Chapitre XVTable desmatiresIndexthmatique T ECHNIQUES DE PRVISION Grer cest aussi prvoir. Aprs avoir examin la problmatique prvisionnelle(section I), nous tudierons les ltres linaires qui sont les plus utiliss en gestion(section II, page 1007), avant daborder les techniques de prvision qui se fondentsur des historiques complets (section III, page 1071). S ECTION I P RSENTATION DE LA PROBLMATIQUE PRVISIONNELLE DANS LES CHRONIQUES Les chroniques que lon appelle encore sries temporelles ou sries chrono-logiques correspondentunesriedobservations(ponctuellesouagrges)effectues au cours de priodes ou des instants donns et qui sont ordonnesselon leurs dates dobservation. Prvoir partir de chroniques, cest utiliser lesinformations du pass dune (ou plusieurs) chronique(s) pour fournir la valeur laplus probable dune chronique donne pour une ou plusieurs priodes venir.Avanttoutetudedunechronique,desnsdeprvision,ilconvienttoutdabord (voir I-1) de redresser la srie pour en liminer les variations acciden-telles dont lorigine est parfaitement connue (grve, etc.) et qui ne sauraient fairelobjet de prvisions normales. Ensuite, il faut analyser la srie redresse pourvoir quel type de srie temporelle on a affaire. Ce problme typologique seraabord au I-2, page 987, et lon examinera au I-3, page 997, comment dcelerlexistence de cycles dans une chronique. Il faudra enn slectionner une tech-nique de prvision adapte aux problmes classiquement rencontrs en entreprise.Une prsentation sommaire des techniques disponibles sera faite au I-4, page1005; on y justiera la slection des techniques qui seront prsentes dans lessections II et III. LaversionCD-Romdecechapitrepermetdaccderdirectementunlogicielexploitant les principales techniques dcrites dans ce chapitre. La prsence duneicne en marge du texte (comme celle figurant dans cette page) indique la possibilitdutilisation de la technique dcrite dans le texte et le lien hypertextuel plac sur cetteicne permet daccder lexemple numrique utilis dans le texte. Les figures ettableaux reproduits dans ce chapitre qui auraient pu tre tablis partir de ce logicielne lont pas t pour des raisons de lisibilit. Vous avez la possibilit de crer vospropres exemples pour exploiter les possibilits offertes, mais ce logiciel na quunevocation pdagogique et ne prtend en aucun cas, concurrencer les quelques logicielsprofessionnels qui existent dans ce domaine 1 . 1. Voir avertissement de la note du bas de la page 8 . 982 Gestion de la production et des uxI-1 Redressement pralable des chroniques La chronique tudie doit porter sur un phnomne homogne. Cette remarqueimplique concrtement dans les entreprises que, dans les procdures denregistre-ment de la demande, soient bien dissocies les commandes exceptionnelles (dif-ciles prvoir) ou celles passes par les gros clients rguliers (trs encadrescontractuellement) de celles passes par les petits clients, dont il est possible deprvoir globalement le comportement statistique, du moins sur le court terme.Pralablement toute analyse dune chronique, il convient dans bien des cas deprocder un nettoyage pralable de la chronique, moins que les techniquesdenregistrement des donnes ne rendent cette prcaution inutile. Il sagit, en effet,dliminer des perturbations importantes dont lorigine est parfaitement connue,pour pouvoir rechercher les caractristiques structurelles des chroniques tudies.Lepremierredressementconcernelingalitdelalongueurdespriodes,lorsque ce problme se pose. Certaines irrgularits se reproduisent de cycle encycle: par exemple sur les sries mensuelles, les mois comportent 28 (ou 29) jourspour le mois de fvrier et 30 ou 31 pour les autres mois, dune anne sur lautre.Commeonleverra,cesirrgularitspeuventtreliminesouconsidrescomme tant de nature saisonnire. Plus ennuyeux est le problme dune activitquiseffectuedefaonintermittente.Parexemple,denombreusesusinesnetravaillent que 5 jours par semaine et, pour un mois donn, le nombre de week-ends, et donc le nombre de jours ouvrables, varie dune anne sur lautre. Il fautalors redresser les informations mensuelles au prorata du nombre de jours effectifsdans le mois considr. Si lanne considre comporte 260 jours ouvrables, lemois standard comporte alors 260/12 = 21,67 jours (en supposant que lentreprisetravaille sur 12 mois); si lactivit dun mois donn est de 15325, pour un mois de20 jours ouvrables, on corrigera cette valeur par le ratio 21,67/20, ce qui donne uneactivit corrige de 16602.La dnition du nombre de jours ouvrables du mois standard peut tre encoreplus dlicate que ne le laisse penser cet exemple. En effet, une source de variationpossible (mais non obligatoire) de lactivit dune anne sur lautre est lingalitobserve du nombre de jours ouvrables par an. En pareil cas, on aura intrt effectuerlecalculdunombredejoursouvrablesdenotremoisstandardsurlensemble des annes tudies, au lieu dtablir un mois standard diffrent paranne. Toutefois, cette dernire mthode prsente linconvnient dobliger tous lesanscorrigerlintgralitdeschroniquesbrutesdisponiblesenfonctiondunouveau standard calcul. Cest pourquoi, certaines entreprises prfrent travaillersystmatiquement avec le mois standard dune anne de rfrence qui devient, enquelque sorte, lanne normale. Lorsque la notion de jour ouvrable ne simposepas, une correction similaire celle dcrite prcdemment peut seffectuer sur labase du nombre total de jours par mois.Dans certains cas (activit commerciale par exemple), le nombre de lundis, demardis,dumois,expliqueunepartiedesvariationsconstatesdunmoislautre.Onutilisedanscecaslatechniqueprcdente,maisenraisonnantennombre de journes standard. La conversion dun nombre de jours ouvrables ennombre de jours standard seffectue partir dun tableau de correspondance assi-gnant une valeur chaque jour ouvrable de la semaine. Ces valeurs sont obtenuesTable desmatiresIndexthmatique Chapitre XV - Techniques de prvision983partirdelanalysedelarpartitionduchiffredaffairesdansunesemainetype, en effectuant le rapport du chiffre daffaires dun jour donn, au chiffredaffaires moyen quotidien, comme lillustre le tableau 276. Selon la nature duproblme pos et du degr de prcision souhait, cette analyse sera effectue auniveau dun rayon, dun magasin ou dun groupe de magasins (ou de rayons iden-tiques de plusieurs magasins).Supposons, par exemple, que dans ce magasin le chiffre daffaires slve 3750000 dollars liduriens en janvier 2001, et que le nombre moyen mensuel dejoursouvrablesstandardsoitde26.Connaissantlesjoursouvrablesdejanvier 2001 (voir tableau 277), il est facile de dterminer le nombre de jours stan-dardcorrespondantpourcemois.Lechiffredaffairescorrigdumoisdejanvier 2001 slve donc 3750000 x 26/25,375 = 3842365 dollars liduriens,pour le rayon tudi. Ajoutons enn que les corrections de lingalit du nombrede jours ouvrables par mois (ou trimestre ou semestre) conduit inluctablement observerquelecumulannueldesdonnescorrigesneconcideplusaveclecumul annuel des donnes non corriges (mais, dhabitude, la diffrence est rela-tivement trs faible).Le mode de correction que lon vient de prsenter ne peut tre utilis lorsque lephnomnetudiconduitdefaiblesvaleurspourledcoupagespatialettemporel retenu, car on aboutit alors des valeurs quil est impossible darrondirsans vider de sens la correction de lingalit du nombre de jours ouvrables. Parexemple, lorsque lon sintresse la demande mensuelle de pices dtachesdun concessionnaire automobile, les rfrences existantes sont, pour la plupartdentre elles, trs peu demandes, voire pas demandes certains mois. En pareilcas, devant linutilit de procder une correction de lingalit du nombre dejours ouvrables, il ne reste plus qu prconiser lutilisation de priodes compor-tant le mme nombre de jours ouvrables, par exemple un multiple dun nombreentier de semaines, moins dutiliser un dcoupage temporel moins n. En toutT ABLEAU 276 Dtermination du nombre de jours standard reprsent par chaque jour de la semaine Jours de la semaine Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi Samedi Total MoyenneChiffre daffaires(Millions de dollars liduriens)3 5 6 7 11 16 48 8Conversion en jours standard 0,375 0,625 0,750 0,875 1,375 2,000 6 - T ABLEAU 277 Calcul du nombre de jours standard du mois de janvier 2001 Jours Lundi Mardi Mercredi Jeudi Vendredi Samedi TotalNombre mensuel de joursobservs 4 5 5 4 4 4 26standard . = nombre mensuel de jours observs x conversion en jours standard (donne au tableau 276); exemple pour lelundi : 4 x 0,375 = 1,500. 1,500 3,125 3,750 3,500 5,500 8,000 25,375Table desmatiresIndexthmatique 984 Gestion de la production et des uxtat de cause, lutilisation de priodes gales ne rsout pas les problmes occa-sionns par certaines perturbations (prsence de jours fris, grves), sauf sil ya report de la demande au sein de la mme priode.Les tableaux 278 et 279 illustrent ce point. Ils ont t tablis partir dunemme simulation de 2600 demandes journalires suivant la mme loi de Poissonde paramtre 0,5. Le nombre 2600 correspond 5 jours ouvrables pendant 52semaines sur 10 ans, sans prise en compte des jours fris ni des annes bissex-tiles. La moyenne journalire retenue conduit une demande moyenne annuellede 130. Le tableau 278 dcrit une srie annuelle comportant 13 priodes de 4semaines, chaque priode comportant donc un nombre constant de jours ouvra-bles.Lareconstitutiondedonnesmensuelles(tableau279etgure234)atralise pour montrer les distorsions souvent introduites par cette manire habi-tuelle de procder, notamment dans lidentication du processus caractrisant lademande. En effet, le test du (voir tableau 281 de la page 986), habituellementutilispourjugerdelaplusoumoinsgrandeadquationdeladistributionobserve avec une distribution thorique de rfrence (ici une loi de Poisson dontlamoyenneestestimepartirdelasriereconstituedobservationssoitmensuelles soit sur des priodes de 20 jours), conduit une valeur calcule du nettement plus forte avec la chronique mensuelle (15,1 qui correspond un risquelimite denviron 10%, de rejet tort de lhypothse selon laquelle les carts entrela distribution observe et la distribution thorique sont imputables aux uctua-tionsdchantillonnage)quaveclachroniquesurdespriodesde20joursouvrables (6,9 qui correspond un risque limite de rejet tort, denviron 70%).On peut ajouter que la solution suggre ne modie pas sensiblement limpor-tance des chiers dtenus par lentreprise, ni les modes de raisonnement (on verracependantquecetypedechroniques,caractrispardesvaleursfaiblesouT ABLEAU 278 Demandes par priodes de 20 jours ouvrables tablies partir de la simulation de 2600 demandes quotidiennes . Voir la reprsentation graphique de cette chronique la gure 234, page 986. AnneNumro de priodes (de 20 jours)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 10 12 11 14 5 8 10 6 11 8 13 11 12 131 2 8 7 16 8 8 6 13 6 10 8 13 7 7 117 3 7 12 6 13 11 14 12 9 8 13 15 10 11 141 4 12 12 13 14 10 7 7 13 8 6 7 7 11 127 5 5 4 12 9 14 6 11 8 7 12 12 7 9 116 6 12 12 12 18 8 9 15 7 6 17 13 5 8 142 7 13 10 11 12 10 8 9 15 11 5 10 9 10 133 8 7 9 9 7 12 11 9 6 9 15 8 8 10 120 9 8 7 10 4 8 13 11 8 13 13 10 12 16 133 10 11 9 9 14 9 11 9 12 8 11 6 12 10 131 93 94 109 113 95 93 106 90 91 108 107 88 104 1291Table desmatiresIndexthmatique22 Chapitre XV - Techniques de prvision 985souvent