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IntroductionSéries trigonométriques

Calcul des coe�cients de FourierSérie de Fourier d'une fonction

Égalité de ParsevalUn exemple : le signal créneau

Chapitre 5 - Séries de Fourier

Paul DARTHOS

Institut supérieur de l'automobile et des transports - NEVERS

7 mai 2020

Paul DARTHOS Chapitre 5 - Séries de Fourier




Joseph Fourier est né le 21 mars 1768 à Auxerre et mort le 16mai 1830 à Paris. Ce scienti�que (mathématicien etphysicien), élève de Joseph-Louis Lagrange, Gaspard Monge etPierre-Simon Laplace puis professeur à l'école Polytechnique,est connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctionspériodiques en séries trigonométriques convergentes, appeléesséries de Fourier. Il a ainsi posé les fondations de l'analyseharmonique, qui consiste en l'étude des signaux comme unesuperposition d'ondes de base, au travers de son étude de lapropagation de la chaleur.





L'idée est de décomposer un signal périodique de période T etde forme quelconque comme somme d'un signal sinusoïdal depériode T (fondamentale) et de signaux sinusoïdaux dont lespériodes sont des diviseurs de T (signaux harmoniques).





L'étude d'une fonction périodique par les séries de Fouriercomprend deux volets :

l'analyse : on part de la fonction périodique et ondétermine la suite de ses coe�cients de Fourier (passagedu continu au discret) ;

la synthèse : on recompose la fonction à l'aide de la suitede ses coe�cients de Fourier (passage du discret aucontinu).





Les séries de Fourier sont très utiles dans l'ingénierie et l'étudede signaux périodiques, notamment des courants électriques,des ondes cérébrales, dans la synthèse sonore ou le traitementd'images.





Généralités sur les séries trigonométriquesConvergence des séries trigonométriques

Dé�nition

On appelle série trigonométrique toute série de fonctions dela forme

∑un, avec :

∀x ∈ R,

{u0(x) =

a02

∀n ∈ N∗, un(x) = an cos(nx) + bn sin(nx).

Notation

Par convention, on notera les sommes partielles d'une sérietrigonométrique sous la forme :a02

+n∑

k=1

[ak cos(kx) + bk sin(kx)] avec b0 = 0.






Dé�nition

Une fonction f : R −→ C, 2π-périodique, est développableen série trigonométrique si elle est limite simple d'une sérietrigonométrique.

Exemple

Les fonctions sin et cos sont développables en sériestrigonométriques.






Théorème

Si la série trigonométrique∑

un converge simplement sur Rvers la fonction f , alors : ∀x ∈ R, f (x) =

∑n∈Z

cneinx avec :

∀n ∈ N,

cn =

an − ibn2

c−n =an + ibn

2

.






Remarque

Attention, comme∑n∈Z

cneinx = lim

N→+∞

N∑n=−N

cneinx , il faut

savoir que le fait que cette somme soit �nie ne signi�e pas

nécessairement que+∞∑n=0

cneinx soit �nie, ni que

0∑n=−∞

cneinx soit

�nie.






Exemple

On s'intéresse à la série trigonométrique∑

qne

inx avecq ∈]− 1 ; 1[.En s'intéressant à sa somme partielle, on a : ∀x ∈ R,

N∑n=0

qne

inx =N∑

n=0

(qeix

)n=

1−(qeix

)N+1

1− qeix.






Exemple

Comme q ∈]− 1 ; 1[, on a :∣∣qeix

∣∣ < 1 donc :

limN→+∞

(qeix

)N+1= 0.

On en déduit :+∞∑n=0

qne

inx =1

1− qeix.

La série trigonométrique converge simplement vers

f : x 7→ 1

1− qeix.






Propriété

Si les séries numériques∑

an et∑

bn sont absolumentconvergentes, alors la série trigonométriquea02

+∑

[an cos(nx) + bn sin(nx)] est normalement

convergente sur R.






Exemple

Les séries trigonométriques∑ cos(nx)

n2et∑ sin(nx)

n2convergent normalement sur R.






