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Spéciale PSI - Cours "Mécanique des uides" 1 Equations dynamiques locales pour les écoulements parfaits Chapitre V : Dynamique du uide parfait Contents 1 Equation d’Euler 2 1.1 Rappels ......................................................... 2 1.2 Equation d’Euler .................................................... 2 2 ”Résolution” de l’équation d’Euler 3 3 Relations de Bernoulli 3 3.1 Cas d’un écoulement stationnaire d’un uide parfait, incompressible et homogène ................ 3 3.2 Cas d’un écoulement irrotationnel, stationnaire d’un uide parfait, incompressible et homogène ........ 4 4 Relations de Bernoulli généralisées 5 4.1 Cas d’un écoulement stationnaire d’un uide parfait, compressible et homogène ................. 5 4.2 Cas d’un écoulement irrotationnel, non stationnaire d’un uide parfait, incompressible et homogène ...... 5 5 Interprétation énergétique 6 6 Conditions d’applications de la relation de Bernoulli 7 6.1 Incompressibilité du uide ............................................... 7 6.2 Jet à l’air libre ..................................................... 7 7 Exemples d’applications 7 7.1 Formule de Toricelli .................................................. 7 7.2 Tube de Pitot simple .................................................. 8 7.3 Tube de Venturi .................................................... 10 7.4 Ecoulement isentropique d’un gaz parfait - Vitesse d’éjection d’un gaz ...................... 11 7.4.1 Ecoulement isentropique d’un gaz parfait .................................. 11 7.4.2 Vitesse d’éjection d’un gaz .......................................... 11 8 Exercices complémentaires 12

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Spéciale PSI - Cours "Mécanique des fluides" 1

Equations dynamiques locales pour les écoulements parfaits

Chapitre V : Dynamique du fluide parfait

Contents

1 Equation d’Euler 21.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Equation d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 ”Résolution” de l’équation d’Euler 3

3 Relations de Bernoulli 33.1 Cas d’un écoulement stationnaire d’un fluide parfait, incompressible et homogène . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Cas d’un écoulement irrotationnel, stationnaire d’un fluide parfait, incompressible et homogène . . . . . . . . 4

4 Relations de Bernoulli généralisées 54.1 Cas d’un écoulement stationnaire d’un fluide parfait, compressible et homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2 Cas d’un écoulement irrotationnel, non stationnaire d’un fluide parfait, incompressible et homogène . . . . . . 5

5 Interprétation énergétique 6

6 Conditions d’applications de la relation de Bernoulli 76.1 Incompressibilité du fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76.2 Jet à l’air libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

7 Exemples d’applications 77.1 Formule de Toricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77.2 Tube de Pitot simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.3 Tube de Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107.4 Ecoulement isentropique d’un gaz parfait - Vitesse d’éjection d’un gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

7.4.1 Ecoulement isentropique d’un gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.4.2 Vitesse d’éjection d’un gaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

8 Exercices complémentaires 12

2 Mécanique des fluides. Chapitre V : Dynamique du fluide parfait

Equations dynamiques locales pour les écoulements parfaits

Chapitre V : Dynamique du fluide parfaitObjectifs :

• Recherche d’une équation pour décrire le mouvement d’un fluide parfait ;

• Démonstration des relations de Bernoulli ;

• Exemples d’applications des relations de Bernoulli.

1 Equation d’Euler

1.1 Rappels

Soit une particule fluide de volume dτ , de masse δm, animée d’une vitesse �v par rapport au référentiel d’étude. On supposeque cette vitesse est donnée en description eulérienne : �v = �v(�r, t).L’accélération de la particule fluide est donnée par la dérivée particulaire :

�a =D�v

Dt=

(∂�v

∂t

)

�r

+(�v.−−→grad

)�v =

(∂�v

∂t

)

�r

+1

2

−−→grad

(v2)− �v ∧

(−→rot�v

)

1.2 Equation d’Euler

Nous appliquons la deuxième loi de Newton à cette particule fluide :

• référentiel : référentiel du laboratoire supposé galiléen pour la durée de l’expérience ;

• système : particule fluide de masse δm animée d’une vitesse �v ;

• bilan des forces extérieures appliquées à la particule fluide :

— forces de contact :

∗ forces de pression : d�Fp = −(−−→gradP

)dτ ,

∗ forces de viscosité : d�Fvis = �0 car le fluide est supposé parfait (η = 0),

— forces extérieures : d�Fext = �fext,vol dτ

La deuxième loi de Newton donne :

D�p

Dt=∑

�F

⇒ D(ρdτ�v)

Dt= d�Fp + d�Fvis + d�Fext

δm = ρdτ = cste⇒ ρD�v

Dt= −−−→gradP + �fext,vol

Dans le cas où la seule force extérieure est le poids : �fext,vol = ρ�g

Le mouvement d’un fluide non visqueux dans le champ de pesanteur est régi par l’équation d’Euler :

ρD�v

Dt= −−−→gradP + ρ�g

⇔ ρ

[(∂�v

∂t

)