nulles, pose un problme particulier quant au choix des ltres linairesutilisables).Seposegalementleproblmedincidentstelsquelesgrves,rupturesdapprovisionnement entranant une baisse momentane dactivit. On peut 1 entenir compte en diminuant dautant le nombre de jours de rfrence de lanne, etdu mois considr, condition toutefois que ne se produise aucun phnomne derattrapage (cest--dire de demande dont la satisfaction peut tre diffre). Dansle cas contraire, il est prfrable de procder une estimation mme trs grossiredes jours dactivit rattraps et de leur rpartition dans le temps.T ABLEAU 279 Demandes mensuelles tablies partir de la simulation de 2600 demandes quotidiennes et du tableau 280 du nombre mensuel de jours ouvrables PriodesMois1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 15 10 14 8 8 10 10 9 7 16 12 12 131 2 8 9 15 9 7 12 11 9 9 13 8 7 117 3 7 12 8 14 13 15 12 10 12 14 13 11 141 4 12 12 19 11 9 7 12 12 7 7 7 12 127 5 5 5 14 7 16 9 9 8 9 13 12 9 116 6 13 12 15 16 8 18 8 8 11 19 6 8 142 7 15 10 10 15 8 13 12 13 8 9 9 11 133 8 8 8 9 8 16 10 10 8 12 12 9 10 120 9 8 8 9 5 12 13 10 12 14 11 13 18 133 10 12 9 11 13 10 11 13 10 11 9 11 11 131 103 95 124 106 107 118 107 99 100 123 100 109 1291 . Voir illustration de cette chronique la gure 245, page 1035. T ABLEAU 280 Nombre de jours ouvrables PriodesMois1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121 23 20 21 22 22 21 23 21 22 23 20 22 2 22 20 22 22 21 22 23 21 22 22 21 22 3 21 20 23 22 21 22 22 22 22 21 22 22 4 21 20 23 21 22 22 21 23 22 21 22 22 5 22 20 23 20 23 22 21 23 21 22 23 20 6 23 20 22 21 23 21 22 23 20 23 22 20 7 23 20 21 22 23 20 23 22 21 23 21 21 8 23 20 21 22 22 21 23 21 22 23 20 22 9 23 20 21 22 22 21 23 21 22 23 20 22 10 21 20 23 22 21 22 22 22 22 21 22 22 1. Une autre mthode existe, lutilisation de variables indicatrices, emploi de rgression linaire multiple (voir III-1.1.2, page 1076).Table desmatiresIndexthmatique 986 Gestion de la production et des ux Le problme des jours fris et des ftes mobiles dont lincidence peut forte-ment varier, suivant leur place dans la semaine, est plus dlicat rsoudre. Eneffet, on peut procder de la mme faon que pour les incidents, ce qui du pointde vue de la recherche de rgularit sur le pass est sans doute prfrable, maisconduit des calculs complmentaires pour redresser les prvisions en fonctiondes jours fris venir. On peut galement considrer le particularisme de cesjours comme partie intgrante de la saisonnalit. Ce dernier point de vue, quidune certaine faon correspond une solution de facilit, ne peut tre adopt quesi le dcoupage temporel sy prte.Ces diffrents correctifs peuvent avoir pour effet dexpliquer dans certains casla quasi-totalit de uctuations que sans cela on aurait attribu une inuencesaisonnire, compliquant ainsi inutilement lanalyse des chroniques.T ABLEAU 281 Distribution de frquence des demandes priodiques (20 jours) et des demandes mensuelles SrieFrquenceDemandex et 2Test du25 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 mensuelleabsolue3 1 9 18 17 12 11 19 11 5 6 8 120 x = 10,762 = 15,1relative%2,5 0,8 7,5 15,0 14,2 10,0 9,2 15,8 9,2 4,2 5,0 6,7 100 2 = 8,68 10%priodes(20 jours)absolue6 9 14 18 14 13 14 17 12 5 4 4 130 x = 9,952 = 6,95relative%4,6 6,9 10,8 13,9 10,8 10,0 10,8 13,1 9,2 3,9 3,1 3,1 100 2 = 8,16 70%68101214161812 24 36 48 60 72 84 96 108 120FIGURE 234Chronique mensuelle du tableau 279moisTable desmatiresIndexthmatiqueChapitre XV - Techniques de prvision987Enn, lorsque lon travaille sur des chroniques en valeur, il est parfois prf-rable dliminer pralablement lincidence de lination sur lvolution observedu phnomne tudi, surtout si le rythme dination varie sensiblement dunepriode lautre. Un indice des prix1 sera alors utilis pour dater la srie brute,pourseramenerauxconditionsconomiques dunepriodederfrence,comme lillustre lexemple du tableau 282.Pour une analyse plus approfondie de ces points, vous pouvez vous reporter auchapitre III, II-2.2.3, page 182, pour la prise en compte de lination dans lescalculs conomiques et auchapitre XVII, pour lusage des mathmatiques nan-cires.I-2 Typologie des chroniquesOn peut dcomposer les chroniques les plus complexes en trois composantes,mais bon nombre dentre elles nen possdent que deux, voire une seule2:- une composante tendancielle, appele encore trend, que lon notera ( I-2.1, page 987);- unecomposantecyclique,appeleencorecomposantesaisonnire,quelon notera ( I-2.2, page 988);- une composante alatoire, appele encore perturbation alatoire ou termersiduel, que lon notera ( I-2.3, page 989).Onexaminerasuccessivementcesdiffrentescomposantesavantdevoircomment elles se combinent.I-2.1 Composante tendancielleElle est de nature dterministe et se dcrit par une fonction continue et drivabledans laquelle le temps est la seule variable explicative. La composante tendan-cielle dcrit les tendances lourdes dun phnomne sur longue priode (plusieursannes) et est la seule composante susceptible de faire lobjet dune approche de1. Voir Giard (1995, [182]), chapitre I, II.2.24.TABLEAU 282Exemple de dation dune sriePriode t Janvier 2001 Fvrier 2001 Mars 2001 Avril 2001Indice de prix (base 100 janvier 1991)117,2 116,9 117,3 117,5Observation 1000 1130 950 1220Valeur date(aux conditions de janvier 1991)853 (=) 967 810 10382. Certains auteurs comme Lewandowski (1979, [281]), p. 40, ajoutent linuence des variations calendaires, desftes mobiles et mme les variations climatiques (lorsquelles jouent un rle, ce qui est le cas pour la consom-mation de boisson par exemple) que nous considrons ici comme relevant du redressement pralable de la srie,mais techniquement le rsultat est le mme. Lewandowski ajoute en outre une composante correspondant linuence des actions spciales en marketing (campagne promotionnelle de lentreprise ou de ses concurrents);la quantication de cette composante lorsquelle intervient, est fondamentale, tant dans une optique dun marke-ting mix optimal que dans ses incidences sur la politique dapprovisionnement. Mais sa quantication est trsdlicate (voir Lewandowski (1979, [281]), chapitre IV, et plus particulirement les p. 219 228) et dpasse lepropos introductif que lon sest x dans ce chapitre.Table desmatiresIndexthmatique10001,172-------------ftctt988 Gestion de la production et des uxtype causal, cest--dire dtre explique par un modle conomtrique faisantdpendre la variable tudie, dune ou plusieurs autres variables.Cette composante tendancielle est le plus souvent dcrite par une fonction poly-nomiale en t, de degr n, avec n = 1 ou 2 (mais trs rarement n > 2):,ou.Onutilisegalementassezsouventlafonctionpuissancepour dcrire des volutions de type exponentiel :, ou (avec) et, pour certaines chroniques susceptibles de faire lobjet dun phno-mnedesaturation,onutiliseencoredautreslois,commelaloilogistique1.La dtermination dune fonction du temps associable la composante tendan-cielle nest pas toujours possible, si lon raisonne avec un dcoupage temporelassez n. Cest le cas, en particulier, si lon tudie des chroniques de produitsfaisantlobjetdecampagne:parexemple,pourunfabricantdebouteilles,lemarch des cols de vins du Beaujolais vendus pour la mise en bouteille, dpendfondamentalement de limportance de la rcolte de lanne et dune dcision destockage ou de dstockage prise par des organisations professionnelles: lvolu-tion tendancielle du march des cols de Beaujolais seffectue donc par palier et nadonc de sens que pour une campagne complte (ne concidant pas avec lannecivile) et non au niveau de donnes mensuelles (ce qui conduit, comme on le verra, une dtermination bien particulire de la composante saisonnire).I-2.2Composantes cycliquesLactivit conomique connat une superposition de rythmes naturels. Si onprend par exemple la demande de transport des voyageurs, celle-ci connat desuctuations importantes au cours dune journe, uctuations qui se reproduisentavecrgularitparcequeletransportestliuneactivitprofessionnelleouscolaire, elle-mme soumise des horaires dune grande stabilit. Des uctuationshebdomadaires se superposent ces uctuations journalires, elles sont lies desusages professionnels et aux migrations personnelles du week-end. ces uctua-tions sajoutent galement des uctuations mensuelles lies des habitudes devacances, et des super-pointes, dont limportance est lie la plus ou moins grandeproximit de ftes mobiles et de week-ends.Ces diverses uctuations ne se retrouvent pas ncessairement dans les chroni-ques tudies, car celles-ci peuvent correspondre des donnes plus ou moinsagrges. Lune des composantes de cette agrgation de donnes est le dcoupagetemporel retenu, lequel est largement tributaire du but poursuivi dans la constitu-tion de la chronique, ou, sil sagit dun sous-produit dune activit de gestion,du rythme de cette activit (priodicit lie une gestion de stocks de typecalendaire, par exemple).Ce qui caractrise avant tout la composante cyclique, cest sa priodicit, cest--dire que le comportement de la valeur observe pour une priode t quelconquesexplique, par rapport au trend (lorsque ce dernier existe), par la valeur observepour une priode t k, k tant la priodicit. La combinaison du trend et de lavaleur cyclique sera tudie au I-2.4, page 994. Lanalyse de la composantecyclique amne 3 remarques.1. Pour une prsentation de ces lois, voir Giard (1995, [182]), chapitre VI, I.3.Table desmatiresIndexthmatiqueftat b + =ftat2bt c + + =ftf0Bat= ftf0ebt=Baeb=fta b ect+ ( ) =Chapitre XV - Techniques de prvision989- Toutdabord,plusieurscyclespeuventsesuperposer,autrementditilestpossible de dcomposer la composante cyclique en plusieurs composantes chtde priodicits diffrentes kh.- Ensuite, dans un cycle donn, les composantes cycliques ne sont pas forc-ment toutes signicativement diffrentes les unes des autres: par exempledansunechroniquemensuelle,ilsuftqueleseulmoisdaotaituncomportement diffrent des autres mois pour que lon parle dun cycleannuel. Bien souvent les paramtres saisonniers mis en vidence dans destudes sommaires de chroniques nen sont pas et sexpliquent en ralit parles perturbations alatoires qui (pour reprendre notre exemple), sur un mmemois donn et sur plusieurs annes, ont trs peu de chances de se compenser(ce point sera illustr la n du page 996).