Chapitre II La thorie de la

production et des cots

1

1. Aspects techniques

1.1 Concepts de base

Notation

Soit y = (y1, ... , yl) un vecteur de production nette

o yh = bh -ah bh, ah 0

yh < 0 : input si : bh = 0 i.e. yh = -ah

bh < ah bh - ah < 0

yh > 0 : output si : ah = 0 i.e. yh = bh

bh > ah bh - ah > 0

Ensemble de production ou ensemble technologique : P

Dfinition : Lensemble de production est lensemble de tous les vecteurs de production nette

qui sont techniquement possibles (ralisables).

On crit alors y P

Remarque Lensemble P dpend du producteur. Cest donc dire que chaque producteur j

aura son ensemble Pj.

Fonction de production

Reprsentation de lensemble de production par une fonction numrique.

Dfinition : Une fonction de production est une fonction f : l telle que

2

f(y1, y2, ... , yl) 0.

(y1, y2, ... , yl) P f(y1, ... , yl) 0.

Efficience technique

Dfinition : y1 est techniquement efficace si y1 P et sil nexiste pas y2 P tel que

yh yh1, h = 1, 2, ... , l .

Ex. y1 =

5343

est techniquement efficace sil nexiste pas y P : y =

6333

Pour lensemble de production :

les vecteurs techniquement efficaces vont appartenir la frontire de P

pour la fonction de production : f(y1, y2, ... , yl) = 0

y est techniquement efficace f(y) = 0

y est techniquement ralisable f(y) 0

Remarque sur la fonction de production

Soit f(y1, y2, ... , yl) = 0 la forme gnrale.

De cette forme gnrale, on peut tirer la forme particulire suivante :

f(y1, y2, ... , yl) = y1 - g*(y2, y3, ... , yl) = 0

3

ou y1 = g*(y2, y3, ... , yl)

En utilisant la notation ah, bh, on peut aussi crire :

b1 = g*(-a2, -a3, ... , -al)

b1 = g(a2, a3, ... , al) forme usuelle des manuels

Reprsentation graphique de P (efficience technique)

Considrons le cas dune activit de production impliquant un seul output y1 = b1 disons la

bire) et un seul input -y2 = a2 (disons le travail) (voir graphique 2-01)

Tout les points (vecteurs) de P ne sont pas dun intrt gal. Ainsi, le point A semble en un sens

infrieur aux points B ou C : cest quon peut obtenir autant de bire en B pour moins de

travail ou plus de bire en C pour le mme travail.

B et C sont techniquement efficaces ( P) ;

A est ralisable mais non techniquement efficace.

A est un vecteur (y1, -y2) tel que f(y1, -y2) < 0.

B

C D

A

P

y1=g(a2) ou f(y1,-y2)=0

-y2=a2

y1=b1

2- 01

4

En gnral, y efficace f(y) = 0 mais linverse nest pas ncessairement vrai :

ex., le point D.

Remarques :

Une fonction de production ne nous permet pas de tenir compte la fois du phnomne de

proportionnalit ou de coefficients fixes (complmentarit des inputs) utilis par Marx ou

Walras et de la possibilit de substitution entre les inputs utiliss par Pareto. Toutefois,

lapproche moderne base sur les ensembles de production peut tenir compte de ces deux

aspects. Cest donc une approche plus gnrale.

Dans certains cas, il peut tre intressant de spcifier davantage le contexte dans lequel la

technologie de la firme est dfinie. Par exemple, court terme, certains inputs peuvent tre

fixs alors quils deviendront variables long terme. Cela aura videmment un impact sur les

possibilits techniques de la firme. On distinguera alors la fonction de production (ou

ensemble de production) court et long terme.

1.2 tude de la fonction de production : forme particulire

1.2.1 Notation

y1 = g*(y2, ... , yl)

b1 = g (a2, ... , al)

Exemples

1. La technologie Cobb-Douglas b1 = Aa2a3 , > 0

2. La technologie Leontief b1 = min(a2, a3) , > 0

1.2.2 Reprsentation graphique

5

1) La technologie Cobb-Douglas : Posons b1 = b1

la fonction scrit b1 = a2a3 (voir graphique 2-02)

quation de la courbe isoquante : a2 = b11/ a3-/

ensemble de production P : { (a2, a3) | a2 a3 b1 }

2) La technologie Leontief

Posons b1 = b1

La fonction scrit : b1 = min (a2, a3)

(voir graphique 2-03)

1.2.3 TMST et Pm

Hypothse de base : g est deux fois continment drivable ( g C)

gga

bar r r

= =

1 existent et sont continues

gg

a ab

a ar s r s r s= =

2 21 existent et sont continues

Considrons la diffrentielle totale de g :

db1 = g2da2 + g3da3 + ... + gldal

P

Isoquante

a3

a2

b b1 1=

2- 02

pente =

b b1 1=

b b1 1=

a3

a2

2- 03

6

Posons db1 = 0 et dah = 0 sauf pour h = r, s

0 = grdar + gsdas

dada

gg

r

s

s

r= = pente de lisoquante

= TMST (taux marginal de substitution technique)

(voir graphique 2-02)

Le TMST dfinit lefficacit relative de linput r par rapport linput s, i.e. combien dinput r

supplmentaire on doit fournir suite une diminution de une unit de linput s pour garder le

mme niveau doutput.

