CNAM

Roland Portait, Patrice Poncet et Vincent Lacoste

1

Chapitre XII (Options II)

Le Modle en temps continu : Black et Scholes et extensions

Ce chapitre prsente le clbre modle en temps continu de Black et Scholes (1973) ainsi que

certaines de ses extensions, telles que celles de Merton, Black, Garman et Kholhagen ou

Margrabe. Ces diffrents modles, affilis celui de Black et Scholes, sont utiliss sur tous les

marchs financiers du monde pour valuer des options sur diffrents supports et grer des

positions optionnelles. Ils constituent lexemple le plus flagrant, sinon unique, dun

dveloppement thorique ayant eu une influence dterminante dans le monde conomique rel et

ont valu Myron Scholes et Robert Merton le prix Nobel dconomie en 1997.1

Les diffrentes formules d'valuation des primes des calls et des puts europens seront tablies en

utilisant le calcul d'It. Ce chapitre ncessite donc une bonne connaissance du calcul

stochastique, et du mouvement brownien. Nous renvoyons le lecteur l'Annexe Technique

Gnrale II en fin de volume pour une prsentation de ces outils mathmatiques.

La premire section est consacre au modle standard de Black et Scholes. Il est adapt au cas

doptions europennes crites sur des titres au comptant qui ne distribuent pas de rmunration

avant lchance de loption. La deuxime section prsente plusieurs extensions du modle

standard, adaptes diffrents types de support.

1 Fisher Black tait dcd (en 1995) lors de lattribution de ce prix.


2

Section I

Le modle de Black et Scholes standard

Le plan de la prsentation est calqu sur celui du modle binomial discret prsent dans le

chapitre prcdent. Le lecteur est invit identifier la correspondance entre les cas discret et

continu chaque tape du raisonnement. Cette correspondance guidera utilement son intuition.

Pour viter des rptitions fastidieuses, le modle standard de Black et Scholes sera not BS.

1. Cadre danalyse et hypothses du modle

Nous considrons un march ouvert en continu, exempt de cots de transaction et constitu de

deux actifs de base: un actif risqu, que nous appellerons l'action2, et un actif sans risque, c'est--

dire un contrat de prt ou emprunt ngoci un taux continu constant not r. Nous notons St la

valeur en date t de l'action cote sur le march.

Laction ne distribue aucun dividende et sa valeur initiale S0 est connue en date 0. L'volution

alatoire du prix St, partir de la condition initiale S0, est rgie par un mouvement brownien

gomtrique :

tt

t dWdtS

dS += (1)

Les paramtres et , qui reprsentent respectivement la tendance et la volatilit de l'action, sont

supposs constants dans la version standard3 du modle ; 0)( ttW est un mouvement brownien

standard. La modlisation (1) est propose sous la probabilit historique P. La tendance reprsente donc la rentabilit moyenne de l'action telle qu'elle peut tre estime partir de

donnes de march.

Nous notons t la valeur de l'actif sans risque en date t, c'est--dire la valeur de 1 Euro capitalis au taux r, dfinie par l'quation diffrentielle:

2La formule de Black-Scholes, initialement conue pour traiter le problme de l'valuation d'options sur actions, s'tend facilement d'autres sous-jacents (taux de change, matires premires, taux d'intrt), comme nous le verrons dans la suite de ce chapitre. 3 En fait, lhypothse constant nest pas ncessaire pour aboutir lquation de Black et Scholes (il suffit que r soit constant).


3

rdtd

t

t=

(2)

Comme dans BS r est constant4, la gamme des taux est suppose plate (tous les taux sont gaux

r, quelle que soit leur maturit)5.

Remarquons que les quations (1) et (2) ont des solutions connues. La premire est dduite d'un

calcul d'It (cf Annexe Gnrale II) et scrit :

ST = S0 e( 2/2)T + WT (3)

et la seconde, plus simplement :

T = e rT (4)

Outre les deux actifs de base, on considrera des options europennes ngociables en continu,

crites sur lactif risqu prcdemment dcrit, dont on dterminera les valeurs par un argument

dabsence dopportunits darbitrage (AOA).

Pour rsumer, BS est fond sur les hypothses suivantes :

- le march est ouvert en continu et exempt de cots de transaction ;

- le sous-jacent est un actif au comptant ne versant pas de rmunration dont le prix suit le

processus volatilit constante dfini par (1) ;

- le taux dintrt sans risque est constant ;

- les options considres sont de type europen.

2) Stratgies dynamiques autofinanantes

Comme dans le cas discret, nous allons rsoudre le problme de l'valuation de la prime d'une

option par la recherche d'une stratgie dynamique autofinanante qui duplique en date T le

payoff de l'option. Dans un premier temps, nous dfinissons la notion de stratgie autofinanante

et nous en dduisons l'quation diffrentielle stochastique qui rgit l'volution de sa valeur.

4L'quation diffrentielle (1) est ordinaire si r est constant. Si le taux instantan obit lui-mme un processus stochastique, la forme de l'quation reste inchange, mais l'quation diffrentielle est stochastique. 5 Dans le cas contraire, le mme investissement de 1 donnerait deux montants certains diffrents en T selon quil serait plac au jour le jour au taux r capitalis ou porterait sur un titre zro coupon (soit erT dans le premier cas et erTT

dans le second), ce qui constituerait lvidence une opportunit darbitrage.


4

Considrons t, la valeur en date t d'un portefeuille investi en action et en actif sans risque.

Notons t la quantit d'action dtenue dans le portefeuille. Linvestissement en actif sans risque est donc gal :

t t St (5) On dduit de ces dfinitions que l'volution de la richesse t entre deux dates infinitsimalement

proches t et t+dt est dcrite, sans changement de la composition du portefeuille, par l'quation

diffrentielle suivante :

dt = (t t St )rdt + t dSt (6) o rdt reprsente le rendement obtenu sur l'actif sans risque, et dSt le gain obtenu sur l'action.

En fait la relation (6) rend compte du seul gain (plus-value) ralis entre t et t+dt et nintgre pas

les ventuels flux montaires (apports ou retraits) qui accompagnent les changements de

composition. Lors de ces derniers, l'oprateur peut en effet choisir d'augmenter (ou diminuer) la

quantit d'actions t par un achat (ou une vente). La quantit t+dt est donc diffrente de t aprs une telle opration de recomposition (rebalancing). Dans le cadre d'une stratgie autofinanante,

ce changement de composition n'affecte pas la valeur du portefeuille: le dcaissement (d

l'achat d'actions) ou l'encaissement (d la vente d'actions) se reporte sur la partie place en actif

sans risque qu'il vient diminuer (ou augmenter). En consquence, l'quation diffrentielle (6)

dcrit bien l'volution de la valeur t, mme pour un portefeuille dont la composition varie.6

Nous retiendrons cette dernire comme lquation diffrentielle stochastique d'une stratgie

dynamique autofinanante. Elle est complte par la donne de la condition initiale 0, savoir la

richesse initialement investie en date 0.

Remarquons que la donne du processus (t)t0 , d'une part, et la condition initiale 0, d'autre part, suffisent pour dterminer entirement les paramtres de l' quation diffrentielle stochastique (6).

Ainsi, il suffira pour dcrire une stratgie autofinanante de prciser la richesse initiale investie,

et le processus dfinissant la quantit d'action dtenue pour chaque date t. La partie investie en

6 De faon plus prcise, pour tout portefeuille (autofinanant ou non), le lemme dIt implique:

dt = d(nt t + t St) = nt dt + t dnt + t dSt + St dt + dSt dt = [nt dt + t dSt ] + [t dnt + (St + dSt) dt ]. nt dsigne ici le nombre dactifs sans risque composant le portefeuille en t et nt t =(t t St) ; le premier terme entre crochets reprsente le gain (gal (t t St )rdt+t dSt) alors que le deuxime terme est gal au montant algbrique des apports (valeur nette des titres achets) en date t+dt. Cest ce deuxime terme entre crochets qui est nul pour une stratgie autofinanante pour laquelle dt = nt dt + t dSt.= (t t St )rdt + t dSt.


5

actif sans risque se dduit par complmentarit (cf. quation 5).

3) Valorisation par une quation aux drives partielles et formule de Black et Scholes

a) Lide de base

Lide sous-tendant la thorie de BS peut tre rsume de la faon suivante : on cherche parmi

l'ensemble des stratgies autofinanantes celle(s) qui duplique(nt) le call et dont la (les) valeur(s)

s'exprime(nt) comme une fonction dterministe7 de St et de t que lon notera (t, St). En effet,

comme on va le montrer, il existe un portefeuille autofinanc compos du sous-jacent et de lactif

sans risque dont la valeur en T est gale celle du payoff T de loption ; en absence darbitrage,

chaque instant la valeur de loption ainsi synthtise est gale celle du portefeuille dupliquant.

b) Lquation aux drives partielles dvaluation

Nous cherchons donc un processus (t)t0 qui reprsente la valeur dun portefeuille

autofinanant et dont la valeur en T est celle du payoff dupliquer. Nous choisissons a priori une

fonction (., .) suffisamment rgulire (une fois continment drivable en la premire variable et

deux fois en la seconde) pour pouvoir lui appliquer la formule d'It : 2

22

1( , ) ( , ) ( , ) ( , )2t t t t t t

d t S t S dt t S dS t S dSt S S

= + +

De l'quation (1), on dduit le processus dSt2 = 2St2dt et par substitution dans la relation

prcdente on obtient :

tttttt dSStSdtSSt

SSt

tStd ),(),(

21),(),( 222

2

+

+

=

(7)

Toute fonction de t et de S suffisamment rgulire obit lquation (7) mais ne reprsente pas

pour autant la valeur dun portefeuille autofinanant ; pour que t(t, St) reprsente tout instant t

la valeur dun tel portefeuille il faut que les variations d(t, St) respectent aussi lquation (6),

donc que (6) et (7) soient toutes deux vraies. En identifiant les termes en dSt et en dt de (6) et (7),

on obtient respectivement :

).,( tt StS

=

7Cette restriction, justifie par la suite du raisonnement, est logique compte tenu du fait que la connaissance en date t de la valeur de l'action devrait suffire tablir la valeur de loption.


