Chapitre I : Introduction à la résistance des matériaux

Résistance des matériaux- Sollicitations simples - Centre Universitaire N B - El Bayadh 3

Chapitre I :

Introduction à la résistance

des matériaux

Chapitre I : Introduction à la résistance des matériaux


I.1. Généralités sur la résistance des matériaux (RDM)

I.1.1. Objective

La résistance des matériaux est une science qui traite les méthodes d’ingénieurs

employés pour le calcul de la résistance, la rigidité et la stabilité des éléments des

constructions et des ouvrages.

La résistance : c’est la capacité d’une structure et de ses éléments de supporter sans se

détruire, une charge déterminée (donnée).

La rigidité : c’est la capacité d’une structure et de ses éléments de s’opposer à l’action

déformatrice des charges extérieures (pas de déformation excessive).

La stabilité : c’est la capacité d’une structure et de ses éléments de conserver d’une

position d’équilibre donnée correspondant à l’état d’équilibre initial.

Pour assurer la résistance, la rigidité et la stabilité il faut choisir une forme rationnelle

économique.

La résistance des matériaux est basée sur la théorie (la mécanique rationnelle) et les

expériences des matériaux.

I.1.2. Hypothèses fondamentales de la RDM

Continuité : La matière est supposée continue, c.-à-d. que les distances entre les

molécules sont toujours très petites ; à l'échelle de la RDM, alors la matière apparaît

continue.

Homogénéité : On admettra que tous les éléments du matériau, aussi petits soient-

ils, ont une structure identique. Ses propriétés sont identiques en chaque point.

Isotropie : On admettra, qu'en tous les points et dans toutes les directions autour de

ces points, les matériaux possèdent les mêmes propriétés mécaniques.

Hypothèses sur les déformations : les déformations sont petites par rapport à

toutes les dimensions de l’élément.

Hypothèses de Navier-Bernoulli :

o Les sections planes, normales aux fibres avant déformation restent planes et

normales aux fibres après déformation.

o Les sections droites normales à la fibre neutre restent donc perpendiculaires à la

fibre neutre après déformation. Si l’on connaît la déformée de la fibre neutre, on

peut donc en déduire le déplacement de n’importe quel point de la poutre.



I.1.3. Eléments étudiés en RDM

Elément barre : corps dont deux (02) dimensions sans petites par rapport à la troisième

(Fig.I.1).

Elément plaque : corps délimité par deux (02) surfaces planes séparées par une

distance petite devant les autres dimensions (Fig.I.2).

Elément coque : corps délimité par deux (02) surfaces curvilignes séparées par une

distance petite devant les autres dimensions (Fig.I.3).

I.2. Forces extérieures et intérieures

I.2.1. Définition des forces extérieures

On appelle force extérieure ou charge, l’ensemble des forces appliquées à l’élément

considéré. Elles sont classées en deux catégories :

- Forces directement appliquées.

- Réactions d’appuis.

Axe neutre (A.N)

Fig.I.1. Elément de barre.

Fig.I.2. Elément de plaque.

Fig.I.3. Elément coque.



I.2.1.1. Forces directement appliquées

Elles comprennent les volumiques ou massiques dues essentiellement au poids propre

et les forces superficielles représentées par les actions extérieures agissant sur les surfaces

des corps, on distingue parmi ces dernières forces :

a- Forces réparties

Elles se classent en deux catégories, forces uniformément réparties (Fig.I.4.-a-) et forces

à répartition variable (Fig.I.4-b- et -c-).

-a- -b- -c-

Fig.I.4. Catégories des forces réparties.

b- Forces concentrées

Ce sont des forces appliquées au solide considéré sur une faible surface qu’on peut en

première approximation, assimiler à un point ou à une ligne (Fig.I.5).

Fig.I.5. Catégories des forces concentrées.

I.2.1.2. Réactions d’appuis

Pour maintenir une structure en équilibre, il faut opposer les forces qui lui sont

appliquées, des réactions que l’on fait apparaitre en disposant des obstacles ou des appuis.

On distingue trois (03) types d’appuis :

a- Appuis simple : La rotation et un unique déplacement sont libres, l’autre

déplacement est bloqué.

b- Appuis double (articulation ou rotule) : La rotation est libre, les deux

déplacements sont bloqués.

c- Appuis triple (encastrement) : la rotation et les déplacements sont bloqués.



Les différentes variantes des principaux schémas utilisés pour représenter ces liaisons

sont illustrées à la figure I.6.

-a- Appuis simple -b- Appuis double -c- Appuis triple

Fig.I.6. Représentations des types de liaisons.

