Lionel GRILLET Lycée B FRANKLIN

Cinématique du Cinématique du solidesolide

Cinématique du Cinématique du solidesolide

Terminale SiTerminale Si

Sur Mini-Compresseur

Mini-CompresseurAnalyse du système

Entrée :

Mouvement de rotation

(Moteur électrique)

Entrée :

Air (BP)

Sortie :

Air (HP)

Pivot 0( )Bx

Pivot 0( )Ax

0( )Az

Pivot glissan

t

Pivot glissan

t 0( )Cx

Mini-CompresseurModélisation

Piston

Bielle

Bâti

Arbre Entrée

0x A

0z

0x B

C

0x

Mini-CompresseurSchéma cinématique

Système plan

AB

C

Plan d’étude

A

B

C

bâti

Entrée

Bielle

Piston

Schéma cinématiqu

e

Repère(s) de référence

Le mouvement d’un point se définit par rapport à un repère de référence

Cinématique du solide

Chaque groupe cinématique peut être choisi comme

référence

Définir un Repère par groupe cinématique

Cinématique du point

Repère lié au solide

Mini-compresseurDéfinition des Repères

Repères liés aux solides :

Bâti 0 0 0 0( , , , )R A x y z

Entrée 1 0 1 1( , , , )R A x y z

Bielle 2 0 2 2( , , , )R B x y z

Piston 3 0 0 0( , , , )R C x y z

0y

A

B

C

0y

0z

1y

1z

1y2y

2z

2z

Mini-compresseur Relativité du mouvement

Trajectoire de C appartenant au piston par rapport au bâti

Trajectoire de C appartenant au piston par rapport à l’arbre d’entrée

RepèresNotations et Utilisation

1y

1z

1y

0y

2y

2z

2z

A

B

C

0y

0z

Définir un mouvement c’est donner obligatoirement

Pour la trajectoire, la vitesse et l’accélération

le Solide dont on considère le mouvement

le Solide de référence

Un point

Notation (exemple)

( 1/ 0) ou (1/ 0)BV B V

Vitesse du point B appartenant au solide 1 (bielle) dans son mouvement par rapport au solide 0 (bâti)

Remarque (autre exemple)

( / 0) 1CV

Mini-CompresseurMouvement du Piston / Bâti

Trajectoire d’un point du piston par rapport au bâti

Vitesse d’un point є Piston/bâti

Constatation

Toutes les trajectoires sont des droites parallèles.

Tous les points ont le même vecteur vitesse à chaque instant.

Le mouvement du piston par rapport au bâti est un mouvement de :

Translation Rectiligne

Mouvement de translation

(Rappel de 1ère)Caractéristiques

Les trajectoires sont des courbes identiques

Cas particuliers Translation

Rectiligne :

Translation Circulaire :

Trajectoires = droites

Trajectoires = cercles de même rayon

A chaque instant :

Les vecteurs vitesses sont identiques en tous points de (S)

Les vecteurs accélérations sont identiques en tous points de (S)

et , ( / 0) ( / 0)P Qt P Q S V S V S

et , ( / 0) ( / 0)P Qt P Q S S S

Mini-CompresseurMouvement de l’arbre d’entrée/bâti

Trajectoire d’un point de l’arbre d’entrée par rapport au bâti

Vitesse d’un point є arbre d’entrée/bâti

Constatation

Toutes les trajectoires sont des cercles de même centre (concentriques)Plus on s’éloigne du centre, plus la vitesse augmente

Le mouvement de l’arbre d’entrée par rapport au bâti est un mouvement de :

Rotation

Mouvement de Rotation

Autour d’un axe fixe(Rappel de 1ère)

Caractéristiques

Les trajectoires sont des cercles concentriques

Champ des vitesses

Les vecteurs vitesses sont perpendiculaires au rayon

La norme des vecteurs vitesses est proportionnelle à la distance à l’axe de rotation.

