Chapitre 6. Déterminant d’une matrice carrée

§1. Cas d’une matrice 2 × 2.

Définition. det

(a b

c d

)2èmeécriture

=

Chapitre 6. Déterminant d’une matrice carrée

§1. Cas d’une matrice 2 × 2.

Définition. det

(a b

c d

)2èmeécriture

=

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣définition

=

Chapitre 6. Déterminant d’une matrice carrée

§1. Cas d’une matrice 2 × 2.

Définition. det

(a b

c d

)2èmeécriture

=

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣définition

= ad − bc .

Exemples.

∣∣∣∣2 11 3

∣∣∣∣ =??, det

(4 1−1 3

)=??

Chapitre 6. Déterminant d’une matrice carrée

§1. Cas d’une matrice 2 × 2.

Définition. det

(a b

c d

)2èmeécriture

=

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣définition

= ad − bc .

Exemples.

∣∣∣∣2 11 3

∣∣∣∣ =??, det

(4 1−1 3

)=??

A quoi ça sert ?

Chapitre 6. Déterminant d’une matrice carrée

§1. Cas d’une matrice 2 × 2.

Définition. det

(a b

c d

)2èmeécriture

=

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣définition

= ad − bc .

Exemples.

∣∣∣∣2 11 3

∣∣∣∣ =??, det

(4 1−1 3

)=??

A quoi ça sert ? Ca sert, à calculer l’inverse de la matrice (si elleexiste), résoudre un système sans faire des échelonnements, testerlié ou libre, base ou pas ...

Chapitre 6. Déterminant d’une matrice carrée

§1. Cas d’une matrice 2 × 2.

Définition. det

(a b

c d

)2èmeécriture

=

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣définition

= ad − bc .

Exemples.

∣∣∣∣2 11 3

∣∣∣∣ =??, det

(4 1−1 3

)=??

A quoi ça sert ? Ca sert, à calculer l’inverse de la matrice (si elleexiste), résoudre un système sans faire des échelonnements, testerlié ou libre, base ou pas ...

Exemple (méthode de Cramer).

(2 11 3

)(x

y

)=

(4−1

)a

comme solution :

Chapitre 6. Déterminant d’une matrice carrée

§1. Cas d’une matrice 2 × 2.

Définition. det

(a b

c d

)2èmeécriture

=

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣définition

= ad − bc .

Exemples.

∣∣∣∣2 11 3

∣∣∣∣ =??, det

(4 1−1 3

)=??

A quoi ça sert ? Ca sert, à calculer l’inverse de la matrice (si elleexiste), résoudre un système sans faire des échelonnements, testerlié ou libre, base ou pas ...

Exemple (méthode de Cramer).

(2 11 3

)(x

y

)=

(4−1

)a

comme solution : x =

∣∣∣∣4 1−1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣2 11 3

∣∣∣∣=?? , y =

∣∣∣∣2 41 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣2 11 3

∣∣∣∣=??

Chapitre 6. Déterminant d’une matrice carrée

§1. Cas d’une matrice 2 × 2.

Définition. det

(a b

c d

)2èmeécriture

=

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣définition

= ad − bc .

Exemples.

∣∣∣∣2 11 3

∣∣∣∣ =??, det

(4 1−1 3

)=??

A quoi ça sert ? Ca sert, à calculer l’inverse de la matrice (si elleexiste), résoudre un système sans faire des échelonnements, testerlié ou libre, base ou pas ...

Exemple (méthode de Cramer).

(2 11 3

)(x

y

)=

(4−1

)a

comme solution : x =

∣∣∣∣4 1−1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣2 11 3

∣∣∣∣=?? , y =

∣∣∣∣2 41 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣2 11 3

∣∣∣∣=??

(x =13

5, y = −

6

5)

Exemple (méthode de Cramer).

(2 11 3

)(x

y

)=

(4−1

)a

comme solution : x =

∣∣∣∣4 1−1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣2 11 3

∣∣∣∣=

13

5, y =

∣∣∣∣2 41 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣2 11 3

∣∣∣∣= −

6

5.

Exo. Résoudre

(2 11 1

)(x

y

)=

(4−1

), puis

(a b

c d

)(x

y

)=

(s

t

)

Exemple (méthode de Cramer).

(2 11 3

)(x

y

)=

(4−1

)a

comme solution : x =

∣∣∣∣4 1−1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣2 11 3

∣∣∣∣=

13

5, y =

∣∣∣∣2 41 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣2 11 3

∣∣∣∣= −

6

5.

Exo. Résoudre

(2 11 1

)(x

y

)=

(4−1

), puis

(a b

c d

)(x

y

)=

(s

t

)

Théorème de matrice inverse.

(a b

c d

)−1

=1∣∣∣∣

a b

c d

∣∣∣∣

(d −b

−c a

).

Exemple (méthode de Cramer).

(2 11 3

)(x

y

)=

(4−1

)a

comme solution : x =

∣∣∣∣4 1−1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣2 11 3

∣∣∣∣=

13

5, y =

∣∣∣∣2 41 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣2 11 3

∣∣∣∣= −

6

5.

