CHOIX DE LA LOI THÉORIQUE LA CHOIX DE LA LOI THÉORIQUE LA MIEUX ADAPTÉE A LA MIEUX ADAPTÉE A LA

PRÉDÉTERMINATION DES CRUES PRÉDÉTERMINATION DES CRUES (CAS DE L’EST ALGÉRIEN)(CAS DE L’EST ALGÉRIEN)

M. Hebal AzizM. Hebal Aziz11, M. Remini Boualem, M. Remini Boualem22

  11 Département des sciences agronomiques - Université 20 août Département des sciences agronomiques - Université 20 août 1955 de Skikda (Algérie) Email : 1955 de Skikda (Algérie) Email : hebal_aziz@yahoo.fr 22 Email : Email : reminib@yahoo.fr..

Plan de travailPlan de travail

I.I. Introduction;Introduction;

II.II. Problématique et objectifs;Problématique et objectifs;

III.III. Région d’étude et données utilisées;Région d’étude et données utilisées;

IV.IV. Résultats et interprétations;Résultats et interprétations;

V.V. Conclusion et perspectives.Conclusion et perspectives.

I. INTRODUCTIONI. INTRODUCTION

L'évaluation des valeurs extrêmes de L'évaluation des valeurs extrêmes de crues revêt un grand intérêt en hydrologie pour crues revêt un grand intérêt en hydrologie pour la résolution des problèmes relatifs à la résolution des problèmes relatifs à l’occupation des sols et au dimensionnement l’occupation des sols et au dimensionnement des ouvrages hydrauliques.des ouvrages hydrauliques. Le territoire Le territoire national Algérien soumis aux inondations qui national Algérien soumis aux inondations qui se manifestent de façon catastrophique se manifestent de façon catastrophique constituant ainsi une contrainte majeure pour le constituant ainsi une contrainte majeure pour le développement économique et social. développement économique et social.

Les inondations: de 1968 en Algérie, de Les inondations: de 1968 en Algérie, de 1974 des bassins versants de l’algérois et de 1974 des bassins versants de l’algérois et de Sebaou, de 2001 d’Alger et de 2008 de Ghardaïa Sebaou, de 2001 d’Alger et de 2008 de Ghardaïa sont des exemples. sont des exemples. D’après le recensement D’après le recensement effectué par les services de la protection civile, effectué par les services de la protection civile, une commune sur trois (485 communes) est une commune sur trois (485 communes) est susceptible d’être inondée en partie ou en susceptible d’être inondée en partie ou en totalité. Ces inondations sont les catastrophes totalité. Ces inondations sont les catastrophes naturelles les plus fréquentes et les plus naturelles les plus fréquentes et les plus destructrices en Algérie, provoquant destructrices en Algérie, provoquant d’importants dégâts humains et matériels.d’importants dégâts humains et matériels.

II. PROBLÉMATIQUE ET II. PROBLÉMATIQUE ET OBJECTIFS OBJECTIFS

Le choix d’un modèle fréquentiel à Le choix d’un modèle fréquentiel à utiliser pour l’extrapolation des queues droites utiliser pour l’extrapolation des queues droites de distributions des données vers les valeurs de distributions des données vers les valeurs non observables est délicat. Une question non observables est délicat. Une question importante se pose : lorsque plusieurs modèles importante se pose : lorsque plusieurs modèles fréquentiels sont acceptés par les tests fréquentiels sont acceptés par les tests d’adéquations aux données observées, lequel d’adéquations aux données observées, lequel parmi ceux-ci est le plus fiable? parmi ceux-ci est le plus fiable?

Dans ce travail nous avons essyer de Dans ce travail nous avons essyer de répondre à cette question, en faisant le choix répondre à cette question, en faisant le choix du modèle fréquentiel le plus adéquat à du modèle fréquentiel le plus adéquat à l’estimation des valeurs extrêmes de crues non l’estimation des valeurs extrêmes de crues non observables, à partir des observations faites au observables, à partir des observations faites au niveau des stations implantées aux différents niveau des stations implantées aux différents endroits du bassin versant de l’oued endroits du bassin versant de l’oued Seybouse situé au nord est de l’Algérie et ce, à Seybouse situé au nord est de l’Algérie et ce, à travers l’application de plusieurs critères de travers l’application de plusieurs critères de choix. choix.

