Chapitre La probabilité subjective et l’espérance

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La probabilité subjective et l’espérance mathématique

Chapitre

8Entrée en matièreEn contexteManuel • p. 174

1. a) Il y a 620 élèves qui ont voté. Il y a 395 élèves de 2e cycle.

395620

= 79124

≈ 64 %

La probabilité que la première personne choisie soit une ou un élève du 2e cycle est d’environ 64 %.

b) La probabilité que les deux personnes choisies soient des élèves de la 3e année est de :

125620

• 124619

= 25619

≈ 4 %

La probabilité que les deux personnes choisies soient des élèves de la 3e année du 2e cycle est d’environ 4 %.

c) 318 élèves sur 620 ont voté « oui » et 302 élèves ont voté « non ». Donc il y a plus d’élèves en faveur d’une nouvelle structure de représentation que d’élèves qui y sont opposés.

2. a) Les élèves du premier cycle ont sûrement formulé cette plainte. En effet, les élèves de ce cycle qui sont allés voter ont très majoritairement voté pour le statu quo. De plus, les élèves de ce cycle représentent près de la moitié des élèves de l'école (49,5 %), mais ils ne sont pas allés voter en assez grand nombre pour faire valoir leur opinion. Pour les mêmes raisons, les élèves de la 1re année du 2e cycle ont, eux aussi, pu formuler une plainte.

b) Dans ce cas, il y aurait eu environ 347 élèves sur 772 qui auraient voté « oui » et il y aurait eu 425 élèves qui auraient voté « non ». Le résultat du référendum n’aurait pas été le même. Il y aurait eu environ 45 % des élèves en faveur de la nouvelle structure de représentation et environ 55 % des élèves contre cette nouvelle structure.

Manuel • p. 175

3. a) 4 • 3 • 2 • 1 = 24 possibilités

Il est possible de former 24 têtes du parlement différentes.

b) 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720 possibilités

Il est possible de former 720 conseils des ministres différents.

En brefManuel • p. 176

1. a) 3 – 1 – 4 – 2

2. a) Les événements 1 et 3

b) L’événement 1 : 452

ou 113

L’événement 2 : 66

ou 1

L’événement 3 : 18

3. a) Le salaire horaire moyen est d’environ 19,71 $/h.

b) Il y a 51 employés dans l’entreprise. Il y a 11 employés qui gagnent plus de 20 $ l’heure.

La probabilité qu’une personne choisie au hasard dans le personnel de cette entreprise gagne plus de 20 $ l’heure est de 11

51 ou d’environ 21,6 %.

4. a) 1020

• 1019

= 100380

ou 519

La probabilité de tirer une lettre d’abord et un chiffre ensuite est de 5

19.

b) 1020

• 919

= 90380

ou 938

La probabilité de tirer deux lettres est de 938

.

c) 2( 320

• 519) = 30

380 ou 3

38

La probabilité de tirer une voyelle et un multiple de 2 est de 3

38.

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Section 1 La probabilité subjective

À chacun sa force Situationd’application

Situationd’application

Situationd’application

Manuel • p. 177

Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

Pour obtenir un portrait global de la situation, on analyse d’abord les forces et les faiblesses de chaque participant.

Nom Forces Faiblesses Analyse

Alix – Basketball– Golf (peu

d’essais)

– Tir à l’arc– Commentaire

négatif d’Émile à son endroit

– Basketball en 1er choix, golf en 2e choix

Le commentaire d’Émile fait qu’on devrait hésiter à la prendre pour remplaçante.

Béatrice – Basketball– Tir à l’arc

(peu d’essais)– Elle affirme

être meilleure lorsque ça compte.

– Golf – Basketball en 1er choix, tir à l’arc en 2e choix

Son commentaire et le fait qu’elle est relativement forte dans toutes les épreuves font qu’elle pourrait être remplaçante.

Dinara – Tir à l’arc (moyen)

– Basketball (peu d’essais)

– Elle affirme qu’elle se sent prête.

– Golf Il est difficile d’identifier une épreuve où elle est vraiment forte. Surtout que le basket semble déjà devoir être attribué à Alix ou à Béatrice. Elle s’est cependant beaucoup entraînée au tir à l’arc, contrairement à la plupart des participants.

Émile – Basketball (peu d’essais)

– Tir à l’arc (peu d’essais)

– Golf– Commentaire

d’Alix à son endroit

Alix a remarqué qu’Émile ne s’était pas entraîné sérieusement (on peut le voir dans le nombre d’essais qu’il a faits par rapport aux autres participants). Ses deux forces sont dans des épreuves qui seront probablement comblées par des personnes ayant fait plus d’essais, donc ayant des résultats plus représentatifs de leurs habiletés. Émile pourrait être retenu pour le golf, puisque les performances de tout ceux qui ont effectué un plus grand nombre d’essais sont relativement semblables.

Cette première analyse de l’information disponible permet de proposer au moins deux scénarios. On doit ensuite déterminer lequel maximisera les chances de réussite de l’équipe.

Scénario 1 Tir à l’arc : Dinara — Basketball : Béatrice

Golf : Alix — Remplaçant : Émile

Scénario 2Tir à l’arc : Émile — Basketball : Alix

Golf : Dinara — Remplaçante : Béatrice

Forces Faiblesses Forces Faiblesses

– Chaque épreuve est assurée par la personne qui a été la meilleure à l’entraînement.

– Alix a effectué peu d’essais au golf.

– Le fait de nommer Émile comme remplaçant ne permet pas d’exploiter ce rôle de façon stratégique.

– Béatrice est bonne dans toutes les épreuves, c’est donc une bonne stratégie de la nommer remplaçante.

– Dinara a un peu de difficulté au golf.

– Émile a fait peu d’essais au tir à l’arc.

Puisque le scénario 1 semble considérer davantage les forces et les faiblesses de chaque participant, il pourrait permettre de maximiser les chances de réussite de l’équipe.



1ACTIvITéd’exploration Calculer, estimer ou évaluer ?

Manuel • p. 178

A Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

1) L’événement 9

2) L’événement 2

B Plusieurs bonnes réponses sont possibles en A, car certains événements font appel à une évaluation personnelle basée à la fois sur des connaissances et des opinions au sujet de ces événements.