�r

+(�v.−−→grad

)�v

]= −−−→gradP + ρ�g

⇔ ρ

[(∂�v

∂t

)

�r

+1

2

−−→grad

(v2)− �v ∧

(−→rot�v

)]= −−−→gradP + ρ�g

Remarque : dans le cas d’un fluide au repos on retrouve la loi fondamentale de la statique des fluides

ρD�v

Dt= −−−→gradP + ρ�g avec

D�v

Dt= �0 soit

−−→gradP = ρ�g

Mécanique des fluides. Chapitre V : Dynamique du fluide parfait 3

2 ”Résolution” de l’équation d’Euler

La résolution d’un problème de dynamique des fluides (recherche du mouvement à partir des forces) consiste à déterminerles trois grandeurs locales que sont la vitesse �v(�r, t), la pression P (�r, t) et la masse volumique ρ(�r, t) en tout point du fluide.On recherche donc un champ vectoriel et deux champs scalaires soit cinq champs scalaires.L’équation d’Euler fournit trois équations scalaires et la relation locale de conservation de la masse une équation scalaire : il«manque» alors une équation pour pouvoir résoudre le problème.Nous pouvons ajouter une équation en introduisant une équation d’état du fluide de la forme f(P, V, T ) = 0 soit ρ = m

V =ρ(T, P ) mais cette équation introduit une nouvelle grandeur, a priori inconnue, le champ de température T (�r, t). Il est doncnécessaire d’introduire une équation supplémentaire, équation de comportement du fluide au cours de l’écoulement :- si le fluide est incompressible, alors ρ = cste n’est plus une inconnue ;- si le fluide est compressible, on pourra considérer une transformation isotherme ou adiabatique; on aura alors une relation

supplémentaire liant P et ρ grâce aux lois de la thermodynamique.On dispose maintenant d’autant d’équations que d’inconnues ; la nature des solutions dépend des conditions aux limites.

Les deux cas importants sont :- sur une surface libre séparant un liquide de l’atmosphère P = Patm ;- sur une paroi fixe, la composante normale de la vitesse est nulle.

3 Relations de Bernoulli

Dans ce paragraphe on suppose que la seule force extérieure est le poids de densité volumique �fext,vol = ρ�g.

3.1 Cas d’un écoulement stationnaire d’un fluide parfait, incompressible et homogène

On considère un écoulement stationnaire d’un fluide parfait, incompressible et homogène.L’équation d’Euler s’écrit :

ρ

[(∂�v

∂t

)

�r

+1

2

−−→grad

(v2)− �v ∧

(−→rot�v

)]= −−−→gradP + ρ�g

avec(

∂�v

∂t

)

�r

= �0 car l’écoulement est stationnaire

On peut écrire le poids en faisant apparaître un gradient :

�fext,vol = ρ�g = −ρ−−→grad (gz) avec Oz verticale ascendante

Le fluide est incompressible :

ρ = cste⇒{−ρ−−→grad (gz) = −−−→grad (ρgz)

12ρ−−→grad

(v2)= 1

2

−−→grad

(ρv2

)

L’équation d’Euler donne1

2

−−→grad

(ρv2

)− ρ�v ∧

(−→rot�v

)= −−−→gradP −−−→grad (ρgz)

⇒−−→grad

(P + ρgz +

1

2ρv2

)= ρ�v ∧

(−→rot�v

)

⇒[−−→grad

(P + ρgz +

1

2ρv2

)].�v =

[ρ�v ∧

(−→rot�v

)].�v

⇒[−−→grad

(P + ρgz +

1

2ρv2

)].�v = 0

En notant d�l le déplacement élémentaire le long d’une ligne de courant (ligne de champ associée au vecteur vitesse), on ad�l = �vdt donc : [−−→

grad

(P + ρgz +

1

2ρv2

)].d�l = 0

L’intégration, le long d’une ligne de courant, d’un point A à un point B donne :∫ B

A

−−→grad

(P + ρgz +

1

2ρv2

).d�l = 0

soit∫ B

A

d

(P + ρgz +

1

2ρv2

)= 0

donc[P + ρgz +

1

2ρv2

]B

A

= 0

4 Mécanique des fluides. Chapitre V : Dynamique du fluide parfait

Pour un écoulement stationnaire d’un fluide parfait , incompressible et homogène, la grandeur

P + ρgz +1

2ρv2 est une constante le long d’une ligne de courant.

La relation P + ρgz +1

2ρv2 = cste le long d’une ligne de courant est appelée relation de Bernoulli

Remarque : la grandeur P + ρgz+ 12ρv

2 est une constante le long d’une ligne de courant mais cette constante peut varierd’une ligne de courant à l’autre.

