Cinematique - M©canique des fluides

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Cours Mécanique des fluides -- UNIVERSITE LIBANAISE

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UNIVERSITE LIBANAISE FACULTE DE GENIE DEPARTEMENT MECANIQUEMECANIQUE DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES Rafic YOUNES29/10/2007 M.D.F. - Rafic Youns 1

Chapitre 2 : CINEMATIQUE DES FLUIDES Sommaire :I II III IV V VI VII

29/10/2007

Introduction Description du mouvement Rpartition des vitesses quation de continuit coulement potentiel coulement rotationnel Visualisation des coulementsM.D.F. - Rafic Youns 2

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INTRODUCTION

Cinmatique des fluides : La cinmatique est la description du mouvement sans rfrence aux forces en jeu. En mcanique classique, associ Galile et Newton, nous traitons le mouvement des particules ponctuelles. La cinmatique du mouvement fluide est plus complique que celles des particules ponctuelles. Le fluide est considr comme un continuum constitu dun nombre infini de particules fluides.M.D.F. - Rafic Youns 3

29/10/2007

INTRODUCTION

Quelques dfinitions : Rgime permanent : Les grandeurs ne dpendent pas du temps ()/ t=0. coulement 1D ou 2D : forme simplifie dun coulement physique rel tridimensionnel. coulement interne et externe : coulement lintrieur dun conduit ou autour dun objet.M.D.F. - Rafic Youns 4

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DESCRIPTION DU MOUVEMENTReprsentation dEuler:Les quantits physiques telles que la pression ou la vitesse prennent une valeur numrique en chaque point de lespace.

Reprsentation de Lagrange:Elle consiste suivre une particule donn au cours de son mouvement. La vitesse dun lment fluide peut tre dfinie comme en Mcanique du point classique.

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M.D.F. - Rafic Youns

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DESCRIPTION DU MOUVEMENTReprsentation dEuler: r r V = f euler ( M , t ) Reprsentation de Lagrange:OM = f lag ( M 0 , t , t 0 )

r t t r OM = V dt = f euler ( M , t ) dtt0 t0

r r r r dV V r = = + V grad (V ) t dtLignes de courant (LDC)

r d (OM ) r V= = fV ( M 0 , t , t 0 ) dt

r r d 2 (OM ) = = f ( M 0 , t , t0 ) 2 dtTrajectoire

r r V dr = 029/10/2007 M.D.F. - Rafic Youns

dx1 dx 2 dx 3 = = V1 V2 V36

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DESCRIPTION DU MOUVEMENTExemple :

V x = y

V y = ( x 1)

Trajectoirex ( t ) = ( x 0 1 ) cos( t ) + y ( t ) = y 0 cos( t ) +

&0 x

sin( t ) + 1

&0 y

sin( t )

Lignes de courant (LDC) (x,y) En rgime permanent : Trajectoire LDC (x,y) : Fonction de courant29/10/2007 M.D.F. - Rafic Youns

dx dy = y x 1

( x 1)2 + y 2 = ( x0 1)2 + y027

DESCRIPTION DU MOUVEMENTExemple :Vx = x Vy = y + tTrajectoire

x ( t ) = x 0 e (t t0 )

& 0 + 1) e ( t t 0 ) t 1 y(t ) = ( y

Lignes de courant (LDC)

(x,y) En rgime Instationnaire : Trajectoire LDC (x,y) : Fonction de courant29/10/2007 M.D.F. - Rafic Youns

dx dy = x y+t

x ( y + t ) = x 0 y0 + t 0

(

)8

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REPARTITION DES VITESSESRotation Translation longation Dformation angulaire

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REPARTITION DES VITESSESSoit G(x,y,z,t) une grandeur scalaire :

dG =Or :

r r r r V = Vx i +Vy j +Vz k

G G G G dy + dz dt + dx + t x y z

V x V x x t r V y V dt + y dV = x t V V z z t x 29/10/2007

V x y V y y V z y

V x z dx V y dy z dz V z z 10

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REPARTITION DES VITESSESy D VM t D VM A B x A C B C t+dt Translation

Les vitesses dans les points du particule fluide sont gaux. Ainsi, linstant t : V(A) = V(B) = V(C) = V(D). Et linstant t+dt : V(A) = V(B) = V(C) = V(D).

V x t r r r V y V ( t + dt ) V ( t ) = dV = dt t Vz t 29/10/2007 M.D.F. - Rafic Youns

r r V dV = dt t

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REPARTITION DES VITESSESy longation

A(0,0) B : (dx,0) C : (dx, dy) D : (0, dy)VM VM C B B Position linstant t : ABCD x

A' : (0,0)

Position linstant t+dt : ABCD

V B' : dx + x dx dt ,0 x V y V x C ': dx + x dx dt , dy + y dy dt V y D' : 0, dy + y dy dt

D D A A

C

r r V ( A) = V ( A' ) = ( 0,0) r V ( B ) = [V x ( B ), 0] r V (C ) : V x (C ), V y (C ) D : 0, V y ( D )29/10/2007

V x ( B ) = V x ( X A + dx )

[

[

]

]

= V x ( A) + dV ( B ) =

V x x

dx

V x dx xM.D.F. - Rafic Youns

V x x r dV = 0 0

0 V y y 0

0 r 0 dr V z z 12

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REPARTITION DES VITESSESyD D C B A A B VM C VM Dformation angulaire Positions linstant t+dt :

x

( C ': (D' :

