Chapitre II : Algèbre de Boole et simplification des fonctions ......Chapitre II : Algèbre de Boole et simplification des fonctions logiques 4 Théoréme.1: La négation (ou complément)

Chapitre II : Algèbre de Boole et simplification des fonctions logiques

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Module : Logique combinatoire et séquentielle

Chapitre II

Algèbre de Boole et simplification des fonctions logiques

Licence L2 : Electronique et Télécom


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CHAPITRE II : Algèbre de Boole et simplification des fonctions logiques

II.1 Algèbre de Boole et Opérateurs logiques

- L’algèbre de Boole permet de manipuler les valeurs logiques.

- Une variable Booléenne est une variable qui ne peut prendre que deux valeurs

possibles. Ces valeurs sont désignées par le bit 0 ou 1 du système binaire

- L’algèbre de Boole est donc définie sur l’ensemble {0,1}.

Exemples :

- Une lampe électrique est soit allumée ou éteinte, on dit que la lampe est à l’état

logique 1 (allumée) ou à l’état logique 0 (éteinte).

- Un interrupteur est soit ouvert (état logique 1) ou fermé (état logique 0).

- Vrai (valeur binaire 1 ) ou faux (valeur binaire 0)

La lampe , l’interrupteur et la notion de vrai ou faux sont des exemples de variables

booléennes ou variables logiques.

- La manipulation des valeurs logiques repose sur trois (03) fonctions ou (opérateurs)

logiques de base :

OU (OR : Union) ; ET (AND : Intersection) et NON (NOT : Négation)

- Une fonction logique est le résultat de la combinaison d’une ou plusieurs variables

logiques reliées par des opérateurs logiques de base.

- Un système logique est un système qui possède une ou plusieurs fonctions logiques

de sortie avec une ou plusieurs variables logiques d’entrée.

- Si un système possède une seule variable logique d’entrée, alors le nombre de

combinaisons des valeurs binaires de cette variable est 2 : 0 et 1

II.2 Propriétés des opérateurs logiques de base

A, B, C étant des variables booléennes, les propriétés de base sont :

Involution

�̿� = 𝐀


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Idempotence

𝐀 + 𝐀 = 𝐀

A.A = A

Complémentarité

𝐀 + �̅� = 1

𝐀.�̅� = 0

Eléments neutres de la multiplication et de l’addition

𝐀. 𝟏 = 𝐀

A +0 = A

Eléments absorbants

𝐀. 𝟎 = 𝟎

A + 1 = 1

Associativité

(𝐀. 𝐁). 𝐂 = 𝐀. (𝐁. 𝐂)

(A + B) + C = A + (B + C)

Distributivité

𝐀. (𝐁 + 𝐂) = (𝐀. 𝐁) + (𝐀. 𝐂) = 𝐀𝐁 + 𝐀𝐂

A+BC = (A+B) . (A+C)

Optimisation

𝐀 + �̅� B = A+B

- Cette formule est très utilisée dans la simplification des expressions logiques.

-

Théorèmes de Morgan

𝐀. 𝐁̅̅ ̅̅ ̅ = 𝐀 ̅ + �̅�

𝐀 + 𝐁̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = �̅� . �̅�


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Théoréme.1 : La négation (ou complément) d’un produit de variables logiques est égale

à la somme des négations de ces variables logiques.

Théorème.2 : La négation d’une somme de variables logiques est le produit des

négations(ou compléments) de ces variables logiques.

Les 02 théorèmes de Morgan peuvent être généralisés à plusieurs variables. Ils sont d’une

importance primordiale dans le passage d’une implémentation NAND à une implémentation

NOR et inversement.

Démonstration de la formule d’optimisation :

A + A̅ B = A+B

A + A̅ B = (A+ A̅)(A + B) Distribution

A + A̅ B = 1. (A+B) avec A+ A̅ = 1 Complémentarité

A + A̅ B = A+B

II.3 Représentation des fonctions logiques

Ils existent plusieurs méthodes pour représenter une fonction logique qui est une

combinaison de variables booléennes. A chaque fonction logique élémentaire correspond un

circuit logique appelé porte(Gate). Une porte est un circuit logique comportant plusieurs

entrées et une seule sortie.