Exo. Résoudre

(2 11 1

)(x

y

)=

(4−1

), puis

(a b

c d

)(x

y

)=

(s

t

)

Théorème de matrice inverse.

(a b

c d

)−1

=1∣∣∣∣

a b

c d

∣∣∣∣

(d −b

−c a

).

Preuve. Il suffit de multiplier... .

Exemple (méthode de Cramer).

(2 11 3

)(x

y

)=

(4−1

)a

comme solution : x =

∣∣∣∣4 1−1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣2 11 3

∣∣∣∣=

13

5, y =

∣∣∣∣2 41 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣2 11 3

∣∣∣∣= −

6

5.

Exo. Résoudre

(2 11 1

)(x

y

)=

(4−1

), puis

(a b

c d

)(x

y

)=

(s

t

)

Théorème de matrice inverse.

(a b

c d

)−1

=1∣∣∣∣

a b

c d

∣∣∣∣

(d −b

−c a

).

Preuve. Il suffit de multiplier... .

Exo. Calculer

(2 01 3

)−1

,

(2 −11 1

)−1

,

(2 14 2

)−1

.

§2. Déterminant 3 × 3 et n × n

Rappel.

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣ = ad − bc . Définition.∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣

§2. Déterminant 3 × 3 et n × n

Rappel.

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣ = ad − bc . Définition.∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣suivant=

la 1e

col.

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣=

§2. Déterminant 3 × 3 et n × n

Rappel.

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣ = ad − bc . Définition.∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣suivant=

la 1e

col.

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣= a ·

∣∣∣∣e f

h i

∣∣∣∣+

§2. Déterminant 3 × 3 et n × n

Rappel.

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣ = ad − bc . Définition.∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣suivant=

la 1e

col.

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣= a ·

∣∣∣∣e f

h i

∣∣∣∣+(−d) ·

∣∣∣∣b c

h i

∣∣∣∣+

§2. Déterminant 3 × 3 et n × n

Rappel.

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣ = ad − bc . Définition.∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣suivant=

la 1e

col.

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣= a ·

∣∣∣∣e f

h i

∣∣∣∣+(−d) ·

∣∣∣∣b c

h i

∣∣∣∣+ g ·

∣∣∣∣b c

e f

∣∣∣∣

§2. Déterminant 3 × 3 et n × n

Rappel.

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣ = ad − bc . Définition.∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣suivant=

la 1e

col.

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣= a ·

∣∣∣∣e f

h i

∣∣∣∣+(−d) ·

∣∣∣∣b c

h i

∣∣∣∣+ g ·

∣∣∣∣b c

e f

∣∣∣∣

ou bien (on obtient le même résultat)

suivant=

la 1e ligne

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣=

§2. Déterminant 3 × 3 et n × n

Rappel.

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣ = ad − bc . Définition.∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣suivant=

la 1e

col.

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣= a ·

∣∣∣∣e f

h i

∣∣∣∣+(−d) ·

∣∣∣∣b c

h i

∣∣∣∣+ g ·

∣∣∣∣b c

e f

∣∣∣∣

ou bien (on obtient le même résultat)

suivant=

la 1e ligne

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣= a ·

∣∣∣∣e f

h i

∣∣∣∣+

§2. Déterminant 3 × 3 et n × n

Rappel.

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣ = ad − bc . Définition.∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣suivant=

la 1e

col.

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣= a ·

∣∣∣∣e f

h i

∣∣∣∣+(−d) ·

∣∣∣∣b c

h i

∣∣∣∣+ g ·

∣∣∣∣b c

e f

∣∣∣∣

ou bien (on obtient le même résultat)

suivant=

la 1e ligne

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣= a ·

∣∣∣∣e f

h i

∣∣∣∣+ (−b) ·

∣∣∣∣d f

g i

∣∣∣∣+ c ·

∣∣∣∣d e

g h

∣∣∣∣.

Exemple. Calculer

∣∣∣∣∣∣

2 −1 10 2 −10 1 0

∣∣∣∣∣∣par les deux méthodes.

Calculer

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 0 0100 2 −1 1a 0 2 −1π 0 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣.

§3. Lié ou libre ?

Théorème. Soit A une matrice carrée. Il suffit de vérifier sidet A = 0 ou pas pour répondre aux question suivantes :

det A 6= 0 det A = 0

§3. Lié ou libre ?

Théorème. Soit A une matrice carrée. Il suffit de vérifier sidet A = 0 ou pas pour répondre aux question suivantes :

det A 6= 0 det A = 0

Le système A~x = ~b admet-il une unique sol. ?

§3. Lié ou libre ?

Théorème. Soit A une matrice carrée. Il suffit de vérifier sidet A = 0 ou pas pour répondre aux question suivantes :

det A 6= 0 det A = 0

Le système A~x = ~b admet-il une unique sol. ? Oui Non

§3. Lié ou libre ?

Théorème. Soit A une matrice carrée. Il suffit de vérifier sidet A = 0 ou pas pour répondre aux question suivantes :

det A 6= 0 det A = 0

Le système A~x = ~b admet-il une unique sol. ? Oui Non

Est-ce que la matrice A est inversible ?

§3. Lié ou libre ?