6

( ) .),(21),(),( 222

2

tttttt SStSSt

trSSt

+

=

En remplaant t par ),( tStS dans cette dernire quation et en rarrangeant les termes, il

vient :

),,(),(21),(),( 222

2

tttttt StrSStSrSSt

SSt

t

=

+

+

Cette dernire quation est connue sous le nom d'quation aux drives partielles (EDP) de

Black-Scholes, ou "EDP d'valuation".

Enfin, pour que ce portefeuille autofinanant synthtise loption, il faut que sa valeur terminale

soit, avec certitude, gale au payoff de loption : (T, ST) = T(T, ST).

Cette dernire relation constitue la condition aux limites qui complte l'EDP de BS.

Il suffit alors dcrire quen AOA, la valeur du portefeuille dupliquant est, chaque instant,

gale celle du titre dupliqu, soit :

(t, St) = C(t, St) pour tout t et St, si T est le payoff dun call ;

(t, St) = P(t, St), si T reprsente le payoff dun put.

Ces diffrentes relations constituent les principaux rsultats de la thorie de l'valuation en temps

continu ; compte tenu de leur importance, nous les rassemblons dans la proposition suivante:

Proposition 1. Considrons un call Europen dont le payoff est T(T, ST) = max (ST K ,0). La

prime en date t dune telle option est solution de lEDP dvaluation :

),,(),(21),(),( 222

2

tttttt StrCSStSCrSSt

SCSt

tC

=

+

+

(8)

respectant la condition finale : C(T, ST) = T (T, ST) (9)

Les mmes quations prvalent pour le put (il suffit de remplacer C par P dans (8) et (9) et poser

T(T, ST) = max (K ST,0)).

La stratgie dynamique autofinanante dupliquant la valeur finale de loption en date T est

dfinie par le processus (t)t0 qui spcifie, pour chaque t, la quantit daction dtenir ainsi que par linvestissement initial 0 requis :

t = ),( tStSC

(10)


7

0 = C(0, S0)

Remarques :

- L'EDP (8) est complte lorsqu'on lui attribue la condition finale (9). Dans la suite nous

lappellerons lEDP (8-9).

- L'quation (10) spcifie, pour chaque date t, le nombre d'actions inclure dans un portefeuille

pour que celui-ci duplique exactement les flux de l'option ; elle rpond ainsi, comme on le verra

ultrieurement, une question trs importante en pratique. Cette stratgie autofinanante de

couverture est alors pleinement dcrite lorsque le montant initial de l'investissement, que nous

notons 0 = C(0, S0), est calcul. Le calcul de 0, comme celui de t = ),( tStSC

, ncessitent la

rsolution de l'EDP (8-9).

- L'quation dvaluation (8) ne fait pas apparatre le paramtre de tendance de l'action. Cette

indpendance de la valeur de l'option vis--vis de est quivalente lindpendance dans le cas discret de la prime vis--vis de la probabilit historique p. Ceci est un rsultat remarquable sur

lequel nous reviendrons dans la suite, notamment au paragraphe 4 o lanalyse est fonde sur une

interprtation probabiliste.

- L'quation dvaluation (8) ne repose que sur la condition dautofinancement et vaut donc pour

tout portefeuille autofinanc construit partir du support et de lactif sans risque ou pour tout titre

qui ne distribue pas de flux et qui peut tre dupliqu par un tel portefeuille. Dans cette

reprsentation mathmatique, ces diffrents titres ou portefeuilles autofinancs ne se distinguent

que par la condition aux limites : ((T, ST) = max (ST K ,0) pour un call ; (T, ST) = max (K ST

,0) pour un put, ou (T, ST) = un autre payoff, pour un autre type de titre).

- LAOA vient de la redondance locale des trois titres : option, support, actif sans risque. Cette

redondance signifie que nimporte lequel de ces trois titres peut tre synthtis, dans lintervalle

infinitsimal (t, t+dt), par une combinaison approprie des deux autres. A condition de modifier

en continu cette combinaison, et puisque lintervalle (t, T) peut tre dcompos en une somme de

tels intervalles infinitsimaux, la duplication peut tre obtenue sur toute la dure (t, T).

Le raisonnement prsent sappuie sur la duplication de loption par une combinaison dynamique

autofinanante du support et de lactif sans risque. On aurait pu tout aussi bien synthtiser lactif

sans risque laide dun portefeuille autofinanant compos de loption et du support (ctait


8

dailleurs lapproche de larticle original de Black et Scholes8). Largument aurait alors consist

exprimer quen AOA la rentabilit du portefeuille dupliquant est gale r, ce qui conduit quasi-

directement lEDP (8).

c) La formule dvaluation de Black et Scholes

Il nous reste crire la solution de lEDP (8-9). Dans le cas particulier o le payoff est gal

celui d'un call standard (T = max (ST K ,0)) ou d'un put standard (T = max (K ST ,0)), il

existe une solution explicite9, connue sous le nom de formule de Black-Scholes, prsente dans la

proposition qui suit :

Proposition 2 (formule de Black-Scholes).

La valeur C(t, St) du call europen, solution de lEDP (8-9), est donne par :

C(t, St) = St N(d1) K e-r(T-t)N(d2) (11)

avec:

d1 = 21

2ln ( )( )

( )

tS r T tK

T t

+ +

; d2 = d1 )( tT (12)

et N(u) dnote la fonction de rpartition de la loi normale centre rduite: N(u) =

udxe

x22

21

La valeur P(t, St) du put europen est donne par :

P(t, St) = K e-r(T-t)N(-d2) St N(-d1) (13)

La dmonstration de ces formules, telle quelle est prsente dans larticle original de Fisher

Black et Myron Scholes, repose sur un changement de variables qui permet de simplifier lEDP

(8-9) et de la transformer en lquation de propagation de la chaleur dont la solution est connue

en Physique. Plus simplement, il est possible de vrifier directement que les fonctions C(t, St) et

P(t, St) dcrites dans la proposition 2 vrifient l'EDP (8-9). Toutefois cette vrification est lourde

en calculs, et il est plus lgant et simple de sappuyer sur un calcul probabiliste. Nous renvoyons

8 Black F. and Scholes, M., The pricing of options and corporate liabilities , Journal of Political Economy, Vol. 81, May-June 1973. 9 Malheureusement, il n'existe pas toujours de solution explicite dans le cas dun payoff non standard ; il devient alors ncessaire de mettre en oeuvre une mthode numrique pour approcher la solution. Nous renvoyons le lecteur intress l'ouvrage de Dewyne et Wilmott (1992) pour une prsentation de ces mthodes.


9

donc le lecteur au paragraphe 4-c qui suit pour une dmonstration de la Proposition 2 fonde sur

un simple calcul desprance.

Remarquons seulement ici que le put peut tre valu en fonction de la prime du call par la

relation de parit call-put :

P(t, St) = C(t, St) St + K e-r(T-t)

Le lecteur pourra donc, sans inconvnient, allger son effort de mmoire et ne retenir que les

relations (11) et (12) qui permettent le calcul de C(t, St).10

Exemple 1. On va calculer les primes dun call et dun put europens, crits sur un support au comptant valant 500 , de prix d'exercice 520 et de maturit 90 jours. Le taux d'intrt (discret) annuel est de 5 % pour des oprations 3 mois et la volatilit du support a t estime 5,547 % en donnes hebdomadaires. On comptera 52 semaines dans lanne et on utilisera le fait que la volatilit crot avec la racine carre de la dure de la priode sur laquelle elle est dfinie. Les calculs donnent T = 90/365 = 0,2465753 ; r = ln (1,05) = 0,0488 ; = 0,05547 52 = 0,4 d1 = -0,03757945; d2 = -0,236205; N(d1) = 0,48501; N(d2) = 0,40664. C = 500 N(d1) 520 e-rT N(d2) = 33,583. P = C S + Ke-rT = 47,365.

4. Interprtation probabiliste

a) Lide de base

Ds la parution de larticle sminal de BS (mai 1973), les mondes acadmique et professionnel

furent interpells par un aspect des rsultats, trs contre intuitif de prime abord, et qui tranchait

avec ce que lon avait dans toutes les formules antrieures celles de BS11 : le taux de croissance

espr du prix du sous-jacent (lesprance de son taux de rentabilit, puisquil ne distribue pas de dividende) nintervient pas dans les formules (8, 9, 10, 11) qui permettent dvaluer la prime.

En fait, le seul paramtre de rentabilit dont dpende la prime est le taux sans risque r. Emergea

alors lide12 selon laquelle la formule de Black et Scholes, qui lie dans le monde rel la

valeur de loption celle du sous-jacent et dautres paramtres (, r, T), est valide galement

dans un univers virtuel, neutre lgard du risque, dans lequel les primes de risque sont par

10 Il nest pas ncessaire dappliquer (13) qui dailleurs se dduit de (11) et de la relation de parit : P = SN(d1) Ke-r(T-t) N(d2) S + K e-r(T-t)= K e-r(T-t)(1 N(d2)) S(1 N(d1)) = K e-r(T-t) N(-d2)) S N(-d1). 11 Dues notamment Samuelson et Sprenkle. 12 Cette ide lumineuse est due Steve Ross ?? de mmoire cest Ross mais vrifier


10

consquent toutes nulles et les esprances de rentabilit sont toutes alignes sur le taux sans

risque. Dans un tel univers, les prix des titres peuvent tre calculs simplement, laide de

lesprance de leurs payoffs actualiss au taux sans risque. Comme les calculs sont plus simples

dans le monde risque neutre que dans le monde rel et que les formules dvaluation sont les

mmes dans les deux univers, lide vint deffectuer les calculs dvaluation comme si le monde

tait risque neutre. Il ne faut toutefois pas perdre de vue que la probabilit des vnements futurs

dans le monde risque neutre, note Q dans la suite, diffre de la probabilit P qui prvaut dans le

monde rel . Il existe de ce point de vue un strict paralllisme entre le modle continu qui nous

occupe ici et le modle discret tudi dans le chapitre prcdent, pour lequel nous avions soulign

la diffrence entre la probabilit risque neutre q et la probabilit historique p.

b) Les dynamiques des prix dans lunivers risque neutre et lexpression de la valeur de loption

sous la forme dune esprance.

