16
CHAPITRE 8 LES FONCTIONS e x ET ln(x) 1 3M stand/renf – JtJ 2017 Chapitre 8: Les fonctions e x et ln(x) Prérequis: Exponentielle et logarithme (2 ème année), Études de fonctions Requis pour: Examen de maturité 8.1 Quelques rappels Fonction exponentielle naturelle Fonction logarithme naturelle Définition: Définition: E D = E D = Graphique Graphique Zéro de la fonction: Zéro de la fonction: Tableau de signes Tableau de signes Asymptote: Asymptote: Les fonctions exponentielles naturelles et logarithmes naturelles: Ce qu’il faut en savoir : IR IR * + x e x Rappel: la base de l’exponentielle est le nombre e = 2,71828.. x ln(x) e x ln(x) e x y 1 1 x y 1 e 1 La fonction ln(x) a été définie comme la fonction réciproque de e x a 3 0 1

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CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 1

3Mstand/renf – JtJ 2017

Chapitre 8: Les fonctions ex et ln(x) Prérequis: Exponentielle et logarithme (2ème année), Études de fonctions Requis pour: Examen de maturité

8.1 Quelques rappels

Fonc

tion

expo

nent

ielle

nat

urel

leFo

nctio

n lo

gari

thm

e na

ture

lle①

Déf

init

ion:

① D

éfin

itio

n:

② E

D =

② E

D =

③ G

raph

ique

③ G

raph

ique

④ Z

éro

de la

fon

ctio

n:④

Zér

o de

la f

onct

ion:

⑤ T

able

au d

e si

gnes

⑤ T

able

au d

e si

gnes

⑥ A

sym

ptot

e:⑥

Asy

mpt

ote:

Les

fon

ctio

ns e

xpon

enti

elle

s na

ture

lles

et lo

gari

thm

es n

atur

elle

s: C

e qu

’il f

aut

en s

avoi

r :

IRIR

* +

xex

Rap

pel:

la b

ase

de l’

expo

nent

iell

e es

t le

nom

bre

e =

2,7

1828

..

xln

(x)

exln

(x)

ex

y 1

1

x

y

1

e 1

La

fonc

tion

ln(x

) a

été

défi

nie

com

me

la f

onct

ion

réci

proq

ue d

eex

a 3 0 1

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2 CHAPITRE 8

3Mstand/renf – JtJ 2017

Introduction

La croissance de la population, l'augmentation du capital, l'inflation, l'utilisation de l'énergie, la croissance du produit national brut, l'amortissement, la baisse de l'incidence de certaines maladies, la baisse du pouvoir d'achat, la perte d'efficacité d'une machine vieillissante sont des exemples d'utilisation des fonctions exponentielles. En 2ème année, nous avons eu l'occasion de travailler avec des formules contenant une expression exponentielle. Dans ce chapitre, nous aborderons cette même notion sous une forme fonctionnelle. Nous terminerons par des études de fonctions exponentielles.

Les règles de calculs de ex et ln(x) à connaître

e0 = 1 ln(1) = 0

e1 = e ln(e) = 1

La plupart de ces règles se trouvent dans votre formulaire

eln(x) = ln(ex) = x

si x et y ∈ …… si x et y ∈ …… ex · ey = ex + y ln(x · y) = ln(x) + ln(y)

ex

ey= ex−y ln

xy

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ = ln(x) − ln(y)

ex( )y= ex⋅y ln(xn) = n · ln(x)

Exemples:

Résoudre les équations suivantes a) ln(x – 2) = 4 b) e

x + 4 = 5

c) ln(x + 3) = ln(2x + 7) d) ln

x +32− x

⎝⎜

⎠⎟= 0

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CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 3

3Mstand/renf – JtJ 2017

Exercice 8.1 :

Préciser ED puis résoudre les équations suivantes:

a) ln(x) = 1 b) ln(x) = 0 c) ln(x – 4) = 4 d) ln(x2) = 0

e) ln(2x) – ln(5x – 8) = 0 f) ln2x

5x −8

⎝⎜

⎠⎟= 0

g) ex + 3 = 5 h) e2x – 1

= -8

i) ex/10 = 7 j) ex2 = 4

Exemple:

Déterminer ED, les zéros et le tableau de signes de la fonction f définie par:

f (x) = ln(3− x)

x

Exercice 8.2 :

