Cohérence temporelle des politiques économiques dans un modèle avec équation d'anticipations; Coherence temporelle des politiques economiques dans un modele avec equation d'anticipations;

Cohérence temporelle des politiques économiques dans un modèle avec équation d'anticipationsAuthor(s): Bertrand CrettezSource: Revue économique, Vol. 45, No. 4 (Jul., 1994), pp. 989-1008Published by: Sciences Po University PressStable URL: http://www.jstor.org/stable/3502205 .

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Coherence temporelle des politiques economiques

dans un modele avec equation d' anticipations

Bertrand Crettez*

Dans cet article, on dtudie la coh6rence temporelle des politiques 6conomi- ques dans un modAle avec 6quation d'anticipations. II s'agit d'un modAle c g6n6- rations A la Samuelson dans lequel une Banque centrale contrOle I'offre de monnaie dans le but d'atteindre un objectif intertemporel. On 6tudie d'abord la politique optimale temporellement incoh6rente. Suivant Cohen et Michel, on clani- fie ensuite I'tude des politiques temporellement coh6rentes en distinguant deux cas. Dans le premier cas, A chaque pdriode, la Banque centrale et les agents pri- v6s agissent simultan6ment. Dans le second cas, la Banque centrale agit avant les agents priv6s. Enfin, pour chacun des deux cas, on dtudie des 6quilibres de r6putations (ou avec menaces) A la Barro et Gordon. Le rdsultat principal de I'article est le suivant dans le cas oi) la Banque centrale agit avant les agents priv6s, I'6quilibre de r6putation soutenu par des menaces est ind6pendant du facteur d'actualisation de la Banque centrale.

INTRODUCTION

Dans la litt6rature, les prob16mes de cr6dibilit6 sont abord6s selon deux approches; celle de Barro et Gordon [1983 (a-b)], qui erepnnent un modle statique de Kydland et Prescott [1977] auxquels ils ajoutent des didments emprunt6s A la th6orie des jeux r6p6t6s ; cele de Kydland et Prescott [1977] qui ont une perspective intrins6quement dynamique.

Certains auteurs, comme Levine [1989], Cohen et Michel [1987], Stokey [1991], ont cherch6 At appliquer les idWes de Barro et Gordon aux mod61es de Kydland et Prescott. En gennral, cela n'a pas Wtd toujours facile, en particulier

* Universit6 Paris IX-Dauphine, Place du Mar6chal-de-Lattre-de-Tassigny, 75775, Pans Cedex 16, C.E.R.D.O, et C.E.M.E, Unite associ6e au C.N.R.S D0924, Universit6 Paris I, 12 Place du Panth6on, 75005 Paris.

Je remercie P. Michel pour m'avoir sugg6r6 1'6tude des politiques temporellement coh6rentes dans un cadre dynamique simple ainsi que pour ses tr6s nombreuses remarques sur les versions ant6rieures de cet article. J'ai dgalement b6n6fici6 des commentai- res d'Antoine d'Autume, de Marie-H6l6ne Jeanneret et Anne Lavigne ainsi que ceux de deux rapporteurs anonymes.

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Revue dconomique - N' 4, juillet 1994, p. 989-1008.



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parce que l'application de la th6orie des jeux r6p6t6s a des modules comportant des variables d'6tat est delicate.

Nous nous proposons donc d'6tudier comment les r6sultats de Barro et Gor- don s'appliquent a une version simplifiee des modules de Kydland et Prescott.

L'6tude est conduite a l'aide d'un module dynamique tres simple avec une equation orient6e vers le futur et sans 6quation tournme vers le pass6. Cohen et Michel [1987] ont d6ja propos6 un module de ce type mais sans fourir de fondements micro-6conomiques complets a l'6quation orient6e vers le futur. De plus, ils ne s'int6ressent pas non plus au cas oui les actions du gouverement et du secteur priv6 ne sont pas simultan6es.

Le plan de l'article est le suivant. La section deux est consacr6e a la pr6sentation du module. Dans la section trois, on d6crit la politique optimale de la Banque centrale qui

est temporellement incoherente. Cette propri6t6 d'incoh6rence temporelle est standard et bien connue depuis 1'article de Kydland et Prescott [1977]. Cepen- dant, nous montrons que la politique optimale peut revetir plusieurs formes. En particulier, elle peut etre contra-cyclique.

Dans la section quatre, on expose les deux notions de coh6rence temporelle des politiques 6conomiques propos6es par Cohen et Michel [1988]. La premiere est adapt6e au cas oi la banque et les agents agissent simultan6ment au cours de chaque p6riode. La seconde est adapt6e au cas ou, a chaque p6riode, la banque agit avant les agents1. L'utilisation d'un module en temps discret permet de cla- rifier ces deux notions. On montre que la politique temporellement coh6rente TC1 donne un niveau de pertes plus faible que TCO pour la Banque centrale. Dans la section cinq, on 6tudie les equilibres avec menaces (ou 6quilibres de reputation de Barro et Gordon [1983 a-b]). On montre que, dans le cas oiu la banque et les agents agissent simultan6ment (TCO), on retrouve les r6sultats de Barro et Gordon [1983 a-b]. En revanche, lorsque la banque agit avant les agents (TC1), on montre que la regle optimale constante est un 6quilibre avec menaces sans conditions sur le facteur d'escompte de la Banque centrale.

La section six conclut l'article.

