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Comment évaluer musicalement les théories mathématiques de la musique? Séminaire Musique & Mathématiques (16 avril 2005) François NICOLAS L’exemple de la théorie de Mazzola

Comment évaluer musicalement les théories mathématiques de la musique? Comment évaluer musicalement les théories mathématiques de la musique? Séminaire

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Comment évaluer musicalement

les théories mathématiques de la musique?

Comment évaluer musicalement

les théories mathématiques de la musique?

Séminaire Musique & Mathématiques

(16 avril 2005)

François NICOLAS

L’exemple de la théorie de Mazzola

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Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 2

PlanPlan

• I. Les raisonances musique-mathématiques

• II. Le cas des théories mathématiques de la musique

• III. La théorie de Guerino Mazzola

– Harmonie– Contrepoint– Modulation– Geste

• IV. L’hypothèse d’une intellectualité mathématique

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Trois types de raisonancesTrois types de raisonances

• Deux affinités électivesentre pensées musicale et mathématique

• Une raisonance privilégiéeentre intellectualité musicale et pensée mathématique

• D’autres raisonances possiblesPenser la musique avec les mathématiques?

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Deux affinités électivestraditionnelles

Deux affinités électivestraditionnelles

• Par les nombresPythagore

St Thomas :« La musique s’en remet aux principes qui lui

sont livrés par l’arithmétique »

• Par les figuresExemple : Descartes

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Ordonnancement arithmétiqueOrdonnancement arithmétiquedes intervalles musicauxdes intervalles musicaux

1 Unisson 1/1

2 Octave 2/1

3 Quinte 3/2

4 Quarte 4/3

5 Tierce majeure (do-mi) 5/4

6 tierce mineure (mi-sol) 6/5

7 petite tierce mineure (sol-si b) 7/6

8 Grande seconde majeure (si b – do) 8/7

9 Seconde majeure (do-ré) 9/8

10 petite seconde majeur e (ré-mi) 10/9

… … …

16 seconde mineure (si-do) 16/15

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Descartes :Descartes :les figures du Compendium musicæ (1618)

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Nouvelle conceptiondes affinités électivesNouvelle conceptiondes affinités électives

• Partage d’écriture

• Partage d’un souci logique

Descartes

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Deux logiques orthogonalesDeux logiques orthogonales

Logique de la

démonstration mathématique

Principe d’identité

A = A

Principe de non contradiction

Non (A et non-A)

Principe de tiers-exclus

A ou non-A

Logique du

développement musical

Principe de différenciation

A ≠ A(’)

Principe de négation contrainte

A => (A et non-A)

Principe du tiers obligé

A => (A et B)avec B ≠ A et B ≠ non-A

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Vulgarisation mathématique ?Vulgarisation mathématique ?

• Oublier la démonstration

• Effacer l’écriture mathématique

Vulgarisation musicale ?Vulgarisation musicale ?

• Oublier le développement

• Effacer la partition

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Trois dimensions de l’intellectualité musicale

Trois dimensions de l’intellectualité musicale

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Quelques intellectualités musicales…Quelques intellectualités musicales…

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Le principe du contemporainLe principe du contemporain

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• Pour Rameau, une théorie de la nouvelle musique tonale doit être une théorie

cartésienne de la musique.• Pour Boulez, une théorie du nouveau langage musical sériel doit être une

théorie axiomatisée et formalisée de la musique.

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Trois raisonances privilégiéesou la conjonction musique-poésie-mathématique-philosophieTrois raisonances privilégiées

ou la conjonction musique-poésie-mathématique-philosophie

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• I. Affinités naturelles

• ÉcrituresPenser l’écriture et la lettre musicales avec l’écriture et la lettre mathématiques• LogiquesPenser la logique musicale (et donc l’articulation raison/calcul) avec la logique mathématiquePenser le style diagonal de pensée avec la procédure diagonale de Cantor

• II. Raisonances privilégiées

• Ce que veut dire théoriserPenser le « avec » avec la théorie des modèlesPenser le monde de la musique avec la théorie des topos