I.2.1.3. Types de structures en RDM

Selon le type de liaison (appui) dans une structure, nous connaissons le nombre

d’inconnus et en fonction de dernier nous aurons plusieurs types de structures.

a- Structure hypostatique (astatique ou mécanisme) : c’est une structure dans

laquelle, le nombre d’inconnus est inférieur au nombre d’équations de la statique.

b- Structures isostatiques : le nombre d’inconnus est égale au nombre d’équations de

la statique.

c- Structures hyperstatiques : le nombre d’inconnus est supérieur au nombre

d’équations de la statique.

Le degré hyperstatique de la structure = Nbre des inconnus – Nbre des équations.

La figure suivante I.7 représenté les différents types de structures :

-a- Structure hypostatique -b- Structures isostatiques

-c- Structures hyperstatiques

Fig.I.7. Différents types de structures.



I.2.2. Force intérieurs

I.2.2.1. Définition

On appelle forces intérieures, des forces qui interviennent dans un corps sous l’action

des forces extérieures. Les efforts intérieurs résultants déterminés ne sont rien d’autres

que les composantes du vecteur principal et du moment principal des forces intérieures.

Pour déterminer les forces intérieures qui apparaissent dans un corps sollicité on utilise

en RDM, la méthode des coupures appelée aussi la méthode des sections.

I.2.2.2. Principe de la méthode

Elle consiste à l’aide d’un certain plan, à couper virtuellement le corps sollicité en deux

(02) parties. Pour chacune de ces parties se trouve un équilibre sous l’action des charges

extérieures qui lui sont appliqués, il faut remplacer l’action de la partie coupée, par un

système des forces intérieures agissant dans les deux sections. Ces forces au partie gauche

seront égales en valeur absolue et de direction opposée aux forces intérieures agissant

dans la section du coté droite (Fig.I.8).

Fig.I.8. Représentation des efforts intérieurs (N, T et Mf).

Pour calculer ces efforts, on applique la méthode des sections d’un corps en équilibre. Un

corps est dit en équilibre, si la somme des forces est égale à zéro et la somme des moments

est nulle également.



Conditions d’équilibre :

Σ𝐹𝑥 = 0 ; Σ𝑀/𝑥 = 0

Σ𝐹𝑦 = 0 ; Σ𝑀/𝑦 = 0

Σ𝐹𝑧 = 0 ; Σ𝑀/𝑧 = 0

I.3. Déformation

I.3.1. Notion d’état déformé d’un matériau

La déformation d’un matériau est due à une action des forces extérieures et de la

température. Un corps déformé est celui qui a changé la forme et les dimensions.

I.3.2. Nature de déformation

On distingue deux types de natures :

- Déformation élastique qui disparaît avec la disparition des forces.

- Déformation plastique (résiduelle) qui reste même après suppression des forces.

I.3.3. Principaux type de déformations

a- Traction et compression

La traction ou la compression ont lieu lorsque les forces opposées sont appliquées le

long de l’axe d’une barre (Fig.I.9).

𝜺 =∆𝒍

𝒍𝟎 → (Allongement ou raccourcissement relatif)

Traction

Compression

∆l (Allongement)

∆l (raccourcissement)

F

F

l0

Fig.I.9. Déformation due à la traction / compression.

…………...…. (I.01)



b- Flexion

Consiste en un gauchissement de l’axe une barre droite.

avec :

f : déplacement verticale (Flèche).

θ : déplacement angulaire (rotation).

c- Cisaillement

Il a lieu lorsque les forces extérieures provoquent déplacement de deux sections planes

parallèles l’une par rapport à l’autre, la distance entre elles restant inchangée.

Fig.I.11. Déformation due au cisaillement.

avec :

γ : l’angle de glissement

f

θ

Fig.I.10. Déformation due à la flexion.

Support fixe Support mobile

F

∆x

∆y

γ



d- Torsion

Il a lieu lorsque sur une barre, agisse des forces extérieures qui engendrent un moment

par rapport à son axe. La déformation de torsion s’accompagne d’une rotation transversale

de la plaque l’une par rapport à l’autre autour de l’axe de ce dernier.

Fig.I.12. Déformation due à la torsion.

I.4. Applications

- Déterminer les réactions d’appuis des poutres ci-dessous comportant une travée de

portée L et reposant sur deux appuis (simple et double) :

a) Soumise à une charge concentrée F :

b) Soumise à une charge uniformément répartie q :

- Tracer les diagrammes des efforts internes pour les deux poutres ci-dessus.

F

F l

φ



Solution

a. Charge concentrée F :

- Calcule les réactions et les efforts internes :

2;

2

02

.0

0

00

FR

FR

LFLRM

FRRF

RF

AyBy

ByA

ByAyy

Axx

==

=−=

=+=

==

Section 1-1 :

==

==

=

=+−=

==−=

==+=

42

00

.2

0.0

200

000

1

1

1

10

11

11

FLMLx

Mx

xF

M

MxRM

FTTRF

NNRF

f

f

f

fAy

Ayy

Axx

Section 2-2

==

==+−=

=+−+−=

−==−−=

==+=

042

2.