Nous allons nous placer dans le monde risque neutre, c'est--dire sous Q, dans lequel les

esprances de rentabilit instantanes de tous les actifs (risqus ou non) sont gales au taux sans

risque r. Les dynamiques des prix des actifs risqus diffrent donc des dynamiques relles. En

particulier, le prix de lactif sous-jacent nest plus rgi par (1) mais par lquation diffrentielle

stochastique suivante :

Qt

t

t dWrdtS

dS+= (14)

o ( QtW )t 0 reprsente un mouvement brownien standard sous Q.

Lquation (14) exprime simplement le fait que lesprance sous Q de la rentabilit du sous-

jacent est gale au taux sans risque r, donc que St suit un mouvement brownien gomtrique dont

le terme de tendance est gal r. Comme on va le voir dans la suite, lEDP (8) exprime cette

proprit. Mais auparavant, rappelons la dfinition dune martingale (dont on a rencontr la

version en temps discret au chapitre prcdent) et nonons un rsultat utile pour la suite.

Dfinition. Un processus (Yt)t0 est une martingale si, pour tout t et t avec t t :

E[Y(t) /Y(t)] = Y(t)

Nous utiliserons galement les rsultats du lemme ci-dessous.


11

Lemme.

(i) Un processus (Yt)t0 dont la dynamique obit : dYt = a(t)dt + b(t)dWt est une

martingale si et seulement si a(t) = 0.

(ii) Si un processus (Xt)t0 obit : tt

dXX

= rdt + (t)dWt , le processus (Yt)t0 dfini par

Yt = Xt e-rt est une martingale.

Dmonstration.

(i) dYt = b(t) dWt quivaut Y(t) = Y(t) + '

( ) ( )t

tb u dW u pour 0 t t, do :

E[Y(t) /Y(t)] = Y(t) pour t t, ce qui constitue le dfinition mme dune martingale.

Rciproquement, si Y(t) est une martingale : E[Y(t) +dY /Y(t)] = Y(t) , do :

E[dY /Y(t)] = 0 = a(t)dt ; donc a(t) = 0.

(ii) Le lemme dIt appliqu Yt = Xt e-rt donne : dYt = e-rt dXt r Xt e-rt dt

En divisant le premier membre de cette dernire relation par Yt et le deuxime par Xt e-rt on

obtient : t tt t

dY dX rdtY X

= .

Puisque tt

dXX

= rdt + (t)dWt , il vient :

t

t

dYY

= (t) dWt , ou encore : dYt = Yt (t) dWt ,

et donc, en vertu de (i), Yt est bien une martingale.

Nous sommes maintenant en mesure de montrer que la prime de loption, c'est--dire la solution

de l'EDP (8-9), sexprime sous la forme d'une esprance, linstar du modle discret.

Proposition 3. La solution de lEDP (8-9) peut scrire sous la forme suivante :

C(t, St) = EQ[T e-r(T-t)/St] (15)

o EQ dsigne lesprance prise sous la probabilit Q (univers risque neutre).

Sous la probabilit Q, et quelle que soit la forme du payoff final T, le processus du prix

actualis au taux sans risque dfini par Yt = C(t, St) e-rt est une Q-martingale.


12

Dmonstration. Plaons-nous sous Q en considrant (14) comme dfinissant la dynamique de St.

Dmontrons dabord que Yt = C(t, St) e-rt est une Q-martingale.

La rgle de diffrentiation dIt applique C(t, St) donne : 2

2 22

1( , ) ( , ) ( , ) ( , )2t t t t t t t t t

C C C CdC t S t S rS t S S dt S t S dWt S S S

= + + +

Daprs lEDP (8) de BS, le terme entre crochets est gal rCt. Nous retrouvons donc lune de

nos affirmations prcdentes selon laquelle lEDP de BS exprime lgalit de lesprance sous Q

de la rentabilit de loption et du taux sans risque r. Ds lors: ( , )t t t tt t

dC S Crdt t S dWC C S

= +

.

C(t, St) e-rt est donc une martingale, en vertu du lemme (ii).

Lquation (15) rsulte simplement du caractre martingale de Yt qui implique :

Yt = EQ [YT / St]

En se rappelant que Yt = C(t, St) e-rt, on trouve :

C(t, St) = EQ[C(, ST) e-r(T-t)/St] = EQ[T e-r(T-t)/St] Ceci conclut la dmonstration de la proposition 3.

Remarquons que la dmonstration du caractre Q-martingale de C(t, St) e-rt repose sur la seule

EDP (8) qui traduit uniquement le caractre autofinanant de la stratgie de duplication. Ds lors,

le mme rsultat prvaut pour un portefeuille autofinanant quelconque et nous pouvons noncer

la proposition suivante :

Proposition 4. La valeur V(t, S) de tout portefeuille autofinanant combinant le sous-jacent et

lactif sans risque, obit lEDP (8) et par consquent, sous la probabilit risque neutre Q :

- le taux de croissance espr de V(t, St) est gal r ;

- la valeur actualise V(t, St)e-rt est une martingale sous Q .

c) Dmonstration de la Proposition 2 (formule de Black et Scholes) par le calcul intgral.

Nous allons maintenant dmontrer la formule de BS (proposition 2, quations 11 et 12), par le

calcul de l'esprance du payoff actualis au taux sans risque.

Nous rappelons la solution intgre entre les dates t et T de lquation (14) rgissant d'volution

du prix de laction sous la probabilit Q :


13

.)())(( 22 Q

tQ

T WWtTrtT eSS

+=

(16-a)

On sait par ailleurs que l'accroissement du mouvement brownien QtQ

T WW suit une loi normale

centre et de variance T t. On notera U une variable normale centre rduite dont la densit de

probabilit est : dueduuu22

21)( =

et on crira : Q QT tW W T t U = ; do :

ST = St2

2( )( )r T t T t Ue + (16-b)

Considrons dabord le cas du call de maturit T, de prix d'exercice K et donc de payoff T =

max(ST K ,0). Par application de la Proposition 3 (quation 15), on a:

C(t, St) = EQ[max(ST K ,0)e-r(T-t)/St]

En utilisant (16-b), on obtient :

Ct = EQ[max(St 2

2( )( )r T t T t Ue + K ,0)e-r(T-t)] (17)

.210,max 2

222

)())(( dueeKeSCutTrutTtTr

tt

+

=

Notons que le maximum intervenant dans cette expression est nul lorsque:

,0))(( 22


14

On peut sortir de lintgrale le terme e-r(T-t), qui est dterministe, et crire :

I2 = .21

22

2

)( dueKeu

d

tTr

En remarquant que la densit de probabilit 2

2

21)(

u

eu =

est une fonction symtrique, on obtient (par changement des bornes d'intgration) :

I2 = .21

22

2)( dueKeudtTr

Cette intgrale est gale la fonction de rpartition de la loi normale centre rduite prise en d2,

que l'on note N(d2). On obtient donc :

I2 = Ke-r(T-t)N(d2)

Etudions maintenant le premier terme, I1, intervenant dans lexpression de Ct:

I1 = .21 )())(( 2222

2

dueeeS tTrutTtTrtdu

+

En remarquant que les termes en er(T-t) et e-r(T-t) se compensent, que St peut sortir de I1, et en

regroupant les exponentielles, on trouve :

I1 = .21

2)(222

2

dueStTutTu

dt

+

Un carr parfait apparat dans l'exponentielle: 2)( tTu . En procdant au changement de

variable tTuv = , on obtient :

I1 = .21

22

2

dveSv

tTdt

Par le mme raisonnement de symtrie que prcdemment (changement des bornes d'intgration),

on a donc :

I1 = 2

12

1 ,2

vd

tS e dv

o tTdd += 21 . Cette dernire expression fait apparatre la fonction de rpartition de la

loi normale centre rduite, prise en d1, note N(d1). Le premier terme I1 de la prime du call est

donc gal :

I1 = St N(d1)

ce qui termine, puisque Ct = I1 I2 , la dmonstration de la formule de BS par un calcul direct de


15

l'esprance du payoff actualis de loption.

La formule de BS relative au put peut tre dmontre laide dun calcul semblable, ou, plus

simplement, dduite de celle du call et de la relation de parit call-put.

Dans la suite nous utiliserons la fonction dvaluation de BS dfinie par :

F(t, x) = e-r(T-t)EQ[max(2

2( )( )r T t T t Uxe + K ,0)] (18)

o U dsigne une variable gaussienne, centre rduite, sous Q.

On vient de dmontrer ici que :

F(t, x) = x N(d1) K e-r(T-t)N(d2), o : d1=21

2ln ( )( )

( )

x r T tK

T t

+ +

; d2 = d1 )( tT (19)

Le modle de BS conduit une prime du call que lon peut crire : C(t, St) = F(t, St).

Les extensions de ce modle standard, prsentes maintenant, conduisent des formules

dvaluation qui sexpriment trs simplement laide de la fonction dvaluation F(t, x).

Section II

Extensions de la formule de Black-Scholes

Cette section propose plusieurs extensions de la formule de BS des sous-jacents autres qu'une

action ne versant pas de dividende. Le paragraphe 1 considre un sous-jacent versant une

rmunration (dividende, coupon,) qu'on supposera soit continue soit discrte. Nous traiterons,

dans les paragraphes 2, 3 et 4 des options sur d'autres sous-jacents : matires premires, taux de

change, et contrats futures. Nous montrons, au paragraphe 5, comment la formule de BS peut tre

adapte au cas d'une volatilit variable (mais dterministe). Nous continuons, au paragraphe 6,

par l'valuation d'options quand le taux sans risque obit un processus stochastique gaussien. Le

traitement des options sur taux d'intrt est cependant report un chapitre spcifique. Nous

terminons par lvaluation des options dchange, due lorigine Margrabe (1978).

