Comment peut-on construire un microscope qui grossit tellement … · 2020-06-03 · Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Version 2020 11-La mécanique quantique 2 En 1923, Louis

Comment peut-on construire un microscope qui grossit tellement qu’il

permet même de voir les atomes ?

www.aip.org/history/einstein/atoms.htm

Découvrez la réponse à cette question dans ce chapitre.

Luc Tremblay Collège Mérici, Québec

Version 2020 11-La mécanique quantique 2

En 1923, Louis de Broglie (prononcé de Breuil) arrive à une conclusion étonnante. La matière peut aussi agir comme une onde ! Il arrive même à la formule donnant la longueur d’onde de ces ondes de matière est Longueur d’onde de De Broglie

h

pλ =

où p est la quantité de mouvement de la particule. Exemple 11.1.1

Quelle est la longueur d’onde d’un électron allant à 3 x 106 m/s (1% de la vitesse de la lumière) ?

Dans ce cas, on peut calculer la quantité de mouvement avec la formule non relativiste. On a donc

34

31 6

6,626 10

9,11 10 3 10

0,243

ms

h

mv

Js

kg

nm

λ

−

−

=

×=

× × ×

=

Les arguments de De Broglie n’étaient pas expérimentaux. Il s’agissait d’une suite d’arguments théoriques concernant la cohérence de la physique. Pour vous donner une idée, voici deux des éléments présentés par de Broglie. Argument 1 : La relativité d’Einstein

Comme on l’a mentionné au chapitre sur la relativité, les vecteurs à trois composantes n’ont pas leur place en relativité. Souvent, les quantités vectorielles se retrouvent dans des quadrivecteurs à 4 composantes. Par exemple, l’énergie relativiste et la quantité de mouvement sont les quatre composantes du quadrivecteur suivant.

, , ,x y z

Ep p p

c

On ne l’a pas vu, mais k est aussi un vecteur (on l’aurait vu si on avait poussé davantage l’étude des ondes en trois dimensions). C’est un vecteur de grandeur



2π/λ dirigé dans le sens de la propagation de l’onde. En relativité, ce vecteur fait partie d’un quadrivecteur dont les 4 composantes sont les suivantes.

, , ,x y zk k kc

ω

La formule E=hf est une relation entre une des composantes de ces deux quadrivecteurs.

22

E hf

hE f

E

E

c c

ππ

ω

ω

=

=

=

=

ℏ

ℏ

Or, s’il y a une relation entre une des composantes d’un quadrivecteur, la même relation doit être vraie pour les autres composantes. On doit donc avoir

p k= ℏ ce qui donne

2

2

hp

h

p

π

π λ

λ

=

=

Argument 2 : Les postulats de Bohr

Voyons ce que devient le postulat de Bohr

mvr n= ℏ si on utilise la formule de De Broglie. On a alors

22

mvr n

pr n

h hr n

n rλ π

λ π

=

=

=

=

ℏ

ℏ



Cette formule nous dit que la circonférence de l’orbite doit être un nombre entier de fois la longueur d’onde de l’électron. C’est exactement la condition pour avoir une onde stationnaire sur une trajectoire circulaire.

www.scinote.org/blog/seeking-scinote-physics-why-dont-electrons-fall-into-the-nucleus

La formule de De Broglie permet donc de justifier le postulat de Bohr en disant que les orbites permises sont celles où l’électron forme une onde stationnaire.

De Broglie présente sa théorie dans un article en septembre 1923. Les sceptiques sont nombreux au départ, jusqu’à ce qu’Einstein arrive à la même conclusion que de Broglie en janvier 1925 à partir de bases différentes. Erwin Schrödinger montra aussi que la trajectoire d’un projectile pouvait s’expliquer par une réfraction si on considère que le projectile est une onde dont la longueur d’onde est donnée par la formule de De Broglie. Les idées de De Broglie semblaient se confirmer. Restait à prouver expérimentalement cette idée. De Broglie mentionna lui-même, dans son article, qu’on pourrait montrer la nature ondulatoire de la matière en observant de l’interférence et de la diffraction avec des électrons. Mais avant, on doit comprendre ce que signifie la matière peut agir comme une onde.



L’idée que la matière puisse agir comme une onde n’est pas une simple reformulation de ce qu’on a dit à propos des ondes mécaniques qui sont des ondes qui se propagent dans la matière. Dans ces ondes, la matière n’est pas une onde, elle n’est que le support des ondes. Elle ne signifie pas non plus que les particules se déplacent en suivant une trajectoire qui ondule.

Erreur fréquente : penser que l’électron se

déplace en oscillant

L’onde de De Broglie ne représente pas la trajectoire des particules. Les électrons ne se déplacent pas en suivant une trajectoire ondulée dont la longueur d’onde est h/p.

L’idée que la matière puisse agir comme une onde signifie plutôt que des particules comme des électrons peuvent, par exemple, faire de la diffraction en passant dans un petit trou. Mais que se passe-t-il alors ? On a vu que, lors d’une diffraction, l’onde s’étale après son passage dans un trou. Est-ce que cela signifie qu’un électron s’étale après son passage dans un petit trou ? Comment une particule peut-elle s’étaler ? L’interprétation de Copenhague

Pour bien comprendre ce que représente l’onde, regardons ce qui se passe si on fait l’expérience de Young avec des électrons. Si les électrons agissent comme une onde, on devrait avoir le même résultat que ce qu’on obtient avec des photons : il devrait y avoir une figure d’interférence sur l’écran avec des maximums et des minimums. (Dans cette expérience, l’écran derrière les fentes devient lumineux à l’endroit où l’électron le frappe, ce qui permet d’enregistrer tous les endroits où un électron a frappé l’écran.)

www.blacklightpower.com/theory-2/theory/double-slit/



Regardons ce qu’on obtient sur l’écran quand on fait cette expérience (qui fut faite en 1989).

www.hitachi.com/rd/portal/research/em/doubleslit.html

La ressemblance avec la figure d’interférence obtenue avec la lumière dans l’expérience de Young est frappante. De plus, l’espacement entre les franges brillantes est exactement celui qu’on devrait obtenir avec une longueur d’onde donnée par la formule de de Broglie. Le résultat de cette expérience indique que beaucoup de particules viennent frapper l’écran aux endroits où il y a des maximums d’interférence, donc là où l’amplitude de l’onde est maximale. On remarque aussi que peu de particules viennent frapper l’écran aux endroits où il y a un minimum d’interférence, donc aux endroits où l’amplitude de l’onde est très petite. Cela suggère l’interprétation suivante, faite par Max Born en 1926, qui porte le nom d’interprétation de Copenhague. Interprétation de Copenhague

Le carré de l’amplitude de l’onde à un endroit est proportionnel à la probabilité de trouver la particule à cet endroit.

Donc, plus de particules frappent l’écran aux endroits où il y a des maximums d’interférence, car l’amplitude est plus grande à ces endroits et on a donc plus de chance de retrouver les particules à ces endroits. Le symbole utilisé pour l’amplitude de l’onde est ψ. Ainsi, pour l’expérience de Young avec des électrons, on peut voir sur la figure suivante le lien entre ψ ² et le nombre d’électrons arrivant sur l’écran.



www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/physics-archive-2011-november-20

Il est clair que plus ψ ² est grand, plus il y a d’électrons à cet endroit. Cette interprétation est valide pour toutes les particules, incluant les photons. Notons qu’Einstein avait suggéré cette interprétation pour les photons en 1905 quand il proposa pour la première fois que la lumière était composée de photons. Il proposa que l’intensité de la lumière sur une surface, qui est proportionnelle au carré de l’amplitude de l’onde, devait être proportionnelle au nombre de photons arrivant sur cette surface. Les premières preuves expérimentales

Il n’était pas possible de faire l’expérience des doubles fentes quand de Broglie publia ses résultats, mais on parvint tout de même à confirmer les idées de De Broglie avec de l’interférence dès 1926. À ce moment, Clinton Davisson et Lester Germer et, indépendamment, George Paget Thomson et Alexander Reid parvinrent à faire de l’interférence avec des électrons. Pour y arriver, Davisson et Germer firent passer des électrons à travers un cristal de nickel. L’espacement régulier des atomes dans le cristal fait que ce dernier agit comme un réseau. Si les électrons agissent comme une onde, on devrait observer la figure d’interférence résultante sur un écran placé derrière le cristal. On pourrait même trouver la longueur d’onde à partir de la distance entre les maximums d’interférence avec dsin θ = mλ. La figure de droite montre ce qu’on obtient sur un écran quand on fait passer des électrons dans un cristal formé de manganèse et d’aluminium.

