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CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 1
3Mstand/renf – JtJ 2017
Chapitre 8: Les fonctions ex et ln(x) Prérequis: Exponentielle et logarithme (2ème année), Études de fonctions Requis pour: Examen de maturité
8.1 Quelques rappels
Fonc
tion
expo
nent
ielle
nat
urel
leFo
nctio
n lo
gari
thm
e na
ture
lle①
Déf
init
ion:
① D
éfin
itio
n:
② E
D =
② E
D =
③ G
raph
ique
③ G
raph
ique
④ Z
éro
de la
fon
ctio
n:④
Zér
o de
la f
onct
ion:
⑤ T
able
au d
e si
gnes
⑤ T
able
au d
e si
gnes
⑥ A
sym
ptot
e:⑥
Asy
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ote:
Les
fon
ctio
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xpon
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IRIR
* +
xex
Rap
pel:
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expo
nent
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e =
2,7
1828
..
xln
(x)
exln
(x)
ex
y 1
1
x
y
1
e 1
La
fonc
tion
ln(x
) a
été
défi
nie
com
me
la f
onct
ion
réci
proq
ue d
eex
a 3 0 1
2 CHAPITRE 8
3Mstand/renf – JtJ 2017
Introduction
La croissance de la population, l'augmentation du capital, l'inflation, l'utilisation de l'énergie, la croissance du produit national brut, l'amortissement, la baisse de l'incidence de certaines maladies, la baisse du pouvoir d'achat, la perte d'efficacité d'une machine vieillissante sont des exemples d'utilisation des fonctions exponentielles. En 2ème année, nous avons eu l'occasion de travailler avec des formules contenant une expression exponentielle. Dans ce chapitre, nous aborderons cette même notion sous une forme fonctionnelle. Nous terminerons par des études de fonctions exponentielles.
Les règles de calculs de ex et ln(x) à connaître
e0 = 1 ln(1) = 0
e1 = e ln(e) = 1
La plupart de ces règles se trouvent dans votre formulaire
eln(x) = ln(ex) = x
si x et y ∈ …… si x et y ∈ …… ex · ey = ex + y ln(x · y) = ln(x) + ln(y)
ex
ey= ex−y ln
xy
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ = ln(x) − ln(y)
ex( )y= ex⋅y ln(xn) = n · ln(x)
Exemples:
Résoudre les équations suivantes a) ln(x – 2) = 4 b) e
x + 4 = 5
c) ln(x + 3) = ln(2x + 7) d) ln
x +32− x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟= 0
CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 3
3Mstand/renf – JtJ 2017
Exercice 8.1 :
Préciser ED puis résoudre les équations suivantes:
a) ln(x) = 1 b) ln(x) = 0 c) ln(x – 4) = 4 d) ln(x2) = 0
e) ln(2x) – ln(5x – 8) = 0 f) ln2x
5x −8
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟= 0
g) ex + 3 = 5 h) e2x – 1
= -8
i) ex/10 = 7 j) ex2 = 4
Exemple:
Déterminer ED, les zéros et le tableau de signes de la fonction f définie par:
f (x) = ln(3− x)
x
Exercice 8.2 :
Déterminer l’ED, les zéros et le signe de f définie par:
a) f (x) = ln(2 − 4x) b) f (x) = 1ln(x)
c) f (x) = ln2 + x1− x⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ d) f (x) = ln(x) + 3
ln(x) − 2
e) f (x) =x 2 −1ex
f) f (x) = e x2+x
g) f (x) = (x + 3)e1/ x h) f (x) = e1x+3
8.2 Calculs de la dérivée de f (x) = ex et f (x) = ln(x)
Démarche:
Formellement, nous devrions déterminer la dérivée ′f de ces fonctions exponentielle et logarithme en utilisant la formule:
′ f (a) = limx→a
f (x) − f (a)
x − a
En fait, nous nous contenterons d'estimer la valeur de la pente de la tangente à f (x) = ex et à g(x) = ln(x) en certains points puis nous tenterons d'en déduire la fonction dérivée ′f et ′g .
4 CHAPITRE 8
3Mstand/renf – JtJ 2017
Exercice 8.3 :
À l'aide du graphique, compléter le tableau de valeurs de f (x) = ex et la pente de la tangente en ces points. En déduire une proposition pour la dérivée de f.