1. Sous-jacent versant une rmunration (dividende, coupon,)


16

La plupart des actifs supports des options versent une rmunration (souvent appele droit par

les professionnels et les juristes), ce qui se traduit par une baisse instantane de leur valeur au

moment du dtachement du droit. Rappelons que les options ne sont jamais protges contre le

versement des droits. Par consquent, toutes choses tant gales par ailleurs, la valeur du call

diminue et celle du put augmente avec le montant du (ou des) droit(s) distribu(s) avant

lchance T.

Dans la suite nous nous rfrons par commodit un support action, mais tous les rsultats sont

parfaitement valables pour les autres supports cots au comptant. La rmunration verse par le

support sera indiffremment qualifie de coupon ou de dividende. La premire tape du

raisonnement consiste spcifier un modle de rmunration. Nous exposerons dabord le

modle classique selon lequel l'action verse un dividende continu ; il permet d'aboutir une

formule explicite pour la prime des options europennes et constitue une matrice partir de

laquelle seront gnres dautres formules dvaluation, adaptes dautres supports traits dans

des paragraphes ultrieurs (marchandises, taux de change, contrats futures). Nous tudierons,

dans un deuxime temps, le cas d'un dividende discret vers une date unique.

a) Modle dividende continu

Le processus (St)t0 suivi par laction support est suppos obir lquation diffrentielle

stochastique (1) du type BS, que nous rcrivons pour mmoire :

,t tt

dS dt dWS

= +

o est un paramtre de tendance constant, est un paramtre de volatilit galement constant, et (Wt)t0 reprsente un mouvement brownien standard sous Q (nous nous plaons directement

sous la probabilit risque neutre Q).

La premire question laquelle nous devons rpondre est la suivante : sous la probabilit risque

neutre Q, quelle doit tre la tendance du processus (St)t0 ? Nous savons que si l'action ne

versait pas de dividende, serait gal r, le taux sans risque. Ce rsultat change lorsque le support verse une rmunration.

Dans le modle dividende continu, le temps est segment en dures infinitsimales dt. L'action

en fin de priode [t, t+dt] verse son dtenteur un flux de dividende de montant c St dt , o

c reprsente le taux de rmunration suppos constant dans ce modle.


17

Remarquons que le montant du dividende vers en date t+dt, au titre de la priode [t, t+dt] :

- est proportionnel la valeur St de l'action en dbut de priode;

- est proportionnel la dure dt de la priode;

- est connu en dbut de priode (en t), mais il nest pas connu en date 0, puisqu'il dpend de la

valeur St qui est elle-mme inconnue en date 0.13

Remarquons de plus que la rentabilit dun placement en action durant la priode [t, t+dt], qui

rsulte du gain en capital dSt, et du dividende c St dt, scrit :

dR = cdtS

dSS

dtcSdS

t

t

t

tt +=+

Ds lors, en utilisant (1), on obtient : dR = ( + c) dt + dWt. Ce rsultat, quasi vident, signifie que la rentabilit dR du placement en action est la somme du

taux de plus value (dS/S) et du taux de dividende c.

Puisque dans lunivers risque neutre lesprance du taux de rentabilit de ce placement est gale

au taux sans risque, on obtient : + c = r. Il sensuit que la valeur St dune action versant un coupon continu au taux c obit la dynamique

suivante, sous la probabilit risque neutre Q :

t

t

dSS

= (r c) dt + dWt (20-a)

ce qui implique : 2

2( )( ) ( )Q Q

tTr c T t W WT tS S e

+ = , ou encore : ST = St

22( )( )r c T t T t Ue

+ (20-b)

Ces relations signifient que, dans lunivers risque neutre, le taux de croissance du prix du sous-

jacent est gal au taux sans risque r diminu du taux de coupon c.

Le lecteur ne doit pas tre surpris par le fait que le versement d'un dividende diminue la

croissance de la valeur boursire de l'action (qui passe, sous la probabilit Q, de r r c). Nous

avons dj vu, plusieurs fois, que la distribution dune rmunration x provoque une baisse de x

13 Il est cependant important de remarquer que le dividende peru en date t+dt ne contient aucune innovation (il est certain en date t). C'est ce qui explique que le dividende va affecter la tendance du processus et non pas la partie brownienne de l'quation diffrentielle stochastique (20-a).


18

de la valeur du titre. Dans ces conditions, la rentabilit du placement nest pas affecte par le

versement du dividende14 car le portefeuille totalise la plus-value en capital (dS dans le modle

continu) et le dividende (c St dt), que linvestisseur a le choix de rinvestir en action, en actif sans

risque, ou dans tout autre investissement qui lui parat opportun.

Laction qui distribue (note s dans la suite) prsente une difficult dans lanalyse en ce quelle

ne constitue pas un investissement autofinanc. Cest pourquoi il est utile, ce stade, dintroduire

un portefeuille autofinanc compos exclusivement de laction s.

Considrons donc un portefeuille initialement constitu de n0 actions s de prix S0 et dont la valeur initiale est n0S0. Aux dates ultrieures, aux n0 actions initiales se rajoutent les dividendes

perus en continu et le produit du placement de ces derniers. Supposons qu' chaque versement

de dividende, le montant peru est immdiatement rinvesti en action s. Ce rinvestissement a

deux consquences : le portefeuille est autofinanc ; le nombre dactions s dans le portefeuille crot continment. Nous pouvons alors interprter comme un fonds de capitalisation investi exclusivement en actions s.

Plus formellement, appelons nt le nombre dactions s dans le portefeuille , en date t ; le montant du dividende vers, nt c St dt, tant immdiatement investi en action, le nombre dactions s

dtenues par augmente de dnt avec : dnt = t tt

n c S dtS

= nt c dt ; soit :

t

t

dn cdtn

= nt = n0ec t

Le nombre de titres s contenus dans le portefeuille crot donc exponentiellement au taux c et, une date t quelconque, la valeur du fonds est est : V (t) = n0 e

c t St.

Situons-nous maintenant en t et considrons un investissement de St e-c(T-t) en une part de fonds

, qui permet dacqurir e- c(T-t) action s ; cet investissement donne, en date T, une action s valant ST : la stratgie autofinanante permet donc de dupliquer le flux ST en T moyennant un investissement de St e- c(T-t) en t.

14 Le lecteur familier de la thorie financire de lentreprise reconnatra ici lun des thormes de Modigliani et Miller, relatif la non pertinence de la politique de dividende en marchs parfaits.


19

La prise en considration de cette stratgie autofinanante va maintenant nous permettre dtablir simplement la relation de parit call-put ainsi que les formules dvaluation qui

sappliquent aux options sur supports au comptant distribuant une rmunration continue.

Proposition 5. Considrons un call et un put europens, de prix d'exercice K, de maturit T, et

crits sur un support au comptant de prix S versant un dividende continu au taux c constant ; r

est le taux dintrt continu prvalant en t pour les oprations de dure T-t.

En AOA, la relation de parit call-put scrit :

Ct Pt = e- c(T-t) St K e-r(T-t) (21) Dmonstration. Supposons, qu un instant quelconque t, la relation (21) ne soit pas satisfaite ;

par exemple : Ct Pt e- c(T-t) St + K e-r(T-t) > 0. Larbitrage qui tire parti dune telle anomalie

implique des oprations linstant initial t ainsi que sur toute la priode ]t, T [.

- A linstant initial t, il faut vendre le call, acheter le put et e- c(T-t) actions, et emprunter sur le

march montaire K e-r(T-t) sur la dure T-t ; lon encaisse alors le montant positif Ct Pt

e- c(T-t) St + K e-r(T-t).

- Entre t et T, il convient de suivre la stratgie dfinie plus haut qui consiste utiliser les dividendes verss pour acqurir de nouvelles actions ; comme on la montr, le nombre

dactions en portefeuille augmente exponentiellement au taux c de sorte que le portefeuille

contienne une action s en date terminale T. Insistons sur le fait que loprateur nencaisse et

ninvestit aucun flux montaire entre 0 et T.

- A lchance T des options, deux cas de figure peuvent se prsenter : ST < K ; ou ST K. Ils

sont reprsents dans les deux colonnes de droite du tableau ci-dessous qui indique la valeur

en T de chaque composante de la position ainsi que sa valeur globale nette, qui est nulle

dans les deux cas et donc certaine.

ST < K ST K

Put achet

e- c(T- t) action achete

Call vendu

Emprunt (march montaire)

K ST

ST 0

K

0

ST (ST K)

K


20

Valeur nette de la position 0 0

Cette opration, qui rapporte un flux positif son initiation, et qui ne se traduit par aucun flux

ngatif par la suite, est donc un arbitrage.

Dans lhypothse inverse o Pt Ct + e- c(T-t) St K e-r(T-t) > 0, larbitrage consiste en la vente

initiale du put, combin lachat du call, la vente dcouvert de e- c(T- t) titres et un prt,

suivies de ventes dcouvert de titres, en continu, destines financer les dividendes dus sur la

position courte. Ceci conclut la dmonstration.

Notons que cette relation, comme toutes les autres relations de parit call-put (voir le chapitre

prcdent), reste valide dans un contexte de taux variables et stochastiques, et que le prix

dexercice doit tre actualis laide du taux correspondant sa maturit (T-t en date t).

Nous pouvons maintenant traiter l'valuation des options europennes sur un support au comptant

versant une rmunration continue. Ici les taux r et c ainsi que la volatilit seront supposs

constants. Les rsultats prsents dans la proposition 6 ci-dessous constituent une extension du

modle de BS appele souvent modle de Merton , du nom de son auteur (modle publi en

1973, juste aprs celui de BS).

Proposition 6 (Merton). Soient un call et un put europens, de prix d'exercice K, de maturit T,

crits sur une action cote au comptant de prix S, versant un taux de dividende continu et

constant c; r, ,le taux sans risque, est suppos constant, et reprsente la volatilit (constante)

de S.