Déterminer l’ED, les zéros et le signe de f définie par:

a) f (x) = ln(2 − 4x) b) f (x) = 1ln(x)

c) f (x) = ln2 + x1− x⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ d) f (x) = ln(x) + 3

ln(x) − 2

e) f (x) =x 2 −1ex

f) f (x) = e x2+x

g) f (x) = (x + 3)e1/ x h) f (x) = e1x+3

8.2 Calculs de la dérivée de f (x) = ex et f (x) = ln(x)

Démarche:

Formellement, nous devrions déterminer la dérivée ′f de ces fonctions exponentielle et logarithme en utilisant la formule:

′ f (a) = limx→a

f (x) − f (a)

x − a

En fait, nous nous contenterons d'estimer la valeur de la pente de la tangente à f (x) = ex et à g(x) = ln(x) en certains points puis nous tenterons d'en déduire la fonction dérivée ′f et ′g .

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4 CHAPITRE 8

3Mstand/renf – JtJ 2017

Exercice 8.3 :

À l'aide du graphique, compléter le tableau de valeurs de f (x) = ex et la pente de la tangente en ces points. En déduire une proposition pour la dérivée de f.

-224681012141618202224262830323436384042444648505254565860

12

34

x

y

Prop

ositi

on d

e dé

rivé

e :

si f(

x) =

ex a

lors

f ’(

x) =

……

……

43210

pent

e de

la

tan g

ente

exx

y =

ex

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CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 5

3Mstand/renf – JtJ 2017

Exercice 8.4 :

À l'aide du graphique, compléter le tableau de valeurs de f (x) = ln(x) et la pente de la tangente en ces points. En déduire une proposition pour la dérivée de f.

x

y

-3-2-1123

321 6540,50

pent

e de

la

tan g

ente

ln(x

)x

-5-4

-3-2

-11

23

45

67

y =

ln(x

)

Prop

ositi

on d

e dé

rivé

e :

si f(

x) =

ln(x

) a

lors

f ’(

x) =

……

……

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6 CHAPITRE 8

3Mstand/renf – JtJ 2017

1ère règle:

La dérivée de ex vaut ex.

f (x) = ex ′f (x) = ex

2ème règle:

La dérivée de ln(x) vaut 1/x.

f (x) = ln(x) ′f (x) = 1x

3ème et 4ème règle:

La dérivée de fonctions composées en e… et ln(…).

g(x) = e f(x ) ′g (x) = e f(x ) ⋅ f '(x)

g(x) = ln f (x)( ) ′g (x) =1

f (x)⋅ f '(x)

Exemples:

1) Soit f (x) = e3x

alors ′ f (x) = e3x · (3x)' = e3x · 3 = 3e3x 2) Soit f (x) = (x2 + x + 1) e-2x

alors ′ f (x) = (x2 + x + 1)' · e-2x + (x2 + x + 1) (e-2x)' = (2x + 1) · e-2x + (x2 + x + 1) · e-2x · (-2) = e-2x · (2x + 1 – 2x2 – 2x – 2) = (-2x2 – 1) e-2x

3) Soit f (x) = exx+1

alors ′ f (x) = 4) Soit f (x) = ln(5x)

alors ′ f (x) = 1

5x⋅ (5x ′ ) =

1x

5) Soit f (x) = ln(2x2)

alors ′ f (x) =

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CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 7

3Mstand/renf – JtJ 2017

Exemples:

6) Soit f (x) = ln(x) −1ln(x) + 2

alors ′ f (x) = 1x ln(x) + 2( ) − ln(x) −1( ) 1x

ln(x) + 2( )2

= 1x⋅ln(x) + 2 − ln(x) +1

ln(x) + 2( )2 =

3

x ln(x) + 2( )2

Exercice 8.5 :

Déterminer l’ED, les zéros et la dérivée de f définie par:

a) f ( x ) = e 5 x b) f ( x ) = e x2

c) f ( x ) = e1/x d) f ( x ) = ln(−4 x + 5)

e) f ( x ) = ln( x 2 − x ) f) f ( x ) = x 2e1/x

g) f (x) = x ln(x) −1( ) h) f (x) = ln(x) − 2ln(x) −1

i) f (x) = e2x − 3ex + 2 (indication: il s'agit d'une … maquillée !!)

Exercice 8.6 :

a) Démontrer que la tangente à la courbe y = ex au point

d'abscisse x = 1 passe par l'origine.

b) Démontrer que la tangente à la courbe y = ln(x) au point

d'abscisse x = e passe par l'origine.

Exercice 8.7 :

La capacité pulmonaire C d'une personne en fonction de son

âge est donnée par la fonction:

C(t) =

110 ln(t) − 2( )t

avec t l'âge exprimé en

année et t > e2

a) Calculer la capacité pulmonaire à 10, 20, 30 et 70 ans

b) Calculer l'âge auquel la capacité pulmonaire d'une

personne est maximale.

