CompacR$ faible dans l'espace Z~ et dans l'espace des multifonctlons intSgralement born~es, et minimisation (*).

C~.~LES CAS~A~ - PA~-LnT~E CLAUZU~n (1Vfontpellier, France)

S u m m a r y . - Some compactness results in the space o/ Boehner integrable /unctions in Banach spaces and in the space o/integrably bounded multi#~netions with non empty convex weakly compact values are presented. Applications to minimization problems are given.

O. - I n t r o d u c t i o n .

I1 existe duns la litt6ruture de nombreux r4sultuts de compaeit4 fMble duns L~. Si- gnMons ceux de BlCOOKS-DINc~YLEANU ([2]), CASTAI~G-WALA])IE~ ([9]), CASTAING ([3], [4]), DUNF01CD (of. DIESTEL and U~L [12], p. 101).

On pr4sente duns cet expos6 de nouveuux crit~res de compueit6 fMble duns L~ 1

et duns l'espuee s des multifonetions mesurables st int4grMement born4es vMeurs eonvexes fuiblement eompuetes non rides d'un espuee de Bunaeh s4pu- ruble E. Ces r4sultuts sont des extensions de eeux obtenus duns ([2], [9], [3], [4], [12]) pour le eus veetorie], st des r4saltuts de A~TS~]~I~ ([1]) pour le cus off E est de dimension finie et de L u ' u ([15]) pour le eus off E est r4flexif.

Ensuite, on applique les r4sultuts obtenus s l'existenee des 616merits de meilleare 1 approximation duns s dont l'~tude a 6t~ abord6e la premiere lois par D I ~

Q u A ~ L~u ([15]). SignMons des r~sultuts purtieuliers obtenus par StrI~TA~I- A~DO ([16]) duns L~, par HERO,DOfF ([14]) duns ]es espuces d'Orliez, et par V~_~A])I:E~ ([17]) duns l'espaee L~ (avee E r6flexii s6purable).

1 . - N o t a t i o n s e t d ~ f i n i t i o n s .

(fP, A , #) est un espuce mesur6 uvec # finie et A #-complete, E est un espuce !

de Bunueh s4pur~ble, E: son duM fMble, E b son duM fort. Pour tout convexe fuible- ment compact non vide K de E, x'~-. 5*(x', K) est ]u fonetion d'uppui de K. Une multifonction F A-mesuruble ([9]) de ~ ~ vMeurs convexes fuiblement eompuetes non rides de E est int~grMement born4e s'il existe g positive duns s A, #) telle que F(o~) c g(o~)B pour tout eo e ~, B 6rant la boule unit6 de E. On d6signe

(*) Entrata in Redazione il 18 giugno 1984.

346 C]~ARLES CASTA~NG - PAULETTE CL~UZURE: Compacitg Jaible, etc.

g~o~(~)(D, A, #) l 'espaee des multifonctiona A-mesurables et int~gralement bor- par n~es de ~ ~ valeurs convexes faiblement compactes non r ides de E, L~(~, A, #) l 'esp~ce des fonetions A-mesurablea et Bochner int~grables de ~ ~ valeurs duns E, Z~:(~2, A, ~) le dual de Z~(~, A, #). Une mult i fonet ion M de A ~ valeurs eonvexes fa iblement compaetes non r ides de E est ane mult imesure si, pour tou t x 'e E', d*(x', M( . ) ) est une mesure scalaire. Pour ] '4rude des multimesures, on renvoie Go])E~-T~oBIE ([13]) et C o s ~ ([10]). Une mesure veetorielle m: A - ~ E est s~- leetion de la mult imesure M ainsi d~finie, si re(A) e M(A), pour tou t A e A. L'en- semble S~ des s~leetions-mesures de M est non vide ([13], [10]) et l 'on a M(A) ----- = {re(A): m e S~} pour tou t A e A. Une mul t imesure M eat ~ (( var ia t ion born4e )~ s'il existe une mesure v positive finie sur A telle que M(A) c v(A)B pour tou t A e A off B e s t ]a boule uni ts de E.

