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Chapitre 8: Les fonctions ex et ln(x - gymomath.ch an 8.pdf · CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 1 3M stand/renf – JtJ 2017 Chapitre 8: Les fonctions ex et ln(x) Prérequis:

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  • CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 1

    3Mstand/renf JtJ 2017

    Chapitre 8: Les fonctions ex et ln(x) Prrequis: Exponentielle et logarithme (2me anne), tudes de fonctions Requis pour: Examen de maturit

    8.1 Quelques rappels

    Fonc

    tion

    expo

    nent

    ielle

    nat

    urel

    leFo

    nctio

    n lo

    gari

    thm

    e na

    ture

    lle

    Df

    init

    ion:

    D

    fin

    itio

    n:

    E

    D =

    E

    D =

    G

    raph

    ique

    G

    raph

    ique

    Z

    ro

    de la

    fon

    ctio

    n:

    Zr

    o de

    la f

    onct

    ion:

    T

    able

    au d

    e si

    gnes

    T

    able

    au d

    e si

    gnes

    A

    sym

    ptot

    e:

    Asy

    mpt

    ote:

    Les

    fon

    ctio

    ns e

    xpon

    enti

    elle

    s na

    ture

    lles

    et lo

    gari

    thm

    es n

    atur

    elle

    s: C

    e qu

    il f

    aut

    en s

    avoi

    r :

    IRIR

    * +

    xex

    Rap

    pel:

    la b

    ase

    de l

    expo

    nent

    iell

    e es

    t le

    nom

    bre

    e =

    2,7

    1828

    ..

    xln

    (x)

    exln

    (x)

    ex

    y 1

    1

    x

    y

    1

    e 1

    La

    fonc

    tion

    ln(x

    ) a

    t

    dfi

    nie

    com

    me

    la f

    onct

    ion

    rci

    proq

    ue d

    eex

    a 3 0 1

  • 2 CHAPITRE 8

    3Mstand/renf JtJ 2017

    Introduction

    La croissance de la population, l'augmentation du capital, l'inflation, l'utilisation de l'nergie, la croissance du produit national brut, l'amortissement, la baisse de l'incidence de certaines maladies, la baisse du pouvoir d'achat, la perte d'efficacit d'une machine vieillissante sont des exemples d'utilisation des fonctions exponentielles. En 2me anne, nous avons eu l'occasion de travailler avec des formules contenant une expression exponentielle. Dans ce chapitre, nous aborderons cette mme notion sous une forme fonctionnelle. Nous terminerons par des tudes de fonctions exponentielles.

    Les rgles de calculs de ex et ln(x) connatre

    e0 = 1 ln(1) = 0 e1 = e ln(e) = 1

    La plupart de ces rgles se trouvent dans votre formulaire

    eln(x) = ln(ex) = x

    si x et y si x et y ex ey = ex + y ln(x y) = ln(x) + ln(y)

    ex

    ey= exy ln

    xy

    = ln(x) ln(y)

    ex( )y= exy ln(xn) = n ln(x)

    Exemples:

    Rsoudre les quations suivantes a) ln(x 2) = 4 b) e x + 4 = 5

    c) ln(x + 3) = ln(2x + 7) d) ln

    x +32 x

    = 0

  • CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 3

    3Mstand/renf JtJ 2017

    Exercice 8.1 :

    Prciser ED puis rsoudre les quations suivantes:

    a) ln(x) = 1 b) ln(x) = 0 c) ln(x 4) = 4 d) ln(x2) = 0

    e) ln(2x) ln(5x 8) = 0 f) ln2x

    5x 8

    = 0

    g) ex + 3 = 5 h) e2x 1

    = -8

    i) ex/10 = 7 j) ex2 = 4

    Exemple:

    Dterminer ED, les zros et le tableau de signes de la fonction f dfinie par:

    f (x) = ln(3 x)

    x

    Exercice 8.2 :

    Dterminer lED, les zros et le signe de f dfinie par:

    a) f (x) = ln(2 4x) b) f (x) = 1ln(x)

    c) f (x) = ln2 + x1 x

    d) f (x) =

    ln(x) + 3ln(x) 2

    e) f (x) = x2 1ex

    f) f (x) = e x2+x

    g) f (x) = (x + 3)e1/ x h) f (x) = e1x+3

    8.2 Calculs de la drive de f (x) = ex et f (x) = ln(x)

    Dmarche:

    Formellement, nous devrions dterminer la drive f de ces fonctions exponentielle et logarithme en utilisant la formule:

    f (a) = limxa

    f (x) f (a)

    x a

    En fait, nous nous contenterons d'estimer la valeur de la pente de la tangente f (x) = ex et g(x) = ln(x) en certains points puis nous tenterons d'en dduire la fonction drive f et g .