C Les événements 3 , 10 et 11

Manuel • p. 179

D Pour l’événement 3 : 113

Pour l’événement 10 : 12

Pour l’événement 11 : 118

E Les événements 2 , 4 , 8 et 9

F Les événements 1 , 5 , 6 et 7

G C’est la probabilité subjective qui donne lieu à des évaluations différentes, car ce type de probabilité fait appel à un jugement. L’évaluation est donc différente d’une personne à l’autre.

H Probabilité théorique : Est-ce qu’il existe un modèle théorique de la situation qui me permettra de calculer cette probabilité ?

Probabilité fréquentielle : Dois-je effectuer une expérience aléatoire ou ai-je les résultats d’une expérience aléatoire pour estimer la probabilité associée à cette situation ?

Probabilité subjective : Dois-je faire appel à mon jugement pour l’évaluation de cette probabilité ? D’autres personnes pourraient-elles l’évaluer d’une façon différente de la mienne ?

I Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

1) Dans le portefeuille de Jonathan, il y a 3 billets de 5 $ et 4 billets de 10 $. S’il prend un billet dans ce portefeuille sans regarder, quelle est la probabilité qu’il pige un billet de 5 $ ?

2) Observer que la prochaine tartine de beurre d’arachides que tu échappes sur le sol tombe du côté non tartiné.

3) Observer que ton meilleur ami oublie sa calculatrice le jour d’un examen de mathématique.

Ai-je bien compris ?

Événement 1 : Probabilité théorique, car il existe un modèle théorique de la situation.

Événement 2 : Probabilité fréquentielle, car on doit l’estimer à partir de résultats observés dans une expérience aléatoire.

Événement 3 : Probabilité subjective, car on doit faire appel à son jugement pour l’évaluer.

Événement 4 : Probabilité subjective, car on doit faire appel à son jugement pour l'évaluer.

Événement 5 : Probabilité théorique, car il existe un modèle théorique de la situation.

Événement 6 : Probabilité fréquentielle, car on doit l’estimer à partir de résultats observés dans une expérience aléatoire.

2ACTIvITéd’exploration La triple Couronne

Manuel • p. 180

A Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

Le cheval Omaha et le cheval Secretariat. Ce sont ces deux chevaux qui ont gagné par le plus de longueurs d’avance au total pour les deux premières courses. De plus, Omaha semble être avantagé génétiquement et Secretariat a établi un record de vitesse aux deux premières courses. Enfin, Secretariat est celui qui a le plus de victoires en carrière.

B Plusieurs réponses sont possibles. Exemples :

Le nom de l’entraîneur, la température le jour de la course, l’opinion des experts quant à la victoire d’un cheval le jour de la course, etc.

C Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

Tim Tam est un autre cheval qui pourrait avoir remporté la Triple Couronne. Les arguments suivants peuvent justifier ce choix :

– Il a le deuxième plus grand nombre de victoires en carrière ;

– Il semble être avantagé génétiquement par ses deux parents.

Manuel • p. 181

D 1) 17 : 12

2) 12 : 17

E Non, la valeur d’une probabilité est toujours comprise dans l’intervalle [0, 1]. Ce n’est pas le cas pour les « chances pour » et les « chances contre ».



F En additionnant les deux nombres formant un rapport « chances pour » ou « chances contre », on obtient le dénominateur de la probabilité qui y est associée. Les « chances pour » qu’Omaha gagne la course sont de 17 : 12. En additionnant les nombres 17 et 12, on obtient 29. Selon les experts, la probabilité qu’Omaha

gagne la course est de 1729

.

G Il s’agit d’une probabilité subjective.

H 1) 34

2) 45

3) 57

I Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

1) Les « chances pour » de piger un billet de 5 $ dans un portefeuille sont de 7 : 2.

2) Les « chances pour » que la page de gauche d’un roman se termine par un point sont de 1 : 7.


1. Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

a) J’évalue que la probabilité que tous mes amis soient

présents à l’école mardi prochain est de 910

.

b) J’évalue que la probabilité qu’une de mes amies

oublie ses clés est de 1100

.

c) J’évalue que la probabilité qu’il pleuve dans

cinq jours est de 50100

.

2. a) Les « chances pour » sont de 1 : 3 et les « chances contre » sont de 3 : 1.

b) Les « chances pour » sont de 3 : 2 et les « chances contre » sont de 2 : 3.

c) Les « chances pour » sont de 99 : 1 et les « chan-ces contre » sont de 1: 99.

3. a) 38

b) 79

c) 711

Mise en pratiqueManuel • p. 185

1. Niveau de difficulté : faible

a) Probabilité théorique f) Probabilité fréquentielle

b) Probabilité subjective g) Probabilité théorique

c) Probabilité théorique h) Probabilité subjective

d) Probabilité théorique i) Probabilité fréquentielle

e) Probabilité subjective


a) La probabilité que notre produit nettoyant tue

les germes est de 99,9100

.

b) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple : Il s’agit d’une probabilité fréquentielle. Cette probabilité est une estimation faite à partir de résultats observés dans une expérience aléatoire qui a été effectuée un grand nombre de fois.


a) On peut associer chacune de ces affirmations à une probabilité subjective, car elles font appel au jugement et correspondent à une évaluation personnelle basée à la fois sur des connaissances et des opinions.

b) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

5 Un jeune enfant qui suce son pouce devra nécessairement porter des broches plus tard.

6 Il faut toucher du bois lorsqu’on fait remarquer à quelqu’un qu’on a été à l’abri de la malchance depuis un certain temps, sinon notre période de chance cessera.

Manuel • p. 186


a) La probabilité que le gobelet tombe en position

debout est de 2072 500

= 8,28 %.

b) On peut estimer que le gobelet tombera en position couchée environ 2 293 fois.

c) Elles sont basées sur une expérience aléatoire. Il n’existe pas de modèle mathématique pour cette situation et le jugement n’entre pas en jeu pour la détermination de la probabilité.


L’événement A est associé au rapport 4 .

L’événement B est associé au rapport 1 .

L’événement C est associé au rapport 3 .

L’événement D est associé au rapport 2 .

6. Niveau de difficulté : moyen


On peut observer que la température semble perdre un degré en passant d’une ville à l’autre : ainsi, avant-hier la température était de 15 °C à Detroit, puis de 14 °C hier à Toronto, et enfin de 13 °C aujourd’hui à Montréal. Le vent semble perdre de l’intensité lorsqu’il passe d’une ville à l’autre, et le même phénomène semble se répéter en ce qui concerne les précipitations. D’après ces observations, voici les prévisions météorologiques pour demain et après-demain à Montréal.