LE MODELE

On se place dans le cadre du module de Taub [1986] qui est un module a g6n6rations imbriqu6es a la Samuelson [1958] avec une Banque centrale. D'une part, dans notre modele, la fonction d'utilit6 des agents permet de d6crire une gamme plus grande de comportements (cela permet d'avoir des effets de substitution et revenu vari6s et done une dynamique plus riche). D'autre part, la fonction objectif de la Banque centrale est diff6rente: la banque doit arbitrer entre un objectif de taux de croissance de la masse mon6taire nominale et la stabilit6 des prix.

1. Cette notion correspond a la definition d'une politique temporellement coh6rente dans Kydland et Prescott [1977].

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On considere donc une 6conomie d'6changes dans laquelle les agents vivent deux p6riodes. Le temps se d6roule de 0 i l'infini. Le modele est en temps discret. A chaque instant, nait une nouvelle g6n6ration. La population est suppos6e avoir une taille constante (pour simplifier, on supposera qu'il n'y a qu'un agent par g6n6ration).

Lorsqu'il est june, chaque agent reqoit une dotation y d'un bien suppose non stockable. La monnaie est le seul bien r6serve de valeur. Pt est le prix d'une unit6 de monnaie en bien1. Une hausse r6guliere du prix de la monnaie correspond donc a une deflation. La quantit6 de monnaie en t dans l'6conomie est notee Mt (cette formulation est jusqu'ici celle de Taub).

On suppose que la fonction d'utilit6 d'un agent n6 en t est2:

(Ct 1 -b

U, = C+ 1-b (1)

Cest la consommation de bien en t d'un agent n6 en t et Ct+ 1 sa consommation a la periode t + 1.

L'agent resout le probleme suivant en prenant les prix comme donns : Max {M} U

C, < y- PtM,

C+ < P,t+lM, * L'agent n6 en t choisit alors3:

1

Mt= P+1 (2)

En prenant les logarithmes dans (2), on trouve:

Pt = (1 - b)pt+ 1 - bmt (3) oii les minuscules d6notent les logarithmes des variables en majuscules.

Remarque

aM, * Si b < 1, P > 0 l'effet de substitution est superieur a l'effet revenu t+1

(Pt+ est la valeur d'une unit6 de monnaie en t + 1). Cela signifie que si le pouvoir d'achat de la monnaie acquise en t augmente, les agents la demandent davantage.

1. Pt est le prix de la monnaie en termes de biens de consommation. Cette formulation, bien qu'inhabituelle, est utilisee par Taub. Nous la reprenons A notre tour afin de faciliter la comparaison entre le module de Taub et le n6tre.

2. On ne prend pas une fonction d'utilite du type C.E.S parce que l'on veut que les conditions du premier ordre soient log-lineaires. Cependant, on introduit le terme en 1 - b pour prendre en compte des effets de substitution et de revenu varies (b doit 8tre strictement positif afin de garantir la stricte concavit6 de la fonction d'utilite). Je remercie P. Michel qui a sugg6r6 cette formulation.

3. On ne retient pas les solutions en coin.

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aM, * Si b > 1, < 0 l'effet de substitution est inf6rieur a l'effet revenu.

aP+l Cela signifie que si le pouvoir d'achat de la monnaie acquise en t augmente, les agents la demandent moins.

Equilibre A chaque date t, l'offre de monnaie s'6galise a la demande de monnaie. L'of-

fre de monnaie provient de deux sources: - la g6n6ration vieille en t, Mt_ 1, dont les membres vendent le stock de mon-

naie qu'ils ont acquis a la p6riode pr6c6dente afin de financer leur consommation durant leur derniere p6riode de vie;

-l'accroissement du stock de monnaie r6alis6 par la Banque centrale, M -Mt_ t t-M .

A l'6quilibre, on a donc, pour tout t:

M, = M,_1 + M - M,_1 = Mt (4)

et dans (3), mt est la variable de politique mon6taire. R66crivant (3) en t- 1 et faisant la difference entre (3) et l'expression prise

en t- 1, on obtient:

n:t = (l - b);t 1 - bu, (5) oil it est le taux de variation des prix entre t et t- 1, et ut est le taux de croissance de la masse mon6taire entre t- 1 et t (rappelons que ct > 0 signifie une deflation).

(5) est une 6quation tournme vers l'avant (il n'y a pas de condition initiale sur t0o) Quand la suite des ut est bornee, l'6quation (5) admet une unique solution bornme si, et seulement si, 0 < b < 2. Nous supposerons cette condition v6rifi6e dans la suite. La solution de l'6quation (5) est alors:

00

f7t = -b X(1-b)sut+s (6) s=0

On impose ut > 0, c'est-a-dire que la Banque centrale n'a pas le pouvoir de detruire sa monnaie, ou encore, comme la Banque centrale n'a pas de dotation du bien, que le bien est perissable, elle ne peut racheter sa monnaie.

