Communications Numériques CN21 1 Introductions. 2 ... · GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 1 01/11/07 Communications Numériques CN21 1 Introductions. 2. Représentation

GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F3 1

01/11/07

CC oo mmmm uu nn ii cc aa tt ii oo nn ss NN uu mm éé rr ii qq uu ee ss CC NN 22 11 1 Introductions.

2. Représentation des signaux Numériques. 1 Signal binaire. Modulation en BdB et sur fréquence porteuse, MAQ.

2 Représentation vectorielle, constellation.

3. Propriétés et Répartition spectrale. 1 Energie moyenne, distance. 2 Densité Spectrale de Puissance (DSP)

4. Récepteur Optimal canal BABG stationnaire. 1 Détection au minimum de la probabilité d’erreur. 2 Zones et seuils de décisions. 3 Réalisation du récepteur. Filtre adapté. 4 Interférence Entre Symboles(IES). Critère de Nyquist.


01/11/07

CANALDE

TRANSMISSION

SignauxNumériques

Codagede

Canal

Étalementde

Spectre

Codagede

Source

Cryptage

Embrouil-lage

CodeBinaire

A / N

Récepteur

Multi-plexages

Synchronisation

AccèsMultiple

Émetteur

AccèsMultiple

Modu-lation

Codagede

Canal

Entrelaceur

Embrouilleur

SignauxNumériques

SignauxAnalogiques

SignauxAnalogiques

Démulti-plexages

Décodagede

Canal

Décodagede

Source

Décryptage

Désem-brouillage

CodeBinaire

N / A

Dé-modu-lation

Dé-codagede

Canal

Désentrelaceur

Désmbrouilleur

Dés-étalement

deSpectre

Autres SourcesAutres Sources

Autres Sources Autres Sources

Couche Transmission

Couches Réseaux

Utilisateurs

Égaliseur

SourceNormalisée

Schéma Global d'une Liaison Numérique.

Suite de symboles+ Perturbation

Détection


01/11/07

ModModModModèèèèle de Canal :le de Canal :le de Canal :le de Canal :

Canal non dispersif Canal non dispersif Canal non dispersif Canal non dispersif àààà

Bruit Additif Blanc GaussienBruit Additif Blanc GaussienBruit Additif Blanc GaussienBruit Additif Blanc Gaussien

BABGBABGBABGBABG

(AWGN)(AWGN)(AWGN)(AWGN)


01/11/07

Modèles de canauxModèles de canauxModèles de canauxModèles de canaux

Non Dispersifs Dispersifs (Sélectif)

Stationnaires

Signal + Bruit

Signal

BABG (AWGN)

Bruit AdditifBlanc GaussienDSP N0/2

F.L.I.T.H(f) Signal Filtré

+ Bruit

Signal

BABG (AWGN)


Non Stationnaires

RAYLEIGHC

i * Signal+ Bruit

Signal

Processus GaussienComplexe

BABG (AWGN)

Bruit AdditifBlanc GaussienDSP N0/2C

i

F.L. Variantdans le Temps

H(f, t) Signal Filtré+ Bruit

Signal

BABG (AWGN)



01/11/07

Modulation Sans MModulation Sans MModulation Sans MModulation Sans Méééémoire moire moire moire

(Pas de Relations de Codage)(Pas de Relations de Codage)(Pas de Relations de Codage)(Pas de Relations de Codage)

DDDDéééétection Simple au Rtection Simple au Rtection Simple au Rtection Simple au Réééécepteur cepteur cepteur cepteur

(Symbole par Symbole) (Symbole par Symbole) (Symbole par Symbole) (Symbole par Symbole)


01/11/07

BABG (AWGN) /N0 2

codeur

k

n

{ },0 1

{ },0 1

Rendement /k n

Augmentation du débit Redondance

( )/b bD n k D′ =

Modulation binaire / M - aire

Diminution du débit

/bR D Log M2′=

Codage

Codage et Modulation combinés

Modulation

Canal idéal

( )

( )k sk

s t

g t kT

=−∑ déModulation

M - aire / binaire

Décodeur

k

n

Détection Hard Symbole par

Symbole

Détection Soft sur un Bloc de Symboles

{ },0 1

{ },0 1

Décodage

( )

( ) ( )

r t

s t b t

=+

Modulation avec Mémoire / sans Mémoire

Binaire i.i.d.Symboles i.i.d. si sans Mémoire.

Symboles liés si CodageBlocs de Symboles i.i.d. si codage en Bloc.