1 1 / 0( / 0) SV P S r

r1

r2

P2P1

ωS/0

2 2 / 0( / 0) SV P S r

ωS/0 = vitesse angulaire de S/0

Composition des mouvements

Berge (0)

Berge (0)

Rivière (1)

Bateau (2)

Exemple : une rivière, un bateau…

P

.

Ecoulement de la rivière

Mvt du bateau / rivière

( 1/ 0)V P

( 2 /1)V P

Mouvement du bateau / berge

( 1/( 02 /2 / 0) ) )1(V P V P V P

Composition des vitesses

L’idée !!! S1

S2 S0

L2 L1Utiliser les liaisons connues

pour la décomposition

Composition des mouvements sur

Mini-CompresseurOn cherche

ˆ( / ) ( 2 / 0)V B bielle bati V B

Décomposition des mouvements

Pivot 0( )Bx

Pivot 0( )Ax

0( )Az

Pivot glissan

t

Pivot glissan

t 0( )Cx

Piston (3)

Bielle (2)

Bâti (0)

Arbre Entrée

(1)

1ère décomposition :

( 2 / 0) ( 2 /1) ( 1/ 0)V B V B V B

2ème décomposition :

( 2 / 0) ( 2 / 3) ( 3 / 0)V B V B V B

Or ( 2 /1) 0V B

( 2 / 0) ( 1/ 0)V B V B

Donc

( 2 / 0)V B AB

( 2 / 3)V B CB

( 3 / 0) //V B AC

AB

C

EquiprojectivitéDéfinition et utilisation

(S)

( / 0)V A S Direction de la vitesse en B

A B

( / 0)V A S AB CCCCCCCCCCCCCC

( / 0)V B S

( / 0)V B S AB CCCCCCCCCCCCCC

S solide en mouvement / bâti (0)

A et B deux points quelconques du solide S

( / 0) ( / 0)V A S AB V B S AB CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

Relation d’équi-projectivité « traduction »

La projection de la vitesse en A sur (AB) est égale à la projection de la vitesse en B sur (AB)

même projection

La décomposition des vitesses nous donne

Equiprojectivité sur Mini-Compresseur

( 1/ 0) ( 2 / 0)V B V B

( 3 / 0) ( 2 / 0)V C V C

On connaît ( 1/ 0)V B

On cherche

( 3 / 0)V C

Et on sait que

( 3 / 0) //( )V C AC

( 2 / 0) ( 2 / 0)V B BC V C BC CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

On utilise l’équiprojectivité sur le solide 2

Rappel de Mathématiques

Equiprojectivitédémonstration

Rappel de 1ère

0

( 1/ 0)R

dOAV A

dt

CCCCCCCCCCCCCC

Idée de base : les solides sont indéformablesSi A et B sont deux points du même solide, alors la distance AB reste constante au cours du mouvement

2AB AB AB cte CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

On dérive par rapport au temps « t »

0d

AB ABdt

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC .u v u v v u

Si on prend v = u

2 2u u u Relation de Chasles AB AO OB

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

0d d

AB OB AB OAdt dt

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

( 1/ 0) ( 1/ 0)V A AB V B AB CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

C.I.R sur

Mini-Compresseur

Constatation

A chaque instant « t »

Les perpendiculaires aux directions des vitesses des points de la bielle sont concourantes en I(t)

A l’instant t

Mvt 2/0 = Rotation de centre I(t)

On s’intéresse au mouvement de la bielle 2 / au bâti 0

( / 0)V A S (S)

AB

Direction de la vitesse en B

Centre Instantané de Rotation (C.I.R)

définition et utilisationLe mouvement d’un solide est assimilable à chaque instant t à une rotation de centre I(t).

I(t) : Centre Instantané de Rotation

Utilisation 1 – On trouve la position du

CIR

2 - On est revenu à une rotation

I(t)

A’

( / 0)V A S ( / 0)V B S

( )A IBIA IA