30
Chapitre 3 Cin´ ematique des fluides La cin´ ematique est la description analytique d’un syst` eme en mouvement. Dans ce cha- pitre, nous allons donc nous int´ eresser aux mouvements des fluides par rapport au temps, ind´ ependamment des causes qui les provoquent, c’est-` a-dire sans prendre en compte les forces qui sont ` a leur source. Un milieu fluide ´ etant en mouvement, comment l’observer, comment le d´ ecrire ? On introduit pour commencer la notion de « particule fluide » (ou plus g´ en´ eralement, pour un milieu continu quelconque, de « particule milieu continu »). C’est un tout petit volume de mati` ere que l’on a « marqu´ e » et que « l’on suit dans son mouvement ». A cette particule fluide, on attache des grandeurs cin´ ematiques (position,vitesse, acc´ el´ eration) et des grandeurs thermodynamiques (masse volumique, temp´ erature, pression, . . . ). 3.1 Description du mouvement 3.1.1 Particule fluide Au sein d’un fluide occupant le volume D, consid´ erons un tr` es petit volume ΔV de fluide. On introduit trois longueurs : le diam` etre a des mol´ ecules, une longueur d caract´ eristique du volume ΔV (par exemple, le diam` etre de ΔV si ΔV est une sph` ere, la plus grande distance entre deux points de ΔV si ΔV est quelconque, . . . ), une longueur L caract´ eristique du volume D de fluide. Une particule fluide est le petit volume ΔV si : a d L Autrement dit, ΔV contient un tr` es grand nombre de mol´ ecules, mais est tr` es petit par rapport au volume D. ` A titre illustratif, le diam` etre d’une mol´ ecule d’eau est de l’ordre de a = 2 10 -10 m; dans un volume d’eau D sph´ erique de diam` etre L = 1 m, un petit volume sph´ erique ΔV de diam` etre d = 10 -6 m, constitue bien une « particule fluide » au sens o` u nous venons de le d´ efinir, car on a bien : 2 10 -10 10 -6 1. Dans la description du milieu fluide, la particule fluide est assimil´ ee ` a un point au sens math´ ematique du terme (c’est-` a-dire avec un diam` etre nul). 3.1.2 Grandeurs cin´ ematiques attach´ ees ` a une particule fluide Position On consid` ere une particule fluide (appel´ ee bri` evement une particule), et on suit cette particule dans son mouvement par rapport au rep` ere orthonorm´ e direct (O; x, y, z ) dont les vecteurs 41

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Chapitre 3

Cinematique des fluides

La cinematique est la description analytique d’un systeme en mouvement. Dans ce cha-pitre, nous allons donc nous interesser aux mouvements des fluides par rapport au temps,independamment des causes qui les provoquent, c’est-a-dire sans prendre en compte les forcesqui sont a leur source.

Un milieu fluide etant en mouvement, comment l’observer, comment le decrire ?On introduit pour commencer la notion de « particule fluide » (ou plus generalement, pour

un milieu continu quelconque, de « particule milieu continu »). C’est un tout petit volume dematiere que l’on a « marque » et que « l’on suit dans son mouvement ».

A cette particule fluide, on attache des grandeurs cinematiques (position,vitesse, acceleration)et des grandeurs thermodynamiques (masse volumique, temperature, pression, . . . ).

3.1 Description du mouvement

3.1.1 Particule fluide

Au sein d’un fluide occupant le volume D, considerons un tres petit volume ∆V de fluide.On introduit trois longueurs : le diametre a des molecules, une longueur d caracteristique duvolume ∆V (par exemple, le diametre de ∆V si ∆V est une sphere, la plus grande distanceentre deux points de ∆V si ∆V est quelconque, . . . ), une longueur L caracteristique du volumeD de fluide. Une particule fluide est le petit volume ∆V si :

a� d� L

Autrement dit, ∆V contient un tres grand nombre de molecules, mais est tres petit par rapportau volume D. A titre illustratif, le diametre d’une molecule d’eau est de l’ordre de a = 2 10−10 m ;dans un volume d’eau D spherique de diametre L = 1 m, un petit volume spherique ∆V dediametre d = 10−6 m, constitue bien une « particule fluide » au sens ou nous venons de le definir,car on a bien : 2 10−10 � 10−6 � 1.

Dans la description du milieu fluide, la particule fluide est assimilee a un point au sensmathematique du terme (c’est-a-dire avec un diametre nul).

3.1.2 Grandeurs cinematiques attachees a une particule fluide

Position

On considere une particule fluide (appelee brievement une particule), et on suit cette particuledans son mouvement par rapport au repere orthonorme direct (O;x, y, z) dont les vecteurs

41

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42 CHAPITRE 3. CINEMATIQUE DES FLUIDES

Ox

y

z

~ex

~ey

~ez

Trajectoire de MM0

~x0 = ~x0(t)

M(t)

~x = ~x(t)

Fig. 3.1 – Positions successives d’une particule fluide

unitaires des trois axes sont ~ex, ~ey et ~ez. Le temps est note t. Une particule M est en mouvementpar rapport a ce repere.

A l’instant t = t0, la particule fluide occupe la position ~x0 = (x0, y0, z0). A un instant tquelconque, la particule fluide occupe la position ~x(t) = (x, y, z). Par definition :

−−→OM0 = ~x0 et

−−→OM = ~x(t).

Nous ecrirons que la position, a l’instant t, de la particule fluide qui occupait la position ~x0

a l’instant t0, est donnee par :~x(t) = ~F(~x0, t0, t) (3.1)

c’est-a-dire :x = f(~x0, t0, t), y = g(~x0, t0, t), z = h(~x0, t0, t) (3.2)

ou l’on a utilise la notation condensee ~x0 pour (x0, y0, z0). Ainsi on a :

f(~x0, t0, t) = f(x0, y0, z0, t0, t)

La fonction ~F est supposee continue et continument derivable autant de fois qu’il est necessaire.On suppose en outre, que pour t et t0 fixes, la fonction ~F qui a ~x0 fait correspondre ~x estbijective, si bien que :

~x0 = ~F−1(~x, t0, t) (3.3)

Vitesse

A chaque instant t on peut definir, en tout point de l’espace, un vecteur ~U qui represente lavitesse, a l’instant t, de la particule fluide qui occupait la position ~x0 a l’instant t0. Cette vitesseest donnee par :

~U =∂ ~F∂t

(~x0, t0, t) (3.4)

c’est-a-dire :u =

∂f

∂t(~x0, t0, t), v =

∂g

∂t(~x0, t0, t), w =

∂h

∂t(~x0, t0, t) (3.5)

ou l’on a note : ~U = u~ex + v ~ey + w~ez.

Acceleration

L’acceleration, a l’instant t, de la particule fluide qui occupait la position ~x0 a l’instant t0,est donnee par :

~Γ =∂2 ~F∂t2

(~x0, t0, t) (3.6)

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3.1. DESCRIPTION DU MOUVEMENT 43

avec les notations precedentes.

3.1.3 Exemple

Soit une particule dont la position a l’instant t est :

x = x0

(1 + ω (t− t0)

),

y = y0 exp(ω (t− t0)

)+ x0 ω (t− t0),

z = z0 + ω2 (x0 + y0) (t− t0)2

A l’instant t = t0, la particule occupe la position (x0, y0, z0). A l’instant t, sa vitesse ~U a pourcomposantes :

u = ω x0, v = ω x0 + ω y0 exp(ω (t− t0)), w = 2ω2 (x0 + y0) (t− t0)

et son accereration est :

~Γ =(0, ω2 y0 exp(ω (t− t0)), 2ω2 (x0 + y0)

)3.1.4 Description de Lagrange (description par les trajectoires)

Definition

La courbe, lieu du point M lorsque le temps t varie, le point M0 etant fixe, est la trajectoirede la particule qui a t = t0 occupait la position M0 (Fig. 3.2).

Ox

y

z

~ex

~ey

~ezD0

M0

~x0 = ~x0(t)

Trajectoires

D

M(t)

~x = ~x(t)

Fig. 3.2 – Description par les trajectoires

Une technique de visualisation des trajectoires consiste a marquer une « particule fluide »par l’utilisation d’un traceur colore, dans le cas d’un liquide, ou de fumee, dans le cas d’un gaz,et ensuite de suivre l’evolution de sa position au cours du temps.

Soit a l’instant t0, un domaine D0 de fluide. Considerons une particule quelconque M0 de D0

et sa trajectoire. A l’instant t, cette particule occupe la position M et l’ensemble de toutes lesparticules de D0 occupent le volume D (Fig. 3.2). On peut dire que la connaissance de toutes lestrajectoires (y compris les lois horaires qui donnent la maniere dont elles sont decrites au coursdu temps) donne une description complete du mouvement.

Remarquons que la determination des trajectoires revient, en pratique, a determiner la fonc-tion ~F introduite dans la relation (3.1). La connaissance de ~F(~x0, t0, t) pour ~x0, t et t0 donnesdonne une description complete du mouvement.

