CHAPITRE 8 et trigonométrie Angles orientés - lflv.hol.eslflv.hol.es/corrige/1S/math/chap8.pdf · CHAPITRE 8 et trigonométrie 2 2. sin 5 ... ACTIVITÉS (page 193) PROBLÈME OUVERT

86

Angles orientés et trigonométrie8CH

APIT

RE

2 2. sin�5π2

– x� = cos x ; sin(3π + x) = – sin x ;

cos(5π – x) = – cos x ; cos�x – π2 � = sin x.

A

M(x)

B

O

M2(5π – x)

M1(3π + x)M4

M3 � �5π2 – x+

� �π2x –

Activité 1

2 c) La mesure affi chée de α est 1 radian.d) � = π et α vaut π radians.

Activité 2

2 a) Flèche de EOE vers EOF : la mesure est positive.b) Flèche de EOF vers EOE : la mesure est négative.c) Si F est diamétralement opposé à E, on affi che π radians.d) La mesure de EOE avec EOF devient négative.

Avec les angles géométriques :

gIOJ = 3π4

donc qI2 + qJ

1 =

π4

; gKJI = 2qJ1 et gKIJ = 2qI

2 ;

donc gKJI + gKIJ = 2(qI2 + qJ

1) =

π2

.

Il en résulte de gIKJ = π2

, donc les rayons sont perpendiculaires.

O I12

2

1

K

Jπ4

ACTIVITÉS (page 193)

PROBLÈME OUVERT

1 M a pour coordonnées �132

; 12 � ; donc :

N�– 132

; 12 �,

Q –

A

� �π6A’

M

+

N

P

O

B’

B

� �5π6

� �7π6 � �π6

P�– 132

; – 12 �,

Q�132

; – 12 �.

EXERCICES Application (page 197)

87Chapitre 8 ● Angles orientés et trigonométrie

Donc :

sin�5π2

– x� + sin(3π + x) + cos(5π – x) + cos�x – π2 � = 0.

3 a) sin(x + π) + cos�π2 – x� + cos(π – x) + sin x

= – sin x + sin x – cos x + sin x = sin x – cos x.

b) sin�x – π2 � – cos(x + π) + cos�x –

π2 � – sin(x – π)

= – cos x + cos x + sin x + sin x = 2 sin x.

4 2. a) sin2 x = 1 – 925

= 1625

et sin x < 0 ;

donc sin x = – 45

.

b) sin�π2 – x� = cos x = 35

.

c) cos (π – x) = – cos x = – 35

.

d) sin(π + π) = – sin x = 45

.

5 a) cos x = cos 2π3

donc x = 2π3

+ 2kπ ou – 2π3

+ 2kπ.

b) sin x = sin 5π4

donc x = 5π4

+ 2kπ ou – π4

+ 2kπ.

c) sin x = sin�– 5π6 � donc x = –

5π6

+ 2kπ ou 11π

6 + 2kπ.

d) cos x = cos 5π6

donc x = 5π6

+ 2kπ ou – 5π6

+ 2kπ.

6 a) cos x = cos π3

; � = �π3 ; 5π3 �.

b) sin x = sin π6

; � = �π6 ; 5π6 �.

c) cos x = cos 3π4

; � = �3π4

; 5π4 �.

7 a) sin x = sin�– π4 � ; � = �–

π4

; – 3π4 �.

b) cos x = cos π6

; � = �π6 ; – π6 �.

c) sin x = sin�– π3 � ; � = �–

π3

; – 2π3 �.

d) cos x = cos 2π3

; � = �2π3

; – 2π3 �.

8 1. a) cos 2π3

= – 12

;

donc : cos x = – 12

⇔ cos x = cos 2π3

.

b) � = �2π3

; 4π3 �.

2. sin x = 132

⇔ sin x = π3

. Donc � = �π3 ; 2π3 �.

9 a) � ZOA, TOC � = 2π3

.

b) � RAB, EBE � = � EBA, EBE � + π = – π3

+ π = 2π3

.

c) � EAB, ECD � = � EAB, EBO� = � EBA, EBO� + π = – π3

+ π = 2π3

.

d) � EAB, EOE� = � EAB, EBO� = 2π3

.

10 a) jACB = π6

; donc : � ECA, ECB� = – π6

.

b) � EBC, ECA� = � ECB, ECA� + π = π6

+ π = 7π6

.

Or : 7π6

= 2π – 5π6

; donc la mesure principale est – 5π6

.

c) � EAB, ECB� = � EBA, EBC� = π2

.

11 a) � EAC, EAE� = – π6

– π4

= – 5π12

.

b) � EBA, ECB� = � EBA, EBC� + π = – π3

+ π = 2π3

.

c) � EAH, EEB � = � EAH, EHC� = � EHA, EHC� + π = – π2

+ π = π2

.

d) � EEA, ECH� = � ZEA, ZBE� = � EEA, ZEB� + π = – π4

+ π = 3π4

.

12 1. D’après la relation de Chasles :

� EDE, EDC� = � EDE, EBA� + � EBA, EBC� + � EBC, EDC�.Or � EBC, EDC� = � ECB, ECD�. D’où le résultat.

2. � RDE, EBA� = π ; � EBA, EBC� = – 2π3

; � ECB, ECD� = π4

.

