Chapitre 5. Indices élémentaires et synthétiques · t=0 l’indice el ementaire d’une valeur V a la date t base 100 a la date 0 et soit = I t=0 100 > 0 ,la valeur V a augment

Indices elementaires Indices synthetiques

Chapitre 5. Indices elementaires et synthetiques

Jean-Francois Coeurjollyhttp://www-ljk.imag.fr/membres/Jean-Francois.Coeurjolly/

Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University


1 Indices elementairesDefinitions generalesProprietes

2 Indices synthetiquesDefinitions et objectifsIndices de Laspeyres, Paasche et Fisher


Definitions generales

Objectif et Notations

Objectif

Comparer des grandeurs numeriques qui evoluent au coursdu temps et/ou de l’espace.

Notations :

Vt est la valeur de la grandeur etudiee au temps t (t est ladate courante ).

V0 est la valeur de la grandeur etudiee au temps 0 (0 est ladate de reference ).



Definition

L’indice elementaire d’une grandeur V a la date t base 100 a ladate 0 est

It/0 = IVt/0 =Vt

V0× 100.

Exemple : Quel est l’indice du prix base 100 en 2010 d’unproduit valant 250 e en 2010 et 300 e en 2012 ?

Reponse :

IP12/10 =P12

P10× 100 =

300

250× 100 = 120.



Definition

L’indice elementaire d’une grandeur V a la date t base 100 a ladate 0 est

It/0 = IVt/0 =Vt

V0× 100.

Exemple : Quel est l’indice du prix base 100 en 2010 d’unproduit valant 250 e en 2010 et 300 e en 2012 ?

Reponse :

IP12/10 =P12

P10× 100 =

300

250× 100 = 120.



Comment interpreter la valeur d’un indice ?

Interpretation

Soit It/0 l’indice elementaire d’une valeur V a la date t base 100

a la date 0 et soit ∆ = It/0 − 100

∆ > 0 ⇔ la valeur V a augmente de ∆% de la date 0 a ladate t .

∆ < 0 ⇔ la valeur V a diminue de ∆% de la date 0 a ladate t .

Retour sur exemple :

IP12/10 = 120 ⇔ le prix a augmente de 20% de 2010 a 2012.




Interpretation










Interpretation










Interpretation








Proprietes

Circularite ou transferabilite

Proposition

Si une grandeur numeriques V prend les valeurs V0, Vt et Vt ′ auxinstants 0, t , t ′ alors

It/0 = It/t′ × It′/0 ×1

100

Remarque :

on peut connaıtre l’evolution de 0 a t connaissant les evolutionsde 0 a t ′ et de t ′ a t . Pas besoin d’observer V0,Vt et Vt ′ .

cette propriete peut etre generalisee . . .

Preuve : pour demontrer ce resultat, on part du terme de droite

It/t ′ × It ′/t ×1

100=

(Vt

��Vt ′× 100

) (��Vt ′

V0×��100

)×

1

��100

=Vt

V0× 100 = It/0.


Proprietes

Circularite ou transferabilite

Proposition

Si une grandeur numeriques V prend les valeurs V0, Vt et Vt ′ auxinstants 0, t , t ′ alors

It/0 = It/t′ × It′/0 ×1

100

Remarque :

on peut connaıtre l’evolution de 0 a t connaissant les evolutionsde 0 a t ′ et de t ′ a t . Pas besoin d’observer V0,Vt et Vt ′ .

cette propriete peut etre generalisee . . .

Preuve : pour demontrer ce resultat, on part du terme de droite

It/t ′ × It ′/t ×1

100=

(Vt

��Vt ′× 100

) (��Vt ′

V0×��100

)×

1

��100

=Vt

V0× 100 = It/0.


Proprietes

Circularite ou transferabilite (2)

Exemple

Le chiffre d’affaires d’une entreprise a augmente de 30% de 2010a 2011 et diminue de 25% de 2011 a 2012. Le CA a-t-il diminueou augmente de 2010 a 2012 ?

BLa reponse n’est pas 30%-25%= augmentation de 5% !Les pourcentages ne s’additionnent pas.

Formalisation enonce : on a I11/10 = 130, I12/11 = 75 et oncherche I12/10. Par la propriete de circularite

I12/10 = I12/11 × I11/10 ×1

100

=130 × 75

100= 97.5.

Autrement dit, le CA a diminue de 2.5 % de 2010 a 2012.