2. - R S s u l t a t s p r ~ l i m i n a i r e s .

Lea r~saltats suivants sont extrai ts de CAS~h~-CL~VZVRE ([8]), C A S ~ X ~ ([4])

e~ Cos~I~ ([10]). Voiei deux rgsultats techniques qui in terviennent duns lea th~orgmes prineipaux.

c o

PROPOSITION 2.1. -- Soit l: LE;(f2 , A, #) --> R u n e application sous-lindaire continue sur I~t(f2 ~ A~ #) et additive au sens suivant: pour tout couple (J~, J~) dans L~t(f2, A~ #) de supports disjoints, on a l(]~ @ J~) = l(J~ ~- 1(/2)), et vdri/iant tes propridtds suivantes:

(i) Pour tout A fixd dans A, x:~-. l(z~x: ) est ~(E:~ E) continue (i.e., continue pour la topologie de Mackey);

(ii) Pour toute suite croissante (A.) dans A, de r~union A, pour tout x' /ixd dans E', on a lira l(z ~ x') = l(g~x'). Alors la multimesure M de A ~ valeurs con- ch--> c o n

vexes ]aiblement compaetes non rides de E, dd]inie par la /ormule d*(x', M(A) ) = l(g~x'), pour tout (A, x ~) ~ A • est ~ <~ variation bornge 5 et de /a fon prdcise M(A) c v(A)B pour tout _4 ~ A, o~ B e s t la boule unit~ de E et vune mesure posit ive/inie sur A abso- lument continue par rapport ~ #.

D]~MOI~STRATIOi~. -- (inspir~e de la d6monstrat ion da th~orgme 1 de CASTAING-

CLAvz~R~ (IS]). Pour tou t A a A, d~signons par ff~ l 'ensemble de routes lea A-parti t ions d6nom-

brablea de A e t notons B' la boule unit~ de E ' e t posons

} ~(A) sup l(z~,x~): (A&~Nc ff~, (x&~NcB' . ~=

Montrons que ~ est une mesure positive finie sur A. En raison de sa d~finition est une fonction d'ensembles positive. Comme 1 est tree forme aous-lin~aire addit ive

C~RLv, S CASTA~6 - PALETTE CLAUZU~E: Compacitd /aible, etc. 347

eoat iuue sur Z~;(~2, A, #), il existe une constante a e R* telle que Ii(/)l<o:l[/Hoo pour totit ] e z ~ ; . Pa r suite on a: ~ (A)<a pour tou t A e A. l~este ~ v4rifier ]a a-addi- t ivit~ de v. Soit A e A e t (A~)se ~ une A-part i t ion de A. Montrons d 'abor4 Find-

galit~ ~ v(A~) <v(A). i = 0

Soit e > 0. Ell raison de la d~finition de ~, il existe pour chaque ent ier j, une /

suite (As~)e ff~, et une suite (x~i)r B ' telles que

i=O

D e 1~ on d6duit

i = 0 5 = 0 r

!

Or la suite (l(z.4jx~))O,O~N~ est absolument sommable car pour route suite fmie !

disjointe (Dk)ke N darts A et route suite finie (Xk)k~ N dans B', on a, en raison des pro- pri~t~s de l,

k e n k e n

!

ce qui implique ~ [l(xD~xk)l<~o:. k e n co

Puisque (Asi)0,r e ff~, on a ~ ( A j ) ~ < e @ ~(A). Comme e > 0 e s t a r b i t r a i r % ~ ~ = 0

on a ~ ~,(A~)~<f(A). L'in~galit~ inverse se dgmontre de la mgme fagon. J = 0

Soit s > 0. telles que

!