Donc : � EDE, EDC� = π – 2π3

+ π4

= 12π – 8π + 3π

12 =

7π12

.

La mesure principale est donc 7π12

.


� EBA, ECB� = � EBA, EAC� + � EAC, ECB�.Or : � EBA, EAC� = � EAB, EAC� + π et � EAC, ECB� = � ECA, ECB� + π ;donc :� EBA, ECB� = � EAB, EAC� + � ECA, ECB� + 2π ou � EBA, ECB� = � EAB, EAC� + � ECA, ECB�.

2. � EBA, ECB� = π2

+ π5

= 7π10

.

C’est la mesure principale de � EBA, ECB�.

14 1. � EAD, ECB� = � EAD, EAC� + � EAC, ECB�. Or � EAC, ECB� = � ECA, ECB� + π.D’où le résultat.

2. � EAD, ECB� = – π3

+ π4

+ π = – 4π + 3π + 12π

12 =

11π12

.

C’est la mesure principale.

15 1. � EAD, EAE� = � EAD, EAC� + � EAC, EAB� + � EAB, EAE�.Or � EAD, EAC� = – � EAC, EAD� et � EAC, EAB� = – � EAB, EAC�.D’où le résultat.

2. a) (AD) � (AE) ⇔ � EAD, EAE� = π2

+ kπ, k ∈ �.

D’où : π2

+ kπ = – b – a + c soit c – a – b = π2

[π].

b) 2π5

– 7π12

– 4π3

= 24π – 35π – 80π

60

= – 91π60

= – 3π2

– π60

,

soit π2

– π60

[π].

Donc ces droites ne sont pas perpendiculaires.

20 Angles orientés et parallélisme• L’outil :– La relation de Chasles.• L’objectif :– Prouver un parallélisme à l’aide des angles orientés.1. a) � TAH, EFG� = � TAH, RAD� + � RAD, RAB� + � RAB, RFG �.b) � RAB, RFG � = � RDC, RCE � + � RCE, RFG �soit � RAB, EFG� = � RCD, ECE� + π + π

donc � RAB, EFG � = π2

.

2. � RAH, RFG � = – π3

– π6

+ π2

= 0, donc RAH et RFG sont

colinéaires et de même sens.Les droites (AH) et (FG) sont donc parallèles.

21 Lignes trigonométriques d’angles associés• L’outil :– Lignes trigonométriques d’angles associés.• L’objectif :– Calculer un sinus et un cosinus à l’aide des angles associés.

1. a) π – 2π5

= 3π5

; π + 2π5

= 7π5

; π2

– 2π5

= π10

.

b)

AQ

MB

O

P

N � �3π5

+

� �7π5

� �2π5

� �π10

c) cos 3π5

= – cos 2π5

et sin 3π5

= sin 2π5

.

cos 7π5

= – cos 2π5

et sin 7π5

= – sin 2π5

.

cos π10

= sin 2π5

et sin π10

= cos 2π5

.

2. a) sin2 2π5

= 1 – � (15 – 1)16 �

2

= 10 + 215

16.

Or sin 2π5

> 0, donc sin 2π5

= 910 + 215

4.

b) En remplaçant respectivement cos 2π5

et sin 2π5

par leurs

valeurs, on trouve le cosinus et le sinus de 3π5

, 7π5

et π10

.

22 Utiliser les angles pour démontrer• L’outil :– Lignes trigonométriques des angles associés.• L’objectif :– Simplifi er l’écriture d’une expression à l’aide des angles associés.

1. a), b), c)

� �5π8

+

� �7π8

� �3π8

� �π8AA’

BP

Q

N

M

O

d) sin 3π8

= cos π8

; sin 5π8

= sin 3π8

= cos π8

; sin 7π8

= sin π8

.

2. S = sin2 π8

+ cos2 π8

+ cos2 π8

+ sin2 π8

.

S = 2�cos2 π8

+ sin2 π8 � = 2.

23 Narration de recherche

aiaj

O

B

D

–

π3

π2

Dans le repère �O ; ai, aj �, D a pour coordonnées (0 ; – 3) et B�2 ; 213 �.Donc le vecteur RDB a pour coordonnées �2 ; 213 + 3�. Il en résulte que :DB2 = 4 + �213 + 3�2 = 4 + 12 + 1213 + 9 = 25 + 1213 et DB = 91213 + 25 ≈ 6,77 (en km).DB > 6,5 donc l’observateur placé en D n’aperçoit pas l’objet en B.

24 Narration de recherche1. Il existe quatre points P

1, P

2, P

3, P

4 sur � pour lesquels le

triangle MNP est isocèle.NMP

1 isocèle de sommet M ;

MNP2 isocèle de sommet N ;

MP3N et MP

4N de sommets respectifs P

3 et P

4.

O

M

A

P1

P4

P3BN

π4

–

–

π6

� �

� �

2π3 � �

� �

11π24

� �13π24

P2–� �11π

12

+

2. a) P1 est le symétrique de N par rapport à (OM) donc :

� ai, UOP1 � = � ai, UOM� + � UOM, UOP

1 � = � ai, UOM � + � TON, UOM�

� ai, UOP1 � = � ai, UOM� + � EON, ai � + � ai, UOM �

= 2� ai, UOM� – � ai, RON� = π2

– 2π3

= – π6

.