Théorème. Soit A une matrice carrée. Il suffit de vérifier sidet A = 0 ou pas pour répondre aux question suivantes :

det A 6= 0 det A = 0

Le système A~x = ~b admet-il une unique sol. ? Oui Non

Est-ce que la matrice A est inversible ? Oui Non

§3. Lié ou libre ?

Théorème. Soit A une matrice carrée. Il suffit de vérifier sidet A = 0 ou pas pour répondre aux question suivantes :

det A 6= 0 det A = 0

Le système A~x = ~b admet-il une unique sol. ? Oui Non

Est-ce que la matrice A est inversible ? Oui Non

Les colonnes de A sont-elles liées ou libres ?

§3. Lié ou libre ?

Théorème. Soit A une matrice carrée. Il suffit de vérifier sidet A = 0 ou pas pour répondre aux question suivantes :

det A 6= 0 det A = 0

Le système A~x = ~b admet-il une unique sol. ? Oui Non

Est-ce que la matrice A est inversible ? Oui Non

Les colonnes de A sont-elles liées ou libres ? libres liées

Les colonnes de A forment-elles une base ?Les colonnes de A sont-elles génératrices ?

§3. Lié ou libre ?

Théorème. Soit A une matrice carrée. Il suffit de vérifier sidet A = 0 ou pas pour répondre aux question suivantes :

det A 6= 0 det A = 0

Le système A~x = ~b admet-il une unique sol. ? Oui Non

Est-ce que la matrice A est inversible ? Oui Non

Les colonnes de A sont-elles liées ou libres ? libres liées

Les colonnes de A forment-elles une base ?Les colonnes de A sont-elles génératrices ? Oui Non

§3. Lié ou libre ?

Théorème. Soit A une matrice carrée. Il suffit de vérifier sidet A = 0 ou pas pour répondre aux question suivantes :

det A 6= 0 det A = 0

Le système A~x = ~b admet-il une unique sol. ? Oui Non

Est-ce que la matrice A est inversible ? Oui Non

Les colonnes de A sont-elles liées ou libres ? libres liées

Les colonnes de A forment-elles une base ?Les colonnes de A sont-elles génératrices ? Oui Non

Soit f : Rn → Rn de matrice A

§3. Lié ou libre ?

Théorème. Soit A une matrice carrée. Il suffit de vérifier sidet A = 0 ou pas pour répondre aux question suivantes :

det A 6= 0 det A = 0

Le système A~x = ~b admet-il une unique sol. ? Oui Non

Est-ce que la matrice A est inversible ? Oui Non

Les colonnes de A sont-elles liées ou libres ? libres liées

Les colonnes de A forment-elles une base ?Les colonnes de A sont-elles génératrices ? Oui Non

Soit f : Rn → Rn de matrice A

Est-ce que f est bijective ?Est-ce que f est injective ?Est-ce que f est surjective ?

§3. Lié ou libre ?

Théorème. Soit A une matrice carrée. Il suffit de vérifier sidet A = 0 ou pas pour répondre aux question suivantes :

det A 6= 0 det A = 0

Le système A~x = ~b admet-il une unique sol. ? Oui Non

Est-ce que la matrice A est inversible ? Oui Non

Les colonnes de A sont-elles liées ou libres ? libres liées

Les colonnes de A forment-elles une base ?Les colonnes de A sont-elles génératrices ? Oui Non

Soit f : Rn → Rn de matrice A

Est-ce que f est bijective ?Est-ce que f est injective ?Est-ce que f est surjective ? Oui Non

Exemples. A =

2 −1 10 2 −10 1 0

,

0 −1 11 2 −11 1 0

et

1 a b

0 2 c

0 0 3

.

Cas non carrée

Théorème de famille libre. Soit k ≤ n. Alors k vecteurs~v1,~v2, · · · ,~vk de Rn forment une famille libre si

Exemples. A =

2 −1 10 2 −10 1 0

,

0 −1 11 2 −11 1 0

et

1 a b

0 2 c

0 0 3

.

Cas non carrée

Théorème de famille libre. Soit k ≤ n. Alors k vecteurs~v1,~v2, · · · ,~vk de Rn forment une famille libre si l’une des sousmatrices carrées de taille maximale de la matrice (~v1,~v2, · · · ,~vk)est de déterminant non-nulle.

Exemples. A =

2 −1 10 2 −10 1 0

,

0 −1 11 2 −11 1 0

et

1 a b

0 2 c

0 0 3

.

Cas non carrée

Théorème de famille libre. Soit k ≤ n. Alors k vecteurs~v1,~v2, · · · ,~vk de Rn forment une famille libre si l’une des sousmatrices carrées de taille maximale de la matrice (~v1,~v2, · · · ,~vk)est de déterminant non-nulle.

Exo 1 :

112

et

012

. Exo 2 : les colonnes de

1 0 00 1 00 0 12 2 2

.

Donner un énoncé similaire dans le cas k ≥ n. Donner desexemples.

§4. Formule pour la matrice inverse

Les théorèmes précédents se démontrent à l’aide de la formulesuivante :

Pour les matrices 2 × 2.(

a b

c d

)−1

=1

ad − bc

(d −b

−c a

)=

1

ad − bct

(d −c

−b a

).