• III. Raisonances supplémentaires possibles

• Penser la musique avec les mathématiquesPenser la perception musicale avec la théorie des pavagesPenser l’audition avec la théorie de l’intégrationPenser l’écoute musicale avec la théorie de la différenciationPenser l’écoute à l’œuvre avec les jeux mathématiques de taquinsPenser les modalités de l’entendre avec les théories mathématiques de l’intrinsèque et de l’extrinsèquePenser l’articulation musicale entre écriture et écoute avec l’articulation mathématique (de la théorie) des

ensembles et (de la théorie) des catégoriesPenser la composition musicale avec les théories mathématiques du local et du globalPenser l’entre-œuvres des concerts avec la théorie des catégoriesPenser la combinatoire musicale avec l’algèbrePenser le temps musical avec la théorie des équations différentiellesPenser la nature musicale avec la théorie des ordinaux et cardinauxPenser les rapports de l’œuvre à son matériau avec la théorie des nombres surréels

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Trois types de raisonancesTrois types de raisonances

Raisonances Elles portent

sur

Elles rapprochent :

deux affinités électives

écritures & soucis logiques

Mêmes types de matières (littérales) ou manières de penser (« à la lettre »)

Mêmes soucis des formes (logiques) de la pensée

pensées musicale & ma-thématique

une raisonance privilégiée

ce que veut dire théoriser

L’intellectualité musicale se met « à l’école » de la pensée mathématique

autres raiso-nances

possibles [ divers ]

L’intellectua lité musicale se met « à l’écoute » de la pensée mathématique

intellectualité musicale (pensée musicienne)

& pensée mathématique

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Différents types de théorie musicaleDifférents types de théorie musicale

• Théories mathématiques de la musiqueex. : G. Mazzola (The Topos of Music)

• Théories physiques de la musiquecf. acoustique, mécanique (organologie)…

• Théories philosophiques de la musiqueex. : Platon, St Augustin, Leibniz…

• Théories sociologiques de la musiqueex. : M. Weber, P.-M. Menger…

• Théories psychologiques de la musiquecf. « Les sentiments du musicien »

• Théories politologiques de la musiquecf. « Musique et pouvoir d’État… »

• …

• Théories musiciennes de la musique– musicologistes

Aristoxène, Zermelo…Forte, Lewin, Vieru…

– compositionnellesMessiaen, Carter…

• Théories musiciennes de la musique– musicologistes

Aristoxène, Zermelo…Forte, Lewin, Vieru…

– compositionnellesMessiaen, Carter…

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« Théorie »

« de »

« la musique »

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« Théorie d’un modèle »« Théorie d’un modèle »

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A

B

α β

=======> ( Théorie )

( Modèle )

formalisation interprétation

syntaxe

sémantique

Système formel

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A

B

α β

=======> ( Théorie )

( Modèle )

formalisation interprétation

syntaxe

sémantique

Système formel

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Théorie formelle d’une théorie « naïve »Théorie formelle d’une théorie « naïve »

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A B=======>(Théorie formalisée)

(Modèle)

Système formel

a b

α β

----------- >( )Théorie naïve

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A B=======>(Théorie formalisée)

(Modèle)

Système formel

a b

α β

----------- >( )Théorie naïve

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A B=======>Théorie mathématique

Modèle musical

a b

α β

-----------> Théorie musicienne

( démonstration )mathématique

( développement )musical

( déduction )musicienne

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A B=======>Théorie mathématique

Modèle musical

a b

α β

-----------> Théorie musicienne

( démonstration )mathématique

( développement )musical

( déduction )musicienne

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Non-commutativité !Non-commutativité !

A B=======>

a b

α β

----------->

=======>

-----------> Q

ƒ

g

F

P

G

d

D

d≠G°D°Fd≠G°D°F

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A B=======>Théorie mathématique

Modèle musical

a b

α β

-----------> Théorie musicienne

( démonstration )mathématique

( développement )musical

( déduction )musicienne

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A B=======>Théorie mathématique

Modèle musical

a b

α β

-----------> Théorie musicienne

( démonstration )mathématique

( développement )musical

( déduction )musicienne

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Extension humoristiqueExtension humoristique

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A

B=======>

a b

α β

----------->

D

F

ƒ

d

G

g

=======> C

H

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h

γ ?

