CNAM Bases de Traitement du Signaleasytp.cnam.fr/roviras/roviras_enseigne/ELE103_partI_v26.pdf · 2018. 9. 26. · CNAM ELE 103 D. Roviras 1 CNAM Bases de Traitement du Signal ELE

CNAM ELE 103 D. Roviras 1

CNAM

Bases de Traitement du Signal

ELE 103, partie I (draft version)

D. [email protected]

Tel : 01 40 27 25 67

Bureau: Accès 11, 2ème étage, Bureau 11B2.37

2018-2019 version 26

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Sommaire :

1. Introduction

2. Rappels sur le filtrage (C1, TD1)

3. Rappels sur la Série de Fourier et la Transformée de Fourier (C2,C3,TD2,TD3,TD4)

4. Signaux déterministes à énergie finie (C4)

5. Signaux déterministes à puissance finie (C4)

6. Introduction aux probabilités (C5,C6,C7,TD5, TD6)

7. Signaux aléatoires (C8 C9 C10, TD7)

8. Filtrage des signaux (C11, TD8, TD9)

9. Signaux bande étroite (C12 C13)

10. Modulations (C14 C15, TD10, TD11, TD12)


Introduction1. Pré requis et place de ELE103 dans un cursus

ingénieur

2. Le traitement du signal

Introduction


Introduction

A quoi sert le cours de

« Bases de Traitement du Signal » ?

Station de radio n°1

Station de radio n°2

mon poste de radio

CNAM ELE 103 D. Roviras 5Introduction



t

Signal station de radio n°1

t

Signal station de radio n°2

Traitement

Modulation

Amplification

Transmission

Traitement

Modulation

Amplification

Transmission

mon poste

de radio

CNAM ELE 103 D. Roviras 6Introduction



Pré-amplification

Traitement

Démodulation

Amplification


Introduction



m1(t)

t

(1) Signal station de radio n°1 (m1(t))

g(t)

Passe-Bas

x(t)

(2) Traitement du signal m1(t) : filtrage

cos( 2.p.fp.t)

v(t)

(3) Modulation du signal m1(t)

h(t)

Canal hertzien

y(t)

(4) Transmission hertzienne

+

n(t) cos (2.p.fp.t)

e(t)

s(t)z(t)

Passe-Bas

(5) Démodulation


Introduction

SystèmeEntrée Sortie

✓ Caractérisation temporelle et fréquentielle des

signaux d’entrée, de sortie et des perturbations

✓ Relations entrée/sortie ?

✓ Quel traitement réaliser ?

Perturbations


Introduction

Source

CAN

Signal

CNA Décodeur

source

Décodeur

canal

Codeur

source

Codeur

canal

Modulateur

Canal

Récepteur

Exemple d’un chaîne de

transmission numérique

ELE102-103ELE103

ELE103

ELE102-103

ELE102-112

ELE102-103-112

ELE102-112

ELE102-112

ELE102-103-112

ELE103-112

ELE102-112


Rappels sur le filtrage et

les distributions

1. Filtrage par un SLIT

2. Rappel sur les distributions

Filtrage


Système Linéaire Invariant Temporellement (SLIT)

Linéarité :

SLIT)(1 tx )(1 ty SLIT)(2 tx )(2 ty

SLIT)(.)(. 21 txbtxa )(.)(. 21 tybtya

Invariance temporelle :

SLIT)(1 tx )(1 ty SLIT)(1 tx )(1 ty

Filtrage



Exemple de système Non Linéaire : comparateur

Filtrage

SystèmeEntrée (x) Sortie (y)

x: amplitude de l’entrée

y : amplitude de la sortie

A

0

x1(t)=constante = 1 y1(t)=constante=A

x2(t)=constante = 2 y2(t)=constante=A

x3(t)= x1(t)+x2(t) )()()( 213 tytyAty



Exemple de système Non Linéaire : diode

Filtrage

SystèmeEntrée (x) Sortie (y)

x: amplitude de l’entrée

y : amplitude de la sortie

0

x1(t)=constante = -1 y1(t)=constante=0

x2(t)=constante = 1 y2(t)=constante=1

x3(t)= x1(t)+x2(t) )()(0)( 213 tytyty

Pente de 1



Exemple de système Variant Temporellement :

Filtrage

Systèmex(t) y(t)

x(t) y(t)

g(t)

)()()()()()(

)()()()(

11212

111

tytxtgtytxtx

txtgtytx



Exemple de système Variant Temporellement :

Filtrage

x(t) y(t)

g(t)

t

g(t)

t

t

x1(t)

y1(t)

x2(t)=x1(t-)

y2(t)

1

2



Caractérisation d’un SLIT : Réponse fréquentielle H(f)

)( fH

f

)( fH

f

)( fHPhase

Filtrage

Système)2cos( 00 tfA p )2cos( 101 p tfA

)(de Phase )( 10

0

10 fH

A

AfH

module phase



Caractérisation d’un SLIT : Réponse impulsionnelle h(t)

SLIT)(t )(th

h(t)

t

Filtrage

)()( thTFfH

1/D

D

t

lim0

)(D

t

0


Relation entrée/sortie d’un SLIT

SLIT

h(t))(tx )(ty

)(tx

t

)(txe

t

SLIT

h(t)

)(tye

t

Rectangle de largeur D et de hauteur x(k.D)k.D

Réponse au rectangle de

largeur D et de hauteur

x(k.D): V(t-kD)

Filtrage

Invariance temporelle

et linéarité



k

D

k

e kDtkDxhauteur

).DkD et (kentrerectkDxtx )().(

1

1 ).()(

k

e kDtVD

DkDxty )(1

.).()(

k

De kDtD

DkDxtx )(1

.).()(

Si D tend vers 0 alors on a xe(t) qui tend vers x(t)

)(1

tD

D tend vers (t)

k

e kDthDkDxty )(.).()(

)(1

tVD

tend vers h(t)

Invariance temporelle

et linéarité

dthxty

)().()(

Filtrage



)(*)().()( thxdthxty

)(*)()( thtxty

De façon à ne pas alourdir les notations on écrira plus simplement :

)().()( fHfXfY

On verra dans le chapitre suivant que l’on a :

Filtrage


Propriétés de la relation de convolution

)(*)()(*)( txththtx Commutativité

Distributivité

Associativité

Transformée de

Fourier

Transformée de

Fourier

)(*)()(*)()(*)()( 2121 thtxthtxthtxtx

)(*)(*)()(*)(*)( 321321 txtxtxtxtxtx

)().()(*)( fHfXthtxTF

)(*)()().( fHfXthtxTF

Filtrage

)(*)()(*)( 1221 txtxtxtx


Interprétation graphique de la convolution

dthxty

)().()(

)(x

)(h

)( 0 th

dthx

)().( 0

)(ty

t

t0

Filtrage


Notion de causalité

)(h

Filtrage

Les systèmes physiques réels sont causaux. Cela veut dire

que la sortie du système ne peut pas varier avant que l’on ait

appliqué l’entrée

Avec un SLIT causal on a h(t)=0 pour t<0

Remarque : dans certains calculs théoriques nous utiliserons des filtres non

causaux. C’est une liberté qui permet de simplifier les calculs mais il est bien

clair que ces systèmes non causaux sont non réalisables physiquement.

Exemple: un filtre passe-bas idéal


Notion de causalité

Filtrage

Comment rendre causal un filtre non causal ?

h(t)

t

On tronque temporellement la réponse impulsionnelle :

h(t)

t

On décale temporellement la réponse impulsionnelle tronquée :

h(t)

t

Imaginons que l’on veuille réaliser un SLIT avec la réponse impulsionnelle suivante:


Rappels sur les distributions

Filtrage

Remarque : Ces rappels ne sont pas un cours sur les Distributions mais quelques

notions physiques sur l’impulsion de Dirac et les propriétés associées

Soit x(t) un rectangle centré sur 0 de largeur D et de hauteur 1/D. L’aire de x(t) vaut 1.

