C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, Serie I, p, 287.290, 1999Analyse mathematique/MathematicalAnalysis(Geometrle differentiellelDifferentialGeometry)

Classification projective des espaces d'operateursdifferentiels agissant sur Ies densites

Pierre B.A. LECOMTE

Institut de mathematique, Universite de Liege, Grande Traverse 12, B37, 4000 Sart-Tilman, BelgiqueCourriel : pIecomte@uIg.ac.be

(Re\(u Ie 4 juliet 1998, accepte apres revision Ie 7 decembre 1998)

Resume. On classifie les representations V).jJ de sl(m + 1, R) obtenues en laissant agir sonplongement projectif dans l'algebre de Lie des champs de vecteurs de R'", m > I,par derivees de Lie sur l'espace des operateurs differentiels operant des densitesde poids >. dans celles de poids u, Pour chaque valeur de Il - .x. il n'y a qu'unnombre fini de classes d'isomorphie, le plus souvent une seule, auquel cas V).jJ estisomorphe au gradue assode a la filtration par )'ordre de differentiation. © Academicdes Sciences/Elsevier, Paris

Projective classification of the spaces of differentialoperators acting on densities

Abstract. One classifies the representationV).jJ ofsl(m+ I , R) obtained by letting its projectiveembedding in the lie algebra oJ vector fields oJRm1 m> 1, act by Lie derivatives onthe space ojdifferential operators between densitiesojweight>' and u. For each Il - >.,there is only finitely many isomorphism classes, most Jrequently one, in which caseV ).I'

is isomorphic to its graded space relative to the order ofdifferentiation. © Academicdes Sciences/Elsevier, Paris

1. Introduction

L'aetion naturelle de SL(m + 1, R) sur Rm+! \ 0 induit une action sur l'espace projeetif Rpm,donnee par des homographies. Les champs de vecteurs tangents a cette action se restreignent a Rmregarde comme ouvert des points de Rpm dont la premiere coordonnee projective n'est pas nulle.Us constituent une sous-algebre de Lie de I'algebre de Lie Vect(Rrn) des champs de vecteurs deRm • Elle est rnaximale dans l'algebre des champs acoefficients polynomiaux. C'est Ie plongementprojectif Slm+l de sl(m + 1, R). C'est I'ensemble des champs de veeteurs de la forme

(voir par exemple [I], p. 6).

Note presentee par Alain CONNES.

i t; i,j

0764-4442199/03280287 © Academic des ScienceslElsevier, Paris 287

P.B.A. Lecomte

On note V~,.. I' espace des operateurs differentiels

(1)

d'ordre inferieur ou egal a k de Rrn, agissant sur les champs de densites de poids A et a valeursdans les champs de densites de poids J.L. On pose

(2)

Cet espace est muni d'une structure de slonH-module, que ron obtient en laissant agir les champsde vecteurs par derivees de Lie.

On demontre dans [3] que lorsque A= J.L, en tant que slonH-module, V>..,.., est isomorphe au gradueassocie a la filtration (2) par l' ordre de differentiation des operateurs differentiels. Ce resultat vautplus generalement tant que (m + 1)(J.L - A) - m n'est pas un entier positif (voir [4]). Sous cettecondition, on obtient une sorte de quantification projectivement equivariarue. En effet, Ie gradueassocie est l'espace Sfj = f(VT*Rm ® 6.6Rm) des fonctions sur Ie fibre cotangent T*Ron qui sont,pour chaque x E Rm, des polynomes en eE T;Rm acoefficients dans I'espace ~fjRm des densitesde poids 6 = J.L - A de Rm.

Le but de cette Note est de classifier les slm+l-modules V>"p., pour m > 1 (pour m = I, cetteclassification est dans [2]). En particulier, nous montrerons aquelles conditions V>..,. est isomorphea S6. On envisage de publier ulterieurement une version detaillee de la presente Note. On trouveradone peu de preuves ici.

2. Deux ensembles d'entiers remarquabIes

L'espace S6 est gradue par Ie degre de polynome. On a

S6 =67 S; ,k~O

auS; = r(vkT*Rm ® L\6Rm ) .

De plus, le passage au symbole principal

A E V~,. ~ a(A) = LAue'''E s;lul=k

(cf. (1» fournit une courte suite exacte de slm+l-modules

V k- 1 Vk U Sk 0o ---+ >..,.., ---+ >..,.., ---+ 6---+(3)

(en effet, a commute avec la derivee dans la direction de chaque champ de vecteurs).II est clair que I'existence eventuelle d'un isomorphisme de slm+l-modules S6 -t VA,.., est liee au

fait que les suites (3) sont scindees ou non. En tout cas, si elles sont scindees, un tel isomorphismeexiste. Quant a l'unicite de ce demier, elle depend de I'existence d'applications slon+requivariantesnon triviales entre les Sf, pEN.

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Classification des operateurs differentiels

Notons 16 I'ensemble des k pour lesquels il existe l < k tel que

et designons par h,.. celui des k pour lesquels (3) n'est pas scinde (comme suite de slm+1-modules).Les notations introduites sont legitimees par Ie

THEOREME 1. - (i) L'ensemble 1fl est forme des k > 0 pour lesquels it existe n E {I, .• • , k} telque (m + 1)5 - m = 2k - n.

(ii) L'ensemble h/l est forme des k E 16 pour lesquels

II [(m+l)A+i]#O,k-n~i<k

ou n = 2k + m - (m + 1)8.