Exercice 1 : Eau dans une conduite

De l’eau pénètre dans la conduite représentée ci-dessus sous la pression de 2, 2 atm, à la vitesse horizontale de 3m. s−1.Déterminer :

1) la vitesse de l’eau à la sortie ;

2) la pression de sortie de l’eau ;

3) le débit de l’eau dans la conduite, en kg.mn−1

Exercice 2 : Régimes d’écoulement dans un canal

Un canal rectiligne de grande longueur, à fond horizontal, possède localement une section rectangulaire de largeur , où laprofondeur d’eau est h. La vitesse d’écoulement, supposée uniforme sur cette section droite, y est v. Les quantités , h etv varient, mais sur de très grandes distances caractéristiques, le long du canal.L’écoulement de l’eau, assimilée à un fluide parfait homogène et incompressible, est stationnaire.

1) Exprimer le débit volumique q à travers une section du canal ; que peut-on en dire?

2) Montrer que la quantité h+ v2

2g est une constante, que l’on notera hs, le long du canal.

3) Exprimer q en fonction de hs, h, g et . Tracer, pour et hs fixées, la courbe donnant q en fonction de h. Déterminerla valeur maximale qm de q et la hauteur hc (dite critique) correspondante. Montrer, que pour une valeur q donnée dudébit < qm, il existe 2 valeurs possibles h1 et h2 de la hauteur h, avec h1 < hc < h2 < hs :h1 correspond au régime”torrentiel” (faible hauteur, grande vitesse) et h2 au régime ”fluvial” (hauteur élevée, faible vitesse).

4) La largeur du canal diminue progressivement, discuter, selon le type de régime, dans quel sens se modifie h.

5) Des perturbations de la surface libre peuvent se propager, dans le référentiel où localement l’eau est immobile, à lacélérité c =

√gh. Étudier, selon le type de régime, si ces perturbations peuvent ou non remonter vers l’amont, c’est-à-dire

si la présence d’un obstacle dans le canal a, ou non, un effet sur l’écoulement à l’amont.

3.2 Cas d’un écoulement irrotationnel, stationnaire d’un fluide parfait, incompressible ethomogène

On considère un écoulement stationnaire d’un fluide parfait, incompressible et homogène. On suppose de plus cet écoulementirrotationnel :

−→rot�v = �0.

L’équation d’Euler s’écrit :

−−→grad

(P + ρgz +

1

2ρv2

)= ρ�v ∧

(−→rot�v

)= �0⇒ P + ρgz +

1

2ρv2 = cste

Pour un écoulement irrotationnel , stationnaire d’un fluide parfait , incompressible et homogène,

la grandeur P + ρgz +1

2ρv2 est une constante dans tout le fluide.

La relation P + ρgz +1

2ρv2 = cste dans tout le fluide est appelée relation de Bernoulli

Mécanique des fluides. Chapitre V : Dynamique du fluide parfait 5

4 Relations de Bernoulli généralisées

Dans ce paragraphe on suppose que la seule force extérieure est le poids de densité volumique �fext,vol = ρ�g.

4.1 Cas d’un écoulement stationnaire d’un fluide parfait, compressible et homogène

On considère un écoulement stationnaire d’un fluide parfait, compressible et homogène.L’équation d’Euler s’écrit :

ρ

[(∂�v

∂t

)

�r

+1

2

−−→grad

(v2)− �v ∧

(−→rot�v

)]= −−−→gradP + ρ�g

avec(

∂�v

∂t

)

�r

= �0 car l’écoulement est stationnaire et �fext,vol = ρ�g = −ρ−−→grad (gz)

On obtient alors :1

2ρ−−→grad

(v2)− ρ�v ∧

(−→rot�v

)= −−−→gradP − ρ

−−→grad (gz)

⇒−−→grad

(v2

2+ gz

)+1

ρ

−−→gradP = �v ∧

(−→rot�v

)

⇒[−−→grad

(v2

2+ gz

)+1

ρ

−−→gradP

].�v =

[�v ∧

(−→rot�v

)].�v

⇒[−−→grad

(v2

2+ gz

)+1

ρ

−−→gradP

].�v = 0

En notant d�l le déplacement élémentaire le long d’une ligne de courant (ligne de champ associée au vecteur vitesse), on ad�l = �vdt donc : [−−→

grad

(v2

2+ gz

)+1

ρ

−−→gradP

].d�l = 0

L’intégration, le long d’une ligne de courant, d’un point A à un point B donne :∫ B

A

[−−→grad

(v2

2+ gz

)+1

ρ

−−→gradP

].d�l = 0

soit∫ B

A

−−→grad

(v2

2+ gz

).d�l +

∫ B

A

1

ρ

−−→gradP.d�l = 0

donc[v2

2+ gz

]B

A

+

∫ B

A

dP

ρ= 0

Pour un écoulement stationnaire d’un fluide parfait , compressible et homogène, la grandeurv2

2+ gz +

∫dP

ρest une constante le long d’une ligne de courant.

La relationv2

2+ gz +

∫dP

ρ= cste le long d’une ldc est appelée relation de Bernoulli généralisée

Remarques :

1) la relation précédente est exploitable sous réserve de pouvoir calculer∫dP

ρ; elle est donc utilisable pour un fluide

barotrope pour lequel ρ = ρ(P ).2) pour un écoulement isentropique l’identité thermodynamique donne dh = Tds+ dP/ρ = dP/ρ ; la relation précédente

devientv2

2+ gz +

∫dh =

v2

2+ gz + h(so, P ) = cste.

