Colle PC Semaine 16 2011-2012

Espaces vectoriels prhilbertiens rels ou complexes + espaces euclidiens

EXERCICE 1 :

Soit E = M3(R) muni du produit scalaire usuel ( (A, B) (M3(R))2, (A|B) = T r(tAB)

1. Prouver que lorthogonal de A3(R) est S3(R).

2. Soit M =

0 1 00 0 10 0 0

. Calculer la distance de M au sous espace vectoriel des matrices antisymtriques.

EXERCICE 2 :

Soit n N et lapplication de (Cn[X ])2 dans C dfinie par : (P, Q) =1

2

2

0

P (ei)Q(ei)d.

1. Montrer que est un produit scalaire hermitien et que la base canonique de Cn[X ] est orthonormale.

2. tant donn Q = Xn + an1Xn1 + + a0 Cn[X ], calculer ||Q||2.Soit M = sup

|z|=1

|Q(z)|. Montrer que M > 1, puis que M = 1 si et seulement si an1 = = a0 = 0.

EXERCICE 3 :

On note E lensemble des sutes relles de carrs sommables cest dire les usites relles (un)nN telles que :

+

n=0

u2n < +

1. Montrer que E est un R-espace vectoriel.

2. Pour (u, v) de E2, on pose (u, v) =+

n=0

unvn. Montrer que est un produit scalaire sur E.

EXERCICE 4 :

Soit E un espace prhilbertien rel et (e1, e2, ..., en) une famille de n vecteurs unitaires de E (n N) telle que,

pour tout x E, on ait : ||x||2 =n

k=1

(x|ek)2.

Montrer que la famille (e1, e2, ..., en) est une base orthonorme de E.

EXERCICE 5 :

Dans R4 euclidien, former la matrice par rapport la base canonique de la symtrie orthogonale par rapport auplan H dquations :

x1 + x2 x3 x4 = 0x1 + 3x2 + x3 x4 = 0

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Correction des exercices :

Ex 1 : (A, B) (M3(R))2, (A|B) = T r(tAB) =

16i,j6n

aijbij .

1. Soit (A, B) S3(R) A3(R), (A|B) = T r(tAB) = T r(AB) = T r(BA) = T r(tBA) = (B|A) = (A|B)

On en dduit que (A|B) = 0 donc que S3(R) (A3(R)).

De plus, un raisonnement sur les dimensions donne : dim(S3(R))=dim((A3(R))) ()

() dim(A3(R))+dim((A3(R)))=n2 et dim(S3(R))+dim((A3(R)))=n

2 car A3(R) et S3(R) sont en somme directe.

Ainsi S3(R) = (A3(R))

2. On sait que M3(R) = A3(R) S3(R). ()

() M M3(R), M =M + tM

2+

M tM

2de manire unique avec

M + tM

2 S3(R) et

M tM

2 A3(R)

Daprs la question 1, la projection de M sur A3(R) est la partie antisymtrique de M et la distance chercheest la norme de la partie symtrique de M qui scrit :

12

0 1 00 0 10 0 0

+

0 0 01 0 00 1 0

=12

0 1 01 0 10 1 0

= D

Ainsi d(M, A3(R))=

tDD =12

12 + 12 + 12 + 12 = 1

Ex 2 :

Pour dmontrer que est un produit scalaire hermitien, on prouve que :

(P, Q) = (P, Q) (laiss au lecteur) est semi-linaire gauche et linaire droite : est sesquilinaire. (laiss au lecteur)

(P, P ) = 12

2

0

P (ei)

2d > 0.

(P, P ) = 0

P (ei)

= 0 P (z) = 0 pour tout nombre complexe de module 1, cest dire que P = 0. est dfinie positive.

On a dmontr que est un produit scalaire hermitien.

Soit p, q deux entiers compris entre 0 et n. (Xp, Xq) =1

2

2

0

ei(p+q))d donc ||Xp||2 = 12

2

0

d = 1 et

pour p 6= q, (Xp, Xq) = 12

1i(p + q)

[

ei(p+q)]2

0= 0 .

La base canonique est orthonormale.

Q = Xn + an1Xn1 + + a0 Cn[X ].

||Q||2 = (Q, Q) = (

Xn +n1

k=0

akXk, Xn +

n1

k=0

akXk

)

= (Xn, Xn) +n1

k=0

akak(Xk, Xk) = 1 +n1

k=0

|ak|2.

(compte-tenu du fait que (Xp)06p6n est une base orthonormale pour et du fait que est un produit scalairehermitien)

M = sup|z|=1

|Q(z)|. M = 1 n1

k=0

|ak|2 = 0 ak = 0 , k compris entre 0 et n 1. On a donc Q = Xn

Ex 3 :

1. S = (RN, +, .) est un espace vectoriel rel. Montrons que E est un sous-espace vectoriel de S. Pour cela, soit(u, v) E2 et (, ) R2) on a :

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De faon vidente u E ; (un + vn)2 = u2n + v2n + 2unvn 6 u2n + v2n + u2n + v2n = 2u2n + 2v2n. On sait que u et v sont des suites de carrs

sommables donc il en est de mme de la suite (u + v).

Ainsi en tant que sous-espace vectoriel de S, E est bien un R-espace vectoriel.

2. De (un vn)2 > 0, on en dduit que unvn 612

(u2n + v2n) donc cela prouve que la srie

+

n=0

unvn est convergente

donc (u, v) existe si (u, v) E2.Pour la symtrie, la bilinarit et la positivit de , cest vident et :

(u, u) = 0 +

n=0

u2n = 0 n N, u2n = 0 u = 0.

Lapplication est un produit scalaire sur E.

Ex 4 :

i tel que 1 6 i 6 n, 1 = ||ei|| =n

k=1

(ei|ek)2 1 = (ei|ei)2 +n

k=1,k 6=i

(ei|ek)2 k tel que 1 6 k 6 n et k 6= i,

(ei|ek) = 0. Ainsi la famille (e1, e2, ..., en) est orthonormale. (orthogonale compose de vecteurs unitaires)

Maintenant, pour rpondre la question, il faut dmontrer que E =vect(e1, e2, ..., en). On note F =vect(e1, e2, ..., en)et x E. On considre la projection orthogonale de x sur F et on dmontre que pF (x) = x ce qui prouvera queF = E.

On a pF (x) =n

k=1

(x|ek)ek, on en dduit que ||pF (x)||2 =n

k=1

(x|ek)2 = ||x||2.

En utilisant le thorme de Pythagore, on a ||pF (x)||2 + ||x pF (x)||2 = ||x||2 car x pF (x) et pF (x) sontorthogonaux. On a donc ||x pF (x)||2 = ||x||2 ||pF (x)||2 = 0 donc x pF (x) = 0 pF (x) = x.

Ex 5 :

Une base de F est (u, v) o u = (1, 0, 0, 1) et v = (0, 1, 1, 2).Une base orthonormale possible est (w, t) o w =

12

(1, 0, 0, 1) et v =12

(1, 1, 1, 1).

Soit p la projection orthogonale sur F (expression des p(ei) dans la base (ei)). P =14

3 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 3

et donc celle de la symtrie s = 2p Id est : S = 12

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

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