Pour A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

. On lui associe sa comatrice

Com(A) =

+M11 −M12 +M13

−M21 +M22 −M23

+M31 −M32 +M33

, où Mij est le déterminant de

la sous matrice de A en supprimant dans A la i-ème ligne et laj-ème colonne. La formule est alors

A−1 =1

det AtCom(A), si det A 6= 0 .

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, Com(A) =

+M11 −M12 +M13

−M21 +M22 −M23

+M31 −M32 +M33

, où

M21 =

∣∣∣∣a12 a13

a32 a33

∣∣∣∣, etc. ,

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, Com(A) =

+M11 −M12 +M13

−M21 +M22 −M23

+M31 −M32 +M33

, où

M21 =

∣∣∣∣a12 a13

a32 a33

∣∣∣∣, etc. , et A−1 =1

det AtCom(A), si det A 6= 0.

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, Com(A) =

+M11 −M12 +M13

−M21 +M22 −M23

+M31 −M32 +M33

, où

M21 =

∣∣∣∣a12 a13

a32 a33

∣∣∣∣, etc. , et A−1 =1

det AtCom(A), si det A 6= 0.

Exemple. A =

1 0 01 3 12 2 1

, Com(A) =

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, Com(A) =

+M11 −M12 +M13

−M21 +M22 −M23

+M31 −M32 +M33

, où

M21 =

∣∣∣∣a12 a13

a32 a33

∣∣∣∣, etc. , et A−1 =1

det AtCom(A), si det A 6= 0.

Exemple. A =

1 0 01 3 12 2 1

, Com(A) =

1 1 −40 1 −20 −1 3

,

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, Com(A) =

+M11 −M12 +M13

−M21 +M22 −M23

+M31 −M32 +M33

, où

M21 =

∣∣∣∣a12 a13

a32 a33

∣∣∣∣, etc. , et A−1 =1

det AtCom(A), si det A 6= 0.

Exemple. A =

1 0 01 3 12 2 1

, Com(A) =

1 1 −40 1 −20 −1 3

, det A = 1,

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, Com(A) =

+M11 −M12 +M13

−M21 +M22 −M23

+M31 −M32 +M33

, où

M21 =

∣∣∣∣a12 a13

a32 a33

∣∣∣∣, etc. , et A−1 =1

det AtCom(A), si det A 6= 0.

Exemple. A =

1 0 01 3 12 2 1

, Com(A) =

1 1 −40 1 −20 −1 3

, det A = 1,

et A−1 =1

det AtCom(A) =

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

, Com(A) =

+M11 −M12 +M13

−M21 +M22 −M23

+M31 −M32 +M33

, où

M21 =

∣∣∣∣a12 a13

a32 a33

∣∣∣∣, etc. , et A−1 =1

det AtCom(A), si det A 6= 0.

Exemple. A =

1 0 01 3 12 2 1

, Com(A) =

1 1 −40 1 −20 −1 3

, det A = 1,

et A−1 =1

det AtCom(A) =

1 0 01 1 −1−4 −2 3

.

Voici les 4 étapes pour calculer A−1 :

– Calculer les ’mineurs’ Mij

– rajouter les signes (en alternant) pour former Com(A)

– transposer la comatrice

– diviser par det A.

§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants

• det( tA) = det A. Exemple.

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣ =∣∣∣∣a c

b d

∣∣∣∣.

§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants

• det( tA) = det A. Exemple.

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣ =∣∣∣∣a c

b d

∣∣∣∣.• det(AB) = det A · det B = det(BA)

§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants

• det( tA) = det A. Exemple.

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣ =∣∣∣∣a c

b d

∣∣∣∣.• det(AB) = det A · det B = det(BA)• det(A−1) = (det A)−1 si A inversible.

§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants

• det( tA) = det A. Exemple.

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣ =∣∣∣∣a c

b d

∣∣∣∣.• det(AB) = det A · det B = det(BA)• det(A−1) = (det A)−1 si A inversible.

• Triangulaire :

∣∣∣∣∣∣

a ∗ ∗0 b ∗0 0 c

∣∣∣∣∣∣produit des élém.

=sur la diagonale

§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants

• det( tA) = det A. Exemple.

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣ =∣∣∣∣a c

b d

∣∣∣∣.• det(AB) = det A · det B = det(BA)• det(A−1) = (det A)−1 si A inversible.

• Triangulaire :

∣∣∣∣∣∣

a ∗ ∗0 b ∗0 0 c

∣∣∣∣∣∣produit des élém.

=sur la diagonale

abc .

∣∣∣∣∣∣

1 1 −2

0 1 −1

0 0 1

∣∣∣∣∣∣=??

§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants

• det( tA) = det A. Exemple.

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣ =∣∣∣∣a c

b d

∣∣∣∣.• det(AB) = det A · det B = det(BA)• det(A−1) = (det A)−1 si A inversible.

• Triangulaire :

∣∣∣∣∣∣

a ∗ ∗0 b ∗0 0 c

∣∣∣∣∣∣produit des élém.