2

0)2

(.0

200

000

0

22

22

f

ff

fAy

Ayy

Axx

MLx

FLMLxFL

xF

M

ML

xFxRM

FTTFRF

NNRF



- Diagrammes des efforts internes :

b. Charge uniformément répartie q :

- Calcule les réactions et les efforts internes :

2;

2

02

.0

0

00

qLR

qLR

LqLLRM

qLRRF

RF

AyBy

ByA

ByAyy

Axx

==

=−=

=+=

==

Section 1-1 :



==

==

==

−=

=++−=

==

−==

==

−==−−=

==+=

0

82

00

2.

2

02

...0

20

2

20

.2

0.0

000

22

0/

/

/

f

f

f

f

fAy

Ayy

Axx

MLx

qLM

Lx

Mx

xqx

qLM

Mx

xqxRM

LxT

qLTLx

qLTx

xqqL

TTxqRF

NNRF

- Diagrammes des efforts internes :

Résistance des matériaux - Sollicitations simples - Centre Universitaire N B - El Bayadh 23

Chapitre III :

Traction simple et

compression simple

Chapitre III : Traction simple et compression simple


III.1. Introduction

Ces deux sollicitations simples sont distinctes et un certain nombre de matériaux ont un

comportement différent en traction et en compression (fonte, béton…). Cependant, dans les

deux cas, nous arriverons aux mêmes relations de contraintes et de déformations.

Dans le repère (G x y z) lié à la section, traction et compression se différencieront par le

signe de l’effort normal N > 0 (traction), N < 0 (compression).

III.2. Définitions

Une poutre est sollicitée à la traction simple lorsqu'elle est soumise à deux forces

directement opposées qui tendent à l'allonger et appliquées au centre de gravité des

sections extrêmes.

Fig.III.1. Poutre sollicitée à la traction simple.

Dans ce cas, les forces de cohésion se réduisent à une composante normale N>0.

Fig.III.2. Effort normale d’une poutre sollicitée à la traction simple.

Une poutre est sollicitée à la compression simple lorsqu'elle est soumise à deux forces

directement opposées qui tendent à le raccourcir et appliquées au centre de gravité des

sections extrêmes.

Fig.III.3. Poutre sollicitée à la compression simple.



Dans ce cas, les forces de cohésion se réduisent à une composante normale N<0.

Fig.III.4. Effort normale d’une poutre sollicitée à la compression simple.

III.3. Contrainte normale σ

Pour les deux sollicitations, traction et compression, elles s'expriment de la même façon.

Donc, Chaque élément de surface S supporte un effort de traction parallèle à la ligne

moyenne. Il y a répartition uniforme des contraintes dans la section droite. D’où :

=A

dAN

Fig.III.5. Barre encastrée sollicitée en traction.

Comme σ et N sont les constants ici : N = σ.A

A

N=

Remarques III.1

Dans le cas de la compression, si les dimensions longitudinales sont trop importantes

aux dimensions transversales, il y a risque de flambement (ou flambage).

Cette formule est également valable pour la compression à la seule différence que σ de

compression est considérée négative.

…………………………………………….. (III.01)

………………………………………………... (III.02)



III.4. Détermination des déformations

III.4.1. Loi de Hooke

Pour de nombreux matériaux sollicité par une charge jusqu’à la limite définie, les

expériences montrent que la relation entre l’allongement relatif ε et de la contrainte σ est

de la forme :

EE

== .

ε = ∆l/l0 : Allongement relatif de l’éprouvette.

∆l = l - l0 : Allongement total (absolue) de l’éprouvette.

l0 : Allongement de l’éprouvette avant déformation.

l : Allongement de l’éprouvette après déformation.

III.4.2. Module de Young E

Le coefficient E de la loi de Hooke s’appelle module de Young ou module d’élasticité

longitudinale. Il caractérise la rigidité des matériaux c’est-à-dire sa propriété de résistance

à la déformation longitudinale.

Tab.III.1. Module de Young de certains matériaux.

Matériau E (en MPa)

Acier 2x105 à 2,2x105

Cuivre 1x105

Bois 1x104

Aluminium 0,675x105

Fonte 0,75x105 à 1,6x105

III.4.3. Coefficient de Poisson ν

Les déformations longitudinales ε et transversales ε’ sont liées par la relation empirique

suivante :

.−=

Où ν est le coefficient de Poisson.

Ce coefficient caractérise l’aptitude du matériau à subir des déformations transversales.

