrr

++==

cer ffFa mrrrr

++= ee a mfrr

−=

cc a mfrr

−=

= pseudo‐force d’entraînement

= pseudo‐force de Coriolis



22

cer ffFa mrrrr

++=ee a mfrr

−=

cc a mfrr

−=

= pseudo‐force d’entraînement



ωr

La caméra est solidairedu référentiel relatif

billeaar

ear

car

rar

efr

cfr

0Frr

= car le poids est compensé

par la réaction du support si on

néglige les frottements sur le

plateau tournant.



23

Un exemple : pendule dans une voiture. Quel est le mouvement d’un pendule dans une voiture selon que la voiture freine ou accélère ?

http://www.youtube.com/watch?v=MhmUQ2ew2kw

Différents mouvements d'une voiture_(360p).mp4

Dans le film : 4 situations = phase d’accélération, vitesse constante, freinage…et virage à droite



24

0a a

rr=

0a r

rr=

0a e

rr=

aar

crea aaaarrrr

++=

Vitesse constante :

donc,

Pendule vertical : la tension du fil compense le poids de la masselotte

g mPrr

=

Tr

La voiture accélère.On se place dans la situation oùle pendule est à l’équilibre … quevaut l’angle α?



25

crea aaaarrrr

++=

efr

aar

g mPrr

=

Tr

α

On a toujours deux forces : le poids et la tension du fil. D’après le schéma, on voit bien que

la somme de ces deux forces ne peut être nulle même si le pendule est à l’équilibre, ceci est

du à la pseudo‐fore d’entraînement.

On se place dans la situation oùle pendule est à l’équilibre …Cela veut dire que

On va appliquer le PFD… dans Ret pas dans R’ qui est leréférentiel associé à la voiture.MAIS, le pendule est associé à lavoiture, on cherche donc sonmouvement dans R’.



26

0a r

rr=

crea aaaarrrr

++=

aee a ma mfrrr

−=−=

efr

aar

g mPrr

=

Tr

α



27

crea aaaarrrr

++=

efr

aar

g mPrr

=

Tr

α( )rcea aaa ma m F

rrrrr++==

eea fa ma m TPrrrrr

−===+

Pour éviter de calculer la tension

du fil, on va projeter sur une

direction orthogonale à ce fil afin

d’en déduire l’angle α.

0αsin Pα cos fe =+−ga

ga

Pfαtan aee ===Donc,

On peut également définir un poids effectif tel que la relation vérifiée à vitesse constante



28

crea aaaarrrr

++=

efr

aar

g mPrr

=

Tr

α eea fa ma m TPrrrrr

−===+

On peut également définir un poids effectif tel que :

0 TPeff

rrr=+

eeff fP Prrr

+=

eff2e

2eeff g magmfP P =+=+=rrr

2

2eeff a1g

gg+=

Plus l’accélération est forte, plus on ressent de « g ».

effPr



29

efr

Le raisonnement est identique, mais la norme de l’accélération d’entrainement vaut ???

Réponse : où est le rayon du cercle parcouru par la voiture et ω, la vitesse

angulaire de la voiture. Si V est la vitesse de la voiture (affichée au compteur),

et donc,

0a c

rr=

2ωℜ=ea

crea aaaarrrr

++=

ee a mfrr

−=

g mPrr

=

Tr

α

Même chose avec un virage (tourner à droite)

0a r

rr=A l’équilibre, et

( )( )OMωωa

OMωωOMωa

e

e

∧∧=

∧∧+∧=rrr

rr&rr

0v r

rr=

Si ω=Csteωr

evr

ear

ℜωℜ=V

ℜ=

2Vae 22

4eff V1g

gg ℜ+= (utilisé pour la centrifugation)



30

cc a mfrr

−=


La force de Coriolis : mouvement dans un référentiel en rotation

The Coriolis Force_(360p).mp4

http://www.youtube.com/watch?v=_36MiCUS1ro

crea aaaarrrr

++=

( )OMωωa e ∧∧=rrr

rc vω2a rrr∧=



31

crea aaaarrrr

++=

( )OMωωa e ∧∧=rrr

evr

ear

efr

est un vecteur radial colinéaire à donc la forced’entrainement l’est aussi. Cette force ne peut expliquer ladéviation de la balle vers la droite (vu de l’observateur), vers lagauche vu du lanceur (en jaune)

OM

ee a mfrr

−=

ωr



32

crea aaaarrrr

++=

rc vω2a rrr∧=

ωr

rvr

car

cfr

Le vecteur est tangent à la trajectoire, l’accélération deCoriolis est donc orthogonale à celle‐ci et la force de Coriolisentraîne un mouvement ‘latéral’ qui explique la déviation de laballe par rapport à la ligne droite

rv

cc a mfrr

−=

Chapitre 5: Changements de référentielsIV THEOREME DE L’ENERGIE CINETIQUE DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN

1) Théorème de l’énergie cinétique

33

Rappel : dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie cinétique d’un point matériel soumis à une force , entre un point A et un point B de sa trajectoire, est égal au travail de sur l’arc de trajectoire .

Fr

( ) ( ) ( )FWAEBE BAcc

r→=−

ABFr

Dans un référentiel non galiléen, il faut rajouter aux forces, les pseudo‐forces d’inertie

( ) ( ) ( ) ( )inertieBABAcc fWFWAEBErr

→→ +=−

Chapitre 5: Changements de référentielsIV THEOREME DE L’ENERGIE CINETIQUE DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN

2) Energie mécanique

34

Dans un référentiel non galiléen, si un système est soumis à des forces à circulationconservative, à des forces à circulation non‐conservatives de résultante et à des forcesne travaillant pas,

( ) ( ) ( ) ( )inertieBAncBAmm fWFWAEBErr

→→ +=−

ncFr

inertiefr

est la résultante des forces d’inertie

Chapitre 5: Changements de référentielsV RESUME

35

Loi de composition des vitesses :

Loi de composition des accélérations :

Pour un référentiel en translation par rapport à un référentiel fixe :

Pour un référentiel en rotation autour du référentiel fixe

Pseudo‐forces :

Principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non galiléen :

rea vvv rrr+=

crea aaaarrrr

++=

( ) rarea vO'vvvv rrrrr+=+= ( ) rarea aO'aaaa

rrrrr+=+= 0a c

rr=

ra vOMωv rrr+∧= ( )OMωωOMωa e ∧∧+∧=

rr&rrrc vω2a rrr

∧=

cer ffFa mrrrr

++=

ee a mfrr

−= cc a mfrr

−== pseudo‐force d’entraînement = pseudo‐force de Coriolis

Documents

Chapitre 5: Changements de référentiels · R fixe. muni d’un repère orthonormé , on dira que ce référentiel est le référentiel absolu. Dans la pratique, il s’agit d’un