Chapitre II
Sollicitations des milieux continus
On décrira dans ce chapitre les déformations et les vitesses de déformations
d’un milieu continu lorsqu’il est sollicité par des efforts externes. Puis on
introduira la notions d’efforts internes dans un milieu continu, qui peuvent
être décrits par le tenseur des contraintes.
OBJET
SOMMAIRE
1. Déformation d’un milieu continu.................................................................................. 21
1.1 Exemples de sollicitations simples ....................................................................... 21
1.2 Étude tridimensionnel des déformations............................................................... 25
1.3 Tenseur des déformations linéarisé....................................................................... 29
1.4 Applications à des sollicitations simples ............................................................. 31
1.5 Représentation du tenseur des déformations linéarisé.......................................... 33
2. Tenseur des vitesses de déformation............................................................................ 34
3. Conditions de compatibilité.......................................................................................... 35
2. Efforts appliqués au milieu continu.............................................................................. 36
4.1 Exemples de sollicitations simples ....................................................................... 36
4.2 Vecteur contrainte................................................................................................. 37
4.3 Tenseur des contraintes de Cauchy...................................................................... 38
4.4 Pression hydrostatique - Déviateur des contraintes............................................. 40
5. Diagonalisation d’un tenseur symétrique ..................................................................... 41
5.1 Invariants d’un tenseur symétrique...................................................................... 41
5.2 Invariants utilisés en mécanique des milieux continus.......................................... 44
6. Représentation de Mohr des contraintes...................................................................... 46
6.1 Principe de la représentation de Mohr ................................................................. 46
6.2 Propriétés du diagramme de Mohr ....................................................................... 50
1.
21
1. Déformation d’un milieu continu
1.1 Exemples de sollicitations simples
a) Traction/compression d’une barre monodimensionnelle
Considérons l’allongement ou le raccourcissement d’une barre de longueur initiale lo dans
la direction x jusqu’à une longueur l l lo= + ∆ (cf. figure 1). La dimension de la section droite
de la barre est négligeable par rapport à sa longueur. La barre est fixée à l’une de ses
extrémités (x=0). On suppose que la déformation que subit la barre est identique en tout
point (homogène).
l
x
x
t=0
t>0
lo
∆l
0
0
U(x) U lo( )
Fig. 1 - Allongement d’une barre en traction
Pour définir la notion de “déformation”, l’allongement ∆l l lo= − ne convient pas. En effet,
une barre de longueur 2lo subissant la “même déformation” s’allongerait de 2∆l. Il convient
mieux d’utiliser l’allongement relatif, soit:
22
ε =
∆l
l
en
o
( %) (1)
avec ε déformation en traction/compression. Comme la déformation est identique tout le
long de la barre (homogène), le déplacement U des points d’abscisses x s’exprime
simplement :
U x l
x
lo
( ) = ∆ (2)
En effet, on retrouve bien qu’en :
4.4 x=0 : U(x)=0 (le déplacement est nul à l’extrémité fixe)
5.4 x= lo : U(x) = ∆l (le déplacement est maximum à l’extrémité libre)
D’après (2), on montre ainsi que :
dU
dx
l
l
dU
dxo
= ⇒ =
∆
ε (3)
On obtient une autre définition de la déformation en traction (compression) à partir du
déplacement.
b) Cisaillement simple
Une plaque de section carrée de côté h dans le plan Oxy est cisaillée d’une distance a suivant
x comme le montre la figure 2.
23
0 x
y
h
h
à t=0
à t>0
a
a
M Mo•
U
•
Fig. 2 - Déformation en cisaillement simple
On suppose que la déformation de la plaque est homogène. Un point
M xo ,0( ) de la plaque
au repos se déplace en M. La composantes U du champ de déplacement
r
U M Mo= se
calculent en exprimant la tangente, soit :
U
y
a
h
=
On en déduit :
U y
a
h
y
V
( ) =
=
0
(4)
D’où une autre définition de la déformation en cisaillement simple γ :
γ = =
dU
dy
a
h
(5)
24
c) Cisaillement pure
Une plaque de section carrée de côté h dans le plan Oxy est cisaillée à 45° d’une distance a
suivant x et y comme le montre la figure 3.
0 x
y
h
h
à t=0
à t>0
a
aV
M
Mo
•
•
M’
U
Mo
′
•
U
•
Fig. 3 - Déformation en cisaillement pur
On suppose que la déformation de la plaque est homogène. Un point
M xo ,0( ) de la plaque
au repos se déplace en M. Un point
′ ( )M yo 0, de la plaque au repos se déplace en M’. Les
composantes U et V du champ de déplacement
r
U se calculent en exprimant la tangente,
soit :
U
y
a
h
U y
a
h
y
V
x
a
h
V x
a
h
x
= ⇒ ( ) =
= ⇒ ( ) =
(4)
D’où une autre définition de la déformation en cisaillement pure ′γ :
′ = = =γ
dU
dy
dV
dx
a
h
(5)
25
1.2 Étude tridimensionnel des déformations
Soit
r
U U V W= ( ), , champ de déplacement; on a vu précédemment que la définition de la
déformation fait intervenir les dérivées de U, V, W par rapport à x, y, z, autrement dit leurs
gradients.
y
Mo
Po
M P
0
z
x
Ωo
Ωt
dx
r
U
r
x
dx
o
r
xo
Fig. 4 - Déformation (cas général) – Variables de Lagrange
Le milieu étant déformable, on va chercher à évaluer les déformations autour du point
matériel Mo en analysant localement le mouvement. Pour cela, regardons comment
s’exprime le transformé du vecteur infinitésimal dx
o
défini par le bipoint M Po o dans la
configuration de référence Ωo (fig.4).
Par définition du champ de déplacement
r r
U x to,( ) en variables de Lagrange, on a pour chaque
composante i :
x x U x t avec ii i
o
i o= + ( ) =r , , ,1 2 3
26
Soit encore en différentiant :
dx dx
U
x
dxi i
o i
j
o j
o= +
∂
∂
(1)
Ou encore en écriture vectorielle :
dx I U dxo= + ∇( )
r
(6)
avec
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
tenseur identité et ∇
r
U tenseur du second ordre gradient du déplacement
tel que :
∇ =
r
U
U
x
U
y
U
z
V
x
V
y
V
z
W
x
W
y
W
z
o o o
o o o
o o o
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
(7)
Le tenseur gradient ou application linéaire tangente, noté F, qui définit localement la
transformation des bipoints matériels s’exprime :
F I U= + ∇
r
(8)
Alors d’après (6) :
(1) On utilise à nouveau la convention de sommation d’Einstein
27
dx F dxo= ⋅ (9)
Problème: On fait subir à une plaque une rotation sans déformation d’un angle θ (voir figure
5). Si le tenseur gradient du déplacement ∇
r
U ou le tenseur gradient F, représentent la
déformation dans le cas d’un mouvement de rotation de corps rigide, ils doivent s’annuler.
x
y
0
θ
θ
M o x,y( )•
•
U
V
θ
0Mo
M
0M
Fig. 5 - Rotation d’une plaque
Le vecteur
0M x yo ,( ) subit une transformation par rotation jusqu’au vecteur 0M x y′ ′( ), .
Soit :
′
′
=
