Chapitre L’analyse de fonctions 1 · ble discrète. Variable indépendante : nombre de per-sonnes ; une variable discrète. H f : 8 m8 p ac(p) p 1 12 1 1 ACTIVIT

Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc. 1Intersection SN Guide A Corrigé du manuel

L’analyse de fonctionsChapitre

1Entrée en matièreEn contexte

1. a) La variable indépendante x est le nombre de camions.La variable dépendante y est la quantité de pétrole produit.

b) Le nombre de camions est une variable discrète.La quantité de pétrole produit est une variable continue.

c)

Pétr

ole

prod

uit

(kL)

Nombre de camions

Le pétrole produit

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

100

0

200

300

400

500

600

700

800

d) La quantité, en kL, de pétrole produit par camion

2. Équation de la droite :

a y2 y1

x2 x1 1 200 1 140

0 3 –20

b 1 200y –20x 1 200

Abscisse à l’origine :–20x 1 200 0x 60

Les réserves seront épuisées en 2005 + 60, donc en 2065.

3. a) Fonction de variation inverse

b) y 60x

; x étant le prix du litre d’essence et y,

le nombre de litres.

c) Oui, la réciproque de cette fonction est une fonc-tion, puisqu’elle représente la relation exprimant le prix du litre d’essence en fonction du nombre de litres, soit x 60

y, qui est la règle d’une

fonction inverse.

d) Avec y 56 L, x 6056

1,07

À partir de 1,08 $ le litre, on ne pourra plus remplir le réservoir de cette automobile avecun montant de 60 $.

1. a) (voir au bas de la page)

b) I ) f(6) 2

II ) g(8) –10

III) h(14) 7

IV) –2 est l’image de 4 par la fonction g.

2. a) La variable indépendante est le nombre de côtés (x).La variable dépendante est la mesure de l’angle au centre (y).

b) Le nombre de côtés est une variable discrète.La mesure de l’angle au centre est une variable continue.

Réponse à la question 1 a), page 6

Fonction f(x) g(x) h(x)

Type de fonctionRègle

Variation inversef(x) 12

x

Polynomiale de degré 1 (affine)g(x) –2x 6

Polynomiale de degré 1 (linéaire)h(x) 1

2 x

Reproduction autorisée © Les Éditions de la Chenelière inc. 2 Corrigé du manuel Intersection SN Guide A

c)

d) y 360x

3. Remarque : À la question 3, à la première ligne de la colonne « Extension ou intervalle », on devrait lire { 3, 2, 1, 0, 1, 2}.

(voir au bas de la page)

4. a) 3 mètres

b) 2,5 secondes

c) [2,5, 6,5]

d) 4,5 mètres

2 4 6 8 10 12 14 15Nombre de côtés

20

0

40

60

80

100

120

140M

esur

e de

l’an

gle

AO

B (

°)

L’angle AOB au centre d’un polygone régulier

e) [1, 4,5]

f) Dom [0 , 6,5] ; Ima [–2, 4,5]

g) Non, car à 3 mètres, par exemple, il y aurait 2 temps (0 et 2 secondes).

Les propriétésSection 1 des fonctionsPratique, peu coûteux… et très polluant

Données du graphique représentant le nombre de sacs réutilisables vendus au Québec


Le graphique montre une augmentation d’environ 0,1 million de sacs réutilisables par année pendant les dernières années. Ainsi, en 2014 et 2015, le nombre de sacs réutilisables peut être estimé à 8,95 millions et à 9 millions respectivement.

Si x est le nombre de sacs réutilisables en millions, alors xplastique remplacés en une année, soit 117x.

Nombre de sacs en plastique distribués : 2 200 – 117x.

(voir au haut de la page suivante)

Réponses à la question 3, page 6

Compréhension Extension ou intervalle Droite numérique

{x | –3 x 2} {–3, –2, –1, 0, 1, 2} –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

{x | x 8} ]– , 8] –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

{x | –3 x 4} ]–3, 4] –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

{x | x –2 ou x 4} ]– , –2] ]4, + [ –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

Réponse à la question du manuel, page 7

Évolution réelle Évolution prévue

Mois 0 12 24 36 48 60 72 84 96

Année 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

Millions (approximatifs) de sacs réutilisables

0,00 0,25 1,10 4,00 7,40 8,40 8,60 8,75 8,85


Réponse à la question du manuel, page 7 (suite)

D’où le tableau suivant :

Année 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

Millions de sacs réutilisables vendus

0,00 0,25 1,10 4,00 7,40 8,40 8,60 8,75 8,85 8,95 9,00

Millions de sacs en plastique remplacés

0,00 29,25 128,70 468,00 865,80 982,80 1 006,20 1 023,75 1 035,45 1 047,15 1 053,00

Millions de sacs en plastique distribués

2 200,00 2 170,75 2 071,30 1 732,00 1 334,20 1 217,20 1 193,80 1 176,25 1 164,55 1 152,85 1 147,00

En 2015, il y aura 1,053 milliards2,2 milliards

sacs en plastique remplacés par des sacs réutilisables.

en plastique, soit 880 millions.

Exemples de suggestions pour accélérer le processus de réduction d’utilisation de sacs en plastique :

– Faciliter la distribution de sacs réutilisables en les donnant ou en baissant leur coût à l’achat.

– Conserver des sacs en tissu réutilisables à la maison, au bureau et dans sa voiture pour les avoir à portée de main quand on va faire ses courses au supermar-ché ou dans d’autres magasins.

– Demander aux gérants des magasins de cesser de fournir des sacs gratuitement ou d’offrir un rabais à ceux qui n’utilisent pas de sacs en plastique.

– Etc.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

Nom

bre

de s

acs

en p

last

ique

dis

trib

ués

(mill

iard

s)

Nombre d’années écoulées depuis 1990

L’évolution du nombre de sacs en plastique distribués au Québec

Utilisation à 33 %Utilisation à 25 %

E Dom h [–0,5, 2,25] Ima h [–6,25, 5]

F Dans une fonction, les éléments du domaine ont « tous » une image dans l’ensemble d’arrivée, alors que les éléments de l’ensemble de départ n’ont pas nécessairement tous une image. De même, l’image est formée d’éléments pouvant « tous » être obtenus à partir d’éléments de l’ensemble de départ, ce qui n’est pas le cas pour l’ensemble d’arrivée.

G Variable dépendante : nombre de canots ; une varia-ble discrète. Variable indépendante : nombre de per-sonnes ; une variable discrète.

H f : p a c(p) p 1

12 1

1ACTIVITÉd’exploration L’observation des baleines

A La hauteur est notée h(t) parce qu’on veut signifier que la hauteur dépend du temps t.

B h(–0,5) représente la hauteur en mètres qu’atteint le museau de la baleine par rapport au niveau de l’eau 0,5 seconde avant sa sortie de l’eau. À cet instant, il est à 6,25 m sous l’eau : h(–0,5) –6,25

C Ensemble de départ : Ensemble d’arrivée :

D h : t a h(t) –5(t 1)2 5


I Dom c {6, 7, 8, …, 47, 48} Ima c {1, 2, 3, 4}

Ai-je bien compris ?

a) 1 f : t a f(t) –4t 28

2 f : * *

n a f(n) 3n, où n est le nombre de côtés du polygone.