-224681012141618202224262830323436384042444648505254565860
12
34
x
y
Prop
ositi
on d
e dé
rivé
e :
si f(
x) =
ex a
lors
f ’(
x) =
……
……
43210
pent
e de
la
tan g
ente
exx
y =
ex
CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 5
3Mstand/renf – JtJ 2017
Exercice 8.4 :
À l'aide du graphique, compléter le tableau de valeurs de f (x) = ln(x) et la pente de la tangente en ces points. En déduire une proposition pour la dérivée de f.
x
y
-3-2-1123
321 6540,50
pent
e de
la
tan g
ente
ln(x
)x
-5-4
-3-2
-11
23
45
67
y =
ln(x
)
Prop
ositi
on d
e dé
rivé
e :
si f(
x) =
ln(x
) a
lors
f ’(
x) =
……
……
6 CHAPITRE 8
3Mstand/renf – JtJ 2017
1ère règle:
La dérivée de ex vaut ex.
f (x) = ex ′f (x) = ex
2ème règle:
La dérivée de ln(x) vaut 1/x.
f (x) = ln(x) ′f (x) = 1x
3ème et 4ème règle:
La dérivée de fonctions composées en e… et ln(…).
g(x) = e f(x ) ′g (x) = e f(x ) ⋅ f '(x)
g(x) = ln f (x)( ) ′g (x) =1
f (x)⋅ f '(x)
Exemples:
1) Soit f (x) = e3x
alors ′ f (x) = e3x · (3x)' = e3x · 3 = 3e3x 2) Soit f (x) = (x2 + x + 1) e-2x
alors ′ f (x) = (x2 + x + 1)' · e-2x + (x2 + x + 1) (e-2x)' = (2x + 1) · e-2x + (x2 + x + 1) · e-2x · (-2) = e-2x · (2x + 1 – 2x2 – 2x – 2) = (-2x2 – 1) e-2x
3) Soit f (x) = exx+1
alors ′ f (x) = 4) Soit f (x) = ln(5x)
alors ′ f (x) = 1
5x⋅ (5x ′ ) =
1x
5) Soit f (x) = ln(2x2)
alors ′ f (x) =
CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 7
3Mstand/renf – JtJ 2017
Exemples:
6) Soit f (x) = ln(x) −1ln(x) + 2
alors ′ f (x) = 1x ln(x) + 2( ) − ln(x) −1( ) 1x
ln(x) + 2( )2
= 1x⋅ln(x) + 2 − ln(x) +1
ln(x) + 2( )2 =
3
x ln(x) + 2( )2
Exercice 8.5 :
Déterminer l’ED, les zéros et la dérivée de f définie par:
a) f ( x ) = e 5 x b) f ( x ) = e x2
c) f ( x ) = e1/x d) f ( x ) = ln(−4 x + 5)
e) f ( x ) = ln( x 2 − x ) f) f ( x ) = x 2e1/x
g) f (x) = x ln(x) −1( ) h) f (x) = ln(x) − 2ln(x) −1
i) f (x) = e2x − 3ex + 2 (indication: il s'agit d'une … maquillée !!)
Exercice 8.6 :
a) Démontrer que la tangente à la courbe y = ex au point
d'abscisse x = 1 passe par l'origine.
b) Démontrer que la tangente à la courbe y = ln(x) au point
d'abscisse x = e passe par l'origine.
Exercice 8.7 :
La capacité pulmonaire C d'une personne en fonction de son
âge est donnée par la fonction:
C(t) =
110 ln(t) − 2( )t
avec t l'âge exprimé en
année et t > e2
a) Calculer la capacité pulmonaire à 10, 20, 30 et 70 ans
b) Calculer l'âge auquel la capacité pulmonaire d'une
personne est maximale.
Devinette:
Logarithme et exponentielle sont au restaurant. Qui paie l'addition ?
