Chapitre VI: Flexion d’une poutre droite

Propriétés des poutres sollicitées à la flexion pure ou plane

1- Obéissent à la notion de poutre en RDM

2- Droites et présentent un plan de symétrie

3- Les efforts extérieurs appartiennent au plan de symétrie et normaux à la ligne moyenne

4- Sous l’effet des charges la poutre fléchit en se déplaçant parallèlement au plan de symétrie

5- Symétrie des charge + symétrie géométrique de la poutre

Etude de la sollicitation dans le plan de symétrie de la poutre

Schématisation des poutres sollicitée en flexion

Schématisation des liaisons

Problèmes plans systèmes de forces planesTrois types de liaison

Torseur des efforts intérieurs

zFi

yFi

G

FiMM

TR

2/

2/

2/

Ty: Effort tranchant porté par l’axe central de la section au plan de symétrie

Mz: Moment fléchissant porté par l’autre axe central de la section

Efforts intérieurs

Pour faire apparaître les efforts intérieurs, on effectue une coupurefictive à la distance x de l’origine A. En isolant le tronçon 1, onobtient l’effort tranchant T et le moment fléchissant Mf (Mz), par:

Diagrammes des efforts intérieurs

Exemple:

Poutre droite sur deux appuis simples en A et en B supporte deux charges ponctuelles de 10000N en C et D. Poids propre négligé

T

Diagrammes des efforts intérieurs

L’équilibre impose:RA = RB = P

dx

dMT z

y On montre que:

Contraintes de flexion

En flexion les contraintes normales sont plus importantes que

les contraintes tangentielles

Contraintes normales en flexion

Dans le cas de flexion pure ( Mf 0 et T = 0 ), les poutres se déforment suivant des arcs de cercles.

1- Le plan de symétrie de la poutre ne s’est pas déplacé

2- La ligne moyenne GG’ ne subit ni allongement ni raccourcissement (contraintes nulles).

3- Les fibres situées au-dessus de la ligne neutre sont comprimées et supportent des contraintesde compression ; celles situées en-dessous (MM’) sont tendues et supportent des contraintes detraction.

4- Toutes les lignes se sont courbées de telle sorte à rester parallèles aux sections droites quielles ont légèrement tourné

5- Toutes les lignes parallèles à la ligne moyenne et n’ayant subi aucune variation de longueurconstituent la surface neutre.

Observations expérimentales

Expression des contraintes normales en fonction du moment fléchissant

Nous posons l’hypothèse que les sections droites restent planes après déformation (Navier-Bernouilli).Conséquence: la répartition des contraintes dans les plans parallèles au plande symétrie est semblable à celle des contraintes dans le plan de symétrie

La déformation en flexion pure donneune rotation des sections droitesles unes par rapport aux autres autourd’axes normaux au plan de symétrie dela poutre.

soit (ds): élément de poutre infiniment petit(S,x,y): repère tangent à la surface neutred’origine S appartenant à une extrémité del’élément de poutre.(S1,x1,y1): repère tangent à la surface neutred’origine S1 appartenant à l’autre extrémité del’élément de poutre.

Plan de symétrie de la poutre

y

x

d

y1

x1

+

S

R

d

S1

ds

Déformation de l’élément de poutre ds

dsSS1

dsRdαSS1

)algébrique(rayon0R0dα

0)(RdαRTU 11 dsTS'or

US'TS'TU US'RdαdαR1

R)dα(RUS' 1

0y:avecyR)(R:)y,x,(Sdansor 1111

Allongement de la fibre TU

ou encore:

d

x

x1

y1y

R1

Rd

T

S

S’U

S1

+ds

L’allongement relatif d’une ligne située à l’ordonnée y de la surface neutres’écrit alors:

R

y

Rd

yd

TS

USe

'

'

Et la contrainte au point U obtenue par la loi de Hooke

R

yE

R < 0

> 0 (vecteur contrainte dirigé vers les x1positifs)y > 0

= E e:

S1 x1

y1

Répartition des contraintes normales sur une section droite de la poutre

Plan de symétrie de la poutre

Expression des contraintes normales en fonction de Mz

Le moment de flexion Mz pour une poutre sollicité en flexion s’exprime par:

dsMSMS

z 1

S1

dsM

z1

y1

Mz

x1

(S)

La projection de la précédente équation vectorielle sur l’axe z1 donne:

S

z dsyM R

yE

S

z dSyR

EM 2

avec

D’où

avec

1

2 z àrapport par S de equadratiqumoment :S

Gz dSyI

yI

M

GZ

z

Compte tenu de toutes ces relations:

Répartition des contraintes dans le plan de symétrie de la poutre

Contraintes maximales

maxmax

max yI

M

GZ

z

GZ

max

I notéflexion de module :

y

IGZ

Appelé aussi module de résistance de la section à la flexion

Remarque:

les modules des profilés standards sont répertoriés dans des tables

Remarque:

La répartition des contraintes est identique pour tous les plans parallèles au plan de symétrie de la poutre

Conditions de résistance à la flexion

Pour des questions de sécurité liées à l’usage des machines, la contrainte max dans la section droite la plus chargée doit rester inférieure à une contrainte limite admissible liée au matériau et fixée par le constructeur ou par des normes :

Dans le cas précis de la flexion, il faut donc procéder ainsi :

