CH8 StatistiquesI) Vocabulaire :

1) origine : A l’ origine la Statistique rassemble et étudie tous les renseignements susceptibles l’intéresser l’Etat

(status). La Statistique a initialement fourni des informations sur • la population (nombre , répartition par sexes , âges, professions …….) • l’économie (richesse du pays stock de denrées, nombre de navires……)

Actuellement les méthodes statistiques sont utilisées dans de nombreux domaines: * Démographie (étude des populations) * Économie (tendance des marchés) * Médecine (état sanitaire, efficacité d’un médicament ….) *Agronomie (méthode de culture, rendement des engrais) * Industrie (organisation du travail, contrôle de la qualité) * Sociologie (sondage d’opinion)

2) population : L’ensemble de référence sur lequel vont porter les observations est appelé : Population

3) individu : Chaque élément de l’ensemble population est appelé : * individu ou * unité statistique.

4) caractère : a) remarque :

En statistique, la population à observer est généralement donnée en compréhension, c’est-à-dire par l’énoncé de propriété(s) que doivent posséder les unités statistiques pour appartenir à l’ensemble, que l’on appelle : * caractère(s) ou * variable statistique(s)

b) qualitatif : Le caractère est dit : Qualitatif quand il ne prend pas de valeur numérique .

Des opinions, des comportements, des couleurs, des catégories, des qualités d’individu....

c) quantitatif : * discret

Le caractère est dit quantitatif discret lorsqu’il ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs numériques : Le nombre de frères et sœurs le nombre de pièces d’un appartement.

* continu Le caractère est dit quantitatif continu lorsqu’il peut prendre une infinité de valeurs numériques :

La taille , le poids d’individus. La durée des communications téléphoniques.

5) échantillon :Lorsque la population à étudier est trop nombreuse ou impossible à observer dans sa totalité le

statisticien choisit selon certains critères un sous ensemble de la population appelé : Échantillon Pour tester l’efficacité d’un insecticide. Pour évaluer des votes à des élections.

II) Série statistique: 1) modalités et classes:

Le caractère étudié peut prendre différentes valeurs appelées : modalités Les différentes modalités seront notées x 1 , x 2 , x 3 ,……, x p Dans le cas d’une variable continue, on procède à un regroupement par classes [x 1 ; x 2 [ , [x 2 ; x 3 [ ,……, [x p-1 ; x p ]

2) effectif: a) d’une modalité ou d’une classe :

L’effectif d’une modalité x i est égal au nombre d’individus qui prennent cette valeur, on le note n i. Les différents effectifs seront notés n 1 , n 2 , n 3 ,……, n p

b) total : L’effectif total est égal au nombre d’individus de la population on le note N.

On a donc N = n 1 + n 2 + n 3 +……+ n p

c) notation Σ : On peut écrire N = Σ ni = Σ ni = n1 + n2 + n3 + … + np

Le symbole Σ (sigma) représente L’addition.

d) tableau : Cas d’un caractère discret :

Valeur xi du caractère x1 x2 .................. xp totalEffectif ni n1 n2 ................. np N

Cas d’un caractère continu: Valeur xi du caractère [x 1, x 2 [ [x 2, x 3 [ .................. [x p-1, x p ] total

Effectif ni n1 n2 .................. np N

e) exemple : Répartition des 8 notes obtenues par un élève en mathématiques.

notes 8 10 13 18effectifs 2 3 2 1

Répartition par tranches d’âges de la population d’une ville.âges en années [1;25[ [25;60[ [60 ;100] total

effectif en milliers 30 55 25 110

3) fréquence: a) définition :

La fréquence d’une valeur est le rapport de l’effectif de cette valeur sur l’effectif total.

b) notation: La fréquence de la modalité x i, notée f i, est donc égale à f i = n i / N

c) tableau : On présente les données sous forme d’un tableau des fréquences ou on complète le tableau des effectifs

par une ligne supplémentaire comportant les fréquences.Valeur xi du caractère x1 x2 ……… xp total

Effectif ni n1 n2 ……… np NFréquence fi = ni / N f1 f2 ……… fp 1

Valeur xi du caractère [x 1, x 2[ [x 2, x 3[ .................. [x p-1, x p] TotalEffectif ni n1 n2 .................. np N