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44 CHAPITRE 3. CINEMATIQUE DES FLUIDES

• En terme de terminologie, on appelle x0, y0, z0 et t les variables de Lagrange et ~F (c’est-a-dire f , g et h) les inconnues de Lagrange. Dans la suite, on abandonnera parfois les notations(f , g, h) pour les remplacer par (x, y, z) (voir le tableau dans le paragraphe 3.1.5).

3.1.5 Description d’Euler (description par le champ de vitesses)

Dans la pratique, il est difficile d’identifier, et donc de suivre, une particule fluide en mou-vement. Il apparaıt donc judicieux d’introduire une description alternative pour un ecoulement.La connaissance de la vitesse de la particule fluide qui, a un instant t, occupe la position ~x estune donnee pertinente pour decrire le mouvement d’un fluide. Considerons la vitesse

~U =∂ ~F∂t

(~x0, t0, t)

et utilisons l’expression de ~x0 en fonction de ~x donnee par (3.3). On a :

~U =∂ ~F∂t

(~F−1(~x, t0, t), t0, t

)= fonction de (~x, t0, t) (3.7)

Dans (3.7), la derivee partielle ∂ ~F/∂t est, comme dans (3.4), la derivee par rapport au tfigurant en derniere position dans les arguments de ~F . En d’autres termes, c’est la derivee de ~Favec ~x0 = fixe.

On voit sur (3.7) que ~U est une fonction de ~x, t0 et t : ~U = ~U(~x, t0, t). La position initiale~x0 ne figure plus. C’est la position ~x occupee par la particule a l’instant t qui figure dans ~U .Mais il faut bien comprendre que c’est la position a l’instant t de la particule « marquee » parle vecteur ~x0.

• En terme de terminologie, on appelle x, y, z et t les variables d’Euler et ~U (c’est-a-dire u,v et w) les inconnues d’Euler.

A partir de maintenant, on ne fait plus figurer l’instant initial t0 dans les expressions.D’ailleurs, quite a changer l’origine des temps, on peut toujours poser t0 = 0.

On peut recapituler l’ensemble de ces deux descriptions dans le tableau suivant :

Description de Lagrange Description d’Euler

Variables x0, y0, z0, t x, y, z, t

x = x(x0, y0, z0, t) u = u(x, y, z, t)Inconnues y = y(x0, y0, z0, t) v = v(x, y, z, t)

z = z(x0, y0, z0, t) w = w(x, y, z, t)

3.1.6 Remarques sur les descriptions de Lagrange et d’Euler

Dans le domaine de la mecanique, les deux descriptions sont utilisees. En mecanique dessolides, et tout particulierement du solide rigide, c’est la description de Lagrange qui est priori-tairement utilisee. En mecanique des fluides, comme on le verra dans ce cours, c’est la descriptiond’Euler qui est prioritairement utilisee. Sous un pont, c’est la vitesse du courant de la rivierequi est importante, et non l’origine de l’eau (nuage, neige fondue, . . . ).

Un exemple, extrait de la vie courante, de l’utilisation des deux descriptions est bien connu.Pour la circulation des voitures sur une route, « Bison fute » utilise la description d’Euler pourdonner la vitesse de « l’ecoulement des voitures », mais le « gendarme » utilise la description deLagrange pour viser une voiture particuliere afin d’apprecier son exces de vitesse.

On peut passer d’une description de Lagrange a celle d’Euler, et reciproquement. Donnonsun exemple tres simple :

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3.1. DESCRIPTION DU MOUVEMENT 45

• Soit un ecoulement defini en variables de Lagrange :

x = ω y0 t+ x0, y = y0 , z = ω z0 t+ z0 (a.1)

En t = 0, on a : ~x = (x, y, z) = (x0, y0, z0) = ~x0. On peut trouver la fonction inverse F−1

(voir (3.3)) en resolvant les trois equations (a.1) :

x0 = x− ω y t , y0 = y , z0 =z

1 + ω t(a.2)

En derivant (a.1) par rapport a t, puis en utilisant (a.2), il vient :

~U = ~U (`)(~x0, t) = (ω y0, 0, ω z0) =(ω y, 0,

ω z

1 + ω t

)= ~U (e)(~x, t) (a.3)

Nous avons mis l’exposant (`) pour « Lagrange » au vecteur vitesse lorsque celui-ci estexprime avec les variables (~x0, t) de Lagrange, et nous avons mis l’exposant (e) pour« Euler » au vecteur vitesse lorsque celui-ci est exprime avec les variables (~x, t) d’Euler.Avec ce dernier resultat (a.3), on a la description d’Euler de l’ecoulement.

• Soit maintenant l’ecoulement defini en variables d’Euler par : ~U (e) = (ω y, 0, ω z/(1+ω t)).Pour trouver ~x = (x, y, z) en fonction du temps t, on a a resoudre les trois equationsdifferentielles :

dxdt

= ω y, dy = 0,dzdt

=ω z

1 + ω t(a.4)

d’ou :y = b, x = ω b t+ a, z = c (1 + ω t) (a.5)

ou a, b et c sont trois constantes d’integration. En effet, l’equation differentielle pour zs’integre en ln |z| = ln |1 + ω t|+ cste, soit z = c (1 + ω t).Les trois constantes a, b et c correspondent aux trois valeurs de (x, y, z) pour t = 0. Onretrouve la description de Lagrange (a.1).

3.1.7 Lignes de courant

Dans ce paragraphe, l’ecoulement est donne par une description d’Euler : ~U = ~U(x, y, z, t).Pour t1 fixe et pour le volume D de fluide, on a un vecteur vitesse ~U en chaque point M de D.Les vecteurs ~U constituent un champ de vitesses (Fig. 3.3).

Ox

y

z

~ex

~ey

~ez

Volume D de fluidea l’instant t1

Ligne de couranta l’instant t1

~x~U

D

Fig. 3.3 – Champ des vecteurs vitesse et lignes de courant

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46 CHAPITRE 3. CINEMATIQUE DES FLUIDES

Remarque

Supposons que l’on injecte des petites particules dans le fluide en mouvement, et que l’onprenne un cliche a l’instant t1 et un autre a l’instant t1 + ∆t. Ces deux cliches permettent devisualiser les deux positions ~x(t1) et ~x(t1 +∆t) pour une meme particule, et donc de determinerla direction du vecteur vitesse ~U en chaque point du volume D de fluide. En chaque point del’ecoulement, on observe ainsi la direction du vecteur vitesse.

Definition : lignes de courant a l’instant t1

A un instant t1 fixe, les lignes de courant sont les courbes tangentes en chacun de leur pointau vecteur vitesse de l’ecoulement en ce point (Fig. 3.3).

Pour obtenir les equations differentielles des lignes de courant C, on ecrit que le vecteurelementaire

−−→dM tangent a C en M est parallele au vecteur vitesse ~U . Sachant que

−−→dM =

(dx,dy,dz) et que ~U =(u = u(x, y, z, t1), v = v(x, y, z, t1), w = w(x, y, z, t1)

), le parallelisme de

−−→dM et ~U implique :

dxu(x, y, z, t1)

=dy

v(x, y, z, t1)=

dzw(x, y, z, t1)

(3.8)

Il faut bien noter qu’ici, on a deux equations differentielles (donnant par exemple x et y enfonction de z) car t1 est un parametre fixe. Il faut bien noter aussi que les lignes de courant al’instant t1 sont differentes, en general, des lignes de courant a un autre instant t2.

Tube de courant a l’instant t1

On appelle tube de courant a l’instant t1, la surface constituee par l’ensemble des lignesde courant a l’instant t1 s’appuyant sur une courbe fermee (Fig. 3.4).

Ox

y

z

~ex

~ey

~ez

Tube de couranta l’instant t1

Fig. 3.4 – Tube de courant

Lignes de courant et trajectoires

Il ne faut pas confondre les deux notions. Pour construire une ligne de courant a l’instantt1, on considere des particules differentes au meme instant t1 alors qu’une trajectoire estconstituee de la succession des positions d’une meme particule a des instants differents.

Pour obtenir, en variables d’Euler, les equations differentielles des trajectoires, on ecrit quele vecteur vitesse

−−→dM/dt est egal au vecteur vitesse ~U :

−−→dM/dt = ~U , d’ou :

dxu(x, y, z, t)

=dy

v(x, y, z, t)=

dzw(x, y, z, t)

= dt (3.9)

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3.1. DESCRIPTION DU MOUVEMENT 47

Il faut bien noter qu’ici, on a trois equations differentielles donnant x, y et z en fonction de lavariable t.