II.3.1 Représentation par la table de vérité

On représente ci- dessous la table de vérité des trois fonctions logiques de base :

Porte NOT (Complémentation : Négation) : Cette porte inverseuse a une entrée et

une sortie ; La sortie est toujours la négation (complément) de l’entrée.

A : Entrée

�̅� : Sortie


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Symbole

Table de vérité

A

�̅�

0

1

1 0

Porte OR (OU): Cette porte à deux entrées et une seule sortie. Elle a pour rôle de

réaliser la somme logique entre deux variables logiques d’entrées. Le OU logique fait

la disjonction entre deux variables logiques. Il ne faut pas le confondre avec la somme

arithmétique.

A : Entrée 1

B : Entrée 2

A +B : Sortie

Symbole

Table de vérité

A B A + B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1


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On remarque que la sortie vaut 0 uniquement dans la combinaison A = 0 et B = 0. Dans

les trois autres combinaisons des variables d’entrées A et B , la sortie vaut 1.

Porte AND ou ET(Intersection) : Cette porte a deux entrées et une sortie. La porte

AND a pour rôle de réaliser le produit logique entre deux variables booléennes. Il y a

une conjonction entre les variables.

A : Entrée 1

B : Entrée 2

A .B : Sortie

Symbole

Table de vérité

A B A. B

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

On remarque que la sortie A .B vaut 1 uniquement dans la combinaison A=1 et B =1.

Dans les trois autres combinaisons des variables d’entrées A et B, la sortie vaut 0.

- Ils existent d’autres fonctions logiques universelles : NOR, NAND et XOR. Une

fonction logique est dite universelle lorsqu’elle permet à elle seule de réaliser toutes


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les autres fonctions logiques. A l’inverse les opérateurs ET, OR et NOT ne sont pas

universels et ne réalisent que leurs fonctions logiques correspondantes

Porte NAND : Négation de la porte AND

. Symbole

La sortie S est la négation de la sortie de la porte AND

Table de vérité

La sortie A . B̅̅ ̅̅ ̅̅ de la porte NAND vaut 0 pour la seule combinaison A=1 et B=1 ; Dans les

trois autres combinaisons, la sortie vaut 1.

A B 𝐀 . 𝐁̅̅ ̅̅ ̅̅

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Porte NOR : Négation de la porte OR

Symbole


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Table de vérité

A B 𝐀 + 𝐁̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

La sortie A + B̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ de la porte NOR vaut 1 si les deux entrées A et B sont à 0. Dans les trois

autres combinaisons des entrées la sortie est à 0.

Porte XOR(OU Exclusif)

Symbole

Table de vérité

A B 𝐀⨁𝐁

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

- La sortie de la porte XOR vaut 1 dans les deux combinaisons ou les variables A et B

sont différentes. Dans les deux autres combinaisons la sortie de la porte logique XOR

vaut 0.

Porte NXOR (NON OU Exclusif)

Symbole


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Table de vérité

A B 𝐀⨁𝐁̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

- La sortie de la porte NXOR est la négation de la sortie de la porte XOR. Elle vaut 0

dans les deux combinaisons ou les variables A et B sont différentes. Dans les deux

autres combinaisons, la sortie de la porte NXOR vaut 1. La relation suivante est

toujours vérifiée :

𝐀⨁𝐁 +𝐀⨁𝐁̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 1

En utilisant les portes NAND et les NOR, on peut exprimer n’importe qu’elle expression

(fonction logique). Pour cela, il suffit d’exprimer les opérateurs de base (NON, ET, OU)

avec des NAND et des NOR.

Exemple : Représenter la fonction logique suivante en utilisant uniquement des NAND et

des inverseurs puis en utilisant uniquement des NOR et des inverseurs :

F = 𝐀(𝐁 + 𝐂) + �̅�C

- Utilisation des portes NAND et des inverseurs

On fait une double inversion à la fonction F

F ̿ = AB + AC̅ + B̅C̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ : On applique le deuxième théorème de Morgan : La négation d’une

somme de trois variables logiques est le produit des négations de ces trois variables.


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𝐅 ̿ = 𝐀𝐁 + 𝐀𝐂 + �̅�𝐂̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿ = 𝐀𝐁̅̅ ̅̅ × 𝐀𝐂̅̅ ̅̅ × �̅�𝐂̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

On a besoin de : 3 NAND2 à deux entrées, 1 NAND3 à trois entrées et deux inverseurs.