Posons dah = 0 sauf pour h = s

db1 = gsdas

dbda

gs

s1 = = pente de la fonction de production

= Pm, productivit marginale de linput s

P

Isoquante

a3

a2

b b1 1=

2- 02

7

( voir graphique 2-04 )

Exemple : La technologie Cobb-Douglas

b1 = g(a2, a3)

dy1 = g2da2 + g3da3

da2 / da3 = -g3 / g2 ( TMST )

db1 / da2 = g2 ( Pm )

db1 / da3 = g3 ( Pm )

Q = A K L

dK/dL = -/ K/L ( TMST )

dQ / dK = A K-1 L (PmK)

dQ / dL = A K L-1 (PmL)

1.2.4 Rendements marginaux et rendements lchelle

Rendements marginaux

Ce concept fait rfrence la faon dont la productivit marginale dun facteur varie lorsquon

augmente (dimimue) lutilisation de ce facteur.

Loi des rendements marginaux dcroissants : Si on augmente la quantit dun facteur variable

en maintenant fixe lutilisation de tous les autres inputs, il est un point au-del duquel la

production totale augmente un rythme sans cesse dcroissant.

as=-ys

b1=y1

y1= g (as)

2- 04

8

( voir graphique 2-05 )

Exemple : utilisation de fertilisants sur une terre agricole.

Rendement lchelle

Ce concept fait rfrence la faon dont la production ou loutput varie lorsque tous les facteurs

de production varient dans la mme proportion.

Dfinition : Soit b1 = g(a2, a3, ... , al).

On dira que la fonction de production est caractrise par des rendements lchelle :

as=-ys

y1

as=-ys

Pm

ya

gs

s1 =

y1= g (as)

2- 05

9

croissant : >

constants : ssi g(a2, a3, ... , al) = g(a2, a3, ... , al)

dcroissants : <

Lien avec les fonctions homognes :

Si g est une fonction homogne de degr k, g est caractrise par des rendements lchelle :

croissants: k > 1

constants : ssi k = 1

dcroissants : k > 1

Exemple : Q = A K L est homogne de degr ( + )

Remarques :

1) Lhypothse la plus frquente est celle des rendements lchelle non croissants (en

particulier, si on a des rendements lchelle constants, cette hypothse est satisfaite).

2) Quest-ce qui peut causer des rendements dcroissants plutt que constants ? Le fait, par

exemple, quon ait mal identifi tous les inputs qui interviennent dans une opration

productive.

Exemples : la terre dans une entreprise agricole ; le temps ou la capacit de travail dun

chef dentreprise.

3) Quest-ce qui peut causer des rendements croissants ? La prsence dindivisibilits

importantes (ou, en dautres termes, des cots fixes importants).

4) Lhypothse des rendements lchelle non croissants (i.e. rendements constants ou

dcroissants) est une hypothse de facilit (en ce sens quelle facilite beaucoup les

10

choses dun point de vue purement technique). Toutefois, elle nest pas des plus

ralistes.

Rendements marginaux vs rendements lchelle

Ne pas confondre les deux concepts.

La prsence de rendements lchelle constants nest pas contradictoire avec celle des

rendements marginaux dcroissants.

Exemple : b1 = a2a3

1o g(a2, a3) = (a2) (a3)

= a2a3

= g(a2, a3) = b1

rendements lchelle constants

2o g2 = b1 / a2 = a2- a3

g22 = b1 / a2 = - a2-3/2 a3

< 0 (i.e. la Pm de linput a2 est dcroissante)

rendements marginaux dcroissants.

1.2.5 Hypothses usuelles pour la fonction de production g

H1. g est deux fois continment drivable g C

H2. gr = g / ar = b1 / ar > 0 pour r = 2, ... , l

H3. g est ( strictement ) concave :

i.e. G (

11

o G =

2

22

2

2

2

2

2

2

ga

ga a

ga a

ga

L

M O M

L

l

l l

est la matrice hessienne de g

grr = g / ar = b1 / ar 0

1.3 tude de la fonction de production : forme gnrale

1.3.1 Notation

(y1, y2, ... , yl) = 0

Exemples

1. y1 + 5y2 - 4y3y4 = 0

2. y1 + y2 -2y3y4 = 0

1.3.2 Reprsentation graphique dune fonction de production gnrale laide dun exemple

On considre la fonction de production suivante :

(y1, y2, y3, y4) = ay1 + by2 + cy3y4 = 0

avec y1, y2 outputs

y3, y4 inputs

i) posons : y3 = y3 , y4 = y4

cy3y4 = constante

la fonction scrit : ay1 + by2 = cte

12

( voir graphique 2-06 )

( sur le graphique, = = 2 ; a = b )

Ici, P reprsente lensemble des productions possibles partir des inputs y3 = y3 et

y4 = y4 .

ii) Posons y1 = y1 , y2 = y2 .

ay1 + by2 = cte

la fonction scrit : cy3y4 = constante

( voir graphique 2-07 )

( sur le graphique, = = 1 )

Py2

y1

courbe de possibilits de production oucourbe de transformation

2- 06

P

Isoquante

-y3=a3

-y4=a42- 07

13

Ici, P reprsente lensemble des vecteurs dinputs compatibles avec un niveau doutputs

donn (ou permettant datteindre un niveau doutputs donn).

