Chapitre i Tzsdfdssdfdsfgsqdsdfdsfgsqdfgsqd

Notes de Cours

en Mcanique des Fluides

2me Anne Ingnieurs Mcatronique

2011-2012

Prof. Tourki Z.

Notes de Cours Mcanique des Fluides Chap. I

ENISo 2011-12 Tourki Z. 2

Plan du Cours :

Chapitre 0 : Introduction gnrale et rappel sur la statique des fluides

I / Dfinitions fondamentales

1. Notion de fluide

2. Notion de particule de fluide

3. Fluide parfait, rel, incompressible

4. Champ de vitesse

II / Rappel sur la statique des fluides

1. Pression et force en un point dun fluide parfait 2. Thorme de Pascal 3. Pousse sur une paroi verticale 4. Thorme dArchimde 5. Applications (manomtre deux liquides, flotteur de carburateur)

Chapitre 1 : Cinmatique des fluides


1. Variables de Lagrange, variables dEuler

2. Lignes de courant, lignes dmission

3. Notions de drives particulaires (fonction scalaire, vectorielle, intgrale de volume,

quation de continuit)

II / Etude du champ de vitesses

1. Au voisinage dun point 2. Tenseur des taux de dformation 3. Pousse sur une paroi verticale 4. Quelques interprtations physiques

Chapitre 2 : Equations fondamentales de la dynamique

I / Introduction

II / Equation de conservation de la masse

III / Equation de conservation de la quantit de mouvement



1. Enonc du principe

2. Equations dynamiques locales

3. Equations de lnergie

4. Conditions initiales et conditions aux limites

Chapitre 3 : Dynamique des fluides parfaits

I / Equations dEuler (cas unidimensionnel)

II / Relations de Bernoulli

III / Formules dapplication pratiques (dbimtre tube de Venturi)

IV / Ecoulement nergie constante

V / Thorme dEuler (coulement dans un tube)

VI / Applications importantes de lquation de Bernoulli

1. Formule de Toricelli (1643)

2. Mesure de la pression statique dun fluide

3. Pression en un point darrt

4. Sonde de Pitot

5. Application aux machines hydrauliques (machines tournantes, hlice propulsive,

etc)

Chapitre 4 : Dynamique des fluides visqueux

1. Forces de viscosit et coefficient de viscosit abslu

2. Equations de Navier Stockes

3. Viscosit cinmatique, diffusion et convection, nombre de Reynolds

4. Trane dune sphre en mouvement rectiligne uniforme dans un fluide

5. Ecoulement de Poiseuille



CHAPITRE 0

RAPPEL SUR LA STATIQUE DES FLUIDES



Introduction :

La mcanique des fluides est un domaine important de la mcanique permettant

de transmettre de fortes pressions. On la rencontre dans les domaines suivants :

Statique (notion des corps flottants)

Hydrodynamique :

o Mcanique des fluides externes (ponts, chemine, sous-marins,

bateaux )

o Mcanique des fluides internes (canalisation)

o Groupes de machines (gnratrices : compression piston, hlice

propulsive, davion ; motrices : marteau piqueur, olienne, turbine

)

Arodynamique (mouvement des avions et des corps volants)

LAcoustique


1. Notion de fluide :

Un fluide est une substance qui se dforme continument sous leffet de

lapplication dune contrainte de cisaillement (tangentielle) aussi faible soit-elle.

Cette dfinition comprend les liquides et les gaz. Un fluide est suppos un milieu

continu : idalisation qui fait abstraction de la structure molculaire de la

matire. Ceci permet de donner un sens la notion masse volumique. Les

proprits du fluide peuvent varier dans le temps et dans lespace :

( . Il existe deux types de description du

mouvement des particules :

- Description Lagrangienne du mouvement en relation au point M(t, Xi)

- Description Eulrienne du mouvement par le champ de vecteur des

vitesses V(xi,t)

Les fluides sont gnralement tudis selon deux types ;

- Fluides parfaits

- Fluide visqueux (plus prcisment les fluides classiques appels aussi

fluide Newtoniens ou fluides de Navier-Stockes)



2. Notion de particule fluide :

Une particule fluide est une portion de fluide de dimension arbitrairement

choisie ayant des proprits homognes sur un intervalle de temps (pression,

temprature, masse volumique, ). Les valeurs de ces grandeurs linstant sont

affectes au centre dinertie de la particule.

3. Types de fluide :

Fluide parfait : dans lequel les forces de cohsion sont nulles.

Dans un fluide parfait, les forces de contact sont

perpendiculaires aux lments de surface sur lesquels elles

sexercent (leau est plus proche du fluide parfait que

lhuile).

Fluide rel (visqueux) : Dans un fluide rel en

mouvement, les forces de contact possdent des

composantes tangentielles qui sopposent au glissement

relatif des couches fluides.

Fluide compressible : Un fluide est dit incompressible lorsque le volume

occup par une masse donne ne varie pas en fonction de la pression extrieure.

( ). (Eau, huile, ) peuvent tre

considrs comme incompressible. Les gaz sont des fluides compressibles.

Exemple de masses volumiques :

Fluide Eau Alcool Huile Acide

actique

Ptrole

1 0.79 0.92 1.05 0.8

4. Champ de vitesses et trajectoire :

La vitesse au point M linstant t, est la vitesse

instantane de la particule fluide qui, cet instant,

passe en M. note vectoriellement par

tangent la trajectoire chaque instant.



La trajectoire dune particule fluide est le lieu gomtrique des positions prises

par la particule au cours du temps.

