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ECL 2A S8-ELC-F5
Ordre, chaos et fractales
Christophe Bailly
Ecole Centrale de Lyon • LMFA UMR 5509
http://acoustique.ec-lyon.fr
Contrôle du chaos
20 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
x Contrôle du chaos q
Philosophie
De façon a priori surprenante, il est relativement aisé de ramener un système au
comportement chaotique vers un système au comportement régulier, à l’aide de
faibles variations d’un paramètre de contrôle.
Ceci n’est possible qu’à cause des caractéristiques fondamentales des systèmes
chaotiques, c’est-à-dire la sensibilité aux conditions initiales et le caractère
« récurrent » de l’attracteur dont tous les points sont visités irrégulièrement au
cours du temps.
La première étape est l’identification d’orbites périodiques instables qui sont no-
yées dans l’attracteur chaotique. L’objectif est ensuite de stabiliser cette trajec-
toire en pilotant un des paramètres de contrôle du système autour de sa valeur
nominale.
21 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
x Contrôle du chaos q
Quelques dates clefs
• Lorenz (1963) : premier attracteur étrange.
• Takens & Ruelle (1971) : 3 degrés de liberté + non linéarité, comportement
chaotique possible.
• Takens (1981) : reconstruction d’un attracteur topologiquement équivalent
à partir d’une série temporelle.
• Ott, Grebogi & Yorke (1990) : algorithme de contrôle pour des systèmes non
linéaires chaotiques.
• Ditto, Rauso & Spano (1990) : contrôle expérimental d’une lame soumise à
un champ magnétique oscillant.
• Autres applications : cavité laser (Roy et al., 1992), réaction chimique (Petrov
et al., 1993), rythme cardiaque d’une souris (Garfinkel et al., 1992), cerveau
de rat (Schiff et al., 1994), ...
22 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
Quelques algorithmes de contrôles
23 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
x Contrôle des systèmes chaotiques q
Ott, Grebogi & Yorke (1990)
Système à contrôler :
x = F (x,p) x ∈ IR3 p ∈ IR (paramètre de contrôle)
section de Poincaré : xn+1 = f (xn)
point fixe x0 = f (x0), p0 valeur nominale du paramètre p
Linéarisation autour du point fixe x0 = x0(pn)
xn+1 = f (xn)
≃ f (x0 (pn)) +A [x0 (pn)] (xn − x0 (pn))
≃ x0 (pn) +A [x0 (pn)] (xn − x0 (pn))
matrice jacobienne A =∂f
∂xA [x0 (pn)] ≃ A [x0 (p0)]
Ott, E., Grebori, C. & Yorke, J.A., 1990, « Controlling chaos », Phys. Rev. Lett., 64(11), 1196-1199.
24 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
x Contrôle des systèmes chaotiques q
Ott, Grebogi & Yorke (1990)
linéarisation de x0 (pn) autour de x0 = x0 (p0)
x0 (pn) ≃ x0 + (pn − p0)∂x0∂p
∣
∣
∣
∣
∣
p=p0
= x0 + δpng
g ≡∂x0∂p
∣
∣
∣
∣
∣
p=p0
δpn ≡ pn − p0
On retient au final :
xn+1 = x0 + δpng +A (xn − x0 − δpng)
soit encore, en posant δx ≡ x − x0 (vecteur erreur) :
δxn+1 = δpng +A (δxn − δpng)
25 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
x Contrôle des systèmes chaotiques q
Ott, Grebogi & Yorke (1990)
✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✿
✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✾
instable
❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈
❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈
❈❈❈❲
❈❈❈❖
stable
✈
x0 (p0)
✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✿
✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✘✾
❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈
❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈❈
❈❈❈❲
❈❈❈❖
✈
x0 (p0 + δpn)
✓✓✓✴
✉
xn
✉
xn+1
vecteur erreur δxn+1 = αses +αueu
(es,eu) vecteurs propres de A dans la
direction stable et instable
On chercher à annuler la compo-
sante de ce vecteur dans la direction
instable eu en choisissant judicieuse-
ment δpn+1
Comment perturber le paramètre p à
l’itération n pour avoir δxn+1 dans la
direction stable?
Attention, a priori, es et eu ne sont pas orthogonaux
26 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
x Contrôle des systèmes chaotiques q
Ott, Grebogi & Yorke (1990)
vecteurs propres (es,eu), vecteurs contravariants (fs,fu)
A = λueufu +λsesfs fu · es = fs · eu = 0 fu · eu = fs · es = 1
On souhaite que le vecteur δxn+1 soit orienté dans la direction stable associée
au point fixe x0, soit encore δxn+1.eu = 0.