=sur la diagonale

abc .

∣∣∣∣∣∣

1 1 −2

0 1 −1

0 0 1

∣∣∣∣∣∣=??

• Echanger 2 lignes/colonnes fait changer le signe du déterminant.

§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants

• det( tA) = det A. Exemple.

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣ =∣∣∣∣a c

b d

∣∣∣∣.• det(AB) = det A · det B = det(BA)• det(A−1) = (det A)−1 si A inversible.

• Triangulaire :

∣∣∣∣∣∣

a ∗ ∗0 b ∗0 0 c

∣∣∣∣∣∣produit des élém.

=sur la diagonale

abc .

∣∣∣∣∣∣

1 1 −2

0 1 −1

0 0 1

∣∣∣∣∣∣=??

• Echanger 2 lignes/colonnes fait changer le signe du déterminant.

Exemple.

∣∣∣∣∣∣

1 1 −21 1 −11 0 0

∣∣∣∣∣∣permuter

=ℓ1!ℓ3

§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants

• det( tA) = det A. Exemple.

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣ =∣∣∣∣a c

b d

∣∣∣∣.• det(AB) = det A · det B = det(BA)• det(A−1) = (det A)−1 si A inversible.

• Triangulaire :

∣∣∣∣∣∣

a ∗ ∗0 b ∗0 0 c

∣∣∣∣∣∣produit des élém.

=sur la diagonale

abc .

∣∣∣∣∣∣

1 1 −2

0 1 −1

0 0 1

∣∣∣∣∣∣=??

• Echanger 2 lignes/colonnes fait changer le signe du déterminant.

Exemple.

∣∣∣∣∣∣

1 1 −21 1 −11 0 0

∣∣∣∣∣∣permuter

=ℓ1!ℓ3

−

∣∣∣∣∣∣

1 0 01 1 −11 1 −2

∣∣∣∣∣∣permuter

=C2!C3

??

§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants

• det( tA) = det A. Exemple.

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣ =∣∣∣∣a c

b d

∣∣∣∣.• det(AB) = det A · det B = det(BA)• det(A−1) = (det A)−1 si A inversible.

• Triangulaire :

∣∣∣∣∣∣

a ∗ ∗0 b ∗0 0 c

∣∣∣∣∣∣produit des élém.

=sur la diagonale

abc .

∣∣∣∣∣∣

1 1 −2

0 1 −1

0 0 1

∣∣∣∣∣∣=??

• Echanger 2 lignes/colonnes fait changer le signe du déterminant.

Exemple.

∣∣∣∣∣∣

1 1 −21 1 −11 0 0

∣∣∣∣∣∣permuter

=ℓ1!ℓ3

−

∣∣∣∣∣∣

1 0 01 1 −11 1 −2

∣∣∣∣∣∣permuter

=C2!C3

??

• Facteur commun :

∣∣∣∣∣∣

λa b c

λd e f

λg h i

∣∣∣∣∣∣sortir un facteur

=d’une colonne

§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants

• det( tA) = det A. Exemple.

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣ =∣∣∣∣a c

b d

∣∣∣∣.• det(AB) = det A · det B = det(BA)• det(A−1) = (det A)−1 si A inversible.

• Triangulaire :

∣∣∣∣∣∣

a ∗ ∗0 b ∗0 0 c

∣∣∣∣∣∣produit des élém.

=sur la diagonale

abc .

∣∣∣∣∣∣

1 1 −2

0 1 −1

0 0 1

∣∣∣∣∣∣=??

• Echanger 2 lignes/colonnes fait changer le signe du déterminant.

Exemple.

∣∣∣∣∣∣

1 1 −21 1 −11 0 0

∣∣∣∣∣∣permuter

=ℓ1!ℓ3

−

∣∣∣∣∣∣

1 0 01 1 −11 1 −2

∣∣∣∣∣∣permuter

=C2!C3

??

• Facteur commun :

∣∣∣∣∣∣

λa b c

λd e f

λg h i

∣∣∣∣∣∣sortir un facteur

=d’une colonne

λ

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣.

§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants

• det( tA) = det A. Exemple.

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣ =∣∣∣∣a c

b d

∣∣∣∣.• det(AB) = det A · det B = det(BA)• det(A−1) = (det A)−1 si A inversible.

• Triangulaire :

∣∣∣∣∣∣

a ∗ ∗0 b ∗0 0 c

∣∣∣∣∣∣produit des élém.

=sur la diagonale

abc .

∣∣∣∣∣∣

1 1 −2

0 1 −1

0 0 1

∣∣∣∣∣∣=??

• Echanger 2 lignes/colonnes fait changer le signe du déterminant.

Exemple.

∣∣∣∣∣∣

1 1 −21 1 −11 0 0

∣∣∣∣∣∣permuter

=ℓ1!ℓ3

−

∣∣∣∣∣∣

1 0 01 1 −11 1 −2

∣∣∣∣∣∣permuter

=C2!C3

??

• Facteur commun :

∣∣∣∣∣∣

λa b c

λd e f

λg h i

∣∣∣∣∣∣sortir un facteur

=d’une colonne

λ

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣.

Exemple.