EXERCICES Activités de recherche (page 202)

88


3. a) � YAM, EAC� = – � YCM, ECA� car la symétrie par rapport à Δ change la mesure de l’angle en son opposée.B et C sont symétriques par rapport à (AD),

donc � EBA, EBF � = – � ECA, ECF �.

b) � UAM, ZBF� = – � TCM, ZCA� + � RAC, ZBA� – � ZCA, ZCF� = � RAC, EBA� – � YCM, ZCF� = � RAC, EAB� – � TCM, ECF� + π

= π2

– � RCM, ECF �.

c) Les points C, M, F sont alignés, et les vecteurs TCM et ECF sont colinéaires de même sens ou de sens contraires, donc :� TCM, ECF � = 0 ou � TCM, ECF � = π.d) Il résulte des questions précédentes que :

� TAM, EBF � = π2

ou � YAM, ZBF� = – π2

.

Donc les droites (AM) et (BF) sont perpendiculaires.

ANGLES ORIENTÉS

33 1. À M, on associe 5π4

; à N, on associe 11π

6 et à P, on

associe 2π3

.

2. a) À M, on associe – 3π4

; à N, on associe – π6

et à P, on

associe 2π3

.

b) À M, on associe 5π4

; à N, on associe – π6

et à P, on

associe 2π3

.

34 Corrigé dans le manuel.

35 1.

23 DEBUT_SINON24 TANT_QUE (x<–Math.PI) FAIRE25 DEBUT_TANT_QUE26 x PREND_LA_VALEUR x+2*Math.PI27 k PREND_LA_VALEUR k+128 FIN_TANT_QUE29 a PREND_LA_VALEUR 2*k30 AFFICHER «x=»31 AFFICHER x32 AFFICHER «–»33 AFFICHER a34 AFFICHER «*PI»35 FIN_SINON36 FIN_ALGORITHME

b) � ai, UOP2 � = � ai, RON� + � RON, UOP

2 � = � ai, RON� + � YOM, RON�

= 2� ai, RON� – � ai, UOM�

� ai, UOP2 � =

4π3

– π4

= 13π12

et la mesure principale est – 11π12

.

c) lMOP3 =

12

kMON = 12

�3π3

– π4 � =

5π24

;

donc kAOP3 =

π4

+ 5π24

= 11π24

et � ai, UOP3 � =

11π24

.

• lMOP4 = π –

5π24

= 19π24

;

donc kAOP4 =

19π24

– π4

= 13π24

et � ai, UOP4 � = –

13π24

.

25 TP – De l’intérêt des angles orientés. Utiliser la relation de Chasles2. Il semble que les droites (AM) et (FB) restent perpendiculaires quel que soit le cas de fi gure.

DE TÊTE

26 a) (ev, eu) = – π3

.

b) (– eu, ev) = 4π3

.

c) (– ev, eu) = 2π3

.

27 (ev, tw) = π6

– π3

= – π6

.

28 (eu, zt ) = 6π6

= π ; les vecteurs sont colinéaires.

29 � EAD, RAE � = – π6

; � ECE, ECB� = 5π12

.

30 1. À N, on associe π6

+ π2

= 2π3

.

2. À P, on associe π6

– π2

= – π3

.

31 a) � EOP, TOM� = – 5π12

.

b) � YOM, EON� = – π2

.

c) � EOP, EON� = – 11π12

.

32 a) � ZAB, RAD� = 7π12

.

b) � ECB, EAD� = 11π12

.

EXERCICES Entraînement (page 205)

90

b = 3π4

– 4π3

– π6

= 9π – 16π – 2π

12

= – 9π12

= – 3π4

; la mesure principale est – 3π4

.

c = π6

– 3π4

– 4π3

= 2π – 9π – 16π

12 = –

23π12

= – 2π + π12

;

la mesure principale est π12

.

37 À M, on associe π5

; à M1, on associe

π2

– π5

= 3π10

;

à M2, on associe

4π5

; à M3, on associe –

4π5

;

à M4, on associe –

π5

.

38 � EBC, EOD� = � EBC, EBO� = π4

;

� EBA, ECO� = � ECD, ECO� = π4

.


40 a) � EAC, UBB’� = π2

.

b) � EOA, TCC’� = � EOA, TOC’� = π3

.

c) � UC’O, IC’B’� = � IC’C, OC’B’� = π6

.

41 a) � EAC, RCD� = � ECE, ECD� = π4

.

b) � EAB, EDC� = π.

c) � EAC, EDE� = – π2

.

d) � EBC, EDE� = – π4

.

42 jACB = π – � jCAB + jCBA� = π2

A

C

B

� ECB, ECA� = π2

.

Le triangle ABC est rectangle en C.

43 a)

A B

Mx

M ∈ ]Ax)

b)

A B

My M ∈ ]Ay)

c)

A B

M M ∈ ]AB[

d)

A

t

B

π3

M M ∈ ]At)


2.