En faisant tendre D vers 0 on a x(t) qui tend vers une impulsion baptisée impulsion de

Dirac

t

)(1

tD

D

-D/2 D/2

1/D

D tend vers 0

t

)(t

0

Par convention de dessin on dessine une impulsion de Dirac comme ci dessus


Propriétés de l’impulsion de Dirac

Filtrage

1)( dttAire unitaire

Dirac .Fonction

Dirac.Fonction

Dirac.Fonction

Convolution

Convolution

Convolution

Convolution

TF

TF

TF

TF

)().0()().( txttx

)().()().( 000 tttxtttx

)().()().( 01001 ttttxttttx

)()(*)( txttx

)()(*)( 00 ttxtttx

)()(*)( 00 ttxtttx

)()(*)( 0101 tttxttttx

1)( tTF

)(1 fTF

00 2exp)( jftttTF p

)(2exp 00 fftjfTF p


Rappel sur les nombres complexes

Filtrage

ginairepartie imabréellepartieajbac

a

Re

Im

bc

cdu vecteur Longueur bacule de c mod 22

f

cdu vecteur Anglea

barctg phase de c f


Rappel sur les nombres complexes

Filtrage

et )exp(. 22

a

barctgbacavecjcc ff .bjac

complexesdeux

cc

et 21

2121 .. cccc )()().( 2121 cccc fff

.bjac .* bjac *cc )()( *cc ff

.bjac *2.ccc

n

n

n

n AA *

*

complexes

desAn

complexes

desAn

n

n

n

n AA*

*

)2sin(.)2cos( )2exp( )sin()cos()exp( ftjftjftjj ppp

1 )2exp( jftp

)2exp( )2exp(*

jftjft pp

)exp( )exp().exp( baba

).exp(.).exp( tKKtKdt

d


Rappel sur les fonctions trigonométriques

Filtrage

)cos(2

1)cos(2

1)sin()sin( bababa

)cos(2

1)cos(2

1)cos()cos( bababa

)sin(2

1)sin(2

1)cos()sin( bababa

)sin(2

1)sin(2

1)sin()cos( bababa

)sin()cos()cos()sin()sin( bababa

)sin()cos()cos()sin()sin( bababa

)sin()sin()cos()cos()cos( bababa

)sin()sin()cos()cos()cos( bababa

2))2cos(1()(cos2 aa

2))2cos(1()(sin2 aa


Rappel sur les dérivées de fonctions trigonométriques

Filtrage

)sin()cos(

uu

u

)cos()sin(

uu

u

)sin()cos( uduu

)cos()sin( uduu

)sin(.).cos(

uku

uk

').('')(

)]([ggfgf

u

ugf

'.'.'.

)().(gfgfgf

u

uguf

2

'.'.'/

)(/)(

g

gfgfgf

u

uguf

).cos().sin(

uku

uk

).sin(.1

).cos( ukk

duuk

).cos(.1

).sin( ukk

duuk

)exp()exp(

uu

u

).exp(.

).exp(ukk

u

uk


Rappels sur la Série et la

Transformée de Fourier

1. Série de Fourier

2. Transformée de Fourier

SF et TF


SF et TF

Série de Fourier pour les signaux déterministes

périodiques :

Soit x(t) un signal périodique de période T

• x(to)=x(to+T)

• x(t) est décomposable en série de Fourier c.a.d. en une

somme de sinusoïdes de fréquences multiples de 1/T

• On a un spectre de raies

• Deux décompositions duales: somme de sinus/cosinus ou

somme d’exponentielles


SF et TF

Décomposition en somme d’exponentielles

Forme bilatérale avec fréquences positives et négatives

tT

njXtx

n

n p2exp)(

dttT

njtx

TX

Tto

to

n

p2exp)(

1

1:2

jRappel


SF et TF

Décomposition en somme de sinus et cosinus

Forme mono latérale avec fréquences positives seulement

tT

nbt

T

na

atx n

n

n pp 2sin2cos2

)(1

0

dttT

ntx

Ta

Tto

to

n

p2cos)(

2

dttT

ntx

Tb

Tto

to

n

p2sin)(

2


SF et TF

Quelques propriétés des coefficients de Fourier

* )( nn XXréelletx jbajbaRappel

*:

positifnjbaX nnn pour 2

1

signaldu continue composante la représente 2

0oa

X

nX

n

nXPhase

n

En général, tend vers 0 quand n tend vers l’infininX

CNAM ELE 103 D. Roviras 36SF et TF

Résultats d’une troncature des coefficients de Fourier

1

5

3

7

21

1

3

9

Signal carré: 1, 3, 5, 7 et 21 harmoniques

Signal sinusoïdal redressé

en simple alternance:

1, 3 et 9 harmoniques


SF et TF

Quelques propriétés des coefficients de Fourier

22

)(1

n

n

Tto

to

XdttxT

Puissance

Identité de Parseval :

Calcul de la puissance dans le domaine temporel et spectral :


SF et TF

Exercices sur la série de Fourier

• Démonstration de l’identité de Parseval• Objectifs ?

tT

njXtx

n

n p2exp)(

dttT

njXt

T

njX

Tdttx

T

Tto

to n

n

n

n

Tto

to

pp 2exp2exp

1)(

1 *2

n

n

n

n AARappel *

*

:

dttT

pnjXX

TdtX

Tdttx

T

Tto

to

p

pnpn

n

Tto

to n

n

Tto

to

p2exp

11)(

1 *

,

22

Intégrale égale à 0

n

n

Tto

to

XdttxT

22)(

1


SF et TF


• Démonstration de l’expression des coefficients Xn

tT

njXtx

n

n p2exp)(

tT

pjt

T

njXt

T

pjtx

n

n ppp 2exp2exp2exp)(

Tto

to n

n

Tto

to

dttT

pjt

T

njXdtt

T

pjtx ppp 2exp2exp2exp)(

Tto

to n

n

Tto

to

p dttT

pjt

T

njXdtX pp 2exp2exp

Intégrale égale à 0


SF et TF


• Calcul des coefficients de SF d’un signal carré

ailleurs 0et 2

D

2pour )(

t

DAtx

t

0

D/2-D/2

T-T

A

T

nDc

T

AD

T

nD

T

nD

T

ADX n sin

sin

p

p

x

xxcDéfinition

p

p )sin()(sin:


SF et TF



T

nDc

T

AD

T

nD

T

nD

T

ADX n sin

sin

p

p

AD/T

f01/D 2/D-1/D-2/D

fD

fD

T

AD

p

psin

1/T 2/T 3/T-1/T

Coefficient X1


SF et TF



✓ Si la période tend vers l’infini

Les raies spectrales deviennent infiniment serrées : spectre continu (Série

de Fourier)

✓ Si A tend vers l’infini et D vers 0 de façon à ce que A.D=1 et la période T

est constante

Le signal périodique tend vers un peigne de Dirac en temporel

La représentation spectrale d’un peigne de Dirac temporel est un peigne

de Dirac fréquentiel


SF et TF

Transformée de Fourier :

Existence de la TF:• Fonctions de carré intégrable, signaux à énergie finie

• Signaux à puissance finie

• Distributions: Dirac et peigne de Dirac

dtjfttxfX

p2exp)()(

dfjftfXtx

p2exp)()(


SF et TF


dffXdttxEnergie

22

)()(

Identité de Parseval pour les signaux à énergie finie

dtdfjftfXtxdttxtxdttx

*

*22exp)()()()()( p

dtdfjftfXtxdtdfjftfXtx

pp 2exp)()(2exp)()( **

dffXdffXfXdffXdtjfttx

2** )()()()(2exp)( p


SF et TF

Propriétés de la Transformée de Fourier :

Propriété Temporel Fréquentiel

x(t) X(f)

Linéarité a.x(t)+b.y(t) a.X(f)+b.Y(f)

Conjugaison x(t)* X(-f)*

Fonction réelle x(t) réel Symétrie Hermitienne

Décalage temporel x(t-to)

Décalage

fréquentiel

pairefonction )( fX

impairefonction )( fXPhase

)2exp()( ojftfX p

)2exp()( tjftx op )( offX


Propriétés de la Transformée de Fourier :

Propriété Temporel Fréquentiel

Dérivée

Symétrie X(t) x(-f)

Multiplication x(t)y(t)

Convolution x(t)*y(t)

Modulation

)()( * fYfX

njffX p2)(n

n

dt

xd

)2cos()( tftx op

)().( fYfX

)(2

1)(

2

1oo ffXffX


Propriétés de la Transformée de Fourier :Démonstrations :

