Chapitre EM : ThØorŁme de Gauss, condensateurs · RRR ˝ ˆ(P)d˝ Si on applique le thØorŁme de Gauss : ... VI Les condensateurs 1. Conducteur en Øquilibre Ølectrostatique Un

Chapitre EM3 : Théorème de Gauss, condensateurs

Sciences Physiques - ATS

I Énoncé et exemple

On admettra le résultat suivant relatif à une distribution de charges.

Théorème de Gauss :

D

SG

Qint

le flux à travers une surface fermée orientée vers l’ex-térieur SG dite "surface de Gauss" du champ électro-statique d’une distribution de charges D est égal auquotient de la charge de D située à l’intérieur de SGpar ε0 :

Φ =

∫∫SG

~E.d~s =Qint

ε0

avec Qint =∫∫

SGdq et d~s = ds.~n où ~n est unitaire et normal à SG en tout point.

application : Dans quelle situation le flux de ~E est-il le plus élevé ?

PSfrag replacements

d~S d~S

d~S

d~S

~E~E

~E

~Eθ

θ

Φ > 0 Φ > 0 (maximal) Φ < 0 Φ = 0

Exemple : vérification dans le cas d’une charge.

�q

~e r

�M~E(M

)d~s

• En tout point M de l’espace, ~E(M) = q4πε0r2

~er.

• Prenons SG la sphère de rayon r centrée en O (elle passepar M).

• d~s centrée en M est orientée vers l’extérieur : d~s = ds.~er.

• Par définition, le flux élementaire dΦ = ~E.d~s = qds4πε0r2

.

• On en déduit

Φ =

∫∫SG

dΦ =

∫∫SG

qds

4πε0r2=

q

4πε0r2

∫∫SG

ds =q

4πε0r24πr2 =

q

ε0

1

Chapitre EM3 : Théorème de Gauss, condensateurs ATS

II Utilisation pour le calcul de ~E

1. Méthode

On appliquera le théorème de Gauss plutôt que la méthode intégrale si la distribution D présente undegré de symétrie élevé.

Étapes à suivre :

À Étude des symétries et invariances pour déterminer le système de coordonnées, la direction etde quelles variables dépend ~E.

Á Choix de la surface de Gauss : surface fermée qui passe par le point M où on calcule ~E et telleque le calcul du flux de ~E soit simple (par exemple nul, ou E constant sur toute la surface).

Remarque : souvent, SG est une équipotentielle.

Â Application du théorème de Gauss : calcul de Φ et Qint, plusieurs cas peuvent se présenter.

2. Exemple du cylindre infini

2.a. cas du cylindre uniformément chargé en volume (ρ > 0)

cf. cours manuscrit pour le calcul

2.b. cas du cylindre uniformément chargé en surface (σ > 0)


2.c. cas du fil uniformément chargé (λ > 0)


3. Exemple du plan infini

Détermination de ~E :

¬ Étude des symétries et invariances PSfrag replacements

M

x

y

z

~E(z)~E(−z) = − ~E(z)

~n

~n

~nσ

S

S1S2 Slat

SG

O

• Invariances : par translation selon Ox et Oy :E(x,y,z) = E(z)

• Symétries : tout plan contenant Oz est plan desymétrie donc ~E = E.~ez.

• Conclusion :

~E(x,y,z) = E(z).~ez

Choix de la surface de Gauss : cylindre de base Set de longueur 2z passant par M .

® Application du théorème de Gauss :

• Calcul de Φ = Φ1 + Φlat + Φ2

? sur Slat, ~E.d~s = 0 d’oùΦlat = 0

2


? sur S1, ~E.d~s = E(z).ds avec z = Cte d’où E(z) = Cte et

Φ1 =

∫∫S1

E(z).ds = E(z)

∫∫S1

ds = E(z).S

? sur S2, ~E.d~s = −E(−z).ds or le plan chargé est plan de symétrie donc ~E(−z) = − ~E(z)et E(−z) = −E(z) = Cte d’où

Φ2 =

∫∫S2

E(z).ds = E(z).S

On en déduitΦ = 2E(z).S

• Calcul de Qint : Qint = σS.

• Reste à appliquer le théorème de Gauss :

Φ =Qint

ε0⇐⇒ 2E(z).S =

σS

ε0⇐⇒ E(z) =

σ

2ε0

On en déduit :~E = ±

σ

2ε0~ez

selon ~ez si z > 0 et selon −~ez si z < 0.

