Chapitre II : Limite de fonctions

Extrait du programme :

I. Limite d’une fonction en l’infini

1. Limite finie en

Définition :

lim x +

f ( x ) = L si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs f ( x ) dès que x est

assez grand. (Se lit : « f ( x ) tend vers L lorsque x tend vers + » ou bien « la limite de f quand x tend

vers + est L »)

Cette définition est analogue à celle donnée pour la limite d’une suite numérique, « dès que x est assez

grand » remplaçant « à partir d’un certain rang ».

Interprétation graphique :

Quelle que soit la valeur très proche de zéro qu’on choisit, tout

point M de la courbe cf dont l’abscisse est suffisamment grande,

est situé entre deux droites horizontales d’équations respectives :

y = L + et y = L −

On définit de façon analogue : lim x −

f ( x ) = L

Propriété : Limites de certaines fonctions de référence

Les fonctions : x1

x ; x

1

x ; x

1

x² ; x

1

xn (n

) ont pour limite 0 en + et en -

Définition : Si lim x +

f ( x ) = L (respectivement lim x −

f ( x ) = L) alors on dit que la droite

d’équation y = l est asymptote horizontale à la courbe représentative de f en + (respectivement en -

)

Exemple :

D’après la propriété précédente : lim x +

1

x² = 0 donc la courbe représentative de la fonction

x 1

x² admet pour asymptote horizontale l’axe des abscisses d’équation y = 0.

Il en est de même pour chacune des fonctions usuelles présentées dans cette propriété.

Point-méthode 9 : Déterminer l’existence d’une asymptote horizontale, et les positions relatives

On considère la fonction f : [2 ;+[⟶

x 2 + 1

x

Déterminer l’existence d’une asymptote horizontale à la courbe représentative cf, étudier les variations

de la fonction f, puis étudier les positions relatives de cf avec cette asymptote.

1. Pour déterminer l’existence d’une asymptote horizontale, il faut étudier la limite de la fonction

en l’infini (ici, nécessairement +), si cette limite est un réel, alors il y aura une asymptote

horizontale.

lim x +

1

x = 0 donc lim

x + f ( x ) = 2 par conséquent, la droite (d) d’équation y = 2 est

asymptote horizontale à cf lorsque x tend vers +.

2. Pour étudier les variations d’une fonction, on peut déterminer le signe de sa dérivée, puis on

résume toutes ces informations (limites comprises) dans un tableau de variations.

f ’ ( x ) =

−

1

2 x

( x )2 =

− 1

2x x qui est toujours négative sur [2;+[

3. Pour étudier les positions relatives de deux courbes, il faut étudier le signe de la différence de

leur équation :

f ( x ) − 2 = 1

x qui est toujours positif, donc la courbe cf est toujours au-dessus de son

asymptote horizontale.

x

f ' ( x )

2 + 1

x

2

2+ 1

2

+

2

2 3 4 5 6 7 8

2

3

-1

0 1

1

x

y

2. Limite infinie en

Définitions :

lim x +

f ( x ) = + si tout intervalle ]A ;+[ contient toutes les valeurs f ( x ) dès que x est

assez grand.

lim x +

f ( x ) = − si tout intervalle ]- ;B[ contient toutes les valeurs f ( x ) dès que x est

assez grand.

On peut énoncer des définitions similaires pour les limites en - en replaçant « dès que x est assez

grand » par « dès que x est négatif et assez grand en valeur absolue ».

Interprétation graphique : lim x +

f ( x ) = +

Quelle que soit la droite horizontale d’équation y = A que l’on se donne, tout point M

de la courbe cf dont l’abscisse est suffisamment grande est situé au dessus de cette

droite.