1 VARIABLES2 x EST_DU_TYPE NOMBRE3 k EST_DU_TYPE NOMBRE4 a EST_DU_TYPE NOMBRE5 b EST_DU_TYPE NOMBRE6 DEBUT_ALGORITHME7 LIRE x8 k PREND_LA_VALEUR 09 b PREND_LA_VALEUR Math.PI10 SI (x==b) ALORS11 DEBUT_SI12 AFFICHER «x = Math.PI»13 FIN_SI14 SINON15 DEBUT_SINON16 SI (x>b) ALORS17 DEBUT_SI18 TANT_QUE (x>b) FAIRE19 DEBUT_TANT_QUE20 x PREND_LA_VALEUR

x–2*Math.PI21 k PREND_LA_VALEUR k+122 FIN_TANT_QUE23 a PREND_LA_VALEUR 2*k24 AFFICHER «x = »25 AFFICHER x26 AFFICHER «+»27 AFFICHER a28 AFFICHER «*PI»29 FIN_SI30 SINON31 DEBUT_SINON32 TANT_QUE (x<=–b) FAIRE33 DEBUT_TANT_QUE34 x PREND_LA_VALEUR

x+2*Math.PI35 k PREND_LA_VALEUR k+136 FIN_TANT_QUE37 a PREND_LA_VALEUR 2*k38 AFFICHER «x = »39 AFFICHER x40 AFFICHER «–»41 AFFICHER a42 AFFICHER «*PI»43 FIN_SINON44 FIN_SINON45 FIN_ALGORITHME

36 1.

O A

DN

MB

CP

E

π4

–

� �3π4

� �3π4� �4π

3

� �π12

� �π6� �+

2. a = 3π4

+ 4π3

+ π6

= 9π + 16π + 2π

12

= 27π12

= 9π4

= 2π + π4

;

la mesure principale est π4

.


52 1. � APA, ZPB� = – π2

; � EQA, EQB� = π2

.

2. L’ensemble des points M tels que � RMA, RMB� = π2

est

le demi-cercle de diamètre [AB] contenant Q et privé de A et B.

53 1. Si A, B, C sont alignés, alors TAC et EAB sont colinéaires et il existe un réel m tel que EAC = mEAB (avec m ≠ 0 car A, B, C distincts deux à deux).Si m > 0, alors RAC et EAB sont de même sens, donc � EAB, RAC� = 0 + 2nπ.Si m < 0, alors RAC et EAB sont de sens contraires, donc � EAB, RAC� = π + 2nπ.Donc pour tout réel m, � EAB, RAC� = kπ, k ∈ �.L’implication est vraie.2. Réciproquement : � EAB, EAC� = kπ équivaut à � EAB, RAC� = 0 + 2nπ ou � EAB, RAC� = π + 2nπ, c’est-à-dire EAB et RAC colinéaires, soit A, B, C alignés.La réciproque est vraie.


55 EAB et EDE sont colinéaires et de même sens,

donc � EAB, EDE� = 0. Or (relation de Chasles) :

� EAB, EDE� = � EAB, EBC� + � EBC, RCD� + � ECD, EDE�.

Donc : 0 = π4

+ π6

+ π + � ECD, EDE�

0 = π4

+ π6

+ � EDC, EDE�.

D’où : � EDC, EDE� = – 5π12

.

56 � ZEA, EED� = � ZEA, ZBA� + � ZBA, EBC� + � EBC, EDC� + � EDC, ZED�

= 3π4

+ 2π3

+ 3π4

+ π2

+ π

= 9π + 8π + 9π + 6π + 12π

12 =

44π12

.

� ZEA, EED� = 11π

3 = 4π –

π3

, donc � ZEA, EED� = – π3

.

57 1.

O

JM

Aα

αN

B –

I

+

� �π6

� �π32. � TOM, EON� = � TOM, EOA� + � EOA, EOB� + � EOB, EON�

soit � TOM, EON� = – α + �– π2 � + α = –

π2

.

58 1. L’implication est vraie : cos π3

= 12

.

2. « Si cos x = 12

, alors x = π3

».

Cette implication est fausse. Par exemple : cos �– π3 � =

12

.

�

45 1. a)

O aiaj

AB

�

�’

b) � EOA, EOB� = 3π4

– π6

= 7π12

.

2. a) A�4 cos π6

; 4 sin π6 � soit �213 ; 2�.

B�2 cos 3π4

; 2 sin 3π4 � soit �– 12 ; 12 �.

b) EAB�– 12 – 213 ; 12 – 2�.AB2 = �12 + 213 �2 + �12 – 2�2 = 2 + 416 + 12 + 2 – 412 + 4

= 20 + 416 – 412 ; donc AB = 295 + 16 + 12.

PROPRIÉTÉS DES ANGLES ORIENTÉS

46 1. a) (eu, 2 ev) = π6

.

b) (ev, – 2 eu) = ( ev, – eu) = ( ev, eu) + π = – π6

+ π = 5π6

.

c) (– ev, – eu) = ( ev, eu) = – π6

.

2. a) (3 eu, – 2 ev) = ( eu, – ev) = α + π.b) (– 2eu, ev) = (– eu, ev) = α + π.c) (– 3eu, – 2 ev) = (– eu, – ev) = ( eu, ev) = α.