La valeur du call est donne par :

C(t, St) = St e-c(T-t)N(d1) K e-r(T-t)N(d2) (22)

La valeur du put est donne par :

P(t, St) = K e-r(T-t)N(-d2) St e-c(T-t)N(-d1) (23)

o N(u) dnote la fonction de rpartition de la loi normale centre rduite et:

d1 = 21

2ln ( )( )

( )

tS r c T tK

T t

+ +

; d2 = d1 )( tT (24)


21

Nous proposons deux dmonstrations trs simples de cette Proposition 6. La premire est dordre

mathmatique et sappuie sur la fonction dvaluation F de Black et Scholes, dfinie dans la

section prcdente (quation (18)). La deuxime a un caractre plus financier et fait intervenir le

fonds autofinanc dfini prcdemment. 1re dmonstration.

Considrons dabord le call crit sur un titre dont la valeur est rgie par lquation (20). Son

valuation par lesprance risque neutre du payoff terminal actualis scrit :

C(t, St) = EQ[max(ST K ,0)e-r(T-t)]

= EQ[max(2

2( )( )r c T t T t UtS e

+ K ,0)e-r(T-t)]

= EQ[max(2

2( )( )( )( ) r T t T t Uc T ttS e e +

K ,0)e-r(T-t)]

Rappelons la relation (18) qui dfinit la fonction dvaluation F :

F(t, x) = EQ[max(2

2( )( )r T t T t Uxe + K ,0)e-r(T-t)]

La comparaison des deux dernires quations donne immdiatement : C(t, St) = F(t, Ste-c(T-t)).

Ds lors, la relation (19) implique les rsultats (22) et (24).

Quant au put, sa formule dvaluation sobtient de la mme manire ou, plus simplement, partir

de la formule du call et de la relation de parit (21). Ceci conclut la premire dmonstration.

On aura remarqu que les formules (22-24) de Merton sobtiennent laide de celles de Black-

Scholes en remplaant dans ces dernires St par Ste-c(T-t). Ce rsultat sexplique intuitivement : la

distribution rduit la valeur de laction, exponentiellement, au taux c. Ds lors, toutes choses

gales par ailleurs, il est quivalent de disposer, en t, dune option sur un titre qui ne distribue pas

et qui vaut Ste- c(T-t) ou dune option sur un titre valant St qui distribue en continu, au taux c. Cette

intuition, prcise par un argument trs simple fond sur la stratgie prcdemment dfinie, conduit la deuxime dmonstration de la proposition 6.

2me dmonstration.

Considrons le fonds , autofinanc, dfini plus haut. Nous avons vu quune part de ce fonds dont la valeur est gale Ste-c(T-t) en t vaudra ST en T. Un call de strike K et dchance T, crit sur

une telle part du fonds , gnre un payoff en T gal max (ST K,0) et est donc strictement


22

quivalent un call crit sur laction s elle-mme. Qui plus est, ce call sur est valuable par la formule de BS standard (puisque ne distribue pas), condition dintroduire Ste-c(T-t) en lieu et place de St comme prix du sous-jacent, ce qui justifie le modle de Merton et conclut la dmonstration.

On retiendra donc que toutes les formules qui sappliquent dans ce contexte de distribution

continue sobtiennent partir de celles qui sobtiennent dans le cas dabsence de rmunration,

en substituant partout Ste-c(T-t) St. Cette substitution doit tre opre dans lvaluation du call

(formules donnant d1 et d2 incluses), dans lvaluation du put et dans la relation de parit call-put.

Le lecteur pourra donc, sans inconvnient, allger son effort de mmoire et ne retenir que la

relation de parit, la formule de BS et la rgle de passage.

Exemple 2. Mmes donnes que dans l'exemple 1 (Section I-3-c), mais le sous-jacent distribue un dividende continu de taux c = 3%. Le call et le put valent alors, respectivement, 31,823 et 49,29.

Pour conclure ce paragraphe, on notera que lajustement de la formule standard, ncessaire pour

quelle accommode la distribution de dividendes, sinterprte galement en termes de valeur

prsente des dividendes attendus entre t et T. En effet, comparons lachat en t dun titre s au prix

de St un investissement de Ste-c(T-t) en fonds . Dans les deux cas, la valeur terminale en T du portefeuille est gale ST . Hormis la mise de fonds initiale, la seule diffrence entre ces deux

investissements est que ne distribue rien et s distribue des dividendes entre t et T : la diffrence de valeur initiale, gale St Ste-c(T-t), correspond donc la valeur prsente (en t) des dividendes

distribus par s entre t et T.15 Lajustement consistant substituer Ste-c(T-t) St revient donc

simplement dduire du cours St du sous-jacent la valeur en t des dividendes attendus pendant la

dure de vie de loption. Cet ajustement apparat galement, et plus simplement, dans le modle

dividende discret, comme on va le montrer maintenant.

15 Ce rsultat, obtenu laide dun raisonnement financier, peut aussi tre obtenu par le calcul : la valeur prsente du

flux de dividendes c Sx dx]x(t, T), calcule sous Q, est gale : D* =( ) /

TQ r x tx tt

E e cS dx S ; et comme e-(r-c)xSx est une Q-martingale, lon a : EQ[Sxe-(r-c)(x-t) / St] = St . Do il vient : D* = cSt ( )

T c x t

te dx = St(1- e-c(T-t)).


23

b) Modle dividende discret

Le modle dividende continu est utile dans diffrents contextes (options sur indices, options sur

devises, options longues) o de nombreux dividendes sont attendus avant lchance de loption

et peuvent tre plus ou moins commodment reprsents par un flux continu. Les actions cotes

versent un dividende annuel (souvent trimestriel aux Etats-Unis), dont le montant est connu

quelques mois avant la date de versement. Les oprateurs sont de ce fait confronts un petit

nombre de dividendes discrets, plutt que continus. On note : s le support de loption de prix S, t

la date courante (aujourdhui) laquelle on opre lvaluation, D la valeur du (ou des)

dividende(s) percevoir entre les dates t et T que lon prsume connus16, D* la valeur de ce(s)

mme(s) dividende(s), actualis(s) en date t.

Dans le mme esprit que dans le paragraphe prcdent, nous dfinissons un portefeuille , autofinanc entre t et T, dont la valeur en T sera certainement gale ST.

Pour simplifier, nous considrons dabord le cas dun seul dividende D attendu en ]t, T [. La stratgie consiste acheter, en date t, une action s au prix St et emprunter D* jusquen , donc sur une dure t ; laction est conserve jusquen T et en date le dividende quelle

distribue permet de rembourser lemprunt. Plus prcisment :

- En date t, linvestissement requis, donc la valeur du portefeuille , est: V(t) = St D* ; - En date , le remboursement de lemprunt, dun montant D, est assur par le dividende du

mme montant, vers au mme instant par laction s dtenue ; aucun flux net nest donc peru ou

pay cette date et la stratgie conserve son caractre autofinanant.

- En date T, laction s dtenue vaut ST, donc V(T) = ST.

Dans le cas o plusieurs coupons D1, D2, , DN sont distribus par le sous-jacent entre t et T aux

dates t1, t2,..., tN, la stratgie consiste, en date t, acheter le support s et contracter un emprunt dun montant D* ; ce dernier est rembours en t1, t2,..., tN selon lchancier D1, D2, , DN,

synchronis avec les dividendes : largument prcdent sapplique donc et linvestissement de St

D* donne ST en T, sans quaucune entre ou sortie de trsorerie entre t et T ne vienne altrer le

caractre autofinanant de lopration.

16 Dans le cas o ces dividendes ne sont pas connus, il est ncessaire d'en dfinir l'esprance risque neutre actualise. Remarquons que cette information peut tre dduite de la comparaison entre le prix au comptant et le prix terme si ce dernier est cot sur un march. La relation comptant-terme (cash-and-carry) fait en effet apparatre l'esprance risque neutre du dividende percevoir entre la date de cotation et la date d'chance du contrat terme.


24

Cest dailleurs la possibilit de mise en uvre dune telle stratgie qui fondait la justification

donne dans le chapitre prcdent de la relation de parit call-put sappliquant en prsence de

dividendes et constituant une condition dabsence dopportunits darbitrage.

Nous rcrivons ici cette relation de parit, pour mmoire:

Ct Pt = (St D*) K e-r(T-t) (25)

Ladaptation du modle de BS ce contexte de coupons discrets fait lobjet de la proposition

suivante :

Proposition 7 (dividendes discrets). Soient un call et un put europens, de mmes prix et de

date dexercice K et T, crits sur le mme support au comptant distribuant des dividendes entre t

et T dont la valeur prsente en t est note D*. Dans le cas dun taux sans risque r et dune

volatilit constants, lvaluation des options sopre laide des formules de Black et Scholes

(proposition 2) dans lesquelles St est remplac par St D*. Soit :

C(t, St) = (St D*) N(d1) K e-r(T-t)N(d2) (26)

P(t, St) = K e-r(T-t)N(-d2) (St D*) N(-d1) (27)

d1 =

*21

2ln ( )( )

( )

tS D r T tK

T t

+ +

; d2 = d1 )( tT (28)

Dmonstration.

Considrons une option europenne, de prix dexercice K et dchance T, crite sur une part du

fonds qui vaut (St D*) en t et ST en T. Sa valeur est donne par le modle de BS, applicable du fait que ne distribue rien, ce qui montre quelle est conforme (26), (27), (28). Mais le payoff dune telle option est identique celui dune option de mme nature et mmes date et prix

dexercice, crite sur s. Les deux options ont donc la mme valeur tout instant, ce qui dmontre

quune option sur s est value par (26), (27), (28), conformment ce qui est affirm. Ceci

conclut la dmonstration.

Le lecteur aura not la forte analogie entre les modles dividende continu et dividendes

discrets. Les formules sobtiennent partir des relations standard en remplaant St par St e-ct ou

par St D*, respectivement : dans les deux cas il faut retrancher du cours St de laction la valeur


25

prsente des dividendes attendus (St (1 e-ct) ou D*).