Rq : On parle dcoulement stationnaire ou permanent lorsque les proprits du

fluide ne varient pas avec le temps en chaque point du champ

.

II / Rappel sur la statique des fluides

1. Pression et force en un point dun fluide parfait (rel au repos) :

La pression du fluide au point est le rapport de la norme du vecteur force

sur la surface de la facette sur laquelle elle sexerce.

(1)

La force de pression lmentaire sexprime par :

(2)

2. Thorme de Pascal :

On considre un lment de volume dun fluide

incompressible de poids volumique comme le

montre la figure dans le repre .

Lquilibre de llment scrit :

(3)

Autre forme de lexpression (3) :

Or

z

z1

z2

G

G1

G2



Par identification on obtient :

Ou encore : (4)

Remarque : si en on a une variation de pression

, en en la variation de pression vaut :

Thorme : Dans un fluide incompressible en quilibre, toute variation de

pression en un point entrane la mme variation de pression en tout point.

3. Pousse dun fluide sur une paroi verticale :

On dsigne par pG la pression effective au centre G

ayant un axe de symtrie (G,y). On cherche les lments de

rduction en G du torseur associ aux forces de pression

sur la paroi. Daprs (3) on a :

gyppyygpp GMGGM

Daprs (2) la force de pression lmentaire xdsgypfd G

zzGIgzdsygdsypfdGMM

xSpRdsygdspfdR

I

SS

G

S

G

G

SS

G

S

pousse

,)(2

0

0

G0

y0

G

dF ds

y

x g

p0



zzGIgM

xSpR

G

G

pousse

,

Rq : il existe un point G0 o le 00 00

RGGMM GG

Sp

Igy

G

0

Force de pression sur les parois :

Le fluide au repos est ncessairement contenu dans une enceinte ce qui nous

amne considrer leffort exerc par ce fluide sur les parois de lenceinte.

Si on note n

la normale en un point courant M de la surface de la paroi. Si la

pression vaut p en ce point, la rsultante des efforts est obtenue en faisant la

somme :

dsnpF

. Si on calcule le moment par rapport un point O des forces de

pression, on peut dterminer la position du centre de pousse P. Cest le point de

la paroi o il faut appliquer la rsultante F

pour obtenir un torseur rsultant

quivalent aux actions mcaniques de pression :

dsnpOMFOP

4. Thorme dArchimde

Dans un fluide ( E ) de poids volumique g , imaginons un certain volume de fluide

( E1 ) dlimit par un contour ferm (S), lquilibre se traduit par :

OEEEpesenteur

121 or GEpesenteurP

0

1

(Glisseur)

Au mme point G,

0

12

Fd

EE est un glisseur galement.

0

PFd (5)

Enonc :



Tout corps solide immerg dans un fluide en quilibre est soumis de la part de

celui-ci des forces de pression df dont les actions mcaniques sont

modlisables au centre de gravit du fluide dplac par un glissement dont la

rsultante est directement oppose au poids du fluide dplac.

0

12

P

EE

Remarques :

Tout objet a un poids. Ce poids est une force verticale dirige vers le bas et

proportionnelle la masse de lobjet.

La pousse darchimde est une force contraire dirige vers le haut et

proportionnelle au volume de lobjet.

Le point dapplication de la pousse dArchimde est le barycentre du volume

immerg

5. Application

(manomtre 2 liquides)

Le manomtre 2 liquides est un

tube en U dont chaque branche

comporte un rservoir. Cet appareil

est rempli de 2 liquides non miscibles

L2 et L3 respectivement de masse

volumique 2=860kg/m3 et

3=1000kg/m3.

L2(2)(S)

k1

k2

h

H A

B

F

C D

L3(3)(s)

L1(1)

Pousse 1. litre

1kg

Poids apparent nul :

Flottaison nulle

Pousse

1.5 litre

1kg

Poids apparent ngatif :

Flottaison positive

Pousse

0.5 litre

1kg

Poids apparent positif :

Flottaison ngative



Le rapport des sections rservoir et tube est gal 60. Quand on applique une

faible diffrence de pression par un fluide L1 de masse volumique 1=500 kg/m3,

on mesure une diffrence de niveau H entre les points A et B du liquide L3,

H=10cm. Quelle est la valeur de la diffrence de pression applique p=pC-pD.

Principe dArchimde :

Tout corps solide, plong dans un liquide (r), subit des forces de pression

dont

la rsultante est une force verticale

F, dirige de bas en haut, gale en module

au poids du volume V de liquide dplac.

Le support de cette rsultante passe par

le centre dinertie du liquide dplac :

VgF .

Application : (Flotteur de carburateur)

Un flotteur peut tre assimil un tronc de cne (figure ci-contre). Dans le

but de tester le flotteur, il est ncessaire de calculer la rsultante des

forces de pression appliques celui-ci.

On demande deffectuer ce calcul par les deux mthodes :

- A partir du thorme dArchimde

- A partir de lquation de lhydrostatique

-

(Stabilit dun barrage masse)

On donne 72;40 mh : inclinaison

de la paroi ; longueur du barrage ;10;120 33 mkgml ezu

281.8;0 smgpB . On demande de

dterminer :

1/ lexpression de la pression en M, Mp ;

2/ Lexpression de la force lmentaire de pousse , dF ;

3/ La rsultante de la force de pousse, R ;

4/ Le centre de pousse, 0G .

z

2R

h

Z

B

M

A

z

h

zA

zB

Z

X

Documents

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