Proprietes


Exemple



Formalisation enonce : on a I11/10 =

130, I12/11 = 75 et oncherche I12/10. Par la propriete de circularite

I12/10 = I12/11 × I11/10 ×1

100

=130 × 75

100= 97.5.



Proprietes


Exemple



Formalisation enonce : on a I11/10 = 130, I12/11 =

75 et oncherche I12/10. Par la propriete de circularite

I12/10 = I12/11 × I11/10 ×1

100

=130 × 75

100= 97.5.



Proprietes


Exemple



Formalisation enonce : on a I11/10 = 130, I12/11 = 75 et oncherche

I12/10. Par la propriete de circularite

I12/10 = I12/11 × I11/10 ×1

100

=130 × 75

100= 97.5.



Proprietes


Exemple




I12/10 = I12/11 × I11/10 ×1

100

=130 × 75

100= 97.5.



Proprietes


Exemple




I12/10 = I12/11 × I11/10 ×1

100

=130 × 75

100= 97.5.



Proprietes


Exemple




I12/10 = I12/11 × I11/10 ×1

100

=130 × 75

100= 97.5.

Autrement dit, le CA a

diminue de 2.5 % de 2010 a 2012.


Proprietes


Exemple




I12/10 = I12/11 × I11/10 ×1

100

=130 × 75

100= 97.5.



Proprietes

Reversibilite

Probleme : connaissant l’evolution de 0 a t d’une certainequantite, peut-on connaıtre l’evolution de t a 0 ?

Proposition

Si une grandeur numerique V prend les valeurs V0 et Vt auxinstants 0 et t alors

I0/t =1002

It/0.

Preuve : a nouveau on part du terme de droite

1002

It/0=

100�2

Vt

V0×��100

=V0

Vt× 100 = I0/t .


Proprietes

Reversibilite

Probleme : connaissant l’evolution de 0 a t d’une certainequantite, peut-on connaıtre l’evolution de t a 0 ?

Proposition

Si une grandeur numerique V prend les valeurs V0 et Vt auxinstants 0 et t alors

I0/t =1002

It/0.

Preuve : a nouveau on part du terme de droite

1002

It/0=

100�2

Vt

V0×��100

=V0

Vt× 100 = I0/t .


Proprietes

Reversibilite (2)

Exemple

Si un prix augmente de 20% de 2010 a 2012, que dire de sonevolution de 2012 a 2010 ?

BLa reponse n’est pas diminution de 20%.Les pourcentages ne sont pas reversibles.

Formalisation : on a I12/10 =

120 et on cherche I10/12. Par lapropriete de reversibilite

I10/12 =1002

I12/10=

1002

120' 83.33.

Autrement dit, le prix a diminue de 16.67% de 2012 a 2010.


Proprietes

Reversibilite (2)

Exemple



Formalisation : on a I12/10 = 120 et on cherche

I10/12. Par lapropriete de reversibilite

I10/12 =1002

I12/10=

1002

120' 83.33.



Proprietes

Reversibilite (2)

Exemple



Formalisation : on a I12/10 = 120 et on cherche I10/12. Par lapropriete de reversibilite

I10/12 =1002

I12/10=

1002

120' 83.33.



Proprietes

Reversibilite (2)

Exemple



Formalisation : on a I12/10 = 120 et on cherche I10/12. Par lapropriete de reversibilite

I10/12 =1002

I12/10=

1002

120' 83.33.



Proprietes

Produit de grandeurs

Proposition

Si une grandeur a est egale a tout instant

1 au produit des grandeurs b et c, c-a-d a = b × c alors

I at/0 =(I bt/0 × I

ct/0

)×

1

100.

2 au rapport des grandeurs b et c, c-a-d a = b/c alors

I at/0 =I bt/0

I ct/0× 100.

Preuve : demontrons la 1ere propriete en partant du terme de droite(I bt/0 × I

ct/0

)×

1

100=

(btb0× 100

) (ctc0×��100

)×

1

��100

=bt × ctb0 × c0

× 100 =ata0× 100 = I at/0.


Proprietes

Produit de grandeurs (2)

Exemple

Soit P et Q les prix et quantites d’un produit vendu par uneentreprise. Si le prix de ce produit augmente de 60% de 2000 a2010 et si les quantites vendues ont diminue de 50% de 2000 a2010, quelle est l’evolution des recettes de 2000 a 2010 ?

