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G.P. DNS01 Septembre 2010 DNS Sujet Champ électrostatique et charges ponctuelles......................................................................................1 I.Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle ..................................................................1 II.Champ électrostatique créé par deux charges ponctuelles identiques ..........................................2 A.Allure des lignes de champ.....................................................................................................2 B.Allure des équipotentielles......................................................................................................2 C.Étude du champ sur l'axe Ox ...................................................................................................3 D.Étude du champ sur l'axe Oy ...................................................................................................3 E.Étude du champ au voisinage de l'origine ...............................................................................3 F.Stabilité d'une charge au voisinage de l'origine .......................................................................4 III.Champ électrostatique créé par deux charges ponctuelles opposées (doublet) ...........................4 A.Allure des lignes de champ.....................................................................................................4 B.Allure des équipotentielles......................................................................................................4 C.Étude du champ sur les axes ....................................................................................................4 D.Étude du potentiel au voisinage de l'origine ...........................................................................4 IV.Champ électrostatique créé par quatre charges ponctuelles en carré ..........................................5 Champ électrostatique et charges ponctuelles On donne permittivité du vide :   0 =8,854187817... × 10 12  F.m 1 . On adopte souvent une valeur approchée par  1 4 0 9 10 9 . I. Champ électr ostatique créé par une charge ponctuelle Une charge ponctuelle  q est placée en un point  P . On considère une ch arg e po nct uel le  q 0  placée en  M .On pose   r =  PM et   r =r (  r désigne donc une norme ). 1. Donner l'expression vectorielle de la force subie pa r  M en fonction de  q ,  q 0 ,   r  PM ,  r , 0 ( Loi de Coulomb ). 2. Rappeler la dé finition du champ é lectrostatique    E et en déduire l'expression, issue de la loi de Coulomb, du champ créé par la charge ponctuelle  q au point  M . Préciser sur un schéma le sens du champ selon que la charge est positive ou négative. 3. On tra va ille en coordonnées sph éri que s   r ,  , de centre  P . En uti lisant l'e xpr ession connue du gradient en coordonnées sphériques 1/29

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DNS

Sujet

Champ électrostatique et charges ponctuelles......................................................................................1I.Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle..................................................................1II.Champ électrostatique créé par deux charges ponctuelles identiques..........................................2

A.Allure des lignes de champ.....................................................................................................2B.Allure des équipotentielles......................................................................................................2C.Étude du champ sur l'axe Ox...................................................................................................3D.Étude du champ sur l'axe Oy...................................................................................................3E.Étude du champ au voisinage de l'origine...............................................................................3F.Stabilité d'une charge au voisinage de l'origine.......................................................................4

III.Champ électrostatique créé par deux charges ponctuelles opposées (doublet)...........................4A.Allure des lignes de champ.....................................................................................................4B.Allure des équipotentielles......................................................................................................4C.Étude du champ sur les axes....................................................................................................4D.Étude du potentiel au voisinage de l'origine...........................................................................4

IV.Champ électrostatique créé par quatre charges ponctuelles en carré..........................................5

Champ électrostatique et chargesponctuelles

On donne permittivité du vide : 0=8,854187817... ×10−12 F.m−1 . On adopte souvent une valeur 

approchée par 1

40

≈9109

.

I. Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle

Une charge ponctuelle q est placée en un point P  .

On considère une charge ponctuelle q0  placée en M  .On pose r = PM  et ∥r ∥=r  ( r 

désigne donc une norme ).

1. Donner l'expression vectorielle de la force subie par  M  en fonction de q , q0 , r  PM  , r  ,0 ( Loi de Coulomb ).

2. Rappeler la définition du champ électrostatique  E  et en déduire l'expression, issue de la loi deCoulomb, du champ créé par la charge ponctuelle q au point M  . Préciser sur un schéma lesens du champ selon que la charge est positive ou négative.

3. On travaille en coordonnées sphériques r ,  , de centre P  . En utilisant l'expressionconnue du gradient en coordonnées sphériques

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 grad f  r ,  ,=∂ f  

∂ r ur 

1r 

∂ f  

∂u

1r sin

∂ f  

∂u , retrouver l'expression du potentiel

électrostatique V  r , , créé par la charge ponctuelle q au point M  . La tradition est derendre nulle la constante d'intégration. En quels points le potentiel créé par une charge ponctuelle

est-il alors considéré comme nul ?4. L'énergie potentielle E  P  dont dérive une force conservative  F   peut être définie à partir de

l'expression  F =− grad E  P  . En déduire soigneusement l'expression de l'énergie potentielle E  P  de la charge q0 en fonction du potentiel électrostatique créé par  q . Préciser le

raisonnement en ce qui concerne la constante arbitraire d'intégration.