De la même façon, on peut illustrer les 3 autres cas :

lim x +

f ( x ) = − lim x −

f ( x ) = + lim x −

f ( x ) = −

Propriété : limites de certaines fonctions usuelles

Les fonctions x x ; xx ; xx² ; xxn (n) ont pour limite + en +

Pour n entier pair, les fonctions xxn ont pour limite + en -

Pour n entier impair, les fonctions xxn ont pour limite - en -

Exemple : lim x −

x² = lim x +

x² = + et lim x −

x3 = − lim x +

x3 = +

II. Limite d’une fonction en un réel a

Soit a un nombre réel. Pour envisager le calcul de la limite éventuelle de f lorsque x tend vers

a, il faut que f soit une fonction définie sur un intervalle contenant a ou sur un intervalle

dont une des bornes est a (exemple : ] - ; a [ ; [a ; + [ ; ]a ; b[, … ) ( Il n’est pas

nécessaire que f soit définie en a.)

Définition : lim x a

f ( x ) = + si tout intervalle ]A ;+[ contient toutes les valeurs de f ( x ) dès que

x est suffisamment proche de a.

De la même façon, lim x a

f ( x ) = − si tout intervalle ]- ;B[ contient toutes les valeurs f ( x ) dès

que x est suffisamment proche de a.

Remarque : Attention, dans le cas où x tend vers un nombre a, x peut se rapprocher de a par valeurs

supérieures ou par valeurs inférieures. On distinguera donc, s’il elles existent, lim x a

+ f ( x ) = + ou

on parle de limite à droite) et lim x a

− f ( x ) = + ou (on parle

de limite à gauche)

Si les deux limites existent et sont égales, alors on pourra écrire : lim x a

f ( x ) = +

Interprétation graphique : lim x a

+ f ( x ) = +

Quelle que soit la droite horizontale d’équation y=A que l’on se donne, tout

point M de la courbe cf dont l’abscisse est suffisamment proche de a (et

supérieure à a, est situé au-dessus de cette droite.

De la même façon, on peut illustrer les 3 autres cas :

lim x a

+ f ( x ) = − lim x a

− f ( x ) = + lim x a

− f ( x ) = -

Définition : Lorsque lim x a

f ( x ) = ou lim x a

+ f ( x ) = ou lim x a

− f ( x ) = , on dit que la

droite d’équation x = a est asymptote verticale à la courbe cf

Propriété : limites des fonctions de référence

f x 1

x

f x) = 1

x n

n impair

f x = 1

x²

f x = 1

x n

n pair

limx 0

- 1

x = -

limx 0

+ 1

x = +

limx 0

- 1

x n = –

limx 0

+ 1

x n = +

limx 0

1

x² = + lim

x 0 1

x n = +

III. Théorèmes sur les limites

1. Limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient.

Les résultats concernant les opérations sur les limites de suites (Chapitre I) sont applicables aux

limites de fonctions lorsque x tend vers + , − ou un réel a.

On rappelle qu’il y a quatre formes indéterminées qui sont : « − » ; « 0 × » ; «

» ; «

0

0 »

Pour déterminer les limites d’une fonction, on peut écrire cette fonction comme somme, produit ou

quotient de fonctions de références.

Exemple :

lim x +

x² = + donc lim x +

3 − x² = −

lim x +

− 6 = − 6 ainsi, lim x +

− 6

3 − x² = 0

Point-méthode 10 : Lever quelques indéterminations sur les limites avec les fonctions

1. Déterminer la limite en + de f ( x ) = x² − 3 x + 5

2. Déterminer la limite en 0 de g ( x ) = x+1 − 1

2x

1. On commence par calculer les limites de chaque terme de la somme :

lim x +

x² = + et lim x +

− 3 x = − il s’agit donc d’une forme indéterminée.

Pour contourner ce problème, on met en facteur le « terme prépondérant » :

f ( x ) = x² − 3 x + 5 = x²

1 −

3 x

x² +

5

x² = x²

1 −

3

x x +

5

x²

Or lim x +

x² = +

et lim x +

3

x x = lim

x + 5

x² = 0 donc lim

x + 1 −

3

x x +

5

x² = 1 et ainsi, lim

x + f ( x ) = +

2. lim x 0

x+1 − 1 = 0 et lim x 0

2x = 0 on a donc une forme indéterminée.