Demain Après-demain

Vents faibles Pas de vent

Faibles averses Nuageux

8 ºC 7 ºC

Manuel • p. 187



a) 1 – 2 – 3 – 5 – 4

b) Le nombre de joueurs blessés dans l’équipe et l’endroit où le match sera joué (à l’extérieur ou à domicile) sont d’autres facteurs qui pourraient influer sur le fait que l’Impact remporte son prochain match.

c) La probabilité que l’Impact remporte son prochain match est de 75 %.


a) 1) Josée se base sur une opinion.

2) Josée se base sur une expérience.


Elle ne connaît pas encore les concepts sur lesquels portera son évaluation. D’autre part, elle pourrait être malade et ne pas être dans un bon état physique et mental, ce qui pourrait influer sur le résultat de son évaluation.


Le rapport « chances pour » est le rapport des cas favorables (numérateur) aux cas défavorables (dénominateur). Or, s’il est certain qu’un événement se réalise, il n’y a pas de cas défavorables et le dénominateur d’un rapport ne peut égaler zéro.

Manuel • p. 188


a) 1) Les « chances pour » sont de 3 : 5 et les « chances contre » sont de 5 : 3.

2) Les « chances pour » sont de 1 : 7 et les « chances contre » sont de 7 : 1.





b) 1) 811

3) 914

5) 1116

2) 89

4) 79

6) 1322


a) Cet énoncé est faux. Les « chances pour » et les « chances contre » font intervenir le nombre de cas favorables et le nombre de cas défavorables, alors qu’une probabilité fait intervenir le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles. Les deux rapports expriment donc des choses différentes.

b) Cet énoncé est vrai. Puisque le produit du rapport « chances pour » et du rapport « chances contre » d’une situation donnée est égal à un entier, si un des rapports est inférieur à un entier, l’autre doit nécessairement être supérieur à un entier. Le rapport « chances pour » est en fait l’inverse multiplicatif du rapport « chances contre » pour une situation donnée.

c) Cet énoncé est faux. Il s’agit en fait

d’une probabilité de 27

.

d) Cet énoncé est vrai. À partir de cette probabilité, on peut déterminer qu’il existe 5 cas favorables et 3 cas défavorables (8 − 5 = 3).

e) Cet énoncé est vrai. Par exemple, si les « chances pour » sont de 3 : 3, la probabilité que

cet événement se produise est de 36

ou 12

.


a) La probabilité que la carte choisie au hasard soit noire est de 3

5. Alors, la probabilité que la carte

choisie au hasard soit rouge est de 25

.

b) La probabilité que la carte choisie au hasard soit

une carte de trèfle est de 60 % ou de 35

. Alors,

la probabilité que la carte choisie ne soit pas une

carte de trèfle est de 25

. Les « chances pour » sont de 2 : 3.

c) Les réponses doivent satisfaire aux trois contraintes suivantes :

– Il doit y avoir 4 figures sur les 5 cartes. – Il doit y avoir 3 cartes de trèfle sur les 5 cartes. – Il ne doit pas y avoir de cartes de pique.


Premier ensemble : {valet de trèfle, roi de trèfle, dame de cœur, roi de carreau et 8 de trèfle}

Deuxième ensemble : {roi de trèfle, valet de trèfle, valet de cœur, dame de cœur et 4 de trèfle}



Section 2 L’espérance mathématique

Tout le monde y gagne !Manuel • p. 189

On trace un diagramme en arbre pour calculer les probabilités associées à chaque salle :

Salle 4

Salle 3

Salle 2

Salle 1

Salle 1

Salle 3

Salle 4

ENTRÉE

13

13

124

112

124

16

16

16

12

12

12

12

12

12

12

12

13

13

Voici la probabilité associée à chacune des salles.

P(Salle 1 ) : 14

P(Salle 2 ) : 124

P(Salle 3 ) : 524

P(Salle 4 ) : 12

À partir de ces probabilités, voici l’estimation du nombre de participants qui aboutira dans chacune des salles lors de cet événement-bénéfice, en considérant qu’il y a 1 000 participants :

Salle 1 : 250 personnes




Afin que la somme déboursée par les organisateurs pour les lots soit la moins élevée possible, le lot qui coûte le plus cher doit être dans la salle la moins fréquentée, et ainsi de suite. On suggère donc aux organisateurs de répartir les lots de la façon suivante :

Salle 1 : Un porte-clés de l’événement (coûte 1 $ aux organisateurs)

Salle 2 : Un souper au restaurant pour deux (coûte 40 $ aux organisateurs)

Salle 3 : Deux laissez-passer pour le cinéma (coûte 4 $ aux organisateurs)

?Situation-problème

Salle 4 : Deux billets pour un match de hockey junior (coûte 0 $ aux organisateurs)

On estime le coût total que les organisateurs doivent débourser pour acquérir les lots :

P(Salle 1 ) : 250 • 1 = 250

P(Salle 2 ) : 42 • 40 = 1 680

P(Salle 3 ) : 208 • 4 = 832

P(Salle 4 ) : 500 • 0 = 0

Avec cette répartition des lots et 1 000 participants, les organisateurs peuvent s’attendre à débourser un montant de 2 762 $.

Comme l’objectif est de recueillir au moins 3 000 $, les droits d’entrée doivent rapporter au moins 5 762 $.

Puisqu’on estime qu’il y aura 1 000 participants, chaque participant devrait payer un droit d’entrée de 5,76 $ ou de 5,77 $. On suggère donc aux organisateurs de fixer le droit d’entrée à 6 $.

1ACTIvITéd’exploration Partage de coutume

Manuel • p. 190

A E(Toupie) = 25100

(0) + 30100

(1) + 25100

(−2) + 20100

(3)

E(Toupie) = 30100

− 50100

+ 60100

= 40100

= 25

L’espérance mathématique de cette toupie est de 25

.

B Dans le présent contexte, l’espérance mathématique signifie qu’en jouant un très grand nombre de fois à ce jeu, on peut s’attendre à gagner 2

5 d’un chocolat

par tour en moyenne.

C Si les résultats que Cynthia a placés sur les faces de sa toupie étaient équiprobables, l’espérance mathématique ne serait pas la même :

E(Toupie) = 14

(0) + 14

(1) + 14

(−2) + 14

(3)

E(Toupie) = 14

− 24

+ 34

= 24

= 12

On aurait une chance sur deux d’obtenir un chocolat de plus lorsque c’est à son tour de jouer.