scienceblogs.com/gregladen/2011/10/05/there-can-be-no-such-creature/



Les taches brillantes sont les endroits où beaucoup d’électrons frappent l’écran, c’est-à-dire les maximums d’interférence. Il y a donc une figure d’interférence, ce qui confirme que les électrons agissent comme des ondes. Dans cette autre image, on a des rayons X et des électrons de même longueur d’onde qui passe à travers une feuille d’aluminium. Les figures sont circulaires parce que la feuille d’aluminium est constituée de plusieurs petits cristaux orientés au hasard. La similitude des deux images est frappante, ce qui montre bien que les électrons agissent comme une onde (des rayons X dans ce cas).

www.pems.adfa.edu.au/~s9471553/level1/Teaching/Physics1BWaves/Physics1BWaves.html

Les expériences de Davisson et Thomson confirmèrent donc que les électrons peuvent agir comme une onde et que la longueur d’onde était bien donnée par la formule de De Broglie, ce qui valut à tout ce monde un prix Nobel (de Broglie en 1929 et Davisson et Thomson en 1937) (Fait quasi intéressant : Thomson reçu le prix Nobel pour avoir montré que l’électron est une onde alors que son père, J.J. Thomson, l’avait reçu en 1906 pour avoir montré en 1897 que l’électron était une particule !) On a également réussi à faire de l’interférence avec des neutrons en 1945. Exemples

Exemple 11.2.1 Un électron a une énergie cinétique de 350 keV. Quelle est sa longueur d’onde ?

La longueur d’onde se calcule avec

h

pλ =

Il nous faut donc la quantité de mouvement de l’électron. Première option : calculer la vitesse L’énergie de masse de l’électron est



( )22 31 8

14

9,11 10 3 10

8,199 10

511,8

msmc kg

J

keV

−

−

= × ⋅ ×

= ×

=

On trouve la vitesse de l’électron avec

( )

( )

2

2

21

350 1 511,8

1,6839

11,6839

1

0,8046

k

uc

E mc

keV keV

u c

γ

γ

γ

= −

= −

=

=−

=

La longueur d’onde est donc

34

31 8

6,626 10

1,6839 9,11 10 0,8046 3 10

0,00179

ms

h

mu

Js

kg

nm

λγ

−

−

=

×=

⋅ × ⋅ ⋅ ×

=

Deuxième option : calculer la quantité de mouvement On peut trouver la quantité de mouvement avec

( ) ( )

2 2 2 2 4

2 22 2

13

22

511,8 350 511,8

693, 4

1,111 10

3,703 10 kgms

E p c m c

keV keV p c keV

pc keV

pc J

p

−

−

− =

+ − =

=

= ×

= ×

La longueur d’onde est alors

34

22

6,626 10

3,703 10

0,00179

kgms

h

p

Js

nm

λ

−

−

=

×=

×

=



Pour obtenir une figure de diffraction en faisant passer des électrons allant à cette vitesse dans un trou, il faudrait qu’ils passent dans un trou vraiment petit.

Dans ce dernier exemple, vous auriez pu être tenté d’utiliser E = hf (où E est l’énergie relativiste) pour trouver la fréquence pour ensuite trouver la longueur d’onde avec v = λf. Cette méthode ne serait toutefois pas bonne parce que, selon ce qu’on a appris ici, vous ne pouvez pas utiliser E = hf pour autre chose qu’un photon.

Erreur fréquente : Appliquer E = hf à autre chose qu’un photon

La formule E = hf est valide pour toutes les particules, mais il y a quelques subtilités si on l’applique à des particules qui ne vont pas à vitesse de la lumière. Pour des raisons que nous n’exposerons pas ici, (mais qu’on peut voir ici http://physique.merici.ca/ondes/preuve-Ehf.pdf) λ = h/p est valide pour toutes les particules (incluant le photon), mais E = hf ne l’est pas si on utilise v = λf pour trouver la fréquence. Comme vous n’avez pas de formule pour trouver f pour la matière dans ces notes, vous ne pouvez pas utiliser E = hf pour autre chose que les photons.

Exemple 11.2.2 Quelle est la longueur d’onde d’une balle de baseball (m = 145 g) allant à 15 m/s ?

La longueur d’onde est

34

34

6,626 10

0,145 15

3 10

ms

h

mv

Js

kg

m

λ

−

−

=

×=

×

= ×

Dans ce cas, il n’y a aucune chance qu’on puisse faire de la diffraction avec la balle de baseball. Il faudra la faire passer par un trou d’un diamètre de 10-34 m, ce qui est impossible (le noyau atomique a un diamètre de l’ordre de 10-14 m).

Puisque la matière peut agir comme une onde, tout ce qu’on a appris concernant les ondes peut être appliqué à la matière.



Exemple 11.2.3

On fait passer des électrons allant à 5000 m/s dans un trou circulaire ayant un diamètre de 0,1 mm et on observe la figure de diffraction sur un écran situé à 2 m du trou. Quel est le diamètre du maximum central de diffraction ?

Le maximum central se termine au premier minimum. L’angle de ce minimum est donné par

1,22sin

a

λθ =

Pour trouver cet angle, il nous faut la longueur d’onde des électrons. Cette longueur d’onde est

34

31

6,626 10

9,11 10 5000

145,5

ms

h

mv

Js

kg

nm

λ

−

−

=

×=

× ×

=

L’angle du premier minimum est donc

9

3

1, 22sin

1, 22 145,5 10sin

0,1 10

a

m

m

λθ

θ−

−

=

⋅ ×=

×

sin 0,001775

0,1017

θ

θ

=

= °

Sur l’écran, la distance entre le centre du maximum central et la fin du maximum central est

( )

tan

tan 0,10172

3,55

y

Ly

my mm

θ =

° =

=

Le diamètre du maximum central est donc 7,10 mm.



La dualité onde-particule Au chapitre précédent, on se demandait si la lumière est une onde ou une particule. On voit maintenant que le problème est beaucoup plus étendu puisque la matière aussi a les mêmes propriétés. La question est donc : Est-ce que la matière et la lumière sont des ondes ou des particules ? Malheureusement, il n’y a pas de réponse simple à cette question. On peut seulement constater qu’elles agissent parfois comme des ondes et parfois comme des particules. Généralement, elles agissent comme des particules quand la longueur d’onde est petite (donc quand l’énergie est grande) et comme des ondes quand la longueur d’onde est grande (donc quand l’énergie est petite.) Pour des objets macroscopiques tels qu’une balle de baseball, cela fait en sorte qu’on ne peut jamais voir le côté ondulatoire de la matière. Quand la matière agit comme une particule, elle agit seulement comme une particule et pas du tout comme une onde. Par exemple, une collision avec une autre particule est décrite par les équations de collisions entre des particules et cette collision est impossible à décrire avec la théorie ondulatoire, exactement comme cela se produisait avec la lumière pour l’effet Compton. Ce qu’on obtient n’est pas qu’une simple approximation de la théorie ondulatoire pour de grandes longueurs d’onde puisque le résultat est tout simplement impossible à expliquer si on suppose que la matière est une onde. Par contre, quand la matière agit comme une onde, elle agit seulement comme une onde et pas du tout comme une particule. Il est impossible d’expliquer le résultat d’une expérience de diffraction avec des électrons si on suppose que ce sont des particules. C’est la dualité onde-particule : les deux théories sont nécessaires pour expliquer tous phénomènes. On ne peut jamais voir les deux aspects de cette dualité en même temps. La particule agit comme une particule ou comme une onde, jamais les deux à la fois en même temps. C’est ce que dit le principe de complémentarité de Bohr : les aspects corpusculaire et ondulatoire sont complémentaires l’un à l’autre. Ces deux aspects sont nécessaires pour expliquer tous les phénomènes et ils se complémentent, car ils ne sont jamais utilisés en même temps pour expliquer les mêmes phénomènes. Seul l’aspect ondulatoire est présent lors de la diffraction des électrons et seul l’aspect corpusculaire est présent lors d’une collision de particules. On ne peut jamais analyser une situation en parlant à la fois d’onde et de particule. C’est l’un ou l’autre. Un monde de probabilités Avec l’interprétation de Copenhague, la physique n’est plus déterministe. Avec une physique déterministe, on pourrait, en théorie, calculer exactement tout ce qui va se passer dans le futur si on savait très précisément la position et la vitesse de tous les atomes dans l’univers. Tout est déterminé d’avance.



