PajaritaDescocottesetdesmaths

Avril2016

Pavage:définitionsRecouvrementd'unespaceaffinedonné,àl'aidedefiguresoudemotifsidentiques,ayantencommundeuxàdeuxuniquementdespartiesdeleursfrontières.

Larousse

Mathématiquementc'estunrecouvrementcompletduplansanstrounisuperposition.Lemotifdebases'appelleune"tuile".Leprincipeestensuitederecopierlatuileetdeladéplacerpourcompléterlepavage.6

APMEP

Pourquoitravaillerlespavages?

DespavagespartoutetàtouteslesépoquesChacun,danssonexpériencequotidienne,acroisédespavagesetdesfrises,naturellesouartistiques.Travaillersurlethèmedespavagespermetuneentréeculturelledifférentedelaplupartdesobjetsétudiésparlesélèvesdenosclasses.Ilsserontnaturellementamenésà«fairedesmaths»pourcomprendre,maisresterontenlienfortavecl’artetl’histoire:unpavagepermetl’exercicedesmathématiques,ycomprisàtrèshautniveau,enrestantenlienavecl’humain,lesensible,l’artistique.DesentréesdiversespourtoucherdesprofilsmentauxdifférentsObserverunpavage,pouvoirendécrirecertainsélémentsestaccessibleetfacilitéparleurattractivitéartistique.Maispourdépasserlaseuleperception,ilfautcomprendre.Legestementaldecompréhension(decumprehendere,prendreavecsoi)consisteàfairesienunobjetd’apprentissage,etpassesouventparl’établissementdeliensdecomparaison,dehiérarchisation.Orlespavagespermettentdesclassificationsdemultiplesordres,desentréesdenaturestrèsdiverses:parépoque,partypedemotif,parsource(mondevégétal,animal),pardescritèresmathématiques,etc.L’entréeparlesmathématiquespermetunedifférenciationimportanteetdestâchestrèsvariéesetnombreuses,del’écoleprimaireàl’enseignementuniversitaire.UnthèmetransdisciplinaireCethème,par«sonancienneté,soncaractèred’universalité»1,peutmobiliserlesenseignantsd’artsplastiques,d’histoireetgéographie,demathématiques,detechnologie,delettres,delanguesanciennes,delanguesvivantes…Onpourraprolongerletravailparl’étuded’œuvresdel’artgothiqueàl’artcontemporain,detravauxtelsqueceuxd’Escher,laconceptiondejardins,lessangakus2,etc.Travaillersurlespavagespermetuneutilisationenrichissantedesnouvellestechnologies,parexemplepourvisualiserlesdéplacementsdesformespourpaverleplan,oupourenconcevoir4.

Lemotifdetypepajarita

Lemot"pajarita"peutêtretraduitpar«cocotteenpapier».AGrenade,lemotiffiguredansl’Alhambra,surdesmursdupatiodelosArrayanes.Lafiguredebasedelapajaritaestletriangleéquilatéral.

Lesétapesd’uneconstructionpossibledelapajaritasontproposéessurlapagesuivante.

Lafiguredebaseestletriangleéquilatéral

Onplacelesmilieuxdechaquecôtédutriangle

Ontraceunepremièremédiatrice,celled’un

«demi-côté».

Onprocèdedemêmepourlesautrescôtésdu

triangledebase.Lesmédiatricessecoupentdeuxàdeux,définissanttroispointsd’intersection.

Cespointsd’intersectionsontlescentresd’arcsdecerclesintérieursautriangle

équilatéral,limitésparles«demi-côtés».

Chaqueintersection«arcdecercle-

médiatrice»définitunpointquiestluiaussilecentred’unarcdecercle,demêmetypemaisextérieurautriangleéquilatéral.Onpeutaussienvisagercetarccommel’imageduprécédent

parunerotation.Lemotifestachevé.