Conjugaison : changement de variable

Fonction réelle : changement de variable

Décalage temporel : changement de variable

Décalage fréquentiel : changement de variable

Multiplication et convolution

dtjfttytxtytxTF

p2exp)(*)()(*)(

dtjftdtyxdtjfttytx

pp 2exp)()(2exp)(*)(

p dtyTFxddtjfttyx

)()(2exp)()(

)()()2exp()()()()( fYfXdjffYxdtyTFx

p


Propriétés de la Transformée de Fourier :Démonstrations :

Conjugaison : changement de variable

Fonction réelle : changement de variable

Décalage temporel : changement de variable

Décalage fréquentiel : changement de variable

Multiplication et convolution

dtjfttxtxTF

p 2exp)()( tuposons

duujfuxtxTF

p 2exp)()(

)2exp(.2exp)( pp jfdujfuux

)2exp(.)( pjftxTF


Transformée de Fourier usuelles (1/5)x(t)= Rectangle = )(tT

amplitude=1, largeur=T, centré sur 0

T.sinc(f.T)= T.[sin(p.f.T)/p.f.T]

x(t)= Triangle

amplitude=1, largeur=2.T, centré sur 0

T.sinc2(f.T)

exp( . . . . )2 p j fo t ( )f fo

cos( . . . )2 p fo t 1

2. ( ) ( ) f fo f fo

1 ( )f

( )t 1

)...2sin( tfop

jf fo f fo

2. ( ) ( )

SF et TF

)...2cos( 0p tfo ).exp().(2

1).exp().(

2

100 jfofjfof


Transformée de Fourier usuelles (2/5)

SF et TF

Bt

BtBtx

p

psin)(

1hauteur de B/2et B/2- entre

Blargeur de Rectangle X(f)

2

sin)(

Bt

BtBtx

p

p

1hauteur de Bet B- entre

2Blargeur de Triangle X(f)


U(t) = Echelon unité 1

2

1

2. ( )

. . .

pf

j f

Signe(t) 1

j f. .p

exp(-a.t).U(t)

(U(t) = Echelon unité de temps)

1

2a j f . . .p

exp(-a.|t|)

2

22 2

.

( . . )

a

a f p

exp( . )p t 2

exp( . )p f 2

exp( . ).cos( . . . ). ( )a t fo t U t2 p a j f

a j f fo

. . .

( . . . ) ( . . )

2

2 22 2

p

p p

exp( . ).sin( . . . ). ( )a t fo t U t2 p

2

2 22 2

. .

( . . . ) ( . . )

p

p p

fo

a j f fo


SF et TF


1

b aa t b t U t

. exp( . ) exp( . ) . ( )

1

2 2( . . . ).( . . . )a j f b j f p p

cos( . . . ). ( )2 p fo t tD D

D D2

. sin ( .( )) sin ( .( ))c f fo c f fo

n

n tT

njX )....2exp(. p

X fn

Tnn

. ( )


SF et TF


2. . ( . )A t n T ATn

Signal carré de largeur T/2, entre +A et -A et

périodique de période T

X fn

T

A c n

A

n

A

n

nn

. ( )

.sin ( / )

.

.

.

.

p

p

avec X

avec

X pour n pair ou nul

X pour n = 1, 5,....

X pour n = 3, 7, ....

n

n

n

n

2

0

2

2

A t n Tn

. ( . )D

Signal carré de largeur D, entre 0 et +A et

périodique de période T

X fn

T

A

Tc n T

nn

. ( )

..sin ( / )

avec X

n

DD

n

Tnt ).(

n T

nf

T)(.

1


SF et TF


Exemple de calcul de TF usuelles :

)(tT

exp( . . . . )2 p j fo t

cos( . . . )2 p fo t

( )t

)...2sin( tfop

Rectangle =Calcul classique

x(t)= Triangle

d’amplitude=1, largeur=2.T,

centré sur 0

Convolution de deux rectangles

Calcul par TF-1 de (f-fo)

Décomposition en

exponentielles

Décomposition en

exponentielles

Calcul classique ou limite du

rectangle

1 Limite du rectangle

Peigne de Dirac temporel signal carré périodique et

passage à la limiteSF et TF


TF de signaux bornés temporellement

Si x(t) est un signal borné temporellement alors sa TF s’étend de moins l’infini à

plus l’infini

t

x(t)

t

T(t)

fT

fTTfXfXttxtx T

p

p )sin(*)()()().()(

La fonction sin(pfT)/pfT s’étendant de moins l’infini à plus l’infini, le support

spectral de X(f) est donc infini


Allure générale d’un signal et de sa TF

Si x(t) est très «pointu», sa TF sera très «étalée»

t

x(t)

f

X(f)

Si x(t) est très «étalé», sa TF sera très «pointue»

t

x(t)

f

X(f)


TF de signaux périodiques

Soit x(t) un signal périodique de période T

x(t) est décomposable en série de Fourier

tT

njXtx

n

n p2exp)(

Une fonction périodique présente un spectre de

raies espacées de 1/T

)()(T

nfXfX

n

n


SF et TF

Peigne de Dirac et échantillonnage

Objectif de la numérisation d’un signal :Transformer un signal continu (défini quelque soit t et prenant une infinité de valeurs

d’amplitude) en une suite de points prenant leurs valeurs dans un ensemble fini.

Signal

x(t)Bits à

émettreNumérisation

Signal

x(t)Bits à

émettre

➢ Echantillonnage du signal : Fe échantillons par seconde

échantillonnage Fe Deux opérations

Pour numériser

Quantification

sur n bits

➢ Quantification : n bits par échantillon


➢ Objectif :

➢ Rappel du théorème d’échantillonnage

➢ Démonstration

➢ Notion de repliement de spectre

Signal

x(t)

Echantillonnage

Fe

x(k.Te)

à partir de x(k.Te) pouvoir revenir au signal original x(t)

Fe > 2. fmax


SF et TF


Signal x(t)

Echantillonnage Fe=1/Te

x(k.Te)


Objectif : à partir de la suite de valeurs x(k.Te) pouvoir revenir au

signal original x(t)

n

e TektTekxtx ).().()( SLIT )(tx

Calcul du spectre de xe(t)

kkk

e TekttxTekttxTektTekxtx ).()().()().().()(

kk

eTe

kf

TefXTektTFfXfX

1*)().(*)()(

k

eTe

kfX

TefX

1)(

SF et TF



k

e FekfXTe

fX .1

)(

-B +B f

)( fX

Fe>2.B

-B +Bf

)( fX e

k=0

k=1k=-1

Fe-Fe

Fe<2.Bf

)( fX e

k=0

k=1k=-1

Fe-Fe

k=-2

-2Fe

k=2

2Fe

SF et TF

0



Recouvrement (ou repliement) de spectre si Fe<2.B avec B= bande du signal

Reconstitution de x(t) par filtrage possible si pas de repliement de spectre

c.a.d. si Fe>2.B

Pour échantillonner correctement un signal de

bande B, il faut que la fréquence

d’échantillonnage Fe soit telle que:

Fe>2.B

Passage du signal échantillonné au signal temporel : voir TD

SF et TF


➢ Plus Fe est grande plus le débit est grand (Db=Fe.n)

➢ Choix de Fe ?

➢ Notion de Qualité de Service (QoS)

➢ Limitation de la bande du signal transmis

➢ Exemples de Fe pour signaux de parole et de musique

Signal

x(t)

Echantillonnage

Fe

x(k.Te)

Fe > 2. fmax


SF et TF


➢ Exemples de Fe pour signaux de parole et de musique

Signal

x(t)

Echantillonnage

Fe

x(k.Te)

Fe > 2. fmax

Parole en téléphonie fixe classique➢ fmax transmise = 3400 Hz

➢ Suffisant pour le service de téléphonie fixe

➢ Fe=8KHz, Te=125µs

➢ Bande du signal de parole : [300 Hz, 3400 Hz]

Musique sur CD audio➢ fmax transmise = 20000 Hz

➢ Meilleure qualité de restitution du son

➢ Fe=44.1 KHz


SF et TF


➢ Plus n est grand plus le débit sortant est grand (Db=Fe.n)

➢ Choix de n ?