Devinette:

Logarithme et exponentielle sont au restaurant. Qui paie l'addition ?

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8 CHAPITRE 8

3Mstand/renf – JtJ 2017

8.3 Calculs de limites (utiles pour les études fonctions)

Rappels:

• nbre++∞

= 0+ nbre−−∞

= 0+ nbre+−∞

= 0− nbre−+∞

= 0−

• nbre+0+

= +∞ nbre−0−

= +∞ nbre+0−

= −∞ nbre−0+

= −∞

Exercice 8.8 (début):

Compléter les limites des fonctions suivantes:

a) limx→nbre

f (x) = +∞

limx→nbre

g(x) = +∞

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪ ⇒ • lim

x→nbref (x) ⋅ g(x) = … … … …

• limx→nbre

f (x)g(x)

= … … … …

b) limx→nbre

f (x) = −∞

limx→nbre

g(x) = −∞

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪ ⇒ • lim

x→nbref (x) ⋅ g(x) = … … … …

• limx→nbre

f (x)g(x)

= … … … …

c) limx→nbre

f (x) = +∞

limx→nbre

g(x) = −∞

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪ ⇒ • lim

x→nbref (x) ⋅ g(x) = … … … …

• limx→nbre

f (x)g(x)

= … … … …

d) limx→nbre

f (x) = 0+

limx→nbre

g(x) = 0+

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪ ⇒ • lim

x→nbref (x) ⋅ g(x) = … … … …

• limx→nbre

f (x)g(x)

= … … … …

e) limx→nbre

f (x) = 0−limx→nbre

g(x) = 0−

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪ ⇒ • lim

x→nbref (x) ⋅ g(x) = … … … …

• limx→nbre

f (x)g(x)

= … … … …

f) limx→nbre

f (x) = 0+

limx→nbre

g(x) = 0−

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪ ⇒ • lim

x→nbref (x) ⋅ g(x) = … … … …

• limx→nbre

f (x)g(x)

= … … … …

Devinette (suite):

Nos amis Logarithme et Exponentielle sont maintenant sur un bateau. Tout à coup, Logarithme est terrifié : « Attention, on dérive ! ». Que va répondre Exponentielle ?

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CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 9

3Mstand/renf – JtJ 2017

Exercice 8.8 (suite):

Compléter les limites des fonctions suivantes:

g) limx→nbre

f (x) = 0

limx→nbre

g(x) =∞

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪ ⇒ • lim

x→nbref (x) ⋅ g(x) = … … … …

• limx→nbre

f (x)g(x)

= … … … …

h) limx→nbre

f (x) =∞

limx→nbre

g(x) = 0

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪ ⇒ • lim

x→nbref (x) ⋅ g(x) = … … … …

• limx→nbre

f (x)g(x)

= … … … …

Cas indéterminés:

Lors du calcul de limites, il arrive que l'on obtienne une expression que l'on ne peut pas déterminer. Il faudra les étudier de cas en cas. Voici 3 cas d'indétermination:

0 ⋅ (±∞) ±∞±∞

00

Exercice 8.9 (début) :

1er cas: n = 1 et 2:

Le but de cet exercice est de déterminer les limites suivantes:

limx→+∞

ex

x n et lim

x→+∞ xn

ex pour tout n ∈ IN

En observant les graphiques suivants, compléter les limites:

• limx→+∞

ex

x = ………

• limx→+∞

ex

x 2 = ………

• limx→+∞

xex

= ………

• limx→+∞

x 2

ex = ………

Vous constatez que ex croît plus vite que x2.

Ceci va-t-il se confirmer également avec x3 ?

y

10

20

x

y = ex y = x2

y = x

1 1 2 3 4 5

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10 CHAPITRE 8

3Mstand/renf – JtJ 2017

Exercice 8.9 (suite):

2ème cas: n = 3:

Justifiez-le à l'aide des deux graphes suivants:

Laquelle des 2 fonctions semble croître le plus vite ?