……………………………………… (III.03)

………………………………………………. (III.04)



Tab.III.2. Coefficient de Poisson de certains matériaux.

Matériau ν (sans unité)

Pour tous les matériaux 0 ≤ ν ≤ 0,5

Pour la plus part 0,25 ≤ ν ≤ 0,35

Acier ν ≃ 0,5

III.5. Contraintes admissibles

Les contraintes admissibles sont les contraintes que peut supporter sans danger, une

construction.

uadm

adm

uadm

=

Où :

σadm : Contrainte admissible.

ηadm : Coefficient de sécurité admissibles.

σu : Contrainte ultime (limite) ou contrainte dangereuse (de rupture).

Le diagramme suivant représente la variation des contraintes :

Fig.III.6. Diagramme contrainte / déformation.

………………………………………………. (III.05)

………………………………………………. (III.06)



avec :

σél : Contrainte d’élasticité.

σéc : Contrainte d’écoulement (déformation résiduelle ≃ 0,2 %).

σul : Contrainte ultime (limite) = Fmax/A0.

σrup : Contrainte de rupture = Frup/𝑨𝟎′ .

𝑨𝟎′ : Section après allongement.

III.6. Coefficient de sécurité

Il est introduit pour assurer le service sans aléas de l’ouvrage et de ses parties

constructives. Malgré les écarts déformables éventuels des conditions réelles par rapport

un celles réduits par les calculs.

Tab.III.3. Coefficient de sécurité des matériaux fragiles et plastiques.

Matériaux fragiles A

Fu == max η = 2 à 3

Matériaux plastiques écoulementu = η = 3 à 4

III.7. Application

Soit le système ci-dessous, On demande de tracer les

diagrammes des efforts normaux et des contraintes

normales. (Avec L = 3m, F=20t, q = 2 t/m et S = 10cm²).

Solution :

Calcul des efforts normaux et contraintes normales :

Calcul RA : qLFRqLFRF AAx +==++−= 00/

tRA 26=



Section 1-1 : 2

0L

x

AAx RNNRF ==+−= 11/ 00

tN 261 =

²/ 6,210

26 1

1

11 cmtS

Nxx ===

Section 2-2 : LxL

2

FRNNFRF AAx −==++−= 22/ 00

tN 62 =

²/ 6,010

6 2

1

22 cmtS

Nxx ===

Section 3-3 : Lx 0

xqNNxqF x .0.0 33/ ==+−=

=→=

=→=

tNLx

Nx

6

00

3

3

=→=

=→==

²/ 5,03

00

3

3

2

33

cmtmx

x

S

N

x

x

x

Diagrammes :


Chapitre II :

Caractéristiques géométriques

des sections planes

Chapitre II : Caractéristiques géométriques des sections planes


II.1. Introduction

Pour une sollicitation de traction ou compression simple, seule la donnée de l'aire de la

section droite est nécessaire pour étudier ou vérifier la résistance d’une section d’une

poutre par exemple. Pour toutes les autres sollicitations, la forme et les dimensions de la

section droite de la poutre jouent un rôle prépondérant sur le comportement aux

différentes sollicitations de torsion ou de flexion.

Dans la suite de ce chapitre nous développerons les notions de : moment d’inertie,

moment statique, moment résistant et de rayon de giration.

II.2. Moment statique et centre de gravité

II.2.1. Définition du moment statique

Le moment statique d’une section SZ par rapport à un axe quelconque Z est la somme

des produits de surfaces élémentaires de cette section par la distance d.

La caractéristique géométrique SZ définit par l’intégrale suivante :

==A

Y

A

Z zdASydAS ;

Remarques II.1 :

Le moment statique par rapport à un axe passant par le centre géométrique est

nul.

Le moment statique d’une surface d’aire A est égal au produit de l’aire A par la

distance de son centre de gravité à l’axe.

Le moment statique d’une figure complexe : 𝑆𝑍 = ∑ 𝐴𝑖𝑦𝑖𝑛𝑖=1 ; 𝑆𝑌 = ∑ 𝐴𝑖𝑧𝑖

𝑛𝑖=1

II.2.2. Centre de gravité

Le centre de gravité d’un corps est le point d’application de son poids considéré comme

la résultante des forces élémentaires verticales, les coordonnées du centre de gravité sont :

Fig.II.1. Centre de gravité.

…………...……………………… (II.01)



;;

==

A

AG

A

AG

dA

ydA

ydA

zdA

z

Où z et y sont les coordonnées de dA et ∫ 𝒅𝑨𝑨

= 𝑨.