D'

extension

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A

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a b

α β

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D

F

ƒ

d

G

g

=======> C

H

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D'

extension

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b ca

α β

----------->

ƒ

d

g

h

γ

extension

d’?

?

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b ca

α β

----------->

ƒ

d

g

h

γ

extension

d’?

?

Rapprochementd’un lointain…

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« Fibre créatrice d’un voisinage »« Fibre créatrice d’un voisinage »

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Intension ironiqueIntension ironique

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b ca

α β

----------->

ƒ

d

g

h

γ

----------->

’d

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b ca

α β

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ƒ

d

g

h

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----------->

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b ca

α β

----------->

ƒ

d

g

h

γ

------------------------------------------------------------->

[ ’]d

A B=======>

D

FG

=======> F

H

D'

C =======>

’D'

D ======>

’’D '

E =====>

’’’D'

? ? ?

i n t e n s i o n

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b ca

α β

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ƒ

d

g

h

γ

------------------------------------------------------------->

[ ’]d

A B=======>

D

FG

=======> F

H

D'

C =======>

’D'

D ======>

’’D '

E =====>

’’’D'

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i n t e n s i o n

Éloignementd’un proche…

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Isomorphie de deux théories musiciennesIsomorphie de deux théories musiciennes

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YX ==========>

[ Contrepoint ]

(Théorie de Fux)

(Théorie mathématique)

α β

A B———>

α ' β '

A' B'———>

[ Harmonie ]

(Théorie de Riemann)

un ruban de Möbiusun tore

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YX ==========>

[ Contrepoint ]

(Théorie de Fux)

(Théorie mathématique)

α β

A B———>

α ' β '

A' B'———>

[ Harmonie ]

(Théorie de Riemann)

un ruban de Möbiusun tore

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Le ruban harmoniqueLe ruban harmonique

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Une bande de Möbius?Une bande de Möbius?

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… ou un cylindre !… ou un cylindre !

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Formalisation mazzolienne du contrepointFormalisation mazzolienne du contrepoint

Le tore des tiercesLe tore des tierces

Les dichotomies

consonances | dissonances

Les dichotomies

consonances | dissonancesQuickTime™ et undécompresseur

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Une extension humoristiquedu contrepoint…

Une extension humoristiquedu contrepoint…

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Du peu d’intérêt musicalde la génétique et de la poïétique…

Du peu d’intérêt musicalde la génétique et de la poïétique…

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À nouveau,commutation mathématique

et non-commutation musicienne

ne s’accordent guère…

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Formalisation mazzolienne de la modulationFormalisation mazzolienne de la modulation

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Une extension humoristiqueUne extension humoristique

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?

QuickTime™ et undécompresseur

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?

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La formalisation mazzolienne du gesteLa formalisation mazzolienne du geste

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Quelle « musique » ?Quelle « musique » ?

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Le mathématicien désire que cela commute !Le mathématicien désire que cela commute !

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Écouter la trace d’un corps-accordÉcouter la trace d’un corps-accord

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Le même diagramme vu par un mathématicien…Le même diagramme vu par un mathématicien…

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La partition comme produit,

limite du digramme {musicien, instrument}

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Le corps-accord comme coproduit,

colimite du digramme {musicien, instrument} La spatialisation comme coproduit,

colimite du digramme {instrument, salle}

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Désir mathématicien :trois limites !

Désir mathématicien :trois limites !

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Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 39

Intellectualités mathématiques ?Intellectualités mathématiques ?

• ?• Henri Poincaré (1854-1912)• Hermann Weyl (1885-1955)• ?• Alain Connes• René Guitart• Guerino Mazzola• …

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Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 40

Analogie ?Analogie ?QuickTime™ et un

décompresseur TIFF (non compressé)sont requis pour visionner cette image.

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Séminaire Musique & mathématiques (Ens, 16 avril 2005) 41

Deux compréhensions duales de la musique ?

Deux compréhensions duales de la musique ?

Pour le musicien pensif,• la musique est un monde ; elle est comme un topos ;

• ses opérations sont essentiellement non-commutatives.

Pour le mathématicien théoricien de la musique,• la musique est un topos ; elle est comme un monde ;• la mathématique de ses opérations est commutative.