III. RÉGION D’ÉTUDE ET III. RÉGION D’ÉTUDE ET DONNÉES UTILISÉESDONNÉES UTILISÉES

A. Présentation de la région d’étudeA. Présentation de la région d’étudeLe bassin versant de la Seybouse se situe Le bassin versant de la Seybouse se situe

au nord-est de l’Algérie et couvre 6471 Kmau nord-est de l’Algérie et couvre 6471 Km22. Il . Il coule du Sud vers le nord. coule du Sud vers le nord.

Ce bassin où vie une population estimée à Ce bassin où vie une population estimée à plus de 1 565 846 habitants, comprend 07 plus de 1 565 846 habitants, comprend 07 Wilayas avec deux principales agglomérations: Wilayas avec deux principales agglomérations: Annaba et Guelma. Il est équipé de 07 stations Annaba et Guelma. Il est équipé de 07 stations hydrométriques, dont les emplacements sont hydrométriques, dont les emplacements sont donnés dans la figure 1. donnés dans la figure 1.

Fig. 1 : Zone d’étude et localisation des stations Fig. 1 : Zone d’étude et localisation des stations hydrométriques utiliséeshydrométriques utilisées

B. Données utiliséesB. Données utiliséesNous avons collecté les données Nous avons collecté les données

hydrométriques (débits maximums annuels) de hydrométriques (débits maximums annuels) de sept (07) stations du bassin de la Seybouse. sept (07) stations du bassin de la Seybouse. Celles-ci ont été fournies par l’ANRH de Celles-ci ont été fournies par l’ANRH de Constantine (Constantine (AAgence gence NNationale des ationale des RRessources essources HHydriques). La méthode utilisée dans ce travail ydriques). La méthode utilisée dans ce travail est celle des maximas annuels.est celle des maximas annuels.

Après traitement de données 06 stations Après traitement de données 06 stations parmi les 07 ont été retenues, leurs parmi les 07 ont été retenues, leurs caractéristiques sont données sur le tableau 1. caractéristiques sont données sur le tableau 1.

Tab.1 Caractéristiques géomorphologiques des stations Tab.1 Caractéristiques géomorphologiques des stations utiliséesutilisées

Code station

Nom station Oued X (°) Y (°)Z

(m)S

(km2)P

(km)Loued (m)

140202Moulin

RochfortCherf 7,596 36,092 710 1710 190 43

140301Medjez Amar II

Bouhamdane 7,042 36,413 520 1105 140 90

140302 Bordj Sabath Sabath 7,300 36,437 270

140501 Bouchegouf Mellah 7,705 36,457 95 550 120 53

140601 Mirebek Seybouse 7,599 36,679 55 5955 330 239

140602 Ain Berda Ressoul 7,763 36,742 10 103 45 24

IV. RÉSULTATS ET IV. RÉSULTATS ET INTERPRÉTATION INTERPRÉTATION

La démarche à suivre comporte deux La démarche à suivre comporte deux grandes étapes distinctes : la première grandes étapes distinctes : la première concerne le choix du type (classe) des lois qui concerne le choix du type (classe) des lois qui ajusterait le mieux nos séries de données. La ajusterait le mieux nos séries de données. La deuxième étape, concerne le choix de la deuxième étape, concerne le choix de la meilleure loi parmi celles du type choisi dans meilleure loi parmi celles du type choisi dans la phase précédente.la phase précédente.

A. Choix du type de modèlesA. Choix du type de modèles

Parmi les méthodes utilisées pour choisir Parmi les méthodes utilisées pour choisir le type de modèles qui ajuste le mieux nos le type de modèles qui ajuste le mieux nos séries de données, nous optons au diagramme séries de données, nous optons au diagramme log-log. Ce diagramme est utilisé log-log. Ce diagramme est utilisé essentiellement pour distinguer les lois à essentiellement pour distinguer les lois à décroissance puissance (lois de la classe C), de décroissance puissance (lois de la classe C), de ceux à décroissance exponentielle (lois de la ceux à décroissance exponentielle (lois de la classe D) (El Adlouni et al 2008) (figure 2).classe D) (El Adlouni et al 2008) (figure 2).