En raison de la d~finition de v, il existe (Ck)keNe ffA et ( x ~ )cB '

~(A) <~ + l(x~ xk) . k=O

Compte tenu de (ii) et de l 'addit ivi t6 de l, on a, pour tou t k e N,

i = 0

D'ofl

k=O 1=0

~ = 0 k = O

348 CHARLES CAS~AI~ - PAUL]~TTE CLAUZURE: Com~acit~ ]aib~e, e~c.

P a r suite oo

Comme s est arbi t ra i re , on a v(A)-<< ~ v(Aj), ce qui 6tabli t la a-addi t ivi t6 de v. En raison de la d6finition de v, on a ~=o

I~*(x', M(A))! = T x J ) I <v(A)llx'[I

pour tou t (A, x') ~ A X E ' . Done M est g (~ va r ia t ion born6e ~ et l 'on a M(A) c v (A)B pour tou t A ~ A, avec v abso lument cont inue pa r r appo r t g /~.

PROPOSITION 2.2. - Soit l ~ne /orme sous-lin&ire, additive continue sur L~'([2, A, #) et vdri]iant la condition suivante:

( . ) Po~r ~oute suite croissante (A~) dans A de rdunion A e t poq~r tout u e L~'~( [2, ~, /~), O ~ ~ :

l im l(Z~. u) = l(zau ) .

! !

Soi~ q~: ~ X E b ---> R un intdgrande A @ r tel qq~e: f

(i) Pour tout co ]ixd clans ~ , ~(o~,.) es$ sous-lin&ire continue sur ~b:

(ii) I l existe k e ~1+(f2, A, #) telle que

[~(~, x') - ~(~, y')[ < k(~) l lx ' - y'll

pour tout (co, x', y') ~ QxE~ xE~. I

Supposons que l'on ait pour tout (A, x') e A•

l(x~x') = f ~ ( ~ , X~,x')#(dm) l}

alors, on a, pour toq~t u e L~'~(Q, A, #),

z(u) =f~(o, u(~l)~(d~).

D~O~STRA~ION. -- Soit u ~ Z~'~([2, A, #). i l existe une sui te (u~) de fonetions !

A-6tag6es de ~ g va]eurs darts E b qui convergent s implemen t vers u. En ve r tu 4u th6or~me d 'Egorov , pour tou t e > 0, il exis te ABe A tel que # ( ~ \ A s ) < e et tel

Rue (Z~ u~) converge uni form6ment vers Z~ou. D ' o ~

lira 1Cza,u,~ ) = Z(Za~,u) . ~ - - + + 00

C~AI~LES CASTAI~ - PAULETTE CLAUZU~E: Compaeitd ]aible~ etc. 349

En "r de l 'hypoth~se, on u, pour tou t entier n,

.O

i1 r6sulte de (ii), qu 'on u

D

D'oO.

Z~.(o~)u(o~))~(d~) �9

Par r6cm'rence, il existe une suite croissunte (A.) duns A telle que

Vn, /~(~\A.) <2-"

Vn, l(z~.~) =f~(~,~(~))~(d~). . A n

Oompte t enu de la condit ion ( . ) , on

l im l(z~.u ) = l(z ~ a u ) .

f o o \

Comme #(~Q\U A . ) = 0, on en d6duit que

U(~0)) # (d~o ) . a = l n o o o J

An

Le r6sult~t suiv~nt est con~u des sp6ci~listes de l ' int6gr~tioll mul t ivoque (cf. CosT~ [10]). L~ d6monstr~tion de ce r6sultut donn6e ci-dessous est bus6e sur lu curuct6risution des ensembles ]aiblement compacts ddcomposables darts L~(~, A ,# ) (of. C ~ s ~ ([3]), theor. 2).

PROPOSlTIO~ 2.3. -- Soit E un espaee de Banaeh sdparable. On suppose que E ' soit sdparable et qq, e E a i t la propri~td de Radon Nikodym. Soit v: A --~ [0, + oo[ q, ne mesq, re positive absolument eontinue par rapport h # et soit M: A---> E q~ne multi-

mesq~re d valeurs convexes faiblement eompactes non rides de E telle qq~e M(A) c v (A)B pour tout A ~ A. Alors il existe une multi]onetion mesq, rable 1" ~ valeurs eonvexes

]aiblement eompaetes non rides de E, intdgralement bornde telle que

A

F est ~tnique i~-p.p.