- Ennlacomposantecycliquepeut,elle-mme,connatreunevolutiontemporelle, mais, pour reprendre notre exemple, la rfrence de temps decette volution nest alors plus le mois, mais lanne. La dtection de cettevolution suppose que lon dispose de chroniques assez longues. Certainestechniques de prvision (mais pas toutes) intgrent ces volutions de compo-santes cycliques, en particulier le modle de Holt-Winters (cf. II-3.3, page1056) et les procdures de Box et Jenkins (cf. III-2, page 1083).I-2.3 Composante alatoireSa caractristique essentielle est dtre non dterministe: la composante ala-toire,laquellesersumentcertaineschroniques,peutcorrespondredesprocessus alatoires de nature bien diffrente. On sintresse plus particulirement trois dentre eux:- processus purement alatoire ( I-2.3.1),- processus alatoire dont les paramtres varient au cours du temps ( I-2.3.2,page 993),- processus stationnaires ( I-2.3.3, page 994).I-2.3.1 Processus purement alatoireLa variable alatoire suit1 un processus purement alatoire si la chroniquequelle gnre est une squence de ralisations de variables mutuellement ind-pendantes et de mme distribution de probabilit.Lindpendance des lois de probabilit implique en particulier que lesprancemathmatique et la variance de nimporte quelle perturbation alatoire soientindpendantes de sa date t (et, quelle que soit la priode t).Habituellement, si lesprance mathmatique nest pas nulle ( 0), on considrequeappartientlacomposantetendancielleetlontravaillesurlavariablecentre ( ) qui a mme variance (et une esprance mathmatique nulle). Celadit, cette faon de procder nest acceptable que pour quelques distributions deprobabilits, comme celle de la loi Normale car ce type de dissociation na pas desens pour des distributions de probabilits comme celle de la loi de Poisson, mmesilonpeutconsidrerdanscecas,quilyauctuationautourdunevaleur1. Voir Chateld (1975, [91]), p. 39-40.Table desmatiresIndexthmatiquectttEt( ) = Vt( ) 2=t990 Gestion de la production et des uxcentrale (la moyenne de cette loi de Poisson) laquelle peut sanalyser comme unecomposante tendancielle.Lindpendance mutuelle implique que la covariance de 2 perturbations ala-toires dcales dun nombre j quelconque de priodes soit nulle:;; Processus purement alatoirerelation 380Un processus purement alatoire est encore appel bruit blanc1. La loi suiviepar la variable alatoire peut tre quelconque, mais celle qui est la plus couram-ment utilise est la loi Normale, au point que, pour certains auteurs2, lappellationbruit blanc implique ncessairement la normalit des perturbations alatoires.Cesdiffrenteshypothsessontcellesquisonthabituellementutilisesenrgressionlinairepourpouvoirprtendrequelescoefcientsdergressionobservs sur un chantillon constituent des estimations correctes des paramtresinconnus dans la population-mre, et lhypothse de normalit des rsidus estgalement ncessaire pour juger par intervalle de conance les diffrents param-tres de rgression3.Un exemple de perturbations alatoires qui suivent un processus purement ala-toire caractris par une loi Normale dcart-type et de moyenne nulle,gnr sur tableur partir des fonctions statistiques et de gnrateurs de nombresalatoires4, est donn au tableau 283.Un certain nombre de chroniques se rsument souvent un processus purementalatoire de moyenne non nulle. Prenons le cas de la demande pour un articledonn pendant une priode de 20 jours ouvrables, suivant une loi Normale demoyenne 167, et dcart type 50 (ce qui correspond aux exemples duchapitre XII, I-1.1, page 772); une simulation alatoire de cette demande sur 25 priodes (de20 jours ouvrables) gnre la chronique donne en colonne 4 du tableau 284. Ilconvient toutefois de rappeler que lindpendance de la demande dune priodesur lautre nest ralise que si les procdures de gestion de stock de cet articlecontrent efcacement des comportements erratiques (achat de prcaution en casde rupture de stock, spculation la rupture de stocks). La colonne 5 du tableau284 sera utilise au I-2.3.2, page 993.Lanalyse de la demande dune rfrence peut tre pousse plus loin, notam-ment lorsque lon sintresse au secteur de la distribution et que lon peut consi-1. Ce terme, donn initialement par les ingnieurs ce type de processus, est li son comportement en analysespectrale; voir Kendall (1973, [260]) p. 99.2. par exemple Anderson (1976, [15]) p 12-13.3. Voir, par exemple, Giard (1995, [182]), chapitre VI, II.1 et II.2.TABLEAU 283Gnration alatoire de 12 ralisations de la loi N (0,10)t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 128,27 0,22 8,10 20,97 3,31 11,22 7,29 7,55 0,05 14,33 1,61 2,954. Par exemple, sous Excel (en localisation franaise), cette gnration alatoire de ralisations dune variablealatoire suivant la loi N (0; 10) est obtenue par la formule: = LOI.NORMALE.INVERSE(ALEA();0;10).Table desmatiresIndexthmatiqueEt( ) = Vt( ) 2= COVtt j +, ( ) 0 = ,j t10 =tChapitre XV - Techniques de prvision991drerquelonestenprsencedephnomnesstationnaires(dumoinssurunhorizon sufsant). En effet, dans ce contexte, la demande qui sexprime, au coursdun intervalle de temps donn T, est le rsultat de la combinaison de deuxfacteurs: le nombre de clients ayant demand cette rfrence et la demande (suprieure zro) effectue par chacun des clients i (i variant de 1 ). La gn-ralisation des codes barres et lintroduction rapide de scanners ou de crayonsoptiques, dans le secteur de la grande distribution, permet maintenant une saisieaise de ces informations. Lorsque lintervalle de temps considr et lesprancemathmatique du nombre de clients sont assez grands et que les demandesindividuelles sont indpendantes dans le temps, on retombe assez classique-mentsurunedistributionnormaledelademandesurlapriode(envertuduthorme de la limite centrale). Dans le cas contraire et notamment lorsque lonsintresse un article durant une priode correspondant un dlai dobtentionrelativement courte, lanalyse de la demande est plus complexe; on y consacrerale I-2.3.1.1. Le problme se complique singulirement lorsque le dlai dobten-tion est lui-mme alatoire (cf. I-2.3.1.2, page 992). Ces problmes seront traitsassez sommairement ici ; le lecteur intress par une analyse des travaux conduitsdans ce domaine pourra consulter Bagchi, Haya et Ord (1984, [27]).TABLEAU 284Simulation de processus purement alatoire (colonne 4)et avec tendance (colonne 5)tAla Ft ut P (U < ut) = Ftxt *zt t Ala FtutP (U < ut) = Ftxtzt1 796 0,8274 20821114 791 0,8099 2072442 491 0,0226 16617015 263 0,6341 1351673 791 0,8099 20721516 675 0,4538 1902304 982 2,0969 27228317 413 0,2198 1561955 630 0,3319 18419518 391 0,2767 1531946 131 1,1217 11112219 938 1,5382 2442997 233 -0,729 13114420 656 0,4016 1872388 775 0,7554 20522521 995 2,5758 2963659 502 0,005 16718722 885 1,2004 22729010 76 1,4325 9511323 20 2,0537 6410511 564 0,1611 17520124 421 0,1993 15721512 616 0,295 18221025 971 1,8957 26234013 448 0,1307 160190- - - - -. Nombres extraits dune table de nombres au hasard = frquence cumule alatoire (unit 1000).. Variable centre rduite correspondant la frquence cumule de la colonne prcdente (loi Normale).*. Gnration alatoire du processus purement alatoire N (167; 50), partir de la variable centre rduite alatoirede la colonne prcdente.. Gnration alatoire du processus alatoire dont les paramtres varient au cours du temps, introduit en exempleau I-2.3.2, page 993:.Table desmatiresIndexthmatiqueLt( ) N 167 1 01274 ,t ; 50 1 01274 ,t 2 / ( )=nTdinTnT992 Gestion de la production et des uxI-2.3.1.1Intervalle de temps certainDans le cas discret, lanalyse de la demande fait appel assez classiquementaux modles statistiques suivants: loi binomiale, loi de Poisson, loi binomialengative et loi gomtrique. La slection dun modle nest pas aise, mais lonpeutguiderlarexionsurdesconsidrationsdeforme(symtrie)etsurcertainescaractristiquesanalytiquestellesquelerapportdelavariancelamoyenne (rapport gal 1 pour la loi de Poisson, infrieur 1 pour la loi binomialeet suprieur 1 pour la loi binomiale ngative). Dans le cas continu, il pourra trefait appel de nombreux modles et notamment ceux de la loi Normale (cassymtrique) et de la loi gamma (dissymtrie). Certains de ces modles, en parti-culier ceux permettant davoir des valeurs ngatives ou nulles, doivent tre adapts(distribution tronque) pour pouvoir prtendre dcrire correctement la demandeportant sur un bien ou un service. Le problme de la reconnaissance du modleappropri nest pas facile, compte tenu de la taille des chantillons habituellementdisponibles et des problmes de uctuations dchantillonnage qui en rsultent.Frquemment, les risques de rejet tort de plusieurs solutions alternatives sontvoisins, ce qui rend le choix nal difcile et partiellement arbitraire.En ce qui concerne la modlisation de la distribution du nombre de clients parunitdetemps,lemodleleplusfrquemmentutilisresteceluidelaloidePoisson. La combinaison des distributions thoriques de la demande dun clientavec celle du nombre de clients, sur une priode T, donne quelques rsultats analy-tiques dcrits dans des ouvrages spcialiss comme celui de Kendall et Stuart(1976, [261]) et dans larticle synthtique de Bagchi, Haya et Ord (1984, [27]). Onpeut citer notamment :- une demande suivant une loi de Bernouilli (loi binomiale dans laquelle n= 1) se combine avec un nombre de clients suivant une loi de Poisson pourdonner une loi de Poisson (pour la demande);- une demande suivant une loi logarithmique se combine avec un nombre declients suivant une loi de Poisson pour donner une loi binomiale ngative;- unedemandesuivantuneloibinomialesecombineavecunnombredeclients suivant une loi binomiale pour donner une loi binomiale;- unedemandesuivantuneloibinomialesecombineavecunnombredeclients suivant une loi de Poisson pour donner une loi de Poisson.I-2.3.1.2Intervalle de temps alatoireLorsqueladistributiondedemandeparintervalledetempsestconnue(ventuellement, aprs une tude du type de celle qui prcde) et que lon sint-resse la distribution de cette demande sur un intervalle de temps alatoire, ondispose galement de quelques rsultats analytiques:- unedemandesuivantuneloiexponentiellesecombineavecuneduresuivant une loi gomtrique pour donner une loi exponentielle;- unedemandesuivantuneloidePoissonsecombineavecuneduresuivant une loi exponentielle pour donner une loi gomtrique;- une demande suivant une loi de Poisson P (m) se combine avec une duresuivant une loi Normale N (m, s) pour donner une distribution de Hermite(pour m> m . s2);Table desmatiresIndexthmatiquedidinTdTdididTdTdTChapitre XV - Techniques de prvision993- un rsultat analytique est disponible pour le cas de la demande suivant uneloi de Poisson se combinant avec dure suivant une loi Normale tronque;- une demande suivant une loi Normale se combine avec une dure suivant uneloi exponentielle pour donner une loi exponentielle tronque;- un rsultat analytique est disponible pour le cas de la demande suivant uneloi Normale se combinant avec une dure suivant une loi gamma.Dun point de vue pratique, le nombre de rsultats analytiques disponibles estrelativement faible et mme quasiment inexistant si lon cherche combiner lestroiscomposantes( ,,T).Enoutre,lexistencedesolutionanalytiquenimplique pas que la solution trouve soit facile mettre en uvre dun point devue numrique. Pour cette raison, lapproche simulatoire peut tre utilise pourfournir une estimation des probabilits recherches. De nos jours, il est possibledavoir immdiatement une bonne reconstitution de la distribution de probabilitrsultant de la combinaison des distributions de probabilit (thoriques ou empi-riques) de ces composantes, en utilisant certains add-ins de tableur (par exemple,@risk et Excel1). Sil est ncessaire dinclure ces reconstitutions de distributiondans des programmes de gestion pour des prises de dcision automatiques, il suftde reprendre dans louvrage de Fishman (1978, [150]) les algorithmes disponiblespour la vingtaine de modles de probabilit les plus usits et qui utilisent des gn-rateurs de nombres alatoires.I-2.3.2 Processusalatoiredontlesparamtresvarientaucoursdu tempsOn classera dans cette catgorie les processus alatoires dont les ralisationssont indpendantes dune priode sur lautre, mais dont les paramtres voluentau cours du temps. Cette volution est de nature dterministe, mais son observa-tion est