47 1. � EBA, ECB� = � EBA, ECA� + � ECA, ECB� = � EAB, EAC� + � ECA, ECB�

= π2

+ 2π7

= 11π14

.

2. � EBA, ECB� a pour mesure principale 11π14

.


49 1. � EBE, EBA� = – π4

.

� EBA, EBD� = – 5π12

– π3

= – 9π12

= – 3π4

.

2. a) � EBE, EBD� = � EBE, EBA� + � EBA, EBD�

= – π4

– 3π4

= – π.

La mesure principale est π.b) Les points E, B, D sont alignés.


� EAB, EDE� = � EAB, EBC� + � EBC, ECD� + � ECD, EDE�.

2. � EAB, EDE� = π6

+ π2

+ π3

= π.

Ainsi, EAB et EDE sont colinéaires et de sens contraires.Il existe donc un réel k tel que EDE = kEAB,

et avec DE = 4 cm et AB = 3 cm, on a k = – 43

.


cos�x + π2 � = –

2123

;

cos(x + π) = 13

.


ÉQUATIONS

67 a) sin x = sin �– 5π6 � ; � = �–

π6

; – 5π6 �.

b) cos x = cos π4

; � = �– π4

; π4 �.

c) sin x = – 12

; � = �– π6

; – 5π6 �.

d) cos x = 132

= cos π6

; � = �π6 ; – π6 �.

68 1. a) cos x = 132

= cos π6

; � = �π6 ; 11π

6 �.b) sin x =

122

= sin π4

; � = �π4 ; 3π4 �.

c) cos x = – 122

= cos 3π4

; � = �3π4

; 5π4 �.

2. a) sin x = – 122

; � = �– π4

; – 3π4 �.

b) cos x = 132

; � = �– π6

; π6 �.

c) sin x = – 132

; � = �– π3

; – 2π3 �.


70 a) cos x = 0,7 ; � = {0,795}.

b) sin x = 13

; � = {0,400 ; 2,802}.

c) cos x = – 37

; � = {2,014 ; 4,269}.

71 a) cos x = 0,6 ; � = {0,927}.

b) sin x = – 25

; � = {– 0,412}.

72 a) sin x = 0,4 ; � = {0,412 ; 2,730}.

b) sin x = 56

; � = {0,985 ; 2,156}.

c) cos x = – 37

; � = {2,014 ; 4,269}.

AVEC LES TICE

73 2. Le triangle MCP semble rectangle et isocèle.3. a) CM = CN par symétrie orthogonale par rapport à (AC).De même, CN = CP par symétrie par rapport à (CB).Donc CM = CN = CP.b) De même, par symétrie :� TCM, ZCA� = � ZCA, ECN� et � ECB, ECP� = � ECN, ECB� (voir page 204).

c) � TCM, ECP� = � TCM, ECA� + � ECA, ECN� + � ECN, ECB� + � ECB, ECP� = 2� TCM, ZCA� + 2� ECN, ECB�

= 2� ZCA, ECB� = π2

, d’où le résultat.

LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES

59 a) 7π6

= π + π6

;

donc : cos 7π6

= – cos π6

= – 132

et sin 7π6

= – 12

.

b) 11π6

= 2π – π6

; donc : cos 11π

6 =

132

et sin 11π

6 = –

12

.

c) – 13π

6 = – 2π –

π6

;

donc : cos – 13π

6 =

132

et sin – 13π

6 = –

12

.

60 a) 9π4

= 2π + π4

; donc : cos 9π4

= 122

et sin 9π4

= 122

.

b) 81π4

= 20π + π4

; donc : cos 81π

4 =

122

et sin 81π

4 =

122

.

c) – 107π

4 π = – 26π –

3π4

;

donc : cos – 107π

4 = –

122

et sin – 107π

4 π = –

122

.

61 a) 4π3

= π + π3

; donc : cos 4π3

= – 12

et sin 4π3

= – 132

.

b) 71π3

= 24π – π3

; donc : cos 71π

3 =

12

et sin 71π

3 = –

132

.

c) – 97π

3 = – 32π –

π3

;

donc : cos – 97π

3 =

12

et sin – 97π

3 = –

132

.


63 1. À N, est associé x + π2

; à P, est associé x + π ;

à Q, est associé x + 3π2

.

2. a) cos x + cos�x + π2 � + cos(x + π) + cos�x +

3π2 �

= cos x – sin x – cos x + sin x = 0.

b) sin x + sin�x + π2 � + sin(x + π) + sin�x +

3π2 �

= sin x + cos x – sin x – cos x = 0.

64 1.

O

M(x)

34

ai

aj

2. a) sin2 x = 1 – 916

= 716

et x ∈ �– π2

; 0� ; donc sin x = – 174

.

b) cos�π2 – x� = sin x = – 174

.

sin(x + π) = – sin x = 174

.

sin�π2 + x� = cos x = 34

; cos(π – x) = – cos x = – 34

.

65 sin2 x = 1 – 19

= 89

et x ∈ [0 ; π] ; donc sin x = 2123

;

sin�x + π2 � = cos x = –

13

;

92


76

O

+

7π8

3π8

5π8

π8

sin π8

– sin 3π8

+ sin 5π8

– sin 7π8

= sin π8

– sin 3π8

+ sin 3π8

– sin π8

= 0.

