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  • Chapitre II

    Sollicitations des milieux continus

    On décrira dans ce chapitre les déformations et les vitesses de déformations

    d’un milieu continu lorsqu’il est sollicité par des efforts externes. Puis on

    introduira la notions d’efforts internes dans un milieu continu, qui peuvent

    être décrits par le tenseur des contraintes.

    OBJET

  • SOMMAIRE

    1. Déformation d’un milieu continu.................................................................................. 21

    1.1 Exemples de sollicitations simples ....................................................................... 21

    1.2 Étude tridimensionnel des déformations............................................................... 25

    1.3 Tenseur des déformations linéarisé....................................................................... 29

    1.4 Applications à des sollicitations simples ............................................................. 31

    1.5 Représentation du tenseur des déformations linéarisé.......................................... 33

    2. Tenseur des vitesses de déformation............................................................................ 34

    3. Conditions de compatibilité.......................................................................................... 35

    2. Efforts appliqués au milieu continu.............................................................................. 36

    4.1 Exemples de sollicitations simples ....................................................................... 36

    4.2 Vecteur contrainte................................................................................................. 37

    4.3 Tenseur des contraintes de Cauchy...................................................................... 38

    4.4 Pression hydrostatique - Déviateur des contraintes............................................. 40

    5. Diagonalisation d’un tenseur symétrique ..................................................................... 41

    5.1 Invariants d’un tenseur symétrique...................................................................... 41

    5.2 Invariants utilisés en mécanique des milieux continus.......................................... 44

    6. Représentation de Mohr des contraintes...................................................................... 46

    6.1 Principe de la représentation de Mohr ................................................................. 46

    6.2 Propriétés du diagramme de Mohr ....................................................................... 50

    1.

  • 21

    1. Déformation d’un milieu continu

    1.1 Exemples de sollicitations simples

    a) Traction/compression d’une barre monodimensionnelle

    Considérons l’allongement ou le raccourcissement d’une barre de longueur initiale lo dans

    la direction x jusqu’à une longueur l l lo= + ∆ (cf. figure 1). La dimension de la section droite

    de la barre est négligeable par rapport à sa longueur. La barre est fixée à l’une de ses

    extrémités (x=0). On suppose que la déformation que subit la barre est identique en tout

    point (homogène).

    l

    x

    x

    t=0

    t>0

    lo

    ∆l 0

    0

    U(x) U lo( )

    Fig. 1 - Allongement d’une barre en traction

    Pour définir la notion de “déformation”, l’allongement ∆l l lo= − ne convient pas. En effet,

    une barre de longueur 2lo subissant la “même déformation” s’allongerait de 2∆l. Il convient

    mieux d’utiliser l’allongement relatif, soit:

  • 22

    ε =

    ∆l l

    en o

    ( %) (1)

    avec ε déformation en traction/compression. Comme la déformation est identique tout le

    long de la barre (homogène), le déplacement U des points d’abscisses x s’exprime

    simplement :

    U x l x lo

    ( ) = ∆ (2)

    En effet, on retrouve bien qu’en :

    4.4 x=0 : U(x)=0 (le déplacement est nul à l’extrémité fixe)

    5.4 x= lo : U(x) = ∆l (le déplacement est maximum à l’extrémité libre)

    D’après (2), on montre ainsi que :

    dU dx

    l l

    dU dxo

    = ⇒ = ∆

    ε (3)

    On obtient une autre définition de la déformation en traction (compression) à partir du

    déplacement.

    b) Cisaillement simple

    Une plaque de section carrée de côté h dans le plan Oxy est cisaillée d’une distance a suivant

    x comme le montre la figure 2.