Pour des figures particulières les coordonnées du centre de gravité sont :

;

;

1

1

1

1

=

=

=

=

=

=

n

i

i

n

i

ii

G

n

i

i

n

i

ii

G

A

Ay

y

A

Az

z

Où zi et yi forment les coordonnées du centre de gravité de Ai

Exemple :

Déterminer le centre de gravité de la section rectangulaire de dimension bxh :

2

2

1

2

1

2

1

11

2

0

0

2

00

2

0 0

bz

hb

bhy

z

bhdy

z

bhz

dyzdzA

zdzdyAdA

zdA

z

G

h

bhb

G

b h

A

A

AG

=

=

=

=

===

2

2

1

2

11

11

2

0

2

0

0

0

0 0

hy

hb

bh

yz

bhydyz

bhy

ydydzA

ydzdyAdA

ydA

y

G

h

bh

b

G

b h

A

A

AG

=

=

==

===

Fig.II.2. Centre de gravité des figures particulières.

…………...……………………… (II.02)

…………………… (II.03)

…………………… (II.04)



II.2.3. Moment d’inertie

Nous définirons le moment d’inertie d’une section comme étant la somme des produits

de surfaces élémentaires de cette section par le produit du carré de leur distance d à un

élément de référence r qui peut être un point, une droite ou un plan.

=

==n

i

iir

A

r AdIdAdI1

22

Ce qui se passe, c’est qu’en pratique en résistance des matériaux, les éléments de

références pour calculer les moments d’inertie sont en général des axes. On peut par

ailleurs montrer qu’il existe deux directions (orthogonales entre elles) pour lesquelles le

moment d’inertie correspondant est un extremum local. Si le point d’intersection des deux

directions se situe au centre de gravité G de la section, ces deux directions seront appelées :

axes centraux principaux d’inertie, et les moments d’inertie correspondant sont les

moments d’inertie principaux.

Fig.II.3. Moment d’inertie.

=

=

=

=

=

=n

i

iiy

n

i

iix

A

y

A

z

AzI

AyI

dAzI

dAyI

1

2

1

2

2

2

L’unité du moment d’inertie (de surface) est une surface m2 multipliée par une distance

au carré (m)2 : ce qui donne une longueur exposant 4 : m4.

…………………………….. (II.05)

………………………………. (II.06)



Le moment d’inertie particulier par rapport à O (appelé pôle), c’est-à-dire, en fait, par

rapport à un axe perpendiculaire à la surface et passant par l’intersection des deux axes X

et Y (le point O étant le centre de gravité G de la surface), s’appelle : inertie polaire Iρ et

vaut, dans le plan :

=A

dAI 2

ρ : est la distance entre le pole O et dA.

Remarque II.1

Iz et Iy sont toujours positifs.

On à ρ2 = z2 + y2 donc :

( )

yz

AAAA

III

dAydAzdAyzdAI

+=

+=+==

22222

II.2.4. Moment d’inertie centrifuge (Produit d’inertie)

On appelle le moment d’inertie centrifuge la caractéristique géométrique définit par

l’équation suivante :

=A

zy zydAI

Remarque II.2

Izy peut être positif, négatif au nulle.

Théorème : Si les axes réciproquement perpendiculaires sont z et y où l’un de ces

axes constitue l’axe de symétrie de la figure, alors par rapport à ces axes : Izy = 0.

II.2.5. Théorème du changement d’axe

Le théorème du changement d’axe permet de calculer un moment d’inertie par rapport à

un axe parallèle à un axe passant par le centre de gravité et dont on connaît déjà le moment

d’inertie. Il s’énonce comme suit :

…………………………………………….. (II.07)

………………………………………………………………………………………… (II.08)

…………………………………………….. (II.09)



Fig.II.4. Moment d’inertie par rapport à un axe parallèle.

( )

AaSaI

dAadAyadAy

dAyaaydAyI

xz

AAA

AA

z

2

00

2

0

2

0

0

22

0

2

11

2

2

2

++=

++=

++==

On a Sz0 = 0 donc :

AaII zz

2

01 +=

avec : Iz0 < Iz1

II.2.6. Rayon de giration et ellipse d’inertie

Le moment d’inertie d’une figure par rapport à un axe quelconque peut être représenté

sous forme de produit de l’aire de cette figure par le carré d’une certaine grandeur appelée

rayon de giration i.

22 z

A

z iAdAyI ==

Où :

A

Ii

A

Ii

y

yz

z == ;

iz et iy sont des rayons de giration par rapport z et y respectivement.

12

2

2

2

=+zy i

y

i

z

L’ellipse définie par l’équation (II.13) est appelée ellipse d’inertie de la figure et les axes

z et y sont les axes principaux d’inertie de la figure.