3 f : * *

x a f(x) 12x

b) 1 Dom f [0, 3,5]Ima f [14, 28]

2 Dom f {3, 4, 5, 6, …} Ima f {9, 12, 15, 18, …}

3 Dom f * Ima f *

2ACTIVITÉd’exploration La facturation inversée

A À partir du 90e jour de l’année (début avril), le pro-priétaire de la maison produit plus d’électricité qu’il n’en consomme. Chaque jour, ce surplus augmente pour atteindre un maximum la 180e journée (début juillet). Ensuite, le surplus diminue chaque jour pour arriver à un équilibre de consommation-production à la 270e journée (début octobre). Durant les trois derniers mois de l’année, le propriétaire consomme plus d’électricité qu’il n’en produit.

B L’ordonnée à l’origine est –50. Cela signifie que le pro-priétaire consomme 50 kWh de plus qu’il n’en produit.

C Les abscisses à l’origine de la fonction sont {–90, 90, 270}. Ces valeurs représentent les jours de l’année où l’excédent de la production d’électricité est nul (la consommation d’électricité est égale à la production).

D 1) La fonction est positive pour x [90, 270].

2) La fonction est négative pour x [–90, 90] [270, 360].

E L’intervalle où la fonction est positive représente les journées où la pro duction d’électricité a été supérieure à la consommation (l’excédent de production d’électri-cité est positif). Les intervalles où la fonction est néga-tive représentent les journées où la consommation d’électricité a été supérieure à la production (l’excédent de production d’électricité est négatif).

F Lorsque le propriétaire produit plus d’électricité qu’il n’en consomme, la facture mensuelle est inversée en ce sens que c’est la compagnie d’électricité qui doit payer le propriétaire, puisque le surplus à été injecté dans le réseau de distribution.


1. a) Ordonnée à l’origine : –4

b) Abscisses à l’origine : –8 et 6

c) Positive : x ]– , –8] [6, 9] Négative : x [–8, 6]

2. (voir au bas de la page)

3ACTIVITÉd’exploration Le concours

« Gérer mon eau de pluie »

A Au début, le volume d’eau dans le récupérateur est constant à 225 L pendant deux heures. Il augmente jusqu’à 325 L pendant les deux heures suivantes. Il reste constant à ce volume pendant quatre heures (il a cessé de pleuvoir). Il diminue à 250 L en une demi-heure (utilisation de l’eau pour divers travaux).

Réponse à la question 2, page 11

Fonction 1 2

a) Ordonnée à l’origine –45 92

b) Abscisse à l’origine 9 232

c) SignePositive : x [9, + [

Négative : x ]– , 9]

Positive : x – , 232

Négative : x 232

, +


Il reste constant à 250 L pendant deux heures et demie. Il diminue ensuite jusqu’à atteindre, en une heure, son volume le plus bas, soit 100 L. Il aug-mente ensuite respectivement à 200 L, en deux heu-res, à 300 L, en 1 heure (il pleut plus fort) et à 350 L, en une heure. Ce volume d’eau reste constant pendant deux heures, pour diminuer ensuite à 275 L en une demi-heure et finalement rester constant à 275 L pendant les cinq dernières heures.

B 1) Constante : x [0, 2] [4, 8] [8 12, 11] [16, 18] [18 12, 24]

2) Croissante : x [0, 8] [12, 18]

3) Décroissante : x [4, 12] [16, 24]

C 1) Strictement croissante : x [2, 4] [12, 16]

2) Strictement décroissante : x [8, 8 12] [11, 12] [18, 18 12]

D Maximum : 350 Minimum : 100

E Si la fonction est croissante (décroissante) dans un intervalle borné, elle admet nécessairement un maximum (minimum).


1. 1 a) Maximum : 2 Minimum : aucun

b) Croissance : jamais Décroissance : x [–3, + [

2 a) Maximum : aucun Minimum : –3

b) Croissance : x [1, + [ Décroissance : x ]– , 1]

2. Plusieurs réponses sont possibles. Exemples :

a)

b)

Mise en pratique

1. Niveau de difficulté : faible (voir au bas de la page)

2. Niveau de difficulté : faible (voir au haut de la page suivante)

3. Niveau de difficulté : faible (voir au centre de la page suivante)

4. Niveau de difficulté : faible

a) La variable indépendante est le nombre de voitures garées en une heure.

La variable dépendante est le salaire horaire de Jonathan.

b) f : x a f(x) 2x 9

c) Dom f Ima f {9, 11, 13, 15, …}

2

2y

x

y

x2

2


VariableType

de variableEnsemble

de nombres

La température extérieure Continue

Le nombre de passagers d’un autobus Discrète

Le nombre de téléviseurs dans un foyer Discrète

La durée d’un appel téléphonique Continue



Graphique a) Notation fonctionnelle b) Domaine Image

1f :

n a f(n) 20n{0, 1, 2, 3, …, 8} {0, 20, 40, 60, …, 160}

2f :

d a f(d) –320

x 60 [0, 400] [0, 60]


a) f : * *

x a f(x) 240x

b) 1) Dom f * Ima f *

2) Dom f [60, 100] Ima f [2,4, 4]

7. Niveau de difficulté : moyen

Fonction a) Ordonnée à l’origine b) Abscisse(s) à l’origine c) Positive Négative

1 –51 –17 ]– , –17] [–17, + [

2–39

132

132

, + – , 13

2 3 –4 –2 et 7 [–9, –2] [7, + [ [–2, 7]


Situation 1 2 3 4

a)

Variable indépendante

Nombre de tables

Nombre de kilomètres parcourus

Nombre d’élèves et de membres du

personnel

Âge d’un arbre

Variable dépendante

Nombre de chaises

Nombre de changements

d’huile effectués

Temps Diamètre

b)

Ensemble de départ

Ensemble d’arrivée


Graphique Fonction Domaine Image

a) 2 ]0, 3] [0, 6[

b) 1 {0, 1, 2, 3, 4} {–2, 0, 2, 4, 6}

c) 4 {0, 1, 2, 3} {0, 2, 4, 6}

d) 3



a) Dom f [0, 36] Ima f [–4, 10]

b) Ordonnée à l’origine : –3

c) Abscisse à l’origine : 6

d) Positive : x [6, 36] Négative : x [0, 6]

e) Minimum : –4 Maximum : 10

f) Minimums relatifs : 4,2 Maximum relatif : 7

g) Croissance : x [2, 10] [15, 36] Décroissance : x [0, 2] [10, 15]


Plusieurs réponses sont possibles. Exemples :

a) y

x2

2

b) y

x2

2

c) y

x2

2


Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

1 a) y

x2

2

b) Positive : x [–4, + [ Négative : x ]– , –4]

c) Minimum relatif : 10 Maximum relatif : 8, 13,5

2 a)

b) Positive : [–20, –8] [6, + [ Négative : [–12, 6]

c) Minimums relatifs : 0, –3 Maximum relatif : 0


Dom g Ima g Ordonnée à l’origine : –6 Zéros : {–4, –1, 2} Positive : x [–4, –1] [2, + [ Négative : x R ]– , –4] [–1, 2] Maximum relatif : 7 Minimum relatif : –7 Croissance : x ]– , –2 12] [ 12, + [ Décroissance : x [–2 12, 12]


a) Au début, l’eau à l’état solide est à –40 °C. Elle atteint 0 °C après 2 minutes et demeure à cette température pendant 3 minutes. Elle est complètement liquide après 5 minutes. Elle atteint 100 °C après 10 minutes. Elle demeure à 100 °C pendant 3 minutes. Elle se transforme en vapeur après 13 minutes.

y

x2

2


b) Dom f [0, 15] Ima f [–40, 140] Ordonnée à l’origine : –40 Zéro : [2, 5] Fonction croissante sur son domaine Maximum : 140 Minimum : –40 Positive : x [2, 15] Négative : x [0, 5]


a) 1) Altitude maximale : 2 068 m (Montée de Tignes)

2) Altitude minimale : 317 m (Albertville)

b) L’analyse de la variation ne peut se faire que pour les données fournies dans le graphique.

