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Ecuación de Horton y Franklin Determinación del número de platos teóricos necesarios para una separación dada para sistemas multicomponentes sin líneas de operación y equilibrio rectas. (página 359 "Operaciones de Transferencia de Masa" Robert Treybal) Como en este caso se pueden transferir todas las sustancias de una corriente a la otra se definen relaciones molares con respecto a las corrientes que ingresan a la columna '

1n n N nG y G Y+= (1)

'

1

n nn

N

G yYG +

= (2)

'

0n n nL x L X= (3)

'

0

n nn

L xXL

= (4)

Balance en el plato 1 ' ' ' '

0 0 1 2 0 1 1 1N NL X G Y L X G Y+ ++ = + (5) Se debe escribir un balance de este tipo para cada soluto que se transfiere. La relación de equilibrio para cada soluto se puede expresar mediante la siguiente ecuación n n ny m x= (6)

' '

1 0N n nn

n n

G Y L XmG L+ = (7)

' '0

1

n nn n

n N

G m LY XL G +

= (8)

' 0

1

n nn

n N

G m LmL G +

= (9)

' ' '

n n nY m X= (10)

' ' '

0 0 0

' ' '1 1 1

Y m X

Y m X

=

= (11)

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' ' ' '

1 1 0 0 1 2 0 1N NG Y L X G Y L X+ += + − (12) Reemplazando las ecuaciones (11) en la ecuación (12)

' ' ' '0 01 0 2 1' '

1 0 1 1N N

L LY Y Y YG m G m+ +

= + − (13)

' ' ' '0 01 0 2 1

0 0 0 1 1 01 1

0 1 1 1N N

N N

L LY Y Y YG m L G m LG GL G L G+ +

+ +

= + − (14)

' ' ' '0 11 0 2 1

0 0 1 1

L LY Y Y YG m G m

= + − (15)

Utilizando la definición del factor de absorción ( )' ' '

1 1 0 0 21Y A A Y Y+ = + (16)

( )

' '' 0 0 2

111

A Y YYA+

=+

(17)

Para el plato 2

( )

' '' 1 1 3

221

A Y YYA+

=+

(18)

Remplazando la ecuación (17) en la ecuación (18)

( )( )

( )( )( )

' ''0 0 2

1 3 ' ' '1 1 0 0 1 2 1 3'

22 2 1

1 1

1 1 1

A Y YA YA A A Y A Y A Y

YA A A

⎛ ⎞+⎜ ⎟ +⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠= =

+ + + (19)

( )( )

( )( )( )

' '1 0 0 1 3' 1

22 1 2 1

11

1 1 1 1

A A Y A YAYA A A A

⎡ ⎤ + +⎢ ⎥− =

+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ (20)

( )( )( )( )

( )( )( )

' '2 1 1 1 0 0 1 3'

22 1 2 1

1 1 1

1 1 1 1

A A A A A Y A YY

A A A A

⎡ ⎤+ + − + +⎢ ⎥ =

+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ (21)

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( )( )( )

( )' ' ' '1 0 0 1 3 1 0 0 1 3'

22 1 2 1 12 1 1

1 111 1

A A Y A Y A A Y A YY

A A A A AA A A

+ + + += =

+ + + −+ + − (22)

( )' '1 0 0 1 3'

22 1 2

11

A A Y A YY

A A A+ +

=+ +

(23)

Para el plato 3

( )

' '' 2 2 4

331

A Y YYA+

=+

(24)

Remplazando la ecuación (23) en la ecuación (24)

( )

( )

' '1 0 0 1 3 '

2 42 1 2'

33

11

1

A A Y A YA Y

A A AY

A

⎡ ⎤+ ++⎢ ⎥

+ +⎢ ⎥⎣ ⎦=+

(25)

( ) ( )

( )( )' ' '

2 1 0 0 1 3 2 1 2 4'3

2 1 2 3

1 1

1 1

A A A Y A Y A A A YY

A A A A

⎡ ⎤+ + + + +⎣ ⎦=+ + +

(26)

( )( )( )

( )( )( )

' '2 1 2 1 0 0 2 1 2 4'

32 1 2 3 2 1 2 3

1 11

1 1 1 1

A A A A A Y A A A YY

A A A A A A A A

⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥− =

+ + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ (27)

( )( ) ( )( )( )

( )( )( )

' '2 1 2 3 2 1 2 1 0 0 2 1 2 4'

32 1 2 3 2 1 2 3

1 1 1 1

1 1 1 1

A A A A A A A A A Y A A A YY

A A A A A A A A

⎡ ⎤+ + + − + + + +⎢ ⎥ =

+ + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ (28)

( )( )

( )( )

' 3 2 1 3 2 3 2 1 2 2 2 13

2 1 2 3

' 3 2 1 3 2 33

2 1 2 3

11 1

11 1

A A A A A A A A A A A AYA A A A

A A A A A AYA A A A

⎡ ⎤+ + + + + − −⎢ ⎥ =

+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥

+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦

(29)

( )' '2 1 0 0 2 1 2 4'

33 2 1 3 2 3

11

A A A Y A A A YY

A A A A A A+ + +

=+ + +

(30)

Para el Plato N

( )' '1 2 1 0 0 1 2 1 1 2 1 1'

3 2 1 3 2

11

N N N N NN

N N N

A A A A Y A A A A A A YY

A A A A A A A A− − − − ++ + + + +

=+ + + +

(31)

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( )' '0

1 2 1 0 1 2 1 1 2 1 1' 1

3 2 1 3 2

1

1

N N N N NN

NN N N

LA A A X A A A A A A YGYA A A A A A A A

− − − − ++

+ + + + +=

+ + + + (32)