3.1.8 Ecoulement stationnaire

Definition

Un ecoulement est dit stationnaire (ou encore permanent), si la vitesse, etant exprimee envariables d’Euler, ne depend pas explicitement du temps t. Autrement dit : ~U = ~U(x, y, z),c’est-a-dire :

u = u(x, y, z), v = v(x, y, z), w = w(x, y, z) (3.10)

Naturellement, un ecoulement qui n’est pas stationnaire est dit instationnaire.Pour un ecoulement stationnaire, les lignes de courant a l’instant t1 ne dependent pas du

temps t1 (voir (3.8) et (3.10)). Les lignes de courant demeurent fixes au cours du temps.Pour un ecoulement stationnaire, on a donc :

dxu(x, y, z)

=dy

v(x, y, z)=

dzw(x, y, z)

: equations des lignes de courant (3.11)

dxu(x, y, z)

=dy

v(x, y, z)=

dzw(x, y, z)

= dt : equations des trajectoires (3.12)

Les deux premieres equations donnant les trajectoires sont identiques aux deux equationsdonnant les lignes de courant. Dans (3.12), on a seulement en plus la loi horaire (par le derniersigne egal).

Nous dirons que dans un ecoulement stationnaire, les trajectoires et les lignes de courantsont confondues.

3.1.9 Exemples

Exemple 1 : On considere l’ecoulement defini, en variables d’Euler par : u = ω x, v =αω y+ω2 y t, w = ω x (ω 6= 0, α 6= 0). C’est un ecoulement instationnaire. Les lignes de couranta l’instant t1 sont donnees par :

dxω x

=dy

αω y + ω2 y t1=

dzω x

dx = dz,dxx

=dy

α y + ω y t1Ces equations s’integrent aisement. La premiere donne z = x+K1 et la seconde donne :

ln |x| = 1α+ ω t1

ln |y|+ cste

y = K2 |x|1/(α+ω t1)

K1 et K2 sont deux constantes d’integration. Les lignes de courant sont les courbes d’intersectiondes deux surfaces dont les equations sont les solutions des deux equations differentielles donneesci-dessus.

Exemple 2 : On considere maintenant l’ecoulement defini, en variables d’Euler par : u = ω x,v = 0, w = ω x (ω 6= 0). C’est un ecoulement stationnaire. Les lignes de courant ne dependentpas du temps et sont donnees par :

dxω x

=dy0

=dzω x

dx = dz, dy = 0

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48 CHAPITRE 3. CINEMATIQUE DES FLUIDES

soit : y = K1 et z = x + K2, ou K1 et K2 sont deux constantes d’integration. Les lignes decourant sont definies par ces deux equations de plan ; ce sont des droites.

3.2 Derivee particulaire

Une derivee particulaire est la derivee par rapport au temps d’une grandeur definie sur unensemble de particules fluides que l’on suit dans leur mouvement.

3.2.1 Derivee particulaire d’une fonction

Soit une particule fluide que l’on suit dans son mouvement, c’est-a-dire la particule quioccupait la position ~x0 a l’instant initial, et qui se trouve a la position ~x a l’instant t. Soit unegrandeur θ attachee a cette particule (par exemple, sa position, sa vitesse, sa temperature, . . . ).

On peut exprimer cette grandeur θ a l’aide des variables de Lagrange (~x0 et t), ou bien al’aide des variables d’Euler (~x et t). En variables de Lagrange on ecrira θ = θ(`)(~x0, t) et envariables d’Euler on ecrira θ = θ(e)(~x, t). Nous voulons calculer la derivee de θ par rapport a t,quand on suit la particule dans son mouvement, c’est-a-dire pour ~x0 fixe. Pour cette derivee,on utilise la terminologie « derivee particulaire » et on la note avec un D : Dθ/Dt.

DθDt

= derivee particulaire de θ

Fonction exprimee en variables de Lagrange

Soit θ(`)(~x0, t) la fonction θ exprimee en variables de Lagrange. La derivee particulaire de θest la derivee par rapport a t a ~x0 fixe, et s’ecrit donc dans le cas d’une fonction des variablesde Lagrange, comme la derivee partielle de la fonction par rapport au temps :

DθDt

=Dθ`

Dt(~x0, t) =

∂θ(`)

∂t(~x0, t) (3.13)

Fonction exprimee en variables d’Euler

Soit θ(e)(~x, t) la fonction θ exprimee en variables d’Euler. Il y a dans θ(e)(~x, t) la variable« cachee » ~x0. D’apres (3.1) et (3.2) :

θ(e)(~x, t) = θ(e)( ~F(~x0, t), t) = θ(e) (f(~x0, t), g(~x0, t), h(~x0, t), t) = θ(`)(~x0, t)

Nous avons a deriver θ(e)(~x, t) par rapport a t avec ~x0 fixe. Avec les expressions ci-dessus,on a :

DθDt

=∂θ(e)

∂t(~x, t) +

∂f

∂t(~x0, t) +

∂θ(e)

∂y(~x, t)

∂g

∂t(~x0, t) +

∂θ(e)

∂z(~x, t)

∂h

∂t(~x0, t)

et donc, en utilisant les relations (3.5), et en les reportant dans l’expression precedente, onobtient :

DθDt

=∂θ(e)

∂t(~x, t) + u(~x, t)

∂θ(e)

∂x(~x, t) + v(~x, t)

∂θ(e)

∂y(~x, t) + w(~x, t)

∂θ(e)

∂z(~x, t)

On ecrira l’expression ci-dessus sous la forme suivante :

Dθ(e)

Dt(~x, t) =

∂θ(e)

∂t(~x, t) + ~U(~x, t) ·

−−→grad

(θ(e)(~x, t)

)(3.14)

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3.2. DERIVEE PARTICULAIRE 49

ou plus brievement :DθDt

=Dθ(e)

Dt=∂θ(e)

∂t+ ~U ·

−−→grad θ(e) (3.15)

Le terme en gradient qui apparaıt au second membre de l’expression (3.14) ou (3.15) estappele terme convectif d’ou le nom de derivee convective qui est aussi utilise pour designerla derivee particulaire.

Propriete

Si, en description d’Euler,Dθ(e)

Dt(~x, t) = 0, alors θ(e) = cste le long de chaque trajectoire.

En effet, soit θ(e)(~x, t) tel queDθ(e)

Dt(~x, t) = 0. Comme θ(e)(~x, t) = θ(`)(~x0, t), on a :

Dθ(e)

Dt(~x, t) =

∂θ(`)(~x0, t)∂t

= 0

donc θ(`)(~x0, t) ne depend pas de t et par suite : θ(e)(~x, t) = θ(`)(~x0) ne depend que de ~x0. Onpeut donc dire que θ(e)(~x, t) ne depend que de ~x0, ce qui signifie que la quantite θ(e)(~x, t) estconstante le long de la trajectoire de la particule situee en ~x0 a l’instant initial.

Exemples

• Soit l’ecoulement defini par : ~U = (u = αx, v = β y t, w = 0), et soit θ(e)(~x, t) = (1/2) (x2+y2 + z2). On a :

Dθ(e)

Dt(~x, t) = u

∂θ(e)

∂x+ v

∂θ(e)

∂y+ w

∂θ(e)

∂z

= ux+ v y + w z = αx2 + β y2 t

• Soit la fonction θ(e)(~x, t) = x c’est-a-dire egale a l’abscisse, a l’instant t, de la position dela particule M . Par application de (3.14), on a Dx/Dt = u. Plus generalement :

~θ(e)(~x, t) = ~x ⇒ D~xDt

= ~U

La derivee particulaire du vecteur position ~x de la particule est sa vitesse ~U .

Cas particulier de l’acceleration

Compte-tenu de la definition (3.6), l’acceleration ~Γ de la particule situee en ~x0 a l’instantinitial, est la derivee par rapport au temps t de la vitesse ~U avec ~x0 fixe. Si on exprime la vitesse~U en fonction des variables d’Euler, ~U = ~U(~x, t), les composantes de l’acceleration du fluides’ecrivent donc :

~Γ = (Γx,Γy,Γz)

avecΓx =

DuDt

=∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z

Γy =DvDt

=∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z

Γz =DwDt

=∂w

∂t+ u

∂w

∂x+ v

∂w

∂y+ w

∂w

∂z

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50 CHAPITRE 3. CINEMATIQUE DES FLUIDES

On peut ecrire ces formules sous forme vectorielle :

~Γ =D~UDt

=∂~U

∂t+(~U ·−−→grad

)~U (3.16)

Remarque sur les notations

Ci-dessus, nous n’avons pas fait figurer l’exposant (e) de maniere systematique. En mecaniquedes fluides, la description utilisee est presque toujours celle d’Euler. Aussi, lorsqu’il n’y a aucuneconfusion possible l’exposant (e) est omis. Ainsi on ecrit : ~U(~x, t), u(~x, t), v(~x, t) et w(~x, t).

3.2.2 Derivee particulaire d’une integrale de volume

On sera amene, dans la suite de cours, a considerer des volumes de fluide que l’on suit dansleur mouvement. Soit un volume D qui occupe la position D(t) a l’instant t, et la position D(t′)a l’instant t′ (Fig. 3.4) ce sont toujours les memes particules fluides qui constituent le volumeD(t) ou D(t′) quels que soit les instants t et t′. On dit que l’on suit le volume D(t) dans sonmouvement.