Sur lisoquante, on retrouve les vecteurs dinputs techniquement efficaces.

iii) Posons y2 = y2 , y4 = y4 .

la fonction scrit : ay1 + cte = dy3

( voir graphiques 2-08 )

1.3.3 TMT, TMST et Pm

Hypothses de base : est deux fois continment drivable ( C)

r = / yr et r,s = / yrys existent et sont continues

Considrons la diffrentielle totale de :

y1

y3

P

y1

y3

P

y1

y3

P

rendementsconstants

rendementsdcroissants

rendementscroissants

2- 08

14

d = 1dy1 + 2dy2 + ... + ldyl

Posons dyh = 0 sauf pour h = r, s.

rdyr + sdys = 0

dyr / dys = -s / r

1er cas : r, s sont des outputs

( voir graphique 2-09a) )

dyr / dys = -s / r

= pente de la courbe de

transformation

= TMT

= Taux marginal de

transformation

2me cas: r, s sont des inputs

( voir graphique 2-09b) )

dyr / dys = -s / r = pente de lisoquante

= TMST

= Taux marginal de

substitution technique.

yr

ys

2-09 a)

0

yr

ys

2-09 b)

0

15

3me cas : r (disons r = 1) est un output, s est un input.

( (y1, ... , yl) = y1 - g*(y2, ... , yl) = 0 )

( voir graphique 2-09c) ) dy1 / dys = -s / 1 = -s

= pente de la fonction de

production

= Pm de linputs

1.3.4 Hypothses usuelles sur la fonction de production

(y1, ... , yl) = 0

H1. est deux fois continment drivable C

H2. / y > 0, o

fy

fy

fy

fy

=

1 2, , ,K

l

avec h > 0 pour h = 1, 2, ... , l

H3. est strictement quasi-convexe

F > 0 pour 0

/y = 0

yr

ys

2-09 c)

0

16

o F =

2

12

2

1

2

1

2

2

fy

fy y

fy y

fy

L

M O M

L

l

l l

est la matrice hessienne de F

2. DCISIONS DE LENTREPRISE (MAXIMISATION DES PROFITS)

2.1 quilibre du producteur

Le problme : On suppose que la technologie du producteur est reprsentable par une fonction

de production :

(y1, y2, ... , yl) = 0

o satisfait aux hypothses usuelles. Le problme du producteur peut scrire :

Max = py = p yh hh=

1

l

sujet (y) = 0

Ce qui revient maximiser le lagrangien suivant :

Maxy ,

L = p yh hh=

1

l

- [(y1, y2, ... , yl)]

En rsolvant ce problme, on obtient :

1)

Ly

pfyh

hh

= h = 1, 2, ... , l

17

2) L/ = -(y1, y2, ... , yl)

et les drives premires sannulent au point o le vecteur y = (y1, y2, ... , yl) est optimal.

Autrement dit, les quations (1) et (2), lorsquelles sannulent, sont les conditions ncessaires

pour avoir un quilibre du producteur.

Interprtation des conditions dquilibre

1) pfyh h

= 0 h = 1, 2, ... , l

2) -(y1, y2, ... , yl) = 0

Une solution yo = (y1o, y2o, ... , ylo) de ce systme dquations est un quilibre du producteur.

Considrons la condition (1) pour h = r, s. On a :

3) pr = r

4) ps = s

De (4), on a : = ps / s et, en substituant dans (3), on trouve :

ps / pr = s / r

3 interprtations possibles :

1er cas : r et s sont des outputs

s / r = ps / pr |TMT| = rapport des prix des outputs

2me cas : r et s sont des inputs

s / r = ps / pr |TMST| = rapport des prix des inputs

3me cas : r est un output, s est un input

18

s = ps / pr |Pm| pr = prix de linput s

productivit marginale

de linput s en valeur

(Facultatif) Existence des fonctions doffre nette

Le systme (1) et (2) est un systme de l+1 quations 2l+1 variables : y1, y2, ... , yl, , dune

part, et p1, p2, ... , pl, dautre part.

Question : Peut-on exprimer les premires variables (y1, y2, ... , yl, ) en fonction des secondes

(p1, p2, ... , pl) ?