Cette qualité se perd avec l’interprétation de Copenhague. Si on envoie un électron entre deux fentes, les formules de la mécanique quantique vont nous donner les probabilités que l’électron frappe l’écran à différents endroits. On ne saura pas avec certitude où va frapper l’électron, on saura seulement qu’il y a beaucoup de chance qu’il frappe l’écran à certains endroits. Il est donc impossible de prédire exactement ce qui va se passer, on ne peut faire que des probabilités. Einstein s’opposa fortement à ce genre d’idée, et c’est pourquoi il affirma que « Dieu ne joue pas aux dés avec l’univers »

En 1925, Erwin Schrödinger développe davantage les idées de De Broglie et arrive à une équation qui permet de calculer l’amplitude de l’onde en fonction de la position. Le résultat dépend de l’énergie de la particule et de l’énergie potentielle, qui elle aussi varie avec la position. Cette équation est l’équation de Schrödinger.

( )2

2 2

20

d mE U

dx

ψψ+ − =

ℏ

Il existe une version un peu plus complexe en trois dimensions. Je vous rassure tout de suite en vous disant que vous n’aurez pas à résoudre cette équation différentielle pour trouver l’amplitude de l’onde. On va cependant vous montrer ce que donne l’application de cette formule dans des situations simples ou importantes.

Particule dans un puits de potentiel infini

Dans cette situation, une particule est prisonnière dans une région de l’espace entre x = 0 et x = L. Cette particule ne peut sortir de cette région, peu importe l’énergie qu’on lui donne. Comme le comportement de l’onde est décrit par l’équation de Schrödinger, on doit décrire notre situation avec les énergies potentielles. Dans notre cas, on a la situation suivante.

La solution de l’équation de Schrödinger est relativement simple quand l’énergie potentielle est constante. Les solutions sont : - Une onde sinusoïdale pour la région entre x = 0 et x = L. - 0 pour les régions x < 0 et x > L.



De plus, comme la fonction d’onde doit être continue, l’onde sinusoïdale doit être nulle à x = 0 et x = L On se retrouve donc avec une situation similaire à celle que l’on avait obtenue avec les ondes stationnaires. Les ondes possibles sont les suivantes (du moins les trois premières).

Harris Benson, Physique 3 : Ondes, optique et physique moderne, ERPI, 2009

Ce qui nous donne les valeurs possibles de longueurs d’onde suivantes. Longueurs d’onde possibles pour une particule enfermée dans une boite en une dimension

2n

L

nλ =

Comme la longueur d’onde est

h

pλ =

Les quantités de mouvement possibles pour la particule sont

2nn

h nhp

Lλ= =

Pour trouver l’énergie, il nous faut l’énergie cinétique. Pour la trouver facilement, rappelons-nous ce lien entre la quantité de mouvement et l’énergie cinétique quand la vitesse est loin de la vitesse de la lumière trouvée en mécanique.

21

2k

pE

m=

L’énergie est donc



210

2n

n k

pE E U

m= + = +

On a, si on remplace, Énergies possibles pour une particule enfermée dans une boite en une dimension

2 2

28n

n hE

mL=

Ce sont les seules valeurs d’énergie que la particule dans une boite peut avoir. Si l’énergie de l’électron change d’une valeur élevée à une valeur plus basse, un électron ayant l’énergie perdue est émis. Exemple 11.3.1 Un électron est prisonnier d’une boite unidimensionnelle d’une longueur de 0,7 nm.

a) Quelles sont les quatre plus petites valeurs d’énergie que peut avoir cet électron ?

Les énergies sont

( )( )( )

2342 219

1 22 31 9

6,626 1011,23 10 0,767

8 8 9,11 10 0,7 10

J shE J eV

mL kg m

−

−

− −

× ⋅= = = × =

× ×

2 2

22 2

22 0,767 3,070

8

hE eV eV

mL= = ⋅ =

2 22

3 2

33 0,767 6,907

8

hE eV eV

mL= = ⋅ =

2 22

4 2

44 0,767 12,279

8

hE eV eV

mL= = ⋅ =

b) Quelle est la longueur d’onde du photon émis si l’électron passe du troisième au

premier niveau d’énergie ?

L’énergie du photon est



6,907 0,767

6,139

photon i fE E E

eV eV

eV

= −

= −

=

La longueur d’onde du photon est donc

1240202

6,139

hc eVnmnm

E eVλ = = =

Si on fait le graphique de ψ² pour les trois premiers niveaux, on obtient les graphiques suivants.


Ces graphiques nous montrent la probabilité de trouver la particule à un endroit dans la boite si on mesure sa position. Par exemple, quand la particule est au troisième niveau, on voit qu’il y a trois zones où il y a de fortes chances de trouver la particule alors qu’il est impossible d’observer la particule à x = L/3 et à x = 2 L/3. Particule dans un puits de potentiel fini Dans un puits de potentiel fini, la particule est prisonnière d’une région entre x = 0 et x = L, mais elle pourrait sortir si son énergie est suffisante. Prenons un exemple avec des valeurs. Supposons que l’énergie potentielle est de 0 eV entre x = 0 et x = 0,7 nm et qu’elle est de 10 eV pour x < 0 et x > 0,7 nm.

Ainsi, si l’énergie de la particule est inférieure à 10 eV, elle est prisonnière de la région entre x = 0 et x = 0,7 nm (rappelez-vous que les objets ne peuvent pas aller aux endroits où l’énergie potentielle est plus grande que l’énergie mécanique selon la mécanique



classique). Par contre, si son énergie est supérieure à 10 eV, la particule peut être n’importe où et elle peut donc sortir de la boite. Les solutions de l’équation de Schrödinger sont complètement différentes dans les deux régions si la particule a une énergie inférieure à 10 eV. Les solutions sont :

- Une fonction sinusoïdale pour la région entre x = 0 et x = 0,7 nm. - Des fonctions exponentielles pour les régions x < 0 et x > 0,7 nm.

Comme on doit avoir continuité de la fonction et de la dérivée de la fonction d’onde, il n’y a que quelques solutions possibles pour faire « fitter » ensemble la fonction sinusoïdale et les fonctions exponentielles. Les solutions possibles dans ce cas, sont

tccc.iesl.forth.gr/education/local/quantum/vqm/figs/5fwf.gif

En plus, il y a une infinité de solutions avec une énergie supérieure à 10 eV puisque la particule peut avoir n’importe quelle énergie si E > 10 eV. On peut alors faire les observations suivantes :

1- Le nombre de niveaux d’énergie est limité si l’énergie est inférieure à 10 eV. Plus le puits est profond, plus il y aura de niveaux.

2- L’énergie n’est plus quantifiée si l’énergie de la particule dépasse la profondeur

du puits. L’énergie de la particule peut prendre n’importe quelle valeur si elle est supérieure à 10 eV.

3- Les énergies sont un peu plus basses que celles obtenues avec le puits de

potentiel infini (voir l’exemple 10.3.1), car le sinus est un peu plus étiré, ce qui



augmente la longueur d’onde, ce qui diminue la quantité de mouvement et, par la même occasion, l’énergie.

4- Chose curieuse : on voit que l’onde dépasse un peu de chaque côté dans les

régions interdites pour les quatre niveaux ayant moins de 10 eV. Cela veut dire qu’il y a une certaine probabilité de trouver l’électron dans les régions x < 0 et x > 0,7 nm, même si cela est tout à fait impossible selon la mécanique classique.

Avec la mécanique quantique, on comprit assez vite que le modèle du noyau atomique de l’époque ne pouvait être bon. En effet, on pensait à l’époque que le noyau atomique était composé de protons et d’électrons. Avec la mécanique quantique, on peut faire un modèle assez rudimentaire du noyau dans lequel les particules sont enfermées dans un puits de potentiel fini. Dans le cas des électrons, la boite avait une largeur de l’ordre de 10 -15 m et la hauteur du puits de potentiel est d’environ 10 MeV. On se rend compte alors qu’il n’y a aucune solution où l’électron est prisonnier du puits de potentiel. Avec un puits de potentiel infini, le premier niveau est environ à 3000 MeV, ce qui est bien plus que l’énergie nécessaire pour sortir de la boite. Cette différence est si importante que même avec un modèle plus réaliste qu’un puits de potentiel, il calcule qu’il est impossible que des électrons restent dans un noyau atomique. C’est alors qu’on postula, durant les années 20, l’existence du neutron, particule qui fut découverte en 1932 par James Chadwick. Traversée d’une barrière On a pu remarquer dans la section précédente qu’une particule a une certaine probabilité de se trouver à des endroits interdits par la mécanique classique. On obtient un résultat encore plus surprenant quand on applique la mécanique quantique au cas d’une barrière. Voici une situation représentant cela.