Pour contourner ce problème, il faut utiliser l’expression conjuguée, afin de faire apparaitre la 3ème

identité remarquable :

g ( x ) = x+1 − 1

2x =

( x+1 − 1 ) ( x+1 + 1 )

2x ( x+1 + 1 ) =

x + 1 − 1²

2x ( x+1 + 1 ) =

1

2 ( x+1 + 1 )

Or lim x 0

x+1 + 1 = 2 donc lim x 0

g ( x ) = 1

4

2. Limite d’une fonction polynôme ou rationnelle en l’infini

Théorème :

La limite en + et en - d’un polynôme est la limite de son terme de plus haut degré.

La limite en + et en – d’une fonction rationnelle est la limite du quotient de ses termes de

plus haut degré.

Exemple : Cherchons la limite en + de la fonction f ( x ) = 3x² + x − 2

2x + 5

La fonction f est une fonction rationnelle donc :

lim x +

f ( x ) = lim x +

3x²

2x = lim

x + 3x

2 = +

3. Limite de la composée de deux fonctions.

Théorème :

Soit h une fonction définie sur un intervalle I, g une fonction définie sur h ( I ). On note f la fonction

définie par : f ( x ) = g ( h ( x ) )

a, l et L’ désignent des nombres réels, ou bien + ou bien -

Si lim x a

h( x ) = l et si lim X l

g ( X ) = L’ alors lim x a

f ( x ) = L’

Point-méthode 11 : Déterminer la limite d’une fonction composée

Déterminer la limite en + de la fonction f ( x ) = 1−x

1−2x définie sur [1 ;+[

1. Il faut bien déterminer quelles sont les différentes fonctions qui sont enchaînées.

x1 − x

1 − 2x

X = 1−x

x−2x X

2. On détermine les limites de chacune des 2 fonctions utilisées :

lim x +

1 − x

1 − 2x = lim

x +

− x

− 2x =

1

2

Et lim X 1

2

X = 1

2

Par conséquent, lim x +

f ( x ) = 1

2

4. Théorèmes de comparaison

Théorème : Si lim x +

g ( x ) = + et si, pour x suffisamment grand f ( x )g ( x )

alors : lim x +

f ( x ) = +

Théorème : Si lim x +

g ( x ) = − et si, pour tout x suffisamment grand f ( x )g ( x )

Alors lim x +

f ( x ) = −

Exemple : soit f la fonction définie sur par : f ( x ) = − 2x + sin x

x, sin x 1 donc f ( x )− 2x + 1

Or lim x +

− 2x + 1 = − donc lim x +

f ( x ) = −

Théorème des gendarmes : f, g et h sont des fonctions et l un nombre réel

Si lim x +

g ( x ) = l et lim x +

h ( x ) = l et si, dès que x est suffisamment grand,

g (x) f (x) h (x) alors lim x +

f ( x ) = l

Démonstration : Soit I un intervalle ouvert centré en l,

lim x +

g ( x ) = l donc il existe un nombre A1 tel que x > A1, g ( x )I.

lim x +

h ( x ) = l donc il existe un nombre A2 tel que x > A2, h( x )I.

De plus, on sait qu’il existe un nombre A3 tel que : x > A3, g (x) f (x) h (x)

Notons A le plus grand des trois nombres A1, A2 et A3 : alors x > A, f ( x )I.

Par conséquent, lim x +

f ( x ) = l

CQFD

Exemple : On considère une fonction f définie sur telle que : x, − 2f ( x )1

On cherche à connaitre la limite de f ( x )

x lorsque x tend vers +.

Si x > 0 alors : − 2

x

f ( x )x

1

x Or lim

x + − 2

x = lim

x + 1

x = 0

Donc d’après le théorème des gendarmes : lim x +

f ( x )

x = 0

Remarque : les théorèmes ci-dessus peuvent également être énoncés

- Lorsque x tend vers - (en remplaçant x suffisamment grand par x suffisamment grand en

valeur absolue et négatif)

- Lorsque x tend vers a (en remplaçant x suffisamment grand par x suffisamment proche de a)