Relations de continuité (ou de passage) : On montre que :• Dans le cas d’une distribution volumique de charges, le champ électrostatique~E et le potentiel électrostatique V sont continus en tout point.

• Dans le cas d’une distribution surfacique : on a discontinuité de ~E à la tra-versée de la surface chargée, ce résultat est général :

PSfrag replacements

1

2~E1

~E2~n1→2

~E2 − ~E1 =σ

ε0~n1→2

où ~n1→2 est le vecteur normal à la surfaceorientée de 1 vers 2 : la composante tangen-tielle de ~E est conservée. Elle est continue à la traversée de la surface chargéealors que la composante normale de ~E est discontinue à la traversée de lasurface chargée.

• le potentiel électrostatique V est toujourscontinu.

Remarque : le potentiel électrostatique s’il est défini est toujours continu (le potentiel n’étant parexemple pas défini sur une charge ponctuelle).

Potentiel : on en déduit le potentiel V (z) par application de la relation ~E = −−−→gradV

Ici, V ne dépend que de z, soit

Ez = E = −dV

dz= ±

σ

2ε0⇐⇒ V = ∓

σ

2ε0z

selon le signe de z et en prenant la constante d’intégration nulle par convention (choix de Jauge).

3


Tracés de E(z) et V (z) :

O

E(z)

z

σ2ε0

− σ2ε0

OV (z)

z

pente + σ2ε0

pente − σ2ε0

III Formulation locale du théorème de Gauss

Soit une surface fermée quelconque S délimitant un volume τ . Soit P un point à l’intérieur de S.2 cas sont possibles :– ρ(P ) = 0 car il n’y pas de charge en P (vide)– ρ(P ) 6= 0 car il y a des charges en P (densité volumique de charge non nulle).

Charge totale contenue dans le volume τ : Q =∫∫∫

τρ(P )dτ

Si on applique le théorème de Gauss :∫∫

S~E.d~S = Q

ε0=

∫∫∫τ

ρ(P )ε0

dτ

Théorème de Green-Ostrogradski : L’opérateur divergence, défini de façon intrin-sèque, transforme donc un champ vectoriel en un champ scalaire. La significationphysique de l’opérateur divergence est intimement liée à la notion de flux : unchamp de vecteurs "diverge" en un point, si son flux à travers un volume élémen-taire associé à ce point est est non nul.

PSfrag replacementsM

M

div ~E 6= 0 div ~E = 0

∫∫S

~E.d~S =

∫∫∫τ

div ~E.dτ

avec : div ~E divergence de ~E = Ex. ~ex + Ey.~ey + Ez.~ez :

div ~E =∂Ex

∂x+

∂Ey

∂y+

∂Ez

∂z

4


D’où d’après le théorème de Green-Ostrogradski :∫∫∫

τdiv ~E.dτ =

∫∫∫τ

ρ(P )ε0

dτ

⇔ div ~E =ρ

ε0

Formulation locale du théorème de Gauss :

Valable en un point M quelconque de l’espace : div ~E =ρ(M)

ε0

IV Bilan : Comment déterminer un champ électrostatique ~E ?

Méthode : Pour déterminer le champ électrostatique ~E(M) créé par une distributionde charge D :1reétape : Étude des invariances de la distribution de charges D.

2eétape : Étude des symétries et des antisymétries de la distribution de charges D

3eétape : Choix parmi 4 méthodes possibles :

Méthode 1 : Calcul direct par intégration.

~E(M) =

∫∫∫D

d ~EP (M) =

∫∫∫D

dq

4πε0·

1

r2PM· ~uPM avec dq = ρ(P ).dτ

Méthode 2 : Calcul direct à l’aide du Théorème de Gauss.– Choix de la surface fermée de Gauss S– Calcul du flux de ~E(M) à travers la surface fermée de Gauss D– Détermination de la charge contenue dans le volume (τ) contenue dans

la surface fermée de Gauss S.∫∫S

~E(M).d~SM =Qint

ε0avec Qint =

∫∫∫τ

dq =

∫∫∫τ

ρ(P ).dτ

Méthode 3 : Calcul indirect à l’aide du potentiel électrique.