Exemplesd’activités

Lesactivitésproposéesicisonttoutesconstruitesàpartirdesscénariosdudocumentdel’inspectionpédagogiquerégionaledemathématiquesdeGuyane.6Lapremièreactivitéestassezdétailléeetsuivied’uneanalysedesamisenœuvre(partielle)enclasse.Lesautresactivitéssontdesidéesdeprolongements,sansdétailsnianalyse.Liensaveclesprogrammesdemathématiques:Lesactivitésquel’onpeutélaboreràpartirdumotifdelapajaritacouvrentungrandnombredenotionsauprogramme,dansledomainedelagéométrieplane,desnombresetcalculs,desgrandeursetmesures.Onpeuttoutaussibienparlerderacinecarrée,detranslation,deproportionnalité,d’anglesetdeparallélismequ’installerouconsoliderdesnotionsfondamentalescommelecercle,lamédiatrice,lesunitésdemesure.Selonletyped’activitéretenueetlepublicconcerné,onpeutlesaborderàdifférentsniveaux.Entoutcas,unetrèsgrandepartiedesprogrammesdecycles3et4engéométrieplanepeutêtreabordéeparlapajarita.Chacunedescompétencesestégalementmobiliséeaufildel’étudedelapajarita:chercher,modéliser,représenter,raisonner,calculeretcommuniquersontnaturellementconvoquéesautraversduvoyagedenotrecocotte.Lesélèvesaurontl’occasiondechercher,d’émettredeshypothèses,deconfronterleursidées,devalideroupasunmodèle,pourronts’engagerdansl’exercicededémonstration,mesurer,manipuler.Cesactivitéspermettrontaussidefairedesliensavecl’histoire,l’art,lagéographie,d’utiliserdifférentsoutils(lesoutilsdeconstruction,desappuislogiciels,etc.).

Activitépajarita,partie1Reproductionàl’identique

Voiciunmotif,appelépajarita.Nousparleronsbientôtdel’histoiredecemotif,dumot«pajarita».Nedessinerien,n’écrisriensurcemotif-ci.Ilesttaréférence.

Lebutdel’activitéestquetureproduisescemotif,sansledécalquer,etàl’aidedesinstrumentsdegéométrie.Aufinal,tudevrasêtrecapabledetracerlemêmemotif,maisden’importequelletaille(àdifférenteséchelles).

Surcesreprésentations,tupeuxdessiner,tracer,écriretoutcequetuveuxquit’aideàcomprendrelaconstruction:

Pourpointdedépart,jeteproposecetriangle.Situenasbesoin,tupeuxvenirchercheraubureauunautretriangle.Tupeuxaussiallerchercherdubrouillon.

Activitépajarita,partie2Reproductionàl’identique

Enutilisanttontravailprécédent,reproduislapajaritaenutilisantgeogebra.

Activitépajarita,partie3Reproductionàl’identique

Ent’appuyantsurtontravailprécédent,proposeunprogrammedeconstructiondumotifdelapajarita.Tupeuxleprésentercommetulesouhaites.Tonprogrammedeconstructionseraensuiteproposéàdesélèvesd’uneautreclassedesixième.Tuaurasunretourdesamiseenapplication,quitepermettrasic’estnécessairedecorriger,defaireévolueroudeperfectionnertonprogrammedeconstruction.

Activitépajarita,partie4Reproductionàl’identique

Réfléchisàuneautrefaçondetracerlafigure,enconservantlesmêmescontraintes:sansdécalquer,àl’aidedesinstrumentsdegéométrie,sansselimiteràunedimensionprécise.

