Chapitre IILoi fondamentales

• Relie le courant au travers d’une résistance à la tension à ses bornes.

v = Ri

v = -Ri

• Puissance dissipéep=vi = (Ri)i = Ri2 p=v(v/R)=v2/R

Loi d’Ohm

+ _v (t)i(t)

Rv (t) = R i(t)

+_ v (t)i(t)

Rv (t) = R i(t)_

+ _v (t)i(t)

Rv(t) = R i(t)

+_ v (t)i(t)

Rv(t) = R i(t)_

• Permettent d’étudier la répartition des courants et tensions dans les nœuds et mailles d`un circuit• Branche : composant électrique élémentaire• Nœud : point de jonction entre deux ou plusieurs branches• Maille : chemin électrique fermé (boucle) où chaque nœud

est traversé une seule fois • Maille indépendante : maille qui contient au moins une

branche qui n`est pas partagée avec une autre maille

Circuit avec 5 branches, 2 nœuds, 5 mailles

Lois de Kirchhoff

Circuit avec 4 branches, 3 noeuds et 3 mailles

Relation entre branches, mailles indépendantes et nœuds :

# branches = # mailles indép. + # nœuds - 1

Analyse des circuits

Ex.

+ _

• 9 nœuds• 5 mailles• 4 mailles indépendantes• 12 branches

Basic Laws of Circuits

• Conséquence de la loi de conservation de l’énergie• Deux formulations équivalentes :

1. La somme des courants entrants dans un nœud est égale à la somme des courant sortants

2. La somme algébriques des courants présents dans un nœud est nulle

I a

I b

I c

I d

I a , I b , I c , a n d I d c a n e a c h b e e ith e r a p o s itiv eo r n e g a tiv e n u m b e r.

Ia + Ib = I c + Id

11

Loi de Kirchhoff sur les courants

ou Ia + Ib – Ic – Id = 0

• Dans la formulation algébrique, ce qui entre est considéré positif et ce qui sort négatif

-8 A

-3 A

-5 A

-2 A

Exemple : Trouver les courants IW, I X, IY, IZ

1 2 AI X I Y

I Z

6 A

9 A2 A

I W

IW =

IX =

IY =

IZ =

15

Loi de Kirchhoff sur les courants

C irc u it

C irc u it

C irc u it

1 1j

j

j N k M

kk

i i

10

r Q

rri

10

m Q

mm

i

• S’applique aussi aux surfaces conductrices qu’on traite comme des nœuds

17

Loi de Kirchhoff sur les courants

s u rf a ce1

s u rfa ce2

-2 A

4 A

I B I C

9 A

2 A I A

Exemple : Trouver les courants IA, IB, and IC

18

Loi de Kirchhoff sur les courants

Surface 1 : IB = 2ANœud 1 : Ic = 0 ANœud 2 : IA = 9A

1 2

Loi de Kirchhoff sur les tensions

• En partant de a : -vs1+vs3-vs2= v1+v2+v4+v3

ou -vs1-v1+vs3-v2-vs2-v4-v3= 0• Les signes sont inversés

si on part dans l’autre sens

• Vient aussi de la loi de conservation de l’énergie• Deux formulations équivalentes s’appliquant à une maille

1. La somme algébrique des ddp des sources est égale à la somme des ddp ailleurs

2. La somme algébriques des ddp par rapport à un point est nulle

+ +

+

+

_

_

+_ _

_

+

+

_

_V 1

V 4

V 3 V 2

V S 1 V S 3

R 2 R 4

R 3

R 1

V S 2

I

" a "

• Trouver Vad et Vfc pour le circuit suivant :

5 V

8 V

1 5 V

1 2 V

2 0 V 1 0 V

3 0 V

a b c

de

f

+ _

+

+

_

_

+ +

+

+

_

__

_

Partant de a : Vad + 30 – 15 – 5 = 0 Vab = - 10 V

Vfc – 12 + 30 – 15 = 0 Vfc = - 3 V

Loi de Kirchhoff sur les tensions

Partant de f :

V

R 3 R 2

R 1I+_

Ex. : pour R1 = 4 , R2 = 11 , V = 50 v, P1 = 16 w, trouver R3

Solution:

P1 = 16 w = V1I = R1I2

I = 2 A

V = I(R1 + R2 + R3), ce qui donne :

R1 + R2 + R3 = 50/2 =25, on en déduit :

R3 = 25 – 15 = 10 ohms

, donc :

Loi de Kirchhoff sur les tensions

Ex. : Pour le circuit suivant , trouver I, V1, V2, V3, V4 et a puissance fournie par la source de 10 v

+ +

+

+

+

+

+_ _

_

_

_

_

_V 1

V 4

V 3 V 2

3 0 V 1 0 V

1 5 4 0

5

2 0

2 0 V

I

" a"

Partant du point a, et réglant arbitrairement la direction du courant, la loi de kirchhoff sur les tensions donne :

-1*(+10 – V1 – 30 – V3 + V4 – 20 + V2 = 0)

19

Loi de Kirchhoff sur les tensions

On a : V1 = - 20I, V2 = 40I, V3 = - 15I, V4 = 5I

Ce qui donne :