➢ Lié au bruit de quantification

➢ n petit Db faible et bruit de quantification grand

➢ n grand Db grand et bruit de quantification faible

➢ Notion de QoS

Quantificationx(k.Te)n bits par

échantillon


SF et TF



échantillon

Pas de

quantificationD

➢ N =2n plages de quantification

➢ n bits par échantillon


SF et TF

Puissance du bruit de quantification =D2/12 (voir TD n°6)


➢ Exemples de quantification pour signaux de parole et de musique

Parole en téléphonie fixe classique➢ 8 bits par échantillon

➢ Db=64 Kbps (Kilo bits par seconde)

➢ SNR de quantification de l’ordre de 35dB

Musique sur CD audio➢ 16 bits par échantillon

➢ Db=705 Kbps


échantillon


SF et TF


Signal

x(t)Bits à

émettre

Echantillonnage

Fe

Quantification

Db = Fe . n

Signal

x(t)Db

Bits à

émettre

Echantillonnage

Fe

CANFiltre

Anti

repliementn Bits par

échantillon


SF et TF


Signaux à énergie finie

1. Notion de corrélation

2. Densité spectrale d’énergie

SEF

Objectifs :

• Dualité corrélation/spectre

• Introduction de la notion de corrélation

Signal à énergie finie :

• Signaux bornés temporellement

• Signaux de carré intégrable

finieValeur )(2

dttxEnergie


SEF

Dualité corrélation/spectre :

• Si un signal varie lentement : ce signal est «pauvre» en hautes fréquences

• Si un signal varie lentement : le signal va ressembler à une version décalée de lui-même :

x(t) ressemblera à x(t+t)

• La vitesse de variation, c’est-à-dire la richesse fréquentielle est donc liée à la notion de

ressemblance

• Comment mesurer la ressemblance d’un signal avec une version décalée de lui-même ?

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Signal x1(t)

Signal x2(t)


SEF

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4

-2

0

2

4

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-4

-2

0

2

4

630 632 634 636 638 640 642 644 646 648 650

-2

0

2

632 634 636 638 640 642 644 646 648

-2

0

2

4

x1(n) et x1(n-10)

x2(n) et x2(n-10)

)()( : )et x(t x(t)entre ceressemblan de Mesure dttxtx


SEF

t

x1(t)

t

x2(t)

Ressemblance entre x(t) et x(t+)

Fonction de corrélation

Kx1()

Kx2()


Densité

Spectrale d’énergie

f

Sx1(f)

f

Sx2(f)


SEF

Autocorrélation

Intercorrélation

Définition de la fonction de corrélation pour les

signaux à énergie finie

) dtτ)(t)x(tx (τK *

xx

) dtτ)(t)y(tx (τK *

xy


SEF

Propriétés de la fonction de corrélation

Autocorrélation Intercorrélation

Symétrie Hermitienne

Inégalité de Schwartz

Si x(t) est réel, Kxx() est une fonction réelle et

paire

Si x(t) et y(t) sont réels, Kxx() est réelle

)() * τK(τK yxxy )() * τK(τK xxxx

x(t)de Energie 0

2

dtx(t))(K xx

)0(K)(K xxxx )0)02

(K(K)(K yyxxxy

)(*)() * xτx(τKxx )(*)() * yτx(τKxy

))) ''

'(τK(τK(τK

xxxxxx ))) ''

'(τK(τK(τK

xyyxxy

Rappel de

l’inégalité

de Schwartz:

duuBduuAduuBuA22

2

* )(.)()().( )(.)( : si égalité avec * uBkuA


SEF

Définition de la densité spectrale d’énergie

Pourquoi densité spectrale d’énergie ? :

(Parceval) )(finieValeur )(22dffXdttxEnergie

)(*)()(.)()()()( ***2txtxTFtxTFtxTFfXfXfX

)()(*)()( *2tKTFtxtxTFfX xx

)( Energied' Spectrale Densité )()(2

tKTFfXfS xxxx

dtjfttKfSfS xxxxx )2exp()()()( p

2

1

2

1

)()(f2et f1 entre Energie

f

f

xx

f

f

xx dffSdffS


SEF

Propriétés de la Densité Spectrale d’Energie

Sx(f) est insensible aux décalages temporels de x(t)

Si x(t) est un signal réel alors Sx(f) est réelle et paire

dfjffSfSTFK xxxx )2exp()()()( 1 p

dffSK xxx )()0(

négativenon réellefonction ,0)( fSx

Unités:

Si x(t) est en Volts, Kxx(t) est en V2s et Sx(f) en V2s/Hz soit en V2s2

Si x(t) est en Unité-arbitraire, Kxx(t) est en (Unité-arbitraire)2s

et Sx(f) en (Unité-arbitraire)2s2

)( Energied' Spectrale Densité )()(2

tKTFfXfS xxxx


SEF

Exemple de calcul de fonction d’autocorrélation et de DSE

x(t)=exp(-at) pour t>0 et 0 ailleurs

0pour ))(exp(exp )0

dtτtaat)(dtτ)(t)x(tx (τK *

xx

00

)exp(2exp))(exp(exp) dtaτat)(dtτtaat)( (τKxx

a

aτaτ

a

at(dtaτat)( (τK xx

2

)exp()exp(

2

)2exp)exp(2exp)

00

0 si 2

)exp()

a

aτ(τK xx

2

)exp()

a

τa(τKxx


SEF


x(t)=exp(-at) pour t>0 et 0 ailleurs

2

)exp()

a

τa(τKxx

)djfexp(-2

2

)exp() p

a

τa(fSx

pp d)jf2-exp(2a

1 )djfexp(-2

2

)exp(

τaa

τa

ppp d)jf2-exp(d)jf2-exp(2a

1d)jf2-exp(

2a

1

0

0

τaτaτa

0

0

0

0

jf2-

)jf2-exp(

jf2-

)jf2-exp(

2a

1d)jf2-exp(d)jf2-exp(

2a

1

p

p

p

ppp

a

a

a

aaa

22 f2

2

2a

1

jf2-

1

jf2-

1

2a

1

ppp a

a

aa

22 f2

1)(

p

afSx


SEF


t

x(t)

0

Kxx()

0

1

1/2a

f

Sx(f)

0

1/a2

Vérifier les propriétés de

Kxx() et Sx(f)

1/a

1/(2a2)

a/(2.p)

Faire varier a,

Conséquences ?

1/a


Signaux à puissance finie

1. Corrélation

2. Densité Spectrale de Puissance

3. Cas des signaux périodiques

SPF

Signal à puissance finie :

• Signaux physiquement réalisables

• Signaux périodiques

finieValeur )(1

lim

2/

2/

2

dttxT

Puissance

T

TT


SPF

Autocorrélation

Intercorrélation

Définition de la fonction de corrélation

1

lim)

2/

2/

dtτ)(t)x(txT

(τK

T

T

*

Txx

1

lim)

2/

2/

dtτ)(t)y(txT

(τK

T

T

*

Txy

Unités:

Si x(t) est en Volts, Kxx(t) est en V2

Si x(t) est en Unité-arbitraire, Kxx(t) est en (Unité-arbitraire)2


SPF

Propriétés de la fonction de corrélation

Autocorrélation Intercorrélation

Symétrie Hermitienne

Inégalité de Schwartz

Si x(t) est réel, Kxx() est réelle et paire Si x(t) et y(t) sont réels, Kxy() est réelle

)() * τK(τK yxxy )() * τK(τK xxxx

x(t)de Puissance 1

lim0

22/

2/

dtx(t)T

)(K

T

TT

xx

)0(K)(K xxxx )0)02

(K(K)(K yyxxxy

))) ''

'(τK(τK(τK

xxxxxx ))) ''

'(τK(τK(τK

xyyxxy


SPF

Densité Spectrale de Puissance

La fonction de corrélation mesure la ressemblance de deux signaux et donc

leur richesse temporelle. Par analogie avec le cas des signaux à énergie finie

on définira la Densité Spectrale de Puissance comme :

dtjfttKtKTFfS xxxxx )2exp()()()( p

dffSK xxx )( x(t)de Puissance)0(

2

1

2

1

)()(f2et f1 entre Puissance

f

f

xx

f

f

xx dffSdffS

Unités:

Si x(t) est en Volts, Sx(f) est en V2/Hz

Si x(t) est en Unité-arbitraire, Sx(f) est en (Unité-arbitraire)2/Hz


SPF

Propriétés de la Densité Spectrale de Puissance

Sx(f) est insensible aux décalages temporels de x(t)