1) Croissance : x [9,2, 25,5] [36, 46,5] [60, 99,5] [118, 136,5] [145, 163]

2) Décroissance : x [0, 9,2] [25,5, 36] [46,5, 60] [99,5, 118] [136,5, 145]

c) Dans ce corrigé, les maximums et les minimums relatifs ont été déterminés en utilisant les données fournies dans le graphique et non l’allure de celui-ci.

Maximums relatifs : 907, 945, 1 639, 1 967 Minimums relatifs : 317, 517, 843, 857, 1 097

LesSection 2 paramètresLes marées


Ainsi, la courbe des marées de St. Andrews a la même allure que celle de la baie de Fundy et que celle du golfe du Saint-Laurent. Elle débute à 3,9 m, atteint un maximum de 6,4 m et redescend à un minimum de 1,4 m aux mêmes moments que les extremums atteints par les deux autres courbes.


Pour déterminer les périodes de la journée pendant lesquelles il sera possible pour un bateau d’accoster à un quai de St. Andrews, accessible seulement lorsque le niveau de l’eau excède 5 m, il suffit de considérer graphiquement les intervalles de temps pendant lesquels le niveau d’eau est supérieur à 5 m. Cela correspond approximativement aux heures de la journée situées entre 1 h et 5 h 30, et entre 13 h 30 et 18 h.

Réponses à la question du manuel, page 23

Règle Valeur initiale Maximum Minimum

Baie de Fundy y 6sin x2

7 7 7 6 13 7 6 1

Golfe du Saint-Laurent y 1,5sin x2

2,5 2,5 2,5 1,5 4 2,5 1,5 1

Quai de St. Andrews y 2,5sin x2

3,9 3,9 3,9 2,5 6,4 3,9 2,5 1,4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Niv

eau

d’ea

u (m

)

Heure

Une journée de marées à St. Andrews

Périodes où il sera possiblede faire accoster le bateau

y 2,5sin 3,9 X 2


1ACTIVITÉd’exploration Un modèle

d’entrainement sur mesure

A Plusieurs réponses sont possibles. Exemples :

1 La vitesse du tapis roulant, initialement nulle, augmente graduellement pour atteindre la vitesse maximale de 9 km/h après 30 minutes. Ensuite, elle diminue graduellement tout au long des 30 dernières minutes.

2 Le tapis roulant offre un cycle d’entraînement de 30 minutes. Sa vitesse initiale est de 4 km/h, puis elle augmente selon un taux constant pendant 10 minutes pour atteindre une vitesse maximale de 9 km/h. Le tapis conserve cette vitesse pendant 5 minutes. La vitesse commence ensuite à diminuer selon le même taux qu’à l’accélération pour finale-ment atteindre la vitesse initiale après 10 minutes. La vitesse demeure constante pendant les 5 der-nières minutes du cycle, puis le cycle recommence une deuxième fois.

3 Le tapis roulant débute le processus d’entraîne-ment à une vitesse initiale de 5 km/h. Toutes les 5 minutes, la vitesse augmente de 0,5 km/h, et ce, jusqu’à atteindre une vitesse maximale de 8,5 km/h. Ensuite, la vitesse du tapis retombe instantanément à la vitesse initiale et elle reste la même pendant 10 minutes. Durant les 10 dernières minutes, le tapis roule à une vitesse de 2 km/h.

4 La vitesse initiale du tapis roulant est de 2 km/h. Elle augmente à un taux constant pendant 30 minutes pour atteindre une vitesse maximale de 8 km/h. Elle décroît ensuite au même rythme pendant les 30 dernières minutes.

5 Le tapis roulant fonctionne à une vitesse constante de 8 km/h pendant les 50 premières minutes, puis à 4 km/h pendant les 10 dernières minutes de la séance d’entraînement.

6 La vitesse du tapis roulant augmente selon un modèle linéaire pendant les 10 premières minutes et atteint une vitesse maximale de 8 km/h. Ensuite, elle diminue selon un modèle de variation inverse pendant les 50 dernières minutes.

B Oui, chacune des relations représentées constitue une fonction (il n’y a jamais deux vitesses différentes correspondant à un même moment).

C Aucune des réciproques des relations données n’est une fonction, car une même vitesse pourrait être atteinte à des moments différents de la période d’entraînement.

D Option 1 : Modèle quadratique H

Option 2 : Modèle périodique E

Option 3 : Modèle en escalier C

Option 4 : Modèle de valeur absolue G

Option 5 : Modèle constant A

Option 6 : Modèle linéaire D ou de variation inverse F

E Plusieurs réponses sont possibles. Exemples :

A : Température du corps humain

B : Croissance du nombre de bactéries

C : Coût des appels interurbains

D : Facture d’essence

E : Mouvement d’une balançoire ou d’un pendule

F : Partage d’un montant d’argent entre plusieurs personnes

G : Niveau d’eau dans un contenant

H : Lancer d’une balle

I : Mesure du côté d’une pièce carrée en fonction de son aire


a) Modèle en escalier C ou modèle constant A

b) Modèle périodique E

c) Modèle quadratique H

d) Modèle constant A

2ACTIVITÉd’exploration Où vont les points ?

A Une translation de quatre unités vers la droite et de deux unités vers le bas

B Courbe Règle Transformation

1) B III 2) A I 3) D IV 4) C II

C 1) B III 2) A II 3) C IV 4) D I



a) (x, y) a (x, 3y) d) (x, y) a (3x, y)

b) (x, y) a (x 3, y 1) e) (x, y) a (x, 12

y 2) ou (x, y) a (2x, y 2)

c) (x, y) a ( x 3, y 2) f ) (x, y) a (x 3, y 2)

3ACTIVITÉd’exploration Jeu de rôles

A Transformations du graphique

Changement d’échelle Réflexion Translation

Fonc

tion

de b

ase

Fonction transformée

Valeur des paramètres

Allo

ngem

ent

ho

rizon

tal

Rétr

écis

sem

ent

horiz

onta

l

Allo

ngem

ent

ve

rtic

al

Rétr

écis

sem

ent

vert

ical

par

rapp

ort

à l’a

xe

des

absc

isse

s

par

rapp

ort

à l’a

xe

des

ordo

nnée

s

horiz

onta

le

vert

ical

e

a b h k

f(x)

x

2

g1(x) x2 3 1 1 0 3 3

g2(x) 2 2 1

13 0 2 3 oui 2

g3(x) (x 4)2 3 1 1 4 3 oui 4 3

g4(x) 4(x 4)2 3 4 1 4 3 4 4 3

f(x)

x

g1(x) x 2 3 1 1 2 3 2 3

g2(x) 2 x 2 1 0 0 2 oui

g3(x) x 4 2 1 1 2 4 oui 4 2

g4(x) (x 5) 3 1 1 5 3 oui oui 5 3

f(x)