01/11/07

PBNombre de réalisations possibles

& Durée d’acquisition⇓⇓⇓⇓

Limiter la durée ⇒⇒⇒⇒ Blocs de n symbolesM n nombre fini de réalisations possibles

Détection d’une suite de symboles

( ) ( )k s

k

s t g t kT+∞

=−∞= −∑ et { }( ) ( ), , ( ), , ( )k i Mg t s t s t s t1∈ ⋯ ⋯

Suites de symboles + bruit ⇒ détection de la bonne suite.

une réalisation de s(t)une réalisation de s(t)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Détection périodique tous les

s s

i i s i s

M M s M s

s k s

s s

s

s t s t T s t kT

s t s t T s t kT

s t s t T s t kT

g t g t T g t kT

t t T t kT

T

1 1 1

0 1

− − − − − −

− −= 0 = =

⋯ ⋯ ⋯

⋮ ⋮ ⋮

⋯ ⋯ ⋯

⋮ ⋮ ⋮

⋯ ⋯ ⋯

��

⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯

��

Récepteur

Reçoit une réalisation de s(t)Comparaison de s(t) aux réalisations possibles

⇒⇒⇒⇒ Choix d’un critère de décisionHypothèse la plus probable = MV

Minimum d’erreurs à la restitution= min(Pr{Err})


01/11/07

Représentation Vectorielle :Des formes émises { }( ), , ( ), , ( )i Ms t s t s t1 ⋯ ⋯

Base orthonormée (arbitraire) : { }( ), , ( ), , ( )i Nt t tϕ ϕ ϕ1 ⋯ ⋯ N M≥

Produit scalaire : dans L 2

( )

( ) ( )

( ), ( ) ( ) ( )

( ), ( ) et ( ), ( )

i j i j

i i i j

t t t t dt

t t t t

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

+∞∗

−∞

= ⋅

= 1 = 0

∫

Espace vectoriel associé :

(Base de NC )

( )

{ }( ) , , ,

et 2Re =

T

H Hi i i i j

tϕ1 12

⋅ ⋅

→ 1 0 … 0 =

= = 1 0

ϕϕϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕFormes émises :

( )

( )

( )

( ),

, , ,

( ) ( ) ( )Hj j j

T

j

Ns t

s s t t s t

s

t

s

t d

s

ϕ ϕ

11 12 1 11+∞

∗1 1 1 1

−∞

→

⋅ = = = ⋅

=

…

∫

s

sϕϕϕϕ ( ) ( )

N

n n

n

s t s tϕ1 1=1

= ∑

Reconstruction possible si l’espaceengendré par la base des fonctions contient l’espace des formes.


01/11/07

,d1 4

s2s1

s3

s4

dmin

ϕ1

ϕ2

ϕ3

Représentation Vectorielle :Représentation Vectorielle :Représentation Vectorielle :Représentation Vectorielle :

Des formes émises { }( ), , ( ), , ( )i Ms t s t s t1 ⋯ ⋯

Base orthonormée : { }( ), , ( ), , ( )i Nt t tϕ ϕ ϕ1 ⋯ ⋯

Formes émises :

( )

( )

( )

( ),

, , ,

( ) ( ) ( )Hj j j

T

j

Ns t

s s t t s t

s

t

s

t d

s

ϕ ϕ

11 12 1 11+∞

∗1 1 1 1

−∞

→

⋅ = = = ⋅

=

…

∫

s

sϕϕϕϕ

( ) ( )N

n n

n

s t s tϕ1 1=1

= ∑

En ergie : ( )i i iE s t dt

+∞2 2

−∞= =∫ s

Dis tan ce : ( ) ( )ij i j i jd s t s t dt

+∞ 2 22

−∞

= − = −∫ s s

Modulations MIA, MAQ, MDP…

de Formes RZ NRZ Cosinus …

Constellation


01/11/07

EEEEEEEExxxxxxxxeeeeeeeemmmmmmmmpppppppplllllllleeeeeeee :::::::: MMMMMMMMoooooooodddddddduuuuuuuullllllllaaaaaaaattttttttiiiiiiiioooooooonnnnnnnn dddddddd’’’’’’’’AAAAAAAAmmmmmmmmpppppppplllllllliiiiiiiittttttttuuuuuuuuddddddddeeeeeeee MMMMMMMMAAAAAAAAQQQQQQQQ--------MM ddddddddeeeeeeee DDDDDDDDeeeeeeeeuuuuuuuuxxxxxxxx PPPPPPPPoooooooorrrrrrrrtttttttteeeeeeeeuuuuuuuusssssssseeeeeeeessssssss eeeeeeeennnnnnnn QQQQQQQQuuuuuuuuaaaaaaaaddddddddrrrrrrrraaaaaaaattttttttuuuuuuuurrrrrrrreeeeeeee MM--------QQQQQQQQAAAAAAAAMMMMMMMM

{ }pkd

{ }kb

{ }qkd

( )s tCodage

Binaire/M-aire

( )g t

( )g t

cos( )tω02

sin( )tω0− 2

( )p t

( )q t

NM = 2

N Pair ⇒ MAQ-4, 16, 64, 256, ...