4.2 Cas d’un écoulement irrotationnel, non stationnaire d’un fluide parfait, incompressibleet homogène

Pour un écoulement irrotationnel−→rot�v = �0, il existe donc un potentiel scalaire des vitesses ϕ(�r, t) tel que �v =

−−→gradϕ.

L’équation d’Euler s’écrit :

ρ

[(∂�v

∂t

)

�r

+1

2

−−→grad

(v2)− �v ∧

(−→rot�v

)]= −−−→gradP + ρ�g

(∂−−→gradϕ

∂t

)

�r

+1

2

−−→grad

(v2)= −

−−→gradP

ρ−−−→grad (gz)

6 Mécanique des fluides. Chapitre V : Dynamique du fluide parfait

Le fluide est incompressible :

ρ = cste⇒−−→gradP

ρ=−−→grad

P

ρ

⇒ −−→grad

(∂ϕ

∂t

)

�r

+1

2

−−→grad

(v2)+−−→grad

P

ρ+−−→grad (gz) = 0

⇒ −−→grad

((∂ϕ

∂t

)

�r

+v2

2+P

ρ+ gz

)= �0

Pour un écoulement irrotationnel , non stationnaire d’un fluide parfait , incompressible et homogène,

la grandeur(

∂ϕ

∂t

)

�r

+v2

2+P

ρ+ gz est une constante dans tout le fluide.

La relation(

∂ϕ

∂t

)

�r

+v2

2+P

ρ+ gz = cste dans tout le fluide est appelée relation de Bernoulli généralisée

Remarque : la grandeur(

∂ϕ

∂t

)

�r

+v2

2+P

ρ+ gz est une constante dans tout le fluide mais cette constante est en réalité

une fonction du temps C(t) ; on peut toutefois incorporer cette dépendance dans le potentiel scalaire ϕ′ = ϕ−∫ t

0

C(τ)dτ .

5 Interprétation énergétique

Dans les paragraphes précédents, la relation de Bernoulli P + ρgz+1

2ρv2 = cste est une conséquence de l’équation d’Euler ;

Nous avons déjà démontré cette relation au chapitre précédent (paragraphe 3.5.4.) grâce à un bilan énergétique.

L’équation de Bernoulli ne fait que traduire la conservation de l’énergie :

P

ρ+ gz +

1

2v2 = cste

• Pρest une énergie massique associée aux forces de pression ;

• gz est l’énergie potentielle massique associée aux forces de pesanteur (poids) ;

• 12v2 est l’énergie cinétique massique.

Si nous choisissons d’écrire la relation de Bernoulli sous la forme P + ρgz +1

2ρv2 = cste nous faisons apparaître :

• la pression statique P ∗ = P + ρgz,

• la pression dynamique 12ρv2.

Remarques :1) la pression statique P ∗ = P + ρgz est homogène à une pression et P ∗ est uniforme en tout point d’un fluide au repos.2) P ∗/ρg = z + P/ρg est la hauteur piézométrique.3) z + P/ρg + v2/2g est la charge totale.

Exercice 3 : Oscillations d’un fluide dans un tube en U

On considère un fluide parfait contenu dans un tube en U de section S uniforme. Le volume V de fluide est tel queV = S. .On provoque un léger déséquilibre à l’instant t = 0 et on laisse évoluer le fluide au cours du temps.

1) Projeter l’équation d’Euler sur le vecteur unitaire �T tangent en M à une ligne de courant.

2) Intégrer cette équation scalaire le long d’une LDC entre A et B. En déduire la nature du mouvement du fluide et lapériode des oscillations.

3) Appliquer le théorème de Bernoulli généralisé le long d’une LDC qui passe par A et B et retrouver les résultatsprécédents.

Mécanique des fluides. Chapitre V : Dynamique du fluide parfait 7

6 Conditions d’applications de la relation de Bernoulli

6.1 Incompressibilité du fluide

La forme la plus simple de la relation de Bernoulli correspond au cas d’un écoulement stationnaire d’un fluide parfait,incompressible et homogène :

P + ρgz +1

2ρv2 = cste le long d’une ligne de courant

L’incompressibilité est une hypothèse assez restrictive pour les gaz (mais pas pour les liquides). Existe-t-il des conditionsexpérimentales particulières pour lesquelles un fluide peut-être considérer comme incompressible ?On se propose de montrer que si la vitesse d’écoulement reste très inférieure à la vitesse de propagation du son dans ce fluidealors l’hypothèse d’incompressibilité est valide.On note χexp le coefficient de compressibilité dans les conditions de l’expérience :

χexp =1

ρ

(∂ρ

∂P

)

exp

Les écoulements étudiés sont très souvent approximativement isentropiques χexp ≈ χS. On suppose que pour des vitessesv < vmax les variations de ρ sont négligeables ; d’après la relation de Bernoulli, cette variation de vitesse ∆v correspond àune variation ∆P de la pression avec :

∆Pmax =1

2ρv2max

les variations ∆ρ de ρ seront effectivement négligeables si(∆ρρ

)max

1 soit χS∆Pmax 1 donc χS1

2ρv2max 1⇒ vmax √

2ρχS

.