Par le thorme des fonctions implicites, la rponse est oui si la matrice jacobienne du systme

dquations (1) et (2) est de rang maximal. Il sagit donc de vrifier si la matrice suivante

=

f f ff f f

f f f

ff

ff f f

F ff

y

y

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

1

2

1 2 0

0

L

L

M

L

M

L

l

l

l l l l l

l

'

(value en bo = (y1o, y2o, ... , ylo, o, p1o, p2o, ... , pl

o))

est de rang maximal. Si cest le cas, on peut alors affirmer lexistence des fonctions doffre nette

et crire :

yh = sh(p1, p2, ... , pl) h = 1, 2, ... , l fonctions doffre nette

= *(p1, p2, ... , pl)

De plus, ces fonctions sont continues dans un voisinage de (p1o, p2o, ... plo)

2.2 tude du comportement du producteur autour de lquilibre

19

Soit y = s(p) le systme doffre nette.

Considrons la diffrentielle totale de ce systme. On a sous forme vectorielle (matricielle) :

dy =yp

dp = Ydp

o Y = yp

est la matrice des effets-prix. tudier le comportement du producteur

autour de lquilibre revient tudier les proprits de cette matrice deffets-prix.

(Facultatif) Lquation fondamentale du producteur

On considre les conditions dquilibre (CPO) du problme du producteur

1) ph - /yh = 0 h = 1, 2, ... , l

2) -f(y1, y2, ... , yl) = 0

Cela donne un systme de l + 1 quations que lon drive par rapport p1, p2, ... , pl. On obtient

alors, sous forme condense, lquation matricielle

F ff

Y

p

Iyy' 0 0

=

l quation fondamentale du producteur

o F est la matrice hessienne de et Y = yp

la matrice des effets-prix.

En utilisant lquation fondamentale du producteur, on peut facilement prouver les proprits des

fonctions doffre nette, ces proprits se traduisant par des caractristiques bien prcises que la

matrice des effets-prix, Y = yp

, doit respecter.

20

Les fonctions doffre nette et leurs proprits

On considre la diffrentielle totale des fonctions doffre nette,

dy =yp

dp = Ydp

La matrice Y est caractrise par les proprits suivantes :

i) Y Y (symtrie) les effets-prix croiss sont gaux ;

ii) Yp 0 (homognit) les fonctions doffre nette sont homognes de degr

zro dans les prix ;

iii) Y > 0 pour p les fonctions doffre nette ont une pente positive.

Exemple 1

Soit la fonction de production (y1, y2, y3) = y y y1 21

33

132 = 0 o y1 est un output dont le

prix est p1 et y2, y3 des inputs dont les prix sont p2 et p3.

Cette fonction peut aussi scrire y1 = 2 21

33

13a a (a2 = -y2, a3 = -y3 ) et on peut facilement

vrifier que ses rendements lchelle sont dcroissants :

y1 = g(a2, a3) = 2 21

33

13a a

g(ta2, ta3) = 2(ta2)1/3 (ta3)1/3

= t2/3 2 21

33

13a a

= t2/3 g(a2, a3)

y1 est homogne de degr 2/3 < 1 rendement lchelle dcroissants.

21

Le problme du producteur est de maximiser p1y1 + p2y2 + p3y3 sous la contrainte

y y y1 21

33

132 = 0.

Ce qui revient maximiser le lagrangien :

Maxy y y1 2 3, , ,

L : p1y1 + p2y2 + p3y3 - ( y y y1 21

33

132 )

Les conditions ncessaires et suffisantes1 pour avoir un maximum sont :

1) Ly

p1

1 0= =

2)

Ly

p y y2

2 2

23

3

132

30= + =

3)

Ly

p y y3

3 2

13

3

23

23

0= + =

4) L

y y y= =1 21

332 01

3

de (2) et (3), on obtient : p2 / p3 = y3 / y2 y2 = (p3 / p2) y3 (5)

remplaons dans (3) : p3 =

23 1

3

23

13

3

23p

ppy y

=

23

11

3

13

2

13

3

13

pp

p y

y3* = 8

2713

32

2

pp p

1 Les conditions ncessaires deviennent suffisantes en autant que les hypothses usuelles sur la fonction de production soient respectes.

22

et de (5) y2* = 8

2713

22

3

pp p

Si on substitue y2* et y3* dans (4), on obtient :

y1* = 2 8

2713

22

3

13p

p p

827

13

32

2

13p

p p

=

89

12

2 3

pp p

y1*, y2* et y3* sont les fonctions doffre nette partir desquelles on peut construire la matrice des

effets-prix Y.

Il suffit de driver chacune des fonctions doffre nette par rapport p1, p2 et p3. Ce faisant, on

obtient :

Y

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

=

169

89

89

89

1627

827

89

827

1627

1

2 3

12

22

3

12

2 32

12

22

3

13

23

3

13

22

32

12

2 32

13

22

32

13

2 33

Il est facile de vrifier les proprits de cette matrice :

1) Y Y : vident, puisque la matrice est symtrique ;

2) Yp 0 : il suffit de multiplier Y avec ppp

1

2

3

;

3) Y > 0 pour p : les fonctions doffre nette ont une pente positive puisque

tous les lments de la diagonale sont positifs.