Voie en Phase (MIA) { , , , ( )}pkd M∈ ±1 ±3 … ± −1

Voie en Quadrature (MIA) { , , , ( )}qkd M∈ ±1 ±3 … ± −1

N Impair ⇒ MAQ-8, 32, 128, 512, ...

Autres Constellations Croix, Carrés Bords Arrondis …

0000

0001

0010

0011

0100

0101 0111

0110

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

MAQ-16

000

011

010

111

101

100

A B

110

001

MAQ-8

( ) ( ) cos( )s t g t tω1 0= ⋅ 2 ⋅( ) ( ) sin( )s t g t tω2 0= ⋅ 2 ⋅

( )s t2

( )s t1


01/11/07

DDDDéééétection dtection dtection dtection d’’’’une suite de Symbolesune suite de Symbolesune suite de Symbolesune suite de Symboles

HYPOTHHYPOTHHYPOTHHYPOTHÈÈÈÈSESSESSESSES

Canal non dispersif Canal non dispersif Canal non dispersif Canal non dispersif àààà BABGBABGBABGBABG

& Modulation sans m& Modulation sans m& Modulation sans m& Modulation sans méééémoiremoiremoiremoire

RRRRÉÉÉÉCEPTEURCEPTEURCEPTEURCEPTEUR

Estimation des rythmes porteuse & codeEstimation des rythmes porteuse & codeEstimation des rythmes porteuse & codeEstimation des rythmes porteuse & code

Estimation des retards et dEstimation des retards et dEstimation des retards et dEstimation des retards et dééééformationsformationsformationsformations

DDDDéééétection Symbole par Symbole tection Symbole par Symbole tection Symbole par Symbole tection Symbole par Symbole (simple)

au Minimum de Probabilitau Minimum de Probabilitau Minimum de Probabilitau Minimum de Probabilitéééé dddd’’’’ErreurErreurErreurErreur


01/11/07

Détection d’un seul symbole (modulation sans mémoire)

Filtrage

Décision

Observation et Détection tous les k T s

Échantillonnage

BABG M Zones de Décision

( ) ( ) ( )k sk

r t g t kT b tθ= − + +∑

k = +z s b

k• z

iZ

Z1

MZ

i•s

M•s

1•s

j•s

•

•

( ) ( )k kg t b t+

Symbole

Signal (MIA) Signal + Bruit

( )s t ( ) ( ) ( )r t s t b t= +

Filtre = Séparation en continu d'un Symbole et Décision tous les Ts

M FormesM Hypothèses


01/11/07

( )b t est un bruit additif blanc gaussien de DSP /N0 2 b est Vecteur gaussien de composantes ( ) ( )

jjb b t t dtϕ⌠⌡

∗= ⋅

{ }Hb N

NE 0= ⋅ =

2R b b I , les jb sont des VA gaussiennes centrées de /

jbNσ 2

0= 2

, composantes indépendantes car PA gaussien et base orthonormée ( )E i jb b∗⋅ = 0.

Vecteur de Bruit (Détection d’un symbole)

On reçoit ( ) ( ) ( )r t s t b t= +

On représente le symbole reçu en kTs par

un vecteur k = +z s b

Le bruit est Gaussien ⇒⇒⇒⇒ le vecteur kz observé est Gaussien

de moyenne is et de matrice de covariances b NN0=2

R I

Z1Z2

zk

s1

ϕϕϕϕ3

ϕϕϕϕ2

ϕϕϕϕ1

bs2


01/11/07

Détection au Minimum de Probabilité d’Erreur Détection des formes { }( ), , ( ), , ( )i Ms t s t s t1 ⋯ ⋯

{ } { }Pr PrErr Dc=1−

{ }( ) { }( )min Pr max PrErr Dc=

Détection du symbole (instant skT )