- Utilisation des portes NOR et des inverseurs

On fait une double inversion à la fonction F

- F ̿ = AB + AC̅ + B̅C̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ = AB̅̅ ̅̅ × AC̅̅̅̅̅ × B̅C̅̅̅̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = A̅ + B̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ + A̅ + C̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ + B + C̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

𝐅 ̿ = �̅� + �̅�̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ + �̅� + 𝐂̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ + 𝐁 + 𝐂̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿.

On a besoin de : 4 inverseurs, 3 NOR2 à deux entrées et 1 NOR3 à trois entrées.

II.3.2 Formes canoniques

Définitions

- Minterme : Un minterme est un groupe de x variables logiques ou de leurs

compléments liées par des opérateurs ET

- Maxterme : Un maxterme est un groupe de x variables logiques ou de leurs

compléments liées par des OU

Toute fonction logique (Booléenne) s’écrit sous deux (02) formes standards :

Première forme canonique : Forme disjonctive Σ(π)

Elle représente l’union (OU) des mintermes. C’est la somme des produits

Exemple : Fonction logique composée par l’union de 03 mintermes

F(a, b, c) = a̅b̅c +ab̅c̅ + abc


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Les variables logiques a̅ , b̅ et c̅ sont les compléments (ou négations) respectivement des

variables logiques a, b et c

Deuxième forme canonique : Forme conjonctive π(Σ)

Elle représente le produit des maxtermes. C’est le produit des sommes

Exemple : Fonction logique composée par le produit de 03 maxtermes

F (a,b,c) = (a+b+c). (a+b̅+c) .( a̅+b+𝑐̅)

Ils existent d’autres formes canoniques déduites des deux précédentes :

Troisième forme canonique : Elle est déduite de la première forme (forme NON

ET). Cette fonction est réalisée uniquement avec des NAND.

Quatrième forme canonique : Elle est déduite de la deuxième forme (forme

NON OU). Cette fonction est réalisée uniquement avec des NOR.

Exemple d’application.1

Donner la sortie d’un système logique à 3 variables qui vaut 1 s’il y a la majorité de

variables à 1. Donner les 4 formes canoniques de cette fonction logique illustrant ce

système. La fonction F(a, b, c) possède 03 variables , on a donc 08 combinaisons de ces

variables. La table de vérité de la fonction majorité F est représentée ci-dessous.

a b c F(a,b,c)

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1


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On a:

a : MSB

c : LSB

Les variables a, b et c sont les entrées du système logique et F représente la sortie du

système logique. Il y a majorité de 1, s’il y a au moins deux variables à 1. Il y a quatre

(04) combinaisons présentant une majorité de variables à 1.

Première forme canonique : Somme de produits : Il faut voir les combinaisons ou la

sortie est à l’état logique 1.

F(a,b,c) = a̅bc +ab̅c + abc̅ +abc

Deuxième forme canonique : Produit de sommes: Il faut voir les combinaisons ou

la sortie est à l’état logique 0.

F(a,b,c) = (a+b+c).(a+b+𝑐̅).(a+b̅+c).( a̅ +b+c)

Troisième forme canonique: Elle est déduite de la première forme canonique. Le

logigramme de cette fonction est constitué uniquement de portes NAND et

d’inverseurs. On inverse deux fois la fonction F

F(a, b, c) ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ = a̅bc + ab̅c + abc̅ + abc̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿

On applique le deuxième théorème de Morgan, il vient:

F(a, b, c)̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿ = a̅bc ̅̅ ̅̅ ̅ × ab̅c̅̅ ̅̅̅ × abc̅̅̅ ̅̅ ̅ × abc̅̅ ̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

Pour le logigramme (représentation schématique) de cette fonction logique, on a besoin

de : 4 NAND3 à trois entrées, 1 NAND à quatre entrées et 3 inverseurs.

Quatrième forme canonique: Elle est déduite de la deuxième forme canonique. Le

logigramme est constitué uniquement de portes NOR et d’inverseurs.