Une fois encore, remarquons que la validit de la relation de parit prsente en (25) nest pas

subordonne quelque hypothse que ce soit sur lvolution des taux ; notons simplement que

dans un contexte de taux non constants la courbe des taux nest pas en gnral plate et que les

dividendes ainsi que le prix dexercice doivent ainsi tre actualiss laide des taux

correspondant leur maturit.

A contrario, le modle dvaluation (26-28) prsume les taux constants, donc une gamme des

taux plate, dans la version standard que nous venons de prsenter (cf. 6 infra pour une extension

au cas de taux stochastiques).

Exemple 3. Mmes donnes que l'exemple 1 (section I-3-c), avec en outre le paiement d'un

dividende de 14 dans 53 jours (valeur actualise = 13,90). Le lecteur vrifiera que le call ne

vaut plus alors que 27,23 mais que le put, en revanche, vaut 54,91.

2 Options sur matires premires

Le cas des options sur matires premires peut tre facilement trait laide du modle de

Merton expos au paragraphe prcdent. On a montr au chapitre 10 l'existence d'un

"convenience yield" c qui traduit la fois lventuel avantage de disposer physiquement de la

matire premire, le cot de son stockage et la liquidit du march (stocks disponibles attendus

dans le futur, etc.). Le convenience yield fonctionne techniquement exactement comme un

dividende qui diminuerait (lorsquil est positif) lesprance de la croissance du prix de la matire

premire sur le march au comptant (nous avons pour cette raison maintenu la mme notation c

pour dsigner les deux concepts). La dynamique risque neutre du prix S d'une matire premire

est donc gnralement reprsente dans l'univers risque neutre de BS comme solution d'une

quation diffrentielle stochastique du type (20) :

( ) ,t tt

dS r c dt dWS

= +

o le taux sans risque r, le convenience yield c et la volatilit sont tous supposs constants et

(Wt)t0 est un mouvement brownien standard sous la probabilit risque neutre Q. Ce modle

Supprim : IX


26

d'volution nous permet de conclure que les Propositions 5 et 6 sont valides dans le cas dune

option sur matire premire, en interprtant c comme le convenience yield .

Notons toutefois que la plupart des options sur matires premires sont crites sur des prix

futures. Le rsultat qui vient d'tre nonc n'est valable que pour des options sur le march des

matires au comptant. Dans la pratique, un oprateur utilisera donc souvent la formule de Black,

prsente au paragraphe 4 suivant (il naura alors pas tenir compte du convenience yield ).

3. Options sur taux de change

Les options sur taux de change peuvent galement tre values par la formule de Merton

(Proposition 6). Pour dmontrer ce rsultat, il faut crire la dynamique risque-neutre du taux de

change, et prouver que cette dynamique est similaire celle d'une action versant un dividende

continu. La paternit de ce raisonnement revient Garman et Kohlhagen (1983), d'o le nom

usuellement donne la formule d'valuation des options sur taux de change. Considrons un

taux de change spot (au comptant), dont on note St la valeur en date t. Ce taux de change

reprsente la valeur d'une unit de monnaie trangre, exprime en monnaie domestique (par

exemple, St = valeur de 1$, en Euros). On note f (pour foreign) l'conomie trangre, et d

l'conomie domestique. On suppose par ailleurs que chaque conomie est dote d'un march de

prt-emprunt, dont les taux respectifs, prsums constants, sont nots rf et rd. Nous nous plaons

dans le cadre de BS pour dcrire l'volution alatoire de St . Sous la probabilit risque neutre, le

processus (St)t0 suit le mouvement brownien gomtrique :

tt

t

dS dt dWS

= + (29)

o est un paramtre de tendance constant, est un paramtre de volatilit galement constant, et (Wt)t0 reprsente un mouvement brownien standard sous la probabilit risque neutre Q. La

premire question qui se pose est celle de la dtermination du paramtre de tendance du taux de change.

Par un raisonnement d'arbitrage similaire celui appliqu une action versant un dividende, nous

allons construire un portefeuille autofinanant dont la valeur libelle en monnaie domestique dpend explicitement du taux de change. Nous crirons ensuite que la tendance risque neutre de

ce portefeuille est gal rd, dans l'conomie domestique dans laquelle nous nous plaons.

Considrons donc le portefeuille autofinanant suivant : en date 0, une unit de monnaie


27

domestique est change contre un montant nominal 0

1S

de monnaie trangre. La monnaie

trangre ainsi obtenue est place au taux sans risque tranger rf , avec rinvestissement

(capitalisation) des intrts.

L'encours du portefeuille en monnaie trangre en date t est donc 0

1 .fr teS

Exprime en monnaie

domestique, la valeur de ce portefeuille est par consquent :

0

fr ttt

S eS

= (30)

Il nous reste dduire de l'quation (30) la dynamique risque neutre de t. Par utilisation de la

formule d'It, nous obtenons:

0 0

1 .f fr t r ttt t fSd e dS r e dt

S S = +

En divisant membre membre cette dernire quation par (30) on obtient :

t tf

t t

d dS r dtS

= +

En remplaant dSt par son expression (29), on obtient:

( ) .t f tt

d r dt dW

= + +

On utilise maintenant la proprit selon laquelle tout portefeuille autofinanant libell en

monnaie d a une tendance risque neutre gale rd pour en dduire que :

+ rf = rd On aboutit ainsi la proposition suivante :

Proposition 8. Dans lunivers risque neutre o prvaut la probabilit Q, le taux de change S

(qui exprime le prix de la monnaie f en termes de monnaie d) est rgi par lquation diffrentielle

stochastique suivante :

( )t d f tt

dS r r dt dWS

= + (31)

la tendance risque neutre du taux de change tant gale la diffrence entre le taux domestique

et le taux tranger.

Intuitivement, ce rsultat sexplique trs simplement : un placement montaire tranger rapporte,


28

en termes de monnaie nationale, rf plus lapprciation du taux de change. Dans lunivers risque

neutre, cette rentabilit (alatoire cause du change) doit avoir une esprance gale rd ; comme

lesprance de variation du change est gale , on a ncessairement : rf + = rd , sous Q.

On remarquera que le taux tranger fonctionne exactement pour le taux de change comme le taux

de dividende (continu) pour une action. Il nous suffit donc maintenant d'appliquer les rsultats de

la proposition 6, en remplaant le paramtre r par rd et c par rf, pour obtenir les rsultats de

Garman-Kohlhagen.

Proposition 9 (Garman-Kohlhagen). Dans le contexte et avec les notations de ce paragraphe,

la valeur du call sur le taux de change S est donne par :

C(t, St) = St e-rf (T-t)N(d1) K e-rd (T-t)N(d2) (32)

et celle du put par :

P(t, St) = K e- rd (T-t)N(-d2) St e- rf (T-t)N(-d1) (33)

d1 = 21

2ln ( )( )

( )

td f

S r r T tK

T t

+ +

; d2 = d1 )( tT (34)

de plus, la relation de parit call-put scrit :

Ct Pt = St e-rf (T-t) K e-rd (T-t) (35)

Les formules ci-dessus sont rgulirement utilises par les oprateurs travaillant sur les taux de

change. Nous renvoyons le lecteur au chapitre 9 pour une prsentation dtaille de ce march.

4. Options sur contrats terme

Les options sur contrats terme sont trs frquemment utilises sur les marchs organiss, les

produits optionnels tant souvent dfinis sur les contrats futures. Ceci est particulirement vrai

des matires premires, pour lesquelles il n'existe pratiquement pas de march doptions crites

sur les prix au comptant (pour des raisons videntes de temps de livraison).

Sans spcifier la nature du sous-jacent, nous allons noncer puis dmontrer la proposition

suivante concernant le prix de cotation dun contrat futures. La premire dmonstration est

rigoureuse, la seconde plus intuitive.

Mis en forme : Couleur depolice : Automatique


Supprim : ***


29

Proposition 10. Dans lunivers risque neutre o prvaut la probabilit Q, le prix de cotation

dun contrat future suit une martingale ; en supposant la volatilit constante on crira : '

' .T

ttT

t

dF dWF

= (36)

o 'TtF est le prix de cotation en t dun contrat futures dchance T et (Wt)t0 reprsente un

mouvement brownien standard sous Q.

1re dmonstration.

Considrons un portefeuille , autofinanc, contenant, chaque instant t, de lactif sans risque pour une valeur t et un contrat futures dchance T dont le prix de cotation en t est FtT.

rappelons que la valeur de march de ce contrat est constamment nulle du fait des appels de

marge d FtT= 'Tt dtF + FtT supposs verss en continu. Les marges positives gnres par le contrat

sont instantanment utilises acqurir lactif sans risque (prts) et les marges ngatives sont

couvertes par des ventes dactif sans risque (emprunts) de manire conserver le caractre

autofinanant du portefeuille . Par ailleurs, t reprsente la valeur en t du portefeuille aussi bien que celle de sa composante investie en actif sans risque (puisque la valeur du contrat futures

est nulle). Ds lors, la dynamique de t, entre t et t+dt, scrit :

dt = rt t dt + d FtT (37)

La premire composante, constitue des intrts gnrs par lactif sans risque, est calcule

laide dun taux rt quil nest pas ncessaire ici de prsumer constant, ni mme dterministe. La

deuxime composante reprsente la marge du contrat futures.

Dans lunivers risque neutre, le prix futures est prsum suivre lquation diffrentielle

stochastique :

d FtT= FtT (t dt + dWt) (38)

La Proposition 10 (quation (36)), que nous devons dmontrer, affirme que t = 0. En rapprochant (37) et (38), on obtient :

dt = ( rt t + FtTt ) dt + FtTdWt (39)

Rappelons que le portefeuille dont reprsente la valeur est autofinanant : sa tendance sous Q


30

est donc gale rt : dt = rt t dt + 't t dWt. La comparaison de cette dernire relation avec

(39) permet alors de conclure que t = 0, ce qui dmontre la Proposition.

2me dmonstration.

