Cinétique cellulaire non-structurée A. Garnier, Génie chimique

Cinétique cellulaire non-structurée

A. Garnier, Génie chimique

Croissance cellulaire – courbe typique en cuvée

Temps

Con

cent

rati

on

Substrat (S)

Biomasse (X)

Produit (P)late

nce exponentielle plateau déclin

tL

Croissance cellulaire - variables

X S P

Taux de variation

(kg/(m3.s)

dX/dt dS/dt dP/dt

Taux de production /consommation

rx rs rp

Taux spécifique

(kg/(kg.s)

= rx/X qs= -rs/X qp= rP/X

Rendement (kg/kg) Yx/s = rx/rs = /qs

Yp/x, Yp/s

Mode d’opération

Système fermé: cuvée (batch)

•Aucune entrée ou sortie

•Régime transitoire

•dX/dt = rX, dS/dt = rS

•À t = 0, X = X0, S = S0

•Yx/s= cst

Croissance cellulaire –type de modèles

STRUCTURÉ/

SÉGRÉGÉ

NON-STRUCTURÉ

STRUCTURÉ

NON-SÉGRÉGÉ

+ simple

SÉGRÉGÉ

Structuré: Tient compte de métabolites intra-cellulairesSégrégé: Tient compte d’une distribution de population

Modèles de croissance

Du plus simple au plus compliqué– Exponentiel (ordre 0)– Linéaire (logistique)– Monod– Autres

Phénomènes connexes– Maintenance– Mortalité

Production– Luedeking-Piret combiné aux différents modèles

Ordre 0: Croissance exponentielle

XVrVdt

dXV X Où = cste

Solution:teXX

0

Jusqu’à XMAX = X0 + YX/S*S0

X XX

)(0

0

LtteXX

XX

Avec latence:

Pour t < tL

Pour t ≥ tL

Croissance exponentielle


0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6

temps (-)

X (

-)



-3

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5 6

temps (-)

ln(X

) (-

)

Croissance exponentielle avec latence


0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6

temps (-)

X (

-)


-3

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5 6

temps (-)

ln(X

) (-

)

Modèle linéaire – courbe logistique

Si Yx/s est constant:

(X-Xo) = Yx/s (So-S)

(XMAX-Xo) = Yx/s * So

On propose alors:

S 1/(Yx/s) * (Xmax – X) (1-X/Xmax)

} Xmax-X = Yx/s * S

Modèle logistique (courbe en S)

= k*(1-X/Xmax) dX/dt = k*(1-X/Xmax)*X Solution:

– Sachant que:

– On obtient:

dtkdXXXX

X

)( max

max

a

xax

xax

)ln(ln

)(

1

ktX

XXXX

X

XMAX

MAXMAX

0

)ln(ln*

Modèle logistique (suite)

kt

XX

XX

MAX

o

MAX

1

1ln

kt

XX

X

X

MAX

0

1

1ln

ktXX

XX

XMAX

0)(

ln

ktXXX X

XMAX 0)ln(ln


kt

XX

XX

MAX

o

MAX

1

1ln

kt

o

MAX

MAX

e

XX

XX

11

)1(11 0

0

kt

MAX

kt

kt

o

MAX

ktMAX

eXX

eX

eXX

eXX Croissance exponentielle

Pondérée

Finalement:


dX/dt = 0 à X = 0 etX= Xmax

Point d’inflexion (d2X/dt2 = 0) à Xmax/2

Ne nécessite pas de connaissance de S, Yx/s, etc

)1(11 0

0

kt

MAX

kt

kt

o

MAX

ktMAX

eXX

eX

eXX

eXX

Fonction logistique

00,20,40,60,8

1

0 1 2 3 4 5 6

temps (-)

X (-)


Estimation des paramètres:

)(

ln)(

ln0

0

XX

Xkt

XX

X

MAXMAX

Fonction logistique

-3

-1

1

3

0 1 2 3 4 5 6

temps (-)

ln(X

/(X

max

-X))

(-)

k

Y = mx + b


Calcul de dX/dt: dX/dt = k*(1-X/Xmax)*X

où:

)1(11 0

0

kt

MAX

kt

kt

o

MAX

ktMAX

eXX

eX

eXX

eXX

Fonction logistique

0

0,1

0,2

0,3

0 1 2 3 4 5 6

temps (-)

dX/d

t (-)

Modèle enzymatique - Monod

SK

S

S

MAX

Xdt

dX

XYXqsdt

dS

SX

/

-Une variable indépendante, 3 variables dépendantes, trois équations = Une solution!