Un électron ayant une énergie de 5 eV est dans une région où l’énergie potentielle est nulle. Il se dirige vers une région assez mince (0,1 nm) où l’énergie potentielle est de 10 eV. Comme l’énergie potentielle de cette région (10 eV) est plus grande que l’énergie totale de la particule (5 eV), la particule ne pourrait pas entrer dans cette région selon la mécanique classique et il est donc impossible qu’elle traverse cette barrière. Pourtant la solution de la mécanique quantique est différente. Encore une fois, on obtient une fonction sinusoïdale pour les régions où l’énergie de la particule est plus grande que l’énergie potentielle et une solution exponentielle pour les régions où l’énergie de la particule est plus grande que l’énergie potentielle. La figure suivante représente la solution.




Dans la barrière, la fonction exponentielle diminue rapidement, mais elle n’est pas nulle lorsqu’elle arrive de l’autre côté de la barrière. Comme la fonction d’onde doit être continue, la fonction sinusoïdale a une certaine amplitude de l’autre côté de la barrière. Puisque la fonction d’onde n’est pas nulle à droite de la barrière, cela signifie qu’il y a une certaine probabilité de trouver la particule de l’autre côté de la barrière de potentiel alors que cela aurait dû être impossible selon la mécanique classique. Dans notre exemple, la probabilité de traverser la barrière est de 33,3 % (voir formule un peu plus loin). Ce vidéo montre l’onde rencontrant une barrière. http://www.youtube.com/watch?v=_3wFXHwRP4s Cette probabilité qu’ont les particules de traverser des régions qu’il aurait été impossible de traverser selon la mécanique classique est appelée l’effet tunnel. Cette probabilité est donnée par (formule donnée simplement à titre de curiosité)

( )( )

12

200 0

0

1 sinh 24

U LT m U E

E E U

−

= + − − ℏ

brilliant.org/wiki/quantum-tunneling/

(E est l’énergie, de la particule, U0 est le potentiel de la barrière, L est la largeur de la barrière et sinh est un sinus hyperbolique, une fonction qui est sur votre calculatrice.) On pourrait se demander si cette probabilité de traverser une barrière est importante dans la vie de tous les jours. Par exemple, supposons qu’un objet de 100 g ayant une énergie de 4 J tente de traverser une région de 1 mm de large où l’énergie potentielle est de 5 J. Dans ce cas, la probabilité de traverser la barrière est d’une chance sur

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 00010 . Autrement dit, c’est salement impossible. N’essayez donc pas de traverser les murs par effet tunnel… L’effet tunnel est à la base du fonctionnement du microscope à effet tunnel (Ben oui !). Cet appareil d’une précision inégalée fut inventé en 1981. Une pointe très pointue (il n’y a qu’un seul atome au bout) passe au-dessus d’une surface. La pointe est chargée avec des électrons et la surface est chargée positivement. Les électrons sont donc attirés par la surface, mais ils ne pourraient aller à cette surface selon la mécanique classique puisqu’ils



n’ont pas assez d’énergie pour traverser l’espace entre la pointe et la surface. Cependant, avec l’effet tunnel, certains électrons arrivent à traverser cet espace et à rejoindre la surface. Plus l’espace entre la pointe et la surface est petit, plus il y a d’électrons qui peuvent passer par effet tunnel. Le nombre d’électrons qui traversent se mesure assez facilement avec le courant traversant la pointe (le courant augmente quand il y a plus d’électrons qui traversent). Plus le courant est important, plus la surface est proche de la pointe. En balayant la surface, on peut déterminer la forme de la surface.

fr.wikipedia.org/wiki/Microscope_à_effet_tunnel

La précision est assez remarquable comme on peut le voir sur l’image. Cette image représente une surface en silicium. Les points verts qu’on peut voir sont des atomes de silicium. On peut même remarquer qu’il manque un atome dans la structure en bas à droite de l’image.

www.aip.org/history/einstein/atoms.htm

Depuis le début des années 90, on arrive même à déplacer les atomes un à la fois à l’aide de ce microscope. Cette image, fait en avril 1990, est le résultat de la première manipulation d’atomes avec le microscope fait chez IBM. On a déplacé les atomes pour écrire les lettres IBM sur une surface de métal.



www-03.ibm.com/ibm/history/exhibits/vintage/vintage_4506VV1003.html

Oscillateur harmonique L’énergie potentielle d’une particule en oscillation harmonique est ½kx². Si une particule soumise à ce potentiel a une énergie E, alors, selon la mécanique classique, elle fait une oscillation harmonique entre les points x' et x" et sa vitesse est la plus grande à x = 0. De plus, il est impossible, toujours selon la mécanique classique, que la particule soit dans la région x > x" ou dans la région x < x' (puisque U est plus grand que E dans ces régions).

Eisberg, Resnick, Quantum physics, John Wiley, 1985

Pour savoir ce qui se passe dans ce cas selon la mécanique quantique, on a qu’à résoudre l’équation de Schrödinger avec cette énergie potentielle.

221

22 2

2( ) 0

d mE kx

dx

ψψ+ − =

ℏ



Ça peut sembler facile au premier coup d’œil, mais c’est un beau défi mathématique puisque les solutions font appel aux polynômes d’Hermite (que vous ne connaissez probablement pas). Par exemple, le graphique de l’onde pour le treizième niveau d’énergie est


Même si on ne connait pas les détails de ces solutions, quelques éléments montrent que ces solutions sont conformes à ce que l’on a appris jusqu’ici.

1. L’amplitude de l’onde augmente quand l’énergie potentielle augmente. C’est tout à fait normal, car l’énergie cinétique diminue quand l’énergie potentielle augmente. Ainsi, la particule se déplace moins vite et passe plus de temps à cet endroit qu’aux endroits où l’énergie potentielle est basse. Si elle passe plus de temps à cet endroit, alors la probabilité de trouver la particule à cet endroit est plus grande et l’onde doit avoir une plus grande amplitude.

2. La longueur d’onde augmente quand l’énergie potentielle augmente. Quand l’énergie potentielle augmente, l’énergie cinétique doit diminuer, ce qui fait diminuer la quantité de mouvement aussi. Comme la longueur d’onde est h/p, la longueur d’onde augmente aussi quand U augmente.

Malgré la complexité des solutions, les valeurs d’énergie possibles sont, de façon surprenante, d’une très grande simplicité. Elles sont données par Énergie des niveaux pour une particule en oscillation harmonique

1

2nE n hf

= +

Les niveaux d’énergie sont donc tous régulièrement séparés en énergie. L’écart entre les niveaux est toujours hf.



Retour sur l’hypothèse de Planck Les atomes dans un solide sont soumis à des forces telles que chaque atome est en oscillation harmonique (quand les amplitudes sont petites). Quand un atome baisse d’un niveau d’énergie, l’énergie du photon émis est hf. Si l’énergie de l’atome baisse de 2 niveaux, le photon émis a une énergie 2hf. Si l’énergie de l’atome baisse de trois niveaux, l’énergie du photon émis est de 3hf et ainsi de suite. On voit que l’énergie des photons émis doit être nhf où n est un entier. Ainsi, les objets chauds ne peuvent qu’émettre des photons dont l’énergie est nhf. C’est exactement ce que supposa Planck en 1900 pour expliquer le rayonnement des corps chauds. C’est une chance incroyable que les niveaux d’énergie soient ainsi régulièrement espacés pour les particules en oscillation harmonique. Si les différences d’énergie avaient été irrégulières, l’énergie des photons aurait été bien différente de nhf et il est fort probable que Planck n’aurait jamais pu deviner la formule donnant cette énergie et résoudre la question des corps chauds. Énergie au zéro absolu Quand la température d’un corps devient très basse, les atomes descendent vers les niveaux ayant des énergies plus petites et, à 0 K, ils se retrouvent tous au niveau le plus bas. Cependant, on peut voir que, même au premier niveau n = 0, l’énergie n’est pas nulle (E = ½hf). Ainsi, même à 0 K, il reste de l’énergie et les atomes oscillent encore un peu. L’atome d’hydrogène Pour connaitre la fonction d’onde de l’électron dans l’atome d’hydrogène, il faut utiliser la valeur de l’énergie potentielle de l’électron quand il est soumis à la force d’attraction électrique du noyau (U = –ke²/r). Encore une fois, la solution est assez difficile à obtenir, d’autant plus qu’il faut utiliser l’équation de Schrödinger en 3 dimensions. Cette fois-ci, la solution fait appel à des fonctions de Bessel, que vous ne connaissez probablement pas non plus. Graphiquement, on obtient les solutions suivantes. (On a ici les fonctions d’onde au carré, c’est-à-dire les densités de probabilités.)