Soit k(~x, t) une fonction de classe C1 definie sur le domaine Q(t) que l’on suit dans sonmouvement. On considere l’integrale :

K(t) =∫∫∫

D(t)k(~x, t) dV

Notre but est de calculer la derivee par rapport au temps t de K(t). Dans l’integrale definissantK(t), le temps t figure dans l’integrant k(~x, t) et dans le domaine d’integration D(t). C’estprecisement parce que D(t) « bouge » au cours du temps que le calcul de la derivee de K(t) estdifficile a calculer. Cette derivee est appelee derivee particulaire, et sera notee comme dans leparagraphe precedent, par DK(t)/Dt.

Theoreme 3.1 Soit un fluide en mouvement dont le champ des vitesses en variables d’Eulerest ~U(~x, t). Soit D(t) un volume que l’on suit dans son mouvement, dont la surface frontiereest S(t). Soit enfin une fonction k(~x, t) definie sur un domaine de l’espace contenant D(t).Les fonctions ~U(~x, t) et k(~x, t) sont de classe C1, et la surface S(t) est reguliere par morceaux(c’est-a-dire de classe C1 par morceaux). Alors on a :

DKDt

(t) =∫∫∫

D(t)

∂k

∂t(~x, t) dV +

∫∫S(t)

k(~x, t) ~U(~x, t) · ~n dS (3.17)

ou encore, en utilisant le theoreme de la divergence :

DKDt

(t) =∫∫

v

∫D(t)

(∂k

∂t(~x, t) + div

{k(~x, t) ~U(~x, t)

})dV (3.18)

Une demonstration rigoureuse de ces resultats peut etre obtenue dans l’ouvrage de P. Ger-main et P. Muller (Mecanique des milieux continus, Masson et Cie, 1993). Nous ne donnons iciqu’une simple justification de ce resultat. Considerons donc le domaine materiel D materiel enmouvement et soient t et t′ deux instants voisins. La particule fluide qui est en M(t) sur S(t) sedeplace au cours du temps et coıncide avec le point M(t′) de S(t′) a l’instant t′ (Fig. 3.5-b). Lesinstants t et t′ etant tres proches, on peut considerer que la trajectoire de la particule fluide estquasi-rectiligne et que son deplacement est :

−−−−−−−→M(t)M(t′) = (t′ − t) ~U(~x, t).

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3.2. DERIVEE PARTICULAIRE 51

(b)

I II III

D(t)

D(t)

D(t′)

D(t′)

S(t)

S(t)

M(t) M(t′)

(c)

I II~U(t′ − t) dS

~n

~n

IIIII

~U(t′ − t)dS

~n

(a)

Ox

~ex

y

~ey

z

~ez

Fig. 3.5 – Derivee particulaire d’une integrale de volume

Par definition de la derivee, on peut ecrire :

DKDt

(t) = limt′→t

K(t′)−K(t)t′ − t

= limt′→t

{1

t′ − t

[∫∫∫V(t′)

k(~x, t′) dV −∫∫∫

V(t)k(~x, t) dV

]}

= limt′→t

{1

t′ − t

[∫∫∫IIIk(~x, t′) dV +

∫∫∫II

(k(~x, t′)− k(~x, t)

)dV −

∫∫∫Ik(~x, t) dV

]}= lim

t′→t

∫∫∫II

k(~x, t′)− k(~x, t)t′ − t

dV + limt′→t

[1

t′ − t

∫∫∫IIIk(~x, t′) dV

]− lim

t′→t

[1

t′ − t

∫∫∫Ik(~x, t) dV

]Les regions I, II et III sont indiquees sur la figure 3.5-b. Nous examinons successivement les

trois integrales figurant dans la derniere egalite. Pour la premiere, en remarquant que limt′→t II =limt′→t(D(t′) ∩ D(t)) = D(t), on a :

limt′→t

∫∫∫II

k(~x, t′)− k(~x, t)t′ − t

dV =∫∫∫

D(t)

∂k

∂t(~x, t) dV

Considerons maintenant, l’integrale sur III. Nous pouvons ecrire, en utilisant la figure 3.5-c, que

dV = (t′ − t) ~U · ~ndS

En effet, sur la figure 3.5-c, dS designe un element de surface de la portion de S(t) separantles regions II et III. Le petit volume dV balaye par dS entre les instants t et t′ a pour valeur{~U(t− t′)

}·~ndS. Ceci nous permet de transformer l’integrale sur le volume III en une integrale

de surface sur la portion de S(t) separant les regions II et III, d’ou :

limt′→t

(1

t′ − t

∫∫∫IIIk(~x, t′) dV

)=∫∫

S+(t)k(~x, t) ~U(~x, t) · ~ndS

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52 CHAPITRE 3. CINEMATIQUE DES FLUIDES

ou S+(t) designe la portion de S(t) sur laquelle ~U · ~n est positif.De la meme maniere, concernant l’integrale sur I, nous ecrivons en utilisant la figure 3.5-c :

dV = −(t′ − t) ~U · ~ndS

en remarquant qu’ici ~U · ~n est negatif. On transforme l’integrale de volume en une integrale desurface et on ecrit :

limt′→t

(1

t′ − t

∫∫∫Ik(~x, t) dV

)=∫∫

S−(t)−k(~x, t) ~U(~x, t) · ~ndS

ou S−(t) designe la portion de S(t) sur laquelle ~U · ~n est negatif.En rassemblant les trois resultats que nous venons d’ecrire on obtient :

DKDt

(t) =∫∫∫

D(t)

∂k

∂t(~x, t) dV +

∫∫S+(t)

k(~x, t) ~U(~x, t) · ~ndS −∫∫

S−(t)−k(~x, t) ~U(~x, t) · ~ndS

soit :DKDt

(t) =∫∫∫

D(t)

∂k

∂t(~x, t) dV +

∫∫S(t)

k(~x, t) ~U(~x, t) · ~ndS

La relation (3.17) donnee dans l’enonce du theoreme est ainsi etablie.

Remarque

Tres souvent, dans les integrales figurant au second membre de (3.17) et (3.18), on ne faitpas figurer la dependance en (t), et on ecrit S et D pour S(t) et D(t). S et D sont les surface etvolume qui coıncident avec S(t) et D(t) a l’instant t considere.

3.2.3 Exemple d’application

Si dans les formules (3.17) et (3.18), nous faisons k(~x, t) = 1, alors K(t) = volume de D(t).Pour tout D contenu dans D0, on a :

DDt

(volume de D(t)) =∫∫

S(t)

~U · ~ndS =∫∫∫

D(t)div ~U dV (3.19)

Definition

Un ecoulement defini sur D0 en variables d’Euler par le champ de vitesse ~U(~x, t) est ditisovolume ou incompressible si et seulement si le volume de D(t) est constant, et ceci, pourtout D contenu dans D0.

Propriete

Un ecoulement defini sur D0 en variables d’Euler par le champ de vitesse ~U(~x, t) est isovo-lume ou incompressible si et seulement si : div ~U = 0 sur D0.

En effet, si div ~U = 0 sur D0, l’ecoulement est isovolume d’apres (3.19). Reciproquement,considerons (3.19) et prenons D(t) tres petit. En raisonnant comme dans le paragraphe 3.3.3,on obtient que le terme sous le signe integrale est egal a zero en tout point de D0, c’est-a-dirediv ~U = 0 en tout point de D0.

Nous reviendrons sur la terminologie utilisee ici a la fin du paragraphe 3.3.2.

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3.3. LOI DE LA CONSERVATION DE LA MASSE 53

3.3 Loi de la conservation de la masse

Soit D0(t) un volume de fluide que l’on suit dans son mouvement et une partie D(t) de D0 quel’on suit egalement dans son mouvement (voir paragraphe 3.2.2). Dans le chapitre 2 (Statiquedes fluides), nous avons introduit la masse volumique ρ d’un fluide. Il est clair que la masse deD(t) est donnee par :

m(D) =∫∫∫

D(t)ρ(~x, t) dV

3.3.1 Loi de conservation de la masse

Soit un domaine fluide D(t) que l’on suit dans son mouvement. En l’absence de processuspermettant la creation ou la destruction de matiere, la masse de D(t) est constante. On a donc :

DDtm(D) =

DDt

∫∫∫D(t)

ρ(~x, t) dV = 0 (3.20)

pour toute partie D de D0.En utilisant les formules (3.17) et (3.18) de derivation particulaire d’une integrale de volume,

il vient : ∫∫∫D(t)

∂ρ

∂tdV +

∫∫S(t)

ρ ~U · ~ndS = 0 (3.21)∫∫∫D(t)

(∂ρ

∂t+ div

(ρ ~U))

dV = 0 (3.22)

toujours pour toute partie D de D0.Les equations (3.20), (3.21) et (3.22) correspondent a la loi de conservation de la masse sous

forme globale.Considerons maintenant un volume de fluide D0 et supposons que ∂ρ/∂t + div