(1)

(2)

(3)

Modèle de Monod

Équation 3 n’est peut-être pas nécessaire:

dt

dX

Ydt

dX

YX

Ydt

dS

sxsxsx ///

11

Xmax-X = Yx/s * S

Alors:

X

XXY

K

XXY

dt

dX

MAXSX

S

MAXSX

MAX

)(

1

)(1

/

/

X

XXYK

XX

MAXSXS

MAXMAX

)(

)(

/

Modèle de Monod

XXXYK

XX

dt

dX

MAXSXS

MAXMAX

)(

)(

/

t

MAX

X

XMAX

MAXSXS dtdXXXX

XXYK0

/

0 )(

)(

t

MAX

X

XMAX

MAX

MAX

SXS dtdXXXX

XX

XXX

YK0

/

0 )(

)(

)(

Modèle de Monod

t

MAX

X

XMAX

SXS dtdXXXXX

YK0

/

0

1

)(

a

xax

xax

)ln(ln

)(

1

Sachant que:

tXX

XXXYK MAX

X

XMAX

MAXSXS

0

)ln()ln(ln

/

tXX

XX

X

YK

X

X

X

XYKMAX

MAX

MAX

MAX

SXS

MAX

MAXSXS

)(

)(lnln

0

/

0

/

Modèle de Monod

tXX

XX

X

YK

X

X

X

XYKMAX

MAX

MAX

MAX

SXS

MAX

MAXSXS

)(

)(lnln

0

/

0

/

Modèle de Monod

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8

temps (-)

X (

-)

0

4

8

12

16

20

24

S (

-)S = (Xmax-X)/Yx/s

Données

max= 1

Ks= 5

Yx/s= 0,5

So= 20

Xo= 0,1

Monod – estimation des paramètres

Avec des données de S et , on peut calculer max et Ks par la méthode de double réciproque (Lineweaver-Burke)

Modèle de Monod -X vs S

0

2

4

6

8

10

12

0 5 10 15 20

S (-)

X (

-)ouAvec des données de t, X, S, on peut calculer, Yx/s par un graphe de X vs S:

Ici, Yx/s = 0,5


Puis on peut reformuler l’équation de X pour isoler des termes reliés linéairement:

tXX

XX

X

YK

X

X

X

XYKMAX

MAX

MAX

MAX

SXS

MAX

MAXSXS

)(

)(lnln

0

/

0

/

÷t÷t

t

XX

XXXX

X

YK

t

XX

MAX

MAX

MAX

SXSMAX

00/0

ln)()(

lnln

Y = b + m X


t

XX

0

ln

t

XX

XXXX

MAX

MAX

00

ln)()(

ln

Modèle de Monod - Estimation des paramètres

y = 0,2475x + 1

0,5

0,55

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

-1,9 -1,7 -1,5 -1,3 -1,1 -0,9 -0,7 -0,5

max = 1

m = 0,2475 = Ks*Yx/s/Xmax

Ks= 0,2475*10,1/0,5

Ks= 5

Autres modèles (Shuler-Kargi)

Inhibition par sous-produit toxique:

Tessier:

Moser:

Contois:

SSK

S

S

m

00

ouSSKK

S

SS

m

001

)1( SKm e

nS

nm

SK

S

SXK

S

SX

m

•Haldane:

iS

m

KSSK

S2

Etc...

Inhibition par le substrat: Haldane

i

S

MAX

iS

MAX

KS

SK

KSSK

S

12

Xdt

dX

(1)

(2)

Xmax-X = Yx/s * S (3)

X

KYXX

XXYKdt

dX

isx

sxs

/

max

max

/

max

1

En Cuvée:

Haldane en cuvée

X

KYXX

XXYKdt

dX

isx

sxs

/

max

max

/

max

1

tX

Xisx

sxs dtdXXKY

XX

XX

YK0 max

/

max

max

/

0

11

tdXXKY

XX

XXXX

YKX

Xisx

sxs

max/

max

max

/

0

1

tKY

XX

KY

XX

X

XXXYK

X

Xisxisxsxs

max//

max

max

max/

0

)ln()ln()ln()ln(

Haldane en cuvée

tKY

XX

KY

XX

X

XXXYK

X

Xisxisxsxs

max//

max

max

max/

0

)ln()ln()ln()ln(

tKY

XXX

X

YKX

KY

X

X

YKX

Xisx

sxs

isx

sxs

max/

maxmax

/

/

max

max

/

0

)ln()ln(1

t

KY

XX

XX

XX

X

YK

X

X

KY

X

X

YK

isx

sxs

isx

sxs

max/

0

0max

max

max

/

0/

max

max

/ lnln1

Comportement d’une cinétique de Haldane en cuvée

Modèle de Haldane

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8

temps (-)