350 C~ARLES CASTALNG - PAI3-LETmE CLAI/ZUI~E: Compacit6 /aible, etc.

DI~O~SmtCATI0~. - l~emarquons que l 'anicit6 de F est ~acile ([9], th6or. I i i .35) . Soit S~ l 'ensemble des mesures vectorielles m d6finies sur `4 ~ valeura duns E telles que re(A) ~ M(A), VA ~ `4; S~ est non vide et l 'on a

V..4_ s `4, M ( _ 4 ) = {re(A): m e S~}

(el. ([13]) GoD]~m-Ttt0BIV., ch. 2, th. 6, p. 67 et [10], Cosm~, ch. 3, th. 1, p. 8 et re- marque p. 9). Soit m e S~ et [m I s~ variation.

Comme lu mult imesure M v6rifie la condition: M(A) c v(A)B pour tout A e `4, on a Iml(A) <v(A) pour tou t A ~ `4. Donc m est ~ variat ion born6e :et absolument continue par rappor t ~ # puisque v eat absolument continue par rappor t ~/ , . Comme E a la propri6t6 de l~adon-~Tikodym, m admet une densit6 ]~ Bochner int6grable par rapport ~ # et r o n ~ lml (A)=f i f~ l d#<v(A), VA e`4. De fapon 6vidente, l 'ensemble

eat une pat t ie uniform6ment int6grable dana L~(tT, ,4, #) car

lira suprl/~ I ~s< l im v(A). /~(A)~0 tneS~ d ~(d)~0

A

f , " l I1 e s t c l a i r que ~ f ~ ~ : ~ ~ SM~ ~-~ -~/'A e s t c o n v e x e ~ i b l e m e n t c o m p a c t duns .~ p o u r

toni A e `4. Par ailleurs H c s t d6composable au sens: pour tout (A, B )e `4• `4, avec A N B = 0r et tout (hl, h~)el l• la fonction Z.~h~+ Z,h~eH si 0 e M(A), VA e `4. Supposons d 'abord 0 e M(A), VA ~ `4. Alora chacune des mesures A e-~

8*(x', M(A)) (x'e E') est positive, ce qui implique M(A) r M(B) si A c B. Soient (A, B) e `4 • `4 et A n B = 0, (m~, m2) e S~ • S~. Pour tout C e `4, on a

0

avec

m~(n n c) + m.(B n C) e )~(A n r + ~g(B n r = M(C n (n u B)) c M(C) .

Par suite Z~/~I+ ZJ~ , e l l . I1 r6sulte alors du th6or~me 2 de 0ASTAINO ([3]) qu'il existe /" qui v6rifie H = S r avec S r--- {u e Z~(Q, `4, #): u(o~) e F(o~) #-p.p.} car H eat convexe faiblement compact et d6composable ([4], theor. 1). D'oii

A A pour tout A_ s `4.

Ct~ARLES CASTAING - PAULETTE CLAUZURE: Compacitd ]aiblc, e tc . 351

Le cas g~n~ral se ram~ne au cas pr4c~dent en posant , pour tou t A ~ A,

~ ( A ) : M(A) - - mo(A)

off mo est une mesure s~lection de M (moe S~).

3. - Compacit~ fa ible dans _LI(tO, A, #).

Voici un th~or~me de compacit~ faible qui est d i rec tement inspir~ du thdor~me de compacit4 de C A S T h ~ ([4]), utilis4 d~ns la propositio~ 2.3, dont l'4nonc~ a l ' avantage de s 'appliquer d i rec tement ~ la minimisution ea rue .