2.3 La fonction de profit et ses proprits

23

Dfinition : Soit yh (p) = sh(p1, ... , pl) la fonction doffre nette du bien h. La fonction de profit

est donne par :

(p) = p yh hh=

1

l

(p)

= p1s1(p1, ... , pl) + p2s2(.) + ... + plsl(.)

chaque niveau de prix p, la fonction de profit indique le profit maximum.

Proprits

i) (.) est non dcroissante en ph si h est un output ;

non croissante en ph si h est un input ;

ii) (.) est homogne de degr 1 en p, i.e. (tp1, ... , tpl) = t(p1, ... , pl)

iii) (.) est convexe en p,

i.e. hh > 0, h = 1, 2, ... , l ;

11 12

21 220

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0

, ...

par exemple, pour (p1, p2), on a : 11 0, 22 0

1122 - 12 0

Lemme dHotelling

Soit yh = sh(p1, p2, ... , pl) la fonction doffre nette du bien h. Alors

yh = sh(p1, p2, ... , pl) = ( )

p pp h

1 , . . . , l h = 1, 2, ... , l

24

Remarques :

/ ph = bh(.) si h est un outpout

/ ph = -ah(.) si h est un input

Retour sur les proprits des fonctions doffre nette

a) yh / ph 0 h = 1, 2, ... , l

b) yr / ps = ys / pr r, s = 1, 2, ... , l quelle que soit la technologie

2.4 Un cas particulier : un output avec un seul input

Prsentation du problme

donnes, paramtres, variables exognes

p1, p2, b1 = g(a2)

variables de dcision

b1, a2

critre

max

expression de la solution : fonctions de

comportement ou fonction de raction de

lentreprise (p1, p2)

a2* = a2(p1, p2)

b1* = b1(p1, p2)

Hypothses

i) lentreprise cherche maximiser ;

ii) lentreprise est price-taker p1, p2 donns, p1, p2 > 0 ;

iii) les contraintes techniques peuvent sexprimer : b1 = g(a2) ;

25

iv) g satisfait aux hypothses usuelles :

1o g C

2o g/a2 = g2 > 0

3o G < 0 0

Le problme

Maxb a1 2,

= p1b1 - p2a2 s.c. b1 = g(a2)

1) = p1g(a2) - p2a2

2) Maxa2

p1g(a2) - p2a2 [p1g(a2) - p2a2] / a2 = 0

3) p1g2(a2*) - p2 = 0

4) p1g22(a2*) < 0

De (3), on a : a2* = a2(p1, p2) fonction de demande

Or, b1 = g(a2) b1* = b1(p1, p2) fonction doffre

Interprtation des conditions dquilibre

Rcrivons (3) de la faon suivante :

(3) p1g2(a2*) = p2 (3) p1 = p2/g2 = dc/db1

( voir graphique 2-10 )

Conditions ncessaires et suffisantes.

Valeur de la productivit marginale

dun travailleur additionnel

cot marginal dun

travailleur additionnel

Recette marginale de lentreprise

Cot marginal

26

Statistique comparative

On considre la diffrentielle totale de (3) :

(5) g2(a2*) dp1 + p1g22(a2*) da2 - dp2 = 0

Posons dp1 = 0. Lquation (5) peut scrire sous la forme

(6) a2/p2 = 1/p1g22(a2*) < 0

pente de la demande dinput

Posons dp2 = 0. Lquation (5) devient :

(7) a2/p1 = -[g2(a2*)/p1g22(a2*)] > 0

effet de p1 sur la demande dinput.

Puisque b1* = g(a2*), on a :

bp

ba

ap

1

1

1

2

2

1

* *

*

*

=

bp

ba

ap

1

2

1

2

2

2

* *

*

*

=

Ainsi,

p1g2(a2)

p2

a2

p1

b1a2*

dcdb1

2-10

27

(8) ( )

bp

g aap

1

12 2

2

10=

>*

pente de la fonction doffre.

(9) ( )

bp

g aap

1

22 2

2

20=

28

Rsum

Une entreprise qui maximise = p1b1 - p2a2 sous rserve que b1 = g(a2), choisit le niveau

doutput optimal sur sa fonction doffre b1* = b1*(p1, p2) qui a des drives (b1/p1) 0 et

(b1/p2) 0 et pour laquelle p1 = dc/db1 p1 Min c/b1. Le niveau optimal dinput est

donn par la fonction de demande a2* = a2*(p1, p2) qui a des drives partielles (a2/p1) 0 et

(a2/p2) 0 et pour laquelle p2 = p1g2.

Exemple 2

Production dun output avec un seul input

La technologie du producteur est donn par la fonction de production :

b1 = - a2-1 et p1 et p2 sont les prix de b1 et a2.

On a : db1/da2 = a2-2 > 0

et db1/da2 = -2a2-3 < 0

donc la fonction de production respecte les hypothses usuelles.

