CM05

1CM05 : Transmission de puissance et RDM2008 – 2008

« Dimensionner les composants et les arbres de transmission »

CM04 : Transmission de puissance : Composants et RDMCM04 : Transmission de puissance : Composants et RDM


ProgrammeProgramme

Composants de transmission mécanique

Engrenages, droits, hélicoïdaux, coniques, crémaillères.Trains d’engrenages, trains épicycloïdaux, différentiels, boites de vitesses.Liaisons permanentes d’arbres : joints de cardan, joint tripode.Liaisons temporaires d’arbres : embrayages, freins.Liaisons souples : courroies, chaînes.

Dimensionnement des arbres de transmissions

Résistance des matériaux appliquée aux arbres et aux organes de transmission.Sollicitations composées : théorème de superposition.Notion de concentration de contraintes.Flambement des poutres.Notion de fatigue des matériaux.


PlanPlan

Introduction

1 Sollicitations composéesLes hypothèsesSollicitations simplesPrincipe de superpositionCritère de Tresca

2 Prise en compte des concentrations de contraintesSollicitations simplesSollicitations composées

3 Prise en compte du flambagePoutre articulée / articuléeCharge critique d’Euler

4 Notion de fatigue dans les matériaux


IntroductionIntroduction

M1

Définition d’un Transmission de puissance

Système qui permet de transmettre de la puissance mécanique depuis des organes moteurs (M1 , M2 , … , Mm ) vers des organes récepteurs (R1 ,R2 , … , Rr ) par l’intermédiaires d’arbres de transmission (A1 , A2 , … Aa ) et de composants (C1 , C2 , … , Cc )

M2

M3

R1

R2

C1

C2

C3

C4

C5

C6

Système de transmission

A4

A2

A3

A1

A5

A6A7

A8

A9

A10


Exemple : Transmission dExemple : Transmission d’’un vun vééhicule 4x4 non permananthicule 4x4 non permanant

MoteurThermique embrayage Boite de

vitessesBoite detransfert

DifférentielAV

FreinAVG

Jointtripode

RoueAVG

Vers le pont arrière

Vers la roue AVG


Cahier des charges fonctionnel dCahier des charges fonctionnel d’’une transmissionune transmission

FT1 : Transmettre la puissance FT1.1 : Transmettre le mouvement

FT1.2 : Transmettre les efforts

FT1.3 : Résister aux efforts extérieurs

FT1.4 : Résister à l’environnement

Fonction Critère Niveau

FT1.1 Transmettre le mouvement Rapport de réduction, vitesse d’entrée r, N(tr.min-1)

FT1.2 Transmettre les efforts Couple de sortie, rendement C(N.m), η

FT1.3 Résister aux efforts extérieurs Effort axial / radial A(N), R(N)

FT1.4 Résister à l’environnement Température, lubrification, vibrations … T(°C), …


PlanPlan

Introduction






Chapitre 2 : Dimensionnement des arbresChapitre 2 : Dimensionnement des arbres

Dans cette partie, les arbres de transmission vont être modélisés comme des poutres :

Fibre neutre rectiligne

Section circulaire constante par morceau

( éventuellement annulaire )

xr

yr

zr


Sollicitations dans les arbresSollicitations dans les arbres

Le but des arbres étant de transmettre de la puissance, il doivent nécessairement transmettre du couple.

Les arbres seront donc systématiquement sollicités en torsion.

Les engrenages et autres composants induisent des efforts tangentiels et axiaux.

Les arbres peuvent également être sollicités en flexion et en traction / compression

Les arbres de transmissions sont guidés par des paliers et soumis à des actions extérieures.

1

{ }1→i { }1→j


DDéémarche de dimensionnement des arbresmarche de dimensionnement des arbres

Cahier des Charges

Efforts dans les composants

Torseur de cohésion

Torsion

Flexion

Traction / compression

Principe de superposition

Calcul des contraintes

Critère de dimensionnementValidation


Rappel des hypothRappel des hypothèèsesses

3 Hypothèse de Saint-Venant :Les résultats obtenus ne sont valables qu'à une distance suffisamment grande des points d'application des chargements et des conditions aux limites.