δxn+1 = αses +αueu { δxn+1 · fu = αu
δxn+1 · fu = 0
δpng · fu + [λueufu +λsesfs] (δxn − δpng) · fu = 0
δpngifui +[
λueuifuj +λsesifsj] (
δxnj − δpngj)
fui = 0
δpng · fu +λufu · δxn −λuδpnfu · g = 0
Loi de contrôle (OGY90) δpn =λu
λu − 1
δxn · fug · fu
27 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
x Contrôle des systèmes chaotiques q
Ott, Grebogi & Yorke (1990)
Pour les systèmes fortement dissipatifs, la section de Poincaré se présente comme
une courbe yn = h (xn) autour du point fixe x0. En considérant les courbes de pre-
mier retour xn+1 = f (xn), on écrit :
xn ≃ x0 +dx
dp
∣
∣
∣
∣
∣
p0
(p − p0) soit encore δxn =dx
dp
∣
∣
∣
∣
∣
p0
δpn
Connaissant l’écart entre le point xn et le point fixe x0, on en déduit la pertur-
bation à appliquer au paramètre p pour ramener xn en x0. La loi de contrôle est
alors simplement donnée par :
δpn =δxng
avec g =dx
dp
∣
∣
∣
∣
∣
p0
28 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
x Contrôle des systèmes chaotiques q
Nitsche & Dressler (1992)
Linéarisation plus générale en suivant le même objectif, δxn+1 doit être aligné surla direction stable en x0.
xn+1 = f (xn,pn) = f (x0 + δxn,p0 + δpn)
≃ f (x0,p0) +Aδxn +bδpn
δxn+1 ≡ xn+1 − x0 = Aδxn +bδpn
δxn+1 · fu = 0
(λueufu +λsesfs)δxn · fu + δpnb · fu = 0
λuδxn · fu + δpnb · fu = 0
Loi de contrôle δpn = −λuδxn · fub · fu
Nitsche, G. & Dressler, U., 1992, « Controlling chaotic dynamical systems using time delay coordinates », Physica D,
58, 153-164.
29 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
x Contrôle des systèmes chaotiques q
Stabilisation par placement des pôles
- technique très générale pour la commande des systèmes dynamiques
- application aux systèmes non linéaires chaotiques :
Romeiras, Grebogi, Ott & Dayawansa (1992)
linéarisation : δxn+1 = Aδxn +bδpn
boucle linéaire : δpn = −kTδxn
{ loi de contrôle δxn+1 =(
A−bkT)
δxn
On doit alors résoudre un problème de contrôle « classique », à savoir comment
choisir le vecteur k pour avoir toutes les valeurs propres deA−bkT dans le cercle
unité, et avoir ainsi : limn→∞δxn = 0. (en pratique, placement des pôles avec la
formulation d’Ackermann)
µi valeurs propres de A−bkT , si |µi | ≥ 1, alors µi→ 1/µi (µi = 0 avec OGY90)
30 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
Quelques exemples de contrôle
de systèmes chaotiques
31 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
xModèle de Peng, Petrov & Showalter q
Modèle de Peng, Petrov & Showalter (1991) (réaction chimique)
x = µ (κ + z)− x − xy2
σy = x + xy2 − yδz = y − z
κ = 65 σ = 5× 10−3 δ = 2× 10−2
µ = 0.154
−4−3
−2−1
0
0.00.5
1.01.5
2.0
0.2
0.6
1.0
1.4
log10
xlog10
y
log
10 z On conserve µ comme
paramètre de contrôle
(concentration d’un des
réactifs)
Peng, B., Petrov, V. & Showalter, K., 1991, « Controlling chemical chaos », J. Phys. Chem., 95, 4957-4959.
32 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
xModèle de Peng, Petrov & Showalter q
Section de poincaré z = 15 et z > 0
0 0.02 0.04 0.06 0.0820
30
40
50
60
70
80
90
100
110
xn
yn
20 40 60 80 100 12020
40
60
80
100
120
yn
yn
+1
section de Poincaré carte de premier retour pour y
33 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
xModèle de Peng, Petrov & Showalter q
Carte de premier retour pour y(section de Poincaré z = 15 & z > 0)
30 35 40 45 5030
35
40
45
50
yn
yn
+1
∆y
× µ = 0.1536◦ µ = 0.154+ µ = 0.1544
• point fixe y0 ≈ 40.6790
gain g ≈∆y
∆µ
34 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
xModèle de Peng, Petrov & Showalter q
Contrôle d’un cycle d’ordre un
−4−3
−2−1
0
0.00.5
1.01.5
2.0
0.2
0.6
1.0
1.4
log10
xlog10
y
log
10 z
0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0
0
1
2
temps
log
10 y
35 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
xModèle de Peng, Petrov & Showalter q
Contrôle d’un cycle d’ordre un
0 5 10 15 20 25 30
0.1540
0.1544
0.1548
0.1552
nbre de cycles
µ
36 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
xModèle de Peng, Petrov & Showalter q
Contrôle d’un cycle d’ordre deux
20 40 60 80 100 12020
40
60
80
100
120
yn
yn
+2
−4−3
−2−1
0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0.2
0.6
1.0
1.4
log10
xlog10
y
log
10 z
(point fixe y0 ≈ 75.35)
37 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
x Pendule de Moon q
Pendule de Moon (Duffing-Holmes)
✲
aimantsx1
✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄✄
lame (γ)✲✛
acosωt
x1 = x2x2 = −γx2 +0.5x1
(
1− x21)
− acos(ωx3)
x3 = 1
a = 0.9 ω = 2π/10 γ = 0.08
• Section de Poincaré : ϕ = ωx3 = 0modulo 2π, avec x3 croissant.