Le profit : = p1b1 - p2a2

= p1( - a2-1) - p2a2

= p1 - p1a2-1 - p2a2

Maxa2

/a2 = p1a2-2 - p2 = 0

do a2* = p1p2- = a2*(p1, p2)

On peut alors facilement trouver la fonction doffre nette

b1* = b1*(p1, p2) = - (a2*)-1

(, > 0)

29

= - (p1p2-)-1

= - p2p1-

On a donc : a2* = a2*(p1, p2) = p1p2-

b1* = - p2p1-

Alors :

a2*/p2 = - p1p2-3/2 < 0

a2*/p1 = p1-p2- > 0

b1*/p1 = p1-3/2p2 > 0

b1*/p2 = - p1-p2- < 0

3. FONCTION DE COT

3.1 Dfinition

Relation qui, chaque niveau de production, associe la valeur minimum des inputs permettant

cette production.

Remarques :

1) On peut laborer la thorie de lentreprise partir de la fonction de cot (en gnral, cest

plus simple !). Mais il y a des inconvnients procder de cette manire :

a) la relation entre valeur des inputs et quantit produite dpend des prix ph des divers

inputs ; ainsi, lorsque les prix ph des inputs changent, la fonction de cot se modifie.

La fonction de demande de linput a une pente ngative.

Laugmentation du prix de loutput entrane une augmentation de la demande en input

la fonction doffre de loutput a une pente positive.

laugmentation du prix de linput entrane la diminution de loffre doutput.

30

Autrement dit, la fonction de production semble tre une notion plus fondamentale

qui dcrit les contraintes techniques quels que soient les prix.

b) une thorie de lentreprise base sur les fonctions de cot sinsre mal dans une

thorie de lquilibre gnral qui traite les prix endognes plutt que donns priori.

2) On considre une fonction de production du type :

b1 = g(a2, a2, ... , al)

et on considre que les marchs des inputs sont concurrentiels, i.e. les ph (h = 2, 3, ... , l)

sont donns lentreprise.

3) Le cot est donn par :

C = p ah hh=

2

l

3.2 quilibre de lentreprise en 2 tapes

Prsentation du problme (2 tapes)

tape 1 : On cherche la fonction de cot, i.e. pour chaque niveau de production b1 , on

dtermine la combinaison (vecteur) dinputs a2, a3, ... , al qui minimise le cot. Ceci

nous permet de calculer C pour chaque b1 . On obtient alors la fonction de cot

C(b1).

tape 2 : On choisit b1 de manire maximiser le profit = p1b1 - C(b1).

31

Illustration laide dun cas particulier

On considre un output b1 partir de deux inputs a2 et a3

Dcomposition

Minimiser le cot total pour chaque

valeur de b1

choisir b1* qui maximise le profit

= p1b1 - C(b1)

ceci revient chercher lallocation optimale des

inputs pour un certain niveau de production :

VAR EXO : (p2, p3) et b1 VAR EXO : p1, p2, p3

VAR ENDO : a2, a3 VAR ENDO : b1

Solutions a2* = a2(p2, p3, b1)

a3* = a3(p2, p3, b1)

fonctions de

demande

conditionnelle

Solutions : b1 = s1(p1, p2, p3)

fonction doffre

C = p2a2* + p3a3*

= p2a2(.) + p3a3(.)

= C (p2, p3, b1)

Illustration graphique

Minimiser (p2a2 + p3a3 : (b1 , a2, a3) P)

C = p2a2 + p3a3

a3 = C/p3 - (p2/p3) a2 droite de lisocot ( voir graphique 2-12 )

pente de lisocot

a2, a3

32

ici, la combinaison dinputs qui minimise le cot est (a2*, a3*)

C = p2a2* + p3a3* = C

p2 = 1, p3 = 2

C(A) = C(b1 = 100) = 120

C(B) = C(b1 = 200) = 208

C(C) = C(b1= 300) = 242

( voir graphiques 2-13 a) et b) )

Drivation de la fonction de cot (min.

des cots)

Problme : pour un niveau donn

doutput, on doit chercher la

combinaison dinputs qui

permet de produire cette

quantit doutput au

moindre cot.

P

a2

a3

c0 c1 c2

b1

a3*

a2*

2-12

100 180 210

100 200 300

100

200

300

10

14

16

a3

a2

cot

b1

b1=100

b1=300

b1=200

C

B

A

2-13 a)

2-13 b)

33

Min C = p ah hh=

2

l

s.c. b1 = g(a2, ... , al)

b1 = b1

Exemple : Min C = p2a2 + p3a3

s.c. b1 = g(a2, a3) [ou s.c. (b1 , a2, a3) P]

Variables exognes : p2, p3, b1

Variables endognes : a2 et a3

Formalisation (cas particulier)

Le problme revient minimiser le lagrangien suivant :

Min L = a2p2 + a3p3 + [b1 - g(a2, a3)]

En rsolvant, on trouve :

(1)

La

p g2

2 2 0= =

(2)

La

p g3

3 3 0= =

(3) L

= b1 - g(a2, a3) = 0

De (1) et (2), on a :

pp

gg

2

3

2

3= =

dada

3

2

b1 = g(a2, ... , al) ou (b1 , a2, ... , al) P

conditions de premier ordre

34

( voir graphique 2-14 )

partir des conditions de 1er ordre, on peut trouver les fonctions de demande conditionnelle.

a2* = a2(p2, p3, b1)

a3* = a3(p2, p3, b1)

et * = (p2, p3, b1)

En substituant les fonctions de demande conditionnelle dans la dfinition du cot, on trouve la

fonction de cot :

C = p2a2* + p3a3*

= p2a2(.) + p3a3(.)