Bilandel’activitépajarita,parties1et2Cetteactivitéaétéproposéeàdesélèvesdesixième,enclasseentière,entoutdébutdetroisièmetrimestre.Lecercle,letriangleéquilatéralavaientdéjàétéabordés,tôtdansl’année.Nousvenionsdetravaillersurlasymétrieaxiale,etnousavionsréactivélanotiondemédiatrice,déjàabordéedifféremmentplustôtdansl’année.Laclasseestorganiséeenseptîlotsdequatreélèves.Aprèsunmomentdeflottement,lesélèvesontcherchéàfairecorrespondreletriangleéquilatéralaveclemotif.Cetteétapen’apasposédedifficulté.Touslesgroupesonttracéletrianglesurlemotifinitial.Commelatailledutrianglen’étaitpascellecorrespondantàlareprésentationdumotifsurlaconsigne,deuxgroupesontpréférétracer«leur»triangleéquilatéral,desortequ’ilcorrespondeauxdimensionsdumotif.Laquestionépineusepourtousaété«commenttrouverlecentredesarcsdecercle?»,parfoisprécédéepar«Est-cequ’ils’agitbiend’arcdecercle?».Différentesstratégiesontétémisesenœuvreparlesélèves:

• Chercheràtracerlesarcsdecercleintérieursouextérieurs,selonlesgroupes,enpointantlecompasaumilieudesdemi-côtés.Malgrédenombreusestentatives,impossible.Lasituations’estdébloquéeparuneremarque«ondiraitquec’estpasloin,justeunpeuplusbas,commesionfaisaitlesymétrique».

• Pointerlecompasauxendroitsquisemblent«raisonnables».Cesélèvesontété

amenés,plusoumoinsrapidement,àrelierlestroiscentrespressentis.Ilsontvuapparaîtrelesmédiatrices,enlesnommantoupas,maisenidentifiantleurscaractéristiques.

• Ungroupealonguementetsilencieusementréfléchi,avantdemettresesidéesen

communetdetracerdeuxcordesd’unarc,lesmédiatricesdecescordes,etd’identifierleurpointd’intersectioncommelecentre.Ilsontensuiteprocédécommelegroupeprécédent.

• Ungroupe,unefoislecentred’unarcidentifié,aprocédénaturellementpar

transformations,enalternantrotationetsymétriecentrale,évidemmentsansutilisercevocabulaire,maispar«D’abordontournecommeçahop,etaprèspaf,onretournecomplètement.»

• Ungroupeaquadrillésontriangleéquilatéral,pouraufinalseplacerdansun

hexagonerégulier.Cesélèvesontréussiàfinaliserleurconstruction,defaçontrèscompliquéepourl’observateurextérieur,maisenmaîtrisantvraimentbienleur(long)programmedeconstructionetenletrouvant«beaucoupplussimplequeceuxdesautres».

Lesgroupesquiontcommencéparlesarcs«rentrant»ontfacilementtrouvélecentredesarcssortants.Pourlesautres,laréciproques’estavéréefausse.Ladéfinitionducercleetlacelledemédiatricesontlesdeuxnotionsquiontétéleplusappeléesetdiscutées,maisàdesdegrésd’expertisetrèsdifférents.Touslesgroupesontcommencépardesdémarchesassezcomplexes,quicomprenaientdestracésoudesmouvementsinutiles.C’estdanslapartie2qu’ilsontsimplifié,eneffectuantdesallersretoursentreleursnotesetleursfigures,etleprogrammeréalisésurgeogebra.Ladeuxièmepartiedel’activitéaétéréussiepartouslesgroupes,àdesmomentsdifférents:ilsn’ontpasréaliséslapartie1aumêmerythme.Certainsontconsacréuneheuredeplusqued’autresàlapartiepapier.Enfindetravail,ilestremarquabled’observercommelesprogrammesdeconstructionélaboréssurgeogebra(engénéralenplusieursessais)ontpermisdesimplifierlesprocédures,etlesontpartiellementuniformisés.Lesélèvesayantabordélapartie3del’activitéontexprimésexplicitementquelepassageparlelogicielleur«amislesidéesclaires»,«afaitvoirquepleindelignesonpouvaitlesenlever»,«j’aimis«médiatrice»àlaplacedephraseslonguesetcompliquées,quelesautrescomprenaientpasenplus».Touslesgroupesquisesontengagédanslapartie3ontproposédesprogrammesquicombinentexplications,consignesetschémas.Toussaufunontnommélespointsutilesdelafigure.