Conséquence

Dans les mêmes hypothèses que la propriété précédente, ennotant f la limite simple de la série trigonométrique, on peutdire que f est 2π-périodique et continue sur R.






Propriété

Si les suites numériques (an) et (bn) sont décroissantes vers 0(donc nécessairement positives), alors la série trigonométriquea02

+∑

[an cos(nx) + bn sin(nx)] est :

simplement convergente sur R\{2kπ | k ∈ Z} ;uniformément convergente sur tout intervalle[2kπ + α ; 2(k + 1)π − α] où k ∈ Z et α ∈ ]0 ; π[.






Conséquence

Dans les mêmes hypothèses que la propriété précédente, ennotant f la limite simple de la série trigonométrique, on peutdire que f est 2π-périodique et continue sur R\{2kπ | k ∈ Z}.





Calcul des coe�cients réelsCalcul des coe�cients complexesCas des fonctions T -périodiquesSpectres d'amplitude et de phase

Dé�nition

On dit qu'une fonction f : R −→ C est continue par

morceaux si, sur tout intervalle borné, elle ne possède qu'unnombre �ni de points de discontinuité.






Dé�nition

On dit qu'une fonction f : R −→ C est C1 par morceaux si,sur tout intervalle borné, à l'exception d'un nombre �ni depoints, elle est dérivable et sa dérivée est continue.






Notation

On pose les notations suivantes.

On note E l'espace vectoriel des fonctions dé�nies sur R,2π-périodiques, C1 par morceaux et possédant en toutpoint de discontinuité a, des limites à gauche et à droite.

On note f (a+) et f (a−) les limites à droite et à gauchede f en a.






Dé�nition

On appelle coe�cients de Fourier d'une fonction f ∈ E lesnombres dé�nis par : ∀n ∈ N,

an =1

π

∫ 2π

0

f (t) cos(nt) dt,

bn =1

π

∫ 2π

0

f (t) sin(nt) dt.






Conséquence

On en déduit que, pour toute fonction f ∈ E :

Si f est paire, alors tous les coe�cients bn sont nuls.

Si f est impaire, alors tous les coe�cients an sont nuls,sauf éventuellement a0.






Théorème

Si la série trigonométrique∑

cneinx (avec n ∈ Z) converge

uniformément vers la fonction complexe 2π-périodique f alors :

∀n ∈ Z, cn =1

2π

∫ 2π

0

f (t)e−intdt.






Dé�nition

Le coe�cient cn, parfois noté cn(f ) ou f̂ (n), est appelé len-ième coe�cient de la série de Fourier.

Remarque

Le coe�cient cn(f ) est la valeur moyenne de t 7→ f (t)e−int .En particulier, le coe�cient c0(f ) est égal à la valeur moyennede f .






Conséquence

On a donc la correspondance suivante entre les coe�cients deFourier réels et complexes : ∀n ∈ N,

an = cn + c−n ;

bn = i(cn − c−n).






Dé�nition

La pulsation d'une fonction T -périodique, notée ω, est le

nombre ω =2π

T.






Propriété

On peut généraliser l'étude conduite précédemment auxfonctions T -périodiques, avec les fonctions de baset 7→ cos(nωt) et t 7→ sin(nωt), qui sont égalementT -périodiques.Les coe�cients de Fourier sont, dans ce cas :

∀n ∈ N, an =2

T

∫ T

0

f (t) cos(ωnt) dt ;

∀n ∈ N, bn =2

T

∫ T

0

f (t) sin(ωnt) dt ;

∀n ∈ Z, cn =1

T

∫ T

0

f (t)e−inωtdt ;






Remarque

Toutes les propriétés vues précédemment s'appliquent demême dans le cas où f est T -périodique.






Propriété

La suite de fonctions harmoniques, terme général d'une sérietrigonométrique, dé�nie par :

∀x ∈ R,

{u0(x) =

a02

∀n ∈ N∗, un(x) = an cos(nωx) + bn sin(nωx),

peut s'écrire :

∀x ∈ R,

{u0(x) =

a02

∀n ∈ N∗, un(x) = An cos(nωx + ϕn)où{

An = |zn|ϕn = arg(zn)

avec zn = an − ibn.