Formalisation : on a

IP10/00 = 160 et IQ10/00 = 50

et on cherche IR10/00 ou R = P ×Q . Par la propriete precedenteon a

IR10/00 = IP10/00 × IQ10/00 ×

1

100=

160 × 50

100= 80.

Autrement dit, les recettes ont diminue de 20% de 2000 a2010.


Proprietes

Produit de grandeurs (2)

Exemple

Soit P et Q les prix et quantites d’un produit vendu par uneentreprise. Si le prix de ce produit augmente de 60% de 2000 a2010 et si les quantites vendues ont diminue de 50% de 2000 a2010, quelle est l’evolution des recettes de 2000 a 2010 ?

Formalisation : on a

IP10/00 = 160 et IQ10/00 = 50

et on cherche IR10/00 ou R = P ×Q . Par la propriete precedenteon a

IR10/00 = IP10/00 × IQ10/00 ×

1

100=

160 × 50

100= 80.

Autrement dit, les recettes ont diminue de 20% de 2000 a2010.


Definitions et objectifs

Generalites

Utilisation : etude de grandeurs complexes c-a-d degrandeurs composees de plusieurs grandeurs simples.

Exemple : comprendre l’evolution

du prix d’un plat : grandeur composee des prix et quantitesde matieres premieres (farine, huile, . . . ).de la recette globale d’une entreprise : grandeur composeedes prix et quantites de l’ensemble des produits vendus parcette entreprise.du nombre d’entrees au cinema : grandeur dependant dunombre de films et du nombre moyen d’entrees par filmpour differents types de films (francais, americain,. . . ).. . .



Quelques notations dans un contexte economique

i : indice d’un produit parmi un panier de I produits.

Pi (t) (ou Pi ,t) : Prix du produit i a l’instant t .

Qi (t) (ou Qi ,t) : Quantites du produit i a l’instant t .

Definitions

Pi (t) ×Qi (t) = Vi (t) est la valeur globale du produit ia l’instant t .

V (t) =∑

i Pi (t)Qi (t) est la valeur globale del’ensemble des produits.

L’indice de valeur globale est

IVt/0 =V (t)V (0)

× 100 =

∑i Pi (t)Qi (t)∑i Pi (0)Qi (0)

× 100



Exemple

Etudions le panier de trois produits de la TAG vendus a unesous-population (non precisee ici) en 2010 et 2012.

2010 2012Produit Prix Quantites Prix Quantites

Ticket simple 1.5 100 2 100Abonnement hebdomadaire 35 40 50 50

Abonnement mensuel 130 35 175 40

Question : quelle est l’evolution des recettes de la TAG pour ce panieret la sous-population etudiee ?

Reponse :

IV12/10 =2 × 100 + 50 × 50 + 175 × 40

1.5 × 100 + 35 × 40 + 130 × 35× 100 ' 159.02

Les recettes ont donc augmente de 59.02% de 2010 a 2012.Mais cette augmentation est-elle plus due a uneaugmentation des prix ou des quantites ?



Exemple






Reponse :

IV12/10 =

2 × 100 + 50 × 50 + 175 × 40

1.5 × 100 + 35 × 40 + 130 × 35× 100 ' 159.02




Exemple






Reponse :

IV12/10 =2 × 100 + 50 × 50 + 175 × 40

1.5 × 100 + 35 × 40 + 130 × 35× 100 ' 159.02

Les recettes ont donc augmente de 59.02% de 2010 a 2012.

Mais cette augmentation est-elle plus due a uneaugmentation des prix ou des quantites ?



Exemple






Reponse :

IV12/10 =2 × 100 + 50 × 50 + 175 × 40

1.5 × 100 + 35 × 40 + 130 × 35× 100 ' 159.02



Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher

Generalites sur les indices synthetiques

Pour pouvoir determiner l’influence des prix ou desquantites, il faut definir des scenari permettant d’isoler soitles prix soit les quantites.

C’est l’idee des indices de Laspeyres et de Paasche :

l’indice de Laspeyres des prix , par exemple, regardel’evolution des prix de 0 a t en supposant que lesquantites sont fixees a la date 0 .l’indice de Paasche des quantites , par exemple, regardel’evolution des quantites de 0 a t en supposant que lesprix sont fixees a la date t .



Generalites sur les indices synthetiques

Pour pouvoir determiner l’influence des prix ou desquantites, il faut definir des scenari permettant d’isoler soitles prix soit les quantites.