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F(a, b, c)̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿ = (a + b + c) × (a + b + c̅) × (a + b̅ + c) × ( a̅ + b + c)̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿

On applique le premier thèoréme de Morgan,il vient :

F(a, b, c)̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿ = (a + b + c) × (a + b + c̅) × (a + b̅ + c) × ( a̅ + b + c)̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿̿ ̿

= (a + b + c)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ + (a + b + c̅)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ + (a + b̅ + c)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ + ( a̅ + b + c)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

Pour le logigramme (représentation schématique) de cette fonction logique, on a besoin

de : 4 NOR3 à trois entrées, 1 NOR4 à quatre entrées et 3 inverseurs.

Exemple d’application.2

Dresser la table de vérité de la fonction logique suivante :

F(a,b,c) = ab + a̅b̅c

On fait introduire la variable manquante c dans le premier minterme, il vient :

F(a,b,c) = ab(c+c̅ ) + a̅ b̅c = abc + abc̅+ a̅ b̅c

La table de vérité de la fonction F est représentée ci-dessous: On a 03 mintermes

a b c F(a,b,c)

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

On a:

a: MSB

𝐜 : LSB


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II.3.3 Représentation sous forme décimale (forme numérique)

On prend comme exemple , la table de vérité de la fonction logique F précédente

(exemple. 2)

Décimal a

22

b

21

c

20

F(a,b,c)

0 0 0 0 0

1 0 0 1 1

2 0 1 0 0

3 0 1 1 0

4 1 0 0 0

5 1 0 1 0

6 1 1 0 1

7 1 1 1 1

a: MSB

c: LSB

F = Σ (1, 6, 7)

II.3.4 Diagramme de Karnaugh

Le tableau de Karnaugh est une forme particulière de la table de vérité. Pour une fonction

logique à n variables, le tableau aura 2n cases. Chaque case représente la valeur de la

fonction pour une combinaison de variables. On utilise le code de Gray (code binaire

réfléchi) pour passer d’un état à un autre. Pour deux variables on a les combinaisons

suivantes : 00, 01, 11, 10

Les tableaux de Karnaugh ci-dessous représentent respectivement des tableaux à deux

(02) variables (a , b), trois (03)variables (a, b, c) et (04) quatre variables(a, b, c, d) .


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a→

b↓

0 1

0

1

Tableau à deux variables (a, b)

ab→

c↓

00 01 11 10

0

1

Tableau à trois variables (a, b, c)

ab→

cd↓

00 01 11 10

00

01

11

10

Tableau à quatre variables (a, b, c, d)


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Application :

- Représenter la fonction f (a, b, c) = Σ(1,2,5,7) en utilisant le tableau de Karnaugh

ab→

c↓

00 01 11 10

0 0 1 0 0

1 1 0 1 1

1 représente le minterme : �̅� �̅�c

2 représente le minterme : �̅� 𝐛�̅�

5 représente le minterme : 𝐚�̅�c

7 représente le minterme : abc

a : MSB

c : LSB

II.4 Simplification des fonctions logiques

Deux méthodes sont utilisées pour simplifier l’écriture d’une fonction logique.

Méthode algébrique : Utiliser les propriétés de l’algèbre de Boole.

Utiliser la méthode du tableau de Karnaugh

II.4.1 Méthode Algébrique

La simplification d’une fonction logique consiste à obtenir son expression la plus

compacte possible afin de minimiser le nombre d’opérateurs logiques nécessaires à sa

réalisation. Simplifier une fonction logique revient donc à l’écrire à l’aide d’un nombre


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minimum de termes. Par conséquent on minimise les portes logiques afin d’obtenir une

conception plus simple avec un cout moindre.

Exemple 1

Simplifier la fonction logique suivante :

f(a,b) = �̅� �̅� + �̅�b + ab (a̅ et b̅ sont les négations des variables logiques a et b)

f(a,b) = a̅ (b̅ + b ) + ab ; ( b̅ + b = 1)

f(a,b) = a̅ + ab ; (a̅ + ab = a̅ + b)

f(a,b) = �̅� + b

Remarque

Avant simplification, pour réaliser la fonction f(a,b), on avait besoin de 06 portes

logiques (02 inverseurs, 03 AND2 à deux entrées et un OR3 à 03 entrées). Après

simplification, on a besoin uniquement d’une porte OR2 à deux entrées et d’un inverseur.

On a minimisé les portes logiques pour réaliser la fonction f(a,b).