II. Champ électrostatique créé par deux chargesponctuelles identiques

On travaille en coordonnées cartésiennes d'origine O . On considère une charge q1=q0

 placée en P 1  x=a , y=0, z =0 et une autre charge ponctuelle identique q2=q  placée en

 P 2  x=−a , y=0, z =0 . On s'intéresse au champ en un point M  x , y , z  .

A. Allure des lignes de champ

5. Rappeler les résultats essentiels concernant la symétrie pour un vecteur polaire ( ou « vraivecteur ») tel que le champ  E  : que peut-on dire si le point M  appartient à un plan desymétrie ( plan passant donc obligatoirement par le point M  étudié...); que peut-on dire si le

 point M  appartient à un plan d'antisymétrie ?

6. En appliquant les résultats rappelés à la question précédente, justifier la direction du champ :

• en un point M  x , y , z =0

• en un point M  x=0, y , z =0

• en un point M  x , y=0, z =0

• au point O  x=0, y=0, z =0

7. On étudie uniquement le champ dans le plan z =0 .

• En utilisant, en plus des résultats précédents, que près d'une charge, la configuration duchamp tend ( direction, sens, norme ) vers celle créée par cette seule charge,

 préciser sur un schéma le sens des lignes de champ pour les deux axes Ox et Oy

donner l'allure des autres lignes de champ

• On sait que deux lignes de champ ne peuvent se croiser. Pourquoi ? N'y a-t-il pas un problème aux points P 1 , P 2 et O ?

B. Allure des équipotentielles

8. On reprend l'étude toujours dans le plan xOy mais en partant du potentiel.

• Que vaut le potentiel noté V O en O ?

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• Près d'une charge, le potentiel tend vers celui créée par cette seule charge. En déduire laforme approchée des équipotentielles correspondant aux potentiels élevés.

• Vu de loin, le potentiel tend vers le potentiel créé par une charge ponctuelle. Où placer cette

charge et quelle est sa valeur En déduire la forme approchée des équipotentiellescorrespondant aux potentiels faibles.

• Tracer qualitativement sur un schéma les équipotentielles dans le plan Oxy . Tracer notamment l'équipotentielle V O . Commenter.

9. Comment vérifier ici la cohérence entre l'allure des lignes de champ et l'allure deséquipotentielles? Expliquer.

C. Étude du champ sur l'axe Ox

On étudie ici quantitativement le champ sur  Ox .

10.Déterminer l'expression du potentiel sur  Ox ( trois cas ). Vérifier la parité attendue pour V  x .

11.En déduire le champ sur l'axe que l'on écrira  E = E  x u x . Tracer l'allure de E  x enfonction de x . Commenter la parité de E  x .

D. Étude du champ sur l'axe Oy

On étudie ici quantitativement le champ sur  Oy .

12.Déterminer l'expression du potentiel sur  Oy .

13.Déterminer le champ qu'on écrira  E = E  y u y . Tracer l'allure de E  y en fonction de y .

E. Étude du champ au voisinage de l'origine

On étudie ici quantitativement le champ dans le plan Oxy en un point M   proche de l'origine.On a donc x /a≪1 et y /a≪1 . On travaille au deuxième ordre en x /a et en y /a et onécrit donc le potentiel sous la forme: V  x , y= A B.xC.y D.x

2 F.y

2G.x.y .

Les grandeurs A , B , C ,D , F ,G sont à déterminer.

14.Le potentiel est-il une fonction paire de x , de y ? Justifier. Combien reste-t-il d'inconnues àdéterminer ?

15.Donner l'expression de A .16.Déterminer les autres inconnues en utilisant les études précédentes sur l'axe Ox et sur l 'axe

Oy ( on rappelle x /a≪1 et y /a≪1 ). En généralisant l'expression de V  x , y donnezfinalement l'expression de V  x , y , z  au voisinage du point O .

17.Le potentiel en électrostatique dans le vide doit vérifier l'équation de Laplace : LaplacienV =0 noté V =0 avec en coordonnées cartésiennes:

= ∂2

∂ x2

∂2

∂ y2

∂2

∂ z 2 . Montrer que l'expression obtenue pour  V  au voisinage de O

vérifie cette propriété.

18.Déduire des résultats précédents l'expression du champ au voisinage de O .

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F. Stabilité d'une charge au voisinage de l'origine

On considère un électron de charge q0=−e et de masse m soumis à l'action des deux chargesq . On rappelle que le force de pesanteur sur l'électron est négligeable par rapport aux forces

électriques habituellement envisagées.

19.Quelle est la position d'équilibre de l'électron?

20.Appliquer le principe fondamental et projeter selon les trois axes pour obtenir les équations

différentielles du mouvement. On posera : 2=

q e

20 ma3 .