Vous reconnaissez ici les différentes orbitales de l’atome d’hydrogène que vous avez vu en chimie. Encore une fois, même si les solutions des fonctions d’ondes sont relativement compliquées, les énergies possibles sont données par une formule assez simple. Énergie des niveaux dans l’atome d’hydrogène

2

13,61n

eVE

n

−=

Curieusement, ce sont les mêmes niveaux d’énergie que ce qu’avait obtenu Bohr en 1913 avec une théorie beaucoup moins raffinée. Avec ces niveaux d’énergie, on peut prévoir les longueurs d’onde des raies spectrales qui correspondent assez bien aux observations, mais



pas parfaitement. Pour obtenir un accord parfait, on doit faire les corrections suivantes à la théorie.

1. La relativité. La formule de l’énergie cinétique relativiste donne des valeurs légèrement différentes de celle de l’énergie cinétique de Newton. La correction fut faite par Paul Dirac qui formula l’équivalent relativiste de l’équation de Schrödinger en 1928. Cette équation prévoit aussi l’existence du spin de l’électron et de l’antimatière (découverte en 1932).

2. La masse du noyau. La fonction d’onde de l’électron n’est pas centrée sur le noyau, mais plutôt sur le centre de masse de l’atome. Cela change un peu la force entre l’électron et le noyau et, conséquemment, les énergies des niveaux.

3. L’interaction spin-orbite. L’électron dans les orbitales autour du noyau génère un

champ magnétique. Ce champ magnétique agit sur l’électron puisque ce dernier agit comme un petit aimant (le spin mesure l’intensité de cet aimant). Cela change un peu la force sur l’électron, ce qui change un peu l’énergie des niveaux.

4. L’interaction spin-spin. Le noyau a un spin qui génère aussi un champ magnétique

qui agit sur l’électron. Cela change un peu les valeurs de l’énergie des niveaux.

5. La polarisation du vide. Dans le vide, des particules et des antiparticules apparaissent continuellement et disparaissent presque aussitôt. Durant la très brève vie de ces particules, elles exercent une force sur le noyau et l’électron ce qui change très légèrement les niveaux d’énergie.

Avec toutes ces petites corrections, on obtient des niveaux d’énergie légèrement différents de ceux donnés par la formule précédente. Les énergies de transition entre ces niveaux correspondent exactement aux énergies des photons du spectre de l’hydrogène. En fait, l’électrodynamique quantique, utilisée pour faire ces calculs, est la théorie scientifique la plus précise qui soit. Les prévisions théoriques et les mesures expérimentales sont en accord jusqu’à 10 chiffres significatifs. À titre de curiosité, voici ce qu’on obtient pour les niveaux d’énergie de l’hydrogène avec toutes ces corrections.

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )( )

220

2 2 3 20

5 23

1 1 113,61 31

1/ 2 4 8 1/ 2 1

1 1,

1/ 2 1/ 24

s B

e

j j l l s seV nE g

jn n n a l l l

m c k n lj ln

µαµ

π

απ

+ − + − + −= + − +

+ + +

+ ± + +

Voici le diagramme des niveaux d’énergie avec ces corrections.



backreaction.blogspot.ca/2007/12/hydrogen-spectrum-and-its-fine.html

Une erreur d’interprétation fréquente Pour pratiquement tous les types d’ondes, l’amplitude est liée à l’énergie de l’onde. Toutefois, ce n’est pas le cas avec l’onde en mécanique quantique. Pour illustrer l’erreur conceptuelle souvent faite, examinons à nouveau l’onde quand il y a effet tunnel.




Voici ce qui serait une mauvaise interprétation de cette onde :

L’électron perd de l’énergie en traversant la barrière. Ainsi, l’amplitude est plus petite de l’autre côté de la barrière.

Ça semble en accord avec ce qu’on voit sur la figure, mais c’est complètement faux. L’électron ne perd pas du tout d’énergie en traversant la frontière. En fait, l’électron a exactement la même énergie après avoir traversé la barrière qu’avant de traverser puisque l’énergie potentielle est exactement la même de chaque côté. L’amplitude allant avec la probabilité de trouver l’électron à cet endroit, l’amplitude est moindre parce que peu d’électrons arrivent à traverser la barrière, pas parce que l’énergie des électrons est moindre. Cela ne veut pas dire qu’il n’y a pas de lien du tout entre l’énergie et l’amplitude. Quand on a étudié l’oscillateur harmonique, on a remarqué que l’amplitude augmentait quand l’énergie potentielle augmentait (parce que l’énergie cinétique est alors plus petite, ce qui signifie que la particule va moins vite à cet endroit et qu’elle a donc plus de chance d’être à cet endroit.) Ce lien est généralement vrai, sauf s’il y a une barrière comme dans le cas de l’effet tunnel. Dans ce cas, les amplitudes pourraient être différentes de chaque côté de la barrière même si les énergies potentielles sont les mêmes. Le microscope électronique L’aspect ondulatoire est utilisé aujourd’hui dans les microscopes électroniques. Dans ces appareils, on utilise des électrons pour faire l’image plutôt que de la lumière. Autrement, le principe est le même qu’un microscope ordinaire. On utilise des champs électriques pour jouer le rôle des lentilles dans ces microscopes. On peut alors obtenir des images très précises, car on utilise des électrons ayant une longueur d’onde inférieure à 1 nm. La résolution d’un microscope étant à peu près égale à la longueur d’onde, on peut voir des détails très petits. Comme les lentilles à électrons ne sont pas parfaites, on obtient une résolution de l’ordre de 5 à 10 nm, ce qui est beaucoup mieux qu’un microscope fonctionnant en lumière visible qui a une résolution d’environ 200 nm. Voici d’ailleurs une image obtenue par un microscope électronique.



www.boston.com/bigpicture/2008/11/peering_into_the_micro_world.html

Comment limiter une onde ? Le fait que la matière soit une onde impose certaines restrictions à la précision de certaines mesures. Si une onde a une longueur d’onde très précise, alors l’onde est sinusoïdale avec une amplitude constante.

Or, cette onde est infinie si son amplitude est constante. Cela signifie qu’on a la possibilité de trouver la particule n’importe où dans l’univers. Si on veut que la particule soit localisée à un certain endroit, il faudrait que l’onde ressemble plus à cela.

Ce qui nous donne comme amplitude en fonction de la position.



Alors, la particule peut seulement se trouver dans la région de longueur ∆x. Si on mesure la position, on peut obtenir n’importe quelle valeur de x se situant dans cet intervalle. Il y a donc une certaine incertitude sur la position de la particule qui ne dépend pas de l’appareil utilisé, mais qui est due à la nature ondulatoire de la matière. Toutefois, pour obtenir une onde de la forme indiquée, il n’y a qu’une seule façon : il faut additionner ensemble plusieurs fonctions sinusoïdales.

hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/waves/wpack.html

En fait, il faut additionner une infinité de sinus pour localiser ainsi l’onde. On doit additionner toutes les ondes de longueurs d’onde se situant dans un intervalle de longueurs d’onde ∆λ et l’amplitude de ces ondes doit varier avec la longueur d’onde tel qu’indiqué sur le graphique suivant.