A' : (0,0)V y x

B' : dx ,

dx dtV y x

)) dx dt

r r r V ( B ) = Vx ( B ) i + V y ( B ) j = 0 + V y ( X A + dx ) V y x dx

(

V x y V x y

dy dt ,

)

dy dt , dy

V y ( B ) = V y ( A) + dV ( B ) =29/10/2007

dx

V y x

BB' V y = dt d AB x DD' V x dt d tan(d ) = = AD y tan(d ) =M.D.F. - Rafic Youns 13

REPARTITION DES VITESSESyD D C B A A B VM C VM Dformation angulaire pure : Dformation angulaire

d = d

x

0 r 1 Vx Vy dV = + 2 y x 1 Vx V ++ z 2 x z 29/10/2007

1 Vx Vy 1 Vx Vz + + 2 y x 2 z x 1 Vy Vz r + 0 dr 2 z y 1 Vy Vz 0 + 2 z y M.D.F. - Rafic Youns

1 V y V x dt + y 2 x V x 1 V y V x dt dt = d = + y y 2 x d = V y x dt =

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REPARTITION DES VITESSESRotation

y

VM

M

VM

1 V x V y 0 2 x y r 1 V x V y M 0 dV = x 2 y 1 V x V z 1 V y V z z x 2 2 y x z

1 V x V z 2 z x 1 V y V z r dr 2 y z 0

1 V y V x V 1 V y V z 1 V dy + x z dz y x 2 2 z y z dx 2 x r 1 V z V y v v 1 V y V x 1 V x V z 1 dV = x y dx 2 y z dz = 2 z x dy = 2 rot ( v ) dr 2 dz 1 V x V z 1 V y V x 1 V z V y + dx dy y z x 2 y 2 z 2 x

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REPARTITION DES VITESSESFinalement V x V x x t r V y 1 V x V y dt + dV = + t x 2 y V z 1 V x V z t + x 2 z 1 V x V y + 2 x y V y y 1 V y V z + 2 y z 1 V x V z + 2 z x 1 V y V z + 2 y z V z z 1 V y V z y dx 2 dx z 1 V x V z dy + 2 z x dy dz dz 1 V y V x 2 x y

Translation

Dformation

Rotation

r r V r r 1 r dt + D dr + rot (V ) dr dV = t 229/10/2007 M.D.F. - Rafic Youns 16

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EQUATION DE CONTINUITEThorme de transport de Reynolds :dG r G r G r r (P, t) = (P, t ) + V n dA SC dt t M sys VC

Thorme dOstogradski :

VC

SC

V n dA = div ( V ) dVC

r r

r

Soit G

r (P, t ) =

r M( P , t )v

dM = Sv dt

r r ( P , t ) d + div V d = d sv VC VC tr r t ( P , t ) + div V d = VC VC

(

)

Sources volumiques

S =

VC

d s v

VC

(

)

( s ) dv

Forme intgrale de lquation de continuit

S

v

v + div ( V ) = sv t

VC

r r r ( P , t ) d + V n dA = d sv SC VC tM.D.F. - Rafic Youns

Forme diffrentielle de lquation de continuit17

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EQUATION DE CONTINUITECas particuliers : Rgime permanent : Fluide incompressible : coulement monodirectionnel :r n3

v div ( V ) = 0

A2

v div (V ) = 0

A1

SC

V n dA = 0=0

r r

r r r r r r dA = 0 A1 V1 n1 dA + A2 V2 n2 dA + A3 V3 n r3 r V3 n3 r r r rn3

r

S3SC

V n dA = 0

r r

1 V1 n1 A1 + 2 V2 n2 A2 = 0

1 V1 A1 = 2 V2 A2 Fluide compressible :V1 A1 = V2 A2 Fluide incompressible :

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ECOULEMENT POTENTIELPour cet coulement, la vorticit est nulle en chaque point : On dfinit alors un potentiel scalaire tel que :

r r 2 = rot(V ) = 0Or le bilan de masse pour un fluide incompressible est :

r V = grad ( )

r div (V ) = 0

div[ grad ( )] = ( ) = 0Le signe moins permet dorienter les lignes de courant des zones valeurs leves de aux zones faibles valeurs de .

r r r V dl = grad ( ) dl = d

r r r r grad ( ) = 0 V dl = 0 V dl29/10/2007 M.D.F. - Rafic Youns 19

Sur les lignes quipotentiels d=0

ECOULEMENT POTENTIELSoit un coulement permanent irrotationnel d'un fluide incompressible autour d'un cylindre de rayon R. Les conditions aux limites l'infini induit un champs de vitesse uniforme parallle l'axe des x. la vitesse particulaire est tangente au cylindre pour tous les points de sa surface.

le potentiel des vitesses vrifie l'quation diffrencielle dite de Laplace: ( ) = 0 On cherche une solution sous la forme : = f ( r ) g ( )

yV0

r

M x

r 2 f "(r ) + r f ' (r ) p 2 f ' (r ) = 0

g" ( ) + 2 g( ) = 0

B ( r , ) = A r p + p ( cos p + sin p ) r Conditions aux limites : v r ( r , = 0) = V0 vr (r = R) = 0

v ( = 0) = v ( = ) = 029/10/2007 M.D.F. - Rafic Youns

R2 ( r , ) = V 0 r + r cos 20

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ECOULEMENT POTENTIELLignes de courant :

dr r d = Vr V

avec :

Vr =

r

V =

1 r

R2 sin ( r , ) = V0 r r

Thorie29/10/2007 M.D.F. - Rafic Youns

Exprience21

ECOULEMENT ROTATIONNELLDC : Ligne