8 CHAPITRE 8
3Mstand/renf – JtJ 2017
8.3 Calculs de limites (utiles pour les études fonctions)
Rappels:
• nbre++∞
= 0+ nbre−−∞
= 0+ nbre+−∞
= 0− nbre−+∞
= 0−
• nbre+0+
= +∞ nbre−0−
= +∞ nbre+0−
= −∞ nbre−0+
= −∞
Exercice 8.8 (début):
Compléter les limites des fonctions suivantes:
a) limx→nbre
f (x) = +∞
limx→nbre
g(x) = +∞
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪ ⇒ • lim
x→nbref (x) ⋅ g(x) = … … … …
• limx→nbre
f (x)g(x)
= … … … …
b) limx→nbre
f (x) = −∞
limx→nbre
g(x) = −∞
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪ ⇒ • lim
x→nbref (x) ⋅ g(x) = … … … …
• limx→nbre
f (x)g(x)
= … … … …
c) limx→nbre
f (x) = +∞
limx→nbre
g(x) = −∞
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪ ⇒ • lim
x→nbref (x) ⋅ g(x) = … … … …
• limx→nbre
f (x)g(x)
= … … … …
d) limx→nbre
f (x) = 0+
limx→nbre
g(x) = 0+
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪ ⇒ • lim
x→nbref (x) ⋅ g(x) = … … … …
• limx→nbre
f (x)g(x)
= … … … …
e) limx→nbre
f (x) = 0−limx→nbre
g(x) = 0−
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪ ⇒ • lim
x→nbref (x) ⋅ g(x) = … … … …
• limx→nbre
f (x)g(x)
= … … … …
f) limx→nbre
f (x) = 0+
limx→nbre
g(x) = 0−
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪ ⇒ • lim
x→nbref (x) ⋅ g(x) = … … … …
• limx→nbre
f (x)g(x)
= … … … …
Devinette (suite):
Nos amis Logarithme et Exponentielle sont maintenant sur un bateau. Tout à coup, Logarithme est terrifié : « Attention, on dérive ! ». Que va répondre Exponentielle ?
CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 9
3Mstand/renf – JtJ 2017
Exercice 8.8 (suite):
Compléter les limites des fonctions suivantes:
g) limx→nbre
f (x) = 0
limx→nbre
g(x) =∞
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪ ⇒ • lim
x→nbref (x) ⋅ g(x) = … … … …
• limx→nbre
f (x)g(x)
= … … … …
h) limx→nbre
f (x) =∞
limx→nbre
g(x) = 0
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪ ⇒ • lim
x→nbref (x) ⋅ g(x) = … … … …
• limx→nbre
f (x)g(x)
= … … … …
Cas indéterminés:
Lors du calcul de limites, il arrive que l'on obtienne une expression que l'on ne peut pas déterminer. Il faudra les étudier de cas en cas. Voici 3 cas d'indétermination:
0 ⋅ (±∞) ±∞±∞
00
Exercice 8.9 (début) :
1er cas: n = 1 et 2:
Le but de cet exercice est de déterminer les limites suivantes:
limx→+∞
ex
x n et lim
x→+∞ xn
ex pour tout n ∈ IN
En observant les graphiques suivants, compléter les limites:
• limx→+∞
ex
x = ………
• limx→+∞
ex
x 2 = ………
• limx→+∞
xex
= ………
• limx→+∞
x 2
ex = ………
Vous constatez que ex croît plus vite que x2.
Ceci va-t-il se confirmer également avec x3 ?
y
10
20
x
y = ex y = x2
y = x
1 1 2 3 4 5
10 CHAPITRE 8
3Mstand/renf – JtJ 2017
Exercice 8.9 (suite):
2ème cas: n = 3:
Justifiez-le à l'aide des deux graphes suivants:
Laquelle des 2 fonctions semble croître le plus vite ?