des plus difciles puisque chaque observation est une ralisation dunevariable alatoire diffrente des prcdentes. Pour bien faire comprendre ce point,nous utiliserons un exemple numrique, mais auparavant rsumons les propritsde cette classe de processus alatoire:;;Processus alatoire dont les para-mtres varient au cours du temps relation 381Illustronsparunexemplecetypedeprocessus :silademandedelarticletudie prcdemment saccrot en moyenne et en variance de 20% par an et silanne comporte 288 jours ouvrables, ce qui correspond un taux de croissancede 1,274% par priode de 20 jours ouvrables, la demande pour la priode t suivralaloiNormale:.Lacolonne 5dutableau 283 (page 990) fournit une simulation de 25 occurrences de cette variablealatoire.Le problme pratique qui se pose lorsque lon rencontre de telles chroniques estcelui de lidentication de leurs lois dvolution. La gure 235 de la page 994retrace les droites de Henry correspondant aux colonnes 4 et 5 du tableau 283 dela page 990 et leurs quations de rgression (sur les variables centres rduitescorrespondantes2). Une analyse un peu rapide peut laisser croire, dans le second1. Voir Giard (1995, [182]), chapitre II, II.3Table desmatiresIndexthmatiquedinTEt( ) t= Vt( ) t2= COVtt j +, ( ) 0 =Lt( ) N 167 1 01274 ,t ; 50 1 01274 ,t 2 / ( )=994 Gestion de la production et des uxcas, que la chronique tudie se rduit un processus purement alatoire, maislutilisation de ltres linaires (cf. page 1015) permet en ralit de dtecter laprsence dune volution affectant la moyenne du processus tudi.I-2.3.3 Processus stationnairesPar rapport au processus purement alatoire, le processus stationnaire se carac-trise par une dpendance de avec,, ,(k pouvant du reste tregal 1 et donc la dpendance se limiter une seule priode), la moyenne et lavariance de restant indpendantes de t. La dpendance entre et (avec jk),setraduitparlapropritsuivante :lacovarianceentreet (COV ) reste constante et ne dpend que du dcalage j et non de la date t:;; Processus stationnairerelation 382Uneprsentationrigoureusedesprocessusstationnairesncessite1defaireappel la notion de distribution de probabilit jointe, ce qui ne sera pas fait ici.Detelsprocessusserencontrentassezsouventetposentdesproblmesenrgressionlinaire,oleuroccurrencebiaiselesestimateursclassiquementutiliss ;maisonverraauIII-3,page1101,commentrglercesdlicatsproblmes.I-2.4Combinaison des composantes dune chroniqueLes diffrentes composantes dune chronique, le trend, la composantecyclique, et la perturbation alatoire, peuvent se combiner soit de faon addi-tive, soit de faon multiplicative. Toutes les combinaisons sont a priori possibles,mais en ralit trois dentre elles seulement sont habituellement utilises2:2. Voir Giard (1995, [182]), chapitre III, II.1.3, pour une prsentation de la rgression sur droite de Henry.1. Voir par exemple Chateld (1975, [91]), p. 35-36, Nelson (1973, [315]), chapitre V, Box et Jenkins (1970, [65])p. 26.50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300TX2,01,51,00,50,00,51,01,52,02,01,51,00,50,00,51,01,52,075 125 175 225 275 325TXFIGURE 235Droites de Henry sur les colonnes 4 et 5 du tableau 284 de la page 991T =

3,186 +0,018X (R 2 =

0,978)T =

3,186 +0,015X (R 2 =

0,962)Table desmatiresIndexthmatiquett 1 t 2 t k ttt j tt j tt j , ( )Et( ) = Vt( ) 2= COVtt j +, ( ) Kj=ftcttChapitre XV - Techniques de prvision995(modle 1)(modle 2)(modle 3)Le modle 1 est dit modle additif et le modle 2 modle multiplicatif. Lemodle 2 se ramne sans difcult au modle 1 en effectuant une transformationlogarithmique( ).Dansuncertainnombre de cas, on effectue une transformation logarithmique pour stabiliser lavariance, cest--dire pour empcher la variance de crotre avec t, lorsque crotlui-mmeavec t. Lemodle3quiestun modlemixte1estdunusagemoinsfrquent, et son tude analytique est plus dlicate. Toutefois, on en verra une appli-cation fort intressante avec le modle de Holt et Winters (cf. II-3.3, page 1056).En ce qui concerne la composante cyclique, on convient2 le plus souvent :- Pourlemodle1,quelasommedessuruncyclecompletestncessairement nulle, autrement dit quil y a compensation des uctuationssaisonnires au cours du cycle de faon ce quil ninclut aucun mouvementtendanciel.- Pourlemodlemultiplicatif,oneffectuelammehypothse,maissurlemodle 2 transform en logarithme. Si la somme des logarithmes des compo-santes cycliques est nulle, cela revient dire3 que leur produit est gal 1, ouencore que leur moyenne gomtrique est gale lunit.Cette hypothse de nullit de la somme des composantes cycliques dans le cas dumodle additif (ou sa transcription dans le cas du modle multiplicatif) estconnue sous le nom de principe de conservation des aires, mais en ralit elle nesimpose pas toujours, comme on le verra au III-1.1, page 1071. Lapplicationde ce principe implique que la composante alatoire a une esprance mathma-tique nulle dans le cas o cette composante joue additivement (modles 1 et 3) et avoir une esprance mathmatique gale 1 dans le cas o cette composantejoue de faon multiplicative (ce que lon justiera la page 1073 pour le modle2, la justication pour le modle 3 tant similaire).(principe de conservation des aires: modle additif) relation 383 (principe de conservation des aires: modle multiplicatif)relation 384Lexemple suivant illustre la diffrence entre ces 3 modles. On rfrencera parlindice supplmentaire 1, et (et) lorsque ceux-ci jouent de faon2. Note de la page prcdente. Voir Chateld (1975, [91]), p. 15-16.1. Un autre modle mixte, que lon utilise parfois est :.2. Voir Calot (1973, [82]) p. 355-357.3.; mais trs souvent, pour simplier les calculs, on se contente de, quidonne des valeurs proches. Lorsque cette galit nest pas respecte, on corrige alors les coefcients en les multi-pliant pardans le modle additif. Sur ce point, voir page 1019.Table desmatiresIndexthmatiquextftctt+ + =xtftct t =xtftct ( ) t+ =xtftctt = xtf logtc logt logt+ + = log xtxtftc1t = c2tt+ +ctcjlogj 1 =m0 cjj 1 =m 1 = = cjj 1 =mm =m cjj 1 =mcjj 1 =m0 =cjj 1 =m1 =cttc1t 1t996 Gestion de la production et des uxadditive, et par lindice 2 lorsquils jouent de faon multiplicative. Les chroniquessont trimestrielles et portent sur 3 ans. (incidence additive) (incidence multiplicative), avec gnration alatoire (cf. tableau 283, page 990)On peut noter, sur lexemple numrique du modle 1, que la composante ala-toire (gnre alatoirement ici) peut biaiser le jugement que lon porte sur lacomposante tendancielle, car une rgression linaire en t effectue sur les donne: = 1,004t + 8,169 (= 0,058) ou sur les composantes cycliques, carsi lon somme par trimestre les, on obtient- trimestre 1:8,27 + 3,31 + 0,05; moyenne = + 3,88- trimestre 2: 0,22 11,22 14,33; moyenne = 8,59- trimestre 3: 8,1 7,29 + 1,61; moyenne = + 0,81- trimestre 4 : 20,97 + 7,55 + 2,95; moyenne = + 10,49Cet exemple illustre bien la grande difcult quil y a dcomposer correctementune chronique en tendance, saisonnalit et perturbations alatoires.On utilisera comme exemple de chronique avec saisonnalit, trend et perturba-tions alatoires, une chronique de ventes du rayon de journaux de lhypermarchCasimouth dAlphaville, redresse pour tenir compte de lincidence des grvescorrige au prorata des jours ouvrables et de lination (cf. I-1, page 982). Lesdonnes sont fournies au tableau 286. Ce type de tableau, dans lequel on repreles annes en lignes et les mois en colonnes, est connu sous le nom de tableau deBuys-Ballot. La reprsentation graphique de cette chronique est donne la gure236. TABLEAU 285Construction de 3 modles partir des mmes composantstModle 1 Modle 2 modle 31 102,10 5 8,27 107,10 1,049 107,10 1,086 115,37 116,34 115,372 104,40 2 0,22 102,40 0,981 102,42 0,998 102,18 102,19 102,203 106,90 4 8,10 102,90 0,963 102,94 1,084 111,00 111,63 111,044 109,60 1 20,97 110,60 1,009 110,59 1,233 131,57 136,39 131,565 112,50 5 3,31 117,50 1,049 118,01 1,034 120,81 121,98 121,326 115,60 2 11,22 113,60 0,981 113,40 0,894 102,38 101,37 102,187 118,90 4 7,29 114,90 0,963 114,50 0,930 107,61 106,45 107,218 122,40 1 7,55 123,40 1,009 123,50 1,078 130,95 133,19 131,059 126,10 5 0,05 131,10 1,049 132,28 1,001 131,15 132,35 132,3310 130,00 2 14,33 128,00 0,981 127,53 0,866 113,67 110,50 113,2011 134,10 4 1,61 130,10 0,963 129,14 1,016 131,71 131,23 130,7512 138,40 1 2,95 139,40 1,009 139,65 1,030 142,35 143,83 142,60Table desmatiresIndexthmatiqueft100 2t 0 1t2, + + =c1t+ 5 ; -2 ; -4 ; +1 } =c2t1,049 ; 0,981 ; 0,963 ; 1,009 } =L1t( ) N 0 10 , ( ) =2te1t100 =ftc1t1tftc1t+ c2tftc2t 2tftc1t1t+ + ftc2t2t ftc2t ( ) 1t+tt2tChapitre XV - Techniques de prvision997I-3Dtection de la saisonnalitLa dtection de la saisonnalit dune chronique est moins vidente quil ne leparat de prime abord. Certes, lexprience et le bon sens sont irremplaables pourfournir des hypothses de saisonnalit, mais, bien souvent, lide que lon peut sefaire des uctuations temporelles dune demande se rsume une apprciationqualitative portant sur une ou deux superpointes ou super creux (les ftes deTABLEAU 286Ventes du rayon de ventes de journaux du Casimouth dAlphavilleJanvierFvrierMarsAvrilMaiJuinJuilletAotSeptembreOctobreNovembreDcembreTotalMoyenne1994 705 653 713 684 707 714 684 422 629 811 721 803 8246 6871995 831 765 815 830 756 811 746 504 774 762 695 680 8969 7471996 682 684 743 701 641 595 679 439 728 746 688 743 8069 6721997 689 741 815 719 730 764 626 456 757 786 778 762 8623 7191998 719 692 771 692 753 764 652 494 696 742 794 773 8542 7121999 901 815 900 846 883 811 766 584 761 863 773 751 9654 8052000 739 624 640 672 615 638 555 372 605 615 573 674 7322 610Total 5266 4974 5397 5144 5085 5097 4708 3271 4950 5325 5022 5186 59425 4952FIGURE 236Chronique de ventes du rayon de ventes de journaux du Casimouth dAlphaville3004005006007008009001000Ventes observesPriodeJanvier

1994Janvier

1996Janvier 1995Janvier

1997Janvier

1998Janvier

1999Janvier