Si x(t) est un signal réel alors Sx(f) est réelle et paire

dfjffSfSTFK xxxx )2exp()()()( 1 p

dffSK xxx )()0(

négativenon réellefonction ,0)( fSx


SPF

Exemple de calcul de fonction d’autocorrélation et de DSP

x(t)=A.cos(2pfot+f)

oo

2/

2/

2/

2/

1/fT avec 11

lim)

dtτ)(t)x(txT

dtτ)(t)x(txT

(τKo

o

T

T

*

o

T

T

*

Txx

))(2cos()2cos()

2/

2/

2

dttftfT

A(τK

o

o

T

T

oo

o

xx

fpfp

)cos(2

1)cos(

2

1)cos()cos( : Rappel bababa

)2cos(2

)2

p oxx fA

(τK Vérifier les propriétés de la fonction

d’autocorrélation de signaux à puissance finie

𝐾𝑥𝑥 𝜏 =𝐴2

2𝑇𝑜න

−𝑇𝑜/2

+𝑇𝑜/2

cos 4𝜋𝑓𝑜𝑡 + 2𝜋𝑓𝑜𝜏 + 2∅ + cos 2𝜋𝑓𝑜𝜏 𝑑𝑡

𝐾𝑥𝑥 𝜏 =𝐴2

2𝑇𝑜𝑇𝑜/2−+𝑇𝑜/2 cos 4𝜋𝑓𝑜𝑡 + 2𝜋𝑓𝑜𝜏 + 2∅ 𝑑𝑡 +

𝐴2

2𝑇𝑜𝑇𝑜/2−+𝑇𝑜/2 cos 2𝜋𝑓𝑜𝜏 𝑑𝑡 =

𝐴2

2cos 2𝜋𝑓𝑜𝜏


SPF

Exemple de calcul de fonction d’autocorrélation et de DSP

)2cos(2

)2

p oxx fA

(τK

Vérifier les propriétés de la DSP de signaux à puissance finie

)(4

)(4

)2cos(2

)222

ooox ffA

ffA

fA

TF(fS

p

quelconque phase deet A amplituded' cosinusun d' Puissance : 2

)02A

(Kxx

CNAM ELE 103 D. Roviras 87SPF

x(t)=A.exp(2pjfot)

))(2exp()2exp(1

)

2/

2/

22/

2/

dttjftjfT

Adtτ)(t)x(tx

T(τK

o

o

o

o

T

T

oo

o

T

T

*

o

xx

pp

Autre exemple de calcul de fonction d’autocorrélation et de DSP

)2exp( )2exp()2

2/

2/

2

pp o

T

T

o

o

xx jfAdtjfT

A(τK

o

o

)2exp()2

p oxx jfA(τK )()2

ox ffA(fS

Application aux signaux périodiques


Fonction d’autocorrélation et DSP de signaux périodiques

période T avec 2exp)(

tT

njXtx

n

n p

pT

njXK

n

nxx 2exp)(2

T

nfXfS

n

nx 2

)(

Vérifier qu’en intégrant Sx(f) on retrouve Parseval, ou bien que la fonction d’autocorrélation

en zéro est bien la puissance

La fonction d’autocorrélation d’un signal périodique est

périodique de même période

La densité spectrale de puissance d’un signal périodique est un

spectre de raies espacées de k/T


Exemple de fonction d’autocorrélation et DSP de signaux périodiques

n

T Tnttxtx ).(*)(T période de périodique Signal )(

dtτ)(t)x(txT

dtτ)(t)x(txT

dtτ)(t)x(txT

K*

T

T

T

*

T

T

T

*

xx

111

)(

2/

2/

2/

2/

)()()( avec ttxtx TT

-tu avec 11

)(

duu)u)x(τ(xT

dtτ)(t)x(txT

K*

T

*

Txx

)()(*)(*1

)()(*1

)(

ukTuuxu)(xT

uuxu)(xT

Kk

k

T

*

T

*

Txx

)()(*)(1

)()(*)(*1

)(

ukTuuKT

ukTuuxu)(xT

Kk

k

x

k

k

T

*

Txx T

k

k

xxx kTKT

KT

)(*)(1

)(

k

k

xxT

kffS

TfS

T)().(

1)(

2


Exemple de fonction d’autocorrélation et DSP de signaux périodiques

k

k

xxx kTKT

KT

)(*)(1

)(

k

k

xxT

kffS

TfS

T)().(

1)(

2

0 T t

xT(t)

0 T t

x(t)

0 T

KxT()

0 T

Kx()

-T

-T

0 f

SxT(f)

0 f

Sx(f)

1/T-1/T

-T

TF

TF


Introduction aux

probabilités

1. Propriétés générales

2. Variables Aléatoires (VA) discrètes et continues

3. Moments d’une variable aléatoire

4. VA multi dimensionnelles

5. Changement de variable

6. Théorème de la limite centrale

Probabilités


Propriétés générales

Probabilités

Notion de probabilité:

Tirage d’un dé à six faces : tiragesde totalNombre

4 avec tiragesNombrelimProba(4)

tiragesde nombre

Probabilité :

Ensemble des résultats de l’expérience aléatoire : S

W= partition de l’ensemble S

Probabilité : Application de Wvers l’ensemble 0,1

Tirage d’un dé à six faces :

S={1,2,3,4,5,6}

W [0,1]

Calculer P(1), P(2), P(3), P(4), P(5), P(6)

Calculer P(1,2,3) = P(tirage = 1 ou 2 ou 3)


Propriétés générales

Probabilités

Propriétés:

0 videEnsemble 1 S PP

)(1 APAP

10 AP

)()()() ( BAPBPAPBouAPBAP

Exemple : Tirage d’un dé à six faces

Calculer Proba(tirage = {1 ou2} ou {2 ou 3 ou5} = Proba({1,2} U {2,3,5})

Calculer Proba(tirage = nombre pair)

Calculer Proba(tirage = nombre entier)

Calculer Proba(tirage = nombre premier)

Calculer Proba(tirage >3)

Calculer Proba(tirage<10)

1)( : aon ,....,, : Avec1

21

N

i

iN aPaaa


Propriétés générales : probabilités conditionnelles

Probabilités

)()/(/ APABPP(B)BAPB)P(A

S,PS1

A, P(A)

B, P(B)

BA


Propriétés générales : probabilités conditionnelles

S

AB)(

)()

)(

)()

S

S

Surface

BSurfaceP(B

Surface

ASurfaceP(A BA

A

vérifiéB

)(

)(.

)(

)(

)(

)()

)(

)()/

S

S

Surface

ASurface

ASurface

BASurface

Surface

BASurfaceBP(A

ASurface

BASurfaceAP(B

)()./) APAP(BBP(A


Propriétés générales : formule des probabilités totales

Probabilités et évènements disjoints et complets:

Plus généralement, si les évènements Ai sont disjoints et complets :

B)AP(BAPP(B)

Probabilités

A

AB

B A BA

)(/)(/ A)PAP(BAPABPP(B)

N

i

Ai

jisivideAjAi

1

S

N

i

AiPAiBPP(B)1

)(/


Propriétés générales : Règle de Bayes

Probabilités conditionnelles:

Exemple : Transmission de 0 et de 1 à travers un canal de transmission

Emission : P(0)=0.9 P(1)=0.1

Canal binaire symétrique

p = Probabilité de ne pas faire une erreur

1-p = Probabilité d’erreur = 0.1

Calculer P(0 reçu/1 émis)= P(détecter 0/1émis)

Calculer P(1 reçu/ 1 émis)

Calculer P(0 émis/ 1 reçu)

Calculer P(1 émis/ 1 reçu)

Calculer P(0 émis/ 0 reçu) et P(1 émis/ 0 reçu)

P(A/B)P(B)P(A)B/APA)P(B

Probabilités conditionnelles

règle de Bayes :

0

1

0

1

p

p

1-p

Probabilités

)(

)()/(/

BP

APABPBAP


Propriétés générales : formule de Bayes

Autre exemple : sondage avec 3 tranches d’âge :

Les tranches d’âge:

TR1 âge <30 ans, proba(TR1)=30%

TR2 30 ans<âge <50 ans, proba(TR2)=50%

TR3 50 ans <âge, proba(TR3)=20%

Le sondage : choix d’un CD parmi 3

Calculer Proba(choisir CD1/tranche âge = TR1)=P(CD1/TR1)

Calculer P(CD3/TR2)

Calculer P(être dans la tranche TR2/ CD1 choisi) = P(TR2/CD1)




Probabilités

TR1 TR2 TR3

CD1 80 30 10

CD2 15 50 20

CD3 5 20 70



Probabilités

(30%) TR1

(50%) TR2

(20%) TR3

CD1

CD2

CD3

0.8

0.5

0.15

0.05

0.3

0.20.1

0.7

0.2

P(CD1/TR1) = 0.8 (donné par l’énoncé)

P(CD3/TR2) = 0.2 (donné par l ’énoncé)

0.365941.0

5.0 . 3.0 1/2

41.02.0.1.05.0.3.03.0.8.0)()/1(P(CD1)

)1(

5.0 . 3.0

)1(

)2()2/1(1/2

3

1 totales)tés(Probabili

)(

CDTRP

TRiPTRiCDP

CDPCDP

TRPTRCDPCDTRP

i

Bayes



Probabilités

0.7463335.0

5.0 . 5.0 2/2

335.02.0.2.05.0.5.03.0.15.0)()/2(P(CD2)

)2(

5.0 . 5.0

)2(

)2()2/2(2/2

3


)(

CDTRP

TRiPTRiCDP

CDPCDP

TRPTRCDPCDTRP

i

Bayes

0.3922255.0

5.0 . 2.0 3/2

255.02.0.7.05.0.2.03.0.05.0)()/3(P(CD3)

)3(

5.0 . 2.0

)3(

)2()2/3(3/2

3


)(

CDTRP

TRiPTRiCDP

CDPCDP

TRPTRCDPCDTRP

i

Bayes

5.0255.0.3922.0335.0.7463.041.0.3659.0)()/2(P(TR2)

: queier peut vérifOn

3


i

CDiPCDiTRP

0.0588 255.0

3.0 . 05.0

)3(

)1()1/3(3/1

)(

CDP

TRPTRCDPCDTRP

Bayes


Variables aléatoires discrètes et continues

Probabilités

Variable aléatoire : Résultat d’une expérience aléatoire.

Une variable aléatoire sera notée dans le cours par une majuscule.

• Une VA est dite discrète si elle prend un nombre fini de valeurs

Par exemple suite des valeurs de la face d’un tirage de dé

• Une VA est dite continue si elle prend un nombre infini de valeurs

Par exemple, une tension continue perturbée par un bruit

Si Vo=1V on aura la suite de valeurs qui sera:

{…., 1.002, 0.958, 1.41, 0.9954, ….}

Vo+

n(t)

x(t)Suite de valeurs

VA : X



Probabilités

Caractérisation des VA :

• VA discrète : Probabilité des différentes valeurs prises par la VA

• VA continue :

Proba(X=1.025083947)=0

La notion de probabilité d’apparition d’une valeur n’a pas de sens…

On introduit la notion de fonction de répartition et de densité de

probabilité

Fonction de répartition de la VA X :

• C’est une fonction notée FX(u)

• FX(u) est non décroissante et comprise entre 0 et 1

•

)()( ooX uXPuF

0 )(FX1 )(FX



Probabilités

Exemple de fonction de répartition de la VA X :

X est définie par la suite de valeurs d’un tirage de dé à six faces

Tracer la fonction de répartition de la VA X

Exemple de fonction de répartition de la VA X :

X est définie par la suite de valeurs de l’expérience suivante:

• Tirage 1er dé : v1

• Tirage 2ème dé : v2

• Valeurs de X : v1+v2

Tracer la fonction de répartition de la VA X

Sur les deux exemples précédents, vérifier les propriétés de la fonction de répartition

Programme Matlab : ELE103_VA_1_et_2dim.m



Probabilités

Répartition des familles selon le nombre d'enfants

Pas

d’enfant 1 enfant 2 enfants 3 enfants

4 enfants

ou plus

Un homme

- actif

occupé 18 262 104 367 45 888 13 878 4 278 186 673

- autre 58 693 32 621 9 414 3 273 2 024 106 025

Une femme

- active

occupée 81 176 499 239 259 611 70 433 17 578 928 037

- autre 332 807 223 046 118 586 56 359 33 066 763 864

Deux actifs

occupés 1 911 611 1 754 773 1 856 785 569 551 114 582 6 207 302

Un seul actif

occupé

- l’homme 803 818 617 879 737 205 437 348 204 825 2 801 075

- la femme 577 933 187 951 114 714 43 240 17 790 941 628

Pas d’actifs

occupés 3 708 032 195 983 113 056 73 897 71 210 4 162 178

Total 7 492 332 3 615 859 3 255 259 1 267 979 465 353 16 096 782

champ : France métropolitaine

source : Insee, recensement 1999.

Un homme et une femme

Nombre d’enfants

Total

Un seul adulte

Tracer la fonction de répartition de la VA X qui est le nombre d’enfants d’un

couple d’actifs tous deux occupés



Probabilités

Propriétés de la Fonction de répartition d’une VA :

•

• FX(u) est non décroissante et comprise entre 0 et 1

•

•

)()( ooX uXPuF

0 )(FX 1 )(FX

)()( 0110 xFxFxXxP XX



Probabilités

FX(u)1

u

X : VA continue

x1 x2 x5x3 x4

FX(u)1

u

X : VA discrète



Probabilités

Notion de densité de probabilité :

dxx

xFuXPuF

ou

XooX

)()()(

)()()()( oXXoX

o

X uFFuFu

xF

La dérivée de la fonction de répartition s’appelle la densité de probabilité :

δx

(x)δF(x)p X

X



Probabilités

Propriétés de la densité de probabilité :

•

• pX(x) est une fonction positive ou nulle

•

•

•

δx

(x)δF(x)p X

X

1(x)dxpX

)()( oX

u

Xo uF(x)dxpuXPo

)()( 0110

1

0

xFxF(x)dxpxXxP XX

x

x

X

pX(u)

u

X : VA continue

pX(u)

u

X : VA discrète

x1 x2 x3



Probabilités

Exemple de densité de probabilité de VA :

X est uniformément répartie entre -1 et +1. Cela veut dire que la probabilité est

identique quelque soit x sur -1/+1

Calculer la densité de probabilité de cette VA continue

• Tracer la densité de probabilité

• Vérifier les propriétés de la densité de probabilité

• Calculer et tracer la fonction de répartition de la VA X

• Calculer P(0<X<0.5)

• Calculer P(X=0.5)

Exemple de densité de probabilité de VA :

X est uniformément répartie entre -1 et +1

Y est uniformément répartie entre -1 et +1

Z=X+Y

• Calculer et tracer la fonction de répartition de la VA Z

• Calculer la densité de probabilité de la VA continue Z

• Tracer la densité de probabilité

• Vérifier les propriétés de la densité de probabilité



Exemple de VA continue

Probabilités

Loi Normale ou Gaussienne :

La loi normale est caractérisée par une densité de probabilité symétrique en

forme de « cloche » :

pX(u)

uuo

2

2

2

)(exp

2

1

p

oX

uu(u)p

uo=moyenne

= écart type

2 = variance



Probabilités

-5 0 5 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4Signal 1 (b), Signal 2 (r)

Signal 1

Signal 2

Signal 1 : Gaussienne de moyenne 0 et

d’écart type sigma = 1



Densité de probabilité de deux fonctions

Gaussiennes

Loi Normale ou Gaussienne Programme Matlab : ELE103_TP_TS_Gauss



Probabilités





Tracé temporel des deux

signaux suivant une loi

Gaussienne

Loi Normale ou Gaussienne Programme Matlab : ELE103_TP_TS_Gauss

0 500 1000 1500 2000 2500-5

0

5

10

15

20Tracé temporel Signal 1 (b), Signal 2 (r)

Signal 2

Signal 1



Probabilités

du

uuduupSXP o

SSX

2

2

2exp

2

1)()(

p

p

.2

exp2

1)(

: variablede Changement

2

dvv

SXP

uuv

ouS

o

p

ouS

uSQdv

vSXP

o2

exp2

1)(

2

Pas de primitive:

Table

Loi Normale ou Gaussienne



Probabilités

Loi Normale réduite

p z z

Q z p u du

z

( ).

exp

( ) ( ).