[

x]

g1(x) [x 2] 1 1 1 2 1 2 1

g2(x) 3[x] 3 1 0 0 3 oui

g3(x) [2x] 5 1 2 0 512 5

g4(x) [ 0,25x] 1 1 0,25 0 1 4 oui 1

x3


BParamètre a Transformation

du graphique Paramètre b Transformation du graphique

| a| > 1Allongement

vertical|b| > 1 Rétrécissement horizontal

0 < | a| < 1 Rétrécissement vertical 0 < |b| < 1 Allongement horizontal

a < 0Réflexion selon l’axe des

abscissesb < 0

Réflexion selon l’axe des ordonnées

Paramètre h Transformation du graphique Paramètre k Transformation

du graphique

h > 0Translation horizontale

vers la droitek > 0

Translation verticale vers le haut

h < 0Translation horizontale

vers la gauchek < 0

Translation verticale vers le bas

C f(x) x² f(x) x f(x) [x]

Point de la fonction

de base

Point de la fonctiontransformée


de base



de base


g1(x) (1, 1) (1, 4) (1, 1) (3, 4) (1, 1) ( 1, 2)

g2(x) (1, 1) (3, 3) (1, 1) ( 1, 2) (1, 1) (1, 3)

g3(x) (1, 1) (5, 2) (1, 1) ( 3, 3) (1, 1) , 6

g4(x) (1, 1) ( 3, 1) (1, 1) (4, 4) (1, 1) ( 4, 2)

D Fonction de base

f(x) = x² f(x) = x f(x) = [x]

Fonc

tion

tran

sfor

mée

g1(x) x2 3

(x, y) a (x, y 3)

g1(x) x 2 3

(x, y) a (x 2, y 3)

g1(x) [x 2] 1

(x, y) a (x 2, y 1)

g2(x) 2 2

(x, y) a (2x, y 2)

g2(x) 2 x

(x, y) a ( x, 2y)

g2(x) 3[x]

(x, y) a (x, 3y)

g3(x) (x 4)2 3

(x, y) a (x 4, y 3)

g3(x) x 4 2

(x, y) a (x 4, y 2)

g3(x) [2x] 5

(x, y) a x2, y 5

g4(x) 4(x 4)2 3

(x, y) a (x 4, 4y 3)

g4(x) (x 5) 3

(x, y) a ( x 5, y 3)

g4(x) [ 0,25x] 1

(x, y) a ( 4x, y 1)

12

x2



1. a) 4 b) 2 c) 3 d) 1

2. Fonction de base f(x) | x| (courbe rouge)

Courbe g(x) (bleue) g2(x) (jaune) g3(x) (verte) g4(x) (mauve)

a) Transformation (x, y) a (x 1, y 3)

(x, y) a (x 6, 5y 4)

(x, y) a (x 5, 2y 1)

(x, y) a (5x 1, y 3)

b) Règle de la fonction transformée

f(x) | x 1| 3f(x) | 5(x 6)| 4

ou f(x) 5| x 6| 4f(x) 2| x 5| 1

f(x) |15(x 1)| 3

ou f(x) 15| x 1| 3

Mise en pratique


1 : modèle linéaire

2 : modèle périodique

3 : modèle en escalier

4 : modèle de valeur absolue

5 : modèle de racine carrée



a) Lancer d’une fusée en fonction du temps

b) Temps nécessaire pour faire un travail en fonction du nombre de personnes affectées à ce travail


Argument en faveur de Chloé : il s’agit du graphique d’un modèle de valeur absolue qui aurait subi une translation horizontale positive, une translation verticale positive et une réflexion par rapport à l’axe des abscisses.

Argument en faveur de Colette : il s’agit d’une partie du graphique d’un modèle périodique.


a) Vase 1 : A Vase 2 : C Vase 3 : B

b) Plusieurs réponses sont possibles. Exemples :

A : Modèle quadratique

B : Modèle linéaire pour la première partie du graphique et modèle de racine carrée pour la seconde partie

C : Modèle linéaire

c) Modèle de variation inverse et modèle en escalier


a) Translation horizontale de 3 unités vers la gauche, translation verticale de 5 unités vers le bas et allongement vertical d’un facteur de 4. (x, y) a (x 3, 4y 5)

b) Réflexion selon l’axe des y et translation verticale de 4 unités vers le bas. (x, y) a ( x, y 4)

c) Translation horizontale de 2 unités vers la droite, translation verticale de 1 unité vers le bas et réflexion selon l’axe des x. (x, y) a (x 2, y 1)

d) Allongement horizontal d’un facteur de 3, allonge-ment vertical d’un facteur de 2, réflexion selon l’axe des x et translation verticale de 1 unité vers le bas. (x, y) a (3x, 2y 1)


a b h k

a) 3 1 4 0

b) 1 2 4 4

c) 1 4 1 6 3


a) y 3|3(x 3)| 3

b) y | x| k avec k < 0. Exemple : y | x| 4

c) y a| x 3| 10 avec a > 1. Exemple : y 4| x 3| 10

d) y | x 1| 4


Il s’agit de la même droite. Chaque point est trans-formé en un autre point de la droite.

Autres transformations possibles : deux unités vers la droite et quatre unités vers le haut ou trois unités vers la droite et six unités vers le haut



On a f(x) x.

Translation de cinq unités vers la gauche : h 5, la règle de la fonction devient f(x) (x ( 5)) x 5 g(x)

Translation de cinq unités vers le haut : k 5, la règle de la fonction devient f(x) x 5 g(x)


a) Les sommets sont sur l’axe des abscisses (leur ordonnée est nulle).

b) Les sommets sont sur l’axe des ordonnées (leur abscisse est nulle).


a) Translation verticale de trois unités vers le haut

b) Translation horizontale de six unités vers la droite

c) Translation de 10 unités vers la gauche et de une unité vers le bas

d) Allongement vertical d’un facteur de 4 et translation de trois unités vers le haut

e) Réflexion selon l’axe des abscisses et translation verticale de neuf unités vers le haut

f) Rétrécissement vertical d’un facteur de 12 , réflexion

selon l’axe des abscisses, translation horizontale de deux unités vers la gauche et translation verticale de cinq unités vers le bas




1 Points remarquables

Fonction de base : f(x) x (0, 0) (1, 1)

Fonction transformée : g1(x) 5 x 2 4 (2, 4) (3, 1)


Fonction de base : f(x) x2 (0, 0) (1, 1)

Fonction transformée : g2(x) 3(x 4)2 3 (4, 3) (5, 6)


Fonction de base : f(x) |x| (0, 0) (1, 1)

Fonction transformée : g3(x) | 12

(x 1)| (1, 1) ( 1, 0)


C’est Samuel qui a raison puisque Carl a omis d’écrire la règle de la fonction transformée sous la forme g1(x) 2 sin(2(x 2)) 2. Ainsi, h 2.


g(x) 3(x 4)3 1


Changer les valeurs de h et de k ou les signes des paramètres a et b permet d’obtenir des graphiques isométriques.

Les fonctionsSection 3 en escalierDe brillantes économies ?

Ampoules incandescentes

Coût d’achat : 18 0,45 8 64,80 $

Coût de l’énergie consommée : Une ampoule incandescente de 100 W dure 1 000 heures, c’est-à-dire qu’elle consomme 100 kWh. 1 kWh coûte 0,06 $, donc 100 kWh coûtent 6 $.