• On souhaite contrôler le système en pilotant l’amplitude a de l’excitation au-
tour de sa valeur nominale a0.
(autre paramètre de contrôle possible : la fréquence angulaire ω)
Moon, F.C. & Holmes, P.J., 1979, A magnetoelastic strange attractor, J. Sound Vib., 65(2), 275-296.
Moon, F.C., 1980, « Experiments on chaotic motions of a forced nonlinear oscillator : strange attractors », Transac-
tions of the ASME, 47, 638-644.
38 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
x Pendule de Moon q
Pendule de Moon (Duffing-Holmes)
−3 −2 −1 0 1 2 3−3
−2
−1
0
1
2
3
x
dx/d
t
−1 0 1 2 3−2
−1
0
1
2
xn
yn
39 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
x Pendule de Moon q
Pendule de Moon (Duffing-Holmes)
−1 0 1 2 3−1
0
1
2
3
xn
xn
+1
−2 −1 0 1 2−2
−1
0
1
2
yn
yn
+1
40 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
x Pendule de Moon q
Pendule de Moon (Duffing-Holmes)
−3 −2 −1 0 1 2 3−3
−2
−1
0
1
2
3
x
dx/d
t
41 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
x Attracteur de Lorenz q
Edward Lorenz (1963)
Système différentiel autonome d’ordre 3 dissipatif
x = f (x), V (t) = V0e(∇·f )t
x = σ(y − x)y = −xz + rx − yz = xy − bz
∇.f = −(σ +1+ b) = −41/3 (e−41/3 ≈ 1.210−6)
(σ = 10, b = 8/3, r = 28)
exposants de Liapunov :
λ1 ≈ 0.87 λ2 = 0. λ3 ≈ −14.53 (∇ · f =∑
iλi)
conjecture de Kaplan & Yorke (1979) :
dl = j +
j∑
i=1
λi
∣
∣
∣λj+1
∣
∣
∣
≈ 2.06 avec
j∑
i=1
λi > 0 et
j+1∑
i=1
λi < 0
dl→ 2 pour Lorenz, système fortement dissipatif
42 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
x Attracteur de Lorenz q
Contrôle : algorithme OGY90 sur le paramètre r
30 32 34 36 38 40 42 44 4630
32
34
36
38
40
42
44
46
Zmax(n)
Zm
ax(n
+1
)
−20
−10
0
10
20 −20−10
010
2030
10
20
30
40
50
xy
section de Poincaréxy − bz = 0 pour z = zmax
point fixe z⋆max ≃ 39.8, r = 27 et r = 28
contrôle cycle d’ordre 1
Bailly, C. & Comte Bellot, G., 1997, Contrôle des systèmes chaotiques : quelques exemples de simulation, Algo-
rithmes de contrôle, GDR de Mécanique des fluides active, 1-5.
Ott, E., Grebori, C. & Yorke, J.A., 1990, Controlling chaos, Phys. Rev. Lett., 64(11), 1196-1199.
43 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
Quelques applications en biologie
44 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
x Quelques applications en biologie q
Applications plus pratiques du contrôle de systèmes chaotiques
Plus demodélisation (expression flot) disponible, comme en biologie par exemple :
- identification du régime chaotique et reconstruction de l’attracteur - système
dynamique - à partir de signaux mesurés
- influence du bruit pour l’identification et le contrôle
- développer un contrôle fiable et robuste
+ −
cœur périodique chaotique
cerveau chaotique périodique
45 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos
x Contrôle du chaos q
Conclusion
Des systèmes dynamiques déterministes, mais non linéaires et chaotiques,
peuvent être contrôlés et deviennent prévisibles.
On ne supprime pas le chaos, et l’on conserve les paramètres nominaux pour
la stabilisation.
Le contrôle n’est pas continu, nécessite peu d’énergie, et possède une certaine
robustesse au bruit.
Il existe d’autres techniques et stratégies de contrôle pour les systèmes dyna-
miques.
Autres applications : synchronisation de deux systèmes chaotiques, modifica-
tion des exposants de Liapunov, ...
Parmi les difficultés de mise en œuvre : influence du bruit, reconstruction de
l’attracteur, ...
46 Ordre, chaos et fractales – Christophe Bailly – ECL’2020 Contrôle du chaos