~E(M) = −−−−→grad V(M)

Méthode 4 : Calcul à l’aide des équations locales de l’électrostatique.

div ~E(M) =ρ

ε0

5


V Électrostatique et gravitation : analogies et différences

On a déjà noté une forte analogie entre la force de Coulomb et la loi d’attraction universelle, on peutdonc transposer la quasi totalité des résultats précédents pour au cas de la gravitation :

Électrostatique GravitationSources de champ Charges fixes

MassesLoi de Force

~FP→M =1

4πε0

qP qM

r2~uP→M

~FP→M = −GmPmM

r2~uP→M

Champ produit par Pen M ~E(M) =

~FP→M

qM~G(M) =

~FP→M

mM

Circulation conserva-tive car la force dé-rive d’une énergie po-tentielle

∮~E.d~r = 0

∮~G(M).d~r = 0

Potentiel (à uneconstante près) V =

q

4πε0rV = −G

m

r

Théorème de Gauss ∫∫SG

~E.d~s =Qint

ε0

∫∫SG

~G.d~s = −4πGMint

Résultats pour une particule et généralisables à une distribution.

Remarque : il subsiste toutefois des différences notables :

• la force de gravitation est toujours attractive.

• il n’y a pas de concept équivalent aux conducteurs et isolants.

• les ordres de grandeur des forces sont très différents : Félec ' 1039Fgravit si masses et chargesunités.

6


VI Les condensateurs

1. Conducteur en équilibre électrostatique

Un conducteur est, par définition un corps à l’intérieur duquel des charges (ou porteurs decharges) dites libres sont susceptibles de se déplacer sous l’action d’une force aussi petite soit-elle.Ces charges libres se déplacent sous l’action :– soit d’un champ électrique– soit d’un champ magnétique– soit d’un gradient de température

Exemples de conducteurs Porteurs de charges libresmétaux électrons

électrolytes (solutions ioniques) ions (cations et anions)

1.a. Champ et potentiel dans un conducteur

Soit un conducteur à température uniforme (−−−→grad T = ~0).

• Un conducteur est en équilibre électrostatique lorsqu’il ne se produit aucun mouvement ordonnéde porteurs de charges(Ce qui n’exclut pas les mouvements microscopiques désordonnés correspondant à l’agitation molé-culaire.)

• Si il n’y pas de déplacement de porteurs de charges =⇒ la force électrostatique est nulle :~Fe = q ~E = ~0Donc le champ électrostatique est nul à l’intérieur d’un conducteur en équilibre électro-statique.

Or dV = − ~E.d~r = 0 et donc le volume d’un conducteur à l’équilibre est un volume équipotentiel~E = −

−−−→grad V = ~0 =⇒ V (M ∈ conducteur ) = Cst

1.b. Charge d’un conducteur

PSfrag replacements

Conducteur

SG

Si l’on applique le théorème de Gauss, en choisissant une surface de Gauss SGintérieure au conducteur. On a donc :

∫∫S

~E.d~S =Qint

ε0= 0

Comme Eint = 0 on en déduit que Qint = 0. Il en résulte que, pour un conduc-teur chargé en équilibre, la densité de charges est nécessairement nulle .Equation locale du théorème de Gauss :∀M ∈ Conducteur on a div ~E =

ρ

ε0= 0 =⇒ ρ(M) = 0

7


1.c. Théorème de Coulomb : champ au voisinage de la surface d’un conducteurPSfrag replacements

Conducteur en équilibre

SG

~n

σdS

Eint = 0

~E

ρint = 0

• Un conducteur peut porter une charge totale Qtot non nulle, si ila été électrisé. La charge volumique étant nulle, cette charge étantrépartie à la surface du conducteur : densité surfacique de charges σ.• Le volume du conducteur est un volume équipotentiel V = Cst ,sa surface est donc aussi équipotentielle . Le champ électrostatiqueextérieur au voisinage du conducteur est donc orthogonal à cettesurface.

Théorème de Coulomb : ~E(P ) =σ

ε0~n

CONCLUSION - Propriétés d’un conducteur en équilibre électrostatique :

• A l’intérieur d’un conducteur en équilibre électrostatique :– Le champ électrostatique est nul : ~E = ~0– Il n’y aucune charge électrique : ρ = 0– Le conducteur est un volume équipotentiel : V = cst

• A la surface :– il peut y avoir des charges électriques (répartition surfacique) : σ 6= 0

– le champ électrostatique au voisinage de la surface est : ~E =σ

ε0~n Théorème de Coulomb

2. Le condensateur

2.a. Influence électrostatique

La répartition des charges surfaciques d’un conducteur à l’équilibre dépend du champ qui règne dansla région où il se trouve. On dit que le conducteur est influencé par le champ. La répartition descharges surfaciques d’un conducteur dépend donc des autres corps chargés qui sont dans son voisinageet de leur position relative.