C’est l’idee des indices de Laspeyres et de Paasche :

l’indice de Laspeyres des prix , par exemple, regardel’evolution des prix de 0 a t en supposant que lesquantites sont fixees a la date 0 .l’indice de Paasche des quantites , par exemple, regardel’evolution des quantites de 0 a t en supposant que lesprix sont fixees a la date t .



Indices de Laspeyres

Definition

Les indices de Laspeyres des prix et des quantites sont respectivementdefinis par :

LPt/0 =

∑i Pi (t)Qi (0)∑i Pi (0)Qi (0)

× 100 et LQt/0 =

∑i Pi (0)Qi (t)∑i Pi (0)Qi (0)

× 100.

Application : indices de Laspeyres des prix et quantites sur l’exemple2010 2012

Produit Prix Quantites Prix QuantitesTicket simple 1.5 100 2 100

Abonnement hebdomadaire 35 40 50 50Abonnement mensuel 130 35 175 40

LP12/10 =

2 × 100 + 50 × 40 + 175 × 35

1.5 × 100 + 35 × 40 + 130 × 35× 100 ' 136.48.

LQ12/10 =

1.5 × 100 + 35 × 50 + 130 × 40

1.5 × 100 + 35 × 40 + 130 × 35× 100 ' 116.39.



Indices de Laspeyres

Definition


LPt/0 =

∑i Pi (t)Qi (0)∑i Pi (0)Qi (0)

× 100 et LQt/0 =

∑i Pi (0)Qi (t)∑i Pi (0)Qi (0)

× 100.

Application : indices de Laspeyres des prix et quantites sur l’exemple2010 2012



LP12/10 =

2 × 100 + 50 × 40 + 175 × 35

1.5 × 100 + 35 × 40 + 130 × 35× 100 ' 136.48.

LQ12/10 =

1.5 × 100 + 35 × 50 + 130 × 40

1.5 × 100 + 35 × 40 + 130 × 35× 100 ' 116.39.



Indices de Laspeyres (2)

Definition


LPt/0 =

∑i Pi (t)Qi (0)∑i Pi (0)Qi (0)

× 100 et LQt/0 =

∑i Pi (0)Qi (t)∑i Pi (0)Qi (0)

× 100.

Comment interpreter les valeurs LP12/10 ' 136.48 et LQ

12/10 ' 116.39 ?

A quantites fixees en 2010 , les prix ont augmente de36.48% de 2010 a 2012.

A prix fixes en 2010 , les quantites ont augmente de16.39% de 2010 a 2012.



Indices de Paasche

Definition

Les indices de Paasche des prix et des quantites sont respectivementdefinis par :

PPt/0 =

∑i Pi (t)Qi (t)∑i Pi (0)Qi (t)

× 100 et PQt/0 =

∑i Pi (t)Qi (t)∑i Pi (t)Qi (0)

× 100.

Application : indices de Paasche des prix et quantites sur l’exemple2010 2012



PP12/10 =

2 × 100 + 50 × 50 + 175 × 40

1.5 × 100 + 35 × 50 + 130 × 40× 100 ' 136.62.

PQ12/10 =

2 × 100 + 50 × 50 + 175 × 40

2 × 100 + 50 × 40 + 175 × 35× 100 ' 116.52.



Indices de Paasche

Definition


PPt/0 =


× 100 et PQt/0 =


× 100.

Application : indices de Paasche des prix et quantites sur l’exemple2010 2012



PP12/10 =

2 × 100 + 50 × 50 + 175 × 40

1.5 × 100 + 35 × 50 + 130 × 40× 100 ' 136.62.

PQ12/10 =

2 × 100 + 50 × 50 + 175 × 40

2 × 100 + 50 × 40 + 175 × 35× 100 ' 116.52.



Indices de Paasche (2)

Definition


PPt/0 =


× 100 et PQt/0 =


× 100.

Comment interpreter les valeurs PP12/10 ' 136.62 et PQ

12/10 ' 116.52 ?

A quantites fixees en 2012 , les prix ont augmente de36.62% de 2010 a 2012.

A prix fixes en 2012 , les quantites ont augmente de16.52% de 2010 a 2012.



Indices de Fisher

Resume :

IV12/10 LP12/10 PP

12/10 LQ12/10 PQ

12/10

159.02 136.48 136.62 116.39 116.52

Il est possible que les indices de Laspeyres et de Paasche soienttres differents.