2 Section discontinueLes résultats dans ces zones sont fortement discutables et on introduit alors des facteurs correctifs de concentration de contraintes.

4 Loi de comportement des Matériaux ELHILes matériaux sont supposés : Élastique, Linéaire, Homogène, Isotrope

1 Petites déformationsOn effectue les calculs sur la structure non déformée et les déformations ne modifient pas la position des efforts.


Rappel sur la torsion Rappel sur la torsion

Contraintes de cisaillement :

θτ uIMrr t rr

0

)( =

zr

yr

θur

rur

Moment quadratique

32

42

0ddsrI

SM

π== ∫

∈

Critère de Tresca

sRe

2max <τr

s : Coefficient de sécuritéRe : Limite élastique du matériau

Torseur de cohésion :

{ }

G

zyxG

t

c

M

),,,(00

000

rrr⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=τ


Rappel sur la traction compressionRappel sur la traction compression

Contraintes normales :

xSN

n

rr=σ

Surface de la section

4

2ddsSSM

π== ∫

∈

Critère de Tresca

sRe

n <σrmax


{ }

G

zyxG

c

N

),,,(000

00

rrr⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=τ

Gxr

yr

zr


Rappel sur la flexion Rappel sur la flexion

Contraintes normale :

xI

Myyz

fzn

rr−=)(σ

Moment quadratique

64

42 ddsyI

SMz

π== ∫

∈


{ }

G

zyxGfz

yc

MT

),,,(

00

0

0

rrr⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=τ

xr

zr

G

yr

Critère de Tresca

sRe

n <σrmax

On néglige l’effet de l’effort tranchant


Principe de superpositionPrincipe de superposition

{ }S→1 { }S→...

{ }S→2 { }Sn →

A condition qu’aucune contrainte ne dépasse la limite élastique du matériau.

{ }Si →

)(Miσr

∑=n

i MM1

)()( σσ rr

Soit une structure S en matériau ELHIsoumise à n actions extérieures :

Chaque action i engendre un champ de contraintes :

Alors :

le champ de contraintes résultant de la somme des actions extérieures est égale à la somme des champs de contraintes élémentaires.


Flexion combinFlexion combinéée e àà de la traction / compressionde la traction / compression

Flexion

xSNTC

n

rr=σ

xr

G

yr

xI

Myyz

fzn

rr−=)(σ

Traction / compression

xr

G

yr

Flexion + TC

xrG

yr

xI

MySNy

z

fzn

rr⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=)(σ

Critère de Tresca

sRy e

n <)(max σr

+ =


Flexion et traction / compression combinFlexion et traction / compression combinéée e àà de la torsionde la torsion

xr

zr

G

yr

xr

zr

G

yr

Flexion +TC Torsion

θτ uIMrr t rr

0

)( =

Contraintes de la sollicitation combinée

xI

MySNu

IMrry

z

fzt rrr⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+= θσ

0

),(

xI

MySNy

z

fzn

rr⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=)(σ

+

=


CritCritèère de dimensionnementre de dimensionnement

xI

MySNu

IMrry

z

fzt rrr⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+= θσ

0

),(

xI

MySNy

z

fzn

rr⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=)(σ θτ u

IMrr t rr

0

)( =

[ ]s

Ren <+ 22 4max τσ

Contrainte normale Contrainte de cisaillement

On ne prend pas directement la norme du vecteur contrainte :

On identifie les deux composante de la contrainte :

On applique le Critère de Tresca :


ExempleExemple

xr

zr G

yr

{ }

G

zyxG

c

mNN

kN

),,,(00

.15

02002

rrr⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=τ

mmL 100=

mmD 10=

On étudie un arbre en acier GPaE 200= MPaRe 600= 2=s

Calculer la contrainte maximale dans l’arbre.L’arbre résiste-t-il aux sollicitations ?


PlanPlan

Introduction






PhPhéénomnomèène de concentration de contraintesne de concentration de contraintes

Prenons un profilé troué en acier sollicitée en traction

GPaE 200=

MPaRe 300=

On calcule la surface soumise à la traction au niveau du trou : 250mmS =

On calcule la contrainte au niveau du trou :

mmL 100=

mmh 20=

mme 5=

mmr 5=

kNP 10=r

en RMPaS

P≤== 200

rrσ

Ce calcul n’est pas valable et le profilé casse


Visualisation des concentrations de contraintesVisualisation des concentrations de contraintes

Grâce à un calcul par éléments finis on simule l’état de contraintes dans le profil.