Dans le corridor, le propriétaire a besoin de 18 ampoules qu’il doit remplacer 7 fois pour éclairer 8 000 heures. La facture énergétique s’élève donc à 6 18 8 864 $

Le coût total d’utilisation de 18 ampoules incandescentes pour 8 000 heures est de 928,80 $ (64,80 864).


Lampes fluorescentes compactes

Coût d’achat et remise : 12 lampes à 50,40 $ avec une remise de 25 $6 lampes à 25,20 $ avec une remise de 10 $Ainsi, après une remise totale de 35 $, les lampes coûtent 40,60 $.

Coût de l’énergie consommée :18 LFC de 25 W chacune fonctionnant 8 000 heures consomment :18 25 8 000 360 000 Wh 360 kWh

La facture énergétique est de 360 0,06 216 $. Autrement dit, 864 4 216 $ puisque, pour le même nombre d’heures d’éclairage (8 000 heures), une LFC de 25 W consomme 4 fois moins d’énergie qu’une ampoule incandescente de 100 W.

Le coût total d’utilisation de 18 LFC pour 8 000 heures est de 256,60 $ (40,60 216).

Économie

928,80 256,60 672,20 $

Le propriétaire de l’immeuble économise 672,20 $ en remplaçant les ampoules incandescentes par des lampes fluorescentes compactes.

Le remplacement des ampoules incandescentes par des LFC est donc un choix économique pour ce propriétaire.

1ACTIVITÉd’exploration Choix de réponses ?

A 1) Les questions 1 et 3

2) Les questions 2 et 5

3) La question 4

B Plusieurs reponses sont possibles. Exemples :

La question 2 : [12 semaines 4 jours, 13 semaines 3 jours]

La question 4 : [34 ans, 34 ans 364 jours]

La question 5 : [9 h 30, 10 h 30

C Avant l’âge de 4 mois (120 jours), on indique l’âge du bébé en nombre de semaines, ensuite, en nombre de deux semaines et à partir du cinquième mois (150 jours), en nombre de mois. Le graphique de cette fonction est formé de segments horizontaux, fermés à une extrémité et ouverts à l’autre. La fonction correspondante est discontinue, constante sur des intervalles et elle varie par sauts de certaines valeurs.

D Plusieurs réponses sont possibles. Exemples :– Quel est votre salaire annuel ?– Quel est le poids de votre bébé ?

E Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :x : le nombre de kilomètres parcourusy : le nombre de tours effectuésQuestion : Combien de tours de piste le cycliste a-t-il effectués ?

F 1)

Rép

onse

don

née

(ans

)

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0Réponse exacte (ans)

La relation entre les réponses données et les réponses exactes concernant l’âge légal d’une personne

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2) Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

Rép

onse

don

née

(heu

res)

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0Réponse exacte (heures)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

La relation entre les réponses données et les réponses exactes concernant le temps de gardiennage


G Question 4 Question 5

1) Domaine

2) Image *

H La fonction représentant l’âge d’une personne

I 1) 3 2) 2 3) 9 4) 3 5) 3


1. a) 1 Dom Ima {0, 8, 9, 12}

2 Dom Ima {0, 2, 4, 6, 8, 10}

3 Dom Ima [1, 3[ [4, 5[ [6, + [

b) Les graphiques 1 et 2 sont des fonctions en escalier.

2. a) I) 7 II) 5 III) 3 IV) 5 V) 4

b) I) [0, 1[ II) Aucune valeur III) [6, 7[ IV) [ 3, 2[

Réponses aux questions A et B , page 40

A Programme

Achat

1

1 point/1 $

2

5 points/1 $

3

1 point/20 $

4

10 points/100 $

1) 5,75 $ 5 25 0 0

2) 19,99 $ 19 95 0 0

3) 42,58 $ 42 210 2 0

4) 96,28 $ 96 480 4 0

5) 163,50 $ 163 815 8 10

6) 312,49 $ 312 1 560 15 30

B

Poin

ts d

e fi

délit

é

40

35

30

25

20

15

10

5

0Achat ($)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Le programme 2

Poin

ts d

e fi

délit

é

5

4

3

2

1

0Achat ($)

4020 60 80 100

Le programme 3

Poin

ts d

e fi

délit

é

50

40

30

20

10

0Achat ($)

200100 300 400 500

Le programme 4

2ACTIVITÉd’exploration Incitation à consommer

A (voir au bas de la page)

B (voir au bas de la page)

C Programme 2 : allongement vertical d’un facteur de 5

Programme 3 : allongement horizontal d’un facteur de 20

Programme 4 : allongement vertical d’un facteur de 10 et allongement horizontal d’un facteur de 100

D 1) b 2) a

E (voir au haut de la page suivante)

F (voir au haut de la page suivante)

G 1) La longueur de la marche est l’inverse de b (en valeur absolue).

2) La hauteur de la contremarche correspond à la valeur de a (en valeur absolue).

H p(x) 2 x10


I 1) 1 : symétrie par rapport à l’axe des abscisses

2 : symétrie par rapport à l’axe des ordonnées

3 : symétrie par rapport à l’axe des abscisses suivie d’une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées (ou inversement)

2) (voir l’encadré ci-dessus)

J 1) La fonction est croissante si a et b sont de même signe.

La fonction est décroissante si a et b sont de signes contraires.

2) Si b > 0, l’extrémité vide du segment est à droite ( ).

Si b < 0, l’extrémité vide du segment est à gauche ( ).

Réponses à la question E , F et I 2), page 41

E Programme

y = a[bx]

1

1 point/1 $

2

5 points/1 $

3

1 point/20 $

4

10 points/100 $

1) a 1 5 1 10

b 1 1 1/20 1/100

2) Règle p1(x) [x] p2(x) 5[x] p3(x) p4(x) 10

F Programme

Achat

1

p1(x)

2

p2(x) 5[x]

3

p3(x) x20

4

p4(x) 10 x100

1) 5,75 $ [5,75] 5 5[5,75] 25 [5,75 20] 0 10[5,75 100] 0

2) 19,99 $ [19,99] 19 5[19,99] 95 [19,99 20] 0 10[19,99 100] 0

3) 42,58 $ [42,58] 42 5[42,58] 210 [42,58 20] 2 10[42,58 100] 0

4) 96,28 $ [96,28] 96 5[96,28] 480 [96,28 20] 4 10[96,28 100] 0

5) 163,50 $ [163,50] 163 5[163,50] 815 [163,50 20] 8 10[163,50 100] 10

6) 312,49 $ [312,49] 312 5[312,49] 1560 [312,49 20] 15 10[312,49 100] 30

I 2) 1 g1(x)

1

1 x

2

x

1

1

g2(x) 3

x

1

1

g3(x)

x20

x100

Ai-je bien compris ? 1. Graphique Règle a) 4 b) 1 c) 2 d) 3

2. a) y 12 x10

b) y 4[ 5x]

3. (voir au haut de la page suivante)



3. a) f(x) 10[0,25x] b) g(x) 5 c) h(x) 3[ 2x]

10

f(x)

x4

10

g(x)

x83

h(x)

x1

x8

3ACTIVITÉd’exploration Des fonctions…

à part entière

A Plusieurs réponses sont possibles. Exemples : Translation de quatre unités vers la gauche :

(x, y) a (x 4 y) Translation de trois unités vers la gauche et de une

unité vers le haut : (x, y) a (x 3 y 1)

Translation de quatre unités vers le haut : (x, y) a (x, y 4)

B Une infinité de règles

C Plusieurs réponses sont possibles. Exemples :

y [x 4] y [x 3] 1 y [x] 4

D Graphique Règle

1) B

2) C

3) A

Puisque toutes les fonctions sont croissantes et de mêmes valeurs de a et de b, on peut les distinguer par les points appartenant à leurs courbes respec tives, le point d’abscisse nulle, par exemple, ou les points de coordonnées (1, 3), ( 2, 1) et ( 2, 3).