Remarque

Ainsi, l'harmonique de rang n est un signal (co)sinusoïdal

d'amplitude An, de périodeT

net donc de fréquence nf , et de

phase à l'origine ϕn.






Dé�nition

Le spectre d'amplitude d'une série trigonométrique est lareprésentation graphique de l'amplitude An d'une composantede base en fonction de sa pulsation nω : c'est un spectre deraies.

Remarque

La première raie, correspondant à n = 0, correspond au doublede la valeur moyenne du signal (composante constante de cesignal).






Dé�nition

Le spectre de phase d'une série trigonométrique est lareprésentation graphique de la phase ϕn d'une composante debase en fonction de sa pulsation nω : c'est également unspectre de raies.





GénéralitésPhénomène de Gibbs

Dé�nition

On appelle série de Fourier de f la série trigonométriquedé�nie par les sommes partielles

SN(f ) : x 7→ a02

+N∑

n=1

[an cos(nx) + bn sin(nx)].






Théorème

Théorème de Dirichlet-Jordan.

Si f ∈ E , alors la série de Fourier de f converge simplement

versg : R −→ C

x 7−→ f (x+) + f (x−)

2

.

Corollaire

Si la fonction f ∈ E est continue en a, alors sa série de Fourierconverge ponctuellement en a vers f (a).

Remarque

L'égalité en un point entre la fonction et sa série de Fourierpermet notamment de calculer certaines séries numériques.






Lorsque l'on s'intéresse à une fonction f de classe C1 parmorceaux (ayant donc un nombre �ni de points dediscontinuité sur une période), nous avons vu que la série deFourier de f converge uniformément vers f sur tout intervallefermé ne contenant pas de point de discontinuité de f . Auvoisinage d'un point de discontinuité x0, il y a un e�et debord : la série de Fourier ne peut pas converger uniformément,cela mettrait en défaut le théorème vu lors de l'étude desséries de fonctions.






En fait, au voisinage de x0, la somme partielle SN (qui estcontinue) subit une forte oscillation, de l'ordre de 9% del'amplitude de la discontinuité (notée ∆y).





Généralités sur l'égalité de ParsevalConséquences de l'égalité de Parseval

Théorème

Pour toute fonction f continue par morceaux et T -périodique,on a :

1

T

∫ T

0

|f (t)|2 dt =∑n∈Z

|cn|2 .






Conséquence

Si f est de plus à valeurs dans R, on a alors :

1

T

∫ T

0

|f (t)|2 dt =1

4a0

2 +1

2

+∞∑n=1

(an

2 + bn2).






Remarque

L'égalité de Parseval met en avant l'égalité du calcul de lapuissance moyenne d'un signal périodique de période T àpartir de sa représentation dans le domaine temporel oufréquentiel.

Remarque

Lorsque l'intégrale est plus facile à calculer que la série,l'égalité de Parseval est un moyen de calculer un certainnombre de séries numériques.






Propriété

Deux fonctions f et g continues T -périodiques ayant lesmêmes coe�cients de Fourier sont égales.






Propriété

Si f est une fonction continue T -périodique, alors la suite(cn(f )) des coe�cients de Fourier de f tend vers 0 lorsque ntend vers ±∞.






Conséquence

Si f est une fonction continue T -périodique de classe Ck ,alors :

cn(f ) = o|n|→+∞

(1

nk

).

Remarque

En résumé : plus une fonction est régulière, plus sescoe�cients de Fourier convergent vite vers 0 !





Présentation du signalCalcul des coe�cients de FourierObservation graphiqueSpectre d'amplitudeDes identités intéressantes

On s'intéresse au � signal créneau � représenté ci-dessous.






On lit graphiquement une expression de la fonction sur

l'intervalle

[−T

2;T

2

], car la fonction est T -périodique :

u : t 7→

−A si t ∈]−T

2; 0

[0 si t ∈

{−T

2; 0 ;

T

2

}A si t ∈

]0 ;

T

2

[ .






La fonction u est donc C1 par morceaux, on peut calculer sescoe�cients de Fourier.