L’équilibre qui s’établit traduit un phénomène d’influence . Comme pour un conducteur seul à l’équi-libre, le champ et la densité volumique de charge à l’intérieur de chaque conducteur sont nulles alorsQ =Cte et le potentiel est modifié

Déterminer les conditions d’équilibre d’un conducteur revient à chercher le potentiel etla charge de chaque conducteur.

La charge et le potentiel de chaque conducteur peuvent en outre obéir à deux contraintes :

��

PSfrag replacements

V varie

Q est constant

0V

(a) Si un conducteur i est électriquement isolé (c’est-à-dire sansaucun contact avec les autres conducteurs), sa charge totalegarde sa valeur initiale Qi , l’influence se traduit par une modi-fication de son potentiel Vi.

8


��

PSfrag replacements

V est constant(générateur)

Q varie

0V

(b) Si un conducteur j est relié à une source de potentiel constant(ou à la masse), son potentiel Vj reste constant (ou nul) ; l’in-fluence se traduit par une variation de Qj qui résulte d’un échangede charges entre le conducteur et la source (ou la masse).

2.b. Influence totale ou partielle

• Deux conducteurs A et B sont en in-fluence partielle quand toutes les lignes dechamp issues de A n’aboutissent pas surB et vice-versa.

• Deux conducteurs A et B sont en in-fluence totale quand toutes les lignes dechamp issues de A aboutissent sur B etvice-versa. Cette dernière condition est enpratique satisfaite quand B entoure A.

2.c. Capacité d’un condensateur

Definitions : Condensateur et capacité

PSfrag replacements

U

V2

V1 > V2

+Q

−Q

On appelle condensateur , un ensemble de deux conducteurs (appelés arma-tures) en équilibre électrostatique et en influence totale.Le rapport entre la charge électrique Q emmagasinée et la différence de potentielU = V1 − V2 =

∫ 12dV entre les armatures est appelé capacité du condensateur

C. Unité : Farrad : F

Q = Q1 = C.U = C.(V1 − V2)

• L’espace entre les armatures est soit le vide de permittivité ε0, soit un diélectrique de per-mittivité ε = εr · ε0.

• C > 0 toujours. C ne dépend que des caractéristiques géométriques du condensateur et descaractéristiques du diélectrique séparant les deux armatures.

• La capacité d’un condensateur suffit pour caractériser le comportement de ce condensateur auniveau électrique.

• Plus la différence de potentielle U est élevée, plus la charge électrique stockée est importante .

• A tension fixée, un condensateur de grande capacité permettra de stocker plus de chargesélectriques qu’un condensateur de capacité moindre.

• Un condensateur permet donc de stocker de l’énergie (reservoir de charges électriques) sousforme d’énergie électrostatique .

9


Détermination de la capacité d’un condensateur :1. On détermine l’expression du champ ~E = f(Q1) entre les armatures en utilisant

en général le théorème de Gauss.

2. On détermine V1 − V2 = f(Q1) en utilisant : ~E = −−−−→grad V

3. On détermine le rapport C =Q1

V1 − V2en fonction des paramètres géométriques

du système.

Exemple : Le condensateur plan

On considère un condensateur plan constitué de deux surfaces conductrices (S) planes et parallèlesdont les dimensions sont grandes par rapport à la distance e qui les sépare.

PSfrag replacements

U = V1 − V2 (V1 > V2)

P1 (V1) P2 (V2)

S

e

~exM x

+Q -Q

~E(M)

On considère donc que les deux surfaces conductrices (S) sont deux plans infinis parallèles portantles charges opposées : +Q = σ.S et −Q = −σ.SLe champ créé par un plan infini uniformément chargé en surface (σ) est : ~E = σ

2ε0~n

Pour un point M quelconque placé entre les armatures du condensateur, on obtient d’après le théo-rème de superposition :

~E(M) = ~E1 + ~E2 =σ

2ε0~ex +

−σ

2ε0(−~ex)

⇔ ~E(M) =σ

ε0~ex

Conclusion : Le champ ~E est uniforme entre les armatures d’un condensateur,• de module σ

ε0= Q

S.ε0

• de direction et de sens : la normale aux plans dirigée dans le sens des poten-tiels décroissants

Remarque : Si M est à l’extérieur du condensateur alors,

~Eext(M) = ~E1,ext + ~E2,ext =σ

2ε0~ex −

σ

2ε0~ex = ~0

10


Détermination de la capacité d’un condensateur plan : On calcule la circulation du champélectrostatique ~E entre les deux armatures P1 et P2 :