M Hypothèses : iH = {le symbole ( ) ( )k ig t s t= }

{ } { }Pr Pr et ( ou ou )MDc Dc H H H1 2= ⋯ Système complet

{ } { } { } { }Pr Pr et Pr / PrM M

i i i

i i

Dc Dc H Dc H H

=1 =1= = ⋅∑ ∑

{ } ( ){ } { }Pr Pr / Pr

somme sur de la loi de /

M

i i i

ii

i

Dc Z H H

ZH

=1= ∈ ⋅∑ z

z

��{ } ( ) { }/r PrP

i

M

i

i i

Z

p Hc HD ⌠⌡

=1⋅=∑ z

{ }Pr max si sur chaque iDc Z

( ) { } ( ) { }/ Pr / Pri i j jp H H p H Hj

⋅ ⋅∀≥z z ⇔ { } { }Pr / Pr /i jH H

j∀≥z z Critère MAP

M Zonesde Décision

Observationet Détectiontous lesk T s

kz

k• z

iZ

Z1

MZ

i•s

M•s

1•s

j•s

•

•


01/11/07

Exemple critère MAP pour une MIA-6


⋅ ⋅∀≥z z

( )/ ip Hz loi Gaussienne centrée

Cas M-aire i.i.d. dk ∈ { ±1, ±3, …, ±(2m–1)} équiprobables, M = 2m

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

( )Z +1 ( )Z +5

Exemple avec ( ) et / . dBbp M E Nσ 20= 0 = 1 = 6 = 6 5


01/11/07

Exemple critère MAP pour une MIA-2


⋅ ⋅∀≥z z

( )/ ip Hz loi Gaussienne centrée

Cas Binaire {+1,–1} i.i.d. non équiprobables

−3 −2 −1 0 1 2 3s

( ), Pr( )bσ 2+1 ⋅ +1N

( )Z +1( )Z −1

( ), Pr( )bσ 2−1 ⋅ −1N

seuil

z

{ } { } { }Exemple avec ( ) et . ( , , Pr . , Pr . )kp M dσ 2= 0 = 1 = 2 ∈ −1 +1 −1 = 0 3 +1 = 0 7


01/11/07

Construction du récepteur : choisir les zonesiZ en conséquence du MAP


⋅ ⋅∀≥z z

Limites des Zones de Décision (Seuils)

{ }( ) { }( )min Pr max PrErr Dc= Détection symbole par symbole (instant skT ) k = = +z z s b

M Zonesde Décision


kz

k• z

iZ

Z1

MZ

Symbolerestitués i

i•s

M•s

1•s

j•s

•

•

( )/ ip Hz loi Gaussienne centrée sur is

( ) /// exp ( ) ( )

( )

Hi i b iN

b

p Hπ

−11 22

1 1 = − − ⋅ ⋅ − 2 2z z s R z s

R

b NN0=2

R I b NN

−1

0

2=R I

,( ) ( )i

Hi b i i d

N N

2−1 2

0 0

1 1 1 − − ⋅ ⋅ − = − − = − 2 z sz s R z s z s

,

,

expPr( )

Pr( )exp

( / )

( / )

i

j

i

j

ij j

i i

ZdH pN

jH p

p HL

pd

H

N

2

0

2

0

1− = ∀ 1−

=

>z s

z s

z

z≜

Rapport de Vraisemblance(Likelihood ratio)


01/11/07

Limites des Zones de Décision

( )/ ip Hz loi Gaussienne centrée sur is

,

,

expPr( )

Pr( )exp

( / )

( / )

i

j

i

j

ij j

i i

ZdH pN

jH p

p HL

pd

H

N

2

0

2

0

1− = ∀ 1−

=

>z s

z s

z

z≜

M Zonesde Décision


kz

k• z

iZ

Z1

MZ

Symbolerestitués i

i•s

M•s

1•s

j•s

•

•

Log Vraisemblance

( ), ,lo g) log(i j

ij

i

Zp

d d jLN p

2 2

0

1= − + ∀

>z s z s

soit , ,logj i

ij

ji

Zp

d N dp

2 20

− ⋅ ∀

>z s z s iZ ensemble des z les plus proches de is

iZ telles que ( ), ,min si /i j i j

jd d p p M2 2= = =1z s z s

Seuils de séparation = Bissectrices des segments i j s s

Fonctionnement : si iZ∈z ⇒⇒⇒⇒ décide symbole n°i .