∣∣∣∣∣∣

101 0 0101 0 −1101 1 −2

∣∣∣∣∣∣=

§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants

• det( tA) = det A. Exemple.

∣∣∣∣a b

c d

∣∣∣∣ =∣∣∣∣a c

b d

∣∣∣∣.• det(AB) = det A · det B = det(BA)• det(A−1) = (det A)−1 si A inversible.

• Triangulaire :

∣∣∣∣∣∣

a ∗ ∗0 b ∗0 0 c

∣∣∣∣∣∣produit des élém.

=sur la diagonale

abc .

∣∣∣∣∣∣

1 1 −2

0 1 −1

0 0 1

∣∣∣∣∣∣=??

• Echanger 2 lignes/colonnes fait changer le signe du déterminant.

Exemple.

∣∣∣∣∣∣

1 1 −21 1 −11 0 0

∣∣∣∣∣∣permuter

=ℓ1!ℓ3

−

∣∣∣∣∣∣

1 0 01 1 −11 1 −2

∣∣∣∣∣∣permuter

=C2!C3

??

• Facteur commun :

∣∣∣∣∣∣

λa b c

λd e f

λg h i

∣∣∣∣∣∣sortir un facteur

=d’une colonne

λ

∣∣∣∣∣∣

a b c

d e f

g h i

∣∣∣∣∣∣.

Exemple.

∣∣∣∣∣∣

101 0 0101 0 −1101 1 −2

∣∣∣∣∣∣= 101

∣∣∣∣∣∣

1 0 01 0 −11 1 −2

∣∣∣∣∣∣= 101 .

•∣∣∣~a, ~b,~c

∣∣∣ C3 C3+λC2=

•∣∣∣~a, ~b,~c

∣∣∣ C3 C3+λC2=∣∣∣~a, ~b,~c + λ~b

∣∣∣. L’opération peut s’effectuer

sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.

•∣∣∣~a, ~b,~c

∣∣∣ C3 C3+λC2=∣∣∣~a, ~b,~c + λ~b

∣∣∣. L’opération peut s’effectuer

sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.

Ex.

∣∣∣∣∣∣

2a b a

2c d c

2e f e

∣∣∣∣∣∣

•∣∣∣~a, ~b,~c

∣∣∣ C3 C3+λC2=∣∣∣~a, ~b,~c + λ~b

∣∣∣. L’opération peut s’effectuer

sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.

Ex.

∣∣∣∣∣∣

2a b a

2c d c

2e f e

∣∣∣∣∣∣=

C1 C1−2C3

•∣∣∣~a, ~b,~c

∣∣∣ C3 C3+λC2=∣∣∣~a, ~b,~c + λ~b

∣∣∣. L’opération peut s’effectuer

sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.

Ex.

∣∣∣∣∣∣

2a b a

2c d c

2e f e

∣∣∣∣∣∣=

C1 C1−2C3

∣∣∣∣∣∣

0 b a

0 d c

0 f e

∣∣∣∣∣∣

•∣∣∣~a, ~b,~c

∣∣∣ C3 C3+λC2=∣∣∣~a, ~b,~c + λ~b

∣∣∣. L’opération peut s’effectuer

sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.

Ex.

∣∣∣∣∣∣

2a b a

2c d c

2e f e

∣∣∣∣∣∣=

C1 C1−2C3

∣∣∣∣∣∣

0 b a

0 d c

0 f e

∣∣∣∣∣∣= 0.

•∣∣∣~a, ~b,~c

∣∣∣ C3 C3+λC2=∣∣∣~a, ~b,~c + λ~b

∣∣∣. L’opération peut s’effectuer

sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.

Ex.

∣∣∣∣∣∣

2a b a

2c d c

2e f e

∣∣∣∣∣∣=

C1 C1−2C3

∣∣∣∣∣∣

0 b a

0 d c

0 f e

∣∣∣∣∣∣= 0.

• Si deux lignes (ou colonnes) sont identiques ou proportionnelles,le déterminant est nul (et les vecteurs sont liés, évidemment).

•∣∣∣~v1 + ~v2,~a, ~b

∣∣∣ décomposer=

une colonne

∣∣∣~v1,~a, ~b∣∣∣+

∣∣∣~v2,~a, ~b∣∣∣.

•∣∣∣~a, ~b,~c

∣∣∣ C3 C3+λC2=∣∣∣~a, ~b,~c + λ~b

∣∣∣. L’opération peut s’effectuer

sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.

Ex.

∣∣∣∣∣∣

2a b a

2c d c

2e f e

∣∣∣∣∣∣=

C1 C1−2C3

∣∣∣∣∣∣

0 b a

0 d c

0 f e

∣∣∣∣∣∣= 0.

• Si deux lignes (ou colonnes) sont identiques ou proportionnelles,le déterminant est nul (et les vecteurs sont liés, évidemment).

•∣∣∣~v1 + ~v2,~a, ~b

∣∣∣ décomposer=

une colonne

∣∣∣~v1,~a, ~b∣∣∣+

∣∣∣~v2,~a, ~b∣∣∣.