  • 4 CHAPITRE 8

    3Mstand/renf JtJ 2017

    Exercice 8.3 :

    l'aide du graphique, complter le tableau de valeurs de f (x) = ex et la pente de la tangente en ces points. En dduire une proposition pour la drive de f.

    -224681012141618202224262830323436384042444648505254565860

    12

    34

    x

    y

    Prop

    ositi

    on d

    e d

    riv

    e :

    si f(

    x) =

    ex

    alor

    s f

    (x) =

    43210

    pent

    e de

    la

    tan g

    ente

    exx

    y =

    ex

  • CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 5

    3Mstand/renf JtJ 2017

    Exercice 8.4 :

    l'aide du graphique, complter le tableau de valeurs de f (x) = ln(x) et la pente de la tangente en ces points. En dduire une proposition pour la drive de f.

    x

    y

    -3-2-1123

    321 6540,50

    pent

    e de

    la

    tan g

    ente

    ln(x

    )x

    -5-4

    -3-2

    -11

    23

    45

    67

    y =

    ln(x

    )

    Prop

    ositi

    on d

    e d

    riv

    e :

    si f(

    x) =

    ln(x

    ) a

    lors

    f (

    x) =

  • 6 CHAPITRE 8

    3Mstand/renf JtJ 2017

    1re rgle:

    La drive de ex vaut ex.

    f (x) = ex f (x) = ex

    2me rgle:

    La drive de ln(x) vaut 1/x.

    f (x) = ln(x) f (x) = 1x

    3me et 4me rgle:

    La drive de fonctions composes en e et ln().

    g(x) = e f(x ) g (x) = e f(x ) f '(x)

    g(x) = ln f (x)( ) g (x) = 1f (x)

    f '(x)

    Exemples:

    1) Soit f (x) = e3x

    alors f (x) = e3x (3x)' = e3x 3 = 3e3x 2) Soit f (x) = (x2 + x + 1) e-2x

    alors f (x) = (x2 + x + 1)' e-2x + (x2 + x + 1) (e-2x)' = (2x + 1) e-2x + (x2 + x + 1) e-2x (-2) = e-2x (2x + 1 2x2 2x 2) = (-2x2 1) e-2x

    3) Soit f (x) = exx+1

    alors f (x) = 4) Soit f (x) = ln(5x)

    alors f (x) = 1

    5x (5x ) =

    1x

    5) Soit f (x) = ln(2x2)

    alors f (x) =

  • CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 7

    3Mstand/renf JtJ 2017

    Exemples:

    6) Soit f (x) = ln(x) 1ln(x) + 2

    alors f (x) = 1x ln(x) + 2( ) ln(x) 1( )

    1x

    ln(x) + 2( )2

    = 1xln(x) + 2 ln(x) +1

    ln(x) + 2( )2 =

    3

    x ln(x) + 2( )2

    Exercice 8.5 :

    Dterminer lED, les zros et la drive de f dfinie par:

    a) f ( x ) = e 5 x b) f ( x ) = e x2

    c) f ( x ) = e1/x d) f ( x ) = ln(4 x + 5)

    e) f ( x ) = ln( x 2 x ) f) f ( x ) = x 2e1/x

    g) f (x) = x ln(x) 1( ) h) f (x) = ln(x) 2ln(x) 1

    i) f (x) = e2x 3ex + 2 (indication: il s'agit d'une maquille !!)

    Exercice 8.6 :

    a) Dmontrer que la tangente la courbe y = ex au point

    d'abscisse x = 1 passe par l'origine.

    b) Dmontrer que la tangente la courbe y = ln(x) au point

    d'abscisse x = e passe par l'origine.