01/11/07

Z1Z2

s1s2

ϕϕϕϕ3

ϕϕϕϕ2

ϕϕϕϕ1

zk b

iZ telles que ( ), ,min si /i j i j

jd d p p M2 2= = =1z s z s

Seuils de séparation = Bissectrices des segments i j s s

iZ ensemble des z les plus proches de is (ou lieu des plus grandes projections de z sur la forme is )

, ,logj i

ij

ji

Zp

d N dp

2 20

− ⋅ ∀

>z s z s

si /i jp p M≠ ≠1 cela décale les

bissectrices vers le symbole le moins probable

Exemple : Cas Binaire 2 formes

{ }( ), ( )s t s t1 2 ( ) ( )s t s t1 2⊥

base orthonormée { }( ), ( ), ( )t t tϕ ϕ ϕ1 2 3

Détection au Minimum de Probabilité d’ErreurDétection au Minimum de Probabilité d’ErreurDétection au Minimum de Probabilité d’ErreurDétection au Minimum de Probabilité d’Erreur Limites des Zones de DécisionLimites des Zones de DécisionLimites des Zones de DécisionLimites des Zones de Décision


01/11/07

CC oo mmmm uu nn ii cc aa tt ii oo nn ss NN uu mm éé rr ii qq uu ee ss CC NN 22 11


5. Calcul de performance. 1 Taux d’Erreur cas de signaux binaire antipodaux, orthogonaux. 2 Cas M-aire. Borne de l’Union. 3 Canal Mobile et Performances en Diversité.

6. Modulations Numériques sur Fréquence Porteuse.

1 Modulations Linéaires. Modulations de Fréquence. 2 Comparaison des modulations. Efficacité / performance. 3 OFDM. Etalement de spectre. Multiplexage


01/11/07

RRRRRRRRééééééééalisation du Ralisation du Ralisation du Ralisation du Ralisation du Ralisation du Ralisation du Ralisation du Réééééééécepteur Optimalcepteur Optimalcepteur Optimalcepteur Optimalcepteur Optimalcepteur Optimalcepteur Optimalcepteur Optimal

un Produit Scalaireun Produit Scalaireun Produit Scalaireun Produit Scalaireun Produit Scalaireun Produit Scalaireun Produit Scalaireun Produit Scalaire

soitsoitsoitsoitsoitsoitsoitsoitun Produit de Convolutionun Produit de Convolutionun Produit de Convolutionun Produit de Convolutionun Produit de Convolutionun Produit de Convolutionun Produit de Convolutionun Produit de Convolution

doncdoncdoncdoncdoncdoncdoncdoncun Filtre Linun Filtre Linun Filtre Linun Filtre Linun Filtre Linun Filtre Linun Filtre Linun Filtre Linééééééééaireaireaireaireaireaireaireaire

Fonctionnement : si iZ∈z ⇒⇒⇒⇒ décide symbole n°i .

iZ ensemble des z les plus proches de is ou lieu des plus grandes projections de z sur la forme is (produit scalaire)

, ( ) ( )k i i k ir z t s t dt⌠⌡

+∞∗

−∞= = ⋅z s

Temporellement pour un signal continu

( ) ( ) ( ) ( ) ( )i k i k ir z t s t z t s t dtτ

τ τ⌠⌡

+∞∗ ∗

−∞= ∗ − = ⋅ −

+ échantillonnage en zéro


01/11/07

,k r1 1=z s

kz,k m mr=z s

,k M Mr=z s

ˆkg

( ){ }maxRe ⋅

( )s t∗1 −

( )ms t∗ −

( )Ms t∗ −

( ) ( ) ( )k kz t g t b t= + τ =0

, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k m k m k m mz t s t dt z t s t rτ

⌠⌡

+∞∗ ∗

=0−∞= ⋅ = ∗ − = 0z s

= filtrage linéaire + échantillonnage en zéro (répété tous les Ts)

On dit que le filtre ( )ms t∗ − est adapté à la forme ( )ms t

Structure du Structure du Structure du Structure du RRRRéééécepteurcepteurcepteurcepteur Optimal BABG Optimal BABG Optimal BABG Optimal BABG pour un pour un pour un pour un SymboleSymboleSymboleSymbole MMMM----aire aire aire aire isolisolisolisoléééé


01/11/07

Structure du Récepteur Optimal BABG. Structure du Récepteur Optimal BABG. Structure du Récepteur Optimal BABG. Structure du Récepteur Optimal BABG. Suite deSuite deSuite deSuite dessss Symboles Symboles Symboles Symboles....