D E(Toupie) = 25100

(−1) + 30100

(1) + 25100

(−2) + 20100

(3)

E(Toupie) = −25100

+ 30100

+ −50100

+ 60100

= 15100

= 320

L’espérance mathématique de cette toupie serait de 320

.



Manuel • p. 191

E Le changement dont il est question à la question D est susceptible d’augmenter le nombre de tours nécessaires pour que la mise soit vide. En effet, il fait en sorte qu’à chaque tour, on peut s’attendre à gagner 3

20 d’un chocolat, en moyenne, alors qu’on

pouvait auparavant s’attendre à gagner 25

820

d’un

chocolat, en moyenne.

F x : le résultat qui remplace « Prends 1 »

25100

(0) + 30100

(x) + 25100

(−2) + 20100

(3) = 1

30x100

− 50100

+ 60100

= 100100

30x − 50 + 60 = 100

30x = 90

x = 3

Sur la toupie, il faut remplacer « Prends 1 » par « Prends 3 ».


1. a) 0,75 b) 1,125 c) 0,875

2. Remarque : Dans le manuel, les résultats donnés à la question 2 devraient être les suivants : 8, 20, –10 et 15.

a) Résultat 20 8 15 –10

Probabilité 15 % 25 % 20 % 40 %

b) Résultat 8 20 –10 15

Probabilité 15 % 25 % 20 % 40 %

c) Résultat 20 –10 8 15

Probabilité 15 % 25 % 20 % 40 %

2ACTIvITéd’exploration Le Plinko

Manuel • p. 192

A E(Plinko) = 264

(1) + 1264

(5) + 3064

(0) + 2064

(20)

E(Plinko) = 264

+ 6064

+ 40064

= 46264

= 23132

≈ 7,22

L’espérance mathématique est d’environ 7,22 $.

B Dans ce contexte, l’espérance mathématique signifie qu’en jouant un très grand nombre de fois à ce jeu, on peut s’attendre à gagner 7,22 $ chaque fois, en moyenne.

C 1) 6,22 $ (7,22 − 1)

2) 2,22 $ (7,22 − 5)

3) –2,78 $ (7,22 − 10)

Manuel • p. 193

D Il est avantageux de participer au jeu avec les mises de 1 $ et de 5 $.

E Le prix à payer devrait être de 7,22 $.

F On calcule l’espérance mathématique de ce plan incliné avec les nouveaux lots à gagner :

E(Plan) = 50 264

+ 5 1264

+ 1 3064

+ 0 2064

E(Plan) = 10064

+ 6064

+ 3064

E(Plan) = 19064

= 2,96875

L’espérance mathématique du plan avec les nouveaux lots est d’environ 2,97 $. Le prix à payer est donc de 2,97 $ puisque le prix à payer pour participer doit être le même que l’espérance mathématique du plan incliné pour que le jeu soit équitable.

G Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

1) 1 $ 5 $ 10 $ 20 $ 12 $ 2 $ 0 $

E(Plan) = 77364

2) 12 $ 5 $ 2 $ 0 $ 1 $ 10 $ 20 $

E(Plan) = 16764


a) La probabilité de ne rien gagner est de 1 9772 000

, soit 98,85 %.

b) 1) −3,30 $ 2) −4,30 $

Mise en pratiqueManuel • p. 196


a) 0 b) 1 c) 0,375


a) E(Jeu) = 16(−1) + 1

6(2) + 1

6(−3) + 1

6(4) + 1

6(−5) + 1

6(6)

E(Jeu) = 0,5



b) Si elle joue un très grand nombre de tours, Pascale peut s’attendre à avancer de 0,5 case, en moyenne, à chaque tour.

0,5•30= 15

Pascale peut s’attendre à avancer de 15 cases, en moyenne, si elle joue 30 tours.


a) E(Bon) = 120

(0,40) + 220

(0,30) + 220

(0,20) + 1520

(0,10)

E(Bon) = 0,145

L’espérance mathématique d’un bon de réduction est de 14,5 %.

b) 75•0,145≈ 10,88

Une personne peut espérer économiser environ 10,88 $ sur un achat de 75 $.


Pour résoudre ce problème, on peut représenter l’espérance mathématique à l’aide d’une équation.

E(Dé) = 4

28

(2) + 28

(3) + 28

(6) + 28

(x) = 4

4 + 6 + 12 + 2x8

= 4

22 + 2x = 32

2x = 10

x = 5

Le quatrième chiffre sur le dé à huit faces est 5.


E(Tirage) = 101 000

(50) + 41 000

(100) +

11 000

(500) + 9851 000

(0)

E(Tirage) = 1,40

L’espérance mathématique de ce tirage est de 1,40 $.


a) Si on lance trois pièces de monnaie, il y a huit résul-tats possibles dont deux représentent trois pièces qui montrent la même face : (F, F, F) et (P, P, P).

1) 28

= 14

La probabilité de gagner 5 points est de 14

.

2) 44

− 14

= 34

La probabilité de perdre 1 point est de 34

.

b) E(Jeu) = 14(5) + 3

4(−1) = 0,5

L’espérance mathématique de ce jeu est de 0,5 point.

Manuel • p. 197


a) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

1) L’espérance mathématique de la somme des résultats obtenus lors du lancer de deux dés est égale à la somme de l’espérance mathématique des deux dés, soit 7.

2) L’espérance mathématique du produit des résultats obtenus lors du lancer de deux dés est égale au produit de l’espérance mathéma-tique des deux dés, soit 12,25.

b) 1) On peut représenter l’ensemble des possibilités de la somme obtenue lors du lancer de deux dés dans un tableau.

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

E = 136

(2) + 236

(3) + 336

(4) + 436

(5) + 536

(6) +

636

(7) + 536

(8) + 436

(9) + 336

(10) + 236

(11) +

136

(12) = 7

La conjecture est vraie, car 3,5 + 3,5 = 7.

2) On peut représenter l’ensemble des possibilités dans un tableau.