Como Y’N es la composición de una corriente que pertenece a la columna se la elimina reemplazándola por el valor obtenido a partir de un balance de materia para el componente analizado que abarca toda la columna ' ' ' '

0 0 1 1 0 1 1N N N NL X G Y L X G Y+ + ++ = + (33)

' ' ' '1 10 1 1

0 0

N NN N

G GX X Y YL L

+ ++= + − (34)

' '1

0

n Nn n

n n

L GX YG m L

+= (35)

' ' ' '1 1 10 1 1

0 0 0

N N N NN N

N N

L G G GY X Y YG m L L L

+ + ++= + − (36)

' ' ' '1 1 10 1 1

0 0 0

N N N NN N

A G G GY X Y YL L L

+ + ++= + − (37)

' ' ' '00 1 1

1

1 1N N

N N N N

LY X Y YA G A A+

+

= + − (38)

Igualando las ecuaciones (31) y (38)

( )

' ' '00 1 1

1

' '01 2 1 0 1 2 1 1 2 1 1

1

3 2 1 3 2

1 1

1

1

NN N N N

N N N N NN

N N N

L X Y YA G A A

LA A A X A A A A A A YGA A A A A A A A

++

− − − − ++

+ − =

+ + + + +

+ + + +

(39)

( )

( )

' ' '03 2 1 3 2 0 1 1

1

' '01 2 1 0 1 2 1 1 2 1 1

1

1 11

1

N N N NN N N N

N N N N NN

LA A A A A A A A X Y YA G A A

LA A A X A A A A A A YG

++

− − − − ++

⎛ ⎞+ + + + + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ + + + +

(40)

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( )

( )

' ' '03 2 1 3 2 0 1 1

1

' '02 1 0 1 2 1 1 2 1 1

1

1

1

N N N NN

N N N N N NN

LA A A A A A A A X Y YG

LA A A X A A A A A A A YG

++

− − − ++

⎛ ⎞+ + + + + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ + + + +

(41)

( )

( )

( )( )( )

'03 2 1 3 2 0

1

'02 1 0

1

'3 2 1 3 2 1

'1 2 1 1 2 1 1

'3 2 1 3 2 1

1

1

1

1 0

N N NN

NN

N N N N

N N N N N

N N N

LA A A A A A A A XG

LA A A XG

A A A A A A A A Y

A A A A A A A Y

A A A A A A A A Y

+

+

+

− − − +

+ + + + −

+

+ + + + −

+ + + + −

+ + + + =

(42)

( )

( )

( )( )( )

'03 2 1 3 2 0

1

'02 1 0

1

'3 2 1 3 2 1

'2 1 2 1 1

'3 2 1 3 2 1

1

1

1 0

N N NN

NN

N N N N

N N N N N N

N N N

LA A A A A A A A XG

LA A A XG

A A A A A A A A Y

A A A A A A A A Y

A A A A A A A A Y

+

+

+

− +

+ + + + −

+

+ + + + −

+ + + + −

+ + + + =

(43)

( ) ( )

( )( )

( )

'00 3 2 1 3 2 2 1

1

3 2 1 3 2'1

2 1 2 1

'1 3 2 1 3 2

1

1

1 0

N N N NN

N N N

N

N N N N N

N N N

L X A A A A A A A A A A AG

A A A A A A A AY

A A A A A A A A

Y A A A A A A A A

+

+

−

⎡ ⎤+ + + + − +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + + + −⎢ ⎥ −⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦

+ + + + =

(44)

( )( )

( )

( )

' '1 1 3 2 1 3 2

'00 3 2

1

'1 2 1 2 1

1

1

N N N N

N NN

N N N N N N

Y Y A A A A A A A A

L X A A A AG

Y A A A A A A A A

+

+

+ −

− + + + + +

+ + + =

+ + + +

(45)

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( )( )

( )

( )

' '1 1 3 2 1 3 2

'1 2 1 2 1

'00 3 2

1

1

1

N N N N

N N N N N N

N NN

Y Y A A A A A A A A

Y A A A A A A A A

L X A A A AG

+

+ −

+

− + + + + +

= + + + +

− + + +

(46)

( ) ( )( )

( )( )

' '1 1 2 1 2 1'

1 3 2 1 3 2

'3 20 0

'1 1 3 2 1 3 2

1

1

1

N N N N N N

N N N N

N N

N N N N N

Y Y A A A A A A A AY A A A A A A A A

A A A AL XG Y A A A A A A A A

+ −

+

+ +

− + + + +=

+ + + +

+ + +−

+ + + +

(47)

La ecuación (47) es la 8.103 de Treybal (Página 360) Edmister definió los factores de absorción efectivos que reemplazan a las sumatorias en las ecuaciones de Horton-Franklin.

( )

( )

1'

0.5

1

11

1 0.25 0.5

N

N

E N

A AA

A

A A A

+=

+

⎡ ⎤= + + −⎣ ⎦

(48)

( ) ( )( )

' ' 1'1 1 0 0' ' ' 1

1 1 1

11

NN E E

NN N N E

Y Y A AL XY A G Y A

++

++ + +

− −⎛ ⎞= −⎜ ⎟

−⎝ ⎠ (49)

Análogamente se pueden obtener las ecuaciones que describen el proceso de desorción

( )

( )

1'

10.5

1

11

1 0.25 0.5

N

E N

S SS

S

S S S

+=

+

⎡ ⎤= + + −⎣ ⎦

(50)

( ) ( )( )

' ' 1'0 1 1

' ' ' 10 0 0

11

NN E EN N

NE

X X S SG YX S L X S

+

+ ++

− −⎛ ⎞= −⎜ ⎟

−⎝ ⎠ (51)