10 + 20I – 30 + 15I + 5I – 20 + 40I = 0

Ou I = 0.5 A.Par conséquent :

V1 = - 10 V

V2 = 20 V

V3 = - 7.5 V

V4 = 2.5 V

P10(supplied) = -10I = - 5 W (signe – parce que le courant est absorbé par la borne +)

20

Loi de Kirchhoff sur les tensions

+10 – V1 – 30 – V3 + V4 – 20 + V2 = 0 + +

+

+

+

+

+_ _

_

_

_

_

_V 1

V 4

V 3 V 2

3 0 V 1 0 V

1 5 4 0

5

2 0

2 0 V

I

" a"

• Un circuit complexe peut avoir plusieurs mailles

+

+

+

+ +

+

+

+

+

+

+

-- -

-

-

-

--

-

-

-v1

v2

v4

v3

v12

v11 v9

v8

v6

v5

v7

v10

+

-

“a”•

Boucle bleue en començant à “a”

- v7 + v10 – v9 + v8 = 0

•“b”

Boucle rouge en commençant à “b”

+v2 – v5 – v6 – v8 + v9 – v11 – v12 + v1 = 0

Boucle jaune en commençant à “b”

+ v2 – v5 – v6 – v7 + v10 – v11

- v12 + v1 = 0

Loi de Kirchhoff sur les tensions

R 2

R 1

v 2

v 1+ +

+

_

_

_v i1

v = v1 + v2, v1 = R1i1 v2 = R2i1

v = (R1 + R2) i1 , et i1 =v

(R1 + R2)

Par conséquent : Formule très utilisée!v1 = R1

(R1 + R2)v

• Diviseur de tension

Circuits élémentaires

V

R 3 R 2

R 1 V 1I

+_

1 2 3

1 1

( )

, ,

VI

R R R

V IR so wehave

11

1 2 3( )

VRV

R R R

17

• Diviseur de tension à résistances multiples :

V = V1+V2+V3

= R1I+R2I+R3I = (R1+R2+R3)I

Circuits élémentaires

+ +

+

+

_

_

+_ _

_

+

+

_

_V 1

V 4

V 3 V 2

V S 1 V S 3

R 2 R 4

R 3

R 1

V S 2

I

" a "

VS1 + V1 – VS3 + V2 + VS2 + V4 + V3 = 0ou - VS1 - VS2 + VS3 = I(R1 + R2 + R3 + R4)

22

• Résistance équivalente

Circuits élémentaires

V SR e q

+

_I

Partant du point a, et réglant arbitrairement la direction du courant, la loi de kirchhoff sur les tensions donne :

La comparaison avec VS = ReqI donne

VS = - VS1 - VS2 + VS3 ;

Req = R1 + R2 + R3 + R4

• On note que :• La ddp de la source équivalente à deux ou

plusieurs sources mises en série est égale à la somme algébrique des ddp individuelles.

• La résistance équivalente à deux ou plusieurs résistances branchées en série est égale à la somme des résistances individuelles.

24

Circuits élémentaires

Ex. Trouver le courant I dans le circuit suivant :

+ +

_

_ _

+

1 0 V 4 0 V

1 5 1 0

5

2 0

2 0 V

I

Le circuit équivalent est :

5 0 V 5 0 +

_ I Par conséquent, I = 1 A

25

Circuits élémentaires

• Diviseur de courant

Circuits élémentaires

I

I 2 I 1

R 2 R 1V

+

_

I

R e qV

+

_

1 21 2

V VI I IR R

eq

VIR

Par conséquent :1 2

1 2 1 2

1 1 1

eq

R R

R R R R R

et IRV eq

I

I 2 I 1

R 2 R 1

+

_

V

Circuits élémentaires

• Diviseur de courant

21

1 1 1 2

eqIR IRVIR R R R

On aurait eu aussi 12

1 2

IRI

R R

I

I 2 I 1

R 2 R 1

+

_

V

6

Circuits élémentaires

• Autre conséquence :

• Si on appelle conductance 1/R, alors mettre deux résistances en parallèle équivaut à additionner leurs conductances.

1 2

1 2eq

R RR

R R

1 2

1 2 1 2

1 1 1

eq

R R

R R R R R

On a :

1 2

1 1 1 1. . .eq NR R R R

9

Circuits élémentaires

• Généralisation à N résistances

R e q R 1 R 2 R N R j

I

I j

eqj

j

IRI

Ret

Ex. :

I1I2

4 1 2 2 0 V

7

+_

+

_

V x

I

4(12)7 7 3 1012 4eqR

14

Circuits élémentaires

20 20 210eq

I AR

1

2

2(4) 0.512 4

2(12) 1.512 4

I A

I A

Ex.

I2I3

1 0 2 0 1 5 A 4

I1

21 3( 15)( ) ( 15)( ) ( 15)( )

, , ,4 20 10

eq eq eqR R RI I I

1 2 3

1 1 1 1 1 1 1 0.25 0.05 0.1 0.44 20 10eq

SR R R R

17

Circuits élémentaires