1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6

2 2 4 6 8 10 12

3 3 6 9 12 15 18

4 4 8 12 16 20 24

5 5 10 15 20 25 30

6 6 12 18 24 30 36



E = 136

(1) + 236

(2) + 236

(3) + 336

(4) + 236

(5) +

436

(6) + 236

(8) + 136

(9) + 236

(10) + 436

(12) +

236

(15) + 136

(16) + 236

(18) + 236

(20) +

236

(24) + 136

(25) + 236

(30) + 136

(36) = 12,25

La conjecture est vraie, car 3,5 × 3,5 = 12,25.


a) E = 0,10(2 000) + 0,20(1 500) + 0,70(200) = 640

b) Il faut déterminer l’espérance mathématique du nombre d’employés nécessaires en tenant compte des probabilités du bulletin météo.

E = 0,10(40) + 0,20(32) + 0,70(16) = 21,6

La direction du parc devrait faire travailler environ 22 employés le 23 juillet.

Manuel • p. 198


On peut représenter l’ensemble des possibilités dans un tableau.

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

La probabilité d’obtenir une somme supérieure ou égale à 9 est de 10

36.

La probabilité d’obtenir une somme inférieure ou égale à 4 est de 6

36.

La probabilité d’obtenir une somme supérieure à 4, mais inférieure à 9 est de 20

36.

a) E = 1036

(2) + 636

(3) + 2036

(−1) = 0,5

b) En moyenne, on peut espérer obtenir 0,5 point à chaque lancer des dés.

Si x représente le nombre de lancers des dés :

0,5x = 10

x = 20

Si on joue un très grand nombre de fois, il faut lancer 20 fois les dés, en moyenne, pour accumuler 10 points à ce jeu.


a) On peut calculer l’espérance mathématique de cette loterie sans tenir compte du prix du billet.

E(Loterie) = 12 000 000

(500 000) +

92 000 000

(50 000) +

902 000 000

(5 000) +

9002 000 000

(500) +

9 0002 000 000

(5) +

1 990 0002 000 000

(0) ≈ 0,95

1) 0,95 – 1 ≈ −0,05 $

2) 0,95 – 2 ≈ −1,05 $

3) 0,95 – 5 ≈ −4,05 $

b) Pour qu’un jeu soit équitable, le prix demandé pour jouer doit être égal à l’espérance mathémati-que calculée en a.

Le prix du billet devrait donc être d’environ 0,95 $.


On peut représenter l’ensemble des possibilités dans un tableau.

1 2 3 4 5 6

1 0 1 2 3 4 5

2 1 0 1 2 3 4

3 2 1 0 1 2 3

4 3 2 1 0 1 2

5 4 3 2 1 0 1

6 5 4 3 2 1 0

La probabilité que Ian gagne est de 636

.

On peut calculer l’espérance mathématique du jeu selon la perspective de Ian :

636

(10) + 3036

(−8) = −5

Puisque l’espérance mathématique est négative, et qu’elle est calculée selon la perspective de Ian, ce jeu lui est défavorable. Il ne devrait donc pas accepter la proposition de Charlotte.

Manuel • p. 199


En supposant que, de tous les nouveaux-nés, autant soient de sexe masculin que de sexe féminin, la pro-babilité que madame Mallou prédise le bon sexe est de 1

2. On peut calculer l’espérance mathématique

selon la perspective des parents :



E(variation de l’argent dans le portefeuille) = P(MmeMallouaitpréditcorrectement)• (variation de l’argent dans le portefeuille) + P(MmeMallouaitpréditincorrectement)• (variation de l’argent dans le portefeuille)

E(variation de l’argent dans le portefeuille) =

12

(−20) + 12

(10) = −5 $

La valeur négative de l’espérance mathématique nous indique que cette façon de faire est défavorable aux parents et favorable à madame Mallou.

Un couple qui désire connaître le sexe de son bébé ne devrait pas faire appel aux services de madame Mallou.


On peut représenter l’ensemble des possibilités par un diagramme en arbre.

16

16

13

16

16

13

13

12

12

13

12

12

Salle 1

Salle 2

Salle 1

Salle 1

Salle 2

ENTRÉE

a) 16

+ 13

+ 16

= 23

La probabilité d’accéder à la salle 1 est 23

.

b) 16

+ 16

= 13

La probabilité d’accéder à la salle 2 est 1

3.

On calcule l’espérance mathématique du labyrinthe :

23

(5) + 13

(100) ≈ 36,67

L’espérance mathématique de ce labyrinthe est d’environ 36,67 $.

c) Le prix à payer pour participer au jeu pour qu’il soit un jeu équitable est d’environ 36,67 $.

Consolidation

Manuel • p. 200

1. Distinction entre différents types de probabilités

Niveau de difficulté : faible

a) La probabilité d’obtenir un diviseur de 6 est de 70 %.

b) Cette probabilité est différente, car elle est déter-minée à partir d'un petit nombre de réalisations de l'expérience aléatoire.

c) Si l'on considère que le dé est régulier, il vaut mieux se fier à la probabilité théorique, car les résultats observés devraient se rapprocher de la probabilité théorique à mesure qu'augmente le nombre de lancers.

2. « Chances pour » et « chances contre »


a) Les « chances pour » l’obtention d’un as tiré d’un jeu de 52 cartes sont de 1 : 12.

b) Les « chances pour » l’obtention d’un côté pile trois fois de suite sont de 1 : 7.

c) Les « chances pour » l’observation d’une date d’anniversaire d’une personne née en janvier qui soit un nombre premier sont de 11 : 20.



a) La probabilité d’une victoire des Canadiens de Montréal à leur prochain match est de 3

5.

b) La probabilité d’une victoire du boxeur québécois Éric Lucas est de 7

11.

4. « Chances pour » et « chances contre »,

espérance mathématique

Niveau de difficulté : moyen

La probabilité d’obtenir un 5 est de 47

et celle d’obtenir un 2 est de 3

7.

On calcule l’espérance mathématique :

E(Jeu) = 47

(5) + 37

(2) ≈ 3,71

L’espérance mathématique de ce jeu est d’environ 3,71.



Manuel • p. 201

5. Espérance mathématique


On détermine l’espérance mathématique d’un dé non truqué :

E(Dé non truqué) = 16

(1) + 16

(2) + 16

(3) + 16

(4) +

16

(5) + 16

(6) = 3,5

On détermine l’espérance mathématique de ce dé truqué :

E(Dé truqué) = 116

(1) + 332

(2) + 12

(3) + 132

(4) +

14

(5) + 116

(6) = 3,5

L’espérance mathématique de ce dé truqué est égale à celle d’un dé non truqué.