= C (p2, p3, b1)

Remarques :

1. La minimisation des cots

pp

gg

2

3

2

3=

TMST, pente de

lisoquante

rapport des prix des inputs,

pente de lisocot

PP

2

3

a3

a2

b1

gg

pp

2

3

2

3=

2-14

35

p1gh = ph h = 2, 3

car b1 nest pas ncessairement le niveau optimal doutput.

2. Les fonctions de demande conditionnelle satisfont les proprits suivantes :

i) a2/p3 = a3/p2

ii) les fonctions a2(.) et a3(.) sont homognes de degr 0 en p2 et p3.

iii) ah/ph < 0 h = 2, 3

3. Signification de * :

1o C = p2a2 + p3a3

dC = p2da2 + p3da3 + a2dp2 + a3dp3

= p2da2 + p3da3 si dp2 = dp3 = 0

2o b1 = g(a2, a3)

db1 = g2da2 + g3da3

3o dCdb

p da p dag da g da1

2 2 3 3

2 2 3 3=

++

dCdb

g da g dag da g da1

2 2 3 3

2 2 3 3=

++

* *

= *

Ainsi, * reprsente le cot marginal lquilibre du producteur.

Drivation de loffre (maximisation des profits)

On cherche b1 qui maximise le profit :

= p1b1 -C(b1)

(1) b p

d Cd b1

11

0= = (prix = Cm)

36

(2)

2

12

2

12 0b

dCdb

= ou dCdb

2

12 0 (Cm croissant ou constant)

La condition de 1er ordre nous permet de trouver la fonction doffre : b1 = s(p1, p2, p3).

Analyse graphique : ( voir graphique 2-15 a) et b) )

Question :

Les conditions ncessaires sont-elles suffisantes pour assurer lexistence dun quilibre ?

1er cas : Lquilibre nest pas unique

a) il existe deux points tels que p1 = Cm ; cependant, le deuxime cas est rejet par la

condition de 2me ordre.

b) il existe plusieurs points tels que p1 = Cm ( voir graphique 2-16 a) )

2-15 a)

Cm

CM

P1

P1 CM Cm

b1* b1

C

Cm

CM

b1

2-15 b)

37

2me cas : p1 < Min CVM ( voir graphique 2-16 b) )

2-16 a)

P1

b1* b1*

Cm

CM

2-16 b)

b1*

Cm

CM

CVM

38

3me cas : ( voir graphique 2-16 c) )

Remarque :

La minimisation des cots peut tre vue comme une tape dans la maximisation du profit. Mais

si on abandonne le contexte de la stricte concurrence, elle peut aussi dcrire le comportement

dune entreprise qui doit satisfaire une contrainte de production ou doutput b1 = b1 fixe de

faon exogne.

3.3 Dcisions de courte priode vs dcisions de longue priode

Dcisions de longue priode

Ces dcisions portent sur toute lorganisation de la production (i.e. tous les inputs, y compris la

taille de lquipement). Elle concerne donc le choix de lquipement et des procds de

fabrication. Dans ce cas, lanalyse prcdente (en 2 tapes) sapplique telle quelle.

Dcisions de courte priode

Lentreprise ne choisit pas tous ses inputs car certains dentre eux sont prdtermins. Dans ce

cas, le problme revient tudier les conditions demploi dune capacit de production dj

installe.

2-16 c)

Cm

CM

P1

b1

39

Drivation de la fonction de cot de courte dure

Problme : pour un niveau donn doutput et un niveau donn dquipement, on doit chercher

la combinaison (vecteur) dinputs qui permet de produire cette quantit doutput au

moindre cot tout en utilisant la capacit de production donne.

Posons al = al . Le problme revient :

Min CCT = p ah hh=

2

l

s.c. b1 = g1(a2, ... , al)

b = b1

al = al

Exemple :

Min CCT = p2a2 + p3a3

s.c. b1 = g(a2, a3 )

Variables exognes : p2, p3, b1 et a3

Variables endognes : a2

La solution nous donne a2* et on trouve

CCT = p2a2* + p3a3

CCT(p2, p3, b1 , a3 )

Analyse graphique courte priode : CmCT ; CMCT

longue priode : CmLT ; CMLT

b1 = g(a2, ... ,al-1 , al )

40

( voir graphique 2-17 )

3.4 Proprits de la fonction de cot

Soit C(b1, p2, p3, ... , pl) la fonction de cot.

C(b1, p2, p3, ... , pl) = p2a2* + ... + plal*

= p2a2(b1, p2, ... , pl) + ... + plal(.)

Cette fonction nous donne le cot minimum pour produire b1 aux prix p2, p3, ... , pl.