Plus on va additionner de longueurs d’onde (donc plus ∆λ sera grand), plus l’onde sera petite (donc plus ∆x sera petit).



www.ipod.org.uk/reality/reality_quantum_intro.asp

S’il y a plusieurs longueurs d’onde en même temps dans l’onde, alors la particule a plusieurs quantités de mouvement en même temps puisque la longueur d’onde et la quantité de mouvement sont reliées par la formule de De Broglie.

h

pλ =

Si on mesure la quantité de mouvement, on tombera sur une des valeurs possibles de quantité de mouvement. Il y a donc une certaine incertitude sur la quantité de mouvement qu’on va mesurer. Cette incertitude ne vient pas d’un manque de précision de l’appareil, elle vient du fait que la particule possède plusieurs quantités de mouvement en même temps. Elle est due à la nature ondulatoire de la matière. Des calculs plus poussés (faisant appel à des intégrales de Fourier…) montrent qu’on doit avoir

x p h∆ ∆ ≈ Si ∆p est grand, ∆x est petit. Cela précise en fait ce qu’on a dit précédemment : plus ∆p est grand, plus il y a plusieurs quantités de mouvement en même temps, ce qui signifie qu’il y a davantage de longueurs d’onde, ce qui concentre davantage l’onde. Une expérience ne pourra jamais obtenir un résultat plus précis que ces incertitudes. On a donc Principe d’incertitude de Heisenberg (avec p et x)

x p h∆ ∆ ≥



Exemple 11.4.1 Un électron est confiné dans une région de 10 nm de large. Quelle est l’incertitude sur sa quantité de mouvement ?

L’incertitude est

34

9

26

6,626 10

10 10

6,626 10 kgms

p x h

hp

x

Jsp

m

p

−

−

−

∆ ∆ =

∆ =∆

×∆ =

×

∆ = ×

Cela pourrait vouloir dire, par exemple, que la quantité de mouvement de la particule s’étend sur une plage allant de 10-24 kgm/s jusqu’à 1,06626 x 10-24 kgm/s (L’écart entre les deux est ∆p). Si on mesure la quantité de mouvement d’une telle particule, on tombera sur une des valeurs de p entre ces deux extrêmes. Si on mesure la quantité de mouvement de plusieurs de ces particules, on aura plein de résultats variant entre ces extrêmes, même si les conditions sont exactement les mêmes.

Exemple 11.4.2 Quelle est l’incertitude minimale sur la position d’une balle de baseball (m = 145 g) allant à 40 m/s si on connait la vitesse avec une incertitude de 0,01% ?

L’incertitude minimale est

p x h

m v x h

hx

m v

∆ ∆ ≥

∆ ∆ ≥

∆ ≥∆



( ) ( )

34

30

6,626 10

0,145 0,004

1,142 10

ms

Jsx

kg

x m

−

−

×∆ ≥

×

∆ ≥ ×

On peut voir que l’incertitude est si petite pour un objet macroscopique qu’elle est imperceptible. Le principe d’incertitude ne vous empêche donc pas vraiment de connaitre la position et la vitesse d’une balle de baseball.

On peut faire un raisonnement à peu près similaire avec l’énergie d’une onde et la durée de vie de l’onde. On obtient alors

E t h∆ ∆ ≈ Une expérience ne pourra jamais obtenir un résultat plus précis que ces incertitudes. On a donc Principe d’incertitude de Heisenberg (avec E et t)

E t h∆ ∆ ≥ Exemple 11.4.3 Un électron est dans un état excité dont l’énergie est 10 eV. L’électron reste sur ce niveau pendant 10-8 seconde et redescend ensuite au niveau fondamental dont l’énergie est 1 eV. Quelle est l’incertitude sur l’énergie du niveau excité ?

L’incertitude est

34

8

26

7

6,626 10

10

6,626 10

4,136 10

E t h

hE

t

JsE

s

E J

E eV

−

−

−

−

∆ ∆ ≈

∆ ≈∆

×∆ ≈

∆ ≈ ×

∆ ≈ ×

Cela signifie que l’énergie du niveau excité peut prendre n’importe quelle valeur entre 9,9999997932 eV et 10,0000002068 eV (l’écart entre ces valeurs est 4,136 x 10-7 eV). On pourra remarquer cela en mesurant l’énergie du photon émis quand l’électron redescendra au niveau fondamental. Il n’y a pas d’incertitude sur l’énergie du niveau fondamental puisque l’électron reste très longtemps sur ce niveau. Ainsi, l’énergie du



photon émis peut prendre n’importe quelle valeur entre 8,9999997932 eV et 9,0000002068 eV. Si on mesure l’énergie du photon émis pour plusieurs de ces atomes, on obtiendra probablement une distribution d’énergie qui ressemblera à ceci.

On peut voir cet effet quand on mesure la masse, et donc l’énergie d’une particule ayant une durée de vie très courte. Voici ce qu’on obtient quand on mesure la masse de plusieurs bosons Z, qui vivent à peine 3 x 10-25 s (ce qui donne une incertitude de 13 GeV pour l’énergie). On voit très bien l’étalement de la valeur mesurée.

www.etp.physik.uni-muenchen.de/opal/opal_en.html



L’interprétation de Copenhague

On sait que le carré de l’amplitude de la fonction d’onde nous donne la probabilité de trouver la particule à un endroit particulier. En fait, la mécanique quantique peut être utilisée pour calculer bien d’autres choses que la position d’une particule. Par exemple, on peut l’utiliser pour prédire le résultat de la mesure du spin d’une particule. Cependant, dans tous les cas, l’interprétation reste la même : la mécanique quantique donne uniquement la probabilité d’obtenir une mesure. Prenons un exemple pour illustrer ce concept. Un électron se dirige vers un détecteur qui mesure le spin de la particule. Avec un électron, il n’y a que deux possibilités : le spin vers le haut (+) ou vers le bas (–). Avec la mécanique quantique, on peut calculer la probabilité de mesurer + ou – selon la situation. On pourrait obtenir, par exemple, 70% de chance de mesurer + et 30% de chance de mesurer –. Mais en fait, l’interprétation de Copenhague va encore plus loin que ça. Dans cette interprétation, le spin de la particule n’est pas + ou – avant qu’on la mesure, elle est dans un état ou les deux possibilités coexistent. Dans notre exemple, le spin de la particule est 70% + et 30% – ! C’est uniquement au moment où on fait la mesure que l’état de la particule se décide. Ainsi, avant la mesure, la particule était à la fois + et – et après la mesure elle est uniquement + si on a mesuré + ou elle est uniquement – si on a mesuré –. C’est ce qu’on appelle l’effondrement ou la réduction de la fonction d’onde. Plusieurs, dont Einstein et Schrödinger, n’aimaient pas cette interprétation. Ce dernier inventa en 1935 une petite mise en situation pour illustrer le ridicule de cette situation : le chat de Schrödinger. Un chat est enfermé dans une boite avec un dispositif (du poison) pouvant tuer le chat et qui se déclenche au hasard. Supposons qu’au bout de 2 heures, il y a 60% de chance que le mécanisme se soit déclenché et que le chat soit mort. Dans ce cas, selon l’interprétation de Copenhague, le chat se trouve dans un état mixte 60% mort 40% vivant et ce n’est que quand on va ouvrir la boite pour observer le chat que le sort du pauvre félin va se décider. Après l’observation, le chat deviendra uniquement mort ou vivant. Pour Einstein et Schrödinger, cette superposition d’états n’avait aucun sens. Pour eux, le chat n’est jamais dans un état superposé mort-vivant. Il est soit mort ou vivant à tout instant dans la boite, même si on ne l’observe pas. Si on ne peut que calculer la probabilité que le chat soit mort ou vivant au bout d’un certain temps, ce n’est que parce qu’on n’a pas suffisamment d’informations. Le fait d’obtenir une probabilité ne représente donc que l’ignorance des observateurs, et non pas une superposition réelle d’états. Pour Einstein et Schrödinger, quand on mesure le spin

en.wikipedia.org/wiki/Schrödinger's_cat



d’une particule et qu’on obtient +, c’est que le spin était bel et bien + avant la mesure. Si on obtient –, c’est que le spin était – avant la mesure. Le fait qu’on obtienne des probabilités avec la mécanique quantique nous indique plutôt qu’il s’agit d’une théorie incomplète. Selon eux, il devrait exister une théorie plus complète qui pourrait faire des prévisions plus précises, une théorie qui nous permettrait de calculer d’avance ce qu’on va mesurer, de connaitre le spin de la particule avant même de la mesurer, plutôt que de nous donner que de simples probabilités. Le paradoxe EPR

Une autre situation avait été imaginée par Einstein, Podolsky et Rosen (EPR), également en 1935, pour prendre en défaut l’interprétation de Copenhague. Dans cette expérience, une particule dont le spin est nul se désintègre en deux particules se dirigeant dans des directions opposées. Si chacune de ces particules a un spin, les spins des deux particules devraient être opposés selon les lois de conservation de la physique des particules. Cela signifie que si on mesure le spin d’une particule et qu’on obtient +, alors on obtiendra nécessairement – pour l’autre particule. Selon l’interprétation de Copenhague, chacune des particules est dans un état superposé moitié +, moitié – avant qu’on mesure le spin. Ce n’est que lorsqu’on fera la mesure d’un des spins qu’il y aura réduction de la fonction d’onde, forçant ainsi l’autre particule à avoir un spin opposé à celui qu’on vient de mesurer. Supposons qu’on a fait cette mesure avec le montage de la page suivante et qu’on a obtenu – avec le détecteur de droite.