Fig. 2. Fig. 2. Distributions ordonnées par rapport à leurs queues Distributions ordonnées par rapport à leurs queues droites (extrait d’El Adlouni 2008) droites (extrait d’El Adlouni 2008)

Pour vérifier l'hypothèse de linéarité dans ce Pour vérifier l'hypothèse de linéarité dans ce diagramme, on calcule le coefficient de corrélation diagramme, on calcule le coefficient de corrélation associé à la courbe représentée dans ce derniers. associé à la courbe représentée dans ce derniers.

Si le coefficient de corrélation observée RSi le coefficient de corrélation observée Roo est est supérieur à la valeur critique au niveau de supérieur à la valeur critique au niveau de signification choisi, alors l'échantillon est issu d'une signification choisi, alors l'échantillon est issu d'une loi de la classe C. Sinon, l’échantillon est issu d’une loi de la classe C. Sinon, l’échantillon est issu d’une loi de la classe D.loi de la classe D.

Les valeurs critiques données par El Adlouni Les valeurs critiques données par El Adlouni et al. (2008), sont :et al. (2008), sont :

Valeur critique au niveau 5% (RValeur critique au niveau 5% (Rcc) = 0,96) = 0,96 Valeur critique au niveau 1% (RValeur critique au niveau 1% (Rcc) = 0,97) = 0,97

Tab.2 Tab.2 VValeurs Raleurs R00 et classe d’appartenance de et classe d’appartenance de

chaque stationchaque station

Code station R0 Classe140501 0.92 D140301 0.96 -140601 0.90 D140602 0.86 D140202 0.96 -140302 0.91 D

Le tableau 2 donne les valeurs calculées de R0 et la classe d’appartenance de chaque station.

On remarque que 04 séries parmi les 06 utilisées On remarque que 04 séries parmi les 06 utilisées dans cette étude, appartenant à la classe D, c’est-à-dans cette étude, appartenant à la classe D, c’est-à-dire, que celles-ci présentent un comportement sur dire, que celles-ci présentent un comportement sur leurs queues droite de distribution asymptotiquement leurs queues droite de distribution asymptotiquement exponentiel. Les deux autres stations présentent un exponentiel. Les deux autres stations présentent un coefficient de corrélation observé (Rcoefficient de corrélation observé (R00) égale à celui ) égale à celui

critique (Rcritique (Rcc) au niveau de signification de 5% mais ) au niveau de signification de 5% mais

inferieur à celui au niveau de signification de 1% et inferieur à celui au niveau de signification de 1% et vu que 67% des stations appartenant à la classe D, il vu que 67% des stations appartenant à la classe D, il est préférable de les classer dans cette dernière.est préférable de les classer dans cette dernière.

Alors on peut dire que le type de modèle Alors on peut dire que le type de modèle susceptible de mieux ajuster les distributions étudiées susceptible de mieux ajuster les distributions étudiées est le type exponentiel.est le type exponentiel.

B. Choix du modèle d’ajustementB. Choix du modèle d’ajustement

Après avoir déterminé le type de modèles Après avoir déterminé le type de modèles susceptibles de mieux ajuster nos séries de susceptibles de mieux ajuster nos séries de données, il nous sera utile maintenant de faire le données, il nous sera utile maintenant de faire le choix entre ces modèles. A cet effet, les choix entre ces modèles. A cet effet, les ajustements sont faits pour les lois constituant la ajustements sont faits pour les lois constituant la classe D (Gumbel (EV1), Weibull (W2), Halphen classe D (Gumbel (EV1), Weibull (W2), Halphen A (HA), Gamma (G2) et Pearson III (P3)). Le A (HA), Gamma (G2) et Pearson III (P3)). Le tableau 3 donne les densités de probabilité de ces tableau 3 donne les densités de probabilité de ces dernières.dernières.

