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29/10/2007 M.D.F. - Rafic Younès 1

UNIVERSITE LIBANAISEFACULTE DE GENIE

DEPARTEMENT MECANIQUE MECANIQUE DES FLUIDES

INCOMPRESSIBLES

Rafic YOUNES

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Chapitre 2 : CINEMATIQUE DES FLUIDES

Sommaire :I – IntroductionII – Description du mouvement III – Répartition des vitessesIV – Équation de continuitéV – Écoulement potentiel VI – Écoulement rotationnelVII – Visualisation des écoulements

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INTRODUCTIONCinématique des fluides :

La cinématique est la description du mouvement sans référence aux forces en jeu. En mécanique classique, associé à Galilée et Newton, nous traitons le mouvement des particules ponctuelles.

La cinématique du mouvement fluide est plus compliquée que celles des particules ponctuelles. Le fluide est considéré comme un continuum constitué d’un nombre infini de «particules fluides».

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INTRODUCTIONQuelques définitions :

Régime permanent : Les grandeurs ne dépendent pas du temps ∂()/ ∂t=0.

Écoulement 1D ou 2D : forme simplifiée d’un écoulement physique réel tridimensionnel.

Écoulement interne et externe : Écoulement àl’intérieur d’un conduit ou autour d’un objet.

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DESCRIPTION DU MOUVEMENTReprésentation d’Euler: Représentation de Lagrange:Les quantités physiques telles que la pression ou la vitesse prennent une valeur numérique en chaque point de l’espace.

Elle consiste à suivre une particule donnéau cours de son mouvement. La vitesse d’un élément fluide peut être définie comme en Mécanique du point classique.

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DESCRIPTION DU MOUVEMENTReprésentation d’Euler: Représentation de Lagrange:

),,( 00 ttMfOM lag=),( tMfV euler

rr=

( )),,( 00 ttMf

dtOMdV V

rr==

( )),,( 002

2

ttMfdtOMd rr

Γ==Γ

Trajectoire

∫∫ ⋅=⋅=t

t euler

t

tdttMfdtVOM

00

),(rr

)(VgradVtV

dtVd rr

rrr

⋅+∂∂

==Γ

Lignes de courant (LDC)

0=∧ rdVrr

3

3

2

2

1

1

Vdx

Vdx

Vdx

==

4

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DESCRIPTION DU MOUVEMENTExemple :

( )1−⋅=

⋅−=

xVyV

y

x

ϖϖ

Trajectoire

Lignes de courant (LDC)

1−=−

xdy

ydx

En régime permanent : Trajectoire ≡ LDC ( ) ( ) 20

20

22 11 yxyx +−=+−

Ψ(x,y)

( )

)sin()cos()(

1)sin()cos(1)(

00

00

tytyty

txtxtx

⋅⋅+⋅⋅=

+⋅⋅+⋅⋅−=

ϖϖ

ϖ

ϖϖ

ϖ

&

&

Ψ(x,y) : Fonction de courant

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DESCRIPTION DU MOUVEMENTExemple :

tyVxV

y

x

+=

−=

Trajectoire

Lignes de courant (LDC)

( )

( ) ( ) 11)(

)(0

0

0

0

−−⋅+=

⋅=−

−−

teyty

extxtt

tt

&

( ) ( )000 tyxtyx +⋅=+⋅

tydy

xdx

+=−

En régime Instationnaire : Trajectoire ≠ LDC

Ψ(x,y)

Ψ(x,y) : Fonction de courant

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REPARTITION DES VITESSES

Translation

RotationDéformation angulaire

Élongation

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REPARTITION DES VITESSES

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

+⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂∂

∂∂∂

=dzdydx

zV

yV

xV

zV

yV

xV

zV

yV

xV

dt

tVt

Vt

V

Vd

zzz

yyy

xxx

z

y

x

r

Soit G(x,y,z,t) une grandeur scalaire :

dzzGdy

yGdx

xGdt

tGdG ⋅

∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

=

Or : kVjViVV zyx

rrrr⋅+⋅+⋅=

6

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REPARTITION DES VITESSES

dt

tVt

Vt

V

VdtVdttV

z

y

x

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂∂

∂∂∂

==−+rrr

)()(

A

A’

VM

VM’

t

t+dt

x

yTranslation

B

CDB’

C’D’

dttVVd ⋅∂∂

=r

r

Les vitesses dans les points du particule fluide sont égaux.

