CHAPITRE 8 - Sollicitations Simples

INSAT - MPI Technologie Mécanique

Dr. S. HAMZA 1/8

CHAPITRE : X

LES SOLLICITATIONS SIMPLES

1- Définition d’une contrainte :

Contrainte de tension dS

dF=σ

en traction simple S

F=σ

avec : σ : contrainte normale [MPa] F : effort normale [N] S : aire de la section droite [mm2] Dans le système international : 1 Pascal = 1 Newton / 1 m2

1 MPa = 106 Pa ∑ =s

FdF

1 GPa = 109 Pa 2- Définition d’une déformation :

Axes X Y Z Allongement u v w Déformation

xε yε zε

déformation :

dx

ux =ε

dy

vy =ε

dz

wz =ε

coefficient de poisson ν : z

x

z

y

εε

εε

ν −==


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3- TRACTION SIMPLE 3.1.Définition : Une poutre est sollicitée à l’extension (la traction) simple lorsqu’elle est soumise à deux forces directement opposées qui tendent à l’allonger.

Hypothèses : solide idéal, matériau homogène isotrope, poutre rectiligne de section constante.

Fr

et 'Fr

: actions extérieurs appliquées sur la poutre AB. 3.2. Etude des déformations :

Nous limitons notre étude de la traction à la zone AB : zone des déformations élastiques. A-B : domaine de déformation élastique ; B-C : palier de plasticité ; C-D : domaine de déformation plastique ; D : point de rupture.

D

C

A

B


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3.3 Limite Conventionnelle d’élasticité Re 0,2 (MPa) Variante de Re, elle tient compte des imprécisions de la mesure, c’est-à-dire des imperfections de la droite AB et des appareils de mesure. Pour la mesure de Re on tolère un légère déformation permanente de 0,2 % (A% =0,2).

3.4. déformation dans le domaine élastique d’une poutre :

0

.l

lEE x

∆== εσ

Nous constatons que la déformation εx est proportionnel à la contrainte σ . E : module d’élasticité longitudinale ou module d’Young.

3.5. déformation transversale :

xy ενε −=

ν : coefficient de poisson selon les matériaux 0,1 ≤ ν ≤ 0,5 (pour l’acier ν=0,3)

εy : contrainte selon (o, yr

). 3.6. Condition de résistance :

peMaxσσ ≤ ou peS

Fσ≤ ou

se

pe

σσ =

σpe : résistance pratique à la traction avec s : coefficient de sécurité.


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3.7. Condition de déformation :

limll ∆≤∆ ou lim0

.

.l

SE

lF∆≤

∆llim : limite d’allongement. 3.8. coefficient de concentration de contrainte de traction :

31 pp tnomtMaxkk σσ =

kt : est fonction de la forme de la pièce pour un filetage iso ( kt = 2.5 )

4. COMPRESSION SIMPLE définition : Une poutre est sollicitée à la compression simple lorsqu’elle est soumise à deux forces directement opposées à deux forces directement opposées et qui tendent à la raccourcir.

5. FLEXION SIMPLE 5.1. définition : une poutre est sollicité à la flexion plane simple lorsqu’elle est soumise à des forces situées dans son plan de symétrie ( G, x

r , y

r) ou réparties symétriquement par rapport

à ce plan. Ces forces sont perpendiculaire à l’axe (G, xr

) et peuvent être soit concentrées soit réparties suivant une loi déterminée.


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En un point quelconque M, de la section droite (S), on a :

yI

m

Gz

GzfM .=σ

m f Gz : moment de flexion selon (G, yr

) dans S.

IGz : moment quadratique de la section droite S à (G, zr

). 5.2. Moment quadratique d’une section circulaire

64

4dIGz

π=

5.3. Moment quadratique d’une section rectangulaire

12

3hbIGz =

5.4. Condition de résistance

peMaxσσ ≤ ou

se

pe

σσ =

σpe : résistance pratique à la traction avec s : coefficient de sécurité.


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6. CISAILLEMENT SIMPLE 6.1. Définition : Une poutre est sollicitée au cisaillement simple lorsqu’elle est soumise à deux forces directement opposées à la ligne moyenne, et qui tendent à la cisailler.

6.2. contrainte dans une section droite (uniformément réparties)

S

Tmoy =τ

T : effort tranchant S : section

6.3. Glissement relatif

x

y

∆∆=γ

∆y : glissement transversal entre deux sections (S) et (S0) ∆x : distance entre deux section

Loi de Hooke : x

yGGmoy ∆

∆== ... γτ

G : module d’élasticité transversal de Colomb [MPa] ( acier G= 80 000 MPa) 6.4. Condition de résistance

s

RR eg

pg =

Rpg : résistance pratique au glissement Reg : résistance élastique au glissement s : coefficient de sécurité

La condition de résistance sera :

pgmoy R≤τ ou pgRS

T≤ Reg = f Re

(f = 05 pour l’acier doux ; f=0,7 pour l’acier mi dur et f= 0,8 pour l’acier durs)


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7. TORSION SIMPLE 7.1. Définition : une poutre est sollicité à la torsion simple lorsqu’elle est soumise, à ses deux

extrémités à deux couples apposés de moments mt portés par l’axe. La poutre est supposée cylindrique de section circulaire constante.

τ=dS

fdr

τ : est la contrainte tangentielle au point M. 7.2. Relation contrainte- déformation

θρτ ..G= G : module d’élasticité transversal τ : est maximale lorsque ρ = R θ : angle unitaire de torsion

7.3. Relation couple de torsion –contrainte

mt = G. θ . I0

0

.

I

mr tMax =τ

I0 : moment quadratique 7.4. Condition de résistance

pMax ττ ≤

τp : étant la contrainte tangentielle pratique


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8. MATAGE définition : une solide 1 est sollicité au matage par un solide 2 si la pression superficielle sur la surface de liaison 1-2 entraîne une déformation permanente de cette dernière.

Avant matage après matage

écrasement latéral des clavettes

Avant matage après matage

gonflement des extrémités d’arbres

Condition de non matage

papp ≤ padm papp : pression appliquée padm : pression admissible

ds

dNpapp

1/2=

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