C12 = V1 − V2 = U =

∫ e0

~E.d~r =

∫ e0

σ

ε0.dx.~ex.~ex

U =σ

ε0.[x]e0 =

σe

ε0=

Qe

Sε0

Ainsi on peut exprimer la capacité du condensateur : C =Q

U=

ε0S

e

Remarque : On peut augmenter la capacité d’un condensateur en remplaçant le vide entre les deuxarmatures par un diélectrique de permittivité relative εr > 1. Dans ce cas la capacité du condensateurs’exprime :

C =εS

e=

ε0εrS

e

Exemple : Pour du mica (εr = 7), C ′ = 7C, la capacité est plus élevée si on place du mica entre les

deux armatures d’un condensateur.

2.d. Énergie d’un condensateur

L’énergie d’un condensateur est l’énergie qu’il est capable de fournir au milieu extérieur lorsqu’on ledécharge.On peut par exemple décharger un condensateur en reliant ses armatures.

Énergie d’un condensateur : L’énergie stockée dans un condensateur est :

E =1

2QU =

1

2CU

2 =1

2

Q2

C

avec U = V1 − V2 en Volt ; C en Farrad ; Q en Coulomb

2.e. Énergie électrostatique volumique

Énergie électrostatique volumique : Densité volumique d’énergie électrostatiqueen un point M de l’espace où règne un champ électrostatique ~E(M) :

ue =dEe

dτ=

ε0 ~E2

2unité : J.m−3

E =

∫∫∫dEe =

∫∫∫ue.dτ =

∫∫∫ε0 ~E

2

2dτ unité : J

11


Exemple : Retrouver l’expression de la capacité d’un condensateur plan à l’aide de l’énergie élec-trostatique.

E =

∫∫∫ε0 ~E

2

2dτ =

1

2CU 2

⇔ C =

∫∫∫ε0 ~E

2

U2dτ =

∫∫∫ε0

d2dτ =

ε0.S.d

d2=

ε0.S

d

car pour un condensateur plan : E = Ud⇔ U = E.d

2.f. Groupements de condensateurs

PSfrag replacements

QUQ1 Q2C1 C2 C

• Condensateurs en parallèle :D’après la loi des noeuds : i = i1+ i2 or on sait que i =

dQ

dtdonc

on peut écrire :

dQ

dt=

dQ1

dt+

dQ2

dt⇔ Q = Q1 +Q2

Or on sait que pour des dipôles en parallèles : U = U1 = U2, et pour un condensateur Q = C.Udonc :

U.C = U1C1 + U2C2 ⇔ C = C1 + C2

PSfrag replacements

QQ

Q

−Q

UC1

C2C

U1

U2

• Condensateurs en série :D’après la loi d’additivité des tensions : U = U1 + U2 or on saitque pour un condensateur U = Q

Cdonc on peut écrire :

Q

C=

Q1

C1+

Q2

C2

De plus on sait que pour des dipôles en série : i = i1 = i2, et i =dQ

dtdonc Q = Q1 = Q2 ainsi :

Q

C=

Q1

C1+

Q2

C2⇔

1

C=

1

C1+

1

C2

12


Table des matières

I Énoncé et exemple

II Utilisation pour le calcul de ~E1. Méthode2. Exemple du cylindre infini

2.a. cas du cylindre uniformément chargé en volume (ρ > 0)2.b. cas du cylindre uniformément chargé en surface (σ > 0)2.c. cas du fil uniformément chargé (λ > 0)

3. Exemple du plan infini

IIIFormulation locale du théorème de Gauss

IV Bilan : Comment déterminer un champ électrostatique ~E ?

V Électrostatique et gravitation : analogies et différences

VI Les condensateurs1. Conducteur en équilibre électrostatique

1.a. Champ et potentiel dans un conducteur1.b. Charge d’un conducteur1.c. Théorème de Coulomb : champ au voisinage de la surface d’un conducteur

2. Le condensateur2.a. Influence électrostatique2.b. Influence totale ou partielle2.c. Capacité d’un condensateur2.d. Énergie d’un condensateur2.e. Énergie électrostatique volumique2.f. Groupements de condensateurs

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Chapitre EM : ThØorŁme de Gauss, condensateurs · RRR ˝ ˆ(P)d˝ Si on applique le thØorŁme de Gauss : ... VI Les condensateurs 1. Conducteur en Øquilibre Ølectrostatique Un