• Déterminer la section la plus chargée (en général celle où le moment fléchissant est maximum)• Vérifier que la contrainte maximale dans cette section est inférieure à la contrainte admissible Rpe ou RPc imposée par le constructeur

a/ résistance à l’extension

eGZ

z RpI

M

maxPour les fibres soumises à la traction

b/ résistance à la compression

cGZ

z RpI

M

maxPour les fibres soumises à la compression

Unités: Rpe et Rpc en [MPa] ; Mz en [N.mm] et IGZ/ en [mm3]

Concentration de contraintes

Lorsque les solides étudiés présentent de brusques variations de section, les relations précédentes ne s’appliquent plus. Au voisinage du changement de section, la répartition des contraintes n’est plus proportionnelle à la distance y.

maxmax

max yI

M

GZ

z

Remarque: Pour un matériau donné, il est intéressant de choisir la poutre dont les section droites sont de module de flexion maximal pour une surface minimale, on réalise ainsi un gain de poids considérable

On a alors pour la contrainte maximale:

Avec max

max0 y

I

M

GZ

z

0max tK

Exemple de distribution des contraintes

Contraintes tangentielles (ou de cisaillement) en flexion

Pour le cas d’une flexion plane (Mz 0 et T 0)

Toute section subissant un effort tranchant T présente des contraintes de cisaillement distribués comme sur le schéma ci-dessous:

xy

yx

xy

Deux types de contraintes tangentielles

* xy: contraintes tangentiellesnent aux sections droitesde la poutre et contenues dansle plan normal à (G,x) de direction celle du vecteur unitaire y * yx: contraintes tangentiellescontenues dans le plan normal à (G,y) de direction celle du vecteur unitaire x1

2

+

bdy

dx

On montre par l’équilibre des moments des forces de cohésion dans le parallélépipède du schéma précédent par rapport à l’arête 1-2 que:

(yx b dx) dy - (xy b dy) dx = 0

xy = yx

Réciprocité des contraintes tangentielles

Expression des contraintes tangentielles (Cas de section rectangulaire)

y

x

dx

yx

Mz

TyRépartition des contraintes normales

dS

Vue dans le plan (y,z)

Vue dans le plan (x,y)

dSyI

MdS A

GZ

z Pour toute la surface SA:

2/h

y

A

Gz

z

S

dSyI

MdS

A

Sur la face SB parallèle et distante de dx de la surface SA, la somme des forces de cohésion vaut:

2/)(

h

y

A

Gz

zz

S

dSyI

dMMdS

B

Les contraintes tangentielles sont uniformément réparties sur la surface normale à SA et située à l’ordonnée y. Elles valent yx b dx, la surface parallèle à celle-ci et d’ordonnée h/2 est libre de contraintes(les contraintes tangentielles y sont nulles). L’équilibre du parallélépipède formé par SA, SB et les surfaces qui leur sont normales, s’écrit:

0)(

0

2/2/

h

y

A

Gz

zz

A

h

y Gz

z

yx

SS

yx

dSyI

dMMdSy

I

Mdxb

dSdSdxb

BA

Soit une portion de poutre de longueur dx , elle est en équilibre sous l’action des forces de cohésion. La force de cohésion subie par l’élément de surface dS de SA s’écrit:

2/h

y

A

GZ

y

xy dSybI

T )

4(

.2

22

yh

I

T

GZ

y

xy avec dS= b dyA

Après simplification on a:

2/h

y

A

Gz

z

yx dSyI

dMdxb

dMz et IGz étant constants dans dS:

2/h

y

A

Gz

z

yx dSyI

dMdxb

Tenant compte du fait que dMz / dx = - Ty , on écrit la contrainte de cisaillement xy à la

distance y du plan neutre:

Remarque:

1/ La contrainte est maximale au niveau du plan neutre y = 0:

2/ Dans la pratique les contraintes normales maximales sont largement supérieures au contraintes de cisaillement

3/ quand la contrainte normale est maximale, la contrainte de cisaillement est nulle et vice et versa.

Cela justifie l’hypothèse qui consiste à négliger les effets des efforts tranchantspour le calcul des poutres en flexion plane

12 avec

2

3 3

max

bhI

bh

TGZ

y

xy

Déformations en flexion

Notion de déformée

Conditions aux limites

Ce sont des éléments connus de la déformée, imposés par les liaisons aux limites ou la forme de la déformée

flèche

La déformée présente des valeurs maximalesen I (entre A et B) et à l’extrémité D.pour ces points particuliers la déformation est souvent appelée flèche: fI = yI et fD = yD

La ligne moyenne AD de la poutre ci-contreest confondue avec l’axe des x avant déformation. Après déformation cette lignese déforme, elle fléchie et se transforme en une ligne d’équation mathématique dans le système d’axes (A, x, y) : y = f(x).

Cette courbe est appelée déformée

Détermination de la déformée d’une poutre en flexion

Méthode par intégration

Connaissant l’équation des moments fléchissants Mz en fonction de x, la pente y’ et la déformée y sont obtenues par intégrations successives à partir de :

avec Mz: le moment fléchissant (équation en x)E: le module d’élasticité longitudinale (MPa)IGz = Iz : le moment quadratique de la section par rapport

à l’axe (G, z) (mm4)d2y/dx2: la dérivée seconde par rapport à x de la déformée y

Remarque

les constantes d’intégration successives sont calculées à partir des conditions auxlimites imposées par la position et la nature des appuis, ou encore par la formegénérale de la déformée.

2

2

dx

ydIEM GZZ

Exemples de conditions aux limites