Comme u est trivialement impaire, les coe�cients an sont tousnuls pour n ∈ N∗ et comme de plus la valeur moyenne de u est0 (trivial), on a a0 = 0.






On a ensuite : ∀n ∈ N,

bn =2

T

∫ T2

−T2

u(t) sin(ωnt) dt

= · · · (voir notes de cours)

=2A

nπ(1− (−1)n)






Ainsi, on procède par disjonction des cas selon la parité de n :

si n est pair alors bn = 0 ;

si n est impair alors bn =4A

nπ.






On en tire la série de Fourier associée à u :

+∞∑p=0

4A

(2p + 1)πsin((2p + 1)ωt)

=4A

π

[sin(ωt) +

1

3sin(3ωt) +

1

5sin(5ωt) + · · ·

]






Graphiquement, cela donne les courbes suivantes en choisissantdiverses valeurs de n (et donc de p), ce qui permet d'observerla convergence de la série de Fourier vers le signal créneau.






Ordre n = 7 (p allant de 0 à 3)


















On observe sur ces graphiques l'uniforme convergence de lasérie de Fourier vers la fonction f sur les zones de continuitéet le phénomène de Gibbs au voisinage des points dediscontinuité.






Par simple observation des coe�cients de la série de Fourier,on détermine que :

∀n ∈ N, An =

{0 si n est pair ;4A

nπsi n est impair.

.






On en tire le spectre d'amplitude de ce signal :






On y observe bien que la valeur moyenne de la fonction(correspondant à la moitié de A0) est nulle, et que lesharmoniques impaires ont des amplitudes décroissantes.






En considérant le cas particulier où A = 1 et T = 2π, ons'intéresse à la fonction

u : t 7→

−1 si t ∈]− π ; 0[0 si t ∈ {−π ; 0 ; π}1 si t ∈ ]0 ; π[

sur l'intervalle [−π ; π].






La série de Fourier associée à u est alors :

+∞∑p=0

4

(2p + 1)πsin((2p + 1)t).






On a en particulier l'égalité donnée par le théorème de

Dirichlet appliqué en a =π

2, où la fonction u est continue :

u(π2

)= 1⇐⇒

+∞∑p=0

4

(2p + 1)πsin(

(2p + 1)π

2

)= 1

⇐⇒+∞∑p=0

4× (−1)p

(2p + 1)π= 1

⇐⇒+∞∑p=0

(−1)p

2p + 1=π

4






Remarque

Cette identité, appelée identité de Leibniz, correspond enfait au développement en série de Taylor de la fonction arctanen a = 1.Elle a été découverte en Occident au XVIIe siècle mais étaitdéjà utilisée par le mathématicien indien Madhava (fondateurde la grande école mathématique de la province du Kerala),vers 1400, pour calculer une approximation de π. Il estplausible que les travaux mathématiques indiens ont étéconnus à la �n du XIXe siècle, pendant la colonisation del'Inde par la Grande-Bretagne.






On peut également appliquer l'identité de Parseval à la sériede Fourier de u, qui est bien continue par morceaux et2π-périodique, cela donne :

1

4a0

2 +1

2

+∞∑n=1

(an

2 + bn2)

=1

2π

∫ 2π

0

|u(t)|2 dt

⇐⇒ 1

2

+∞∑p=0

(4

(2p + 1)π

)2

=1

2π

∫ 2π

0

1 dt

⇐⇒ 8

π2

+∞∑p=0

1

(2p + 1)2= 1

⇐⇒+∞∑p=0

1

(2p + 1)2=π2

8






De cette égalité, on tire même la somme de la série numériquede Riemann avec α = 2 :

S =+∞∑n=1

1

n2⇐⇒ S =

+∞∑p=0

1

(2p + 1)2+

+∞∑p=1

1

(2p)2

⇐⇒ S =+∞∑p=0

1

(2p + 1)2+

1

4

+∞∑p=1

1

p2

⇐⇒ S =π2

8+

1

4S

⇐⇒ 3

4S =

π2

8

⇐⇒ S =π2

6


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