Observation et Détection tous les k T s

,k r1 1=z s

kz,k m mr=z s

,k M Mr=z s

ˆkg

( ){ }maxRe ⋅

( )s t∗1 −

( )ms t∗ −

( )Ms t∗ −

( ) ( ) ( )k s

k

r t g t kT b tθ= − − +∑ skTτ θ= +

Canal Idéal BABG

θθθθ est un retard à estimer.

Le signal reçu r(t) est la suite continue des symboles émis plus du bruit.

�� Un échantillonnage bien estimé donne les projections symbole après symbole.

PB : Les formes des symboles successifs ne doivent pas interférer lors de l’échantillonnage.

Cas du NRZ, du RZ50%. Ce n’est pas le cas des impulsions dont la DSP est limitée.

Filtres Adaptés

échantillonnage Décision


01/11/07

Chaîne optimale en BABG pour la MIAChaîne optimale en BABG pour la MIAChaîne optimale en BABG pour la MIAChaîne optimale en BABG pour la MIA----MMMM....

( ) ( )k s

k

s t d g t kT+∞

=−∞= ⋅ −∑ ; { })1(,,3,1 −±±±∈ Mdk ⋯

Une seule forme ( )g t ⇒⇒⇒⇒ une seule dimension ⇒⇒⇒⇒ un seul filtre adapté ( )g t∗ −

+ Détection de l’amplitude kd .

BABG

Canal idéal LIT

N0 / 2 filtre adapté

hr(t)=g*(-t)

z(t)

z k= dk·p(0)+nk

+g(t)

{dk} s(t)

p(t)=g(t) ∗g∗(−t)� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Seuils { ˆ d k}

Ech kTs+ t0

Codage binaire / M - aire

Une seule forme mais les symboles successifs

ne doivent pas interférer à l’échantillonage.


01/11/07

InterfInterfInterfInterfInterfInterfInterfInterfInterfInterfInterfInterféééééééééééérence Entre Symbolesrence Entre Symbolesrence Entre Symbolesrence Entre Symbolesrence Entre Symbolesrence Entre Symbolesrence Entre Symbolesrence Entre Symbolesrence Entre Symbolesrence Entre Symbolesrence Entre Symbolesrence Entre SymbolesCritCritCritCritCritCritCritCritCritCritCritCritèèèèèèèèèèèère de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquist

IESIESIESIESIESIESIESIESDes symboles qui se perturbentDes symboles qui se perturbentDes symboles qui se perturbentDes symboles qui se perturbentDes symboles qui se perturbentDes symboles qui se perturbentDes symboles qui se perturbentDes symboles qui se perturbent

àààààààà ééééééééviter !viter !viter !viter !viter !viter !viter !viter !


01/11/07

Interférence entre symbole. Pour canal à bande limité.

(Signal à bande limitée = Impulsion Temporelle Longue)

,k r1 1=z s

,k m mr=z s

,k M Mr=z s

ˆkg

( ){ }maxRe ⋅

( )s t∗1 −

( )ms t∗ −

( )Ms t∗ −

( ) ( ) ( )

( ) ( )k s

k

r t s t t b t

g t kT t b t

0

0

= − += − − +∑

skTτ θ= +

Canal Limité BABG ( )mr t

( )r t1

( )Mr t

( ) ( ) + ( ) (( ) )k s m mk

m g t kT t s t dt b t s dtr tττ τ⌠ ⌠ ⌡⌡

+∞+∞

∗ ∗0

−∞−∞

= − − ⋅ − ⋅ −

∑

( ) ( ) ( )k m mm g s s bs

k

r R kT t Rτ τ τ0= − − +∑ Intercorrélations.


01/11/07

Interférence entre symbole (IES / ISI).Interférence entre symbole (IES / ISI).Interférence entre symbole (IES / ISI).Interférence entre symbole (IES / ISI). Signal à bande limitée. Pour canal à bande limité.

( ) ( )( )k m mg s sm bs

k

R kTr t Rτ τ τ0= − − +∑ Intercorrélations.

Échantillonnage en skT tτ 0= + ( tθ 0= bien estimé)

( )symbolere Icher ESché

( ) ( ) ( ) + ( )k m l m m

km

m m s g s g s s bs s

l kb

r r kT t R R k l T R kT t0 0≠

= + = 0 + − +∑��

( )k mg s m mR E

20 = =s si ( ) ( )k mg t s t=

( ) ,k mg s j mR 0 = s s si ( ) ( )k jg t s t= . ( )

k mg sR 0 = 0 si signaux orthogonaux

kmb est V.A. ( ), mσ 20N

l’IES des formes reçues est annulée par construction à l'émission.