……………………………………... (II.12)

……………………………………............... (II.13)

…………………………………………... (II.10)

………………………………………… (II.11)



II.3. Application

Soit les sections ci-dessous :

a) Section rectangulaire (b×h) b) Section triangulaire (b×h) c) Section circulaire (R)

1. Calculer les moments d’inertie par rapport à l’axe Z0 passant par le centre de gravité.

2. Calculer les moments d’inertie de la section rectangulaire et triangulaire par rapport

à l’axe Z qui passe par leur extrémité inférieure.

Solution :

a) Section rectangulaire (b×h)

Le moment d’inertie de la section rectangulaire par

rapport à l’axe Z0 passant par le centre de gravité égale a :

dybdAetdAyIA

Z . 2

0 ==

Donc :

123

3

0

2

2

32

2

2

0

bhI

ybdyybI Z

h

h

h

h

Z =

==

+

−

+

−

Le moment d’inertie de la section rectangulaire par rapport à l’axe Z passant par leur

extrémité inférieure égale a :

33

3

0

3

0

2 bhI

ybdyybI Z

hh

Z =

==

++

Où :

( )3412212

333232

0

bhI

bhbhhb

hbhAaII ZZZ =+=

+=+=



b) Section triangulaire (b×h)

Le moment d’inertie de la section triangulaire par rapport à l’axe Z0 passant par le

centre de gravité égale a :

( )y

h

bbb

yh

b

h

b

dybdAetdAyIA

Z

−=−

=

== . 2

0

Donc :

36

33

3

0

3

2

3

43

2

3

33

2

3

33

2

3

2

0

bhI

y

h

bybdyy

h

bdyybI

Z

h

h

h

h

h

h

h

h

Z

=

−

=−=

+

−

+

−

+

−

+

−

Le moment d’inertie de la section triangulaire par rapport à l’axe Z passant par leur

extrémité inférieure égale a :

1218362336

333232

0

bhI

bhbhhbhbhAaII ZZZ =+=

+=+=

c) Section circulaire (R)

( )

ddA

ddAetdAIA

2

222

=

−+==

Donc :

322422

44

0

4

0

3 DRIdI

RR

==

==

On a pour un cercle Iρ = IZ0 + IY0 et comme IZ0 = IY0 par symétrie ; alors :

644

44

0

DRI Z

==


Chapitre V :

Flexion plane simple

Chapitre V : Flexion plane simple


V.1. Introduction

L'effet des charges latérales sur une poutre s’interprète en une déformation de l'axe

longitudinal initialement droit (x x’) en une courbe curviligne (Fig.V.1). L'état d'une section

de poutre ou de toutes les composantes des efforts internes, seule un moment fléchissant My

ou Mz n'est pas nul, est dit état de flexion plane pure. La déformation résultante de ce genre

de sollicitation est connue sous le nom de la flèche. Lorsque l'effort tranchant n'est pas nul,

en ce cas la sollicitation est dite état de flexion simple.

Fig.V.1. Poutre soumise en flexion simple.

Nous nous limiterons dans ce chapitre à l'étude de la flexion des poutres droites

isostatiques, c'est-à-dire le nombre des équations d’équilibre égale aux inconnus des actions

de liaison.

V.2. Efforts tranchants, moments fléchissant

On prend un élément de poutre pris entre deux sections (S) et (S') infiniment voisines,

distantes de dx (Fig.V.2).

Fig.V.2. Elément de poutre.

Si aucun effort ne s'exerce sur la poutre entre les sections (S) et (S'), l'équilibre de

l'élément s'écrit :

0=−−+ dMMTdxM

Tdx

dM=

Ainsi, sur toute portion de poutre comprise entre des charges, l'effort tranchant est la

dérivée par rapport à l’abscisse x du moment fléchissant.

S S’

……………..………………….…. (V.01)

……………..………………………………...…. (V.02)



Cas d’une charge répartie

Dans le cas où la charge répartie q s'exerce entre les sections (S) et (S') (Fig.V.3). La charge

totale appliquée sur l'élément est q.dx.

Fig.V.3. Elément de poutre chargée par une force uniformément répartie.

Donc l’équilibre des forces sur l'élément est :

0=−−− dTTqdxT

qdx

dT=

et l'équilibre des moments donne:

02

. =−−−+ dMMdx

dxqTdxM

( )0

2

2

=−−−+ dMMdx

qTdxM

On a :

( )0

2

2

dx

Il reste :

Tdx

dM=

Ce qui veut dire que la relation entre l’effort tranchant et le moment fléchissant reste

valable au premier ordre.

………………………………………… (V.03)

………………………………………………….. (V.04)

………………………………. (V.05)

………………………………. (V.06)

………………………………………………….. (V.07)

………………………………………………….. (V.08)



V.3. Formule des contraintes en fonction de Mf

V.3.1. Contrainte normale

Les formules utilisées pour le calcul des contraintes normales sont généralement établies

à partir d’une flexion pure. La flexion pure est caractérisée par le fait que les trois

composants des efforts internes (N, T et Mf), seul Mf est différent de zéro.