C'est une reformulation des theoremes 7.2 et 8.5 de [4].II resulte aisement du theoreme I que 16 et hI-' sont des intervalles d'entiers consecutifs et que si

1>'/l est non vide, sa borne inferieure coincide avec celIe de 1fl •

3. L'operateur de Casimir de '0>,1-'

En interpretant, dans (I), D~ comme Ie mona me € --. €Q (€ E Rm.), on obtient une bijectionlineaire Il> : V>'I-' --. 5 fl (qui ne commute pas avec la derivee de Lie de champs de vecteurs). II estalors facile de calculer l'operateur de Casimir C>'I-' de V>.w On a

4> 0 C>'I-' 0 4>-1 = 2El- 2[(m + 1)8 - m]Ee+ m(m + 1)8(8 - 1) + 2[Ee+ (m + 1)"]T,

ou Ee est Ie champ des hornotheties Ei €iDe• et Test la divergence EiDr'De' . On peut alorsetablir la

PROPOSITION 2. - Les enonces suivants sontequivalents :(i) l'operateur de Casimir de V>'/l est diagonalisable ;

(ii) les slm+1-modules V>'I-' et 5 fl sont isomorphes;(iii) l'intervalle h,.. est vide.

En fait, Ie spectre de C>'1l est l'ensemble des

Q'k = 2k2- 2[(m + 1)5 - m]k + m(m + 1)8(8 - 1) , kEN.

PROPOSITION 3. - Les applications C>.,.. et C>.,,.., ont meme spectre si etseulementsi /1 - A = /1' - A'.

(La proposition 3 requiert m > 1.)On voit done que 8 est preserve par isomorphismc de slm+1-modules. II en va de merne pour

1>.1-" en vertu de la

PRoPOsmoN 4. - Soit k E 1fl• On a k E hp. si et seulementsi il existe A E V>'I-' tel que le polynomecaracteristique de la restriction de C>'I-' a> CiIlA, i E N < soit minimum et soit Ilo9 9 (t - Q'i)'

En conclusion, lorsque m > I, les deux intervalles 1fl et 1>.p. ne dependent 'que de la classed'isomorphie de slm+1-module de V>.,...

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4. Classification des modules 'D>.~

Rappelons que la conjugaison d'operateurs differentiels A E V>'~ 1-----+ A* E 'D1- ,., 1->' est definiepar

f A(f)g = f fA*(g)JRm JRmpour tous champs de densites f et 9 de poids respectifs A et 1 - p" a supports compacts. C'est unisomorphisme de Vect (Rm)-modules.

Pour tout X E slm+l' on definit "tx E Hom(5 6 ,56 ) en posant

1 '" 2 .'Yx(P) = --1 c: DX'xJXJDe.P.m+ ..' ,J

L'application 'Y est un l-cocyle de slm+l a valeurs dans les endomorphismes de 5 6. De plus, les'YX, X E Slm+lo commutent deux a deux. Ceci permet de definir sur EBO<i<k 5~ une structure V:;,de slm+!-module en posant - -

X.(PO" " ,Pk ) = (LxPo + 'YXP1,'" ,LXPi + 'YXPi+b'" , LXPk ) ,

OU Pi E S~ et ou Lx designe Ia derivee de Lie dans la direction de X.

PROPOSITION 5. - Le Slm+l-module V>.p est isomorphe iJ

'D~8 = EB5~ ()j V:,. ,i >8

(4)

(5)

014 S = sup1>.p (on pose sup0 = -1 et V;;.l = 0).

Demonstration. - Via <1'> , on verifie que l'action de X E Slm+1 sur V1~ est donnee comme dans(4), ou il faut remplacer la composante i par LxPi - [(m+ I)A + il"fxP.+1 (i = 0, . .. , S - 1). Parailleurs, quitte apasser au module conjugue V~_,., 1->" on peut supposer que (m + I)A +i =I 0 pouri = 0, ... 18 - 1. En multipliant chaque composante Pi par une constante, on obtient alors aisementun isomorphisme entre V~,. et V:.,. Les suites (3) etant scindees pour k > 8, il se prolonge en unisomorphisme de slm+l-modules entre D>.,. et (5). 0

TH~ORt:ME 6. - Les Slm+l-modules V>'IJ et V>"IJ' sont isomorphes si et seulement si 6 = 6' et

hI' = 1>.,1'"II resulte de ce qui precede que :

Le nombre de classes d'isomorphie parmi les modules V>,p pour lesquels 8 = J.L - ,\ est fixe est1 + 116 1. Plus en details: 16 est vide quand (m + 1)8 - m n'est pas un entier positif sinon, 116 1estla partie entiere par defaut de la moitie de ce nornbre. En outre, lorsque sup h,. =I sup 16, la classede V>.p comporte au plus deux elements: V>.p et son conjugue ; elle n'en contient qu'un exactement

lorsque (A, J.L) = (~~~ , :t~), U E No·

References bibliographiques

[I] Fuks 0.8., Cohomology of infinite-dimensional Lie algebras. Consultants Bureau, New York-London, 1986.[2] Gargoubi H., Modules des operateurs differentiels sur la droite : geometrie projective et cohomologie de Gelfand-Fuks,

These de doctorat, Universite de Provence, 1997.[3] Lecomte P.B.A., Ovsienko V., Projectively invariant symbol map and cohomology of vector fields Lie algebras intervening

in quantization. Prepublication du CPT·CNRS, CPT-96/P.340I, CNRS Luminy, 1996.[4J Lecomte P.B.A.• On the cohomology of sl(m + I, R) acting on differential operators and sl(m + I , R)-equivariant symbol.

Seminalre de l'Institut de mathematique de I'ULg, 98.001. Universite de Liege, 1998.

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