2000Table desmatiresIndexthmatique 998 Gestion de la production et des ux n danne et le mois daot), sans forcment savoir si la saisonnalit est aussiforte pour tous les articles ou toutes les prestations. Un instrument utile de dtec-tion de la saisonnalit est le graphique superpos, cest--dire le report sur unmme graphique mensuel dune chronique annuelle (voir gure 237), mais il estbien souvent insufsant.Ilconvientdebiendistinguerdeuxproblmesdanscettedtectiondelasaisonnalit:- Lepremierestdesavoirsilexisteunrythmesaisonnier,sansseposerlaquestion de savoir si chaque priode constitutive dun cycle saisonnier a uncomportement rellement spcique; autrement dit, on peut dtecter unesaisonnalit pour une chronique annuelle dans laquelle deux mois seulementsont signicativement diffrents du comportement moyen caractrisantles dix autres mois.- Lesecondproblmeneseposequesilonarponduafrmativementaupremier; il sagit alors de quantier la saisonnalit de chaque priode cons-titutive dun cycle, et den dtecter le caractre plus ou moins signicatif.Lestechniquesquenousallonsaborderdansce I-3neconcernentquelepremier de ces deux problmes. La premire dentre elles est le corrlogramme, etla seconde lutilisation de tests statistiques.Table desmatiresIndexthmatique FIGURE 237 Graphique superpos des ventes du rayon de ventes de journaux du Casimouth dAlphaville 350400450500550600650700750800850900950JanvierFvrierMarsAvrilMaiJuinJuilletAotSeptembreOctobreNovembreDcembre1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 Chapitre XV - Techniques de prvision 999 I-3.1Le corrlogramme Le corrlogramme est la reprsentation graphique dune srie de coefcientsdautocorrlation. Aprs avoir dni le coefcient dautocorrlation ( I-3.1.1),nous en verrons linterprtation ( I-3.1.2, page 1002). I-3.1.1Le coefcient dautocorrlation Le coefcient dautocorrlation nest quun coefcient de corrlation un peuparticulier. Mais rappelons tout dabord ce quest le coefcient de corrlation rentre une variable Z et une variable Y : cest un indicateur statistique de la plus oumoinsbonneliaisonlinaireentrecesdeuxvariables Z et Y ,quelondnitcomme: dont les relations de dnition et de calcul sont : relation 385 Lapplication de cette relation sur le tableau de donnes ponctuelles 287 donne = 0,649. Si les couples dobservationportentsurlammevariable X ,avecundcalagedunepriode :et le coefcient de corrlation est alors appel coefcient dautocorrla- T ABLEAU 287Calcul du coefcient de corrlation entre Z et Yi1 16 13 208 169 2562 13 7 91 49 1693 7 18 126 324 494 18 24 432 576 3245 24 19 456 361 5766 19 15 285 225 3617 15 28 420 784 2258 28 30 840 900 7849 30 33 990 1089 90010 33 23 759 529 108911 23 32 736 1024 529n = 12 32 39 1248 1521 1024258 281 6591 7551 628621,50 23,42 549,25 629,25 523,83Table desmatiresIndexthmatiqueCOV Z Y , ( )V Z ( )V Y ( )------------------------------ =1n--- ziz ( ) yiy ( )i 1 =n1n--- ziz ( )2i 1 =n\ !( \1n--- yiy ( )2i 1 =n\ !( \----------------------------------------------------------------------------1n--- ziyi z y i 1 =n1n--- zi2z2i 1 =n\ !( \1n--- yi2y2i 1 =n\ !( \--------------------------------------------------------------------- = =yiziziyizi2yi2 ( ) ( )n--------549 25 21 5 , 23 42 , ,629 25 23 42 ,2 , ( ) 523 83 21 5 ,2 , ( )----------------------------------------------------------------------------------------- =yixt=zixt 1 =1000 Gestion de la production et des uxtion, le prxe auto tant ajout pour indiquer que lon travaille en ralit surla mme variable. Le calcul du coefcient dautocorrlation de la chronique dutableau288conduitrecrerletableau287delapage999quicomporte12couples de valeurs ( ,) et est tel :- que Y est une chronique constitue des 13 1 = 12 premires observations dela chronique X du tableau 288- et que Z est une chronique constitue des 13 1 = 12 dernires observationsde la chronique X du tableau 288.Le coefcient dautocorrlation est donc 0,649.Le dcalage retenu ici tait dune priode, mais on peut aussi bien retenir undcalage quelconque j. Si j = 3 par exemple, on tire de la chronique initiale unesrie statistique de 13 3 couples de valeurs ( ,), compose dune srie Y, cons-titue des 13 3 = 10 premires observations de la chronique X du tableau 288 etdune srie Z, constitue des 13 3 dernires observations, ce qui conduit autableau 289 partir duquel on obtient = 0,589.On peut dnir autant de coefcients dautocorrlation que de dcalages possi-bles (cest--dire ici 10, car, pour que le calcul du coefcient de corrlation gardeun sens, il faut au moins 3 couples de valeurs). Pour diffrencier ces coefcientsdautocorrlation, on les indice par le dcalage, cest--dire que lon utilise lanotation (dans notre exemple, nous avions donc = 0,649 et = 0,589), etlon parle de coefcient dautocorrlation dordre j (ou de coefcient dauto-corrlation de dcalage j).La gnralisation de ce qui vient dtre vu conduit un calcul du coefcientdautocorrlation dordre j, en deux temps:- formation des couples ( =, =),- puisapplicationdelunedesformulesprcdentescettesriestatistique( ,).maisonpeutgalementcondensercesdeuxtapesenune,laidedindicesappropris, les formules devenant alors:TABLEAU 288Chronique utilise pour introduire le coefcient dautocorrlationt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1316 13 7 18 24 19 15 28 30 33 23 32 39TABLEAU 289Calcul du coefcient dautocorrlation dordre 3i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1016 13 7 18 24 19 15 28 30 3318 24 19 15 28 30 33 23 32 39Table desmatiresIndexthmatiqueyizixtziyiyizij13jyixtzixt j +yizijChapitre XV - Techniques de prvision1001, do:relation 386Le corrlogramme nest autre que la reprsentation graphique des couples (k,), avec k en abscisse et en ordonne. La gure 238, correspond au corrlo-gramme de la chronique des ventes du rayon de Casimouth. La signication desbornes infrieures et suprieures sera faite au I-3.1.2, page 1004, o lon inter-prtera les rsultats trouvs. La mthode de Quenouille (cf. Kendall, [260], p. 93)est utilise ici1 (voir calculs du tableau 290 de la page 1002), car elle permet derduire de faon importante le biais obtenu en calculant directement le coefcientdautocorrlation dordre j sur lintgralit de la chronique. Mthode de Quenouille relation 387o rk est le coefcient dautocorrlation dordre k calcul sur la chronique initiale, est le coefcient dautocorrlation dordre k calcul sur la premire moiti decette chronique et est le coefcient dautocorrlation dordre k calcul sur laseconde moiti de cette chronique.Lexprience montre quil est souhaitable dtablir les corrlogrammes pourune valeur maximale de k correspondant deux fois le nombre de priodes du1.Cettemthodeestutilisersurdessriessufsammentlonguescarellerisqueautrement,encasdesriechaotique n de fournir des estimations aberrantes (cest--dire sortant de la fourchette [1; +1]).j1n j ---------- xt1n j ---------- xii 1 =n j \ !| |( \xt j +1n j ---------- xii j 1 + =n\ !( \| | | |t 1 =n j 1n j ---------- xt1n j ---------- xii 1 =n j | | | |2t 1 =n j 1n j ---------- xt j +1n j ---------- xii j 1 + =n| | | |2t 1 =n j ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- =Table desmatiresIndexthmatiquej1n j ---------- xtxt j +t 1 =n j 1n j ---------- xtt 1 =n j \ !| |( \1n j ---------- xtt j 1 + =n\ !( \1n j --------- xt2t 1 =n j 1n j --------- xtt 1 =n j \ !| |( \21n j ---------- xt j +2t 1 =n j 1n j --------- xtt j 1 + =n\ !( \2--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- =kkk2rkrkrk+2--------------- =rkrk1,00,60,40,20,40,80,201,00,60,80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26Dcalage kCoefficient dautocorrlation dordre kBorne infrieureBorne suprieureFIGURE 238Corrlogramme de la chronique des ventes de Casimouth.1002 Gestion de la production et des uxcycle prsum, plus 1. Dans le cas de donnes mensuelles et de prsomption duncycle annuel, cette rgle empirique conduit un corrlogramme portant sur 2 x 12+ 1 = 25 valeurs de coefcients dautocorrlation.I-3.1.2 Interprtation du coefcient dautocorrlationTout dabord, comme nimporte quel coefcient de corrlation, le coefcientdautocorrlation est compris entre 1 et + 1, et plus sa valeur absolue estproche de lunit, plus forte est la liaison entre et.Cette liaison peut impliquer lexistence dun cycle saisonnier de j priodes,plusieurs cycles pouvant dailleurs se superposer. Elle peut galement tre le signeque la composante alatoire suit un processus stationnaire (dni au I-2.3.3,page 994 et sur lequel on reviendra en dtail au III-2, page 1083), surtout si lespremiers coefcients dautocorrlation sont signicativement diffrents de zro.Ellepeutennsexpliquerparlexistenceduntrendlequelpeutounonsecombiner avec les composantes cycliques.Mais se pose alors un problme dapprciation. En effet, si lon se rfre aumodle thorique dun processus purement alatoire (voir dnition au I-2.3.1,page 989) qui est la seule chronique sur laquelle il ne reste plus rien expliquer,lescoefcientsdautocorrlationsonttousnuls(pour jdiffrentde0bienentendu).Oronnobserverapasdecoefcientsdautocorrlationstrictementgaux zro et certains peuvent ne pas tre signicativement diffrents de zro.TABLEAU 290Calculs du corrlogramme de la chronique des ventes de Casimouth (tableau 279 de la page 985) selon la mthode de Quenouille.Dcalage kCoefcient dauto-corrlation calcul sur la srie desDcalage kCoefcient dauto-corrlation calcul sur la srie des84 valeurs42 premiresvaleurs42 dernires valeurs84 valeurs42 premiresvaleurs42 dernires valeurs1 0,436 0,229 0,572 0,472 14 0,293 0,416 0,364 0,1962 0,221 0,059 0,372 0,227 15 0,228 0,117 0,391 0,2023 0,254 0,210 0,308 0,249 16 0,304 0,245 0,368 0,3024 0,099 0,055 0,221 0,115 17 0,354 0,141 0,526 0,3755 0,027 0,036 0,130 0,007 18 0,178 0,032 0,356 0,1626 0,157 0,071 0,236 0,161 19 0,292 0,371 0,409 0,1947 0,094 0,242 0,023 0,056 20 0,176 0,103 0,393 0,1048 0,109 0,217 0,043 0,088 21 0,103 0,281 0,385 0,1549 0,122 0,094 0,172 0,111 22 0,124 0,087 0,264 0,16010 0,275 0,306 0,266 0,264 23 0,145 0,461 0,005 0,06211 0,071 0,130 0,090 0,032 24 0,600 0,794 0,557 0,52512 0,352 0,369 0,244 0,398 25 0,126 0,099 0,176 0,11513 0,155 0,312 0,122 0,093k2rkrk rk +2----------------=k2rkrk rk +2----------------=rkrkrkrkrkrkTable desmatiresIndexthmatiquejxtxt j jChapitre XV - Techniques de prvision1003La thorie de la distribution dchantillonnage des coefcients dautocorrlationfournit un instrument dinterprtation du corrlogramme.Le coefcient dautocorrlation dordre j de la population mre, dont est (impli-citement)extraitenotrechronique,estnotetestinconnu.Celuiquelonobserve sur un chantillon de n j valeurs (tirs dune chronique de n termes) estle seul que lon connaisse en dnitive, et il sera not. Mais si lon suppose(dans labsolu) quil y a une innit dchantillons de taille n que lon peut extrairede la population mre, on peut dnir une variable alatoire que lon notera correspondantaucoefcientdautocorrlationdordrejobservabledansunchantillon de taille n, et qui est reprsentative de la distribution dchantillonnagedescoefcientsdautocorrlationdordrej(demmequelonnoteclassiquement fn la frquence dapparition dun caractre donn, observabledans un chantillon de taille n, et f celle observe dans un chantillon donn). Onmontre1, si = 0, que:relation 388cest--dire quen moyenne il faut sattendre (si lhypothse dune autocorrlationnulle est fonde) observer des coefcients plutt lgrement ngatifs et que:relation 389Lorsque les perturbations alatoires suivent en outre une loi Normale, ce quiest le cas la plupart du temps (alas provoqus par de trs nombreuses causes acci-dentelles,indpendantes,etdontaucunenestprpondrante)onpeutalorscalculer un intervalle de conance 95% pour tester lhypothse du bruit blancpuisque suit alors une loi Normale.relation 390Largleapproximativesuivante(quiconsidrecommenullelesprancemathmatique et approxime par 2, le classique 1,96) est souvent utilise: il ya 95% de chances que des coefcients dautocorrlation ne soient pas signicati-vementdiffrentsdezrolorsquilssontcomprisdanslafourchette.Cette rgle implique que, sur un corrlogramme de 20 coefcients non signica-tivement diffrents de zro, on dclarera en moyenne (cest--dire si la mmergleesttrssouventutilise)tortlundecescoefcientssignicativementdiffrent de zro.Dans la chronique de ventes du rayon de ventes de journaux du CasimouthdAlphaville,lapplicationdecettergledonneunefourchettede0,22.Lexamen du corrlogramme de la gure 238, page 1001, suggre tout dabordlexistencedunesaisonnalitannuelle(cequesuggraitdjfortementle1. Voir Kendall (1976, [260]), p. 92 pour lesprance mathmatique et p. 89, pour la variance. On peut ajouter quelon montre que est infrieur plus un terme de lordre de (voir [260], p. 90).Table desmatiresIndexthmatiquejrjrjnjV1n( )1n 1 ----------- n2 E rjn( )1n j ---------- =V rjn) (1n--- trjnL rjn) ( N1n j ---------- , 1n------- \ !