Remarque : Dans le manuel à la question 6, on devrait lire « un prêt de 50 000 $ à un taux d’intérêt de 4 % ».

La probabilité que le client rembourse son prêt de 50 000 $ est de 95 %. Dans ce cas, la banque obtient 2 000 $ en intérêts.

Ainsi, la probabilité que la banque obtienne 2 000 $ est de 95 %, tandis que la probabilité qu’elle perde 50 000 $ est de 5 %.

On calcule l’espérance mathématique du remboursement :

E(Prêt) =

95100

(2 000) + 5100

(−50 000) = −600

On peut conclure qu’en moyenne, la banque perdrait 600 $ dans ces conditions. Voilà pourquoi elle refuse-rait d’accorder le prêt.

7. Espérance mathématique


E(Roulette) = 24

(2x) + 14

(x + 4) + 14

(x − 2)

−4 = 4x + x + 4 + x − 24

−16 = 6x + 2

−18 = 6x

−3 = x

La valeur de x est de −3.

8. Espérance mathématique, équité


a) On calcule l’espérance mathématique du jeu 1 :

E(Jeu 1) = 18

(12) + 78(−3) = −1,125 $

On calcule l’espérance mathématique du jeu 2 :

E(Jeu 2) =

636

(12) + 3036

(−3) = −0,50 $

Les deux jeux sont défavorables au joueur, mais, comme ils n'ont pas la même espérance mathé-matique, le jeu 1 est plus défavorable que le jeu 2.

b) En additionnant le prix demandé pour participer, soit 3 $, à l'espérance mathématique de chacun des jeux, on obtient le prix qui rendrait chaque jeu équitable :

Jeu 1 3 − 1,125 = 1,875

Il faudrait payer 1,88 $ pour que ce jeu soit équitable.

Jeu 2 3 − 0,5 = 2,5

Il faudrait payer 2,50 $ pour que ce jeu soit équitable.

Manuel • p. 202

9. Dés devinettes

« Chances pour » et « chances contre »,

espérance mathématique


Dé 1 :

La probabilité d’obtenir un nombre pair est de 13

ou

de 26

. Il y a donc deux faces qui portent un nombre

pair et quatre faces qui portent un nombre impair. Puisque tous les résultats ont une chance sur six de se réaliser, l’espérance mathématique est égale à la somme des produits de chacun des résultats par 1

6.

Si on identifie les faces cachées par x, y et z, on a :

16 x + 1

6 y + 16 z + 1

6 (3) + 16 (5) + 1

6 (5) = 5

En multipliant tous les termes par 6, on obtient :

x + y + z + 13 = 30

x + y + z = 17

La seule façon d’obtenir une somme de 17 avec trois faces d’un dé, étant donné que le nombre de points maximal sur chacune des faces est de 6 et que le nombre de points sur deux des faces doit être un nombre pair, c’est avec un 5 et deux 6.



Les trois faces cachées du dé ont respectivement 6, 6 et 5 points.

Dé 2 :

La probabilité d’obtenir un nombre premier est de 23

ou de 46

. Il y a donc 4 faces sur 6 qui ont un nombre

premier de points, soit 2, 3 ou 5.

Les « chances contre » l’obtention d’un multiple de 3 sont de 1 : 2. La probabilité d’obtenir un nombre de

points qui soit un multiple de 3 est donc de 23

, ou 46

.

Il y a donc 4 faces sur 6 qui doivent compter un nombre de points multiple de 3.

Parmi les trois nombres de points visibles, il n’y a qu’un nombre premier et un multiple de trois. Chacune des trois faces cachées doit donc avoir un nombre qui soit à la fois un multiple de 3 et un nombre premier. Les faces cachées doivent donc toutes avoir 3 points.

10. Le jour de la marmotte

Probabilité subjective, probabilité fréquentielle,

distinction entre différents types de probabilités


a) On pourrait inverser la croyance. Si la marmotte voit son ombre, le temps hivernal se terminera avant le 16 mars. Si la marmotte ne voit pas son ombre, alors le temps hivernal se poursuivra encore au moins 6 semaines. Ainsi, la probabilité que la prédiction de la marmotte soit juste serait d'environ 63 %, ce qui représente une augmenta-tion substantielle.

b) Oui. On se base sur les résultats passés pour établir la probabilité que la marmotte prédise le moment où l'hiver se terminera.

11. Planifier avec assurance

Espérance mathématique


a) On calcule l'espérance mathématique des pertes subies par l'assureur, c'est-à-dire le montant moyen par client que celui-ci peut s'attendre à devoir débourser :

E(Pertes) = 200 000(0,0005) + 10 000(0,03) + 0(0,9695)

E(Pertes) = 100 + 300 + 0

E(Pertes) = 400

Le prix minimal devrait couvrir l'espérance mathé-matique des pertes et donc être de 400 $.

b) La compagnie d’assurance doit s’assurer de faire des profits. De plus, elle doit tenir compte de ses frais d’exploitation (salaires, fournitures de bureau, etc.).

Manuel • p. 203

12. Garanti ou pas ?



a) Les deux réponses sont possibles.

b) On calcule l’espérance mathématique du placement 1 .

L’espérance mathématique est de 6 %.

On calcule l’espérance mathématique du placement 2 .

80100

(9 %) + 20100

(−5 %) = 6,2 %

D’après l’espérance mathématique de chaque placement, le meilleur choix serait le placement 2 .

13. Éruption prédite

Distinction entre différents types de probabilités


a) Cette prédiction est fondée sur une probabilité fré-quentielle, car elle est basée sur des expériences antérieures.

b) Dans ce genre de contextes, il y a toujours une part de subjectivité. En effet, le volcanologue doit aussi utiliser son jugement pour évaluer la probabilité. Deux volcanologues différents pour-raient évaluer des probabilités différentes dans cette situation, même s'ils disposent des mêmes statistiques au sujet du volcan.

Manuel • p. 204

14. Le « dilemme du prisonnier »



Puisque le suspect sait que son complice utilisera une pièce de monnaie, il sait que celui-ci a une chance sur deux de parler ou de se taire. Il peut donc calculer l’espérance mathématique, selon sa perspective, s’il se tait ou s’il dénonce son complice :



E(Se taire) = P(complice se taise) • (amende) + P(complice dénonce) • (amende)

E(Se taire) = 12

(6 000) + 12

(10 000) = 8 000 $

E(Dénoncer) = P(complice se taise) • (amende) + P(complice dénonce) • (amende)

E(Dénoncer) = 12

(0) + 12

(15 000) = 7 500 $

Le suspect devrait donc dénoncer son complice.