L’étude de la propagation des ondes acoustiques dans les fluides permet de démontrer que χS =1

ρc2avec c vitesse de

propagation du son dans le fluide.On obtient alors vmax

√2

ρ 1ρc2

=√2c ≈ c

Il est possible d’appliquer la relation de Bernoulli sous la forme P + ρgz +1

2ρv2 = cste le long d’une ldc

à un écoulement stationnaire d’un fluide parfait et homogène si la vitesse de l’écoulement reste trèsinférieure à la vitesse de propagation du son dans ce fluide.

6.2 Jet à l’air libre

Soit un jet libre (écoulement sans aucun contact avec une surface rigide ou un autre fluide) stationnaire d’un fluide incom-pressible avec �v = v �ex =

−−→cste.

La relation de Bernoulli s’écrit P + ρgz +1

2ρv2 = cste dans tout le fluide.

Comme v et z sont des constantes on a donc P = cste dans tout le fluide ; la condition d’équilibre aux bords du jet donneP = Po = pression atmosphèrique.On admet la généralisation :

Dans un jet à l’air libre la pression est uniforme et égale à la pression extérieure.

7 Exemples d’applications

7.1 Formule de Toricelli

8 Mécanique des fluides. Chapitre V : Dynamique du fluide parfait

On considère un récipient rempli d’un liquide parfait et incompressible muni d’une petite ouverture située à la hauteur hsous la surface libre du liquide (le diamètre de cette ouverture est négligeable devant h).On recherche l’expression de la vitesse du liquide en A en fonction de h.L’orifice est suffisament petit pour considérer l’écoulement comme stationnaire à chaque instant. De plus le liquide est parfaitet incompressible Nous pouvons donc appliquer la relation de Bernoulli sous la forme du paragraphe 3.1. en considérant uneligne de courant AoA :

PAo + ρgzAo +1

2ρv2Ao = PA + ρgzA +

1

2ρv2A

avec PAo = PA = Po et vAo vA (car la conservation du débit volumique s’écrit SvAo = svA) donc

v =√2gh Formule de Torricelli

Remarque : l’expression v =√2gh donne également la vitesse pour une chute libre depuis une hauteur h.

Exercice 4 : Vidange d’un réservoir

On donne les sections s = 2cm2 et S = 1m2 de la cuve ci dessus et la hauteur initiale d’eau h0 = 80 cm dans la cuve àl’instant t = 0. On donne g = 10m. s−2.

1) Etablir la loi d’évolution de la hauteur d’eau h(t).

2) Calculer la durée T de la vidange et la comparer à celle qu’on obtiendrait à débit constant.

Exercice 5 : Clepsydre

z

r

eau

O

z(t)

section s

Un récipient à symétrie de révolution autour de l’axe vertical Oz, de méridienne d’équation r = a.zn où r est le rayon duréservoir aux points de cote z comptés à partir de l’orifice O de faible section s = 1cm2 percé au fond du réservoir. Ondésire que le niveau de l’eau de ce récipient baisse régulièrement de 6 cm par minute au cours de la vidange. Calculer lescoefficients n et a et en déduire l’équation de la méridienne.

7.2 Tube de Pitot simple

Mécanique des fluides. Chapitre V : Dynamique du fluide parfait 9

Le tube de Pitot, représenté ci-dessus, permet de mesurer la vitesse (ou le débit) d’un fluide dans une canalisation desection S.L’ouverture A est dirigée face au jet et constitue un point d’arrêt (la vitesse du fluide en A est nulle).Le point B est sur la paroi latérale; le fluide circulant dans la canalisation est animé d’une vitesse �v et possède une massevolumique ρ alors que le tube en U est rempli d’un liquide de masse volumique ρo > ρ.Le fluide est parfait et incompressible Nous pouvons donc appliquer la relation de Bernoulli sous la forme du paragraphe 3.1.en considérant une ligne de courant :

P + ρgz +1

2ρv2 = cste

- sur une ligne de courant AoA :

PAo + ρgzAo +1

2ρv2Ao = PA + ρgzA +

1

2ρv2A

- sur une ligne de courant BoB :

PBo + ρgzBo +1

2ρv2Bo = PB + ρgzB +

1

2ρv2B

- entre les points Ao et Bo (voir remarque 2 en fin de paragraphe) :

PAo + ρgzAo +1

2ρv2Ao = PBo + ρgzBo +

1

2ρv2Bo

avec

zAo = zA et zBo = zBvA = 0, vAo = vBo = vB = v

PA1 = PB1 + ρogh et PB1= PB + ρg(zB − zB1

) et PA1 = PA + ρg(zA − zA1)