(ρ ~U)

estcontinu sur D0. Considerons la loi (3.22) et appliquons-la a un domaine D tres petit et egal a∆V contenant un point, note M0, en son interieur. Comme ∆V est tres petit, et en raisonnantcomme dans le paragraphe 2.3.3, on peut ecrire :(

∂ρ

∂t+ div

(ρ ~U))

M0

∆V dV = 0

ou la valeur de la parenthese est prise en M0. Comme ∆V n’est pas nul, c’est la parenthese quiest nulle. Le point M0 est quelconque, donc la parenthese est nulle en tout point M0 de D0, d’oula loi de la conservation de la masse sous forme locale :

∂ρ

∂t+ div

(ρ ~U)

= 0 (3.23)

3.3.2 Remarques

L’egalite (3.23) qui est la forme locale de la loi de la conservation de la masse est aussiappelee « equation de continuite ». L’expression de cette loi peut etre ecrite differemment. Eneffet, on peut montrer que :

div(ρ ~U)

= ρdiv ~U + ~U ·−−→grad ρ

L’etudiant est encourage a demontrer cette formule. Par suite, l’equation (3.23) se met sous laforme :

∂ρ

∂t+ ~U ·

−−→grad ρ+ ρdiv ~U = 0

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54 CHAPITRE 3. CINEMATIQUE DES FLUIDES

soit, en introduisant la derivee particulaire de la fonction ρ :

DρDt

+ ρdiv ~U = 0

Cas particuliers

• Ecoulement dans lequel la masse volumique ρ(~x, t) exprimee en variables d’Euler ne dependpas explicitement de t (ρ = ρ(~x)) : d’apres (3.23) la conservation de la masse se reduit a :

div(ρ ~U)

= 0

• Fluide incompressible (ρ = constante) : la conservation de la masse se reduit a :

div ~U = 0

Remarque sur la terminologie « incompressible »

Nous avons introduit (paragraphe 3.2.3) la definition d’ecoulement isovolume ou incompres-sible. Ici, nous venons de montrer que l’ecoulement d’un fluide incompressible (au sens de ρconstant) est tel que sa vitesse verifie la propriete div ~U = 0. On a donc par definition :

• Fluide incompressible : la masse volumique ρ est constante• Ecoulement isovolume ou Ecoulement incompressible : on a div ~U = 0On a :• Fluide incompressible implique div ~U = 0 c’est-a-dire implique Ecoulement isovolume ou

Ecoulement incompressible• Attention, la reciproque est fausse : il existe des ecoulements isovolumes (ou incompres-

sibles) de fluides compressibles.

Remarque importante

Dans certains ouvrages, la distinction entre « ecoulements isovolumes » et « fluides incom-pressibles » n’est pas toujours tres claire. Dans ce cours, afin d’utiliser la terminologie « incom-pressible » souvent employee dans les ouvrages de Mecanique et de Physique, nous rappelonsque :

Fluide incompressible signifie fluide ayant une masse volumique ρ constante,Ecoulement incompressible signifie ecoulement verifiant div ~U = 0.

3.3.3 Debit massique, debit volumique

Soit S un morceau de surface au repos, et notons ~n un vecteur unitaire normal a S (Fig.3.6-a).

Le debit massique Qm, a travers la surface S orientee par le vecteur ~n, est la quantite :

Qm =∫∫

Sρ ~U · ~ndS (3.24)

La quantite Qm est la quantite de fluide qui traverse la surface S, par unite de temps, dans ladirection ~n. Ceci est illustre sur la figure 3.6-a, ou le petit volume indique correspond au volume~U ·~n dS. On peut dire aussi que Qm est le flux du vecteur ρ ~U a travers S orientee par le vecteur~n.

Le debit volumique Qv, a travers la surface S orientee par le vecteur ~n, est la quantite :

Qv =∫∫

S~U · ~ndS (3.25)

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3.4. QUELQUES CLASSES D’ECOULEMENTS 55

(a) La surface S est au repos. (b) La surface S a la vitesse ~W .

S S~n ~n

~U ~U − ~W

(c) La surface S fermee et est au repos.

~n

DS

Fig. 3.6 – Debit massique a travers une surface S

La quantite Qv correspond a un volume de fluide qui traverse la surface S, par unite detemps, dans la direction ~n. On peut dire aussi que Qv est le flux du vecteur ~U a travers Sorientee par le vecteur ~n.

Si ρ est constant, alors :Qm = ρQv

Soit S un morceau de surface en mouvement, et se deplacant avec la vitesse ~W . Les de-finitions de Qm et Qv sont legerement modifiees pour tenir compte du mouvement de S (Fig.3.6-b) :

Qm =∫∫

Sρ(~U − ~W

)· ~ndS, Qv =

∫∫S

(~U − ~W

)· ~ndS

Cas particulier

Supposons que la masse volumique exprimee en variables d’Euler ne depende pas explicite-ment de t (ρ = ρ(~x)), et que la surface S soit au repos et fermee (Fig. 3.6-c). Avec le vecteur~n dirige vers l’exterieur de S, le flux de matiere sortant de S est nul. En effet :

Qm =∫∫

Sρ ~U · ~ndS =

∫∫∫D

div(ρ ~U)dV = 0

ouD designe le volume interieur a S, et ou ont ete utilises, d’une part le theoreme de la divergence(voir Annexe A), et d’autre part la loi de conservation de la masse sous forme locale (3.23).

3.4 Quelques classes d’ecoulements

3.4.1 Ecoulements plans

Dans l’espace rapporte au repere orthonorme direct (O;x, y, z), l’ecoulement considere estdit ecoulement plan parallele au plan (O;x, y) si le vecteur vitesse ~U exprime en variablesd’Euler est tel que :

u = u(x, y, t) , v = v(x, y, t) , w = 0

En tout point d’une meme droite parallele a l’axe (O, z), passant par le point de coordonnees(x, y, z = 0), on a le meme vecteur vitesse ~U (Fig. 3.7-a). Ceci signifie que dans tous les plansz = cste, on a le meme ecoulement.

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56 CHAPITRE 3. CINEMATIQUE DES FLUIDES

(a) (b)

(c) (d)

O

O

x

x

y

y

z

z

O

O

x

x

y

y

(x, y, 0)

~U

~U

x

y ~U

C

C

~nS

L~τ

+

Fig. 3.7 – Ecoulement plan

Pour un tel ecoulement plan, on fera une represention dans le plan (O;x, y) (Fig. 3.7-b). Enparticulier, on ne fait plus intervenir la composante w. D’apres (3.8), (3.9), (3.11) et (3.12) ona :

• Lignes de courant a l’instant t1

dxu(x, y, t1)

=dy

v(x, y, t1)

• Trajectoiresdx

u(x, y, t)=

dyv(x, y, t)

= dt

• Cas d’un ecoulement stationnaire

dxu(x, y)

=dy

v(x, y): equations des lignes de courant

dxu(x, y)

=dy

v(x, y)= dt : equations des trajectoires

Dans le cas d’un ecoulement plan, on etudie le debit au travers d’une surface S cylindriquede generatrice parallele a (O, z), de trace C dans le plan (O;x, y) et limitee par les deux plansz = 0 et z = L. Le vecteur ~n unitaire et normal a S le long d’une generatrice est constant etegal au vecteur ~ν unitaire et normal a C dans le plan (O;x, y) (Fig. 3.7-c). Il est facile de voirque les flux au travers de la surface S orientee par ~n s’expriment de la facon suivante :

Qm =∫∫

Sρ ~U · ~ndS = L

∫Cρ ~U · ~ν ds

Qv =∫∫

Sρ ~U · ~ndS = L

∫C~U · ~ν ds

ou s est l’abscisse curviligne le long de C. Le calcul des flux au travers de S se ramenent donc ades calculs d’integrales curvilignes (voir Annexe A).

Considerons une courbe C dans le plan oriente (O;x, y) (Fig. 3.7-d). L’abscisse curvilignele long de C est s, si bien C a pour equations parametriques : x = x(s), y = y(s). On oriente

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3.4. QUELQUES CLASSES D’ECOULEMENTS 57

C dans le sens des s croissants. Le vecteur unitaire tangent a C, oriente aussi dans le sens dess croissants, est ~τ et il a pour composantes : (dx/ds,dy/ds). Introduisons le vecteur ~ν tel quel’angle (~ν, ~τ) soit egal a +π/2, alors ~ν = (dy/ds,−dx/ds). Il vient :

Qm = L

∫Cρ ~U · ~ν ds = L

∫Cρ

(u

dyds− v dx

ds

)ds = L

∫Cρ (u dy − v dx) (3.26)

Qv = L

∫C(u dy − v dx) (3.27)

3.4.2 Classes d’ecoulements dans l’espace et dans le plan

Dans tout ce paragraphe, l’ecoulement est donne par sa description d’Euler : ~U =~U(~x, t). On a deja vu la definition des ecoulements stationnaires (voir paragraphe 3.1.8) et desecoulements incompressibles (voir paragraphes 3.2.3 et 3.3.2). Ici, on introduit deux nouvellesdefinitions : les ecoulements potentiels et les ecoulements irrotationnels.