    Exercice 8.7 :

    La capacit pulmonaire C d'une personne en fonction de son

    ge est donne par la fonction:

    C(t) =

    110 ln(t) 2( )t

    avec t l'ge exprim en

    anne et t > e2

    a) Calculer la capacit pulmonaire 10, 20, 30 et 70 ans

    b) Calculer l'ge auquel la capacit pulmonaire d'une

    personne est maximale.

    Devinette:

    Logarithme et exponentielle sont au restaurant. Qui paie l'addition ?

  • 8 CHAPITRE 8

    3Mstand/renf JtJ 2017

    8.3 Calculs de limites (utiles pour les tudes fonctions)

    Rappels:

    nbre++

    = 0+ nbre

    = 0+ nbre+

    = 0 nbre+

    = 0

    nbre+0+

    = + nbre0

    = + nbre+0

    = nbre0+

    =

    Exercice 8.8 (dbut):

    Complter les limites des fonctions suivantes:

    a) limxnbre

    f (x) = +

    limxnbre

    g(x) = +

    lim

    xnbref (x) g(x) =

    limxnbre

    f (x)g(x)

    =

    b) limxnbre

    f (x) =

    limxnbre

    g(x) =

    lim

    xnbref (x) g(x) =

    limxnbre

    f (x)g(x)

    =

    c) limxnbre

    f (x) = +

    limxnbre

    g(x) =

    lim

    xnbref (x) g(x) =

    limxnbre

    f (x)g(x)

    =

    d) limxnbre

    f (x) = 0+limxnbre

    g(x) = 0+

    lim

    xnbref (x) g(x) =

    limxnbre

    f (x)g(x)

    =

    e) limxnbre

    f (x) = 0limxnbre

    g(x) = 0

    lim

    xnbref (x) g(x) =

    limxnbre

    f (x)g(x)

    =

    f) limxnbre

    f (x) = 0+limxnbre

    g(x) = 0

    lim

    xnbref (x) g(x) =

    limxnbre

    f (x)g(x)

    =

    Devinette (suite):

    Nos amis Logarithme et Exponentielle sont maintenant sur un bateau. Tout coup, Logarithme est terrifi : Attention, on drive ! . Que va rpondre Exponentielle ?

  • CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 9

    3Mstand/renf JtJ 2017

    Exercice 8.8 (suite):

    Complter les limites des fonctions suivantes:

    g) limxnbre

    f (x) = 0

    limxnbre

    g(x) =

    lim

    xnbref (x) g(x) =

    limxnbre

    f (x)g(x)

    =

    h) limxnbre

    f (x) =

    limxnbre

    g(x) = 0

    lim

    xnbref (x) g(x) =

    limxnbre

    f (x)g(x)

    =

    Cas indtermins:

    Lors du calcul de limites, il arrive que l'on obtienne une expression que l'on ne peut pas dterminer. Il faudra les tudier de cas en cas. Voici 3 cas d'indtermination:

    0 ()

    00

    Exercice 8.9 (dbut) :

    1er cas: n = 1 et 2:

    Le but de cet exercice est de dterminer les limites suivantes:

    limx+

    ex

    x n et lim

    x+ xn

    ex pour tout n IN

    En observant les graphiques suivants, complter les limites:

    limx+

    ex

    x =

    limx+

    ex

    x 2 =

    limx+

    xex

    =

    limx+

    x 2

    ex =

    Vous constatez que ex crot plus vite que x2.

    Ceci va-t-il se confirmer galement avec x3 ?

    y

    10

    20

    x

    y = ex y = x2

    y = x

    1 1 2 3 4 5

  • 10 CHAPITRE 8

    3Mstand/renf JtJ 2017

    Exercice 8.9 (suite):

    2me cas: n = 3:

    Justifiez-le l'aide des deux graphes suivants:

    Laquelle des 2 fonctions semble crotre le plus vite ?