  • 23

    0 x

    y

    h

    h

    à t=0 à t>0

    a

    a

    M Mo• U •

    Fig. 2 - Déformation en cisaillement simple

    On suppose que la déformation de la plaque est homogène. Un point M xo ,0( ) de la plaque

    au repos se déplace en M. La composantes U du champ de déplacement r U M Mo= se

    calculent en exprimant la tangente, soit :

    U y

    a h

    =

    On en déduit :

    U y a h

    y

    V

    ( ) =

    =

      

     0 (4)

    D’où une autre définition de la déformation en cisaillement simple γ :

    γ = = dU dy

    a h

    (5)

  • 24

    c) Cisaillement pure

    Une plaque de section carrée de côté h dans le plan Oxy est cisaillée à 45° d’une distance a

    suivant x et y comme le montre la figure 3.

    0 x

    y

    h

    h

    à t=0

    à t>0 a

    aV

    M

    Mo •

    • M’

    U Mo

    U

    Fig. 3 - Déformation en cisaillement pur

    On suppose que la déformation de la plaque est homogène. Un point M xo ,0( ) de la plaque

    au repos se déplace en M. Un point

    ′ ( )M yo 0, de la plaque au repos se déplace en M’. Les

    composantes U et V du champ de déplacement r U se calculent en exprimant la tangente,

    soit :

    U y

    a h

    U y a h

    y

    V x

    a h

    V x a h

    x

    = ⇒ ( ) =

    = ⇒ ( ) = (4)

    D’où une autre définition de la déformation en cisaillement pure ′γ :

    ′ = = =γ

    dU dy

    dV dx

    a h

    (5)

  • 25

    1.2 Étude tridimensionnel des déformations

    Soit

    r U U V W= ( ), , champ de déplacement; on a vu précédemment que la définition de la

    déformation fait intervenir les dérivées de U, V, W par rapport à x, y, z, autrement dit leurs

    gradients.

    y

    Mo Po

    M P

    0

    z

    x

    Ωo

    Ωt

    dx

    r U

    r x

    dx o

    r xo

    Fig. 4 - Déformation (cas général) – Variables de Lagrange

    Le milieu étant déformable, on va chercher à évaluer les déformations autour du point

    matériel Mo en analysant localement le mouvement. Pour cela, regardons comment

    s’exprime le transformé du vecteur infinitésimal dx o défini par le bipoint M Po o dans la

    configuration de référence Ωo (fig.4).

    Par définition du champ de déplacement r r U x to,( ) en variables de Lagrange, on a pour chaque

    composante i :

    x x U x t avec ii i

    o i o= + ( ) =r , , ,1 2 3

  • 26

    Soit encore en différentiant :

    dx dx U

    x dxi i

    o i

    j o j

    o= + ∂

    ∂ (1)

    Ou encore en écriture vectorielle :

    dx I U dxo= + ∇( )

    r (6)

    avec

    I =

     

     

    1 0 0

    0 1 0

    0 0 1

    tenseur identité et ∇ r U tenseur du second ordre gradient du déplacement

    tel que :

    ∇ =

          

          

    r U

    U

    x

    U

    y

    U

    z V

    x

    V

    y

    V

    z W

    x

    W

    y

    W

    z

    o o o

    o o o

    o o o

    ∂ ∂

    ∂ ∂

    (7)

    Le tenseur gradient ou application linéaire tangente, noté F, qui définit localement la

    transformation des bipoints matériels s’exprime :

    F I U= + ∇ r

    (8)

    Alors d’après (6) :

    (1) On utilise à nouveau la convention de sommation d’Einstein

  • 27

    dx F dxo= ⋅ (9)

    Problème: On fait subir à une plaque une rotation sans déformation d’un angle θ (voir figure

    5). Si le tenseur gradient du déplacement ∇ r U ou le tenseur gradient F, représentent la

    déformation dans le cas d’un mouvement de rotation de corps rigide, ils doivent s’annuler.

    x

    y

    0

    θ

    θ

    M o x,y( )•

    U

    V

    θ

    0Mo

    M

    0M

    Fig. 5 - Rotation d’une plaque

    Le vecteur 0M x yo ,( ) subit une transformation par rotation jusqu’au vecteur 0M x y′ ′( ), .

    Soit :

     

      =

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