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On veut ( ) { }( ) , ( ) ( )l mg s s l i

l k

R k l T m g t s t

≠− = 0 ∀ ∀ ∈∑

⇒ ( )i js s s

n

R nT

≠0= 0∑ ⇒ ( ) ( )( ) ( )|||

i j i js

s s s sT

R Rτ τ δ τ⋅ = 0 ⋅

par transformée de Fourier

⇒ ( ) ( )( ) ( )|||i ji j s s s

Ts

S f S f f T R cste∗1⋅ ∗ = ⋅ 0 = périodisé.

Cas de la MIA (PAM)Cas de la MIA (PAM)Cas de la MIA (PAM)Cas de la MIA (PAM) )()( tgts ii ⋅= α une seule forme Critère de Nyquist

( )( )( ) () |||g s s gi jk Ts

R k G f f T R csteT≠ ≠∀

2

0 1= 0 ∗ ⋅ 0 =⇒ = .

Annulation de lAnnulation de lAnnulation de lAnnulation de l’’’’IES des formes IES des formes IES des formes IES des formes éééémises mises mises mises (Canal (Canal (Canal (Canal àààà bande limitbande limitbande limitbande limitéééée).e).e).e).

( )symbolere Icher ESché

( ) ( ) ( ) + ( )k m l m m

km

m m s g s g s s bs s

l kb

r r kT t R R k l T R kT t0 0≠

= + = 0 + − +∑��


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Cosinus SurCosinus SurCosinus SurCosinus SurCosinus SurCosinus SurCosinus SurCosinus SurCosinus SurCosinus SurCosinus SurCosinus Suréééééééééééélevlevlevlevlevlevlevlevlevlevlevlevéééééééééééé

Une forme de filtre Une forme de filtre Une forme de filtre Une forme de filtre Une forme de filtre Une forme de filtre Une forme de filtre Une forme de filtre facile facile facile facile facile facile facile facile àààààààà rrrrrrrrééééééééaliseraliseraliseraliseraliseraliseraliseraliser

qui vqui vqui vqui vqui vqui vqui vqui véééééééérifie le critrifie le critrifie le critrifie le critrifie le critrifie le critrifie le critrifie le critèèèèèèèèrerererererererede Nyquist de non IESde Nyquist de non IESde Nyquist de non IESde Nyquist de non IESde Nyquist de non IESde Nyquist de non IESde Nyquist de non IESde Nyquist de non IES


01/11/07

Filtre de Nyquist en Cosinus Surélevé.Filtre de Nyquist en Cosinus Surélevé.Filtre de Nyquist en Cosinus Surélevé.Filtre de Nyquist en Cosinus Surélevé.

Fonction de Transfert du Cosinus Surélevé.

−1 −0.5 0 0.5 10

0.5

1

α = 0.2

α = 0.5

α = 0.8

( )

( ) pour

( ) pour

( )cos pour

G f

p T fT

P f fT

p T Tf f

T T T

α

α

π α α αα

2 =

1− 0 ⋅ <

2 1+= 0 < 2 0 ⋅ 1− 1− 1+ ⋅ 1+ ⋅ − < < 2 2 2 2

Réponse Impulsionnelledu Cosinus Surélevé.

2

( )

sin cos( ) (0)

21

gR t

t t

T Tp t p

t tT T

π π α

π α

=

= ⋅ ⋅

−

−4 0 1 2 3 4 5 6

0

0.5

1α = 0.2α = 0.5α = 0.8


01/11/07

Filtre en Racine de Cosinus Surélevé.Filtre en Racine de Cosinus Surélevé.Filtre en Racine de Cosinus Surélevé.Filtre en Racine de Cosinus Surélevé.

Fonction de Transfert.

−1 −0.5 0 0.5 10

0.5

1

α = 0.2

α = 0.5

α = 0.8

1(0) pour

21

0 pour ( ) ( )2

1 1 1(0) cos pour

2 2 2 2

p T fT

fG f P fT

Tp T f f

T T T

α

α

π α α αα

− <

+ >= =

− − + ⋅ ⋅ − < <

Réponse Impulsionnelle.