La Banque centrale On supposera que la banque cherche a minimiser la somme actualisee de ses

pertes par periode:

t = (+ ) 2) (7)

La banque cherche donc a atteindre un taux de croissance de la masse mone- taire nominale (que l'on supposera positif) ainsi qu'une variation nulle des prix (cet objectif peut se formuler soit en termes de nt soit en termes de Pt puisque 1t = Pt - Pt - 1) Comment peut-on justifier ces deux objectifs ? Les 6conomistes

monetaristes, en particulier M. Friedman, ont longtemps conseill6 aux banques

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centrales de faire croitre l'offre de monnaie nominale a un taux constant afin, d'une part, de fourir suffisamment de liquidit6s a l'6conomie - il peut aussi s'agir de r6aliser un certain montant de seigneuriage, d'autre part de limiter le montant de l'inflation. Nous supposons donc qu'un tel objectif a 6t6 fix6 a la banque et qu'il lui cofite de ne pas le r6aliser. Cependant, nous supposons 6gale- ment que la banque cherche a prot6ger l'6pargne des vieux des risques d'inflation,.ce qui la pousse a rechercher un objectif de hausse des prix du bien de consommation nulle. Les deux objectifs sont donc conflictuels, ce qui sera une source d'incoh6rence temporelle des politiques monetaires (cf. section suivante).

0 est le poids relatif de l'objectif de taux de croissance dans la perte de la banque. Lorsque 0 tend vers z6ro le seul objectif de la banque est la stabilite des prix.

Le taux de pr6f6rence pour le present de la banque est P < 1. Son objectif intertemporel s'ecrit donc:

12Spwt t=O

LES POLITIQUES OPTIMALES TEMPORELLEMENT INCOHERENTES

Dans cette section, on se demande quelle trajectoire de taux de croissance { ut t o la banque choisirait si elle 6tait capable de s'engager une fois pour

toutes. Autrement dit, elle cherche la suite { ut} qui minimise: 00

t ( 2 it +0 (u - S) 2)

t=O

sachant que: nt = (1 - b)n + 1 - but

sous les contraintes:

ut > , Vt.

On s'int6resse aux politiques bornmes, de sorte que, sous 1'hypothese d'anticipations rationnelles, la solution vers l'avant de l'6quation en n est bornee.

L'6tude technique de ce probleme est faite en annexe. On trouve les r6sultats suivants:

bit+l

ut = u,-

oil Os( +b- 1)

U0 = bb+O(f +b- 1)

_ -sO0 =

b+O(P+b- 1)

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3 est n6gatif

A- A2 -4(1 - b) 2p-1 2(1 -b)

b2 Avec A= 1 + (1- b)2- + -.

On montre que X est du signe de 1 - b. Comment 6volue nt ? L'6volution de 7t est donn6e par:

*t( = I +-XXt(-l(1-b) - X)

sO(3+b- 1) et t = ( b- ) - - u. Si p est assez proche de 1, on montre que 00

(1-b-p) -14p P-1(l - b) - X > 0. En annexe, on donne les bornes inferieures sur p pour avoir la propriet6 de point-selle dans chacun des deux cas 1 - b < ou > 0. Enfin, pour satisfaire a posteriori la condition ut > 0, Vt, on montre qu'il suffit de supposer que P est assez proche de 1.

L'etude de la dynamique r6sultant de la politique optimale fait apparaitre deux cas diffirents selon les valeurs du parametre b: l'evolution de u est la suivante.:

* CasO<b< ut est monotone d6croissante.

;, est croissant.

* Cas2>b>1

ut et ct ont des oscillations amorties.

Discussion

* CasO<b<1 Comme on vient de le voir, la politique optimale de la Banque centrale est

caract6ris6e par une baisse progressive du taux de croissance de la masse mon6- taire et il en r6sulte une hausse r6guliere du taux de d6flation. On observe qu'a la date r6guliere initiale la banque privil6gie sa cible de taux de croissance de la masse mon6taire et la n6glige par la suite (ut est d6croissant).

La hausse du taux de d6flation se justifie comme suit. A n'importe quel instant, un agent jeune, sachant que les taux de croissance

de la masse mon6taire baisseront dans le futur, anticipe une croissance de la valeur de la monnaie. Comme 0 < b < 1, l'effet de substitution est plus important que l'effet revenu ; il desire done plus de monnaie quand il est jeune. Cela permet d'6mettre de la monnaie au meme moment sans baisse du prix de la monnaie. On peut done 6mettre beaucoup de monnaie maintenant a condition d'en 6mettre moins demain, ce qui garantit sa valeur aujourd'hui.

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*Cas 1 <b <2 C'est le cas le plus inhabituel1. En effet les variables endogenes ont des

oscillations amorties. Comment cela peut-il s'interpr6ter ? On remarque tout d'abord que, si ut est nul, ct a des oscillations spontan6es.

Intuitivement, la politique de la Banque centrale devrait etre contracylique. Pour le voir, pla9ons-nous, par exemple, a une date t, avec t pair. D'apres les

formules donn6es en d6but de section, on voit que ;t < tco et ut < u,o. A l'6quili- bre, les agents n6s en t anticipent l'oscillation, c'est-a-dire que + 1 > no, et

t + 1 > u,. Us s'attendent a une hausse du taux de croissance de la masse mon6- taire et du taux de deflation. Comme l'effet revenu est sup6rieur a l'effet de substitution, la demande de monnaie d'un jeune en t diminue. Pour que la monnaie d6tenue par les vieux et celle 6mise par la banque soient demand6es, il faut que son prix baisse. La banque a une offre de monnaie qui r6sulte d'un compro- mis entre la r6alisation de son objectif s et la stabilit6 des prix de la monnaie. Pour que le prix de la monnaie ne baisse pas trop, il faut qu'elle diminue le taux de croissance de l'offre de monnaie. On aura bien ;t + 1 > 7t et ut + 1 > u.