Ainsi, à l’instant «t» : V(A) = V(B) = V(C) = V(D).

Et l’instant «t+dt» : V(A’) = V(B’) = V(C’) = V(D’).

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REPARTITION DES VITESSES

rd

zV

yV

xV

Vd

z

y

x

rr

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂

∂∂∂

=

00

00

00

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

∂

∂+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

∂∂

+⋅∂∂

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

∂∂

+

dtdyy

VdyD

dtdyy

Vdydtdx

xVdxC

dtdxx

VdxB

A

y

yx

x

,0:'

,:'

0,:'

)0,0(:'

[ ][ ]

[ ])(,0:

)(),(:)(

0),()(

)0,0()'()(

DVD

CVCVCV

BVBV

AVAV

y

yx

xr

r

rr

=

==

Élongation

x

y

VM

VM’

A ≡A’ B

CD

B’

C’D’

Position à l’instant « t » : ABCD

Position à l’instant «t+dt » : A’B’C’D’

( )

dxx

VBdV

dxAV

dxXVBV

x

xV

x

Axx

x

⋅∂∂

=

⋅+=

+=

∂∂

)(

)(

)(

( ) ( )dyDdydxCdxBA ,0:,:)0,(:)0,0(

7

29/10/2007 M.D.F. - Rafic Younès 13

REPARTITION DES VITESSESDéformation angulaire

x

y

VM

VM’

C

C’Positions à l’instant « t+dt » :

( )( )( )dydtdyD

dtdxdtdyC

dtdxdxB

A

yV

xV

yV

xV

x

yx

y

,:'

,:'

,:'

)0,0(:'

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

A ≡A’ B

D

B’

D’

( )

dxx

VBdV

dxx

VAVBV

dxXV

jBViBVBV

y

yyy

Ay

yx

⋅∂

∂=

⋅∂

∂+=

++=

⋅+⋅=

)(

)()(

0

)()()(rrr

( )

( ) ββ

αα

ddty

VADDDd

ddtx

VABBBd

x

y

≅∂∂

==

≅∂

∂==

'tan

'tan

29/10/2007 M.D.F. - Rafic Younès 14

REPARTITION DES VITESSESDéformation angulaire

rd

yV

zV

xV

zV

yV

zV

xV

yV

xV

zV

xV

yV

Vd

zyzx

zyyx

zxyx

rr

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

++∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

=

021

21

210

21

21

210

x

y

VM

VM’

C

C’

Déformation angulaire pure :

A ≡A’ B

D

B’

D’βα dd =

dty

Vx

Vdt

yVd

dty

Vx

Vdt

xV

d

xyx

xyy

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂=

∂∂

=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂=

∂

∂=

21

21

β

α

8

29/10/2007 M.D.F. - Rafic Younès 15

REPARTITION DES VITESSES

rd

yV

zV

xV

zV

yV

zV

xV

yV

xV

zV

xV

yV

Vd

zyzx

zyyx

zxyx

rr

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

=

021

21

210

21

21

210

Rotation

x

y

VM

VM’ M’

rdvrotdzdydx

yV

xV

xV

zV

yV

zV

dyz

Vy

Vdx

xV

zV

dzz

Vy

Vdx

yV

xV

dzxV

zVdy

yV

xV

Vd

xy

zx

zy

yzzx

yzxy

zxxy

vvr∧=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡∧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

+⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂

⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂−

= )(21

212121

21

21

21

21

21

21

Ω

M

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REPARTITION DES VITESSES

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡∧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂

∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

+⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂∂

∂∂∂

=dzdydx

yV

xV

xV

zV

yV

zV

dzdydx

zV

yV

zV

xV

zV

yV

zV

yV

xV

yV

xV

zV

xV

yV

xV

dt

tVt

Vt

V

Vd

xy

zx

zy

zzyzx

zyyyx

zxyxx

z

y

x

212121

21

21

21

21

21

21

r

Finalement

rdVrotrdDdttVVd

rrrr

r∧⋅+⋅+⋅

∂∂

= )(21

Translation RotationDéformation

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29/10/2007 M.D.F. - Rafic Younès 17

EQUATION DE CONTINUITE

∑= vSdt

dM

∫ ∑∫∫ ⋅=⋅⋅+∂∂

VC vSCVCsddAnVdtP

tτρτρ rrr

),(

∑=⋅+∂∂

vsVdivt

)(v

ρρ

Théorème de transport de Reynolds :

Soit G = M ),( tPr

),( tPr

∫ ⋅⋅∂∂

⋅+∂∂

=SC

VCsys

dAnVMGtP

tGtP

dtdG rrrr

ρ),(),(

Forme intégrale de l’équation de continuité

Forme différentielle de l’équation de continuité

τρρ dVdivdAnVVCSC

⋅⋅=⋅⋅ ∫∫ )(rrr

Théorème d’Ostogradski :

( ) ∫ ∑∫∫ ⋅=⋅⋅+⋅∂∂

VC vVCVCsddVdivdtP

tττρτ

ρ rr),(

VC∑ vS

Sources volumiques ( ) ( )∫ ∑∫ ⋅=⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅+∂∂

VC vVCdsdVdivtP

tττρρ rr

),(∫ ∑∑ ⋅=VC vv sdS τ

29/10/2007 M.D.F. - Rafic Younès 18

EQUATION DE CONTINUITE

0)( =⋅Vdivv

ρ

0321

332211 =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ∫∫∫ AAAdAnVdAnVdAnV

rrrrrrρρρ

0=⋅⋅⋅∫SCdAnV

rrρ

Cas particuliers :

Régime permanent :

Fluide incompressible : 0)( =Vdivv

Écoulement monodirectionnel : 0=⋅⋅⋅∫SCdAnV rr

ρ=0

33 nVrr

⊥022221111 =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ AnVAnV rrrr

ρρ

222111 AVAV ⋅⋅=⋅⋅ ρρ

2211 AVAV ⋅=⋅ Fluide incompressible :

Fluide compressible :

3nr

3nr3S

1A2A

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29/10/2007 M.D.F. - Rafic Younès 19

ECOULEMENT POTENTIELPour cet écoulement, la vorticité est nulle en chaque point : 0)(2 ==Ω⋅ Vrot

rr

On définit alors un potentiel scalaire Φ tel que :

)(Φ−= gradVr

Or le bilan de masse pour un fluide incompressible est :

0)( =Vdivr

0)()]([ =ΦΔ=ΦgraddivLe signe «moins» permet d’orienter les lignes de courant des zones à valeurs élevées de Φ aux zones à faibles valeurs de Φ.

Φ−=⋅Φ−=⋅ dldgradldVrrr

)(Sur les lignes équipotentiels dΦ=0

ldVldVgradrrrr

⊥⇒=⋅⇒=Φ 00)(

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ECOULEMENT POTENTIEL

)()( θgrf ⋅=Φ

0)( =ΦΔ

0)()(" 2 =⋅+ θϖθ gg

Soit un écoulement permanent irrotationnel d'un fluide incompressible autour d'un cylindre de rayon R. Les conditions aux limites à l'infini induit un champs de vitesse uniforme parallèle àl'axe des x. la vitesse particulaire est tangente au cylindre pour tous les points de sa surface.

le potentiel des vitesses vérifie l'équationdifférencielle dite de Laplace:

On cherche une solution sous la forme :

0)()0( ==== πθθ θθ vv

0)(')(')(" 22 =⋅−⋅+⋅ rfprfrrfr

( )θβθαθ pprBrAr p

p sincos),( ⋅+⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=Φ

V0

x

y

Mθ

r

θθ cos),(2

0 ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅−=Φ

rRrVr

Conditions aux limites :0)( == Rrvr0)0,( Vrvr ==∞→ θ

11

29/10/2007 M.D.F. - Rafic Younès 21

ECOULEMENT POTENTIEL

θ

θVdr

Vdr

r

⋅= θθ ∂

Φ∂−=

rV 1

rVr ∂

Φ∂−=

Théorie Expérience

Lignes de courant : avec :

θθ sin),(2

0 ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−=Ψ

rRrVr

29/10/2007 M.D.F. - Rafic Younès 22

ECOULEMENT ROTATIONNEL

zyx

dzdydxΩ

=Ω

=Ω

0)]([ =⋅∫VCdVrotdiv τ

r

LDC : Lignes de tourbillon

kjiVrot zyx

rrrrr⋅Ω+⋅Ω+⋅Ω==Ω )(

21

Soit un tube tourbillon limité par les trois surfaces S1, S2 et S3.

0)]([ =Vrotdivr

0321

332211 =⋅⋅Ω+⋅⋅Ω+⋅⋅Ω ∫∫∫ SSSdSndSndSn

rrrrrr

0)( =⋅⋅∫S dSnVrotrr

33 nVrr

⊥

=0

021

2211 =⋅⋅Ω+⋅⋅Ω ∫∫ SSdSndSn

rrrr

2211 SS ⋅Ω=⋅ΩFlux de tourbillon

2Ωr

2Ωr

1nr

2nr

1Ωr

2nr

3nr

3nr

1S

2S

3S

12

29/10/2007 M.D.F. - Rafic Younès 23

ECOULEMENT ROTATIONNEL

0=∂∂z

S⋅Ω⋅=Γ 2

D’après le théorème d’Ampere-Stockes :

Ω=ΔΨ 2

∫∫ ⋅⋅=⋅⋅CS

dsnVdSnVrotrrrr

)( ∫∫ ⋅⋅=⋅⋅Ω⋅CS

dsnVdSnrrrr

2

Γ : Circulation du tourbillon

Écoulement permanent incompressible : 0)( =Vdivr

0)]([ =Arotdivr

Or :est toujours vraie )(// ArotVA

rrr=∃

Si l’on considère un écoulement dans le plan ⊥ à Oz Vz=0 et

D’où : dyyA

dxxA zz

∂∂

+∂∂

Or : LDCyA

VetxA

V zy

zx ∂

∂−=

∂∂

=

On peut alors poser : Az(x,y) = Ψ(x,y)

En plus :

Ω⋅=rr

2)(Vrot Ω⋅=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−∧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂Ψ∂

∂Ψ∂

∂∂∂∂

200

x

y

y

x

29/10/2007 M.D.F. - Rafic Younès 24

ECOULEMENT ROTATIONNELÉtude expérimentale sur le Vortex : Zone 1 : r < a

Zone 2 : r < a

θϖ er

aV rr⋅⋅= 2

θϖ erV rr⋅⋅=

ar

V

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29/10/2007 M.D.F. - Rafic Younès 25

VISUALISATION DES ECOULEMENTS

On utilise de nombreuses méthodes : Colorants très variés.Colorants fluorescents illuminés avec des lasers.Bulles d’hydrogènes produites en continu ou par impulsions.Divers types de fumées ou vapeur d’eau.Réflexion de la lumière sur des paillettes suspendues dans le fluide.Photographie en longue pose des trajectoires de particules.

29/10/2007 M.D.F. - Rafic Younès 26

VISUALISATION DES ECOULEMENTS

Colorants

Colorants fluorescents

Bulles d’hydrogènes

fumées