X (

-)

Monod

Ki=10

Ki=100

Ki=1000

Données

max= 1

Ks= 5

Yx/s= 0,5

So= 20

Xo= 0,1

Effet de maintenance

S = S(croissance) + S(maintenance)

rS = 1/YG* rX + m * X

qs = 1/YG* + m

1/Yx/s = qs/1/YG + m/

Effet de maintenance

1/Yx/s = qs/1/YG + m/

1/Yx/s vs 1/mu

2

2,05

2,1

2,15

2,2

2,25

0 0,5 1 1,5 2 2,5

1/mu

1/(

Yx

/s)

Effet de mortalité

Le taux de mortalité cellulaire:

rd = - kd*X où kd=cste

Donc en cuvée:

dX/dt = *X – kd*X = (– kd)*X

En général, on néglige la maintenance et la mortalité en cuvée

Cinétique de production

Le modèle le plus connu est celui de Luedeking-Piret:

rP = *rX + * X} }associé non-associé à la croissance

qP = * +

Combinaison L-P/Croissance cellulaire

rP = *rX + * X

En cuvée:

dP/dt = * dX/dt + * X

t

000 dt X * )X-(X * P- P

Or nous avons déjà des relations pour X

Luedeking-Piret: Courbe typique

Luedeking-Piret

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10

t (-)

X (

-) X

P

Luedeking-Piret

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10

t (-)

X (

-) X

P

Luedeking-Piret

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10

t (-)

X (

-) X

P

=0,5, =0 =0, =0,5

=0,3, =0,2On peut déterminer à partir du plateau!!

Combinaison L-P/Logistique

t

000 dt X * )X-(X * P- P

)1(11 0

0

kt

MAX

kt

kt

o

MAX

ktMAX

eXX

eX

eXX

eXX

00

0 11ln XXeX

X

k

XPP tk

MAX

MAX

Combinaison L-P/Logistiquedétermination des paramètres

00

0 11ln XXeX

X

k

XPP tk

MAX

MAX

•Si on connaît

Y = m * X

•On trouve !

•Mais si on ne connaît pas β…

Combinaison L-P/Monod

t

000 dt X * b )X-(X * P- P

tXX

XX

X

YK

X

X

X

XYKMAX

MAX

MAX

MAX

SXS

MAX

MAXSXS

)(

)(lnln

0

/

0

/

00

/00 ln XXXX

XXYKXXPP

MAX

MAXsxS

MAX

Détermination des paramètres

Une méthode:

0

0/0

0

0

ln

XX

XXXX

YKXX

XX

PP MAX

MAXsxS

MAX

00

/00 ln XXXX

XXYKXXPP

MAX

MAXsxS

MAX

0

0/0

0

0

ln

XX

XXXX

YKXX

XX

PP MAX

MAXsxS

MAX

Ou encore…

Autres modes d’opération

Cuvée alimentée Continu Continu avec recirculation Piston (plug flow)

Cuvée alimentée (Fed-batch)

•Alimentation seulement

•Régime transitoire

•À t = 0, V= V0, X= X0, S= S0

•F sera contrôlé de manière à maintenir S constant, S=S0=Sc

•Si S est constant, le sera aussi, = c

F(t), Sin

V, X, S


3 bilans seront nécessaires pour obtenir un modèle de ce système:

F

dt

dV dtFVV

t

00

tV

VdtFdV

00

VX

dt

XVd

VXdt

XdV

dt

VdX

F

…. )()(

)()()()( tVtX

dt

tXdtVtFtX


VXdt

VXd

dt

VX

VXdc

t

c

XV

VXdtVXd

VX 000

1

tVX

VXc

00

ln tceVXVX 00


VX

YSF

dt

VSd

sx

cin

/

VX

YSF

dt

VdS

dt

SdV

sx

cin

/

F0

VXY

SSFsx

ccin

/

cinsx

c

SSY

VXF

/

t

cinsx

c ceSSY

VXF

/

00


tceVXVX 00

t

cinsx

c ceSSY

VXF

/

00

dtFVVt

00 dte

SSY

VXVV

t t

cinsx

c c

0

/

000

11

/

00

t

cinsx

ceSSY

XVV

11/

0

0

t

cinsx

t

c

c

eSSY

X

eXX

Chemostat (continu, CSTR)