Incoh6rence temporelle de la politique optimale Quelle que soit la valeur de b, la politique optimale est temporellement inco-

h6rente. C'est-a-dire qu'elle est en optimale en 0 mais pas aux dates ult6rieures (ou encore qu'elle ne satisfait pas le principe de Bellman). Cette propri6t6 a 6t6 mise en 6vidence pour la premiere fois par Kydland et Prescott [1977]. Quelle est son intuition ?

En 0, la banque doit minimiser sa fonction de perte intertemporelle sous la contrainte d'une equation tournme vers l'avant. Cela signifie que la valeur du taux de d6flation en 0 est libre. La banque choisit donc la trajectoire de taux de croissance de la masse mon6taire de maniere a annuler la valeur marginale du taux de d6flation en 0. Si elle devait choisir une nouvelle trajectoire a une date s ult6rieure, elle ferait en sorte que la valeur marginale2 du taux d'inflation a cette date soit nulle. Or le long de la trajectoire optimale calcul6e en 0, la valeur marginale de l'inflation en s n'est pas nulle (voir l'annexe). D'oai l'incoh6rence temporelle de la politique optimale.

LES POLITIQUES TEMPORELLEMENT COHERENTES

Nous avons vu, dans la section pr6c6dente, que la politique optimale en 0 est temporellement incoherente. Si la Banque centrale ne peut s'engager sur une trajectoire de taux de croissance de la masse mon6taire, il est clair qu'annoncer la trajectoire optimale en t n'est pas cr6dible.

Que peut faire la Banque centrale ? L'hypothfse d'anticipations parfaites interdit que la banque puisse avoir un comportement impr6visible : pour qu'un

1. Voir cependant Kemp, Van Long et Shimomura [1989] qui cherchent des valeurs propres complexes dans un module different.

2. La valeur marginale en termes de l'objectif A optimiser est mesur6e par le prix implicite.

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6quilibre puisse se former, les agents ont besoin de connaitre la trajectoire du taux de croissance de la masse mon6taire (encore que, dans un modele a genera- tions, chaque g6n6ration n6e en t n'a besoin de connaitre exactement que ut + ).

Kydland et Prescott [1977] ont propose de r6pondre a la question de la maniere suivante. Si la Banque centrale n'a pas la capacit6 de s'engager, elle ne peut mettre en place que des politiques temporellement coherentes. Une politique est temporellement coh6rente si elle satisfait au principe de Bellman: c'est la meilleure politique a r6aliser aujourd'hui sachant qu'elle sera la meilleure demain lorsqu'on reconsid6rera les choix de politiques.

Pour mieux comptendre ce qu'est une politique temporellement coh6rente, on peut imaginer que c'est la politique que choisirait un dirigeant de la Banque centrale maintenant, sachant que :

* la dur6e de son mandat n'est que d'une p6riode; * les futurs dirigeants choisiront dans les memes conditions que lui. L'id6e de politique temporellement coh6rente n'est pas neuve (cf. Phelps et

Pollack [1969]). Cependant, la nouveaute de l'article de Kydland et Prescott [1977] reside dans son application a un probleme de politique 6conomique lorsque les agents ont des anticipations rationnelles.

Une fois pos6e, l'id6e de politique temporellement coh6rente est susceptible d'etre raffin6e. Un premier raffinement consiste a calculer la politique temporellement coh6rente d'une Banque centrale qui peut s'engager sur une seule p6riode. II a 6t6 6tudi6 dans des contextes diff6rents par Taub [1986] et Reinga- num et Stokey [1985]. Ces auteurs ont aussi 6tudi6 l'impact de la dur6e de la periode d'engagement sur la politique pratiqu6e. Taub montre que plus la p6riode durant laquelle la Banque centrale a la possibilit6 de s'engager est grande, plus l'6quilibre stationnaire auquel l'6conomie parvient est efficace (ce qui est assez intuitif).

Un second raffinement (dfi B Cohen-Michel [1988]) consiste a introduire un ordre dans les actions de la Banque centrale et les agents priv6s au cours de chaque p6riode. Deux cas sont possibles. Dans le premier, la banque joue avant les agents ; dans le second, ellejoue en meme temps. Nous allons voir que cette distinction est importante dans le calcul des politiques temporellement coh6rentes.

Bien entendu, dans le module que nous utilisons, la distinction pr6c6dente parait arbitraire. Ce ne serait pas le cas dans un module 6tudiant une 6conomie contemporaine. Considerons B cet effet le cas de la politique budgetairel: en France, les taux de taxation fix6s dans le budget vot6 a la fin d'une annee t pour l'ann6e suivante, sont applicables sur des revenus per9us en t: le gouvernement joue apres les agents. S'il y avait un m6canisme de retenue a la source, le gouverement jouerait avant les agents. Consid6rons le cas de la politique mon&- taire ou celui de la politique de changes. I parait raisonnable de penser qu'en mati6re de changes la Banque centrale, lorsqu'elle d6cide d'intervenir sur le march6 des devises, agit en meme temps que les agents. Dans le cas de procedu- res d'open market, la Banque centrale annonce parfois ses conditions avant que les agents prennent leurs d6cisions.

1. Je remercie un rapporteur pour ses remarques sur le d6roulement du jeu entre les agents priv6s et le gouvemement dans le cas de la politique budg6taire.