( \=2 - n 1004 Gestion de la production et des uxgraphique superpos de la page 998), puisque et sont nettement signica-tifs et positifs. Ses coefcients dautocorrlation dordre 1, 2 et 3 sont signicati-vement positifs, et ceux dordre 14, 15,16 et 17 sont signicativement ngatifs.Ces informations seront exploitables, par comparaison avec des corrlogrammesde rfrence, dans le cadre des approches de type Box et Jenkins (cf. III-2,page 1083 et III-3, page 1101), mais, en cas dcart-type important, linterpr-tation du corrlogramme peut savrer difcile.On montre galement que, dune faon gnrale, la variance de la distributiondchantillonnage du coefcient dautocorrlation dordre j dpend de tous lescoefcientsdautocorrlation.Uneapproximationassezprcise(voir,parexemple Kendall, [260], p. 88) est donne par la formule de Barlett : Formule de Barlettrelation 391Mais la formulation approche que lon utilise en gnral, en supposant que etles coefcients dordre suprieur sont faibles, est la suivante:relation 392Uneutilisationdecetterelation392estfaitedanslescorrlogrammesdecechapitre1.I-3.2 Testsdhypothseducaractrealatoiredesuctuationsdune chroniqueCes tests2 ne prsentent dintrt que pour une dtection automatique sur un trsgrand nombre de sries, ou en cas de doute sur une srie particulire en compl-ment du corrlogramme. On ne prsentera ici quun seul test, reprsentatif de cetteapproche,sansdonnerdedmonstration.IlsagitduntestFishrien3surlenombre de points de retournement. Pour chaque observation t de la chronique, ondnit une variable auxiliaire susceptible de ne prendre que les valeurs 0 ou 1.Elle prendra la valeur 1, si lobservation constitue un point de retournement etla valeur 0 dans les autres cas, cest--dire que lon a:- (et) ou (et) -dans les autres cas de gure.1. Par exemple, dans le corrlogramme de la gure 238, page 1001, on a (en mettant les indices j et n sur le mmeniveau):2. Voir sur ce point Kendall (1976, [260]), chapitre II.3. Voir Giard (1995, [182]), chapitre VII, II.1.1.Table desmatiresIndexthmatiquer12r24jV rjn( )1n--- i2i j i j + 4iji j +2i2j + + } +jV rjn) (1n--- 1 2 i2i 1 =+\ !( \V rin( )184------ 0 0119 r1n , 0 109 intervalle , 0 2182 , - = = = =V r2n( )184------ 1 2 0 4712, + ( ) 0 0172 r2n , 0 131 intervalle , 0 2622 , - = = = =V r3n( )184------ 1 2 0 47120 2272, + , ( ) + } 0 0184 r3n , 0 1357 intervalle , 0 2714 , - = = = =ytxtxtxt 1 +> xtxt 1 > xtxt 1 +< xtxt 1 < yt1 =yt0 =Chapitre XV - Techniques de prvision1005On effectue ensuite le dcompte du nombre z de points de retournement sur lachronique des n observations1:. On montre2 que et et que z tend rapidement avec n, vers une loi Normale (disonspour xer les ides n > 30):relation 393Lapplication de ce test la chronique des ventes du rayon de ventes de jour-naux du Casimouth dAlphaville donne z = 49 et. Cettevariablezadonc95 %dechancesdesetrouverdanslafourchette, cest--dire dans lintervalle [47,17; 62,16]. Auvu du test, on serait donc tent de conclure au caractre alatoire. Or, ce seraitmanifestementuneerreur,carlexamengraphiquemontrebienlatrsgrandergularitdecomportementdumoisdaot.Cequiestvraisemblable,etlesanalyses ultrieures le conrmeront, cest que la saisonnalit nexiste que pourquelques mois et que, pour les autres, lalatoire est la rgle, cest--dire que lasaisonnalit nest pas signicative. Cet exemple montre bien le danger quil peuty avoir appliquer automatiquement des tests statistiques, du moins sur deschroniques prsentant un intrt vital pour lentreprise.I-4 Techniques de prvisionLa classication des techniques de prvision est, comme toute classication, enpartie arbitraire. Celle que lon propose au I-4.1 nchappe pas la rgle. Onexaminera ensuite au I-4.2, page 1007, selon quels critres doit seffectuer lechoix dune technique de prvision.I-4.1Typologie des techniques de prvisionLe classement que lon propose ici, sous la forme trs succincte dun schmaarborescent, est le suivant (on a mentionn entre parenthses le numro du para-graphe o la technique considre est traite):Le premier clivage est celui qui oppose modles explicatifs et modles auto-projectifs. Dans le premier cas, la prvision se fonde, au moins en partie, sur desvaleurs prises par des variables autres que celle que lon cherche projeter, tandisque,dans le second cas, on considre que le futur se dduit tout naturellement dupass. En ralit , ces deux classes de modles ne poursuivent pas les mmes butset ne sadressent pas aux mmes sries car:- la poursuite des tendances du pass, observes sur une srie qui est la basedes modles autoprojectifs, ne sopre sans trop de risque que sur le courtterme;1. Si deux valeurs successives sont identiques, il convient de les considrer, pour ce test, comme une observationunique et de diminuer en consquence dune unit le nombre de priodes observes.2. Voir Kendall (13), p. 22-24.Table desmatiresIndexthmatiquez ytt 2 =n 1 = E z ( )23--- n 2 ( ) =V z ( )16n 29 90-------------------- =L z) ( N23--- n 2 ( )16n 29 90-------------------- ,\ !( \=L z) ( N 54 67 ; 3,82) , ( =23--- 84 2 ( ) 1 9616 84 29 90---------------------------- , -1006 Gestion de la production et des ux- unmodleexplicatifnestenvisageablequunniveaudagrgationdedonnes sufsant (cette agrgation portant sur les dimensions spatiales ettemporelles, ainsi que le nombre darticles ou de prestations de service prisen compte dans la chronique).Ces deux critres doivent tre simultanment pris en compte: un modle explicatifest envisageable pour de la prvision court terme portant sur des sries trs agr-ges (tudes prvisionnelles ralises pour des chambres syndicales, ou entre-prises en situation dominante sur un march).Les modles explicatifs ne seront pas abords ici car leur tude ne saurait sefaireendehorsducontexteprcisdunproblmeparticulierpos,puisquilncessiteladnitionduncertainnombredhypothsesdecomportementdcoulant dune thorie pralablement labore du fonctionnement du phnomnetudi. On peut toutefois indiquer que les modles explicatifs quation uniqueseront implicitement abords avec les prolongements rcents de Box et Jenkins (III-3, page 1101).Plus contestable, sans doute, est la partition retenue pour les modles autopro-jectifs. Elle sexplique par des considrations de cots: les techniques oprant surun historique rcent et restreint sont peu onreuses lutilisation et gnralementmoins ables1 aussi les rservera-t-on de prfrence aux procdures automatiquesde prvision de la demande darticles ou prestations de service de catgorie B ouC (dans une analyse type A-B-C o, comme nous lavons vu auchapitre X, II-1.2.1,page636,lesproduitsdecatgorie Acorrespondentleplussouventenviron 80% du montant global en valeur, et de lordre de 20% des rfrencesde produits ou de prestations de service). Les techniques nutilisant que la partiela plus rcente de la chronique, correspondent la famille des ltres linaires etseront tudies en dtail la section II.Sous la rubrique moindres carrs des modles autoprojectifs travaillant surlhistorique complet, on a regroup un certain nombre de mthodes qui sinspirenttoutes de la mthode des moindres carrs (qui est une technique de calcul de para-mtres dune fonction cherchant minimiser un indicateur dcarts quadratiques).1. Du moins dans leur version initiale, car ces techniques se sont considrablement sophistiques depuis une tren-taine dannes, mais les accroissements spectaculaires du rapport performance/cot observ en informatiqueles rendent exploitables sans aucun problme, mme grande chelle.modles explicatifsmodles autoprojectifs- quation unique (utilisation de la rgression multiple)- quations simultanes (modles conomtriques)- moyennes mobiles ( II-2, page 1012)- lissage exponentiel ( II-3, page 1046)- ltre diffrence ( II-4, page 1062)- moindres carrs ( III-1, page 1071)- Box et Jenkins et ses prolongements ( II-4, page 1062)sur historique rcentsur historique(filtres linaires)completTable desmatiresIndexthmatiqueChapitre XV - Techniques de prvision1007Une dernire branche importante des modles autoprojectifs est constitue parlanalyse spectrale. Son tude ne sera pas aborde ici, car elle ncessite1 des chro-niques plus longues que celles que lon rencontre en gnral en gestion, ce qui nelempche pas davoir fait ses preuves en conomie sur des chroniques annuellesportant sur plusieurs sicles!I-4.2Critres de choix dune technique de prvisionCechoixdoitsoprerencherchantminimiserlecotdobtentiondelaprvision pour un niveau de prcision donn, mais il faut tenir compte galementdu type de chronique et de la nalit du traitement qui jouent souvent le rle decontraintes dans cette recherche doptimum;- Le cot du traitement dpend de 2 facteurs: lalgorithme de calcul inhrent la technique de prvision choisie et, de cepoint de vue, certaines techniques impliquent lusage dordinateurs perfor-mants, lalongueurdelhistoriquequilfautconserver,cequisetraduitparuncot de stockage des donnes et de traitement plus ou moins important.Ces deux facteurs ne sont pas indpendants, les techniques qui utilisent lemaximum dinformations sont en gnral celles qui utilisent les algorithmesles plus complexes; un arbitrage devra tre effectu entre le cot de constitu-tion et de traitement dune information, et les avantages que lon en retire(par exemple, il peut mme tre moins onreux de ne pas traiter dinforma-tions si lactivit peut tre facilement rgule par un stock dont le cot depossession est ngligeable).- Le type de chronique2 doit galement tre pris en considration. Les techni-quesdeprvisionnesontpasuniverselles.Plusieursparamtressontprendre en compte dans le choix dune technique: longueur de lhistoriquepossd, existence dune saisonnalit, importance relative des trois compo-santes dune srie.