15. Avant le grand match

« Chances pour » et « chances contre »



Les probabilités que l’équipe locale gagne associées aux « chances pour » exprimées par chacune des personnes sont, respectivement, 4

5 , 15

17 et 9

13.

Les « chances pour » exprimées par les joueurs (et donc les probabilités qui leur sont associées) sont sans doute biaisées. On remarque malgré tout que même le joueur de l’équipe adverse croit davantage à une victoire de l’équipe locale.

On peut ainsi donner un poids de 50 % à l’opinion de l’expert, de 30 % à celle du joueur de l’équipe adverse et de 20 % à celle du joueur de l’équipe locale (puisqu’il semble le plus biaisé, sa probabilité étant très forte).

E(Équipe locale) = 50100(4

5) + 20100(15

17) + 30100( 9

13)E(Équipe locale) ≈ 0,4 + 0,1765 + 0,2077

E(Équipe locale) ≈ 0,7842 ≈ 78 %

Les « chances pour » une victoire de l’équipe locale sont donc d’environ 78 : 22.

Manuel • p. 205

16. Jeu de dés

Espérance mathématique, interprétation

de l’espérance mathématique


La probabilité d’obtenir le chiffre choisi sur un des

deux dés est de 518

, et celle d’obtenir deux fois

le chiffre choisi est de 136

.

On détermine l’espérance mathématique de ce jeu :

E(Jeu) = 518

(3) + 136

(18) + 2536

(−2) = −0,05 $

L’espérance mathématique est négative, ce qui indique que le jeu est défavorable au joueur ou à la joueuse. Sandrine a tort.

17. Moyenne au bâton




Cette situation est possible parce que la moyenne au bâton ne précise pas le nombre de présences au bâton de chaque joueuse. Ainsi, si une joueuse a une très forte moyenne au bâton, mais très peu de présences, et que l'autre joueuse a une moyenne un peu moins forte, mais beaucoup de présences, cette dernière aura accumulé beaucoup plus de coups sûrs, et ce sont les coups sûrs qui influencent la moyenne de l'année.

Joueuse

1re moitié de la saison : moyenne au bâton de 24.

2e moitié de la saison : moyenne au bâton de 100300

.

Saison entière : moyenne au bâton de 102304

.

Gagnante

1re moitié de la saison : moyenne au bâton de 120304

.

2e moitié de la saison : moyenne au bâton de 100304

.

Saison entière : moyenne au bâton de 220608

, soit 110304

.

Ainsi, la joueuse a une meilleure moyenne pour chacune des demi-saisons, mais la gagnante a une meilleure moyenne pour l'ensemble de la saison.

18. Langage subjectif

Probabilité subjective


Plusieurs réponses sont possibles en a et en c. Exemple :

a) Réponse 1 : La probabilité que la personne soit présente est d’environ 80 %.

Réponse 2 : La probabilité que la personne soit présente est d’environ 95 %.



b) La réponse 1 : La personne devrait enlever le « sans doute ».

La réponse 2 : La personne devrait enlever le « certainement ».

La réponse 3 : La personne devrait enlever le « probablement ».

La réponse 4 : La personne devrait enlever le « fort probablement ».

c) « Il y a de bonnes chances que je sois présente. »



Manuel • p. 206

19. Le jeu du petit cochon

Probabilité fréquentielle, probabilité subjective

Niveau de difficulté : élevé


Ariane a considérablement amélioré ses chances de remporter la partie, et ceci peut même se produire durant ce tour en un lancer si la figurine retombe « sur le museau » ou « sur le museau et une oreille », ou en deux lancers si la figurine retombe d’abord dans une position valant 5 points et, ensuite, dans n’importe quelle position, sauf « sur le côté ». Elle doit cependant considérer le fait qu’il y a une forte probabilité que la figurine retombe sur le côté et qu’elle perde tous les points qu’elle vient d’accumuler, ce qui diminuerait considérablement ses chances de gagner la partie.

Pour l’aider dans sa décision, on calcule l’espérance mathématique de son prochain lancer, où l’obtention de la position « sur le côté » représente une perte des trente points qu’elle a accumulés jusqu’à maintenant dans ce tour :

E(Lancer d’Ariane) = 297600

(–30) + 257600

(5)

+ 36600

(10) + 10600

(15)

E(Lancer d’Ariane) = –8 910

600 + 1 285

600 + 360

600 + 150

600

E(Lancer d’Ariane) = –7 115

600 ≈ –11,85

On calcule l’espérance mathématique du prochain lancer de Jonathan :

E(Lancer de Jonathan) = 297600

(0) + 257600

(5)

+ 36600

(10) + 10600

(15)

E(Lancer de Jonathan) = 1 285600

+ 360600

+ 150600

E(Lancer de Jonathan) = 1 795600

≈ 3

On conseille à Ariane de s’arrêter et de conserver les 30 points. L’important est de gagner la partie et non de la gagner durant ce tour. Si Jonathan avait 95 points, le conseil serait différent, car l’espérance mathé-matique d’un lancer pour Jonathan est de près de 5, et on devrait alors considérer qu’il pourrait gagner au prochain tour. Ariane pourrait alors jouer le tout pour le tout puisqu’elle en serait à son dernier tour, mais ce n’est pas le cas présentement.

20. Évaluer ou estimer le risque ?



a) Ce risque peut être estimé à partir de statistiques. Dans la portion de route où le risque est très élevé, on aurait recensé plus d’orignaux que sur la portion de la route où le risque est élevé.

b) Ce risque peut être évalué en tenant compte du jugement d’un spécialiste sur la présence plus ou moins élevée d'orignaux dans la région.

Manuel • p. 207

21. Dans le journal

Probabilité subjective, « chances pour »

et « chances contre »


a) Le joueur de tennis « pense » pouvoir gagner le match. Il fait alors appel à son jugement, ce qui est donc subjectif. D’autre part, le ministère fran-çais de la Culture annonce que le cinéaste Woody Allen tournera « très probablement » son prochain film à Paris, ce qui est subjectif, car basé sur une évaluation personnelle de la situation.


Article 1 : On évalue les probabilités de Djokovic de gagner le match à 3

5. Les « chances pour » une

victoire sont de 3 : 2.