Ecoulement potentiel

Un ecoulement dans lequel il existe une fonction φ(~x, t) tel que le vecteur vitesse ~U verifie~U =

−−→gradφ est appele ecoulement potentiel. La fonction φ(~x, t) est le potentiel des vitesses. La

definition vaut aussi bien pour les ecoulements dans l’espace que dans le plan.

~U =−−→gradφ (3.28)

Soit une courbe C orientee. L’abscisse curviligne est s et le vecteur unitaire tangent orientedans le sens des s croissants est ~τ . Soient deux points A1 et A2 sur C. Cherchons a calculer lacirculation du vecteur ~U le long de C entre A1 et A2. D’apres l’Annexe A, elle vaut :∫ A2

A1

~U · ~τ ds =∫ A2

A1

(u

dxds

+ vdyds

+ wdzds

)ds =

∫ A2

A1

(u dx+ v dy + w dz)

=∫ A2

A1

dφ = φ(A2)− φ(A1)

Ecoulement irrotationnel

Un ecoulement dans lequel rot ~U = ~0 est appele ecoulement irrotationnel.

rot ~U = ~0 (3.29)

Naturellement, un ecoulement qui n’est pas irrotationnel est dit rotationnel.

Quelques remarques

• Un ecoulement potentiel est un ecoulement irrotationnel. En effet, on a :

~U =−−→gradφ =

(∂φ

∂x,∂φ

∂y,∂φ

∂z

)rot ~U =

{∂

∂y

(∂φ

∂z

)− ∂

∂z

(∂φ

∂y

),∂

∂z

(∂φ

∂x

)− ∂

∂x

(∂φ

∂z

),∂

∂x

(∂φ

∂y

)− ∂

∂y

(∂φ

∂x

)}= ~0

• Un ecoulement plan est irrotationnel si et seulement si :

rot ~U =(∂v

∂x− ∂u

∂z

)~ez = ~0

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58 CHAPITRE 3. CINEMATIQUE DES FLUIDES

3.4.3 Ecoulements plans stationnaires et incompressibles

Compte-tenu des definitions introduites precedemment, le champ de vitesse de l’ecoulementest de la forme :

~U = u(x, y)~ex + v(x, y)~ey

et verifie, en outre, la propriete :

div ~U = 0 ⇐⇒ ∂u

∂x+∂v

∂y= 0

Consequence

Il existe une fonction ψ(x, y) appelee fonction de courant telle que :

dψ = u dy − v dx

u =∂ψ

∂y, v = −∂ψ

∂x(3.30)

Demonstration

Posons :

ψ =∫ y

y0

u(x, η) dη −∫ x

x0

v(ξ, y0) dξ

En derivant les integrants, les integrales par rapport a leurs bornes et en utilisant la proprieted’incompressibilite, on verifie, que :

∂ψ

∂y(x, y) = u(x, y)

∂ψ

∂x(x, y) =

∫ y

y0

∂u

∂x(x, η) dη − v(x, y0) = −

∫ y

y0

∂v

∂η(x, η) dη − v(x, y0)

= −v(x, y) + v(x, y0)− v(x, y0) = v(x, y)

La fonction ψ(x, y) introduite verifie bien les deux relations (3.30).Les lignes de courant sont les lignes telles que (voir paragraphe 3.4.1) :

dxu

=dyv⇐⇒ u dy − v dx = 0 ⇐⇒ dψ = 0

c’est-a-dire ψ = cste. Ceci justifie la terminologie « fonction de courant » pour la fonction ψ.

Remarques

• Soient deux lignes de courant d’equations ψ1 = cste et ψ2 = cste (Fig. 3.8-a). Soit C uneligne allant de l’une a l’autre et joignant les deux points A1 et A2. D’apres (3.27), le debitvolumique a travers C est :

Qv = L

∫C(u dy − v dx) = L

∫Cdψ = ψ(A2)− ψ(A1) = ψ2 − ψ1

• L’equation ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0 exprime que la differentielle u dy − v dx est une formedifferentielle exacte et que, par suite, il existe une fonction ψ, telle que dψ = u dy − v dx.Ceci est demontre dans les cours de mathematiques de Licence.

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3.4. QUELQUES CLASSES D’ECOULEMENTS 59

(a)

(b)

O

O

x

x

y

y

C ~ν

ψ1 = cste

ψ2 = cste

A1

A2

−−→gradφ

−−→gradψ

Ligne de courant

Ligne equipotentielle

Fig. 3.8 – Lignes de courant et lignes equipotentielles

3.4.4 Ecoulements plans stationnaires et irrotationnels

Compte-tenu des definitions introduites precedemment, le champ de vitesse de l’ecoulementest de la forme :

~U = u(x, y)~ex + v(x, y)~ey

et verifie, en outre, la propriete :

rot ~U = ~0 ⇐⇒ ∂v

∂x− ∂u

∂y= 0

Consequence

Il existe un potentiel des vitesses que l’on note, comme precedemment φ(x, y) et qui est telque :

u =∂φ

∂x, v =

∂φ

∂y(3.31)

dφ = u dx+ v dy

Demonstration

La demonstration est semblable a celle faite pour la fonction de courant. Posons :

φ =∫ y

y0

v(x, η) dη +∫ x

x0

u(ξ, y0) dξ

En derivant les integrants, les integrales par rapport a leur bornes et en utilisant la propriete durotationnel nul, on verifie, que :

∂φ

∂y(x, y) = v(x, y)

∂φ

∂x(x, y) =

∫ y

y0

∂v

∂x(x, η) dη + u(x, y0) =

∫ y

y0

∂u

∂η(x, η) dη + u(x, y0)

= u(x, y)− u(x, y0) + u(x, y0) = u(x, y)

La fonction φ(x, y) introduite verifie bien les deux relations (3.31).

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60 CHAPITRE 3. CINEMATIQUE DES FLUIDES

3.4.5 Ecoulements plans stationnaires, incompressibles et irrotationnels

Compte-tenu des definitions introduites dans les deux paragraphes qui precedent, le champde vitesse de l’ecoulement est de la forme :

~U = u(x, y)~ex + v(x, y)~ey

avec :div ~U = 0 ⇐⇒ ∂u

∂x+∂v

∂y= 0

rot ~U = ~0 ⇐⇒ ∂v

∂x− ∂u

∂y= 0

D’apres ce qui precede, il existe un potentiel des vitesses φ(x, y) et une fonction de courantψ(x, y) :

∂φ

∂x= u,

∂φ

∂y= v

∂ψ

∂x= −v, ∂ψ

∂y= u

On en deduit, par un calcul tres simple, que :

∆φ ≡ ∂2φ

∂x2+∂2φ

∂y2= 0, ∆ψ ≡ ∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2= 0

Le Laplacien ∆ des fonctions φ(x, y) et ψ(x, y) est nul : on dit ces fonctions sont des fonctionsharmoniques. Comme de plus, elles sont associees au meme ecoulement, on dit que φ(x, y) etψ(x, y) sont des fonctions harmoniques conjuguees.

Les lignes φ = cste sont les lignes equipotentielles, et les lignes ψ = cste sont les lignesde courant. Les lignes equipotentielles sont orthogonales aux lignes de courant. En effet

−−→gradφ

est orthogonal a la ligne equipotentielle, tandis que−−→gradψ est orthogonal a la ligne de cou-

rant : ces deux vecteurs sont bien orthogonaux, car ils ont respectivement (u, v) et (−v, u) pourcomposantes (Fig. 3.8-b)

3.5 Exemples d’ecoulements plans stationnaires

On presente dans ce paragraphe quelques exemples d’ecoulements plans, stationnaires, ettres simples. Tous sont decrits avec la description d’Euler. Le repere (O;x, y) dans le plan estorthonorme, et les vecteurs unitaires des axes sont ~ex et ~ey. Les composantes du vecteur vitesse~U sont u(x, y) et v(x, y).

3.5.1 Ecoulement plan rectiligne uniforme

Soit l’ecoulement dont le champ de vitesse est ~U = U0 ~ex avec U0 constant. Il est facile deverifier qu’il existe un potentiel des vitesses φ et une fonction de courant ψ. En effet :

~U =−−→grad (U0 x), u dy − v dx = d(U0 y)

Le potentiel des vitesses est φ = U0 x et la fonction de courant est ψ = U0 y. Les lignes φ = cste,ou x = cste, sont les lignes equipotentielles, et les lignes ψ = cste, ou y = cste, sont leslignes de courant. Ces deux reseaux de courbes se coupent a angle droit : on dit qu’ils sontorthogonaux (Fig. 3.9-a).