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Politique temporellement coh6rente lorsque les actions sont simultan6es. Solution TCO

On suppose que la banque et les agents agissent simultan6ment. On suppose 6galement que la banque se restreint A choisir des politiques admissibles. La solution temporellement coh6rente est d6termin6e comme suit1.

A chaque date, les politiques futures sont consid6r6es comme donn6es par l'agent et la banque. D'apres l'6quation (5), il en r6sulte un certain t+ -l

L'agent n'observe pas ut. I doit donc l'anticiper. D'apres (5), il en r6sulte que ;t est 6gal A (1 - b) It+

t - but, et donc ne d6pend pas du choix de u. La banque choisit donc ut = s. Comme elle fera ce choix a chaque p6riode, il

r6sulte de l'hypothese d'anticipations rationnelles que ti = n+ = -s Vi >0. La politique temporellement coh6rente au sens de TCO consiste donc a choisir s pour toutes les p6riodes. Elle est 6videmment admissible.

On peut, bien str, donner une interpr6tation en termes de th6orie des jeux de ce r6sultat, c'est-a-dire qu'il existe un jeu dont l'6quilibre (de Nash) consiste a jouer la politique TCO.

1 Consid6rons, par exemple, le jeu ou la banque cherche a minimiser - ((7t)2

+ O(ut -s)2 avec it = -u, et oi l'agent choisit ut tel que u' = u,. La banque

choisit la valeur de ut qui minimise 2 ((t)2 + 0(ut - s)2) et prend nt comme

donn6. Elle choisit donc ut = s, et l'agent choisit ut = s. La solution TCO et

l'6quilibre de Nash du jeu coincident. Cependant, on ne les obtient pas de la meme maniere. La solution TCO r6sulte d'un 6quilibre macro-6conomique dynamique, tandis que 6quilibre l'equilibre de Nash est celui d'un jeu statique.

1. On peut remarquer que le module de Barro et Gordon [1983] (ou une version de ce module) s'obtient comme cas particulier du n6tre en posant b = 1. L'6quation (5) devient donc : t = - u. La banque cherche toujours a minimiser

(2 + o (ut- s) 2). 2

Supposons que la banque et l'agent agissent simultan6ment. Dans ce cas, l'agent n'observe pas u. II doit donc l'anticiper. On a donc, n = -ui. Dans ces conditions, la banque considere nt comme une constante et elle choisit donc: u = s. En imposant l'hypothese d'anticipations rationnelles, on a ue = s et donc, 7t = -s.

Supposons maintenant que la banque agit la premiere. L'agent observe ut et

donc ct = -ut. La banque prend cet 6tat de fait en compte pour calculer ut Elle Os

choisit ut = 1 +. On voit que le choix de la banque est moins inflationniste

qu'auparavant et que l'ordre dans lequel la banque et l'agent agissent est important.

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Politique temporellement coherente lorsque la Banque centrale agit la premiere. Solution TC1

On 6tudie maintenant le cas oit la banque joue avant 1'agent. A nouveau, on fait l'hypothese que, a chaque p6riode, la banque et l'agent prennent les politiques futures comme donn6es. D'apres l'6quation (5) et en faisant l'hypothese d'anticipations rationnelles, il r6sulte une valeur de t, = nc. Maintenant, comme la banque agit la premiere, elle choisit ut en prenant nt donn6 par (5):

a:t = (1 - b)nc - but La banque choisit donc :

b (1 - b) IEc + Os U 2

+b2

Comme cela est vrai a chaque p6riode et que l'agent a des anticipations rationnelles,

,RC =

( b c (1 - b)

rc + Os

O+b2

et

-Os O+b

C=-7 uC = _ bi

Comme pr6c6demment, on peut donner une interpretation de TC1 en termes de th6orie des jeux, c'est-a-dire qu'il existe un jeu dont l' quilibre (de Stackel- berg) est TC1.

Supposons que la banque, qui est le meneur de Stackelberg, cherche ut pour

miniimiser 2 (2 +0(u,-s) 2). L'agent choisit nt = = -u Comme ceci _

. e

= It = -ut Comme ceci est pris en compte par la banque, l'6quilibre de Stackelberg de ce jeu est identi- que A la solution TC1.

Comparaison des solutions TCO et TC1 Pour apprecier la diff6rence entre les deux solutions, on peut calculer les

valeurs des pertes associ6es a chaque solution. Pour TCO, on a:

tc = 2

2(1 -1P) Pour TC1, on trouve que:

tcl = s2O (O + b2)

2(1- 3) (O+b)2 On a donc:

C =tcl = ptcO (0 b) < ptcO

(O+b)2

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Bertrand Crettez

On voit que l'ordre des interactions est important. Lorsque la banque agit la premiere, elle est oblig6e de prendre en compte l'effet de sa politique sur le taux de d6flation de la p6riode et adopte donc une politique moins inflationniste.

0(0+ b2) On v6rifie que est une fonction strictement croissante de 0. On (0+ b)2

voit que, lorsque 0 tend vers l'infini, Ptcl tend vers tC : au fur et B mesure que la banque accorde un poids important a la cible de taux de croissance de la masse mon6taire, tout se passe comme si la valeur du taux d'inflation ne comp- tait plus et la banque joue utO.

La comparaison entre la solution TCO et TC1 peut se faire a l'aide de l'argu- ment suivant.