E Plusieurs réponses sont possibles. Exemples :

1) y [x 1] 2 2) y [x 1] 2 y [x] 3 y [x] 1

3) y [x 2] 2 y [x 3] 1

F a 3 b 14

h 8 k 1

G | a| 3 : la longueur de la contremarche (distance entre deux marches consécutives)

|b| 14

: l’inverse de la longueur d’une marche 1|b|

(h, k) ( 8, 1) : l’image du point (0, 0), qui est toujours une extrémité fermée, par la translation (h, k).

H Plusieurs réponses sont possibles. Exemples :

1) y 2 x5

4

2) y 2 145

(x 15) 1

3) y 25 x 10

I 1) Identifier les paramètres a, b, h et k.

| a| : la distance entre deux segments horizontaux

1|b| : la longueur de la marche

(h, k) : le point de départ, une extrémité pleine

2) Placer le point (h, k), un rond plein dans le plan cartésien

3) À partir du point (h, k), tracer le segment

horizontal de longueur 1|b| selon la modalité suivante :

Si b est positif, le segment est ouvert à la droite :

Si b est négatif, le segment est ouvert à gauche :

4) Tracer une autre marche identique à la première, distante de | a| unités de la marche précédente selon la modalité suivante :


Si a et b sont de même signe, la fonction est croissante.

Si a et b sont de signes contraires, la fonction est décroissante.

5. Répéter l’étape 4 plusieurs fois.

J 1) y 10 12 x 5

5

y

x1

2) y 415 (x 2)

4

y

x4

3) y 5 0,1x 10

5

y

x10

K Règle : y 2 x5

4

Dom

Ima {…, 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6, 8, …} ou {y | y 2n, n }

Ordonnée à l’origine : 4

Zéros : ] 15, 10]

La fonction est croissante sur tout son domaine.

Aucun extremum

Positive : x 15,

Négative : x , 10


1. a) Graphique Règle 1 D

2 C

3 A

4 E

b) B y 3 2(x 3)

1

6

y

x

F y 3[ 0,5x]

3

y

x1

2. f est croissante … a et b sont de même signe.

Ima {…, 10, 5, 0, 5, 10, …} | a| 5

Positive pour x 20, et négative pour x ] , 40[ segment fermé à gauche et fonction croissante a et b sont positifs

Zéros : 20, 40 b 120

Ordonnée à l’origine : 5 k 5 D’où la règle de la fonction : y 5 x

20 5


a) 2 b) 2 c) 6 d) 5 e) 1 f) 1



La question a peut être associée à l’opération Arrondi 2 .

La question b peut être associée à l’opération Partie entière 1 .

La question c peut être associée à l’opération Arrondi 2 et à l’opération Troncature 3 .


a)

Prix

d’e

ntré

e ($

)

10

5

20

0Âge (années)

Les droits d’entrée au Musée desbeaux-arts de Montréal selon l’âge

10 20 30 40 50 60 70 80

15

b) Ima = {0, 7,5, 15}


a) Faux, car l’image d’une fonction en escalier est un ensemble discret.

b) Faux, car le graphique d’une fonction en escalier est formé de segments horizontaux.


a) 1) Au kilomètre près

123456789

10

0 21 3 4 65 7 98 1011 x

f(x)

2) À l’unité supérieure

123456789

10

0 21 3 4 65 7 98 1011 x

f(x)

3) À l’unité inférieure

123456789

10

0 21 3 4 65 7 98 1011 x

f(x)

b) 1) y [x 0,5] 1 a > 0 ; b > 0 ; zéros : [0, 0,5[

2) y [ x] a < 0 ; b < 0 ; zéro : {0}

3) y [x] a > 0 ; b > 0 ; zéros : [0, 1[


a) 1

Rab

ais

($)

20

40

60

80

100

0Achat ($)

100 200 300 400 500 600

2

Nom

bre

de b

illet

s de

cin

éma

2

4

6

8

10

0Achat ($)

100 200 300 400 500 600

3

Poin

ts d

e fi

délit

é

1

2

3

4

5

0Achat ($)

20 40 60 80 100 120


b) Plusieurs réponses sont possibles. Exemples :

1 y 10

x50

2 y 2 x100

3 y x20


a) Règle Graphique 1 B

2 E

3 C

4 A

5 D

b) Plusieurs réponses sont possibles.

Exemple : F : y x2


Graphique 1 2 3

a) Règle y 3 x2

y 2 x5

y 4 x10

b) Analyse

Dom

Ima

Ordonnée à l’origine

Zéros

Variation

Signe

{y | y 3n,n

0

[0, 2[

Toujours croissante

Positive : [0, [ Négative : ] , 2[

{y | y 2n, n }

0

[0, 5[

Toujours décroissante

Positive : ] , 5[ Négative : [0, [

{y | y 4n, n }

0

] 10, 0]

Toujours croissante

Positive : ] 10, [ Négative : ] , 0]


g(x) 2[x 5] j(x) 3[ 0,5x] 4 k(x) 10[2x 6]

a) a 2 3 10

b 1 0,5 2

h 5 0 3

k 0 4 0

b) 1) Variation Décroissante Décroissante Croissante

2) Orientation Segment ouvert à droite Segment ouvert à gauche Segment ouvert à droite

3) Marche (largeur) 1 2 0,5

4) Contremarche (hauteur) 2 3 10

5) Translation horizontale 5 0 3

6) Translation verticale 0 4 0



1 a) g1(x) 8 x5

2

5

4

y

x

b) g1(x) 8 x5

2

Dom g1

Ima g1 {y | y 8n 2, n {…, 14, 6, 2, 10, 18, …


Zéros : Aucun

Variation : Décroissante sur son domaine

Signe : Positive pour x ] , 5[ Négative pour x [5, [

2 a) g2(x) 2[ (x 4)] 1

1

1

y

x

b) g2(x) 2[ (x 4)] 1 Dom g2

Ima g2 {y | y 2n 1, n } {…, 3, 1, 1, 3, 5, …}


Zéros : Aucun

Variation : Décroissante sur son domaine

Signe : Positive pour x ] , 5] Négative pour x ] 5, [


s(x) 50 x1000

500

a) Le salaire de Marie est de 600 $ pour des ventes de 2 555 $.

b) Le montant minimal de ventes assurant à Marie un salaire hebdomadaire de 700 $ est de 4 000 $.

c) [3 000, 4 000[


a)

Coût

($)

16

14

12

10

22

20

18

8

6

4

2

0Temps (h)

1 2 3 4

b)

Coût

($)

16

14

12

10

22

20

18

8

6

4

2

0Temps (h)

1 2 3 4


c)

Coût

($)

16

14

12

10

22

20

18

8

6

4

2

0Temps (h)

1 2 3 4



a) f(x) 2 x100

(x 100)

b) g(x) 4 x4

6

14. Niveau de difficulté : élevé

| a| 3 ; 1|b|

longueur de la marche 2, donc |b| 12 ;

extrémité ouverte à gauche, donc b 12

h 1

La règle est : y 3 12

(x 1)

Consolidation

1. Propriétés d’une fonction

Niveau de difficulté : faible


2. Propriétés d’une fonction


Pour chaque valeur du domaine d’une fonction, il ne peut y avoir plus d’une image, mais plusieurs éléments du domaine peuvent avoir la même image.