- Enn, la nalit du traitement joue un rle dans ce choix. Certaines techni-ques de prvision ne sont appropries que pour le court terme et fournissentdes rsultats catastrophiques si lon tente de les utiliser pour le moyen ou lelong terme.SECTIONIILES FILTRES LINAIRESLes ltres linaires constituent des instruments commodes de dcompositiondune chronique en ses diverses composantes et de prvisions (indpendantes) deces composantes; ces diverses prvisions sont ensuite combines pour obtenir uneprvision globale pour la chronique tudie (un exemple de cette approche seraprsent au II-2.3, page 1045).Nous commencerons par prciser la notion de ltre ( II-1) avant dintroduireles ltres les plus usits: les moyennes mobiles ( II-2, page 1012), le lissage1. Voir sur ce point Chateld (1996, [91]), p. 163. Les chapitres VI et VII de cet ouvrage constituent une bonneintroduction lanalyse spectrale.2. Voir Kendall (1976, [260]), p. 126-128.Table desmatiresIndexthmatique1008 Gestion de la production et des uxexponentiel(II-3,page1046)etlesltresdiffrence( II-4,page1062,rserv une tude plus pousse des techniques de prvision). Nous termineronspar des remarques gnrales sur lutilisation des ltres ( II-5, page 1063).II-1La notion de ltreAprsavoirposunednitiondesltres( II-1.1),nousaborderonsleslments prendre en compte dans le choix dun ltre ( II-1.2).II-1.1DnitionLa notion de ltre est assez gnrale et recouvre un certain nombre de techni-ques dont certaines sont rpandues depuis longtemps, comme la technique de lamoyenne mobile, et dautres dmergence plus rcente comme le lissage exponen-tiel. On ne sintressera ici quaux ltres linaires, mais le qualicatif linairesera le plus souvent omis pour allger lexpos.Le ltre linaire est le mode de transformation dune chronique en une autrechronique partir dune combinaison linaire de termes conscutifs de la chro-nique initiale. La traduction mathmatique de cette dnition est la suivante:relation 394- les ai sont les coefcients de pondration dont la somme est gnralementgale 1, et parfois 0 (cf. II-4, page 1062);- restundcalagetemporelcaractristiquedunltredonn;lapremirevaleur calculable de est telle que t = r, pour que;- sestlenombredetermesconscutifsdelachroniqueinitiale,ncessairespour dnir un terme de la nouvelle chronique; notons ds prsent que lenombre s peut tre inni (voir II-3, page 1046).II-1.2Choix dun ltre linaireOn peut dnir une innit de ltres linaires puisque le nombre de combinai-sons linaires que lon peut imaginer est illimit, mais seuls quelques-unes prsen-tent un intrt pratique; leur choix rsulte de la prise en considration de facteursque lon va succinctement prsenter ( II-1.2.1), puis illustrer par un exemple (II-1.2.2, page 1009).II-1.2.1lments de dtermination du choix dun ltreCe choix rsulte de la prise en considration:a) dhypothses faites sur les composantes certaines de la chronique, cest--dire la composante tendancielle et la composante saisonnire (cette dernirecomposante pouvant dailleurs tre absente de la chronique tudie). Le ltreTable desmatiresIndexthmatiquextytytaixt r i +i 1 =s=ytxt r 1 +x1=FIGURE 239Filtres linairesytxt FiltreChapitre XV - Techniques de prvision1009retenu permet, en labsence de composante alatoire et si les hypothses dedpart sont fondes, de retrouver trs exactement le paramtre ou la valeurdu modle thorique que le ltre linaire cherche retrouver (voir page 1011et page 1015);b) dun objectif sur linterprtation donner au ltre linaire; celui-ci peutreprsenter par exemple: une estimation de la composante tendancielle la priode t, ou une mesurede lvolution de cette composante tendancielle, une estimation de la composante saisonnire, une estimation prvisionnelle faite la date t pour une valeur observable une date ultrieure t + k, une mesure de la composante alatoire, le ltre linaire utilis ayant pourvocation dliminer les composantes tendancielles et alatoires;c) dune prise en considration de limpact de la composante alatoire sur: la performance du ltre retenu, ce qui expliquera lintroduction des ltresdes moindres carrs (cf. II-2.2) et fera prfrer dans certaines utilisationscette catgorie de ltres celle des ltres linaires empiriques (cf. II-2.1,page 1012), la longueur s du ltre retenu; nous verrons par exemple, pour les ltres enmoyenne mobile, que les distorsions introduites par lexistence de lacomposante alatoire sont dautant plus attnues que la longueur du ltreest importante; dans le mme ordre dide les chroniques se rduisant unprocessus alatoire (loi de Poisson, par exemple) de moyenne faible (pourle dcoupage spatial et temporel retenu) peuvent prsenter de nombreuxzros et doivent de ce fait tre traites avec des ltres prenant en compteun historique assez long pour que lestimation courante de la moyennene soit pas trop chahute;d) dunarbitrageeffectuentrelescomposantescertaines(cest--direlescomposantes tendancielles et saisonnires) et la composante alatoire, quiconduit ventuellement prfrer accorder systmatiquement un poids plusfort aux observations les plus rcentes dans le ltre linaire retenu (il sagitl des techniques de lissage exponentiel qui seront tudies au II-3, page1046), pour privilgier la dtection rapide des modications de comporte-ment des composantes certaines de la chronique, sur la recherche de latt-nuation des perturbations gnres par la composante alatoire; cet arbitrageseffectuera normalement sur la base dinformations qualitatives (connais-sance de lentreprise, de son environnement, de concurrence).Ces diffrentes considrations dans le choix dun ltre apparatront dans ltudedes ltres que lon prsentera dans les pages suivantes, mais nous allons nan-moins tenter de les illustrer ds maintenant laide dun exemple.II-1.2.2 Illustration de la dmarcheSupposons par exemple que:- lvolutiontendancielledunechroniquesoitlinaire(hypothsedetravail, cf. II-1.2.1a),- lobjectif poursuivi soit de retrouver laide dun ltre linaire cette valeur (objectif retenu, cf. II-1.2.1b).Table desmatiresIndexthmatiqueytftxtft1010 Gestion de la production et des uxPrenons arbitrairement les deux ltres linaires suivants (nous verrons ultrieu-rement quil sagit de ltres en moyennes mobiles centres):- le premier ltre se caractrise par les paramtres suivants: s = 3, r = 2, a1 = a2= a3 = 1/3, ce qui donne:- le second ltre se caractrise par les paramtres suivants: s = 5, r = 3, a1 = a2= a3 = a4 = a5 = 1/5, ce qui donne:Supposons que lon applique ces deux ltres linaires la chronique suivante,,quinecomportequunecomposantetendanciellelinairelexclusion de toute autre composante.Lapplication du premier ltre, qui permet de calculer comme premire valeur, donne:,, , do lon tire la nouvelle chronique yt du tableau 292.Lapplication du second ltre, qui permet de calculer comme premire valeur, donne:etc., do lon tire la seconde chronique yt du tableau 293:TABLEAU 291Chronique se limitant une composante tendanciellet 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1012 14 16 18 20 22 24 26 28 30TABLEAU 292Application du premier ltre la chronique du tableau 291t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1012 14 16 18 20 22 24 26 28 301er ltre16 18 20 22 24 26TABLEAU 293Application du second ltre la chronique du tableau 291 de la page 1010t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1012 14 16 18 20 22 24 26 28 302e ltre18 20 22 24Table desmatiresIndexthmatiqueyt13---xt 2 1 +13---xt 2 2 +13---xt 2 3 ++ +13---xt 1 13---xt13---xt 1 ++ +13--- xt 1 xtxt 1 ++ + ( ) = = =yt0 2xt 3 1 +0 2xt 3 2 +0 2xt 3 3 +0 2xt 3 4 +0 2xt 3 5 +, + , + , + , + , =yt0 = 2xt 2 0 2xt 1 0 2xt0 2xt 1 +0 2xt 2 +, + , + , + , + ,yt0 2 xt 2 xt 1 xtxt 1 +xt 2 ++ + + + ( ) , =xtft10 2t + + =xtytyry2= =y213---x113---x213---x3+ +123------143------163------ + + 14 = = =y313---x213---x313---x4+ +143------163------183------ + + 16 = = =xtytytyry3= =y30 2 x1x2x3x4x5+ + + + ( ) , 0 2 12 14 16 18 20 + + + + ( ) , 16 = = =xtytChapitre XV - Techniques de prvision1011Lexamen des rsultats obtenus montre que ces deux ltres linaires permettentde retrouver trs exactement la composante tendancielle linaire dune chroniquese ramenant cette seule composante. Lobjectif recherch est donc atteint parlun et lautre ltre. Pour justier la prfrence dun ltre sur lautre, il faut queleschroniques,auxquellescesltressappliquent,possdentunecomposantealatoireenplusdelacomposantetendanciellelinaire.Prenonsdoncunenouvelle chronique, somme de la chronique prcdente = 10 + 2t et dune chro-nique alatoire, gnre sur tableur et suivant une loi Normale de moyennenulle et dcart-type gal 2. Appliquons ensuite les deux ltres linaires retenus.Le second ltre donne globalement de meilleures estimations de la compo-sante tendancielle, puisque la racine carre de la moyenne des carrs des cartsentre le second ltre et la composante tendancielle vraie1 est plus faible (0,91)quecelleobtenueaveclepremierltre(1,23).Habituellement,commenouslobservons ici, la qualit de lestimation fournie par le ltre le plus long (ici s = 5)est la meilleure, mais on doit souligner que:- le ltre le plus long gnre la chronique la plus courte (ici 6 valeurs), ce quipeut tre gnant dans une tude de tendance,- le gain de prcision apport par un ltre long par rapport un ltre plus court(fond sur les mmes hypothses et ayant le mme objectif) est dautant plusfortquelacomposantealatoireestimportanteparrapportlvolutiontendancielle.La principale difcult rencontre dans la prise en considration de la compo-sante alatoire est que lon ne connat concrtement que la rsultante des compo-santes tendancielles, alatoires et cycliques, et que la prvision suppose davoirpralablement dcompos la chronique en ces diverses composantes. Si lobjectifassign un ltre est simple dterminer (cf. II-1.2.1.b, page 1009), le choix deshypothses sous-jacentes (cf. II-1.2.1.a, page 1008) peut tre biais par lexis-tence de la composante alatoire et la prise en compte de limpact de la compo-sante alatoire (cf. II-1.2.1.c, page 1009) relve davantage de lart du praticiende la prvision que de la science statistique, surtout lorsque les chroniques sontcourtes ou si lenvironnement nest pas stable (dun point de vue statique ou dunpoint de vue dynamique). Ceci explique quil ne saurait y avoir de solution uniquedans lapplication des ltres linaires, et quil nest donc pas anormal que deuxexpertsgalementcomptentsnaboutissentpasdesconclusionsidentiquesparce quutilisant des ltres linaires diffrents; cependant, les ordres de grandeurTABLEAU 294Chronique avec composante tendancielle et composante alatoiret 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1012,00 14,00 16,00 18,00 20,00 22,00 24,00 26,00 28,00 30,001,65 0,04 1,62 4,19 0,66 2,24 1,46 1,51 0,01 2,87 = + 13,65 13,96 17,62 22,19 20,66 19,76 22,54 27,51 28,01 27,131er ltre- 15,08 17,92 20,16 20,87 20,99 23,27 26,02 27,55 -2e ltre- - 17,62 18,84 20,55 22,53 23,70 24,99 - -1. Cet indicateur dcart est similaire lcart-type rsiduel dune rgression linaire.Table desmatiresIndexthmatiquefttfttxtfttytyt1012 Gestion de la production et des uxseront voisins si ces experts ont en main les mmes informations tant quantitativesque qualitatives.II-2 Les moyennes mobilesLes moyennes mobiles empiriques ( II-2.1) sont les plus anciennes, mais nousverrons que lorsque lobjectif poursuivi est la prvision (et non lestimation decomposante tendancielle), la performance de ces mthodes empiriques peut treamliore,enparticulieraveclintroductionrcentedesltresenmdianesmobiles 1que nous naborderons pas ici. Nous nous contenterons ici de prsenter( II-2.2, page 1035) les ltres optimaux au sens des moindres carrs. Dans undernier paragraphe ( II-2.3, page 1045), nous verrons comment combiner lesprvisions effectues sur les diverses composantes dans le cadre des procduresdedcomposition,pourobteniruneprvisionglobale;ladmarcheprsenterestera la mme si les prvisions effectues pour la composante tendancielle utili-sent les techniques de lissage exponentiel prsentes au II-3, page 1046.II-2.1 Les mthodes empiriquesCette classe de ltres est la plus ancienne et la plus connue. Ces ltres sontgalement les plus simples, puisquils se caractrisent par lgalit des coefcientsdepondrationdontlasommeestenoutregale1ouparlutilisationencascade de ltres linaires jouissant de ces proprits (voir, par exemple, le II-2.1.2.2, page 1029). La relation 394 de la page 1008 devient alors:relation 395formulegnraledontonmodieralaprsentationlorsquonauraspciledcalage temporel r, en fonction des objectifs poursuivis. Ceux-ci peuvent tre:- soit la recherche dune estimation de la valeur tendancielle, une datedonne pour laquelle lobservation est disponible, et lon utilisera alors lestechniques de moyennes centres ( II-2.1.1),- soit la recherche, une date t, dune estimation prvisionnelle dune valeurtendancielle ( II-2.1.2, page 1027).On peut indiquer tout de suite que la caractristique