Tab.3 Fonctions de densité de probabilité des lois Tab.3 Fonctions de densité de probabilité des lois utilisées utilisées

uxuxxf expexp1)(

cxcxcxf exp

1)(

xm

mxx

kmxf

exp1222

1)(

)(1)()(

)( mxemxxf

xexxf

1)(

)(

La formule de probabilité empirique La formule de probabilité empirique utilisée dans ce travail est celle de Hazen. utilisée dans ce travail est celle de Hazen. L’estimation des paramètres de ces lois, a été L’estimation des paramètres de ces lois, a été faite par la méthode du maximum de faite par la méthode du maximum de vraisemblance à cause de ses propriétés vraisemblance à cause de ses propriétés asymptotiques fort intéressantes, un test de χasymptotiques fort intéressantes, un test de χ22 est appliqué pour se renseigner sur l’adéquation est appliqué pour se renseigner sur l’adéquation de ces lois aux différents échantillons utilisés de ces lois aux différents échantillons utilisés dans cette étude. Le tableau 4 présente les dans cette étude. Le tableau 4 présente les valeurs de la statistique χvaleurs de la statistique χ22 et l’erreur de première et l’erreur de première espèce espèce αα..

Tab.4 Statistique χTab.4 Statistique χ2 2 et erreur de première espèce et erreur de première espèce αα

Code Station

Weibull Halphen A Gamma

χ² α (%) χ² α (%) χ² α (%)

140501 07.32 19.76 03.86 42.46 06.03 30.36

140301 04.55 33.65 05.03 16.93 05.03 28.38

140601 06.33 17.56 05.17 16.00 05.75 21.86

140602 03.46 62.92 04.69 32.03 03.87 56.80

140202 06.00 19.91 02.62 45.39 07.93 09.41

140302 03.60 46.28 02.20 53.19 01.27 86.70

Pour l’établissement d’un classement des lois les plus Pour l’établissement d’un classement des lois les plus fiables, nous avons appliqué les critères d’informations suivants fiables, nous avons appliqué les critères d’informations suivants ::

Le Critère d'Information d'Akaike corrigé (AICc), Le Critère d'Information d'Akaike corrigé (AICc), proposé par Hurvich et Tsai (1995) : proposé par Hurvich et Tsai (1995) :

le critère d’information bayésien (BIC) proposé le critère d’information bayésien (BIC) proposé initialement par Schwarz (1978) :initialement par Schwarz (1978) :

le critère de Schwarz où la probabilité a posteriori est le critère de Schwarz où la probabilité a posteriori est

donnée par (Lebarbier et Mary-Huard 2006) :donnée par (Lebarbier et Mary-Huard 2006) :  

Avec :Avec :

))1kn/())1k(k2((k2)Llog(2AICc

)nlog(k)Llog(2BIC

m

1ll

i

i

BICexp

BICexp)XM(P

2

1

2

1

minii BICBICBIC ))M(Plog(2)nlog(k)Llog(2BIC ii

Les meilleures lois correspondent aux valeurs Les meilleures lois correspondent aux valeurs les plus petites du BIC et de l’AICc, mais à celles les les plus petites du BIC et de l’AICc, mais à celles les plus grandes de la probabilité a posteriori pour le plus grandes de la probabilité a posteriori pour le critère de Schwarz. Ce dernier a l’avantage de critère de Schwarz. Ce dernier a l’avantage de pouvoir inclure l’information supplémentaire sous pouvoir inclure l’information supplémentaire sous forme de distribution de probabilités a priori, laquelle forme de distribution de probabilités a priori, laquelle doit refléter l’information que nous avons acquise sur doit refléter l’information que nous avons acquise sur la pertinence de la loi pour ajuster la variable la pertinence de la loi pour ajuster la variable hydrologique en question. Cette information peut être hydrologique en question. Cette information peut être basée sur notre expérience ou sur une étude régionale basée sur notre expérience ou sur une étude régionale par exemple.par exemple.

Cela nécessite deux phases de calcule : la Cela nécessite deux phases de calcule : la première est une analyse locale et la seconde est première est une analyse locale et la seconde est une analyse régionale. une analyse régionale.

Dans l’analyse locale, le choix du modèle Dans l’analyse locale, le choix du modèle le plus adéquat, consiste en l’établissement d’un le plus adéquat, consiste en l’établissement d’un classement pour chaque station classement pour chaque station indépendamment des autres, basé sur : indépendamment des autres, basé sur : l’évaluation de la vraisemblance du modèle l’évaluation de la vraisemblance du modèle théorique en question, le nombre de paramètre théorique en question, le nombre de paramètre de celui-ci (principe de parcimonie) et la taille de celui-ci (principe de parcimonie) et la taille de l’échantillon. C’est-à-dire, qu’à part les de l’échantillon. C’est-à-dire, qu’à part les données numériques de l’échantillon, aucune données numériques de l’échantillon, aucune information supplémentaire ne sera prise en information supplémentaire ne sera prise en compte dans les calculs. Dans ce cas, la compte dans les calculs. Dans ce cas, la distribution a priori est supposée uniforme pour distribution a priori est supposée uniforme pour toutes les lois.toutes les lois.