www.clker.com/clipart-15121.html

On sait alors qu’on obtiendra + avec le détecteur de gauche. Mais alors, comment la particule qui se dirige vers la gauche peut savoir qu’elle doit passer d’un état mixte + et –



à un état uniquement + ? La réponse peut sembler simple : la mesure du spin de la particule de droite a provoqué la réduction de la fonction d’onde, faisant passer la particule de gauche d’un état mixte à un état +. Toutefois, cet effondrement ne devrait pas pouvoir se faire instantanément puisque rien ne peut aller plus vite que la lumière selon la relativité d’Einstein. Au mieux, l’effondrement se propage à la vitesse de la lumière. C’est là que ça se complique. Que se passe-t-il si on mesure le spin de la particule de gauche très peu de temps après la mesure du spin de la particule de droite ? En fait, on peut faire la deuxième mesure tellement peu de temps après la première qu’un faisceau de lumière n’aurait pas le temps de passer d’une particule à l’autre durant ce temps. L’effondrement de la fonction d’onde n’aurait donc pas eu le temps d’atteindre la particule de gauche. Comment alors la deuxième particule, qui était dans un état mixte + et –, peut-elle savoir qu’elle doit donner un spin + alors que l’information n’a même pas le temps de passer d’une particule à l’autre ? Et pourtant, si on fait cette expérience, on obtient toujours + ! En fait, la situation est encore plus bizarre si on prend le point de vue d’un autre observateur selon la relativité. On sait que le temps auquel se produisent les évènements varie selon les observateurs. Ici, il y a même des observateurs qui vont dire que le spin de la particule de gauche a été mesuré avant le spin de la particule de droite. Pour eux, c’est la mesure sur la particule de gauche qui provoque l’effondrement de la fonction d’onde et qui force la particule de droite à avoir un spin –, et ce, avant même que l’information ait eu le temps d’arriver à cette particule ! Pour Einstein, cette mise en situation montrait que l’interprétation de Copenhague ne pouvait être correcte puisqu’elle impliquait un effondrement de la fonction d’onde allant plus vite que la lumière, ce qui entraine toute sorte de paradoxes. Einstein donnait une interprétation différente de cette situation. Dès que les particules sont émises, elles ont chacune une valeur de spin bien déterminé que l’on mesure plus loin. Comme elles ont déjà les spins qu’on va mesurer et qu’il n’y a pas de superposition d’états du tout, il est inutile d’avoir un effondrement de la fonction d’onde. Les spins sont opposés puisque dès leur formation, les particules avaient ces valeurs de spin. Jusqu’ici, vous êtes surement d’accord avec Einstein. Les inégalités de Bell Durant quelques années, il y eut plusieurs confrontations entre Bohr et Einstein au cours desquelles ce dernier arrivait avec différentes mises en situation pour essayer de prendre l’interprétation de Copenhague en défaut. Chaque fois, Bohr parvenait à trouver une façon d’expliquer la situation en utilisant l’interprétation de Copenhague. Par exemple, Bohr affirmait que l’effondrement de la fonction d’onde va effectivement plus vite que la lumière pour le paradoxe EPR, mais que ce n’est pas grave puisqu’aucune information ne pourrait être transmise par ce procédé. La guerre (amicale) entre les deux clans se poursuivit jusqu’à épuisement sans qu’aucun ait pu fournir l’argument décisif en faveur de son interprétation.



La situation changea en 1964 quand John Steward Bell découvrit une façon de déterminer expérimentalement si Bohr ou Einstein avait raison (malheureusement, ils étaient décédés tous les deux). C’est une expérience qui ressemble beaucoup à celle décrite dans le paradoxe EPR, mais la mesure des deux spins se fait selon des axes différents. Bell détermina que les résultats de cette expérience devaient respecter certaines inégalités (les inégalités de Bell) si l’interprétation d’Einstein était correcte alors que ces inégalités ne seraient pas respectées avec l’interprétation de Copenhague. Les détails sont un peu lourds, mais ce qui importe c’est qu’on avait enfin une façon de déterminer expérimentalement qui avait raison. L’expérience fut réalisée pour la première fois au début des années 70 et fut refaite plusieurs fois par la suite avec plus de précision chaque fois. Ces expériences démontrèrent sans l’ombre d’un doute que l’interprétation d’Einstein ne pouvait être correcte. Il semble donc que l’interprétation de Copenhague soit correcte et qu’un objet est bel et bien dans un état mixte avant qu’on effectue les mesures et qu’il y a effondrement de la fonction d’onde lors de la mesure ! Si on se fie à ce qui a été dit concernant le paradoxe EPR, cela signifie que l’effondrement de la fonction d’onde se fait effectivement plus vite que la lumière. L’atome d’hydrogène selon l’interprétation de Copenhague

Pour illustrer davantage l’interprétation de Copenhague, utilisons-la pour expliquer le modèle actuel de l’atome d’hydrogène. Vous serez certainement surpris d’apprendre que très peu de gens connaissent réellement le modèle atomique actuel, et cela inclut même des étudiants ayant des diplômes en chimie. Plusieurs personnes vous diront que dans l’atome d’hydrogène, il y a un seul électron qui tourne autour du noyau. Pourtant, le véritable modèle atomique ne dit rien de tel. Bien sûr, il y a un noyau et un électron autour du noyau, mais jamais on ne parle de mouvement de l’électron autour du noyau. Tout ce qu’il y a dans la mécanique quantique, ce sont les orbitales et ces orbitales ne représentent que les endroits où il y a de fortes chances de trouver l’électron. Or, si on ne fait pas de mesure de position de l’électron, l’électron est dans une superposition d’états de tous les résultats possibles de la mesure de la position. Cela veut donc dire que l’électron est partout en même temps dans l’orbitale. L’électron est donc à plusieurs places en même temps ! Si on fait une mesure de la position de l’électron et qu’on obtient une certaine position, alors cela signifie qu’il y a eu effondrement de la fonction d’onde et que l’électron est passé de partout en même temps dans l’orbitale à un endroit précis.



Le modèle atomique actuel ne dit rien de plus sur les atomes. Selon ce modèle, les électrons sont partout en même temps dans l’orbitale. Pas de trajectoire, pas d’orbite, pas de rotation autour du noyau (même si on peut mesurer le moment cinétique de l’électron dans l’orbitale !). S’il y a des orbitales ayant la même énergie, comme les trois orbitales 2p, alors l’électron est partout en même temps dans les trois orbitales. S’il y a une molécule pouvant avoir deux configurations ayant la même énergie (comme le benzène), alors la molécule n’est pas dans une configuration ou dans l’autre, elle est plutôt les deux en même temps. C’est uniquement si on va mesurer la configuration que le benzène prendra une configuration ou l’autre. La décohérence

L’interprétation de Copenhague amène quelques difficultés conceptuelles. Par exemple, que se produit-il s’il y a une mouche avec le chat de Schrödinger dans la boite ? Est-ce que l’observation du chat par la mouche provoque l’effondrement de la fonction d’onde et empêche le chat d’être dans une superposition d’états ? Certains diront que non en affirmant que seuls les êtres conscients peuvent provoquer l’effondrement de la fonction d’onde ! En plus du problème consistant à savoir quels êtres vivants sont conscients, ou même ce qu’est la conscience, cette conception nous amène à nous demander ce qui arriverait si tous les êtres conscients de l’univers disparaissaient. Est-ce que l’univers serait condamné à rester dans une superposition d’états très nombreux ? Depuis les années 80, ce problème semble se résoudre avec la théorie de la décohérence. Selon cette théorie, il n’est absolument pas nécessaire que l’observateur soit conscient. En fait, dès qu’il y a interaction avec l’environnement, il y a effondrement de la fonction d’onde et plus l’interaction est forte, plus l’effondrement se fait rapidement. L’effondrement de la fonction d’onde ne se produit donc pas uniquement lors d’une mesure, mais peut se faire spontanément. On pourrait donc conclure qu’un simple photon enfermé avec le chat dans la boite provoque l’effondrement de la fonction d’onde. Et même s’il n’y a pas de photon, les interactions entre les atomes du chat entre eux vont provoquer l’effondrement de la fonction d’onde. Le nombre très important d’atomes dans un chat fait qu’il ne peut pas être dans un état superposé mort-vivant plus de 10-23 seconde. Il n’y a donc aucune chance de voir un vrai chat dans une superposition d’états. Cependant, des systèmes plus simples peuvent rester dans un état superposé beaucoup plus longtemps ce qui permet d’observer expérimentalement les effets des états superposés. C’est ce qui fit, entre autres, l’équipe de Serge Haroche en 1996 (prix Nobel 2012)