On obtient

PAo +12ρv

2 = PAPBo = PB

PAo + ρgzAo = PBo + ρgzBoPA + ρg(zA − zA1) = PB + ρg(zB − zB1) + ρogh

soit (PAo +

1

2ρv2

)+ ρg(zA − zA1) = PB + ρg(zB − zB1) + ρogh

donc(PB + ρgzBo − ρgzAo) +

1

2ρv2 + ρg(zA − zA1) = PB + ρg(zB − zB1) + ρogh

⇒ 1

2v2 = g

[(zB − zB1) +

ρoρh+ zAo − zBo + zA1 − zA

]

⇒ 1

2v2 = g

[(zA1 − zB1) +

ρoρh+ zAo − zA − zBo

+ zB − zBo

]

⇒ 1

2v2 = g

[−h+ ρo

ρh

]

⇒ 1

2v2 = g

[ρo − ρ

ρ

]h

Dans un tube de Pitot, la vitesse de l’écoulement v et la dénivellation h sont liées par la relation

v =

√2ρo − ρ

ρgh

10 Mécanique des fluides. Chapitre V : Dynamique du fluide parfait

Remarques :

1) le débit volumique est D = Sv = S√2ρo − ρ

ρgh

2) localement, dans une section droite autre que celle passant par A, l’écoulement est unidirectionel et donc irrotationnel; on peut donc appliquer la relation de Bernoulli entre les points Ao et Bo.3) Au point B le calcul est approché ; en effet il existe au voisinage de ce point une zone de turbulence et la relation de

Bernoulli n’est pas applicable. Avec les notations de la figure ci-dessous, la relation de Bernoulli est applicable au dessus deA′ et en dessous de A′′; l’égalité des pressions entre A′ et A′′ découle de la proximité de ces deux points et de la continuitéde la pression.

Exercice 6 : Variante du tube de Pitot. Point d’arrêt

Le tube de Pitot ouvert à l’extrémité A est plongé dans un liquide animé d’une vitesse uniforme horizontale �v = v0.�ux ; lahauteur d’ascension du liquide est h = 80 cm. Ce tube est maintenant fermé à l’extrémité A de la partie recourbée, maisla partie horizontale est percée de petits trous au voisinage de T . Plongé dans le fluide précédent, la hauteur d’ascensiondu liquide dans cette sonde n’est plus que h′ = 35 cm. En déduire :

1) la vitesse v d’écoulement du liquide non visqueux et incompressible.

2) la pression en A, dans chacune des deux expériences ; on donne µ = 103 kg.m3.

7.3 Tube de Venturi

Mécanique des fluides. Chapitre V : Dynamique du fluide parfait 11

Le tube de Venturi est une ”variante” de l’expérience précédente. Un calcul semblable au précédent donne :

v2 =S1√S21 − S22

√2

(ρo − ρ

ρ

)gh

Remarque : On pourra noter le paradoxe de Venturi: la pression est plus forte dans la section la plus large du tube c’està dire là où les vitesses sont les plus faibles (cf effet de sol pour les voitures de compétition, trompe à eau).

Exercice 7 :Tube de Venturi

Démontrer l’expression précédente.

7.4 Ecoulement isentropique d’un gaz parfait - Vitesse d’éjection d’un gaz

7.4.1 Ecoulement isentropique d’un gaz parfait

Soit un gaz parfait (sans viscosité) en écoulement laminaire, adiabatique et stationnaire. Cet écoulement est isentropique.Dans cette étude on néglige les forces de pesanteur; la relation de Bernoulli généralisée s’écrit :

v2

2+

∫dP

ρ= cste le long d’une ligne de courant

Rappel : Un gaz parfait à γ constant subissant une transformation isentropique obéit à la loi de Laplace : PV γ = cste soitP = Kργ avec K = cste.On a alors :

∫dP

ρ=

∫Kγργ−1dρ

ρ

= Kγ

∫ργ−2dρ

= Kγ1

γ − 1ργ−1

γ − 1Prefργref

ργ−1

La relation de Bernoulli entre deux points (1) et (2) donne :

v212+

γ

γ − 1Prefργref

ργ−11 =v222+

γ

γ − 1Prefργref

ργ−12

7.4.2 Vitesse d’éjection d’un gaz

Un réservoir de grandes dimensions contient un gaz parfait sous la pression P1. Ce gaz s’échappe par une tuyère dans laquelleil subit une détente isentropique jusqu’à la pression finale P2 (P2 < P1).