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3.5. EXEMPLES D’ECOULEMENTS PLANS STATIONNAIRES 61

(a)

(b)

Ecoulementuniforme

O x

y ~U = (U0, 0)

Sourceou puits~er

θ

O

φ = cste

φ = cste

ψ = cste

ψ = cste

Fig. 3.9 – Exemples d’ecoulements plans

3.5.2 Ecoulement plan source ou puits

On introduit les coordonnees polaires (r, θ) (Fig. 3.9-b), et le vecteur unitaire ~er d’anglepolaire θ. Soit l’ecoulement dont le champ de vitesse est ~U = (h/r)U0 ~er avec U0 et h constants.Remarquons qu’en un point de l’ecoulement pres de O la vitesse a un tres grand module, et queloin du point O elle a un petit module.

Entre les coordonnees cartesiennes et les coordonnees polaires on a, x = r cos(θ), y = r sin(θ)d’une part, et r =

√x2 + y2, tan(θ) = y/x, d’autre part.

En coordonnees cartesiennes, les composantes du vecteur vitesse sont :

~U = U0 h

(x

x2 + y2,

y

x2 + y2

)Il est facile de verifier que (l’etudiant est invite a faire les calculs) :

~U = U0 h−−→grad

(ln√x2 + y2

)u dy − v dx = U0 h

xdy − y dxx2 + y2

= U0 h d(arctan

y

x

)Le potentiel des vitesses est φ = U0 h ln

√x2 + y2 = U0 h ln

√r : les lignes φ = cste sont les lignes

r = cste, et sont donc des cercles de centre O. La fonction de courant est ψ = U0 h arctan(y/x) :les lignes ψ = cste, sont les lignes θ = cste, et sont donc des demi-droites issues de O. Les lignesequipotentielles sont donc des cercles et les lignes de courant sont des demi-droites. Cesdeux reseaux de courbes se coupent a angle droit et sont orthogonaux (Fig. 3.9-b).

Soit C un cercle centre en O de rayon a. Le debit volumique a travers C dans la direction ~erest (voir (3.27)) :

Qv =∫C~U · ~er ds = hU0

∫C

1a

ds = hU0

∫ 2π

0

1aadθ = hU0

∫ 2π

0dθ

Qv = 2π hU0

Le debit est constant : il est independant du rayon a. Si U0 h > 0, on dira que O est une source.Si U0 h < 0, on dira que O est un puits.

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62 CHAPITRE 3. CINEMATIQUE DES FLUIDES

Si a est petit le module de la vitesse est grand, et si a est grand le module de la vitesseest petit, mais le produit de a par le module de la vitesse est constant (ce qui correspond a Qv

constant).Il est a remarquer que la vitesse n’est pas definie au point O. En particulier, on ne peut pas

appliquer la formule de Green–Riemann (voir (A.13) dans l’Annexe) sur un domaine contenantle point O.

Il est a remarquer aussi, que les calculs peuvent etre faits en coordonnees polaires en utilisantun formulaire pour les expressions de

−−→grad, de rot, . . .

3.5.3 Ecoulement plan autour d’un cylindre

On introduit les coordonnees polaires (r, θ) (Fig. 3.10), et les deux vecteurs unitaires ~er et~eθ d’angles polaire θ et θ+π/2. Soit l’ecoulement dont le champ de vitesse est ~U = ur ~er +uθ ~eθavec :

ur = U0

(1− a2

r2

)cos(θ), uθ = −U0

(1 +

a2

r2

)sin(θ)

ou U0 et a sont deux constantes positives. Remarquons qu’en tout point du cercle de rayon a,le vecteur ~U est tangent au cercle : en effet ur = 0. Sachant que ~er = cos(θ)~ex + sin(θ)~ey et~eθ = − sin(θ)~ex + cos(θ)~ey, et aussi ~ex = cos(θ)~er − sin(θ)~eθ et ~ey = − sin(θ)~er + cos(θ)~eθ, onpeut ecrire que les composantes cartesiennes du vecteur ~U sont (l’etudiant est invite a faire lecalcul) :

~U = U0

(1 +

a2 (y2 − x2)(x2 + y2)2

,−2 a2 x y

(x2 + y2)2

)Cherchons s’il existe un potentiel des vitesses φ. On doit avoir :

∂φ

∂x= U0

(1 +

a2 (y2 − x2)(x2 + y2)2

),

∂φ

∂y= U0

(−2 a2 x y

(x2 + y2)2

)On integre en y la seconde equation :

φ = U0

(a2 x

x2 + y2+ F (x)

)ou F (x) est une fonction arbitraire de x. Derivons maintenant cette expression trouvee pour φpar rapport a x et identifions l’expression obtenue a celle deja ecrite pour ∂φ/∂x. Il vient :

U0

(a2

x2 + y2+

−2 a2 x2

(x2 + y2)2+ F ′(x)

)≡ U0

(1 +

a2 (x2 − y2)(y2 + x2)2

)On trouve F ′(x) = 1, donc F (x) = x+ cste. Ainsi le potentiel des vitesses existe et vaut :

φ = U0

(a2 x

x2 + y2+ x

)Il est defini a une constante additive pres.

Cherchons de meme s’il existe une fonction de courant ψ. On doit avoir : dψ = u dy − v dx,d’ou :

∂ψ

∂y= U0

(1 +

a2 (y2 − x2)(x2 + y2)2

),

∂ψ

∂x= U0

(2 a2 x y

(x2 + y2)2

)On integre en x la seconde equation :

ψ = U0

(−a2 y

x2 + y2+G(y)

)

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3.5. EXEMPLES D’ECOULEMENTS PLANS STATIONNAIRES 63

O x

x

y~eθ

~erθ

Point d’arret

ψ = cste

ψ = cste

A′

A′

A

A

x′ X

Y

Fig. 3.10 – Ecoulement autour d’un cylindre

ou G(y) est une fonction arbitraire de y. Derivons maintenant cette expression trouvee pour ψpar rapport a y et identifions l’expression obtenue a celle deja ecrite pour ∂ψ/∂y. Il vient :

U0

(−a2

x2 + y2+

2 a2 y2

(x2 + y2)2+G′(y)

)≡ U0

(1 +

a2 (y2 − x2)(x2 + y2)2

)On trouve G′(y) = 1, donc G(y) = y + cste. Ainsi la fonction de courant existe et vaut :

ψ = U0

(−a2 y

x2 + y2+ y

)Elle est definie a une constante additive pres.

Les lignes ψ = cste sont les equations des lignes de courant. La ligne particuliere ψ = 0correspond au cercle de rayon a et aux demi-droites x′A′ et Ax (Fig. 3.10) si on se limite al’ecoulement autour du cylindre. Sur cette meme figure, on a trace quelques lignes ψ = cste.

Point d’arret

On appelle « point d’arret » un point en lequel la vitesse de l’ecoulement est nulle. Il estfacile de verifier que les deux points A et A′ de coordonnees (x = a, y = 0) et (x = −a, y = 0)sont des points d’arret. Placons-nous au voisinage de A et posons x = a+X, y = Y avec X/aet Y/a tres petits. La fonction de courant s’ecrit :

ψ = U0 Y

(−a2

(a+X)2 + Y 2+ 1)

= U0 Y2 aX +X2 + Y 2

a2 + 2 aX +X2 + Y 2

soit, comme X/a et Y/a sont tres petits :

ψ ≈ U0 Y2 aXa2

=U0

aX Y

Au voisinage de A, les lignes de courant ont pour equations X Y = cste : ce sont des hyperbolesequilateres (Fig. 3.10). Naturellement une etude analogue peut etre faite au voisinage de A′.

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64 CHAPITRE 3. CINEMATIQUE DES FLUIDES

Remarque sur les ecoulements reels autour d’un cylindre

La description de l’ecoulement autour d’un cylindre que nous venons de presenter corresponda celle d’un fluide n’ayant aucun frottement sur le cylindre, ni dans son interieur, fluide qui estdit « parfait » (nous en verrons la definition dans le chapitre 4). Dans la realite, l’ecoulementautour d’un cylindre est plus complexe. Il y a des forces de frottement visqueux, qui peuventetre tres importantes quand la vitesse de l’ecoulement est grande. L’importance de ces forcesvisqueuses est « mesuree » avec un nombre appele nombre de Reynolds, et note Re. Nousintroduirons ce nombre dans le chapitre d’introduction sur les fluides visqueux (chapitre 5). Surles figures 3.11 a 3.15 (extraites du livre « An Album of Fluid Motion », Van Dyke, 1982) placeesa la fin de ce chapitre, nous montrons quelques exemples d’ecoulements autour d’un cylindre.L’etudiant peut observer lui meme quelques uns de ces ecoulements, par exemple derriere la piled’un pont, derriere un batonnet se deplacant dans recipent rempli d’huile, . . .