3ème cas: n = 10:
En observant le graphique suivant, compléter les limites:
• limx→+∞
ex
x10 = ………
• limx→+∞
x10
ex = ………
Exercice 8.10 :
En observant le graphe, compléter les limites (pour n ∈ IN)
• limx→+∞
ln(x)xn
= ……
• limx→+∞
xn
ln(x) = ……
Quelques limites usuelles:
La règle du podium
Les deux exercices précédents nous ont permis d’observer les limites suivantes:
limx→+∞
ex
x n= +∞ lim
x→+∞ xn
ex= 0+
limx→+∞
ln(x)xn
= 0+ limx→+∞
xn
ln(x)= +∞
Vous trouverez encore quelques limites dans votre formulaire
y
10
20
x
y = x3
1 1 2 3 4 5
y = ex
y
50
100
x
y = x3
1 1 2 3 4 5
y = ex
y
x
20 40 60 80
1·101 6
y =
x10
xy
= e
y
-4
4
8
x
y = ln(x)
y = x2
y = x
1 1 2 3 4 5
CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 11
3Mstand/renf – JtJ 2017
Exercice 8.11 :
Les limites suivantes sont-elles déterminées ? À l'aide de votre calculatrice, estimer ces limites
a) limx→+∞
ex
ln(x) b) lim
x→0+ x 3 ln(x)
c) limx→−∞
x 2ex d) limx→+∞
x 2e−5x
Exemple:
La règle du podium
Calculer les limites suivantes
a) limx→+∞
x2 ⋅e−x b) limx→0+
x ⋅e1/x
c) limx→−∞
e−x
x2 d) lim
x→+∞ e−x
4x
12 CHAPITRE 8
3Mstand/renf – JtJ 2017
Exercice 8.12 :
En essayant, si nécessaire, de se rapporter à une situation de
"podium" du type: limx→+∞
ex
x k, limx→+∞
ex
ln(x), … , calculer
a) limx→+∞
ln(x)
e2x b) lim
x→+∞e−x ln(x 3) c) lim
x→−∞e−x x
d) limx→−∞
ex ln(−x) e) limx→−∞
x 3e3x−5 f) limx→0+
e1/ x
x 2
g) limx→0+
e1/ x x 2 h) limx→0+
e−1/ x
x
Encore 2 formules bien pratiques pour calculer des limites:
• limx→a
e f (x ) = elimx→a
f (x )
• limx→a
ln( f (x) )= ln( limx→a
f (x))
Exemple:
Calculer limx→+∞
e−
3x+4
x−2
Exercice 8.13:
Calculer les limites suivantes :
a) limx→+∞
e−x b) limx→+∞
ex 2−3x+2
2x 2
c) limx→+∞
e−2x
x 2−5 d) limx→-∞
e3x2 +2
2x
e) limx→+∞
ln3x 2−3x+2
x 2−5x+2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ f) lim
x→+∞ ln
1
x
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
Exercice 8.14:
Le but de cet exercice est de "calculer" limx→−∞
ln 1+ ex( )ex
a) en remplaçant naïvement x par –∞ b) à l'aide de la calculatrice en complétant le tableau de
valeurs ci-dessous:
x -1 -10 -20 -25 -30 ln(1+ ex )ex
CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 13
3Mstand/renf – JtJ 2017
Exercice 8.14 suite:
c) à l'aide 4 des représentations graphiques suivantes: Geogebra
http:// www.geogebra.at http://www.wolframalpha.com
MuPAD
Grapher
d) Finalement, à l'aide de MuPAD, nous obtenons:
e) Comment expliquez-vous ces différentes interprétations ?
8.4 Études de fonctions du type ex
Indications:
L'étude d'une fonction de type exponentielle admet la même marche à suivre que celle étudiée lors de fonctions polynomiales ou rationnelles. On mentionnera toute fois:
a) Il n'y aura pas de A.O à déterminer car la division de polynômes ne peut s'appliquer dans ce cas.
b) La recherche de(s) A.H doit être effectuée en deux étapes, AHG à l'aide de lim
x→−∞f (x) et AHD à l'aide de lim
x→+∞f (x)
c) Contrairement aux fonctions rationnelles, le graphique d'une fonction exponentielle peut débuter brusquement depuis un point que nous nommerons point limite.
14 CHAPITRE 8
3Mstand/renf – JtJ 2017
Étudier la fonction f définie par f (x) = ex 2 +x−2
6x−12 . Pour un tracé plus précis, calculer en plus lim
x→2−′ f (x)
Un exemple :
CHAPITRE 8 LES FONCTIONS ex ET ln(x) 15
3Mstand/renf – JtJ 2017
Exercice 8.15 :
Étudier les fonctions f définies par:
a) f ( x ) = e − x2
b) f ( x ) = ( x 2 − 6)e−2 x
c) f (x) = ex (6 − ex ) d) f (x) = e2
x 2−4
16 CHAPITRE 8
3Mstand/renf – JtJ 2017