1

2

1

2

2

p

0 2 4 6 7 z

Q(z)

2.27 e-2

3.17 e-5

1.28 e-12

9.87 e-10




Probabilités

Loi Normale réduite

z

duuzQ .2

1exp

.2

1)( 2

p

u0 z

Q(z) (voir table de la fonction Q(z))z>0

u0z

Q(z) (non tabulée)z<0

)(1.2

1exp

.2

11

.2

1exp

.2

11.

2

1exp

.2

1)(

2

22

zQduu

duuduuzQ

z

z

z

p

pp



Probabilités

Relations entre Q(z) et erfc(z)

duuzQz

.2

1exp.

.2

1)( 2

p

dvvzerfcz

.exp.2

)( 2

p

2.

2

1)(

zerfczQ




Probabilités

Histogramme et estimation de la densité de probabilité :

Soit une suite finie de points issus de la réalisation d’une VA X

• Xmin=valeur minimale de la suite de valeurs

• Xmax=valeur maximale de la suite de valeurs

• On partage le segment [Xmin, Xmax] en C classes équidistantes

• On compte le nombre de valeurs dans chaque classe

• On a une estimation de la densité de probabilité

,....,, 21 NxxxSuite

D ).()(

valeursde totalNombre

Vet V entre Valeurs

points de totalNombre

classe la dans points de Nombre1

1iiXii

i VpVXVP

Avec D = largeur d’une classe = (Xmax-Xmin)/C



Probabilités

Histogramme et estimation de la densité de probabilité :

1 2 3 4 5 ………………………………………. N

Xmin

Xmax

C2

C3

C1



Probabilités

Exemple : histogramme d’une VA Gaussienne :

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500Histogramme d'une Gaussienne avec 1000 points et 5 classes

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

5

10

15

20

25

30


Trop peu de points pour l’estimation de la densité de probabilité

Programme Matlab : ELE103_Illustration_Histogramme.m



Probabilités

Exemple : histogramme d’une VA Gaussienne :

Trop peu de classes pour l’estimation

de la densité de probabilité

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

7x 10


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500


Estimation correcte de la densité de

probabilité

Programme Matlab : ELE103_Illustration_Histogramme.m


Moments d’une variable aléatoire

Probabilités

Moyenne d’une variable aléatoire discrète :

Petit Jeu :

Pendant 50% du temps je gagne 1€

Pendant 50% du temps je gagne -1.5€ (en fait c’est une perte de 1.5€)

Combien vais-je gagner en moyenne ?

Solution du petit Jeu :

Combien vais-je gagner en moyenne : 0.5 x 1€ + 0.5 x (-1.5€) = -0.25€

)( associées ésprobabilit les avec ,....,,: 21 iN xPxxxXVA

N

i

iiX xPxµXEXdeEspéranceXdeMoyenne1

)()(



Probabilités

Moyenne d’une variable aléatoire continue :

Soit X une VA continue caractérisée par sa densité de probabilité pX(u)

Cette expression est aussi applicable aux VA discrètes

L’espérance d’une VA est encore appelé moment d’ordre 1 de la VA

duupuµXEXdeMoyenne XX )(.)(

duupuXEkordredMoment X

kk )(.)( '



Probabilités

Moments d’une fonction de VA :

Petit Jeu :

Dans 90% des recherches je trouve un diamant de 1 carat que je peux vendre à 1€/carat

Dans 10% des recherches je trouve un diamant de 100 carat que je peux vendre à

100€/carat

Combien vais-je gagner en moyenne pour chaque recherche ?

1 carat à 1€/carat = 1€

100 carats à 100€/carat = 10000€

Je gagne en moyenne pour chaque recherche : 0.9 x 1€ + 0.1 x 10000€ = 1000.9€


Soit Y=f(X) une nouvelle VA

duupufXfEYE X )().()( )(



Probabilités

Moments principaux d’une VA :

duupuµXEXdeMoyenne XX )(.)(

VariancetypeEcart X

222 )( XX µXEXEXEVariance

2222 )()( XEXEXEXEX



Probabilités

Sens physique des moments d’une VA :

E(X)=µX : Valeur moyenne = composante continue

[E(X)]2=µX2 : Puissance de la composante continue

E(X2) : Puissance totale du signal

X-E(X) : Fluctuations autour de la composante continue

X2 = E([X-E(X)]2 ) : Puissance des fluctuations

E(X2)= µX2 + X

2 = P(composante continue)+P(fluctuations)


Variables aléatoires multidimensionnelles

Probabilités

Variable aléatoire à plusieurs dimensions (encore appelé

vecteur de VA): Résultat dépendant de plusieurs caractères

aléatoires.

Exemple de VA discrète à deux dimensions:

VA X à deux dimensions X1 et X2

X1 : tirage d’un dé à six faces

X2 : tirage d’une pièce en pile ou face

Exemple de VA continue à deux dimensions:

VA X à deux dimensions X1 et X2

X1 : taille

X2 : poids



Probabilités

Caractérisation d’une VA multidimensionnelle:

• Fonction de répartition

• Densité de probabilité

• Propriétés

➢FX1,..,Xn(u1,…,un) : fonction non décroissante et positive ou

nulle

➢

➢ pX1,…,Xn(u1,…,un) : fonction positive ou nulle

),....,(,...., 111,..,1 nnnXnX uXuXPuuF

nXnX

n

n

nXnX uuFuuu

uup ,....,...

,...., 1,...,1

21

1,...,1

1,...., 0,...., ,...,1,...,1 XnXXnX FF



Probabilités

Exemple de VA multidimensionnelle:

• Tracer la fonction de répartition et la densité de probabilité de la VA suivante:VA X à deux dimensions X1 et X2

X1 : tirage d’une pièce en pile ou face (0 ou 1)


1/41/2

1/2

1

0 1

0

1

Fonction de répartition :

Densité de probabilité :

0 10

1

X1

X2



Probabilités


• Tracer la fonction de répartition et la densité de

probabilité de la VA suivante:VA X à deux dimensions X1 et X2




• Tracer la fonction de répartition et la densité de

probabilité de la VA suivante:VA X à deux dimensions X1 et X2


X2 : somme du tirage du premier dé et d’un second dé




Probabilités

Exemple de VA multidimensionnelle:X1 : Gaussienne de moyenne nulle et de variance un

X2 : Uniformément répartie entre +1 et -1

0

20

40

60

80

100

020

40

6080

100

0

200

400

600

Histogramme VA multidimensionnelle

Programme Matlab :

ELE103_Illustration_VA_continues_2dim.m



Probabilités

020

4060

80100

0

50

1000

500

1000

1500

2000

Histogramme VA multidimensionnelle

Exemple de VA multidimensionnelle:X1 : Gaussienne de moyenne nulle et de variance un

X2 : Gaussienne de moyenne nulle et de variance un

Programme Matlab :




Probabilités


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

20

40

60

80

100

0

500

1000

1500 Histogramme VA multidimensionnelle

Programme Matlab :


)1,3(

)1,3(bien ou

)1,0(

)1,0(

2

1

N

N

N

N

X

X



Probabilités

Lois de probabilités marginales :

21

21

2

212,1 ,, uuFxx

uup XXX

2212,111 , duuupup XXX

1212,122 , duuupup XXX

n

i

iXXX uuPup1

12,111 ),(

m

j

jXXX uuPup1

22,122 ),(

VA continues VA discrètes



Probabilités

Moments de VA multidimensionnelle, cas général :

Corrélation statistique:

Covariance :

Coefficient de corrélation :

nnXnXnn duduuupuufXXXfE ...),...,().,...,(....),...,,( 11121 1

212121 ),(... duduuupuuYXERxy XY

212121 ),(... duduuupµuµuµYµXEC XYYXYXXY

YX

XY

Cxy



Probabilités

Propriétés :

)(.)(.)( YEbXEabYaXE

YXXYXY µµCR

XYYXYX C.2222


Indépendance de Variables aléatoires

Probabilités

Deux VA X et Y sont dites indépendantes si la connaissance d’une

VA n’apporte rien sur l’autre VA

Pour des VA indépendantes on a :

)().(),( 2121 upupuup YXXY

YXXY µµYEXEYXER )().().(

0XYC

222

YXYX

)()/( YPYXP

)().()()./() ()( YPXPYPYXPYetXPYXP


Changement de variables

Probabilités


alors la VA continue Y=f(X) a une densité de probabilité donnée par :

Soit (X1,X2,…,Xn) un vecteur de VA continue caractérisé par sa densité de

probabilité pX1X2…Xn(u1,u2,…un), alors le vecteur de VA continue

(Y1,Y2,…,Yn)=f(X1,X2,…,Xn) a une densité de probabilité donnée par :

)()( 11 )(. )(.)(

vfuXvfuXY upY

XupJvp

),...,1(,..,1..1 1),...,1(.),...,1(

vnvfunuXnXY unupJvnvp

Yn

Xn

Y

Xn

Yn

X

Y

X

J

...1

::

1...