La relation précédente donne :v212+

γ

γ − 1Prefργref

ργ−11 =v222+

γ

γ − 1Prefργref

ργ−12

Nous pouvons considérer que v1 est nulle :

⇒ γ

γ − 1Prefργref

ργ−11 =v222+

γ

γ − 1Prefργref

ργ−12

12 Mécanique des fluides. Chapitre V : Dynamique du fluide parfait

en prenant l’état (1) comme état de référence, on a :

γ

γ − 1P1ρ1=v222+

γ

γ − 1P1ργ1

ργ−12

⇒ v2 =

√√√√2 γ

γ − 1P1ρ1

[1− ργ−12

ργ−11

]

⇒ v2 =

√√√√√2 γ

γ − 1P1ρ1

1− P

γ−1γ

2

Pγ−1γ

1

8 Exercices complémentaires

Exercice 8 : Fonctionnement d’une hélice

Dans un fluide parfait, homogène et incompressible de masse volumique ρ (air ou eau), est immergée une hélice.On se place dans le référentiel (R), supposé galiléen, où l’hélice est animée d’un mouvement de rotation autourde son axe x′x, fixe, à vitesse angulaire constante. Nous ferons les hypothèses suivantes :

α) le mouvement du fluide autour de l’hélice est supposé stationnaire, dans (R), et à symétrie de révolution autourde x′x.

β) La figure ci-dessous représente un tube de courant dans (R), dans l’hypothèse où SA > SB. Loin de l’hélice,sauf dans la veine à l’aval de section SB, la vitesse du fluide est uniforme et vaut �vA dans (R) ; dans la veine aval,elle vaut �vB, toujours à grande distance de l’hélice.

γ) La pression, à grande distance de l’hélice, et dans toutes les directions, est uniforme et vaut P0 (c’est vrai enparticulier sur SA et SB).

δ) Les sections (Σ1) et (Σ2) du tube, très voisines de l’hélice, ont leurs aires pratiquement confondues, de valeurS : les pressions du fluide y sont supposées uniformes, et de valeurs respectives P1 et P2.

ε) La vitesse du fluide au voisinage de l’hélice, dans (R), est supposée uniforme, et de valeur �v : l’inclinaison despales par rapport au plan perpendiculaire à l’axe x′x permet le glissement du fluide, en satisfaisant à la continuitéde la vitesse normale sur les pales ; ce glissement est supposé ne s’accompagner d’aucune dissipation d’énergiemécanique par frottement. (voir figure ci-dessous).

ζ) Les effets de la pesanteur sur le fluide sont négligeables.

Mécanique des fluides. Chapitre V : Dynamique du fluide parfait 13

1) Écrire deux relations entre SA, vA, SB, vB, S et v (�vA = vA�ex, �vB = vB�ex, �v = v�ex).

2) Évaluer les pressions P1 et P2 en fonction de P0, ρ, vA, vB et v. En déduire la résultante �F des efforts exercéspar l’hélice sur le fluide, en fonction de ρ, S, vA et vB. Discuter le sens de �F .

3) Évaluer �F par ailleurs, en appliquant le théorème d’Euler dans (R) à un volume de contrôle de grandesdimensions entourant l’hélice. En déduire la relation entre v, vA et vB .

4) Évaluer la puissance Pf fournie au fluide par l’hélice (mesurée dans (R)) :4.a) à partir de la valeur de �F .

4.b) en appliquant le premier Principe de la Thermodynamique à un système convenable. On exprimera Pf enfonction de vA, vB et du débit massique Dm circulant dans le tube de courant représenté sur la 1ere figure.

5.) Application à la propulsion d’un vaisseau (avion, navire) :

Le vaisseau a, par rapport à la terre où le fluide est immobile à grande distance de l’hélice, une vitesse constante�u = −u�ex (u > 0). Le fluide est éjecté vers l’arrière de l’hélice à une vitesse �ve = ve�ex, à grande distance decelle-ci, �ve étant mesurée par rapport à la Terre.

5.a) Évaluer le rendement énergétique η = PuPm de la propulsion ; Pu est la puissance fournie à la coque du vaisseau,

mesurée dans le référentiel terrestre bien sûr, et Pm est la puissance fournie par le moteur actionnant l’hélice. Onexprimera η en fonction de u et ve seulement. Dans quelles conditions η serait-il maximal ? Qu’en penser ?

5.b) Application mmérique : Calculer le rapport veu pour η = 0, 85 (avion) et η = 0, 60 (navire).

6) Application au fonctionnement de l’éolienne :

Dans ce cas, (R) est le référentiel terrestre, et vB < vA.

6.a) Quelle est alors la forme du tube de courant ?

6.b) Soit P la puissance obtenue sur l’arbre de l’éolienne. On pose x = vBvA(0 ≤ x ≤ 1) ; S et vA étant données,

pour quelle valeur de x, P est-elle maximale ?6.c) Le rendement énergétique r est défini comme le rapport de P au débit d’énergie cinétique de l’air à traversla section SA du tube de courant. Exprimer r en fonction de x. Que vaut r lorsque P est maximale ?6.d) Application numérique : ρ = 1, 3 kg.m−3 ; vA = 8m. s−1 ; le diamètre de l’hélice est 10m ; calculer Pmaximale.

Exercice 9 : Vidange d’un réservoir - Théorème de Torricelli

Un réservoir cylindrique de section S rempli d’eau se termine par un tube horizontal de longueur L et de section.s S situé à sa base et fermé par un robinet qu’on ouvre à l’instant t = 0. Initialement la hauteur d’eau dansle réservoir est h0 ; à l’instant t on la note h(t).