F, Sin

V, X, S, P

F, S, X, P

•Une entrée, une sortie

•Mélange idéal: Xout = X, Sout = S, Pout = P

•Après une période initiale d’adaptation, ce système atteindra un régime permanent:

V= cst, X= cst, S= cst, P= cst


Bilan sur la biomasse:

Bilan sur le substrat:

XFVXdt

dXV 0 D

V

F

Où D: taux de dilution

VXY

SFSinFdt

dSV

sx

/

0

VXY

SSinFsx

/

SSinYX sx /


Relation cinétique, par exemple Monod:

DSK

S

S

MAX

1D

K

D

KDS

MAX

S

MAX

S

Modèle de Monod -=D vs S

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20 25

S (-)

=

D(-

)

Modèle de Monod - S vs D

0

5

10

15

20

25

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

D (-)

S


Le produit:

Xrr Xp

VrPFdt

dPVp 0 prPD

XDXXD

XD

P


En résumé:

SSinYX sx /

D

KDS

MAX

S

XD

P

Où D*X = productivité cellulaire!

Chemostat idéal: synthèse de P

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

10,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

D

X, S

, P

0

0,5

1

1,5

2

2,5

D*P

S

X

P

D*X

max=1

Ks=1

Yx/s=1

Sin=5=0,3=0,1

Dlavage=max*Sin/(Ks+Sin)

Sin


Productivité cellulaire:– D ((L/min) / L de culture) * X (g de cellule/L)=

Productivité (g de cellules/(min*L de culture)–

Productivité en produit:–

Sin

Smaxoptmax KS

K1μD àX*D

XXDXDPD *

Chemostat –effet de la maintenance

Bilan X: = D inchangé Cinétique: inchangée Bilan S:

VXmY

SFSinFdt

dSV

G

0

mYD

SSDX

G

in )(

Chemostat –effet de la maintenance

Chemostat avec effet de maintenance

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

D

X, S

S

X

X+maint

max=1

Ks=1

Yg=1

Sin=5

m=0,1

Chemostat –effet de la mortalité

Bilan X:

Cinétique:

Bilan S:

XkXDXdt

dXd 0 dkD

MAX

SKS

dMAX

Sd

kD

KkDS

XY

SSinDsx

/

X

Y

kD

sx

d

/

SSinYkD

DX sx

d

/

Chemostat –effet de la mortalité

Chemostat avec effet de mortalité

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000

D

X, S

S

S+mort

X

X+mort

max=1

Ks=1

Yx/s=1

Sin=5

kd=0,1

mYD

SSDX

G

in )( SSinY

kD

DX sx

d

/+ = dkYm

Chemostat avec recirculation

F F(1+w)

V, X

Bioréacteur Décanteur

F(1+w)

wF, Xx

Fc, Xc

Fex, Xx

•Permet de concentrer les cellules dans le bioréacteur•Permet de repousser le lavage•Développement pour X seulement


Bilan sur les cellules du bioréacteur:

XFwXVFwX X 10

DwX

XDw X 1

X

XwD X11


Bilan sur les cellules dans le séparateur:

XexCC XFwFXFXFw 1

X

XFwF

X

XFFw X

exCC

1

FwF

XXF

Fw

X

X

ex

CC

X

1

wFF

w

X

X

ex

X 10


CSTR avec recirculationD/ vs w pour différents Fex/(Fex+wF)

-

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

0 0,5 1 1,5 2

w

D/

Fex/(wF+Fex)=0,1

Fex/(wF+Fex)=0,25

Fex/(wF+Fex)=0,5

Modèles non-structurés

Beaucoup de diversité et de potentiel

Mais ne répond pas à tous les besoins…

Une vue très simplifiée du métabolisme cellulaire

[C6H12O6]n C6H12O6 G3P

glycerol

purines

pyruvate Acétyl-CoA

lactate

Acides gras

éthanol

Lipides

Ac.aminéspyrimidinesCycle de

Krebs

Acides nucléiques

protéinesNAD+ATPH2O

NADHADPO2

Chaîne respiratoireLe catabolisme génère de l’ATP et du NADH

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Cinétique cellulaire non-structurée A. Garnier, Génie chimique