Icrivons tout d'abord que t + 1 = ga(ut + , ut + 2, t + 3, ...). D'apres (5), on peut donc 6crire:

rt = (0C(Ut + 1, ...), Ut) La fonction de perte de la banque s'6crit donc : 2t = 9(rt, ut). Les solutions TCO, TC1 et la regle optimale constante s'obtiennent comme

suit:

* Solution TCO A chaque p6riode, la banque considere que le taux d'inflation de la p6riode

est fix6e, par exemple i un niveau n. Elle choisit donc ut de maniere :

MinuptX , u) La condition d'optimalit6 est:

as -0

aut

* Solution TC1 A chaque p&iode, la banque considere que le taux d'inflation de la p6riode

est contr6lable par ut mais pas ceux des p6riodes ult6rieures. Elle considere donc que g, = n (Ji, ut). La banque choisit alors Ut de maniere A:

Minutgt (nt (c, ut), ut)

La condition d'optimalit6 est alors :

at,(t;(u,)t) ) n a9, ----+

ant Ut aUt

a t (n(O, u,) ) I1 est clair que les deux solutions sont identiques lorsque

an dlt - = 0. C'est ce qui se produit lorsque 0 tend vers l'infini. ut

Avant d'6tudier les 6quilibres avec menaces, nous ferons quelques remarques sur le cas oil les agents privds agissent avant la Banque centrale. Dans ce cas, tout se passe comme si les agents font d'abord une anticipation de ut, puis le

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Revue economique

gouvemement choisit un taux de croissance de la masse mon6taire. On est donc ramen6 au cas oii les agents et la Banque centrale agissent simultan6ment: puisque le taux de d6flation est donn6, le gouvemement choisit u = s et si l'on suppose que les anticipations des agents sont rationnelles = - s pour tout t.

EQUILIBRES AVEC MENACES

Selon Kydland et Prescott [1977], lorsque la politique optimale est temporellement incoh6rente, ou bien des politiques temporellement coh6rentes sont mises en place, ou bien des regles sont adopt6es. Les premieres sont en g6n6ral sous-optimales et c'est pour cette raison que les secondes apparaissent. Barro et Gordon [1983 a-b] ont propose une nouvelle maniere de s6lectionner les politiques 6conomiques.

L'id6e de Barro et Gordon est la suivante : chaque gouverement est attach6 a sa r6putation, ou encore a la confiance que lui accordent les agents. En effet, si les agents n'ont plus confiance en lui, c'est-h-dire s'il perd sa r6putation, sa politique devient inefficace (il suffit pour cela que les decisions des agents dependent de leurs anticipations des politiques futures). Par cons6quent, bien que le gouverement ne dispose pas de la capacit6 de s'engager, il peut etre optimal pour lui de r6aliser le programme qu'il a annoncC.

Bien entendu, pour apprecier l'id6e de Barro et Gordon, il faut pr6ciser la notion de confiance ainsi que les m6canismes par lesquels on l'acquiert et on la perd. C'est ce que l'on va faire maintenant dans le cadre du module utilis6 jusqu'ici.

Supposons que la banque suive a chaque p6riode un programme (u, n) tel

que u = -t. Autrement dit, lorsque les agents anticipent i, la banque choisit le taux de croissance de la masse mon6taire u tel que l'anticipation des agents est r6alis6e.

Supposons maintenant que les agents aient adopt6 le mode d'anticipation suivant:

- si la banque ne met pas en ceuvre u en t, ils anticipent n = tCi, Vs > 0, i = 0, 1 selon que la Banque centrale et les agents agissent simultan6ment ou non

- si la banque met effectivement en ceuvre u, ils anticipent i. C'est par ce m6canisme que l'on introduit la notion de perte ou d'acquisition

de confiance. Tant que la banque met en ceuvre ce qu'elle a annonc6, elle garde la confiance des agents pour la p6riode suivante, et si elle ne realise pas son annonce, elle perd d6finitivement la confiance des agents.

Le m6canisme pr6c6dent va inciter la banque a r6aliser des politiques diff6- rentes des politiques temporellement coh6rentes. II en suivra une augmentation de l'efficacit6 de l'6conomie alors meme que la banque ne dispose pas de la capacit6 de s'engager. Quelles sont ces politiques ? On est conduit a envisager deux cas, selon que la Banque centrale et les agents agissent simultan6ment ou non.

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Bertrand Crettez

Cas ou les actions de la banque et des agents sont simultanees

Les politiques (i, u) doivent avoir la propriete suivante : supposons que les

agents anticipent une politique qui g6nere 7, il faut que la banque n'ait pas int6ret

jouer u ? u puisque, dans ce cas, les agents mettent leurs menaces h execution. Placons-nous a une date t quelconque. Le taux de variation des prix s'6crit:

it = IC

En effet, en t, les agents anticipent i pour les p6riodes suivantes et u pour la p6riode courante. Si la banque choisit le taux d'inflation qui minimise sa fonction de perte 9t, oi

1 2 ~t

= [(D) +O(Ut-S)2]

elle choisit donc: Ut = S

La fonction de perte de la banque vaut donc: 1-2

9 1

i2 t 2

Si la banque choisit de mettre en euvre la valeur de ut qui maximise la valeur de la fonction de perte en t, les agents anticipent que les taux de d6flation future seront Itco et, dans ces conditions, la meilleure chose qu'elle puisse faire est de choisir ut? t chaque periode.