Exemple 2

Simplifier la fonction logique Z suivante :

Z = (a + b). (�̅� + c). (�̅� + c)

Z = (ab̅ + ac + bb̅ + bc ) . (a̅ + c) , on développant, il vient ::

Z = ab̅a̅ + ab̅c + aca̅ + acc + bb̅a̅ + bb̅c + bca̅ + bcc

On a : ab̅a̅ = aca̅= bb̅c = 0 et : acc = ac et bcc = bc , ce qui donne:

Z = ab̅c + bca̅ + ac + bc

Z = c (a (b̅ + 1)) + c (b(a̅ +1)) = ac + cb on a : b̅ + 1 = a̅ +1 = 1

Z = c (a + b)


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II.4.2 Méthode de Karnaugh

Les règles de simplification par la méthode de Karnaugh sont les suivantes :Pour n

variables, on un tableau de Karnaugh de 2n cases.

Constituer des groupes de 1, 2, 4, 8,16…., cases adjacentes contenant des 1 ou des 0

Une case marquée d’un 1 ou 0 peut être utilisée plusieurs fois dans les groupements

On ne retient que les variables dont l’état logique d’entrée n’est pas modifié à

l’intérieur du groupement

On doit avoir le moins possible de groupes

Les variables d’un même groupement sont regroupées par la fonction ET et tous les

groupements par la fonction OU.

Les cases adjacentes sont des cases voisines en lignes et en colonnes ; Une seule

variable change d’état.

Exemple de cases adjacentes

ab→

cd↓

00 01 11 10

00 4 2 2 4

01 3 1 1 3

11 3 1 1 3

10 4 2 2 4

Les cases portant le même chiffre sont dites adjacentes.

Exemple. 1 : Simplifier par Karnaugh la fonction F1 suivante :

F1 = a̅b�̅� + a̅bc

On utilise un tableau de Karnaugh à trois (03) variables a, b et c ; a et b en colonnes et c

en ligne :


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ba→

c↓

00 01 11 10

0 0 0 0 1

1 0 0 0 1

- Le seul groupement de deux 1 adjacents utilisé est le groupement des deux 1 en

rouge. La variable qui change d’état est la variable c, elle n’est pas prise en

considération. On a donc :

F1 =�̅�b


F2 = �̅��̅��̅� + �̅��̅�c +ab�̅� + abc

ba→

c↓

00 01 11 10

0 1 0 1 0

1 1 0 1 0

- On a deux groupements de cases de deux 1 adjacentes: un groupement de deux 1

adjacents en rouge et un groupement de deux 1 adjacents en vert. Dans les deux

groupements la variable c qui change d’état logique n’est pas prise en considération, on a :

- Le groupement en rouge : �̅��̅� et le groupement en vert : ab.

On prend l’union des deux mintermes :

F2 = �̅��̅� + ab


F3 = ab�̅�+ abc + a�̅� �̅� + a�̅� c


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ba→

c↓

00 01 11 10

0 0 1 1 0

1 0 1 1 0

- On a un seul groupement de quatre 1 adjacents (en marron) ; les variables b et c qui

changent d’états logiques ne sont pas prises en considération, on a :

F3 = a


F4 = abc + �̅�bc + �̅��̅�c + ab�̅�

ba→

c↓

00 01 11 10

0 0 0 1 0

1 1 0 1 1

- On a deux groupements de deux 1 : groupement de deux 1 en bleu et le groupement de

deux 1 en marron.

- Groupement des deux 1 adjacents en bleu : ab

- Groupement des deux 1 adjacents en marron : �̅�c ; on a donc :

F4 = ab + �̅�c

Exemple 5 : Donner l’équation simplifiée de la fonction F5 suivante représentée par le

tableau de Karnaugh suivant :


21

ba→

dc↓

00 01 11 10

00 0 1 1/1 1

01 0 1 1/1 1

11 0 1 1 0

10 0 1 1 0

On a deux groupements de cases adjacentes :

- Groupement de quatre 1 en bleu : d̅ b (les variables a et c qui changent d’états ne sont

pas prises en considération).

- Le deuxième groupement est formé de huit 1 en rouge : a (b, c et d qui changent

d’états ne sont pas prises en considération.

F5 = a + b𝐝̅

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