Réciproquement

∣∣∣∣~v1,~a, ~b

∣∣∣∣+∣∣∣~v2,~a, ~b

∣∣∣ additionner=

•∣∣∣~a, ~b,~c

∣∣∣ C3 C3+λC2=∣∣∣~a, ~b,~c + λ~b

∣∣∣. L’opération peut s’effectuer

sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.

Ex.

∣∣∣∣∣∣

2a b a

2c d c

2e f e

∣∣∣∣∣∣=

C1 C1−2C3

∣∣∣∣∣∣

0 b a

0 d c

0 f e

∣∣∣∣∣∣= 0.

• Si deux lignes (ou colonnes) sont identiques ou proportionnelles,le déterminant est nul (et les vecteurs sont liés, évidemment).

•∣∣∣~v1 + ~v2,~a, ~b

∣∣∣ décomposer=

une colonne

∣∣∣~v1,~a, ~b∣∣∣+

∣∣∣~v2,~a, ~b∣∣∣.

Réciproquement

∣∣∣∣~v1,~a, ~b

∣∣∣∣+∣∣∣~v2,~a, ~b

∣∣∣ additionner=

∣∣∣~v1 + ~v2,~a, ~b∣∣∣.

•∣∣∣~a, ~b,~c

∣∣∣ C3 C3+λC2=∣∣∣~a, ~b,~c + λ~b

∣∣∣. L’opération peut s’effectuer

sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.

Ex.

∣∣∣∣∣∣

2a b a

2c d c

2e f e

∣∣∣∣∣∣=

C1 C1−2C3

∣∣∣∣∣∣

0 b a

0 d c

0 f e

∣∣∣∣∣∣= 0.

• Si deux lignes (ou colonnes) sont identiques ou proportionnelles,le déterminant est nul (et les vecteurs sont liés, évidemment).

•∣∣∣~v1 + ~v2,~a, ~b

∣∣∣ décomposer=

une colonne

∣∣∣~v1,~a, ~b∣∣∣+

∣∣∣~v2,~a, ~b∣∣∣.

Réciproquement

∣∣∣∣~v1,~a, ~b

∣∣∣∣+∣∣∣~v2,~a, ~b

∣∣∣ additionner=

∣∣∣~v1 + ~v2,~a, ~b∣∣∣.

La décomposition, ou l’addition, peut s’effectuer sur une autrecolonne ou une ligne.

•∣∣∣~a, ~b,~c

∣∣∣ C3 C3+λC2=∣∣∣~a, ~b,~c + λ~b

∣∣∣. L’opération peut s’effectuer

sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.

Ex.

∣∣∣∣∣∣

2a b a

2c d c

2e f e

∣∣∣∣∣∣=

C1 C1−2C3

∣∣∣∣∣∣

0 b a

0 d c

0 f e

∣∣∣∣∣∣= 0.

• Si deux lignes (ou colonnes) sont identiques ou proportionnelles,le déterminant est nul (et les vecteurs sont liés, évidemment).

•∣∣∣~v1 + ~v2,~a, ~b

∣∣∣ décomposer=

une colonne

∣∣∣~v1,~a, ~b∣∣∣+

∣∣∣~v2,~a, ~b∣∣∣.

Réciproquement

∣∣∣∣~v1,~a, ~b

∣∣∣∣+∣∣∣~v2,~a, ~b

∣∣∣ additionner=

∣∣∣~v1 + ~v2,~a, ~b∣∣∣.

La décomposition, ou l’addition, peut s’effectuer sur une autrecolonne ou une ligne.

Ex.

∣∣∣∣∣∣

1 + 0 1 00 + 0 3 20 − 1 −1 1

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

1 1 00 3 20 −1 1

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

0 1 00 3 2−1 −1 1

∣∣∣∣∣∣.

•∣∣∣~a, ~b,~c

∣∣∣ C3 C3+λC2=∣∣∣~a, ~b,~c + λ~b

∣∣∣. L’opération peut s’effectuer

sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.

Ex.

∣∣∣∣∣∣

2a b a

2c d c

2e f e

∣∣∣∣∣∣=

C1 C1−2C3

∣∣∣∣∣∣

0 b a

0 d c

0 f e

∣∣∣∣∣∣= 0.

• Si deux lignes (ou colonnes) sont identiques ou proportionnelles,le déterminant est nul (et les vecteurs sont liés, évidemment).

•∣∣∣~v1 + ~v2,~a, ~b

∣∣∣ décomposer=

une colonne

∣∣∣~v1,~a, ~b∣∣∣+

∣∣∣~v2,~a, ~b∣∣∣.

Réciproquement

∣∣∣∣~v1,~a, ~b

∣∣∣∣+∣∣∣~v2,~a, ~b

∣∣∣ additionner=

∣∣∣~v1 + ~v2,~a, ~b∣∣∣.

La décomposition, ou l’addition, peut s’effectuer sur une autrecolonne ou une ligne.

Ex.

∣∣∣∣∣∣

1 + 0 1 00 + 0 3 20 − 1 −1 1

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

1 1 00 3 20 −1 1

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣

0 1 00 3 2−1 −1 1

∣∣∣∣∣∣.