21.Déduire des équations différentielles la stabilité de l'équilibre de l'électron selon Ox et dans le plan Oyz  . L'équilibre est-il stable ?

III. Champ électrostatique créé par deux charges

ponctuelles opposées (doublet)

On travaille en coordonnées cartésiennes d'origine O . On considère une charge q0  placéeen P   x=a , y=0, z =0 et une autre charge ponctuelle opposée −q  placée en N 

 x=−a , y=0, z =0 . On s'intéresse au champ en un point M  x , y , z  .

A. Allure des lignes de champ

22.En utilisant les symétries, que peut-on dire de la direction du champ

• en un point M  x=0, y , z 

• en un point M  x , y=0, z =023.Tracer l'allure des lignes de champ dans le plan z =0 en justifiant . Préciser l'orientation.

B. Allure des équipotentielles

24.Déterminer l'équipotentielle V =0 .

25.Tracer l'allure des équipotentielles dans le plan Oxy . Préciser le signe des potentielscorrespondants en justifiant la réponse.

26.Vérifier la cohérence entre les lignes de champ et les équipotentielles.

C. Étude du champ sur les axes

27.Déterminer directement ( sans passer par le potentiel ) l'expression du champ sur  Ox . Onécrira  E = E  u x . Tracer  E  en fonction de x .

28.Déterminer directement ( sans passer par le potentiel ) l'expression du champ sur  Oy . Onécrira  E = E  u x . Tracer  E  en fonction de y . Commenter ici l'utilisation du potentiel sur l'axe Oy afin de déterminer le champ sur cet axe.

D. Étude du potentiel au voisinage de l'origine

29.Déterminer ( choix libre pour la méthode ) l'expression de V  x , y , z  au voisinage du pointO en travaillant au deuxième ordre en x /a en y /a et en z / a .

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30.Montrer que V  x , y , z  vérifie l'équation de Laplace V =0 au voisinage de O .

IV. Champ électrostatique créé par quatre chargesponctuelles en carré

Quatre charges q0 sont placées dans le plan Oxy ena ,0,0 , −a ,0,0 ,0, a ,0 ,0 ,−a ,0 .

31.Donner si possible l'allure de quelques lignes de champ et de quelques équipotentielles dans le plan Oxy . Expliquer rapidement. ( Quelques indications : Il y a ici 2×4 axes de symétries.On peut se demander si le point évident de champ nul est, au niveau potentiel, un maximum, unminimum ou un point col...En déduire l'existence de 4 autres points de champ nul, à préciser auniveau potentiel ).

32.Écrire l'expression a priori du potentiel, au voisinage du centre O , au deuxième ordre en

 x /a , y /a , z /a sous la forme : V  x , y = K 0 K 1 x K 2 y K 3 z ... etc en faisant intervenir 10inconnues.

33.Simplifier dans un premier temps l'expression proposée en comparant le rôle des coordonnées x et y . Simplifier en utilisant les symétries du problème ( cf parités de la fonctionV  x , y , z  ). Combien reste-t-il d'inconnues à ce niveau ?

34.Écrire la relation entre les inconnues restantes issue de l'équation de Laplace. Déterminer finalement l'expression du potentiel au voisinage de O en déterminant les inconnues par l'étudedu cas particulier  y=0, z =0, x≪a .

On considère désormais une charge ponctuelle q0 de masse m soumise à l'action des quatre

charges q . On admettra qu'elle reste toujours au voisinage de O .35.Quelle est la position d'équilibre de la charge q

0 .

36.Écrire les équations différentielles du mouvement de q0 .

37.En déduire la stabilité de l'équilibre selon Oz  et dans le plan Oxy . A quelle condition sur lesigne de q

0 l'équilibre dans le plan Oxy est-il stable. La charge est astreinte désormais à rester dans le plan Oxy . Quelle est son énergie potentielle. Retrouver en utilisant cette notion lacondition de stabilité. Cette condition est supposée réalisée.

38.Déterminer le mouvement dans le plan de la particule de charge q0 avec pour conditions

initiales x= x0 , y=0 et une vitesse initiale v x=0 et v y=v0 . A quelle condition sur  x0 , v0 , l’hypothèse ( mouvement au voisinage de O ) est-elle vérifiée ? A quelle condition la

trajectoire est-elle circulaire ?

39.Ces conditions étant toutes réalisées, on observe que r t  ( distance à l'origine ) décroît très

lentement car la charge q0 rayonne une puissance P =

0

6c q0d vdt 

2

( v : vitesse , 0 :

 perméabilité magnétique du vide, c : vitesse de la lumière ). On pourra supposer que latrajectoire est à chaque instant assimilable à une trajectoire circulaire. Déterminer  r t ( travailler par l'énergie ).

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