Article 2 : On évalue les probabilités que Woody Allen tourne son prochain film à Paris à 9

10. Les

« chances pour » ce tournage sont de 9 :1.

Manuel • p. 208

22. Roulette à rabais

Interprétation de l’espérance mathématique


On détermine l’espérance mathématique de la roulette :

E(Roulette) = 38

(16,74) + 28(100) + 1

8(158,37) +

28(63,348) ≈ 66,91

Emmanuelle peut s’attendre à obtenir un rabais de 66,91 $. Elle peut donc s’attendre à payer une facture de 249,83 $.



23. Loi de Benford



a) À l’aide d’un tableur, on peut compiler les 100 premiers nombres carrés et les 100 premiers termes de la suite de Fibonacci.

On remplit ensuite le tableau ci-dessous.

Ensembles de nombres

Premier chiffre du nombre en question

1 2 3 4 5 6 7 8 9

100 premiers nombres carrés

21 14 12 12 9 9 8 7 8

100 premiers termes de la suite de Fibonacci

30 18 13 9 8 6 5 7 4


Il est plus probable qu’un nombre commence par le chiffre 1, car, dans l’ordre des nombres, il apparaît en premier.

Si l’on prend, par exemple, le cas des adresses d’une rue. Pour qu’il y ait autant d’adresses qui débutent par le chiffre 9 que par le chiffre 1, il faut que la dernière adresse de la rue soit 99, 999 ou 9 999. Dès que les adresses franchissent le cap des 100, 1 000 ou 10 000, le chiffre 1 apparaît plus souvent que le chiffre 9. De la même façon, si les adresses ne se rendent pas à 90, 900 ou 9 000, le chiffre 9 apparaît moins souvent que le chiffre 1.

Manuel • p. 209

24. Météo

Probabilité subjective



Christian semble avoir procédé en tenant compte de la probabilité de précipitations. Par exemple, si la quantité de neige attendue est de 5 à 10 centimètres et que la probabilité de précipitations est de 80 %, Christian considère plutôt que la quantité de neige attendue est de 4 à 8 cm. Il semble donc calculer l’espérance mathématique de la quantité de neige attendue en pondérant les quantités écrites sur la page Web par les probabilités de précipitations. Les quantités maximales de précipitations attendues pour chaque colonne du tableau deviennent donc :

1,8 cm, 8 cm, près de 8 cm et près de 3,5 cm. En additionnant ces quantités maximales, il obtient 21,3 cm. Puisqu’on retrouve souvent des intervalles et des « près de », il affirme que la quantité de neige maximale attendue sera un peu en deçà de ce qu’il calcule et prévoit donc 20 cm.

25. David Wright

Interprétation de l’espérance mathématique


On calcule l’espérance mathématique du nombre de buts en utilisant les statistiques de David Wright comme probabilité :

E(Buts) = 437626

(0) + 112626

(1) + 42626

(2) + 2626

(3) +

33626

(4) ≈ 0,53

En se basant sur les statistiques passées de David Wright, on constate qu'en moyenne, il parcourt 0,53 but (soit un peu plus que la moitié d'un but) à chaque pré-sence au bâton. Puisque le but sur balles correspond à un but, il est préférable d'affronter David Wright.

Manuel • p. 210

26. Partager le risque

Espérance mathématique, probabilité fréquentielle

Niveau de difficulté : élevé

Remarque : Dans le manuel, à la question 26, la première phrase du dernier paragraphe devrait se lire comme suit : « Cette année, la prime moyenne pour assurer les véhicules utilisés à des fins commerciales par des conducteurs de 25 ans et plus est de 968 $. »

Les statistiques données pour l’année passée permet-tent de déterminer le montant total des réclamations pour chaque type d’utilisation du véhicule.

(voir à la page suivante)

La compagnie d’assurance peut utiliser ces montants pour estimer le montant total des réclamations pour chaque type d’utilisation du véhicule pour l’année en cours, en supposant que le rapport

nombre de réclamationsnombre de véhicules assurés

demeure constant

d’une année à l’autre.

On estime le montant total des réclamations pour l’année en cours pour les conducteurs de 25 ans et plus qui font une utilisation commerciale de leur véhicule :

Année dernière : 44 508 assurés ont réclamé 34 477 602 $

Année en cours : 43 887 assurés devraient réclamer 34477602•43887

44 508 ≈ 33 996 551,61 $



En répartissant ce montant également entre les 43 887 assurés, on obtient une prime d’environ 774,64 $, ce qui est bien inférieur au montant de 968 $ facturé par la compagnie d’assurance. On suppose donc que la compagnie ajoute un certain montant à la prime pour couvrir ses frais d’exploitation et obtenir un profit. Ce pourcentage est de (968 − 774,64)

774,64 ≈ 0,2496, soit environ 25 %.

En supposant que le pourcentage ajouté à la part de la prime servant à couvrir les réclamations est constant d’un groupe d’âge et d’un type d’utilisation à l’autre, on peut calculer, de la même façon, les primes suivantes :

25 ans et plus, déplacements quotidiens ≤ 15 km :

211 935 759

532 837 ≈ 397,75 $

397,75•125100

≈ 497,19

La prime moyenne pour assurer des conducteurs de 25 ans et plus qui effectuent des déplacements quotidiens d’au plus 15 km est d’environ 497,19 $.

25 ans et plus, déplacements quotidiens > 15 km :

74 552 040

165 419 ≈ 450,69 $

450,69 • 125100

≈ 563,36

La prime moyenne pour assurer des conducteurs de 25 ans et plus qui effectuent des déplacements quotidiens de plus de 15 km est d’environ 563,36 $.

16 ans à 24 ans, toutes les utilisations :

188 296 200

159 218 ≈ 1 182,63 $

1 182,63 • 125100

≈ 1 478,29

La prime moyenne pour assurer des conducteurs de 16 à 24 ans est d’environ 1 478,29 $.

Groupe d’âge des conducteurs

Utilisation du véhiculeMontant total

des réclamations

25 ans et plus

Utilisation commerciale 34 477 602 $

Déplacements quotidiens ≤ 15 km 211 935 759 $

Déplacements quotidiens > 15 km 74 552 040 $

16 ans à 24 ans Toutes les utilisations 188 296 200 $

Réponse à la question 26, page 210


Documents

Chapitre La probabilité subjective et l’espérance