Rappelons que dans le cas TCO,

I;tcO -S itS = -s et

utcO=s

Si la banque n'a pas respect6 le programme (n, u) , elle subit une perte par periode de:

2 tcO = S

2

Si la banque respecte son programme, sa perte par p6riode est: 1 2 - 2

g = ((i)2 +0e(+s)2)

Le programme (n, u) est dit cr6dible, et donc t est une anticipation ration- nelle des agents, si et seulement si il v6rifie:

fp tcO 9 t 1 - @ - - (p (A)

Autrement dit, le programme (c, u) est credible si la perte que la banque encourt en ne le respectant pas est plus grande que dans le cas contraire. Les

progammes (I, u) cr6dibles sont appel6s 6quilibres avec menaces.

1001



Revue economique

A n donn61, la condition (A) peut etre r6arrang6e pour obtenir le plus petit 3

qui rend le programme (7, u) cr6dible. On trouve:

O 0( + s)

p - nIC S-IL

-so On v6rifie que p (n) est une fonction croissante et convexe sur -s, i + 0

On peut maintenant faire trois remarques qui sont en fait les r6sultats de Barro et Gordon [1983]):

Remarque 1

La regle optimale2 n'est pas toujours cr6dible. En effet, en portant n? dans

l'expression pr6c6dente, on obtient une borne inf6rieure P(0?). On voit que ce n'est que lorsque P est suffisamment grand que la regle optimale est credible (la

(1+0) borne infdrieure est )1 1 + 20

Remarque 2 En utilisant (A), on voit que Ic0 est cr6dible pour tout P.

Remarque 3

Comme P(i) est une fonction continue strictement croissante sur

I -Os s, 0 + 1 alors a chaque 3 on peut faire correspondre le plus petit taux de

d6flation soutenable.

-sO 1. En fait, cela n'est vrai que pour i e (-s, -- ) 1+6 2. La politique de taux d'inflation constant optimale s'obtient comme suit: La banque cherche le taux de croissance u qui minimise:

00

2 p(2+ _0(ut-s)2) (21) t=O

sachant que: ut = u et nt = (1 - b) t +. 1 - bu. Ceci implique que pour tout t: /It = -u

En reportant dans (21), il vient:

S 1 - (u2 +O(u-s) 2) '? 2 1-

oil eo est la perte inteltemporelle de la banque lorsqu'elle met en aeuvre des politiques constantes. La valeur de u qui minimise -eo est:

o Os u 0 + 1 (23)

Et l'on a: RO =-u (24)

1002



Bertrand Crettez

Cas ou la Banque centrale agit avant les agents Que peut-on dire des 6quilibres avec menaces dans le cas TC1, c'est-a-dire

lorsque la Banque centrale joue avant les agents ? L'6quation d'anticipation s'6crit:

;t = (1 -b)t + 1 - but (5) Avec le m6canisme d'anticipation que nous avons retenu, si la banque ne choisit pas u, les agents anticipent itcl pour les p6riodes a venir. La banque minimise donc sa perte en choisissant u de maniere a ninimiser:

t = 1 [(( 1-b) tc -bu)2 +(u-s) 2]

Elle choisit:

b (1 - b) 7tcl +0s u =

b2+0

tcl _ Os Compte tenu de la valeur de d1cl, on trouve que u = u =- et en utili-

0 et en utili- 9+b

sant (5) que le taux de variation des prix en t vaut c = -s La perte de la +b'

0 ( + b2) s2 banque en t lorsqu'elle ne choisit pas u est donc p tc = ( ) (A) se

2 ( + b)2 r66crit donc:

tcl tcl + tc 2 (A)

qui se r6duit A 9 tcl 2 P. On remarque que cette in6galitM est v6ifi6 lorque i7 = o0. On a donc la

proposition:

PROPOSITION. La regle constante optimale est un programme crddible quel que soit p.

Ce dernier r6sultat confirme donc l'int&rt de la prise en compte de l'ordre des interactions A l'int6rieur de chaque p6riode et relativise celui de Barro et Gordon.

Avant de conclure, il convient d'apprecier la port6e de la notion d'equilibre avec menaces. Dans le cas TCO au moins, il se pose un probleme de coordination des agents sur le n. Cette coordination est evidement improbable.

CONCLUSION

L'objet de cet article 6tait d'6tudier, dans un cadre simple, comment les id6es propos6es par Barro et Gordon s'appliquent aux modules 6tudies par Kydland et Prescott.

1003



Revue dconomique

Pour ce faire, nous avons construit un modele en essayant de d6tailler ses fondements micro-6conomiques.

Dans le meme temps, nous avons montr6 que la politique optimale. temporellement incoh6rente pouvait etre contra-cyclique.

Nous avons insist6 sur la pertinence de la distinction entre les politiques temporellement coh6rentes TCO et TC1. Enfin, nous avons montr6 que, lorsque la politique temporellement coh6rente est du type TC1, la politique constante optimale est un 6quilibre avec menaces au sens de Barro et Gordon sans condition sur le taux de pr6f6rence pour le pr6sent de la Banque centrale. Ces r6sultats ont 6t6 obtenus avec un modele a g6n6rations imbriqu6es d'une 6conomie d'6chan- ges. Une extension possible du present article consisterait B tester leur robus- tesse avec des modules comportant des variables d'6tat (comme le stock de capital).