Desidéesdeprolongements,d’autresactivitésActivité2Déterminerl’airedelafigureobtenueIntérêts:

• Travaillerlanotiond’aired’unefigure• (Re)voirlesunitésd’aire• Utiliserlesoutilsdemesuregéométrique• Travaillersurlesvaleursexactesetlesvaleursapprochées,surlanaturedes

nombres• Calculerl’aired’untriangle(enseramenantautrianglerectangleouenutilisant

lahauteur)• Déterminerlamesuredelahauteurdutriangleéquilatéralenfonctiondeson

côté• Argumenterquel’airedupajaritaestlamêmequecelledutriangle:différents

niveauxd’argumentation,jusqu’àladémonstrationcomplète,sontpossibles.Cetteargumentationpeutfaireappelàlasymétrieaxiale,àlarotation,àdiversesnotionssurlesangles(anglesalternes-internesetparallélisme,sommedesanglesd’untriangle,etc.)

• Certainsélèvesfontlechoixdecalculerl’aired’uneréductiondutriangleinitial,decoefficient0,5,etdemultiplierpar4l’aireobtenue;d’autresconsidèrentletriangleinitialcommeunagrandissementd’undespetits,decoefficient2,etendéduisentquel’aireestmultipliéepar22.Pourcesélèves,onpeutposeruneautrequestion:pourquoichaque«petit»triangleest-iléquilatéral?OnpeutpourcelafaireappelauthéorèmedeThalèsoupasserparlesangles,parexemple.

• Faireréférenceauxpropriétésliantdroitesparallèles,droitesperpendiculairesCalculerl’airepeutengagerversdesproblèmesdegrandeursetmesures,surlecoût,parexemple,dupavaged’unmur.Activité3DéterminerlepérimètredelafigureobtenueIntérêts:

• Travaillerlanotiondepérimètred’unefigure• Différencieraireetpérimètre• Choisirdesunitésadaptées• Utiliserlesoutilsdemesuregéométrique• Travaillersurlesvaleursexactesetlesvaleursapprochées,surlanaturedes

nombres• Introduireouréactiverlepérimètred’uncercle

• (Re)découvrirlenombreπ• Sioncalculelavaleurdurayondesarcsdecercle,utiliserlatrigonométriedans

letrianglerectangle• Travaillerlesnotionsliéesauxangles,lespropriétésliantanglesetparallélisme• Faireréférenceauxpropriétésliantdroitesparallèles,droitesperpendiculaires

Activité4Paveravecnoscocottes,maiscomment?Intérêts:

• Travaillerleconceptdepavage• Découvrirouutiliserdestransformationsduplan:rotation,translation• Manipulerpourformaliser• Organiseruntravailcollectif

Sources1Frisesetpavages,commentlanatureremplit-ellel’espace?C-PBruterJournéepédagogiqueARPAM,Valenciennes,5juin20022ArchitecturesmathématiquesMatthieuGaudAPMEPIledeFrance,20083L’histoiredesartsenmathématiquesSandrineIngremeauAcadémiedeGuyanehttp://webtice.ac-guyane.fr/math/IMG/pdf/alambra.pdf4MathsmagiquesLesitedeThérèseEveilleauhttp://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/jeux_mat/textes/pavage_17_types.htm5IntroductionauxpavagesÉquipeacadémiquemathématique,C.DrouinBordeaux,novembre2002http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/profplus/docmaths/pavages/pavage_intro.htm6MathématiquesarabesL'AlhambraetsespavagesAPMEPhttp://www.apmep.fr/IMG/pdf/3_diapo_alhambra-12_mars.pdf7Souslespavages…latranslationDanielBuretMédialogn°46,mai20038Quandleszelligesentrentdanslaclasse…EtudedelasymétrieMarcMoyonEditionslePommier,2009