77 La génératrice du cône est égale à 916 + 9 = 5 soit 5 cm.Le périmètre du cercle de base a pour longueur 6π. Il est

égal à la longueur de l’arc �AB soit

2π × 5 × α2π

= 5α.

Donc 5α = 6π et α = 6π5

radians.

• � EAE, EBC� = � EAE, EAB� + � EBA, EBC� + π

= π4

– π3

+ π = 11π12

.

81 1.

O

J

D

I

A

KB H

I’

C d(y = x)

+2π3� �

5π6� �

–3π4� �

π4� �

2. a) � ai, EOH� = 3π4

.

b) � EOA, ROH� = 3π4

– 2π3

= π12

.

� EOH, EOB� = � ai, EOB� – � ai, ROH�

= 5π6

– 3π4

= π12

.

D’où � EOA, EOH� = � ROH, EOB�.c) Le triangle AOB est isocèle et d est la bissectrice de jAOB ; donc d est la médiatrice de [AB], et A et B sont symétriques par rapport à d.d) La droite (CD) a pour équation y = x. C’est la bissectrice de gIOJ et d est la bissectrice de gJOI’ ; donc d est perpendiculaire à (CD). C’est la médiatrice de [CD].3. Il en résulte que ABCD est un trapèze isocèle.

ROC Restitution organisée de connaissances

74 1. a) (– eu, ev) = (– eu, eu) + ( eu, ev) = ( eu, ev) + π.(– eu, – ev) = (– eu, eu) + ( eu, – ev) = π + ( eu, ev) + π = ( eu, ev).b) (eu, ev) – ( eu, ev) = 0 ⇔ (eu, tu’) + (eu, ev) – (tu’, ev) – (ev, tv’) = 0. ⇔ (eu, tu’) – ( ev, tv’) = 0 ⇔ (eu, tu’) = ( ev, tv’).2. a) � EBC, EBA� = π – α.b) � ECD, ECB� = α. c) � EDA, EDC� = π – α.

Prendre toutes les initiatives

75 � EAC, EAB� + � ZBA, EBC� – � ECB, ECA� = 0

⇔ � EAC, EAB� + � EAB, ECB� = � ECB, ECA�⇔ � EAC, ECB� + � ECA, ECB� = 0 ⇔ � ECA, ECB� + � ECA, ECB� + π = 0

⇔ � ECA, ECB� = – π2

+ kπ.

Le triangle ABC est rectangle en C.

78 � EOB, EOA� = � EOB, ai � + � ai, EOA� = � ai, EOA� – � ai, EOB�

= π3

+ π6

= π2

.

� EOB, TOM� = � TOM, EOA� = π4

;

donc : � ai, TOM� = � ai, EOB� + � EOB, TOM� = – π6

+ π4

= π12

.

� ai, EON� = π12

+ π = 13π12

,

donc la mesure principale de � ai, EON� est – 11π12

.

79 1. a) � EOA, ROH� = π2

+ π6

= 2π3

.

b) � EOD, EOB� = – 5π6

.

c) � EAD, EAO� = – π6

.

d) � EAB, ECD� = � EAB, EBC� + � EBC, ECD� = � EBA, EBC� + π + � ECB, ECD� + π

= – π4

– π3

– π3

– π4

= – 2π3

– π2

= – 7π6

.

Donc la mesure principale de � EAB, ECD� est 5π6

.

2. � EAD, EOH� = � EAD, EAO� + � EOA, EOH� + π

= – π6

+ π2

+ π6

+ π = 3π2

.

Les droites (AD) et (OH) sont donc perpendiculaires.

80 � EAD, EBF� = � EAD, EAB� + � EAB, EBF � = � EAD, EAB� + � EBA, EBF � + π

= – π3

– π4

– π3

– π4

+ π = – π6

.

Donc la mesure principale de � EAD, EBF � est – π6

.

EXERCICES Approfondissement (page 210)

94

82 1. a) (12 cos x – 1)(12 cos x + 1) = 2 cos2 x – 1.b) 4 sin2 x – 3 = (2 sin x + 13)(2 sin x – 13).

2. a) 2 cos2 x – 1 = 0 ⇔ cos x = 112

= 122

ou cos x = – 122

⇔ cos x = cos π4

ou cos x = cos 3π4

.

Donc, dans l’intervalle [– π ; π[ : � = �π4 ; – π4

; 3π4

; – 3π4 �.

b) 4 sin2 x = 3 ⇔ sin x = 132

ou sin x = – 132

⇔ sin x = sin π3

ou sin x = sin�– π3 �.

Donc, dans l’intervalle [– π ; π[ : � = �π3 ; 2π3

; – π3

; – 2π3 �.

83 a) sin�x + π3 � = sin

π4

⇔ x +

π3

= π4

+ 2kπ

� x + π3

= π – π4

+ 2kπ.

Donc � = �– π12

+ 2kπ ; 5π12

+ 2kπ�.

b) cos�x – π3 � = cos

2π3

⇔ x –

π3

= 2π3

+ 2kπ

� x – π3

= – 2π3

+ 2kπ.

Donc � = �π + 2kπ ; – π3

+ 2kπ�.

c) cos�π4 – x� = cos π8

⇔

π4

– x = π8

+ 2kπ

� π4

– x = – π8

+ 2kπ.