Contrainte en Pa

La contrainte est constante loin du trou

La contrainte varie fortement prés du trou

La contrainte max est atteinte à l’intérieur du trou :

eRMPa ≥≈ 400σ

le profilé casse


Sollicitation simpleSollicitation simple

1 : Identifier les zones de l’arbre qui présentent des discontinuités

2 : Identifier le mode sollicitation

{ }G

c⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∗

∗∗= 0

00τ

3 : Utiliser les abaques pour déterminer le coefficient de concentration de contraintes :

4 : Appliquer un critère de résistance mécanique

ecalculéetréelle RK ≤= σσ rr

tK


Exemple de sollicitation simpleExemple de sollicitation simple

xr

zr G

yr { }

G

zyxG

c

kN

),,,(000

00

10

rrr⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=τ

mmL 100=

mmd 10=



mmD 20=

mmr 3=


Arbre Arbre éépaulpauléé


Sollicitations composSollicitations composééeses

1 : Calcul des différents types de contraintes

3 : Application du critère de Tresca

icalculée

it

iréelle K σσ rr

=

TCcalculéeσr flex

calculéeσrtorscalculéeσr

2 : Application des coefficients de concentration de contraintes

( ) ( )s

Retorsréelle

flexréelle

TCréelle ≤++

22 4 σσσ


ExempleExemple

xr

zr G

yr { }

G

zyxG

c

mNN

kN

),,,(00

.15

02002

rrr⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=τ

mmL 100=

mmd 10=



mmD 25=

mmr 5=


PlanPlan

Introduction






FlambageFlambage

b

aL

On charge en compression une poutre en acier trempé.

Pr

Pr

−

Calculer les contraintes et conclure quant à la tenue de la poutre.

mma 13= mmb 5,0= mmL 210= NP 10=r

MPaRe 300= GPaE 200=


Torseur de cohTorseur de cohéésionsion

Pr

−xr

yr

OG

yyxxOGrr

+=On se place dans le cas d’une poutre articulée / articulée

{ }GGO

c

Py

PyxPPP

yx⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧∧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−= 0

0

00

000;

00

000

00),(τ

Calcul du torseur de cohésion :

xPPrr

=

Moment de flexion

PyyMfz −=)(

Ly <<On suppose la déformation transverse très faible


Calcul de la dCalcul de la dééformformééee

On utilise l’expression de la déformée démontrée en RDM tronc commun.

Pr

−xr

yr

OG

EIM

xy fz=

∂∂

2

2

02

2

=+∂∂ y

EIP

xy

On obtient une équation différentielle d’ordre 2 à cœfficients constants


RRéésolution de lsolution de l’é’équation diffquation difféérentiellerentielle

02

2

=+∂∂ y

EIP

xy

)sin()cos()( xEIPBx

EIPAxy +=

Vérification des conditions aux limites

Articulation 1 : 0)0( =y 0=A

Articulation 2 : 0)( =Ly

2

22

LEIkPk

π=

0)sin( =LEIP

Il existe une infinité de mode de Flambage k :

Valeurs propres :

Charge critique d’EULER

Vecteurs propres

)sin()(Lxkxykπ

=


Autres modes de FlambageAutres modes de Flambage

Il existe d’autres cas de chargement

Pr

−

OG

Pr

−xr

yr

OG

xr

yr

Poutre encastrée / libre

Poutre encastrée / encastrée


Dimensionnement des poutres Dimensionnement des poutres àà la compressionla compression

1 : On vérifie la résistance à la contrainte de compression :

c

e

sRSP <

2

2

'LsEIP

f

π<

2 : On vérifie la on sollicitation du 1er mode de flambage avec la méthode d’Euler :

enc / enc :

art / art :

enc / lib :

2/' LL =

LL ='

LL 2'=

Selon les cas on pose :

L’effort de compression doit être inférieur à :

L’effort de compression doit être inférieur à :


PlanPlan

Introduction


2 Prise en compte des concentrations de contraintesSollicitations simplesSollicitation composée

3 Prise en compte du flambagePoutre articulé / articuléCharge critique d’Euler



Notion de fatigue dans les matNotion de fatigue dans les matéériauxriaux

Les matériaux (métaux, céramique, polymère), sont formés de groupes d’atomes ou de molécules plus ou moins organisés. Entre ces groupes, on trouve des imperfections de structure (dislocations). Ces imperfections peuvent donner naissance à des fissures qui se propagent plus ou moins vite selon les matériaux et les sollicitations.