ANNEXE

CALCUL DE LA POLITIQUE OPTIMALE TEMPORTI !EFMENT INCOHItRENTE

La banque cherche la trajectoire de taux de croissance { ut}=o qui minimise:

l Pt(R +O(u -S) 2) t=O

sachant que: ct = (1 - b)gt + 1 - but (a)

et en imposant: ut>0, Vt,

Le minimum est pris sur l'ensemble des politiques admissibles (c'est-A-dire les suites de politiques telles que (a) admettent des solutions born6es).

Le lagrangien du probleme s'6crit (cf Sargent [1987 a]):

[+ 0 (Ut-

- S )] + p (1 [ (1 - b)t+ 1 - bu- ]

oi kt est le prix implicite du taux d'inflation en t. Les conditions n6cessaires et suffisantes sont (cf. Michel [1990]):

aL, bt+ 1 -= 0=: = S+ (b) au, ,

aLt a=0 = = Xt= t+l (1 - b) X (C)

et limt_ooltXt = O, X = O, (d).

1004



Bertrand Crettez

La condition X0 = 0 s'interprete ainsi: tout se passe comme si la banque choisissait le taux d'inflation en 0 : il faut donc que la valeur marginale de c0 soit nulle.

En combinant (a), (b), (c), (d), on trouve: b2

(l-b),t+2- t+(l+ (l- b)2P-l+) + )+ l(l-b)), -bs = 0 (e)

Le polyn6me caract6ristique de (e) s'6crit: (1 - b)P(X) = (f)

oil

1 + (1 -b)2 - +

P(;) =h ;- l- h +p -1 (g) 1-b

Pour analyser (g) on est conduit i envisager deux cas.

*0<b<l

Comme P-1 > 0, les racines du polyn6me sont du meme signe.

b2 1 + (1 - b)2- +

Comme b > 0, les racines sont positives.

Enfin, comme P(0) > 0, pour satisfaire la propriet6 de point-selle, il suffit que:

b2 1 + (1 - b) 2-' +

P(1) = 1+P-1- -b <0

Cette in6galit6 est v6rifi6e lorsque: (1 -b)0

0+b

1 <b<2

Comme P~1 > O, les racines du polyn6me sont du meme signe.

2 b2 1 + (I - b) 2p- +

Comme 1 < 0,, les racines sont negatives.

Comme P(1) > 0, pour satisfaire la propri6t6 de point-selle, il suffit que:

b2 (1-b)P(-1) =2-b+ (1-b)2P-1+ +P-'1(l-b) >0

Cette in6galite est v6rifi6e lorsque: (b- ) (2-b)

0(2-b) +b2

1005



Revue economique

On vient donc de voir que, pour des valeurs admissibles de b, la solution du probleme peut avoir des oscillations amorties.

La solution de (e) s'6crit donc, compte tenu de (d)

, = X +k (h)

ou X est la valeur stationnaire de (e): bs s0p

(1 - b)P(1) O(1- b- p) -p3b

Comme (1 - b)P(1) < 0, que s est strictement positif, on a X < 0.

k est d6termin6 par la condition initiale O = 0, donc, k = -X.

Finalement, Xt s'6crit:

3t= (1- t) 0)

ut vaut donc:

bWt+ l

Ut= U - 0 (k)

avec:

Os(P+b- 1) u=

pb+O(+b- ) (1)

Cependant, pour que la solution ait un sens, il faut que ut soit positif pour tout t. On a alors deux cas:

*O<b<1

b- 0 < X < 1, donc ut est monotone. Comme X< 0, ---. On en d6duit que ut

est monotone d6croissante. I1 suffit donc que u*, > 0 pour que chacun des termes de la suite soit positif.

Compte tenu de la condition n6cessaire pour avoir un point-selle, cette in6ga- lit6 est uniquement v6rifi6e quand :

fP>l-b

*2>b>l

- 1 < X < 0, donc ut a des oscillations amorties. On peut v6rifier sans diffi- cult6 que si 2 > b > 1, uO est toujours strictement positif. Les termes d'indice pair sont donc toujours positifs. On 6tudie donc la positivit6 des termes de la sous-suite des termes d'indice impairs. Comme la sous-suite est monotone

croissante, on peut se contenter d'6tudier uo, (uo = s + (

A- /A2-4(1-b)2 2(1 -b)

1006



Bertrand Crettez

b2 est un z6ro de P(X)et A = 1 + (1 - b) 2-1 + .

I est en fait difficile d'obtenir une condition n6cessaire precise en termes de P. Mais on peut vErifier que lorsque 3 = 1, u0 est positif, et donc, par continuit6, la condition est v6rifi6e pour des valeurs de P proches de 1.

On s'intdresse 7Ct. On a:

, = o + ' (P (1 - b) - X)

Os(f3+b- 1) [b + O (p + b- 1) -

Apres quelques calculs, on montre que si P = 1, on a Pl-(1 - b) - k > 0, Vb. Par continuitY, c'est donc egalement vrai pour P proche de 1.

donc:

* si 0 < b <1

7t est decroissant.

* si 1 <b <2

Les evolutions de rt ont des oscillations amorties.

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Documents

Cohérence temporelle des politiques économiques dans un modèle avec équation d'anticipations; Coherence temporelle des politiques economiques dans un modele avec equation d'anticipations;