Preuve de la méthode de Cramer

Preuve dans le cas d’une matrice A de taille 3 × 3. On supposedet(A) 6= 0. On veut résoudre le système A~x = ~b, qui admet une

unique solution

x

y

z

. On exprime A en vecteurs colonnes :

A =(~v1,~v2,~v3

). Donc

(~v1,~v2,~v3

)

x

y

z

= ~b,

ou bien, sous forme de combinaison linéaire : x~v1+ y~v2 + z~v3 = ~b.

Maintenant

det(~b,~v2,~v3) = det(x~v1 + y~v2 + z~v3,~v2,~v3)décomposer

=la colonne C1

det(x~v1,~v2,~v3) + det(y~v2,~v2,~v3) + det(z~v3,~v2,~v3) =

x det(~v1,~v2,~v3) + 0 + 0 = x det A. Donc x =det(~b,~v2,~v3)

det(A).

Exo. Retrouver y et z de manière similaire. Faire la preuve pour unematrice de taille n × n.

§6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dans R2 représente l’aire signé duparallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent

§6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dans R2 représente l’aire signé duparallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointentdans la même direction ou bien

§6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dans R2 représente l’aire signé duparallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointentdans la même direction ou bien dans les directions opposées, ensomme

§6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dans R2 représente l’aire signé duparallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointentdans la même direction ou bien dans les directions opposées, ensomme ssi ces deux vecteurs sont co-linéairs (liés).

§6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dans R2 représente l’aire signé duparallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointentdans la même direction ou bien dans les directions opposées, ensomme ssi ces deux vecteurs sont co-linéairs (liés).

On peux faire une preuve dans le premier quadrant.

§6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dans R2 représente l’aire signé duparallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointentdans la même direction ou bien dans les directions opposées, ensomme ssi ces deux vecteurs sont co-linéairs (liés).

On peux faire une preuve dans le premier quadrant.

Le déterminant de trois vecteurs dans R3 représente

§6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dans R2 représente l’aire signé duparallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointentdans la même direction ou bien dans les directions opposées, ensomme ssi ces deux vecteurs sont co-linéairs (liés).

On peux faire une preuve dans le premier quadrant.

Le déterminant de trois vecteurs dans R3 représente le volumesigné du parallélépipède engendré. Il est nul ssi ces trois vecteurssont

§6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dans R2 représente l’aire signé duparallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointentdans la même direction ou bien dans les directions opposées, ensomme ssi ces deux vecteurs sont co-linéairs (liés).

On peux faire une preuve dans le premier quadrant.

Le déterminant de trois vecteurs dans R3 représente le volumesigné du parallélépipède engendré. Il est nul ssi ces trois vecteurssont co-planaires, ou encore

§6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dans R2 représente l’aire signé duparallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointentdans la même direction ou bien dans les directions opposées, ensomme ssi ces deux vecteurs sont co-linéairs (liés).

On peux faire une preuve dans le premier quadrant.

Le déterminant de trois vecteurs dans R3 représente le volumesigné du parallélépipède engendré. Il est nul ssi ces trois vecteurssont co-planaires, ou encore liés.

libres ⇐⇒ volume 6= 0 ⇐⇒ det 6= 0.

liés ⇐⇒ volume = 0 ⇐⇒ det = 0.

Une base {~a1, · · · ,~an} est dite base directe si det(~a1, · · · ,~an) > 0,et base indirecte sinon. Tester cette notion sur {~e1,~e2,~e3} et{~e1,~e3,~e2}.

Produit scalaire de deux vecteurs

u1

...un

.

v1

...vn

= u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn, et ~u · ~v = 0 ssi orthogonal.

Opérateur chapeau dans R2 :

(̂x

y

)=

(−y

x

). Il est conçu pour

transformer le déterminant en produit scalaire :

det(~u,~v) =

∣∣∣∣u1 v1

u2 v2

∣∣∣∣ = u1v2 − u2v1 =

(−u2

u1

)·

(v1

v2

)= ~̂u · ~v .

Produit vectoriel dans R3 : ~u ∧ ~v joue le même rôle :

det(~u,~v, ~w) = (~u ∧ ~v) · ~w .

Preuve. Développer suivant la dernière colonne...

Produit scalaire de deux vecteurs

u1

...un

.

v1

...vn

= u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn, et ~u · ~v = 0 ssi orthogonal.

Opérateur chapeau dans R2 :

(̂x

y

)=

(−y

x

). Il est conçu pour

transformer le déterminant en produit scalaire :

det(~u,~v) =

∣∣∣∣u1 v1

u2 v2

∣∣∣∣ = u1v2 − u2v1 =

(−u2

u1

)·

(v1

v2

)= ~̂u · ~v .

Produit vectoriel dans R3 : ~u ∧ ~v joue le même rôle :

det(~u,~v, ~w) = (~u ∧ ~v) · ~w .

Preuve. Développer suivant la dernière colonne...

Questions : Est-ce que ~̂u est orthogonal à ~u dans R2 ?Que peut-on dire sur ~u ∧ ~v dans R3 ?{~u,~v, ~u ∧ ~v} forme-t-il une base directe ou indirecte ?