2

( )

(1 ) (1 )4

(0) 44

1

g t

t T tcos sin

T t Tp

tT

T

π πα ααα

απ

=

+ + ⋅ − ⋅ ⋅

− −4 0 1 2 3 4 5 6

0

0.5

1

1.3

α = 0.3α = 0.5α = 0.8


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CritCritCritCritCritCritCritCritCritCritCritCritèèèèèèèèèèèère de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquistre de Nyquist

En rEn rEn rEn rEn rEn rEn rEn réééééééésumsumsumsumsumsumsumsuméééééééé ::::::::Structures possibles du Structures possibles du Structures possibles du Structures possibles du Structures possibles du Structures possibles du Structures possibles du Structures possibles du RRRRRRRRéééééééécepteur Optimalcepteur Optimalcepteur Optimalcepteur Optimalcepteur Optimalcepteur Optimalcepteur Optimalcepteur Optimal


01/11/07

Une Forme M Niveaux { })1(,,3,1 −±±±∈ Mdk ⋯ . MIA (PAM)

Observation scalaire npdz k +⋅= )0(

BABG

Canal idéal LIT

N0 / 2 filtre adapté

hr(t)=g*(-t)

z(t)

z k= dk·p(0)+nk

+g(t)

{dk} s(t)

p(t)=g(t) ∗g∗(−t)� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Seuils { ˆ d k}

Ech kTs+ t0


( )p t vérifie Nyquist

( ) (0) ( ) 0, 0s s skP f kD T p p kT k− = ⋅ ⇔ = ∀ ≠∑

Racine de Nyqui

2 2

st

( ) ( ) ( ) ( ) ( )j fR

réalisable

P f G f e G f H f P fπ θ−= ⇒ = =��

⊳⊳⊳⊳ Canal Canal Canal Canal Stationnaire, Non DispersifStationnaire, Non DispersifStationnaire, Non DispersifStationnaire, Non Dispersif , avec, avec, avec, avec BABGBABGBABGBABG


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M formes

BABG

Canal idéal

N0 / 2

Ech

filtre adaptézi(t) z2k

filtre adaptézM(t) zMk

Ech

filtre adaptéz1(t) zlk

+

s(t) =gk (t − kT)k∑

gk (t)∈{s1(t ),…,sM (t)}


s1∗ (− t)

si∗ (− t)

sM∗ (−t)

ˆ g k{ }⇒

max Re(·))))

Ech kTs+ t0

Filtres Adaptés aux impulsions Reçues

Observation Vecteur Gaussien kkk bsz += et { }Mk sss ,,1⋯∈

( ) ( ) vérifient Nyquist ,i js t s t i j∗∗ − ∀

⊳⊳⊳⊳ Canal Canal Canal Canal Stationnaire, Non DispersifStationnaire, Non DispersifStationnaire, Non DispersifStationnaire, Non Dispersif , avec, avec, avec, avec BABGBABGBABGBABG


01/11/07

2)()()()()( fHfHfHfNfP erey =⋅== ( )C f estimée connue

Racine de Nyquist )()()()( fCfGfNfH ye ⋅== )(

)()(

fC

fNfG

y=

BABG/N0 2

CanalDispersifVariable

( , )C f t

{ }nd( )g t ( )g t∗ −

( )s t

Filtre Adaptéà l'impulsion

émise

EgaliseurAdaptatifde Canal

Détection

des

Symboles

( )p t Impulsion de Nyquist

⊳⊳⊳⊳ Canal Canal Canal Canal Non Stationnaire, DispersifNon Stationnaire, DispersifNon Stationnaire, DispersifNon Stationnaire, Dispersif, avec, avec, avec, avec BABGBABGBABGBABG

BABG /N0 2

Canal Dispersif Stationnaire

( )C f

{ }nd( )g t ( ) ( )r eh t h t∗= −

( )s t

Filtre Adapté à l'impulsion

reçue

Détection

des

Symboles

( )p t Impulsion de Nyquist

( )eh t Impulsion reçue Racine de Nyquist

⊳⊳⊳⊳ Canal Canal Canal Canal Stationnaire, DispersifStationnaire, DispersifStationnaire, DispersifStationnaire, Dispersif , avec, avec, avec, avec BABGBABGBABGBABG


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CC oo mmmm uu nn ii cc aa tt ii oo nn ss NN uu mm éé rr ii qq uu ee ss CC NN 22 11


5. Calcul de performance. 1 Taux d’Erreur cas de signaux binaire antipodaux, orthogonaux. 2 Cas M-aire. Borne de l’Union. 3 Canal Mobile et Performances en Diversité.

6. Modulations Numériques sur Fréquence Porteuse.

1 Modulations Linéaires. Modulations de Fréquence. 2 Comparaison des modulations. Efficacité / performance. 3 OFDM. Etalement de spectre. Multiplexage

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