N = 0 ; T = 0 ; Mf ≠ 0

La figure IV.4 schématise une poutre, soumise à la flexion pure.

-a-

-b-

Fig.V.4. Illustration de la flexion pure : (a) tronçon a a’ de poutre en flexion pure, (b)

poutre en flexion pure.

Selon l’hypothèse de Bernouilli, on peut écrire :

( ) yI

My

z

zx =

…………………………………………….. (V.09)



Fig.V.5. Contrainte dans une fibre déformée.

avec :

y est la distance à l’axe.

IZ le moment d’inertie par rapport à l’axe de flexion (Axe ZZ’).

dont on note que:

Les contraintes sont proportionnelles au moment fléchissant et inversement

proportionnelles au moment d'inertie I.

Les contraintes varient linéairement avec la distance y de l'axe neutre.

La fibre la plus sollicitée (la contrainte de traction ou de compression maximale) est

située au point le plus éloigné de l'axe neutre.

V.3.2. Contraintes tangentielles

Dans une poutre soumise en flexion plane simple, en plus de la contrainte normale σx on

a une contrainte tangentielle τ. La contrainte tangentielle s’exprime de la manière suivante

(l’équation de Jouravsky) :

( )( )

( )ybI

ySTy

z

zy

xy.

.=

avec :

Ty : l’effort tranchant dans la section (S) considérée.

Sz : est le moment statique de la poutre par rapport à l’axe Z.

Iz : moment d’inertie de la section (S) par rapport à l’axe Z.

b(y) : est la largeur de la fibre étudiée correspondant à la coordonnée y.

…………………………………………. (V.10)



Fig.V.6. Répartition de la contrainte tangentielle sur la section (S) le long de l'axe Y.

Remarques

- Dans le cas de la figure V.6 (Sz positif), le signe de τxy dépend uniquement du signe de

Ty.

- τxy varie le long de la hauteur de la section en fonction de Sz et b(y). Pour les points les

plus éloignés de l’axe neutre τxy = 0.

V.3.3. Conditions de résistance

Les contraintes maximales appliquées à la poutre sont données pour les valeurs

maximales ymax de y. elles ne doit pas dépasser les limites élastiques pratiques à la

compression-traction et au cisaillement, soit:

adm max

max

V.4. Déformation (flèche)

Considérons une poutre reposant sur deux appuis soumise à une charge concentrée

verticale (Fig.V.7).

Fig.V.7. Poutre simplement appuyée soumise à une charge concentrée.

……………………………………………. (V.11)

……………………………………………….. (V.12)



Après déformation, la poutre accuse une flèche (Fig.V.8) et on constate que la partie

supérieure est sollicitée en compression tandis que la partie inférieure est sollicitée en

traction. Entre ces deux régions, il existe une fibre ni comprimée ni tendue ; c’est la fibre

neutre.

Fig.V.8. Déformation d’une poutre simplement appuyée soumise à une charge concentrée.

On admet la relation suivante qui permet le calcul de la déformée :

( )( )

z

z

EI

xMxy =

avec :

y´´(x) : est la dérivée seconde de la flèche par rapport à x

Mz(x) : le moment fléchissant à la section d'abscisse x.

E : le module d'élasticité longitudinale (module d'Young).

Iz : le moment d'inertie de la section par rapport à l'axe ZZ’ passant par le centre de gravité

et perpendiculaire au plan moyen de la poutre.

Exemple : Déterminer la flèche et l’angle de rotation à l’extrémité libre de la poutre

suivante :

- Calcul du moment fléchissant (0<x<L)

−=→=

=→=−=

=−−=

FLMLx

MxxFM

xFMM

f

f

f

fo

00.

0.0/

……………………………………….. (V.13)



- Intégration de l’équation ( )xy :

( ) = )(' xxy C’est l’angle de rotation.

( ) = )(xfxy C’est la flèche.

Donc :

( ) ( ) ( ) ++−

=+−

=−

=21

3

1

2

.62

' cxcEI

Fxxyc

EI

Fxxy

EI

Fxxy

zzz

- c1 et c2 seront déterminées par les conditions aux limites suivantes :

( )

( ) ) (0'

) (0

rotationlaLyLx

flèchelaLyLx

→==

→==

( ) ( )zzzz EI

FL

EI

Fxxy

EI

FLcc

EI

FLLy

22'

20

20'

222

11

2

+−

===+−

=

( ) ( )zzzzzz EI

FLx

EI

FL

EI

Fxxy

EI

FLccL

EI

FL

EI

FLLy

3.

2630.