www.ipod.org.uk/reality/reality_quantum_intro.asp



La théorie ne parvient quand même pas à déterminer ce qui arrive au chat. On sait qu’on ne pourra pas observer le chat dans une superposition d’états, mais on ne sait pas si le chat en sortira mort ou vivant. La théorie ne peut pas prévoir le résultat de cette expérience, elle ne peut que donner les probabilités que chaque possibilité se produise. L’interprétation des mondes multiples d’Everett En 1957, une interprétation surprenante fut donnée par Hugh Everett, alors étudiant à Princeton. Elle tente de donner une explication au fait que, parmi tous les résultats possibles d’une mesure, un seul est observé. Que sont devenus les autres états possibles ? La réponse d’Everett est surprenante : lors de l’observation d’un phénomène, l’univers se sépare en plusieurs univers dans lesquels chaque résultat possible est observé. Prenons un exemple pour clarifier cette situation. Supposons que l’on mesure le spin d’une particule et que la mécanique quantique nous indique qu’il y a 50 % de probabilité de mesurer + et 50 % de probabilité de mesurer -. Lors de la mesure, l’univers se sépare en deux ; un univers dans lequel on a mesuré + et un autre univers dans lequel on a mesuré -. Dans chacun de ces univers, l’observateur se demande ce qui est advenu de la possibilité disparue lors de la mesure. Dans cette interprétation, les deux possibilités ne sont pas disparues. Elles se sont réalisées toutes les deux, mais dans des univers différents. On peut alors réinterpréter l’expérience du chat selon Everett. Si on observe un chat dans une superposition d’états mort et vivant, alors l’univers se sépare en deux univers. Dans un univers, le chat est mort et dans l’autre univers, le chat est vivant.



Longueur d’onde de De Broglie

h

pλ =

Interprétation de Copenhague

Le carré de l’amplitude (ψ²) à un endroit est proportionnel à la probabilité de trouver la particule à cet endroit.

Longueurs d’onde possibles pour une particule enfermée dans une boite en une dimension

2n

L

nλ =

Énergies possibles pour une particule enfermée dans une boite en une dimension

2 2

28n

n hE

mL=

Énergie des niveaux dans un oscillateur harmonique

1

2nE n hf

= +

Énergie des niveaux dans l’atome d’hydrogène

2

13,61n

eVE

n

−=

Principe d’incertitude de Heisenberg (avec p et x)

x p h∆ ∆ ≥ Principe d’incertitude de Heisenberg (avec E et t)

E t h∆ ∆ ≥



Pour ces exercices, utilisez les masses suivantes.

Électron me = 9,1094 x 10-31 kg Proton mp = 1,6726 x 10-27 kg Neutron mn = 1,6749 x 10-27 kg

11.1 Les ondes de De Broglie 11.2 L’interprétation de la mécanique quantique

(Première partie)

1. Quelle est la longueur d’onde d’un proton ayant une vitesse de 104 m/s ?

2. Quelle est la longueur d’onde d’un proton ayant une vitesse de 2 x 108 m/s ?

3. Quelle est la longueur d’onde d’un électron si son énergie cinétique est de 10 eV ?

4. Un électron a une énergie cinétique de 6 eV quand il est dans une région où U = 0 eV et il se dirige vers un endroit où U = 2 eV. De combien changera la longueur d’onde de l’électron quand il passera dans la région où U = 2 eV ?

5. On fait l’expérience de Young en utilisation des électrons ayant une énergie cinétique de 2 eV. Les électrons passent dans des fentes distantes de 0,1 µm et on observe l’arrivée des électrons sur un écran situé à 3 m des fentes et on observe ce qu’on peut voir sur la figure. Quelle est la distance x sur la figure ?

web.utk.edu/~cnattras/Phys250Fall2012/modules/module%202/matter_waves.htm



11.3 Quelques applications de la mécanique quantique

6. Un neutron est enfermé dans une boite de 10-14 m de large (c’est un puits de potentiel infini). a) Quelles sont les énergies des deux premiers niveaux (en MeV) ? b) Quelle est la longueur d’onde du photon émis quand le neutron passe du niveau

n = 2 au niveau n = 1 ? c) Quelle est la longueur d’onde du neutron quand il est au niveau n = 1 ?

7. Un électron est enfermé dans une boite (puits de potentiel infini). Au niveau n = 4, l’énergie de l’électron est de 10 eV. Quelle est la largeur de la boite ?

8. Un électron est au niveau n = 1 dans une boite de 2 nm de large (puits de potentiel infini). Quelle est la longueur d’onde du photon que l’électron doit absorber pour le faire monter au niveau n = 4 ?

9. Un électron est enfermé dans une boite de 6 nm de large (puits de potentiel infini). Quelle est la plus petite vitesse que cet électron peut avoir ?

10. L’énergie du niveau n = 4 est de 24 eV pour une particule enfermée dans une boite (puits de potentiel infini). Quelle est l’énergie du niveau n = 3 ?

11. Un électron fait une oscillation harmonique avec une période de 4 x 10-15 s. a) Quelle est la plus petite énergie que peut avoir cet électron ? b) Quelle sera la longueur d’onde du photon émis si l’électron passe du niveau

n = 3 au niveau n = 1 ?

12. Quand un électron en oscillation harmonique passe du niveau n = 5 au niveau n = 2, un photon ayant une longueur d’onde de 496 nm est émis. Quelle est la période d’oscillation de l’électron ?

11.4 Le principe d’incertitude de Heisenberg

13. La quantité de mouvement d’un électron s’étend sur une plage de valeur allant de 2 x 10-23 kgm/s à 2,05 x 10-23 kgm/s. Quelle est l’incertitude minimale sur la position de cet électron ?



14. La durée de vie d’un état excité dans un atome est de 10-8 s. Quelle est l’incertitude sur l’énergie (en eV) du photon émis lors de la transition entre ce niveau excité et le niveau fondamental ?

Défis (Questions plus difficiles que les questions qu’il y aura à l’examen.)

15. On a dit que la probabilité de trouver une particule à un endroit est proportionnelle à ψ². Plus précisément, la probabilité de trouver une particule entre x = a et x = b est

2b

a

dxψ∫

Si on somme toutes les probabilités de trouver la particule à tous les endroits, on devrait obtenir 100%. Cela veut dire qu’on doit avoir

2

toutes lespositions possibles

1dxψ =∫

Appliquons maintenant cela pour une particule enfermée dans une boite (puits de potentiel infini) au premier niveau. Calculez la probabilité de trouver un électron entre x = 0 nm et x = 3 nm si la boite a une largeur de 10 nm. Intégrale qui peut être utile :

( )2 1sin sin 2

2 4

xax ax

a= −∫

16. Dans l’oscillateur harmonique, l’énergie potentielle est donnée par U = ½kx². Montrez que la fonction

2BxAeψ −=

est une solution de l’équation de Schrödinger si l’énergie de ce niveau est E = ½hf. (A et B sont des constantes.)



11.1 Les ondes de De Broglie 11.2 L’interprétation de la mécanique quantique

(Première partie)

1. 0,0396 nm 2. 1,476 x 10-15 m 3. 0,3879 nm 4. 0,1125 nm 5. 10,41 cm

11.3 Quelques applications de la mécanique quantique

6. a) 1er niveau : 2,045 MeV 2e niveau : 8,181 MeV b) 2,021 x 10-4 nm c) 2 x 10-14 m

7. 0,7757 nm 8. 879 nm 9. 6,062 x 104 m/s 10. 13,5 eV 11. a) 0,517 eV b) 599,6 nm 12. 4,963 x 10-15 s

11.4 Le principe d’incertitude de Heisenberg

13. 1,325 nm 14. 4,136 x 10-7 eV

Défis

15. 14,86%

Documents

Comment peut-on construire un microscope qui grossit tellement … · 2020-06-03 · Luc Tremblay Collège Mérici, Québec Version 2020 11-La mécanique quantique 2 En 1923, Louis