essentielle de ce ltre empi-rique est de transformer une chronique de termes constants en une autre chroniquede termes constants identiques, et de transformer une chronique du type = at+ b,enuneautrechronique= at+ c,lordonneloriginepouvantdanscertains cas tre la mme, auquel cas le ltre ne cre aucune distorsion.II-2.1.1 Les ltres empiriques orients vers lestimation de la composantetendancielle (moyennes mobiles centres)Lutilisation de ces ltres linaires dont lobjectif est lestimation de la compo-sante tendancielle (=) repose toujours sur lhypothse implicite que cettecomposante tendancielle est linaire (= at + b). En labsence de composantesaisonnire, nous verrons (cf. II-2.1.1.1) que lon peut xer arbitrairement la1. Voir Velleman & Hoaglin (1980, [429]), chapitre VI.Table desmatiresIndexthmatiqueyt1s--- xt r i +i 1 =s=ftftxtft k +xtytftytftChapitre XV - Techniques de prvision1013longueur s du ltre linaire, alors que celle-ci est impose dans le cas contraire (cf. II-2.1.1.2, page 1015).II-2.1.1.1Moyenne mobile centre en labsence de composante saisonnireCette moyenne mobile est qualie de moyenne mobile centre, parce que leltrelinairequiladnitsecalculepartirdunepartiedechroniquecompose de, des n observations qui prcdent, et des n observations quisuivent cette valeur. Autrement dit, la longueur s du ltre est ncessairement unnombre impair (que lon peut mettre sous la forme s = 2n + 1) et le dcalage r estr = n + 1. La formule de dnition du ltre moyenne mobile centre est donc: = Moyenne mobile centre relation 396Nous avons dj utilis ce ltre moyenne mobile centre au II-1.2.2, page1009, pour deux longueurs de ltre et. Cesexemples montrent :- que la moyenne mobile centre applique une chronique se rduisant unecomposante tendancielle linaire ( =) redonne sans distorsioncette mme chronique,- quelorsquesajoutecettecomposantetendanciellelinaireunecompo-santealatoire( ),lestimationdelacomposantetendanciellelinaireparleltre( =)estdautantmeilleure1quelalongueur du ltre est grande, mais que ce gain de prcision se paie en retourpar une chronique plus courte de valeurs estimes.On peut ajouter que, lorsque lhypothse dune volution tendancielle linairenest pas vrie et quil ny a pas de composante alatoire, le ltre linaire sures-timetoujourslacomposantetendancielle( =>)lorsquelacroissancetendancielle sacclre (volution convexe)2, tandis quil y a sous-estimation (= 1relation 455toutefois cest cette valeur que lon rentre comme valeur dinitialisation dansles programmes Box et Jenkins car le biais nest que de lordre de 1/n. Notonsquil existe2 une mthode pour faire passer ce biais de lordre de 1/n lordre de1/n2, et qui en dnitive est la plus simple employer.Onavurelation391delapage1004quelavariancedeladistributiondchantillonnage dun coefcient dautocorrlation dpend de tous les coef-cients dautocorrlation, et que la formulation approche que lon utilise engnral est (en supposant que et les coefcients dautocorrlation dordre sup-r i eur s oi ent f ai bl es ) cel l edel ar el at i on392del apage1004( , approximation de la formule de Barlett), ce qui donnepour le processus autorgressif dordre 1, o =:relation 456Par exemple pour = 0,3, la variance de la distribution dchantillonnage duncoefcient dautocorrlation dordre j quelconque est pour n = 84:, do un cart-type de 0,119. On peut noter que,dans lapproximation qui est faite, cette variance est dautant plus sous-estimeque lordre du coefcient dautocorrlation est faible, mais cette distorsion estngligeable3 (pour le coefcient dautocorrlation dordre 2 par exemple, le calculcomplet conduit une variance de 0,0153, et donc un cart type de 0,124).1. Voir Kendall (1976, [260]) , p. 93.2. Cest la mthode de Quenouille (voir Kendall (1976, [260]) p. 93), prsente page 1001.3. Lapplication de la formule de Barlett (relation 391 de la page 1004) donne en effet :,la sous-estimation tant donc pour la variance de la distribution dchantillonnage des coefcients dautocorr-lation dordre j: Table desmatiresIndexthmatique111r11111r1=E r1n( ) 11 31+n 1 ----------------- = E rjn( ) ij1n j ----------1 1+1 1-------------- 1 ij ( ) 2ij+| | | | =rjnjjV rjn( )1n--- 1 2 12i 1 =+\ !( \i1iV rjn( )1n---1 12+1 12--------------\ !( \1V rjn( )184------1 0,32+1 0,32------------------\ !( \ 0,0143 =V rjn( )1 21j312 j +n---------------------------------- 2i +=21j312 jn-------------------------1 12+1 12-------------- 1088 Gestion de la production et des uxIII-2.1.11c)Fonction dautocorrlation partielleOn peut tendre lide dautocorrlation qui mesure la corrlation de termes delasriesparsparunmmenombredetermes,celledecorrlationoladpendance qui porte sur les termes intermdiaires a t retire. Dans le processusautorgressif dordre 1 par exemple, le termeest corrl au terme, le coef-cient dautocorrlation dordre 2 slevant (cf. relation 453, page 1086).Mais dpend galement de, et lon peut se poser la question de savoir si est corrl seulement en vertu du fait que et sont tous deuxcorrls .Linstrument de mesure de cette liaison en cas dindpendance est le coefcientde corrlation partiel qui mesure la liaison entre la variable 1 et la variable3, abstraction faite de la liaison entre 1 et 2 et entre 3 et 2, partir des coefcients de corrlation entre les variables i et j, i et j variant de 1 3. Dune maniregnrale, ce coefcient se dnit comme: coefficient de corrlation partielle relation 457La transposition au cas de sries temporelles de ce concept est aise, puisqueseul importe alors le dcalage (tant alors gal ). On notera alors lecoefcient de corrlation partiel de dcalage 2, lequel est de toute vidence gal :relation 458Par dnition est gal . Pour le calcul des coefcients dautocorrlationpartiels dordre suprieur 2, il faut alors passer1 par un quotient de dterminantsde matrices de coefcients de corrlation, mais la nalit du coefcient dautocor-rlation partiel est alors la mme.Lapplication de cette formule au processus auto-rgressif dordre 1 donne: et pourrelations 459Un processus auto-rgressif dordre 1 a donc ses coefcients dautocorrlationpartiels dordre suprieur 1, tous gaux zro. On montre2 dune faon gnralequelescoefcientsdautocorrlationpartielsdordresuprieurpdansunprocessus auto-rgressif dordre p sont tous nuls. Cette proprit facilite lidenti-cation de lordre dun processus auto-rgressif, car on a vu que les fonctionsdautocorrlation sont toutes monotones dcroissantes (en valeur absolue) avec ousans mouvements sinusodaux, ce qui fait que lon ne peut tre assur, au vu duseulcorrlogrammedunprocessusauto-rgressif,denavoirdtectlordrecorrect. Mais, l encore, les problmes classiques de distribution dchantillon-nage se posent, et lon nobservera quexceptionnellement des coefcients dauto-corrlation partiels nuls. On montre3 que le coefcient dautocorrlation partielobservable suit approximativement la loi Normale N (0, ): on dcidera tort dans 5% seulement des cas que le coefcient dautocorrlation partiel nest1. Voir Box et Jenkins (1970, [65]), p. 64-65.2. Voir Box et Jenkins (1970, [65]), p. 65.3. Voir Box et Jenkins (1970, [65]), p. 65.Table desmatiresIndexthmatiquextxt 2 12xtxt 1 xtxt 2 xtxt 2 xt 1 13.2ij13.21312321 122 ( ) 1 322 ( )--------------------------------------------- =123222212+1 12---------------- =1111= j0 = j 2 jnnChapitre XV - Techniques de prvision1089pas signicativement diffrent de zro si la valeur observe dans lchantillon estcomprise entre 2et + 2 .III-2.1.1.2Processus en moyenne mobileIII-2.1.12a)DnitionUnprocessusenmoyennemobiledordreq,quelonnote1MA(q),faitdpendre de lala de type bruit blanc de la priode t, dune constante , etdune combinaison linaire des q derniers alas:, avec [MA(q)] relation 460Le processus en moyenne mobile est fort utile en conomie: certaines gran-deurs sont affectes par de multiples vnements alatoires comme des grves,dcisions gouvernementales, uctuations boursires, etc., chacun de ces vne-ments pouvant avoir des rpercussions sur plusieurs priodes. Nous ntudieronsen dtail ici que le processus en moyenne mobile dordre 1: [MA(1)] relation 461Le calcul de lesprance mathmatique et de la variance de est plus simpleque dans le cas auto-rgressif: etrelations 462Il existe une relation entre le processus auto-rgressif dordre 1 et la moyennemobile. En effet, si on dveloppe le processus auto-rgressif dordre 1, en fonctiondes donnes des priodes antrieures, on a:= = = Le processus auto-rgressif dordre 1 est donc quivalent un processus enmoyenne mobile inni tel que: , et. Cette dualit entre unprocessusauto-rgressifetunprocessusenmoyennemobileestgnrale:onmontre2, sous des conditions (dites dinvertibilit) restreignant le domaine desvaleurspossiblesprisesparlesparamtres,quunprocessusenmoyennemobiledordreqestquivalentunprocessusautorgressifdordreinni,etquun processus autorgressif dordre p est quivalent un processus en moyenne1. M.A. pour moving average, cest--dire moyenne mobile.2. Voir Box et Jenkins (1970, [65]), p. 67-68. On trouvera galement un clairage intressant de lincidence delinvertibilit sur la possibilit de dnir un processus en moyenne mobile partir de sa seule fonction dauto-corrlation, ce qui ne serait pas le cas sans ces restrictions.Table desmatiresIndexthmatiquen nxttxt tit i i 1 =q+ + iBiti 0 =q+ = = 01 =xt t1t 1 + + =xtE xt( ) E t1t 1 + + ( ) E ( ) Et( ) 1Et 1 ( ) + + = = =V xt( ) V t1t 1 + + ( ) Vt( ) 12Vt 1 ( ) + 1 12+ ( )2= = =E xt( ) = V xt( ) 1 12+ ( )2=xt t1 t 1 1xt 2 + + ( ) + + = t1 1t 1 12 t 2 1xt 3 + + ( ) + + + + 1 112+ + ( ) t1t 1 12t 2 13xt 3 + + + + = 1i01it 1 i 0 =+1 1------------- 1it 1 i 0 =+ = 1 1 ( ) = i1i=i1090 Gestion de la production et des uxmobile dordre inni. Ceci laisse, dans un certain nombre de cas de gures rencon-trs en pratique, la possibilit dutiliser le processus ncessitant le minimum deparamtres estimer.III-2.1.12b)Fonction dautocorrlation.On montre1 que, dans le cas dun processus en moyenne mobile dordre 1, lecoefcient dautocorrlation dordre 1 est :relation 463et que les coefcients dautocorrlation dordre suprieur 1 sont tous nuls, cest--dire que le processus MA(1) a une mmoire se limitant une seule priode.Un test de la nullit de ces coefcients dautocorrlation peut se faire en utilisantla relation 392 de la page 1004 ( ), mais il y aintrt complter ce diagnostic par intervalle de conance, par ltude des coef-cients dautocorrlation partiels.Lesproblmesdestimationsontplusdifcilesrsoudredanslecasdeprocessus en moyenne mobile que dans le cas de processus autorgressif, parcequil nexiste pas destimateur efcace (au sens des moindres carrs) sous uneforme explicite2. La recherche de la solution seffectue informatiquement laidedalgorithmes itratifs qui convergent vers la solution optimale condition quedes valeurs initiales correctement choisies aient t pralablement donnes. Dansle cas dun processus de type MA(1), on utilise comme valeur initiale celle quidcoule de la formulation du coefcient dautocorrlation dordre 1, bien quelestimateur quelle fournit soit biais3:, tel querelation 464Parexemplepourr1 = 0,3,ontrouve= 1,6671,337= 0,333ou3;ilconvient donc de retenir 0,333 pour respecter la contrainte obligeant treinfrieur en valeur absolue 1 (et qui correspond aux conditions dinvertibilitsignales ci-dessus).III-2.1.12c)Fonction dautocorrlation partielleOn montre4 que:1. Voir Box et Jenkins (1970, [65]), p. 62.2