260

3233

22

23

−+−

=−

==++−

=

La flèche et l’angle de rotation sont calculer à l’abscisse x = 0, donc :

( )zEI

FLy

30

3

−= et ( )zEI

FLy

20'

2

=

V.5. Application

Tracer les diagrammes des efforts internes (Mf et T) de la poutre ci-dessous :

Solution :

- Calcule des réactions :

RAY

RBX

RBY 1-1 2-2



4

5

42..2.

02

..2.0

0

00

2

/

/

/

qLR

qLRqL

LLqLR

ML

LqLRM

qLRRF

RF

Ay

ByBy

ByA

ByAyy

Bxx

=

−=−=

=+−=

=+=

==

- Calcule des efforts internes :

Section 1-1 : Lx 0

=→=

=→=

−=

=+−=

=→=

=→=

−=

=−−=

==

4

3

00

2.

4

5

02

..0

4

4

50

4

5

00

00

2

1

112

1

1/

1

1

1

1/

1/

qLMLx

Mxx

qxqL

M

xqxxRMM

qLTLx

qLTx

qxqL

T

qxTRF

NF

f

f

f

Ayfo

Ayy

x

Section 2-2 : Lx 0

=→=

=→=

+−=

=++−=

=

=+=

==

4

3

0

.4

0.0

4

00

00

2

2

2

2

2

2

2/

2

2/

2/

qLMLx

qLMx

qLxqL

M

MxRMM

qLT

TRF

NF

f

f

f

Byfo

Byy

x



Centre Universitaire Nour Bachir El-Bayadh

Faculté des sciences

Département de

technologie

2 LGC + 2 LHYD

4ème Semester

Module : RDM I

TD N°01 : Calcul des réactions d’appuis et des efforts internes

Exercice n°01 :

Déterminer les réactions d’appuis des poutres A et B suivantes comportant une travée de portée L et

reposant sur deux appuis (simple et double) :

a) Soumise à une charge concentrée P :

b) Soumise à une charge uniformément répartie q :

Exercice n°02 :

Soit la poutre comportant un porte à faux et supportant une charge uniformément répartie sur la

travée et une charge concentrée P appliquée à son extrémité droite. On vous demande de déterminer les

réactions d’appuis.

Exercice n°03 :

Calculer pour la poutre B de l’exercice 1, les efforts internes à la section du milieu.

Exercice n°04 :

Calculer les réactions d’appuis ainsi que les efforts internes à la section du milieu.



Département de

technologie

2 LGC + 2 LHYD

4ème Semester

Module : RDM I

TD N°02 : Systèmes sous l’effet d’effort normal (Traction ou compression)

Exercice n°01 :

Soit les systèmes ci-dessous, On demande de :

1. Tracer les diagrammes des efforts normaux, des contraintes normales et des déformations. (L=3m,

P=20t, q=2t/m et A=10cm²)

2. Calculer l’allongement total sachant que le module de Young E=2.1 105 MPa.

Exercice n°02 :

Déterminer l’aire de la section de la barre ci-dessous, sachant que [σ] = 1000 kg /cm2

Exercice n°03 :

On donne le système à fil ci-dessous. Tracer le diagramme des efforts normaux dans les fils BD et CE et

calculer le déplacement du point B. La barre ABD est infiniment rigide. Données : P=2t, A=1cm², L=40cm,

E=106 Kg/cm²



Département de

technologie

2 LGC + 2 LHYD

4ème Semester

Module : RDM I

TD N°03 : Caractéristiques géométriques des sections droites

Exercice n°01 :

Déterminer pour les sections planes ci-dessous :

a) Coordonnées du centre de gravité.

b) Moments statique Sz et Sy.

c) Moments d’inertie centraux Iz et Iy.

d) Moments d’inertie centrifuge Izy.

(Les dimensions sont en mm)

Exercice n°02 :

Pour la section plane montrée par la figure ci-contre,

sachant que IZ'Z = 2690,44 cm4 et IY'Y = 158,44 cm4,

déterminer :

- Le rayon "R" du creux circulaire.

- La position "d" du centre de gravité du creux circulaire

par rapport à l'axe Z'Z.

80

100

Z’ Z



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technologie

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4ème Semester

Module : RDM I

TD N°04 : Flexion plane simple

Exercice n°01 :

Tracer les diagrammes des efforts internes (Mf et T) des poutres suivantes :

Exercice n°02 :

Soit la poutre définie ci-dessous (L = 1 m, q = 50 kN/m), de section de I (a=5, b=4).

- Tracer les diagrammes de moment fléchissant et effort tranchant. Préciser Mfmax et Tmax.

- Dimensionner le profil en I si σadm = 120 MPa.

Documents

Chapitre I : Introduction à la résistance des matériaux