En particulier, il apparaıt des « tourbillons » derriere le cylindre. Quand la vitesse augmente(figures 3.11 a 3.14), ceux-ci sont de plus en plus importants, et peuvent se detacher pour formerdes « allees de von Karman » (Fig. 3.15). Pour des vitesses encore plus grandes, la structurerelativement organisee de l’ecoulement disparaıt et l’ecoulement devient turbulent. Dans lescours avances de Mecanique des Fluides, tous ces aspects, dont certains sont l’objet de recherchesactuelles, sont presentes.

Fig. 3.11 – Visualisation d’ecoulements reels autour d’un cylindre (Taneda, 1956)

Fig. 3.12 – Visualisation d’ecoulements reels autour d’un cylindre (Taneda, 1956)

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3.5. EXEMPLES D’ECOULEMENTS PLANS STATIONNAIRES 65

Fig. 3.13 – Visualisation d’ecoulements reels autour d’un cylindre (ONERA, Werle, 1972)

Fig. 3.14 – Visualisation d’ecoulements reels autour d’un cylindre (Corke and Nagib)

Fig. 3.15 – Tourbillons alternes de Benard-Karman (ONERA, Werle, 1974)

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66 CHAPITRE 3. CINEMATIQUE DES FLUIDES

3.6 Exercices avec corrections

3.6.1 Exercice I

On considere l’ecoulement defini en variables de Lagrange par :

x = a+ α t, y = b+ β t2, z = c+ γ t3 + c α t (I.1)

Donner la vitesse ~U de cet ecoulement en variables d’Euler.

Corrige

On verifie qu’en t = 0 on a : x = a, y = b, z = c : les variables (a, b, c, t) sont les variables deLagrange. Calculons la vitesse en variables de Lagrange :

u = α, v = 2β t, w = 3 γ t2 + c α (I.2)

A partir des expressions (I.1), on exprime (a, b, c) en fonction de (x, y, z) :

a = x− α t, b = y − β t2, c =z − γ t3

1 + α t(I.3)

On porte ces expressions (I.3) dans (I.2) et on trouve les expressions de (u, v, w) en variablesd’Euler, celles-ci etant (x, y, z, t) :

u = α, v = 2β t, w = 3 γ t2 +α (z − γ t3)

1 + α t(I.4)

3.6.2 Exercice II

On considere l’ecoulement defini en variables d’Euler par :

u = ω x, v = ω y, w = −ω x+ α t (II.1)

ou ω est non nul.

1. Cet ecoulement est-il stationnaire, incompressible ?

2. Determiner les trajectoires.

3. Determiner les lignes de courant a l’instant t1.

Corrige

1. Si α 6= 0, l’ecoulement n’est pas stationnaire, car t figure dans w. Mais si α = 0,l’ecoulement est stationnaire.On calcule div ~U : div ~U = ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 2ω. Donc l’ecoulement n’est pasincompressible car div ~U est non nul.

2. Les equations differentielles des trajectoires sont les suivantes :

dxω x

=dyω y

=dz

−ω x+ α t= dt (II.2)

On obtient :x = x0 exp(ω t), y = y0 exp(ω t) (II.3)

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3.6. EXERCICES AVEC CORRECTIONS 67

si x = x0 et y = y0 en t = 0. Pour z, on ecrit :

dz = (−ω x0 exp(ω t) + α t) dt ⇒ z = −x0 exp(ω t) + αt2

2+K

Si z = z0 en t = 0, alors K = x0 + z0. Donc on a :

z = x0 (1− exp(ω t)) + αt2

2+ z0 (II.4)

Les trois resultats donnes dans (II.3) et (II.4) definissent les trajectoires, lesquelles sontdefinies parametriquement en fonction du temps t.

3. Soit t1 fixe. Les equations definissant les lignes de courant sont les suivantes :

dxω x

=dyωy

=dz

−ω x+ α t1(II.5)

On obtient sucessivement :dxx

=dyy

⇒ y = K1 x (II.6)

dxω x

=dz

−ω x+ α t1⇒ dz =

(−1 +

α t1ω x

)dx

Cette equation differentielle est a variables separees, d’ou :

z = −x+α t1ω x

ln |x|+K2 (II.7)

Chaque equation (II.6) et (II.7) definit une surface dans l’espace a trois dimensions. Laligne de courant definie par (II.6) et (II.7) est l’intersection de ces deux surfaces.

3.6.3 Exercice III

On considere l’ecoulement defini en variables d’Euler par :

u = ω2 y t, v = ω2 x t, w = ω z (III.1)

ou ω est non nul.

1. Cet ecoulement est-il stationnaire, incompressible, irrotationnel ?

2. Existe-il un potentiel des vitesses φ ? Si oui, le determiner.

Corrige

1. L’ecoulement n’est pas stationnaire, car t figure dans u et v.On calcule div ~U : div ~U = ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = ω. Donc l’ecoulement n’est pasincompressible car div ~U est non nul.On calcule rot ~U :

rot ~U =(∂w

∂y− ∂v

∂z

)~ex +

(∂u

∂z− ∂w

∂x

)~ey +

(∂v

∂x− ∂u

∂y

)~ez = ~0

L’ecoulement est irrotationnel.

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68 CHAPITRE 3. CINEMATIQUE DES FLUIDES

2. On cherche s’il existe une fonction φ = φ(x, y, z, t) telle que :

∂φ

∂x= ω2 y t,

∂φ

∂y= ω2 x t,

∂φ

∂z= ω z

On peut verifier que φ = ω2 x y t + ω z2/2 + h(t) avec h(t) fonction arbitraire de t est lepotentiel cherche.On peut aussi construire la fonction φ de la maniere suivante. On integre la premiereequation en x d’ou : φ = ω2 x y t + F (y, z, t) avec F (y, z, t) fonction arbitraire de y, z, t.On derive ce resultat par rapport a y et on l’identifie avec la seconde equation : ω2 x t +(∂/∂y)F (y, z, t) = ω2 x t, d’ou l’on deduit que F (y, z, t) ne depend pas de y. On poseF (y, z, t) = G(z, t), on derive φ par rapport a z et on identifie le resultat avec la troisiemeequation : (∂/∂z)G(z, t) = ω z. On obtient ainsi : G(z, t) = ω z2/2+h(t) avec h(t) fonctionarbitraire de t.

3.6.4 Exercice IV

On considere l’ecoulement plan defini en variables d’Euler par :

u = ω y, v v = −ω x (IV.1)

ou ω est non nul.

1. Cet ecoulement est-il plan, stationnaire, incompressible, irrotationnel ?2. Existe-il une fonction de courant ψ ? Si oui la determiner et construire les lignes de courant.3. Existe-il un potentiel des vitesses φ ? Si oui le determiner et construire les lignes equipo-

tentielles

O x

y

ψ = cste

Fig. 3.16 – Exercice IV : Exemple d’ecoulement stationnaire, incompressible et irrotationnel

Corrige

1. L’ecoulement est plan (voir la definition dans le paragraphe 3.4.1). Il est stationnaire, cart ne figure pas dans u ni dans v. Il est incompressible car div ~U = ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0.Enfin il n’est pas irrotationnel car :

rot ~U =(∂v

∂x− ∂u

∂x

)~ez = −2ω~ez 6= ~0

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3.6. EXERCICES AVEC CORRECTIONS 69

2. D’apres le cours (paragraphe 3.4.3), il existe une fonction de courant ψ telle que : dψ =u dy − v dx.

∂ψ

∂x= −v = ω x,

∂ψ

∂y= u = ω y

On integre la premiere equation en x d’ou : ψ = ω x2/2+F (y) avec F (y) fonction arbitrairede y. On derive ce resultat par rapport a y et on l’identifie avec la seconde equation :F ′(y) = ω y, d’ou F (y) = ω y2/2 + K1, avec K1 constante arbitraire. La fonction decourant est donc telle que :

ψ =ω

2(x2 + y2) +K1 (IV.2)

Les lignes de courant sont les courbes d’equations : ψ = cste, soit : (x2 + y2) = cste. Cesont des cercles. Sur chaque cercle, on peut indiquer le sens du courant (sens du vecteurvitesse). Sur la figure 3.16, nous avons reporte ce sens dans le cas ω > 0.

3. D’apres le cours (paragraphe 3.4.4), il existe un potentiel des vitesses φ telle que : dφ =u dx+ v dy.

∂φ

∂x= u = ω y,

∂φ

∂y= v = −ω x

On integre la premiere equation en x d’ou : ψ = ω x y+G(y) avec G(y) fonction arbitrairede y. On derive ce resultat par rapport a y et on l’identifie avec la seconde equation :ω x+G′(y) = ω x, d’ou G′(y) = 0 et G(y) = K2, avec K2 constante arbitraire. Le potentieldes vitesses est donc tel que :

φ = ω x y +K2 (IV.3)

Les lignes equipotentielles sont les courbes d’equations : φ = cste, soit : x y = cste. Cesont des hyperboles equilateres. On peut verifier que les lignes equipotentielles coupentorthogonalement les lignes de courant (voir le paragraphe 3.4.5).

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70 CHAPITRE 3. CINEMATIQUE DES FLUIDES