1) Une fois le robinet ouvert, on suppose l’écoulement unidimensionnel à l’interface air-eau dans le réservoir avec�v(M, t) = −V (t)�uz et dans le tube horizontal où �v(M, t) = v(x, t)�ux.

Montrer que :

v (x, t) =S

sV (t) = −S

s

dh

dt

ce qui permet avec s S de négliger V (t) devant v(t) dans toute la suite.

2) En dehors d’une phase de courte durée, on constate que la vitesse d’éjection vaut v(t) =√2gh(t) c’est-à-dire a

même valeur que pour un point matériel lâché en chute libre, ce qui constitue le théorème de Torricelli. Montrerqu’on peut interpréter ce fait en supposant que le théorème de Bernoulli est applicable bien que l’écoulement varieau cours du temps (approximation des régimes quasi-stationnaires).

3) En déduire l’expression de la hauteur d’eau h(t) en fonction de S, s, h0, g, t, puis l’expression de la durée Tnécessaire pour vider le réservoir. Analyser la pertinence de l’influence de S, s, g et h0 sur T .

14 Mécanique des fluides. Chapitre V : Dynamique du fluide parfait

4) On s’intéresse au régime transitoire initial au cours duquel la vitesse v(t) atteint sa valeur√2gh0 en régime

quasi-stationnaire sans que le niveau h0 dans le réservoir ait eu le temps de varier notablement. En négligeantl’accélération locale dans le réservoir, mais pas dans le tube, montrer que

2Ldv

dt= gh0 − v2

et chercher une solution de la forme v(t) = v∞th (t/τ) ; exprimer v∞ et τ en fonction de g, h et L. Comparer τet T et commenter.

On rappelle que (th u)′ = 1−th2 u et limu→∞ th u = 1.5) Lorsque le tube est trop fin, tout ce qui précède est faux. Interpréter qualitativement. Évaluer l’ordre degrandeur du rayon R du tube en dessous duquel «le tube est trop fin» pour adopter le modèle précédent, pourh0 = 20 cm , L = 2cm et v = 10−6m2. s−1.

Mécanique des fluides. Chapitre V : Dynamique du fluide parfait 15

Exercice 10 : Cavitation

Sous l’effet d’une baisse de pression brutale, des bulles de gaz peuvent se former dans l’eau : ce phénomène appelécavitation est particulièrement important au voisinage des hélices de navires et provoque une forte érosion.

A l’instant t = 0, une bulle de gaz sphérique, de centre η et de rayon initial a0 se forme dans un volume d’eausupposé infini. Pour simplifier, on néglige l’influence de la pesanteur, on suppose que la pression au sein de cettebulle de gaz est nulle et que son centre O est fixe dans le référentiel galiléen d’étude. L’évolution de son rayona(t) met en mouvement l’eau et on note v(M, t) le champ des vitesses correspondant, qu’on cherche sous la forme�v(M, t) = v(r, t)�ur en coordonnées sphériques. Loin de la bulle, les conditions aux limites sont à tout instant t :p(r =∞, t) = p∞ et v(r =∞, t) = 0. L’écoulement dans l’eau est supposé parfait, incompressible et homogène ;on note µ la masse volumique de l’eau.

1) On admet que le temps d’implosion T de la bulle est fini et s’exprime sous la forme d’un monôme en fonctiondes seuls paramètres pertinents du problème :

T = kaα0µβpγ∞

où α, β, γ et k sont des réels, k étant sans dimension. En exploitant l’analyse dimensionnelle de cette formule,déterminer α, β et γ. Vérifier la pertinence du résultat en étudiant l’influence de a0, p∞ et µ. En supposantk ≈ 1, calculer un ordre de grandeur de T pour a0 = 1mm, p∞ = 1bar et µ = 103 kg.m−3.

2) En exploitant l’incompressibilité de l’écoulement et la condition aux limites à la surface de la bulle, montrerque :

v (r, t) =a (t) a (t)

r2

En déduire que l’écoulernent dérive d’un potentiel des vitesses φ et déterminer ce potentiel en imposant la conditionφ(∞, t) = 0.3) En exploitant une intégrale première de l’équation d’Euler entre r = 0 et r =∞ montrer que :

ad2a

dt2+3

2

(da

dt

)2= −p∞

µ

4) On fait le changement d’inconnue α(t) = a(t)/a0 et le changement de variable t∗ = t/τ où τ est une constante.Déterminer l’équation différentielle dont est solution α (t∗). Choisir τ pour que cette équation différentielledevienne universelle. Retrouver alors les variations du temps d’implosion T de la bulle en fonction de a0, p∞ etµ.

5) L’équation d’Euler impose à l’instant t où a(t) = a0/10 la relation approchée qu’on ne demande pas d’établir :

∂r

(p

p∞

)=2a015r2

(a30r3− 250

)

Montrer que la pression passe par un maximum pM pour une distance rM ; évaluer numériquement rM et pMpour p∞ = 1bar et a0 = 1mm. Interpréter alors l’érosion de l’hélice.