Proprits

i) C(.) est non dcroissante en (b1, p2, ... , pl)

ii) C(.) est homogne de degr 1 en (p2, ... , pl), i.e. C(tp2, ... , tpl ; b1) = tC(p2, ... , pl ; b1).

iii) C(.) est concave en (p2, ... , pl)

0

P1

b1LT

b1*b1

CT

CM'CT

CmCT

CmLT

CMCT

CMLT

2-17

41

Chh 0, h = 2, ... , l ; c cc c

22 23

32 330 ;

c c cc c cc c c

22 23 24

32 33 34

42 43 44

0 ; ...

Lemme de Shephard

Soit ar* = ar(p2, ... , pl ;b1) la fonction de demande conditionnelle du facteur r. Alors

ar* = ar(p2, ... , pl ;b1) = ( )

C p p b

p r2 1, . . . , ;l pour r = 2, 3, ... , l.

Retour sur les proprits des fonctions de demande conditionnelles

a) ah/ph 0 h = 2, 3, ... , l

b) ar/ps = as/pr r, s = 2, 3, ... , l

(facultatif) Liens entre la fonction de cot et la fonction de production

1. Les rendements marginaux dcroissants impliquent que la fonction de cot tourne sa

concavit vers le haut.

( voir graphique 2-18 )

2. Le cot marginal est constant lorsque la fonction de production satisfait lhypothse des

rendements lchelle constants.

b1

a20

b1 = g ( a2 )

C

Cm

CM

0 b1

2-18

42

3. Soit CM = C/b1 le cot moyen. Ce dernier est croissant ou dcroissant suivant quil

est infrieur ou suprieur au cot marginal.

Exemple 3

Reprenons lexemple 1 avec la fonction de production

b1 = 2 21

33

13a a

Il sagit maintenant de trouver la fonction de cot C(p2, p3, b1 ).

Pour ce faire, on minimise le cot C = p2a2 + p3a3, sous contrainte que 2 21

33

13a a = b1 .

Formons le lagrangien : L = p2a2 + p3a3 - ( 2 21

33

13a a - b1 ).

Les conditions ncessaires et suffisantes pour obtenir un minimum sont :

1)

La

p a a2

2 2

23

3

13

23

0= =

2)

La

p a a3

3 2

13

3

23

23

0= =

3) L

= 2 21

33

13a a - b1 = 0

De (1) et (2), on obtient : p2/p3 = a3/a2

do a2 = (p3/p2) a3

Substituons dans (3) : 2 32

3

13

31

3ppa a

= b1

2 32

13

3

23

pp

a

= b1

a3* = b pp

13

2

3

12

8

et a2* =

b pp

13

3

2

12

8

43

a2* et a3* sont les fonctions de demande conditionnelle.

La fonction de cot C(p2, p3, b1 ) est alors :

p2a2* + p3a3* = p2b pp

13

3

2

12

8

+ p3

b pp

13

2

3

12

8

= 2b p p1

32 3

12

8

= (b1 p2p3)

C (p2, p3, b1 ) = (b1 p2p3)

Avant daller plus loin, on veut vrifier quelques-unes des proprits des fonctions de demande

conditionnelle et de la fonction de cot.

a) Les fonctions de demande conditionnelle sont homognes de degr 0 en p2, p3 :

a2* = a2(p2, p3, b1 ) = b pp

13

3

2

12

8

a2(tp2, tp3, b1 ) = b tptp

13

3

2

12

8

=

b pp

13

3

2

12

8

= a2(p2, p3, b1 )

a2 est homogne de degr 0 en p2 et p3, et le rsultat est identique pour a3.

Interprtation conomique de lhomognit de degr 0 en p2 et p3 des fonctions de demande

conditionnelle.

Lhomognit de degr 0 en p2 et p3 implique que la variation du prix de chacun des inputs a2 et

a3 dans les mmes proportions (p2 et p3 doublent ou sont rduits de moiti, par exemple) naura

aucun impact sur les demandes conditionnelles.

44

Cest normal : si les prix varient dans les mmes proportions, alors le rapport des prix (p2/p3) ne

change pas. Dans ce cas, puisque b1 est fix, les quantits qui minimisent le cot ne peuvent pas

changer : ( voir graphique 2-19 )

Si le rapport des prix changeait, la pente de la droite disocot changerait et les demandes

conditionnelles seraient (a2, a3) plutt que (a2*, a3*) comme le dmontre le graphique de droite.

Donc, si le rapport des prix ne change pas, les demandes conditionnelles seront les mmes.

Cependant le cot minimum pour produire b1 sera diffrent, bien entendu.

b) a2*/p3 = a3*/p2

a2*/p3 = b p

pp1

33

2

12

38

=

12 8

13

2 3

12b

p p

a3*/p2 = b p

pp1

32

3

12

28

=

12 8

13

3 2

12b

p p

a3*

*a2

b1

PP

2

3

a3

a2

a3

a2a'2

a'3a*3

a*2

b1

2-19

45

c) a2*/p2 < 0 : b p

pp1

33

2

12

28

=