Donc � = �π8 + 2kπ ; 3π8

+ 2kπ�.

84 a) sin �x + π4 � =

12

= sin π6

⇔ x = π6

– π4

+ 2kπ ou x = π – π6

– π4

+ 2kπ

⇔ x = – π12

+ 2kπ ou x = 7π12

+ 2kπ.

Dans l’intervalle [0 ; 2π] : � = �23π12

; 7π12�.

b) cos �x – π3 � =

12

= cos π3

⇔ x = π3

+ π3

+ 2kπ ou x = – π3

+ π3

+ 2kπ

⇔ x = 2π3

+ 2kπ ou x = 2kπ.

Dans l’intervalle [– π ; π[ : � = �0 ; 2π3 �.

85 1. On sait que sin x = cos�π2 – x�.Donc sin

π5

= cos�π2 – π5 � = cos

3π10

.

2. cos x = sin π5


⇔ x = 3π10

+ 2kπ ou x = – 3π10

+ 2kπ.

86 1. cos π8

= sin�π2 – π8 � = sin

3π8

.

2. sin x = sin 3π8

⇔ x = 3π8

+ 2kπ ou x = 5π8

+ 2kπ.

87 1. a)

O

M1

M2 M4

M3

M0

8I

J

b) M0(8 ; 0) ; M

1(0 ; 4) ; M

2(– 2 ; 0) ; M

3(0 ; –1) ; M

4� 12

; 0�.2. a) Le triangle OM

nM

n+1 est rectangle en O

avec OMn+1

= 12

OMn.

b) �MnM

n+1�2 = OM

n2 + OM2

n+1 = � 8

2n�2

+ � 82n+1 �

2

= � 82n�

2

�1 + 14 � =

54

� 82n�

2

.

Donc MnM

n+1 =

8152 × 2n

= 8152n+1

.

3. La suite est telle que un+1

= 8152n+2

= 12

� 8152n+1 �

soit un+1

= 12

un.

La suite (un) est donc géométrique de raison

12

et de premier terme u

0 = 415.

4. �n = u

0 + … + u

n =

u0�1 – � 1

2 ��n+1

1 – 12

soit �n = 815 �1 –

12n+1 �.

5. �n < 815.

815

�n

815 – �n < 10–4 ⇔ 815 – 815 +

8152n+1

< 10–4

⇔ 8152n+1

< 10–4 ⇔ 2n+1 > 815 × 104.

On obtient n > 17, donc : à partir de n = 18, �

n ∈ [815 – 10–4 ; 815].

88 1. a) jOCB = jOAB = 90°. Ainsi, OCBA est un rectangle ayant deux côtés consécutifs égaux, c’est donc un carré.b) OB2 = OA2 + AB2 = 2 ; OB = 12.

c) � ai, EOB� = � ai, ROC� + � ROC, EOB� = – π6

+ π4

= π12

.

2. a) A� 12

; 132 � ; C� 13

2 ; –

12 �.

b) EOB = EOA + EOC ; donc B� 13 + 12

; 13 – 1

2 �.3. a) B est un point du cercle de rayon 12 et de centre O, et

� ai, EOB� = π12

.


Donc B�12 cos π12

; 12 sin π12�.

b) Il résulte de la question 2.b) que :

cos π12

= 13 + 1

212 =

16 + 124

et sin π12

= 13 – 1212

= 16 – 12

4.

89 1. A a pour coordonnées (2 ; 0) et B(– 12 ; 12) ;

donc I� 2 – 122

; 122 � [1].

2. a) OI = 0 (2 – 12)2

4 +

24

= 9 8 – 4124

= 92 – 12.

b) � ai, AOI� = 3π8

.

c) I est sur le cercle de rayon 92 – 12 et � ai, AOI� = 3π8

.

Donc I�92 – 12 cos 3π8

; 92 – 12 sin 3π8 � [2].

3. En tenant compte de [1] et [2], il vient :

cos 3π8

= 2 – 12

292 – 12 =

92 – 122

et

sin 3π8

= 12

292 – 12 =

12 �92 + 12 �20(2 – 12)(2 + 12)

= 12 �92 + 12 �

12 =

92 + 122

.

90 1. a)

A

�

O

C –2π3� �

π6� �

ai

aj

b) � ai, EOA� = π6

et � ai, EOC� = – 2π3

.

2. a) � EOA, EOC� = � ai, EOC� – � ai, EOA�

= – 2π3

– π6

= – 5π6

.

b) kAOC = 5π6

et kOAC = π12

.

c) � EAO, EAC� = π12

.

3. a) � ai, EAC� = � ai, EOA� + � EOA, EAC� = � ai, EOA� + � EAO, EAC� + π.

b) � ai, EAC� = π6

+ π12

+ π = 15π12

= 5π4

= 2π – 3π4

;

donc � ai, EAC� a pour mesure principale – 3π4

.

� aj, EAC� = � aj, ai � + � ai, EAC� = – π2

– 3π4

= – 5π4

= – 2π + 3π4

;

donc la mesure principale de � aj, EAC� est 3π4

.