3ème cas: n = 10:

En observant le graphique suivant, compléter les limites:

• limx→+∞

ex

x10 = ………

• limx→+∞

x10

ex = ………

Exercice 8.10 :

En observant le graphe, compléter les limites (pour n ∈ IN)

• limx→+∞

ln(x)xn

= ……

• limx→+∞

xn

ln(x) = ……

Quelques limites usuelles:

La règle du podium

Les deux exercices précédents nous ont permis d’observer les limites suivantes:

limx→+∞

ex

x n= +∞ lim

x→+∞ xn

ex= 0+

limx→+∞

ln(x)xn

= 0+ limx→+∞

xn

ln(x)= +∞

Vous trouverez encore quelques limites dans votre formulaire

y

10

20

x

y = x3

1 1 2 3 4 5

y = ex

y

50

100

x

y = x3

1 1 2 3 4 5

y = ex

y

x

20 40 60 80

1·101 6

y =

x10

xy

= e

y

-4

4

8

x

y = ln(x)

y = x2

y = x

1 1 2 3 4 5

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CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 11

3Mstand/renf – JtJ 2017

Exercice 8.11 :

Les limites suivantes sont-elles déterminées ? À l'aide de votre calculatrice, estimer ces limites

a) limx→+∞

ex

ln(x) b) lim

x→0+ x 3 ln(x)

c) limx→−∞

x 2ex d) limx→+∞

x 2e−5x

Exemple:

La règle du podium

Calculer les limites suivantes

a) limx→+∞

x2 ⋅e−x b) limx→0+

x ⋅e1/x

c) limx→−∞

e−x

x2 d) lim

x→+∞ e−x

4x

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12 CHAPITRE 8

3Mstand/renf – JtJ 2017

Exercice 8.12 :

En essayant, si nécessaire, de se rapporter à une situation de

"podium" du type: limx→+∞

ex

x k, limx→+∞

ex

ln(x), … , calculer

a) limx→+∞

ln(x)

e2x b) lim

x→+∞e−x ln(x 3) c) lim

x→−∞e−x x

d) limx→−∞

ex ln(−x) e) limx→−∞

x 3e3x−5 f) limx→0+

e1/ x

x 2

g) limx→0+

e1/ x x 2 h) limx→0+

e−1/ x

x

Encore 2 formules bien pratiques pour calculer des limites:

• limx→a

e f (x ) = elimx→a

f (x )

• limx→a

ln( f (x) )= ln( limx→a

f (x))

Exemple:

Calculer limx→+∞

e−

3x+4

x−2

Exercice 8.13:

Calculer les limites suivantes :

a) limx→+∞

e−x b) limx→+∞

ex 2−3x+2

2x 2

c) limx→+∞

e−2x

x 2−5 d) limx→-∞

e3x2 +2

2x

e) limx→+∞

ln3x 2−3x+2

x 2−5x+2

⎝ ⎜

⎠ ⎟ f) lim

x→+∞ ln

1

x

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

Exercice 8.14:

Le but de cet exercice est de "calculer" limx→−∞

ln 1+ ex( )ex

a) en remplaçant naïvement x par –∞ b) à l'aide de la calculatrice en complétant le tableau de

valeurs ci-dessous:

x -1 -10 -20 -25 -30 ln(1+ ex )ex

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CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 13

3Mstand/renf – JtJ 2017

Exercice 8.14 suite:

c) à l'aide 4 des représentations graphiques suivantes: Geogebra

http:// www.geogebra.at http://www.wolframalpha.com

MuPAD

Grapher

d) Finalement, à l'aide de MuPAD, nous obtenons:

e) Comment expliquez-vous ces différentes interprétations ?

8.4 Études de fonctions du type ex

Indications:

L'étude d'une fonction de type exponentielle admet la même marche à suivre que celle étudiée lors de fonctions polynomiales ou rationnelles. On mentionnera toute fois:

a) Il n'y aura pas de A.O à déterminer car la division de polynômes ne peut s'appliquer dans ce cas.

b) La recherche de(s) A.H doit être effectuée en deux étapes, AHG à l'aide de lim

x→−∞f (x) et AHD à l'aide de lim

x→+∞f (x)

c) Contrairement aux fonctions rationnelles, le graphique d'une fonction exponentielle peut débuter brusquement depuis un point que nous nommerons point limite.

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14 CHAPITRE 8

3Mstand/renf – JtJ 2017

Étudier la fonction f définie par f (x) = ex 2 +x−2

6x−12 . Pour un tracé plus précis, calculer en plus lim

x→2−′ f (x)

Un exemple :

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CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 15

3Mstand/renf – JtJ 2017

Exercice 8.15 :

Étudier les fonctions f définies par:

a) f ( x ) = e − x2

b) f ( x ) = ( x 2 − 6)e−2 x

c) f (x) = ex (6 − ex ) d) f (x) = e2

x 2−4

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16 CHAPITRE 8

3Mstand/renf – JtJ 2017