Tab.5Tab.5 Résultats de calculs pour différents critèresRésultats de calculs pour différents critères

Code Station

Weibull Halphen A GammaP (Mi I x)

BIC AICcP (Mi I x)

BIC AICcP (Mi I x)

BIC AICc

140501 33.51 463.626 460.76 25.71 464.156 460.05 40.78 463.234 460.37

140301 -   -  - 82.26  362.61  363.58 17.74 365.68 366.15

140601 43.51 349.160 347.38 12.41 351.669 349.34 43.60 349.156 347.37

140602 -   -  - 16.93 404.075 399.77 82.80 400.900 397.91

140202 -   -  - 52.30  315.32  312.20 47.70 315.63 313.26

140302 -   -  - 17.71 340.554 340.34 82.26 340.553 338.19

Le tableau 5 présente les résultats de calculs des trois lois les mieux classées.

Les résultats obtenus montrent que pour Les résultats obtenus montrent que pour le critère de Schwarz (probabilité a posteriori), le critère de Schwarz (probabilité a posteriori), 04 échantillons sur les 06 étudiés (67%) 04 échantillons sur les 06 étudiés (67%) suivent la loi Gamma, et les deux autres (33%) suivent la loi Gamma, et les deux autres (33%) suivent la loi Halphen A et aucun échantillon suivent la loi Halphen A et aucun échantillon ne suit ni la loi Gumble ni celle de Pearson III ne suit ni la loi Gumble ni celle de Pearson III ou Weibull. Le critère BIC vient de confirmer ou Weibull. Le critère BIC vient de confirmer ces résultats dans 100% de cas, tandis que le ces résultats dans 100% de cas, tandis que le critère AICc dans 83% de cas. Nous critère AICc dans 83% de cas. Nous remarquons aussi que sur 100% des remarquons aussi que sur 100% des échantillons qui ne suivent pas la loi Gamma, échantillons qui ne suivent pas la loi Gamma, cette dernière est classée en deuxième position. cette dernière est classée en deuxième position.

Dans une étude antérieure, menée sur 28 Dans une étude antérieure, menée sur 28 stations hydrométriques situées dans la partie stations hydrométriques situées dans la partie centrale du nord algérien appartenant aux centrale du nord algérien appartenant aux bassins : Chéliff, Côtiers Algérois et Isser bassins : Chéliff, Côtiers Algérois et Isser (Hebal et Remini 2011) nous avons pu montré (Hebal et Remini 2011) nous avons pu montré que ces dernières suivent la loi Gamma. Ce que ces dernières suivent la loi Gamma. Ce résultat combiné à celui trouvé dans ce travail résultat combiné à celui trouvé dans ce travail jusqu’à présent nous laisse penser que les jusqu’à présent nous laisse penser que les distributions des valeurs extrêmes des crues du distributions des valeurs extrêmes des crues du nord de l’Algérie ont une tendance régionale à nord de l’Algérie ont une tendance régionale à suivre la loi Gamma. suivre la loi Gamma.

A ces considérations pratiques, s’ajoutent A ces considérations pratiques, s’ajoutent des considérations théoriques:des considérations théoriques:

La loi Halphen A comprend comme cas limite la La loi Halphen A comprend comme cas limite la loi Gamma (Bobée 1999).loi Gamma (Bobée 1999).

L’utilisation de distribution de Halphen A a été L’utilisation de distribution de Halphen A a été limitée en pratique en raison des problèmes de limitée en pratique en raison des problèmes de calcul numérique de la fonction de normalisation calcul numérique de la fonction de normalisation (Chebana 2010). (Chebana 2010).

La loi Halphen A est une loi à trois paramètres et La loi Halphen A est une loi à trois paramètres et celles de Gamma est une loi à deux paramètres, celles de Gamma est une loi à deux paramètres, information que nous n’avons pas exploitée information que nous n’avons pas exploitée précédemment pour la probabilité a priori P(Mi) précédemment pour la probabilité a priori P(Mi) prise égale pour toutes les lois.prise égale pour toutes les lois.