Pour nuancer cette possible situation, Fisher a defini des indicesmoyens des indices precedents.

Definition

L’indice de Fisher des prix (resp. des quantites) est defini comme lamoyenne geometrique des indices de Laspeyres et de Paasche desprix (resp. des quantites), c-a-d

FPt/0 =

√LPt/0 × P

Pt/0 et FQ

t/0 =

√LQt/0 × P

Qt/0



Resume

IV12/10 LP12/10 PP

12/10 FP12/10 LQ

12/10 PQ12/10 FQ

12/10

159.02 136.48 136.62 136.55 116.39 116.52 116.45

Interpretation :

D’un point de vue global, l’ augmentation de 59.02% desrecettes globales de la TAG est davantage due al’augmentation des prix (de l’ordre de 36.5%) qu’a l’augmentation des quantites (de l’ordre de 16.4%).



Relations entre les differents indices

S’il n’y avait qu’un seul produit

IVt/0 = IPt/0 × IQt/0 ×

1

100

car V = P ×Q . Lorsque l’on a plusieurs produits, on a lesrelations suivantes

Proposition

IVt/0 = LPt/0 × PQ

t/0 ×1

100

= PPt/0 × LQ

t/0 ×1

100

= FPt/0 × FQ

t/0 ×1

100



Relations entre les differents indices (2)

IV12/10 LP12/10 PP

12/10 FP12/10 LQ

12/10 PQ12/10 FQ

12/10

159.02 136.48 136.62 136.55 116.39 116.52 116.45

Par exemple,

LP12/10 × P

Q12/10 ×

1

100=

136.48 × 116.52

100' 159.03 ' IV12/10

FP12/10 × F

Q12/10 ×

1

100=

136.55 × 116.45

100' 159.01 ' IV12/10



Complement : reversibilite des indices synthetiques

Rappel : lorsqu’il n’y a qu’un seul produit, on a par exemple pour les

prix (valable aussi pour les quantites)

IP0/t =1002

IPt/0.

En presence de plusieurs produits, ceci n’est plus tout a fait vrai.Cependant,

proposition

Notons • = P ou Q (prix ou quantites)

L•0/t =1002

P•t/0et P•0/t =

1002

L•t/0.

Par contre les indices de Fisher sont reversibles. Ainsi

F •0/t =1002

F •t/0.



Reversibilite (2)

IV12/10 LP12/10 PP

12/10 FP12/10 LQ

12/10 PQ12/10 FQ

12/10

159.02 136.48 136.62 136.55 116.39 116.52 116.45

Par exemple,

1 quel est l’indice de Laspeyres des prix en 2010 base 100 en 2012 ?

Reponse :

LP10/12 =

1002

PP12/10

=1002

136.62' 73.2

2 quel est l’indice de Fisher des quantites en 2010 base 100 en2012 ?

Reponse :

FQ10/12 =

1002

FQ12/10

=1002

116.45' 85.87.



Reversibilite (2)

IV12/10 LP12/10 PP

12/10 FP12/10 LQ

12/10 PQ12/10 FQ

12/10

159.02 136.48 136.62 136.55 116.39 116.52 116.45

Par exemple,


Reponse :

LP10/12 =

1002

PP12/10

=1002

136.62' 73.2


Reponse :

FQ10/12 =

1002

FQ12/10

=1002

116.45' 85.87.



Reversibilite (2)

IV12/10 LP12/10 PP

12/10 FP12/10 LQ

12/10 PQ12/10 FQ

12/10

159.02 136.48 136.62 136.55 116.39 116.52 116.45

Par exemple,


Reponse :

LP10/12 =

1002

PP12/10

=1002

136.62' 73.2


Reponse :

FQ10/12 =

1002

FQ12/10

=1002

116.45' 85.87.



Reversibilite (2)

IV12/10 LP12/10 PP

12/10 FP12/10 LQ

12/10 PQ12/10 FQ

12/10

159.02 136.48 136.62 136.55 116.39 116.52 116.45

Par exemple,


Reponse :

LP10/12 =

1002

PP12/10

=1002

136.62' 73.2


Reponse :

FQ10/12 =

1002

FQ12/10

=1002

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Chapitre 5. Indices élémentaires et synthétiques · t=0 l’indice el ementaire d’une valeur V a la date t base 100 a la date 0 et soit = I t=0 100 > 0 ,la valeur V a augment