91 1. (P) ⇔ 2 sin x cos x – 2 cos x = 0 ⇔ 2 cos x (sin x – 1) = 0 ⇔ cos x = 0 ou sin x = 1.Donc (Q) ⇒ (P) est vraie.2. (P) ⇒ (Q) est vraie car AMB est rectangle en M.(Q) ⇒ (P) est fausse car si M est un point de � de diamètre

[AB], on a � RMA, RMB� = π2

ou � RMA, RMB� = – π2

.

Prendre des initiatives

92 cos2 3π12

= cos2 9π12

= 12

;

cos2 π12

= cos2 11π12

;

cos2 5π12

= cos2 7π12

= sin2 π12

.

Donc :

cos2 π12

+ cos2 3π12

+ cos2 5π12

+ cos2 7π12

+ cos2 9π12

+ cos2 11π

2

= cos2 π12

+ 12

+ sin2 π12

+ sin2 π12

+ 12

+ cos2 π12

= 1 + 2�cos2 π12

+ sin2 π12� = 3.

93 3 sin x + 4 cos x = 5 et sin2 x + cos2 x = 1.

Donc sin x = 5 – 4 cos x

3 et � 5 – 4 cos x

3 �2

+ cos2 x = 1

soit sin x = 5 – 4 cos x

3 et � 5

3 cos x –

43 �

2

= 0

donc cos x = 45

et sin x = 35

.

94 4 cos2 x – 2�1 – 13 � cos x – 13

⇔ cos x = X

� 4X2 – 2�1 – 13 �X – 13 = 0.

Δ = 4�1 – 13 �2 + 1613 = 4��1 – 13 �2 + 413 � = 4�1 + 13 �2 ;

donc X1 =

2�1 – 13 � – 2�1 + 13 �8

= – 132

et X2 =

12

.

Donc :4 cos2 x – 2�1 – 13 � cos x – 13 = 0

⇔ cos x = – 132

ou cos x = 12


ou cos x = cos π3

.

Donc dans [– π ; π[ : � = �π3 ; 5π6

; – π3

; – 5π6 �.

96

A a) � EOA, EAF� = � EOA, EBO� = � EOA, EOB� + π = 4π3

.

Donc la mesure principale est – 2π3

.

b) � EAB, ECD� = � EAB, EBO� = 2π3

.

c) � EOF, ECB� = � EOF, EOA� = π3

.

B • Figure 1 :

a) � EDA, EBA� = � EAD, EAB� = – π2

.

b) � ECD, ECB� = π4

+ 3π8

= 5π8

.

c) � EBC, EDA� = � EBC, EAD� + π = � EBC, EBE� + π

= – π8

+ π = 7π8

.

• Figure 2 :

a) � EDA, EBA� = � EAD, EAB� = – π4

– π3

= – 7π12

.

b) � ECD, ECB� = 7π12

.

c) � EBC, EDA� = � EBC, EDC� + � EDC, EDA� = � ECB, ECD� + � EDC, EDA�

= – π3

– π4

= π2

= – 13π12

= – 2π + 11π12

.

Donc la mesure principale est 11π12

.

C 1. kBAD = 12

�π – π6 � =

5π12

.

2. a) � EAB, EAD� = – 5π12

.

� EAE, EAD� = � EAE, EAB� + � EAB, EAD�

= – π4

– π3

– 5π12

= – 3π – 4π – 5π

12 = – π.

b) Les points D, A, E sont alignés.

D a) � EAB, EDE� = � EAB, ECB� = � EBA, EBC� = – π3

.

b) � ECA, EDE� = � ECA, ECB� = π3

.

c) � ECA, EDE� = � ECA, ECB� + � ECB, ECE� = π3

+ π4

= 7π12

.

E Les triangles OPM et ONM sont équilatéraux.

OP = PM = OM = ON = NM

et � TOM, ZOP� = � TOM, ai � + � ai, ZOP� = – π3

.

Donc : � ai, ZOP� = – π3

+ π4

= – π12

;

� ai, EON� = � ai, YOM� + � YOM, EON� = π4

+ π3

= 7π12

.

F sin2 x = 1 – 49

= 59

et sin x > 0, donc sin x = 153

.

cos�x – π2 � = cos�π2 – x� = sin x =

153

.

sin(3π – x) = sin(π – x) = sin x = 153

.

G • Figure 1 : cos x = 12

= cos π3

.

Donc dans � : x = π3

+ 2kπ ou x = – π3

+ 2kπ.

Dans [– 3π ; 3π] : � = �π3 ; 7π3

; – 5π3

; – π3

; 5π3

; – 7π3 �.

• Figure 2 : sin x = 132

= sin π3

.

Donc dans � : x = π3

+ 2kπ ou x = π – π3

+ 2kπ = 2π3

+ 2kπ.

Dans [– 3π ; 3π[ : � = �π3 ; 7π3

; – 5π3

; – 4π3

; 2π3

; 8π3 �.

EXERCICES Travail en autonomie (page 212)

Documents

CHAPITRE 8 et trigonométrie Angles orientés - lflv.hol.eslflv.hol.es/corrige/1S/math/chap8.pdf · CHAPITRE 8 et trigonométrie 2 2. sin 5 ... ACTIVITÉS (page 193) PROBLÈME OUVERT