3. Notation fonctionnelle, propriétés d’une fonction

Niveau de difficulté : moyen

a) d: *

n a d(n) 44n

b) Dom d {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Ima d 11, 445

, 223

, 447

, 112

, 449

, 225

4. Signe, extremums




Graphique 1 2 3

a) Domaine [ 4, [ [ 2, 2] *

b) Image [2, [ [0, 6] *

c) VariationCroissante sur

tout son domaineDécroissante sur tout son domaine

Décroissante sur tout son domaine


Positive Négative Maximum Minimum

a) [ 1, 5] ] , 1] [5, [ 3 Aucun

b) ] , 2] [4, [ [ 2, 4] Aucun 3

c) [ 1, [ [ 2, 1] Aucun 2


5. Règle d’une fonction transformée, rôle des paramètres


a) y 2x 2

b) y (x 3) 1

c) y (x 2)2 4

6. Recherche de la règle d’une fonction partie entière



a) f(x) [x 1] ou f(x) [x] + 1

b) f(x) 2[ x]

c) f(x) 3 14

x 3 ou f(x) 3 14(x 4)

7. Représentation graphique de la fonction partie entière


a) g(x) 5[x 1]

5

g(x)

1 x

b) i(x) 25

25

i(x)

40 x

c) j(x) 4[ x] 6

4

j(x)

x2

x40

8. Besoin grandissant

Propriétés d’une fonction


a) Croissance : [1950, 1980] [1985, 2005] Décroissance : [1980, 1985]

b) Ima f [8,4, 60,3]

c) En observant la croissance de 1995 à 2005, on remarque un taux de variation constant :

a y2 y1

x2 x1 60,3 44,5

2005 1995 1,58

par année.

En appliquant la même augmentation pour la période allant de 2005 à 2020, soit 15 ans, on obtient :

1,58 15 60,3 84

Selon cette estimation, les États-Unis importeront

9. Représentation

Propriétés d’une fonction, représentation graphique

Niveau de difficulté : élevé

Plusieurs réponses sont possibles. Exemple :

2

2

y

x2 4 6 8 10

4

6

4

6

26 4810

10. Un bilan positif



a) 1) Ensemble de départ : Ensemble d’arrivée :

2) Dom {0, 1, 2, 3, …, 80, 81, 82} Ima { 1, 0, 1, 2, …, 19, 20, 21}

3) Ordonnée à l’origine : 0


4) Abscisses à l’origine : {0, 3, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, 24, 27, 28}

5) Min 1 Max 21

6) Minimums relatifs : { 1, 0, 1, 3, 4, 6, 12, 16} Maximums relatifs : {1, 2, 3, 5, 8, 11, 13, 21}

7) I) Négative : {0, 1, 2, 3, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 27, 28}

II) Positive : {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 21, 22, 23, …, 81, 82}

b) 1) Le nombre de parties jouées est toujours positif (ensemble de départ). La statistique « plus ou moins » peut être un entier positif ou négatif (ensemble d’arrivée).

2) Le domaine correspond aux parties jouées par Jason. L’image correspond à l’ensemble des valeurs que prend la statistique « plus ou moins » de Jason au cours de la saison.

3) L’ordonnée à l’origine correspond à la valeur de la statistique « plus ou moins » au début de la saison.

4) Les abscisses à l’origine correspondent aux parties où le total cumulatif (de la saison) de buts comp-tés, alors que Jason se trouvait sur la patinoire, est le même que le total cumulatif (de la saison) de buts alloués, alors qu’il se trouvait sur la patinoire.

5) Le maximum et le minimum représentent respectivement la plus grande et la plus petite valeur que prend la statis tique « plus ou moins » de Jason au cours de la saison.

6) Les maximums relatifs correspondent à la valeur de cette statistique à la fin d’une séquence de parties où Jason fut sur la patinoire pour un plus grand nombre de buts marqués qu’alloués par son équipe. Les minimums relatifs correspondent à la valeur de cette statistique à la fin d’une séquence de parties où Jason fut sur la patinoire pour un plus grand nombre de buts alloués que marqués par son équipe.

7) I) La séquence de matchs où le total cumulatif (de la saison) de buts alloués par son équipe, alors que Jason était sur la patinoire, était supérieur ou égal au nombre de buts comptés.

II) La séquence de matchs où le total cumulatif (de la saison) de buts comptés par son équipe, alors que Jason était sur la patinoire, était supérieur ou égal au nombre de buts alloués.

11. Arrêt forcé



a) v(0) 28 La vitesse du scooteur au moment où Marianne s’apprête à freiner est de 28 km/h.

b) Le zéro de la fonction correspond au temps nécessaire pour immobiliser le scooteur.

c) Ima v [0, 28]

12. Cousine

Interprétation des paramètres, propriétés d’une fonction


a) (x, y) ( x 2, 2y 4) (0, 0) (2, 4) (1, 1) (1, 2) (4, 2) ( 2, 0)

1

g(x)

x1

b) Dom g ] , 2]

Ima g ] , 4]

Zéro : 2

Ordonnée à l’origine : environ 1,2

Signe : x [ 2, 2[ x ] , 2]

Extremums Min Aucun Max 4

VariationCroissante sur tout son domaine


13. L’effet Prandtl-Glauert

Analyse de situation, description des propriétés

d’une fonction


a) 1) Lorsqu’on commence l’observation, l’avion vole à 1 205 km/h, soit 20 km/h en deçà de la vitesse du son.

2) Après 2 secondes, l’avion atteint la vitesse de 1 225 km/h.

b) La fonction est négative pour n ] , 2], ce qui signifie que, pendant les deux premières secondes d’observation, l’avion vole en deçà de la vitesse du son.

La fonction est positive pour n [2, [, ce qui signifie qu’après deux secondes d’observation, l’avion vole au-delà de la vitesse du son.

14. Hauteur variable

Représentation d’une situation à l’aide d’une fonction,

description des propriétés d’une fonction


a) Intervalles de décroissance : [8, 72] [88, 96] [128, 168]

Ces intervalles correspondent à la descente de l’ascenseur et aux moments où l’ascenseur est immobilisé.

b) Positive : [0, 40] [88, 200]

c) 1) Immobilisé : [8, 16] [32, 40] [48, 56] [64, 72] [88, 96] [128, 144] [160, 168]

L’ascenseur a donc été immobilisé pendant 8 8 8 8 8 16 8 64 secondes.

Calcul du pourcentage : 64200

100

du temps.

2) En ascension : [0, 8] [72, 88] [96, 128] [168, 200]

L’ascenseur a donc été en ascension pendant 8 16 32 32 88 secondes.

Calcul du pourcentage : 88200

100

du temps.