On peut donc observer des ruptures avec des niveaux de contraintes inférieurs à la limite de rupture mais suffisamment répétés pour propager les fissures jusqu’à la surface du matériau.

Les courbes de Wöhler dépendent du matériau et du mode de sollicitation

On trace alors des courbes expérimentales (de Wöhler) qui permettent de déterminer le nombre de cycles que peut subir une structure avant rupture.


Exemple de courbe de WExemple de courbe de Wööhler hler

)/log( 0σσ

)log(N

contrainte

Nombre de cycles

mR

dσ

Acier traction

Acier flexion

Alliage d’aluminium flexion

Certains matériaux n’ont pas de limite d’endurance


BoBoîîtes de vitessestes de vitesses

La fonction d’une boîte de vitesse est de faire varier le rapport de transmission afin d’adapter le couple moteur à la charge.

EmotC → SroueC →

Châssis

rapport de réduction : ke

s =0/

0/

ωω


ThThééororèème de lme de l’é’énergie cinnergie cinéétiquetique

On isole la boîte de vitesses en phase d’accélération.

On suppose que le rendement de la boîte est parfait

0/0/ . EEmotEmot CP ω→→ =

0/0/ . SSroueSroue CP ω→→ =

00/ =→BdVchassisP

00/0/ ≥+ →→ SroueEmot PP

0.. 0/0/ ≥+ →→ SSroueEEmot CC ωω

Emot

Sroue

S

E

CC

→

→−≥0/

0/

ωω

pour accélérer il faut donc que :Emot

Sroue

CC

k →

→−≥1


Les caractLes caractééristiques typiques dristiques typiques d’’un moteur thermiqueun moteur thermique

Moteur PSA (C4 et 308)


Les puissances mises en jeu dans un vLes puissances mises en jeu dans un vééhiculehicule

Puissance des frottements avec l’air

Puissance de la résistance au roulementPuissance de la gravité

Puissance du moteur


ÉÉtagement dtagement d’’une boune boîîte de vitesseste de vitesses


Principe dPrincipe d’’une boite de vitesse une boite de vitesse àà 2 arbres2 arbres


Principe dPrincipe d’’une boite de vitesse une boite de vitesse àà 3 arbres3 arbres


SynchronisateurSynchronisateur

Les synchronisateurs sont actionnés par des fourchettes.

Le passage de vitesse se passe en deux temps :

1 la synchronisation par frottement des cônes : les arbres se mettent à tourner à des vitesses identiques.

2 le crabotage où des ergots viennent assurer une transmission d’effort par obstacle.


Exemple dExemple d’’une boune boîîte de vitesse te de vitesse àà 2 axes2 axes


Exemple dExemple d’’une boune boîîte de vitesses te de vitesses àà 3 arbres3 arbres


Embrayage automobileEmbrayage automobile


Embrayage Embrayage multidisquemultidisque éélectriquelectrique


Calcul du couple transmissible par un embrayageCalcul du couple transmissible par un embrayage

xr

yr

rur

θur

M

pRRpdsRS

Dp )( 21

22 −== ∫→ π

r

dsuurpMS

rO

Dp θμrrr

∫ ∧=→

zdrrpMRr

Rr

ODp

rr

∫=

=→ =

2

1

22πμ

[ ]zRRpMODp

rr31

323

2−=→

πμ

On isole le disque soumis à une pression homogène p.

Calcul de la résultante due la pression

Calcul du moment du aux frottements

θ

DpO

Dp RRRRRM →→ −

−=

rr21

22

31

32

32μ


Frein Frein àà disquedisque


Frein Frein àà tambourtambour

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