Fréquence fi = ni / N f1 f2 .................. fp 1

d) propriété : La somme des fréquences vaut toujours 1. En effet : = n1/N + n2/N + n3/N +… + np/N= n1 + n2 + n3 + … + np / N= N / N = 1

4) effectifs ou fréquences cumulés : a) définition :

L’effectif cumulé croissant d’une valeur x i est la somme des effectifs des valeurs inférieures à x i. La fréquence cumulée croissante d’une valeur x i est la somme des fréquences de valeurs inférieures

ou égales à x i. L’effectif cumulé décroissant d’une valeur x i est la somme des effectifs des valeurs supérieures à x i. La fréquence cumulée décroissante d’une valeur x i est la somme des fréquences des valeurs

supérieures ou égales à x i.

b) illustration :Nombre de DVD achetés au cours des deux derniers mois par les élèves d’une classe de seconde.

III) Représentations graphiques : 1) diagrammes circulaires et en barres:

a) représentation : Les variables qualitatives sont souvent représentées par des diagrammes circulaires. La mesure de

chaque secteur angulaire est proportionnelle à l’effectif (ou à la fréquence) de la modalité.Les variables qualitatives sont aussi représentées par des diagrammes en barres.

b) illustration :

Diagramme de la population de 8 zones urbaines en milliers d’habitants.

2) diagramme en bâtons: a) représentation :

Les variables quantitatives discrètes sont souvent représentées par des diagrammes en bâtons.

b) illustration : Nombre de DVD achetés au cours des deux derniers mois par les élèves d’une classe de seconde.

3) histogramme: a) représentation :

Les variables quantitatives continues sont souvent représentées par des histogrammes. L’aire de chaque rectangle est proportionnelle à l’effectif ou la fréquence de la modalité.

b) illustration :Répartition des salaires dans une entreprise en centaines d’euros.

Histogramme: un rectangle de base correspond à 5 employés.

IV) Paramètres statistiques: 1) moyenne:

a) caractère discret:

b) caractère continu:

On complète le tableau en indiquant pour chaque classe son centre x1, x2, x3, ....., xp . On calcule la moyenne de la série discrète obtenue.

c) exemple:

d) propriété:

Si on multiplie chaque valeur d’une série par un réel k, la moyenne de la série est multipliée par k. Si on ajoute un réel k à chaque valeur d’une série, la moyenne de la série augmente de k.

e) exemple: Les classes de secondes A et B comptent respectivement 28 et 33 élèves.

Sur un même contrôle de mathématiques la moyenne des notes de 2A est 9,8 celle des 2B est 10,4. La moyenne des notes de ce contrôle sur les deux classes est donc:

2) médiane: a) définition:

Soit une série quantitative ordonnée. La médiane, notée Me de cette série, est une valeur qui sépare la population en deux sous populations de même effectif.

Elle correspond à une fréquence cumulée croissante de 0,5 ou 50%.

b) caractère discret: Dans une série statistique de n termes classés par ordre croissant, la médiane Me est :

* le terme du milieu, si n est impair; * la demi-somme des deux termes du milieu, si n est pair.

c) exemple: Les notes de mathématiques d’un élève de seconde sont : 7 ; 8 ; 8 ; 10 ; 12 ; 13 ; 14 La note médiane est 10. Les notes de mathématiques d’un élève de seconde sont : 5 ; 8 ; 9 ; 10 ; 10 ; 14 On prend pour note médiane est 9,5.

d) caractère continu:

3) mode: a) définition:

Pour une série qualitative, ou quantitative discrète, le mode de la série est la valeur du caractère qui a le plus grand effectif.

Dans le cas d’une série regroupée en classes, la classe modale est la classe qui a le plus grand effectif uniquement lorsque les classes ont la même amplitude.

Le mode ou la classe modale ne sont pas obligatoirement uniques

b) exemple:

4) étendue : a) définition   :

On appelle étendue d’une série statistique la différence entre la plus grande valeur du caractère et la plus petite valeur du caractère de cette série.

b) exemple:La plus petite note d’un devoir est 2, la note la plus élevée est 18 l’étendue est donc de 16.

© xavier tavernier