15. Le plus haut possible

Propriétés d’une fonction, rôle des paramètres


a) Hauteur maximale 4 20 80 m k 80 Durée du vol 2 4 8 s La hauteur maximale est atteinte à 8

2 s 4 s h 4

Hau

teur

(m

)

80

70

60

50

40

30

20

10

0

90

Temps (s)

Le parcours d’une fusée de détresse

1 2 3 4 5 6 7 8 9

b) Dom h [0, 8]

Ima h [0, 80]

Zéros {0, 8}

Ordonnée à l’origine 0

Signepositive sur tout son domaine

Extremums 80 0

Variation

c) h(t) 5(t 4)2 80

16. Paramètres et propriétés

Propriétés d’une fonction, interprétation des paramètres


a) Dom f [ 6, 2] Ima f [0, 4]

b) 1) g(x) 3f(x) : un allongement vertical par un facteur de 3


x

g(x)

2

2

2) i(x) f(x 2) 3 : une translation horizontale de deux unités vers la gauche et une translation verticale de trois unités vers le bas

x2

2

i(x)

3) j(x) f( 2x) : une réflexion selon l’axe des ordonnées et un rétrécissement horizontal par un facteur de 2

x2

2

j(x)

c) (voir au bas de la page)

d) Conjecture : Soit Dom f [m, n] et Ima f [p, q].

Les domaines et images des fonctions transfor-mées par allongement vertical, par translation, par rétrécissement horizontal ou par réflexion selon l’axe des ordonnées sont donnés dans le tableau en bas de page.

17. Fonctions au sommet

Fonction, interprétation des paramètres


a) f(x) mont(x)

Courbe bleue : allongement vertical par un facteur de 3 a 3, donc b(x) 3 mont(x)

Courbe jaune : allongement vertical par un facteur de 3 et allongement horizontal par un facteur de 2

a 3 et b 12

, donc j(x) 3 mont x2

b) g(x) 2 mont(2x) 3

a 2 b 2 h 0 k 3

(x, y) xb

h, ay k

(0, 0) (0, 3)

(2, 2) (1, 7)

(4, 2) (2, 7)

(6, 4) (3, 11)

(8, 0) (4, 3)

8

6

12

10

4

2

0 2 4 6 8 x

g(x)

Réponse à la question 16 c), page 58

c) Fonction f(x) g(x) 3f(x) i(x) f(x 2) 3 j(x) f( 2x)

Domaine [ 6, 2] [ 6, 2] [ 8, 0] [ 1, 3]

Image [0, 4] [0, 12] [ 3, 1] [0, 4]

Réponse à la question 16 d), page 58

Fonction f(x) g(x) af(x) i(x) f(x h) k j(x) f(ax), a positif j(x) f(ax), a négatif

Domaine [m, n] [m, n] [m h, n h] m a

,

n a

n a

, m a

Image [p, q] [ap, aq] [p k, q k] [p, q] [p, q]


18. À la poste

Fonction en escalier, propriétés


a) Fonction en escalier

b) Dom ]0, 500] Ima [1,15, 2,65]

19. Les deux côtés de la vingtaine

Fonction en escalier


a) Salaire de Dominique : s(15) 3 750 152

35 000 61 250

Salaire d’Isabelle : s(23) 72 600

72 600 61 250 11 350

La différence entre les salaires de Dominique et d’Isabelle est de 11 350 $.

b) 3 750 x2 35 000 65 000

x2 65 000 35 000

3 750

x2

8

x2 [8, 9[

x [16, 18[

Julie a au moins 16 ans d’expérience.

20. Loin des yeux…

Fonction partie entière, représentation graphique


Coût

($)

0,50

1,00

1,50

2,00

0Temps d’appel (min)

2 4 6 8 10 12

Forfait TÉLÉPHONIKForfait Inter Urbain

Pour un temps d’appel de huit minutes et moins, le forfait TÉLÉPHONIK est le plus avantageux.

Pour un temps d’appel durant plus de huit minutes, mais ne dépassant pas neuf minutes, les deux forfaits s’équivalent (1,40 $).

Pour un temps d’appel de plus de neuf minutes, le forfait Inter Urbain est le plus avantageux.

21. Pas seulement une ou deux…

Recherche d’une règle de fonction partie entière


g(x) 10[x] 5

g(x) 10[x 1] 5

g(x) 10[x 2] 15

g(x) 10[x 3] 25

Conjecture : g(x) 10[x h] k tel que (h, k) (n, 10n 5), n

22. Monter des marches

Fonction partie entière


L’escalier a six marches.

h1(x) 20 x

25

a 20 représente la hauteur de la marche, soit 20 cm.

La hauteur de l’escalier h1 est donc de 120 cm.

h2(x) 25 x

40 a 25 représente la hauteur de la marche, soit

25 cm.

La hauteur de l’escalier h2 est donc de 150 cm.

h2 h1 150 120 30

La différence de hauteur entre les deux escaliers est de 30 cm.


23. On coupe la monnaie

Fonction partie entière, représentation graphique


Mon

tant

per

çu (

$)

4,00

3,00

5,00

6,00

2,00

1,00

0

Montant de l’achat ($)

1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00

Le montant perçu arrondi aux 25 ¢ inférieurs

Quel que soit le montant de la facture totale de l’achat, ce dernier coûte 24 ¢ au maximum au com-merçant. Plus le montant de l’achat est élevé, plus le pourcentage de perte diminue.

24. Payer pour observer

Recherche d’une règle de la fonction partie entière

et représentation graphique


a)

Coût

($)

4,80

3,60

6,00

2,40

1,20

8,40

7,20

0

Temps (min)

Le coût du stationnement et permettant d’accéder au poste d’observation des bélugas

15 30 45 60 75 90 105 120

b) 4,80 $

c) c(t) 1,20 115(t 15) où t est le temps

en minutes et c(t), le coût du stationnement.

25. Comparaison

Fonction en escalier, graphique, recherche d’une règle


a)

500

520

540

560

580

600

620

640

660

680

700

720

0Ancienneté (ans)

Sala

ire

hebd

omad

aire

($)

1 2 6 7 8 9 10543

Échelle de salaire de MiribourtÉchelle de salaire de Dolmat

Si le menuisier prévoit travailler plus de cinq ans, il devrait choisir la compagnie Miribourt.

S’il compte travailler moins de cinq ans, il aura un meilleur salaire chez Dolmat.

b) 1) Chez Dolmat :

s(x) 20[x] 540 si 0 x 3680 si x 3

2) Chez Miribourt :

s(x) 20[x] 520 si 0 x 5720 si x 5

26. Le lac Pur

Fonction partie entière, représentation graphique, règle


a) c(n) [0,05n 1] 2

(voir au haut de la page suivante)


b) Point de prélèvement n Cote

A 90 5

B 70 4

C 20 2

D 10 1

E 40 3

F 110 6

Recommandation :

La plage Beausoleil doit être fermée, car les deux points d’évaluation A et F ont une cote de 5 et plus.

La plage Bellerive peut rester ouverte, mais il faut continuer d’évaluer la qualité de l’eau chaque jour, car un des deux points d’évaluation (B) a une cote de 4.

La plage Belleau peut rester ouverte, car l’eau y est de très bonne qualité (c 2).

Réponse à la question 26 a), page 62

1

2

3

4

5

6

7

8

0

Nombre de bactéries par 50 mL d’eau (n)

L’évaluation de la qualité de l’eaude baignade du lac Pur

Cote

(c)

50 100 150

c(D) = 1

c(C) = 2

c(E) = 3

c(B) = 4

c(A) = 5

c(F) = 6

Documents

Chapitre L’analyse de fonctions 1 · ble discrète. Variable indépendante : nombre de per-sonnes ; une variable discrète. H f : 8 m8 p ac(p) p 1 12 1 1 ACTIVIT