Toutes ces constatations signifient que la Toutes ces constatations signifient que la loi Gamma peut être la loi la plus adéquate pour loi Gamma peut être la loi la plus adéquate pour l’ajustement des valeurs extrêmes de crues de l’ajustement des valeurs extrêmes de crues de notre région. Cela nous offre la possibilité de notre région. Cela nous offre la possibilité de lancer une deuxième phase de calcul basée sur lancer une deuxième phase de calcul basée sur les informations supplémentaires citées en haut les informations supplémentaires citées en haut (c.à.d. une analyse régionale). Ces dernières (c.à.d. une analyse régionale). Ces dernières sont introduites numériquement dans les calculs sont introduites numériquement dans les calculs sous forme de distribution de probabilité a sous forme de distribution de probabilité a priori P(Mi). Pour cela, nous devons modifier priori P(Mi). Pour cela, nous devons modifier celle-ci de telle sorte qu’elle doit refléter la celle-ci de telle sorte qu’elle doit refléter la tendance régionale allant en faveur de la loi tendance régionale allant en faveur de la loi Gamma. Gamma.

Tab. 6 Résultats de calculs après la modification des Tab. 6 Résultats de calculs après la modification des probabilités a prioriprobabilités a priori

Code Station Halphen A GammaP(Mi) P (Mi I x) P(Mi) P (Mi I x)

140301 15.00 45.00 85.00 55.00140202 45.00 47.29 55.00 52.71

Les résultats finals montrent que toutes les Les résultats finals montrent que toutes les séries de données des stations utilisées suivent séries de données des stations utilisées suivent la loi Gamma. Par conséquent, celle-ci est donc la loi Gamma. Par conséquent, celle-ci est donc retenue pour modéliser les distributions des retenue pour modéliser les distributions des débits extrêmes de crues du bassin versant de la débits extrêmes de crues du bassin versant de la Seybouse. Le tableau 7 donne les paramètres de Seybouse. Le tableau 7 donne les paramètres de la loi Gamma pour chaque station calculés par la loi Gamma pour chaque station calculés par la méthode du maximum de vraisemblance. la méthode du maximum de vraisemblance.

Tab. 7Tab. 7 Paramètres de la loiParamètres de la loi

Code Station

Paramètres

α λ

140501 0,01 1,21140301 0,00 0,54140601 0,00 1,08140602 0,02 1,07140202 0,01 0,90

V. CONCLUSION ET PERSPECTIVESV. CONCLUSION ET PERSPECTIVESLe travail effectué a permis de mettre en Le travail effectué a permis de mettre en

exergue, le modèle fréquentiel simulant le mieux exergue, le modèle fréquentiel simulant le mieux les distributions des débits extrêmes de la région les distributions des débits extrêmes de la région d’étude.d’étude.

L’utilisation du diagramme log-log, montre L’utilisation du diagramme log-log, montre que nos séries de données appartenant à la classe que nos séries de données appartenant à la classe D (distribution asymptotiquement de type D (distribution asymptotiquement de type exponentiel). Par la suite, l’application du critère exponentiel). Par la suite, l’application du critère d’information de Schwarz aux différentes lois de d’information de Schwarz aux différentes lois de la classe D met la loi Gamma en première la classe D met la loi Gamma en première position. position.

Ce résultat vient de contredire la Ce résultat vient de contredire la tendance prédominante en Algérie allant en tendance prédominante en Algérie allant en faveur des lois Gumble et Pearson III. faveur des lois Gumble et Pearson III.

Enfin, nous pouvons dire que ce travail Enfin, nous pouvons dire que ce travail constitue un pas sur le chemin de l’étude des constitue un pas sur le chemin de l’étude des valeurs extrêmes de crues en Algérie, son valeurs extrêmes de crues en Algérie, son extension sur tous les bassins versants du nord extension sur tous les bassins versants du nord algérien peut aider à l’amélioration des algérien peut aider à l’amélioration des résultats obtenus et de généraliser un modèle résultats obtenus et de généraliser un modèle fréquentiel qui ajusterait convenablement fréquentiel qui ajusterait convenablement l'ensemble des séries hydrologiques observées l'ensemble des séries hydrologiques observées en Algérie du nord. en Algérie du nord.