    3me cas: n = 10:

    En observant le graphique suivant, complter les limites:

    limx+

    ex

    x10 =

    limx+

    x10

    ex =

    Exercice 8.10 :

    En observant le graphe, complter les limites (pour n IN)

    limx+

    ln(x)xn

    =

    limx+

    xn

    ln(x) =

    Quelques limites usuelles:

    La rgle du podium

    Les deux exercices prcdents nous ont permis dobserver les limites suivantes:

    limx+

    ex

    x n= + lim

    x+ xn

    ex= 0+

    limx+

    ln(x)xn

    = 0+ limx+

    xn

    ln(x)= +

    Vous trouverez encore quelques limites dans votre formulaire

    y

    10

    20

    x

    y = x3

    1 1 2 3 4 5

    y = ex

    y

    50

    100

    x

    y = x3

    1 1 2 3 4 5

    y = ex

    y

    x

    20 40 60 80

    1101 6

    y =

    x10

    xy

    = e

    y

    -4

    4

    8

    x

    y = ln(x)

    y = x2y = x

    1 1 2 3 4 5

  • CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 11

    3Mstand/renf JtJ 2017

    Exercice 8.11 :

    Les limites suivantes sont-elles dtermines ? l'aide de votre calculatrice, estimer ces limites

    a) limx+

    ex

    ln(x) b) lim

    x0+ x 3 ln(x)

    c) limx

    x 2ex d) limx+

    x 2e5x

    Exemple:

    La rgle du podium

    Calculer les limites suivantes

    a) limx+

    x2 ex b) limx0+

    x e1/x

    c) limx

    ex

    x2 d) lim

    x+ ex

    4x

  • 12 CHAPITRE 8

    3Mstand/renf JtJ 2017

    Exercice 8.12 :

    En essayant, si ncessaire, de se rapporter une situation de

    "podium" du type: limx+

    ex

    x k, limx+

    ex

    ln(x), , calculer

    a) limx+

    ln(x)

    e2x b) lim

    x+ex ln(x 3) c) lim

    xex x

    d) limx

    ex ln(x) e) limx

    x 3e3x5 f) limx0+

    e1/ x

    x 2

    g) limx0+

    e1/ x x 2 h) limx0+

    e1/ x

    x

    Encore 2 formules bien pratiques pour calculer des limites:

    limxa

    e f (x ) = elimxa

    f (x )

    limxa

    ln( f (x) )= ln( limxa

    f (x))

    Exemple:

    Calculer limx+

    e

    3x+4

    x2

    Exercice 8.13:

    Calculer les limites suivantes :

    a) limx+

    ex b) limx+

    ex 23x+2

    2x 2

    c) limx+

    e2x

    x 25 d) limx-

    e3x2 +2

    2x

    e) limx+

    ln3x 23x+2x 25x+2

    f) lim

    x+ ln

    1

    x

    Exercice 8.14:

    Le but de cet exercice est de "calculer" limx

    ln 1+ ex( )ex

    a) en remplaant navement x par b) l'aide de la calculatrice en compltant le tableau de

    valeurs ci-dessous:

    x -1 -10 -20 -25 -30 ln(1+ ex )ex

  • CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 13

    3Mstand/renf JtJ 2017

    Exercice 8.14 suite:

    c) l'aide 4 des reprsentations graphiques suivantes: Geogebra

    http:// www.geogebra.at http://www.wolframalpha.com

    MuPAD

    Grapher

    d) Finalement, l'aide de MuPAD, nous obtenons:

    e) Comment expliquez-vous ces diffrentes interprtations ?

    8.4 tudes de fonctions du type ex

    Indications:

    L'tude d'une fonction de type exponentielle admet la mme marche suivre que celle tudie lors de fonctions polynomiales ou rationnelles. On mentionnera toute fois:

    a) Il n'y aura pas de A.O dterminer car la division de polynmes ne peut s'appliquer dans ce cas.

    b) La recherche de(s) A.H doit tre effectue en deux tapes, AHG l'aide de lim

    xf (x) et AHD l'aide de lim

    x+f (x)

    c) Contrairement aux fonctions rationnelles, le graphique d'une fonction exponentielle peut dbuter brusquement depuis un point que nous nommerons point limite.

  • 14 CHAPITRE 8

    3Mstand/renf JtJ 2017

    tudier la fonction f dfinie par f (x) = ex 2 +x2

    6x12 . Pour un trac plus prcis, calculer en plus lim

    x2 f (x)

    Un exemple :

  • CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 15

    3Mstand/renf JtJ 2017

    Exercice 8.15 :

    tudier les fonctions f dfinies par:

    a) f ( x ) = e x2

    b) f ( x ) = ( x 2 6)e2 x

    c) f (x) = ex (6 ex ) d) f (x) = e2

    x 24

  • 16 CHAPITRE 8

    3Mstand/renf JtJ 2017