1

1

det

Attention : ne pas oublier

de prendre la valeur

absolue du Jacobien !



Probabilités

Cas d’une fonction Y=f(X) monotone et dérivable

Y

Xu u+du

v

v+dv

Y

Xuu-du

v

v+dv

duupdvvp

duuXudvvYv

XY ).().(

)(P)(P

duupdvvp

uXduudvvYv

XY ).().(

)(P)(P

)(point au calculé avec ).()(

).().( :aon t Globalemen

1 vfu(u)pdv

duupvp

duupdvvp

XXY

XY



Probabilités

Cas d’une fonction Y=f(X) non monotone et dérivable

dv

duup

dv

duup

dv

duupvp

duupduupduupdvvp

duuXuuXduuduuXudvvYv

XXXY

XXXY

).().().()(

).().().().(

)(P)(P)(P)(P

321

332211

333222111

)( avec )(.)( :aon t Globalemen 1

1

vfuupdv

duvp k

n

k

kXY

Y

Xu1 u1+du1

v

v+dv

u2

u2-du2

u 3u3+du3


Probabilités

Exemples :

• Soit X une VA continue uniformément répartie entre [-1, +1]. Calculer la

densité de probabilité de 2.X+3

• Soit X une VA continue uniformément répartie entre [-1, +1]. Calculer la

densité de probabilité de X2 et de X3

• Soient X1 et X2 deux VA continues indépendantes et uniformément

répartie entre [-1, +1]. Calculer la densité de probabilité de X1.X2

• Soient X1 et X2 deux VA continues indépendantes caractérisées par pX1(u)

et pX2(v). Calculer la densité de probabilité de Y=X1+X2


Programme Matlab : ELE103_VA_chgt_var


Probabilités

Soit X une VA continue uniformément répartie entre [-1, +1]. Calculer la

densité de probabilité de 2.X+3

Changement de variables, Exemple, pdf de Y=2X+3

2

3

2.

2

1)(

)(point au calculé avec 2

1).()(

2/1

3/2-v/2u 3)/2-(Y 3.2)(

)(point au calculé avec ).()(

:donc aon monotone,est f(X)fonction la Ici

1

1

vpvp

vfu(u)pupvp

dv

du

XXXfY

vfu(u)pdv

duupvp

XY

XXY

XXY


Probabilités

Soit X une VA continue uniformément répartie entre [-1, +1]. Calculer la

densité de probabilité de X2

Changement de variables, Exemple, pdf de Y=X2

ailleurs 0

10pour 1

5.0)(

10pour 2/12/1.1

.2

1.

1.

2

1)(

et soit )( avec )(.1

.2

1)(

0pour 1

.2

1 .

2

1

)(

)( avec )(.)(

:donc aon monotone,non est f(X)fonction la Ici

21

1

1

2/1

2/122/12

1

1

vvvp

vv

vpvpv

vp

vuvuvfuupv

vp

vv

vdv

du

vuuvYYXXXfY

vfuupdv

duvp

Y

XXY

k

n

k

kXY

k

n

k

kXY


Probabilités

Soient X1 et X2 deux VA continues indépendantes caractérisées par pX1(u)


Changement de variables, Exemple, pdf de X1+X2

1110

11det

2

2

1

22

1

1

1

det

),(.

2

2

1

22

1

1

1

det ),(.),(

21

1

2

1

2

1

2

1

12

1

2

1

21

1

2

1

2

1

),(),(2121),(),(2121212121

12121

121

Y

X

Y

XY

X

Y

X

J

vv

v

u

u

uu

u

v

v

u

u

uup

Y

X

Y

XY

X

Y

X

uupJvvp

XX

X

X

Xf

Y

Y

X

X

vvfuuXXvvfuuXXYY


Probabilités

Soient X1 et X2 deux VA continues indépendantes caractérisées par pX1(u)


Changement de variables, Exemple, pdf de X1+X2

)(*)()(

)().(),(

,)(

, : marginales ésProbabilit

)().(),( : aon tesindépendanétant X2et X1

),( ),(.1),(

2121

112211112121

1212,122221

1212,122

1221112121

12121121212121

vpvpvp

dvvvpvpdvvvvp

dvvvpvpvp

dvvvpvp

vvpvpvvvp

vvvpvvvpvvp

XXXX

XXXX

YYYXX

YYY

XXXX

XXXXYY


Probabilités

Si X1 et X2 sont deux VA indépendantes

caractérisées par pX1(u) et pX2(v), alors la

densité de probabilité de la somme de ces

deux VA est égale à la convolution des

deux densités de probabilité

Densité de probabilité d’une somme de VA indépendantes

)(*)()( 2121 vpvpvp XXXX


Probabilités


X une VA continue uniformément

répartie entre [-1 ,+1] et Y= 2.X+3

-6 -4 -2 0 2 4 60

1000

2000

3000

4000

5000

6000Histogramme VA X et Y

X VA unif répartie entre [-1,+1]

Y=2.X+3

X = VA continue uniformément

répartie entre [-1, +1] et Y= X2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

4 Histogramme VA X et Y


Y=X.X



Probabilités


X = VA continue

uniformément répartie entre

[-1, +1] et Y= X3

X et Y= VA continue uniformément

répartie entre [-1, +1] et Z= X.Y

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18x 10

4 Histogramme VA X et Y


Y=X.X.X

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

4 Histogramme VA X et Z=X.Y


Z=X.Y



Probabilités


X1, X2, X3, VA continues

indépendantes uniformément réparties

entre [-1, +1] et Z=X1+X2+X3

X1, X2, VA continues indépendantes

uniformément réparties entre [-1, +1]

et Z=X1+X2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

1000

2000

3000

4000

5000

6000Histogramme VA X et Z=X+Y


Z=X+Y

-3 -2 -1 0 1 2 30

1000

2000

3000

4000

5000

6000Histogramme VA X1 et Z=X1+X2+X3


Z=X1+X2+X3



Théorème de la limite centrale

Probabilités

La distribution statistique de la somme de n VA

indépendantes et de même loi tend vers la loi

Normale quand n tend vers l’infini

• Illustration de la tendance vers la loi normale avec Matlab:ELE103_Illustrtion_limite_centrale.m

Les bruits physiques sont souvent

Gaussiens à cause du théorème de la

limite centrale

Programme Matlab : ELE103_Illustration_limite_centrale.m



Probabilités

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-3

-2

-1

0

1

2

3Bruit résultant de la somme des N signaux indépendants (b) et signal individuel (r)

Signaux indépendants et uniformément répartis entre -0.5 et +0.5

Somme de N=10 signaux (bleu)

-6 -4 -2 0 2 4 60

2000

4000

6000

8000

10000

12000Histogramme de la somme des N signaux indépendants




Probabilités

Signaux indépendants avec fréquence et phase aléatoire


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8

-6

-4

-2

0

2

4

6Bruit résultant de la somme des N signaux indépendants et signal individuel (r)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000





Probabilités

Signaux indépendants avec suite de +1 et -1 aléatoires


0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8Bruit résultant de la somme des N signaux indépendants et signal individuel (r)

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

1000

2000

3000

4000

5000



Documents

CNAM Bases de Traitement du Signaleasytp.cnam.fr/roviras/roviras_enseigne/ELE103_partI_v26.pdf · 2018. 9. 26. · CNAM ELE 103 D. Roviras 1 CNAM Bases de Traitement du Signal ELE