Considrons lachat en t dun contrat future dchance T de prix de cotation FtT; lopration

induit en t +dt une marge d FtT= 'Tt dtF + FtT. Comme la mise de fonds en t est nulle, dans

lunivers risque neutre on doit avoir E[d FtT/ FtT] = 0, sous peine dune esprance de rentabilit

() infinie. Ds lors par intgration, pour tout t > t : E[ ''T

tF /FtT] FtT=

' ' '/ 0t T T

u ttE dF F = , ce

qui prouve le caractre martingale de FtT. Comme dans la prcdente dmonstration, le taux rt

peut tre stochastique.

On retiendra donc que le prix futures suit un processus martingale sous la probabilit risque

neutre. Notons que ce rsultat est valide pour un prix forward quand celui-ci est gal au prix

futures, c'est--dire dans un univers de taux dterministes, mais ne lest pas quand les deux prix

terme diffrent, c'est--dire quand les taux sont stochastiques (cf le chapitre 10).

On retiendra aussi que la comparaison des dynamiques du prix futures et du prix comptant

(quations (20) et (36)) permet de considrer que le contrat futures fonctionne comme un actif au

comptant qui distribue une rmunration continue au taux c = r, annulant de ce fait la tendance

risque neutre.

Considrons maintenant un call (put) europen sur futures, de maturit T T, ayant pour payoff

final : 'max( ,0)TTF K ('max( ,0)TTK F pour le put). Il suffit d'appliquer les rsultats des

Propositions 5 et 6 en remplaant le paramtre c par r, pour obtenir la relation de parit call-put

et la formule d'valuation dite de Black.

On rappelle la relation de parit call-put, traite dans le chapitre prcdent, valable pour des

options sur contrats forward :

Ct Pt = e-r (T-t) [FtT K ] (40)

o r reprsente le taux dintrt prvalant en t pour des oprations de dure T-t.

Cette relation de parit sapplique des contrats forward et ne repose pas sur lhypothse de taux

dintrt constants ; dans le cas de futures, elle nest valide que pour des taux non stochastiques


Supprim : ***).


31

(sous lesquels les prix forward et futures sont identiques).

La formule de Black standard prsente dans la proposition qui suit postule des taux constants et

sapplique donc aux forward comme aux futures.

Proposition 11(modle de Black). Soient un call et un put europens, de prix d'exercice K, de

maturit T, crits sur un contrat terme dchance T dont le prix de cotation en t est 'TtF . Le

taux sans risque r et la volatilit du prix terme ( futures ou forward) sont supposs

constants. Les valeurs du call et du put sont alors respectivement donnes par :

C(t, FtT) = e-r(T-t) [FtT N(d1) K N(d2) ] (41)

P(t, FtT) = e-r(T-t) [ K N(-d2) FtTN(-d1)] (42)

d1 =

'21

2ln ( )

( )

TtF T tK

T t

+

; d2 = d1 )( tT (43)

Notons que les deux termes des primes du call et du put sont actualiss au taux sans risque r. Le

taux r fonctionne en effet comme un dividende vers par le contrat terme. Il faut donc

actualiser le prix future FtT dans le premier terme de la prime du call (de mme pour le second

terme de la prime du put). Remarquons par ailleurs que le taux r a disparu de la dfinition (43)

des quantits d1 et d2. En effet, la densit de probabilit du prix future en date T (cf. la solution

intgrale de lquation (36)) ne dpend ni du taux d'intrt, ni du taux de dividende vers par le

titre support. Remarquons enfin que la valeur de l'option sur contrat futures ne dpend pas du fait

que le support verse un dividende, au contraire de l'option sur l'action elle-mme. L'impact de

lventuel versement de dividende est en effet compltement intgr dans la relation comptant-

terme.

Il est important dinsister sur le fait que :

- Dans un univers de taux constants (ou, un peu plus gnralement, dterministes17), tous les

rsultats prcdents prvalent pour les forward comme pour les futures;

- Dans un univers de taux stochastiques, le prix forward nest pas une martingale sous Q, et la

dynamique (36) nest pas celle dun prix forward. Par ailleurs, le modle de Black (comme celui

17 Si les taux sont dterministes, il suffit de remplacer le terme e-r(T-t) par exp- ( )

T

tr s ds .


32

de BS) doit tre adapt au contexte de taux stochastiques. Cette adaptation sera mene au

paragraphe 7 ci-dessous.

Exemple 4 - Soient un call et un put crits sur le contrat Eurobund notionnel septembre n, de prix d'exercice 101. Le contrat septembre cote 100,80 , son chance est dans 4 mois (122 jours) et sa volatilit est estime 6%. Le taux montaire 4 mois est de 5 % (discret). L'application de la formule de Black donne C = 1,278 et P = 1,474 et l'on vrifie la parit call-put C-P = (F-K)e-r(T-t) = -0,196.

5. Volatilit variable

La formule de BS a t drive sous lhypothse dune volatilit constante du titre sous-jacent.

Elle reste heureusement valide, nous allons le montrer, en cas de volatilit variable, mais

toutefois dterministe (on suppose connue en date t l'volution de la volatilit entre t et T)18.

Appelons t la volatilit de l'action en date t. Pour la clart de l'expos, et sans relle perte de

gnralit, nous supposons que l'action ne verse pas de dividende. Si tel n'tait pas le cas, il

suffirait de remplacer la tendance risque neutre de S par r - c. Nous supposerons donc que la

dynamique risque neutre de S est donne par :

.t t tt

dS rdt dWS

= + (44)

Le seul changement avec l'quation diffrentielle stochastique (14) rgissant St dans le modle

standard rside dans le caractre non constant du paramtre t.

Nous avons vu plus haut que la prime d'une option europenne est calcule comme lesprance

de son flux futur actualis. Nous allons donc tudier la densit de probabilit du prix ST l'action,

et comparer cette dernire la densit que nous avons obtenue dans le cas d'une volatilit

constante. L'application de la formule d'It au processus (Yt)t0 dfini par Yt = ln (St) donne:

2 22

1 1 12t t t tt t

dY dS S dtS S

=

En remplaant dSt par son expression dduite de (44), on obtient :

18 Le cas dune volatilit stochastique pose des problmes beaucoup plus redoutables qui empchent lobtention de formules explicites la BS. La raison en est que lon perd alors le caractre gaussien de la composante alatoire de la rentabilit. Voir le chapitre xxx.


33

212

212( )

t t t t

t t t

dY rdt dW dtr dt dW

= +

= +

En intgrant cette quation diffrentielle stochastique entre t et T, on obtient :

2 21 1ln ( ) ( ) .2 2

T T T TTT t s s s s s st t t t

t

SY Y r ds dW r T t ds dWS

= = + = + Cette dernire expression fait intervenir deux intgrales : T s st dW et 2T st ds . On sait d'aprs l'Annexe Gnrale II que l'intgrale stochastique T s st dW , lorsque s est une fonction dterministe de s, est une gaussienne centre de variance 2T st ds , tout comme

( )T s T tt dW W W = tait chez BS une gaussienne centre de variance 2 ( )T t . On obtient donc le rsultat suivant :

Proposition 12. Lorsque la volatilit de St est une fonction t dterministe du temps, le

logarithme du rapport ST /St suit une loi gaussienne :

- de variance S =2Tst ds

- de moyenne r (T t) 12

2Tst ds .

En appelant la volatilit moyenne du support entre t et T, dfinie par :

2 = 21 T st dsT t

= svT t

(45)

on peut crire :

ST = St 2

2( )( )r T t T t Ue + (46)

o U est une gaussienne centre rduite.

On retiendra de cette proposition que la seule diffrence entre ce cas de volatilit variable

dterministe et celui d'une volatilit constante est que la volatilit moyenne remplace

dans l'expression de ST (comparer notamment (16-b) (46)). Toutes les formules dvaluation

doptions dont le payoff dpend de ST sobtiennent donc partir des formules relatives une

volatilit constante en remplaant simplement par . Ces constatations peuvent tre rsumes

sous forme de la proposition suivante :


34

Proposition 13. Dans le cas o la volatilit du support nest pas constante mais est considre

comme dterministe, et en appelant la volatilit moyenne du support entre t et T dfinie par

lquation (45), les modles de type Black-Scholes dvelopps dans les paragraphes prcdents

(et qui sont dcrits dans les propositions 2, 6, 7, 9, et 11) restent valables condition de

remplacer par dans toutes les formules.

Ce rsultat est trs intuitif : cest la volatilit moyenne du support entre t et T qui dtermine la

variance vS = (T-t) 2 de ln(ST) et il nest donc pas surprenant quelle dtermine le prix de

loption europenne qui choit en T. Ces rsultats montrent que le paramtre de volatilit dans

les formules de type BS doit tre considr davantage comme un quantificateur de la variance du

logarithme du prix ST, que comme un paramtre fixe qui figerait le modle d'volution de l'action.

On retiendra galement que l'hypothse essentielle pour aboutir une formule de type BS est la

proprit gaussienne du logarithme du prix, et que l'indicateur important est la variance de cette

gaussienne. Remarquons toutefois que cette proprit de normalit du logarithme du prix n'est

respecte que lorsque la fonction t dpend de faon dterministe du temps. Tout autre modle de

volatilit (modles volatilit stochastique) conduit se dpartir de la formule de BS.

6. Taux stochastiques

Nous tudions dans cette partie l'influence d'un taux alatoire sur la formule de BS. De mme

qu'il est peu probable que le "vrai" paramtre de volatilit d'une action soit constant dans le

temps, le taux sans risque r na que trs peu de chances de rester stable au cours de la vie d'une

option. En fait, le march de prt-emprunt rpondant aux rgles l'offre et de la demande, le taux

d'intrt court terme volue continment et alatoirement. Nous allons maintenant dmontrer

que la nature stochastique du taux d'intrt n'invalide pas le modle de Black et Scholes. Il sagit

dun rsultat important, qui tmoigne de la robustesse et de ladaptabilit de ce modle. Une

restriction grve toutefois ce rsultat : la distribution de ln(ST) doit rester gaussienne.

Comme on la dj remarqu, tant que le taux dintrt est suppos constant, il ny a pas lieu de

distinguer les taux de diffrentes maturits. En effet, un prt court terme au taux r avec


35

rinvestissement en continu du capital et des intrts qui donne avec certitude erT dans T priodes

est lquivalent dun prt sur une dure T au taux rT qui donne erTT : en AOA, rT = r pour toutes

les maturits T et la courbe des taux est plate. Tel nest pas le cas quand les taux sont

stochastiques (car les rinvestissements des prts court terme se font des taux alatoires vus

de linstant initial) et lon doit alors distinguer les diffrents taux rT. Nous noterons BT,t le prix en

t dun titre zro coupon dlivrant 1 en T et qui scrit, en termes du taux rT-t(t) de maturit T-t :

BT,t = er

T-t(t) (T-t).

On considrera galement le prix forward (du titre sous-jacent) dchance T (identique

lchance de loption valuer). Ce prix forward sera not T,t pour le distinguer du prix futures

F T,t , puisquils diffrent dans le contexte de taux stochastiques. En absence de distribution de la

part du sous-jacent, dont le prix au comptant est not St, la relation comptant-terme permet

dcrire :

T,t = ,

t

T t

SB

(48)

Rappelons que T,T = ST (les prix au comptant et terme concident lchance en AOA), et

que BT,T = 1.

On admet par ailleurs que la volatilit t du prix forward est dterministe et on suppose :

,

,

T t

T t

d

= mt dt + t dWt (49)

(le terme de tendance mt dpendant videmment de la probabilit sous laquelle cette dynamique

est crite).

On note enfin la moyenne de la volatilit de ce prix forward sur (t, T) dfinie par :

2 = 21 T xt dxT t

(50)

Nous sommes maintenant en mesure dnoncer la proposition suivante qui constitue la

formulation la plus gnrale du modle dvaluation doptions prsente dans ce chapitre.

Proposition 14. Soient un call et un put europens, de mmes prix et date dexercice K et T,

crits sur le mme support de prix St spot et T,t forward. On adopte les hypothses et notations

(49) et (50) concernant le prix forward.


36

i) En absence de distribution de la part du sous-jacent, les primes de ces deux options sont

donnes par les formules standard de Black et Scholes dans lesquelles la volatilit moyenne du

prix forward, , se substitue celle du prix spot () et le taux rT-t(t) du zro-coupon dchance T se substitue au taux court terme r. On peut donc crire :

Ct = St N(d1) K erT-t(t)(T-t)N(d2) (51)

Pt = K erT-t(t)(T-t)N(- d2) St N(- d1) (52)

Avec : d1 =

21ln ( ( ) )( )2

( )

tT t

S r t T tK

T t

+ +

; d2 = d1 - ( )T t (53)

(ii) La volatilit du prix forward dpend des volatilits du sous-jacent et du zro-coupon

conformment aux relations suivantes :

t2 = S

2(t) + B2(t) 2 BS(t) (54)

(S tant la volatilit de St , B celle de BT-t et BS la covariance instantane des rendements de B

et de S), et :

2 = 1 TtT t (S2(u) + B

2(u) 2 BS(u))du (55)

(iii) La variance vS de ST est dtermine par la moyenne de la volatilit du prix forward sur la

priode (t, T), conformment la relation :

vS = 2T xt dx = (T-t) 2

(iv) En prsence de distribution de la part du sous-jacent, les formules ci-dessus restent valables

condition de remplacer St par (St valeur prsente des dividendes attendus entre t et T).

*Dmonstration.

Largument sappuie sur un changement de numraire dont le principe est expos en Annexe 2

de ce chapitre. Il est recommand au lecteur vitant cette dmonstration de simprgner des

remarques qui la suivent.

(i) Considrons le cas dun support ne distribuant aucun dividende entre linstant t et lchance T

de loption.

Rappelons tout dabord un rsultat prsent dans la proposition de lannexe 2 et qui gnralise la


37

Proposition 4 : il existe une probabilit pour laquelle la valeur de tout portefeuille autofinanc

libelle en numraire BT,t (donc son prix forward) est une martingale. Cette probabilit, appele

forward-neutre , sera note QT dans la suite. Nous pouvons donc crire :

,

t

T t

SB

= T,t = EQT [,

T

T T

SB

] (,

t

T t

SB

est une QT -martingale puisque S ne distribue pas)

= EQT [ST] = EQT [T,T] (puisque BT,T = 1 et T,T = ST ).

En appliquant le mme principe au call de prix Ct et dchance T, lon a :

,

t

T t

CB

= EQT [,

T

T T

CB

] = EQT [max (ST K ,0)] (56)

En outre, puisque T,t est une QT martingale volatilit dterministe, la dynamique (49) de T,t scrit sous QT :

, *

,

T tt t

T t

ddW

=

T,T = T,t

22 ( )T t T t Ue + ST =

,

t

T t

SB

22 ( )T t T t Ue +

o (Wt*) est un brownien standard, U est une gaussienne standardise sous QT et

2 = 21 T xt dxT t

dsigne la volatilit moyenne du prix forward, lie la variance vS de T,T

ST par la relation : 2 = sv

T t.

Ds lors (56) implique :

,

t

T t

CB

= EQT [max (ST K ,0)] = EQT [max (,

t

T t

SB

22 ( )T t T t Ue + K ,0)] ; ou encore:

Ct = e-rT-t(t)(T-t)EQT [max (St 2

2( ( ) )( )T tr t T t T t Ue

+ K ,0)] (57)

Ce rsultat montre que la formule de BS reste valide dans un contexte de taux stochastiques et de

volatilit variable dterministe du prix forward, condition dutiliser le taux zro-coupon de

maturit T-t et la volatilit moyenne du prix forward sur (t, T) comme arguments de la fonction

dvaluation (comparer (57) (18)).

(ii) Il existe un lien entre la volatilit du prix forward et celles du sous-jacent et du zro-coupon ;

en effet, la formule dIt applique (48) implique :

dSt = T,t dBT,t + BT,t dT,t + < dBT,t dT,t >


38

Ou encore, en divisant le terme de gauche par St et celui de droite par BT,t T,t :

, , , ,

, , , ,

T t T t T t T tt

t T t T t T t T t

dB d dB ddSS B B

= + + < >

ce qui implique que

2(t) t2 = S

2(t) + B2(t) 2 BS(t) ; ds lors :

2 = 1 TtT t (S2(u) + B

2(u) 2 BS(u))du.

(iii) On a dj remarqu que la volatilit moyenne du prix forward est lie la variance vS de T,T

ST par la relation : 2 = sv

T t.

(iv) Les arguments dvelopps dans les paragraphes prcdents relatifs aux cas de rmunration

sappliquent ici, mutatis mutandis.

Ceci conclut la dmonstration.

Remarques.

- Lquation (54) implique que, pour que la volatilit du prix forward soit dterministe, il faut

que les volatilits du prix comptant et celles du zro-coupon le soient aussi, sauf parfaite

corrlation et compensation irraliste entre les deux.

- En fait la formule de BS est inchange par l'introduction de taux stochastiques, la

condition de conserver au modle son caractre gaussien19. Plusieurs ajustements sont

cependant ncessaires, qui mritent dtre souligns : - Tout d'abord il est ncessaire, lorsqu'on utilise en pratique la formule de BS, de choisir pour r

le taux zro-coupon de maturit T-t (plutt que le taux au jour le jour (EONIA) cot sur le

march montaire).

- Le paramtre de volatilit , qui s'interprte comme la volatilit du prix forward prvalant

en moyenne entre t et T , fait intervenir non seulement la volatilit de l'action, mais aussi

celle des taux, ainsi que leur corrlation (cf lquation (55)). Par ailleurs, la variance vS du

logarithme du prix ST est dtermine par la volatilit du prix forward (vS = 2T xt dx = (T-t)

19 Il faut par consquent que le prix du zro-coupon obisse un processus lognormal. Pour ce faire, puisquen AOA

le prix du zro-coupon BT,t est gal exp( ( , ) )T

tf t s ds o f(t,s) est le taux forward instantan prvalant en t pour

lchance s (>t), il faut que les taux forward instantans soient gaussiens.


39

2).

Ds lors, le paramtre apparaissant dans la formule de BS doit tre calibr de faon

reprsenter la totalit de la variance du logarithme du prix. Ce paramtre englobe de ce fait

plusieurs effets, savoir la volatilit de l'action, celle du taux zro-coupon et la corrlation

entre les deux. Ces remarques nous conduisent naturellement consacrer le chapitre suivant

la mise en oeuvre de la formule de BS. Nous y tudierons galement les stratgies

dynamiques de duplication.

7. Option dchange (modle de Margrabe)

Un type doption devenu trs populaire, et qui concerne potentiellement tous les genres de

supports, est loption dchange dun actif risqu (dont le prix est not S) contre un autre (de prix

X). Lvaluation originale en a t faite, avec une technique de rsolution trs lourde, par W.

Margrabe (1978). Le payoff dune telle option europenne, dchance T, scrit :

max (ST XT ,0)

o les valeurs initiales des deux titres ont t en gnral normalises de sorte que S0 = X0. Par

ailleurs, dans lhypothse ou aucun de ces deux actifs ne distribue de rmunration, sous la

probabilit risque neutre Q la dynamique des prix de ces deux actifs est suppose scrire :

( ) ( )t t S St

dS r dt t dW tS

= + et ( ) ( )t t X Xt

dX r dt t dW tX

= +

o rt est le taux sans risque, qui peut tre stochastique, les volatilits individuelles sont variables

et les deux browniens sont en gnral corrls.

La valeur dune telle option fait lobjet de la proposition suivante.

Proposition 15 (formule de Margrabe). Soient deux actifs risqus S et X ne distribuant pas de

rmunration entre la date dvaluation et lchance de loption.

(i) Quand la volatilit du ratio St/Xt est dterministe, la valeur de loption europenne qui

permet dchanger S contre X est donne par une formule de type BS :

Ct= St N(d1)

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