TI~OI~I~ME 3.1. - Soit E un espace de Banach, soit qJ: t o • --> [0, ~ co] un intd- grande A G r tel que pour tout (oJ, x) ~ tO • E, on ait q;( co, x) > Jlxll - ~( w) olt ~ est une fonction positive #-int~g'rable sur tO. Soit H une partie non vide de L~(tO~ A~ #) satisfaisant aux conditions suivantes:

(i) {V( ", u( . ) ) : u ~ 11} est uni]ormdment intdgrable dans L~(tO, A, #).

(ii) Pour tout A ~ A, l'ensemble H~ -~ { f u dtt: u ~ H} est relativement a(E, E') compact dans E.

:4

(iii) Toute mesure vectorielle m: A ~ E, ~ variation bor~de pour laquelle on a m(A) e-d5 (11~) pour tout A e A, admet une densit~ Bochner #-intdgrable.

Alors

(a)

(b)

H est uni]ormdment intdgrable dans Llz(to, A, #).

Tout dl~ment 1 appartenant ~ l'adhdrence de H dans le bidual ]aible de L~(to, A, #) admet pour reprdsentation intdgrale,

l(z~x') = f <x', /(~o) ~ #(dco) A

(c)

o/t ] e L~(to, A, #), pour tout (A, x') ~ A •

Si l'on suppose de plus que L~(E2~ A, # ) ' ~ Z~'(to, A~ #)~ alors H est relati- vement a(Llz, L~;) compact.

D]~O~STgATIO~. -- a) C'est imm6diat car l 'on a

Ilu(~)l] <~(~, u(~)) + ~(~)

pour tou t o)e to et tou t u e H, compte t enu de la condition (i).

23 - .AnnaZ~ di Matematica

352 CHARLES CASTAING - PAULETTE CLAUZURE: Compacit6 /aible, etc.

b) Soit l e H, off H est l 'adh6rence de H duns le bidual faible de L~(~, A, #). Comme H est born6 pour la norme de L~(~, A, #), H est compact duns ce bidual faible. Pour tou t A e A et tou t x ' e E ' , on a

l(Z~,x') < (~*(x', H ~) .

Doric l 'applicat ion x'~...,, l()~,x') est, pour tou t A fix6 duns A, continue sur E ' pour la topologie de Mackey ~(E', E) ear H~ est re la t ivement fa iblement compae~ d'apr~s la condition (ii). Compte tenu de l 'hypoth~se Iaite sur ~0, pour tou t u e H et tou t x '~ /~ ' de norme <1~ on

<u(@, x'> <~(~, u((o)) + ~(~o)

pour tou t ~o e t2.

D'ofl

Pa r stfite, pour tou t A e A, tou t x ' e E ' avec []x' n < 1 et t o u t

z J > < + �9 A A

A A

Posons <m(A),x'} = l(z~x' ) pottr tou t (A,x') ~ A X E ' . En ver tu de ce qui pr6c~de et de la proposit ion 2.1, la mesure vectorie]le m: A ~-~ E ainsi d6finie est variat ion born6e et absolument continue par rappor t ~ la mesure/~. Comme re(A) e e e-5 (H~) pour tou t A e A, ]a condition (iii) implique que m admet une densitd Boehner #- int@rable [. Soit

~(z~x') = <re(A), x'> =f</(@, x'>~(d~) A

~ r p pour tou t ( A , x ' ) e A X E ' , ce qui 4tablit le point b) de l enonce. Pour d6montrer le point o), il suffit de v6rifier qu% pour tou t v ~ .L~'(D, A~ #),

O i l a

/J

Vu l 'hypothSse por t en t sur l ' int6gr~nde ~, on a, pour tou t v E ~'(~2, A,/~), tou t u E H , et tou t A E A

A A

CHA~L]~S CASTAI~G - PAULV, T~]~ CLhUZURV,: Compaeitd ]aible, etc. 353

Spit (A~) une suite eroissunte duns A de r6union A, on u, pour tout entier n, II(z v) - l(z. v)l = ] ) ' o f f

A~,An A~An

Donc lira l(ZA V) = l()L~v) car l im # (A \A~) = O.

I1 r6sulte de la proposition 2.2, qu'on u

.(2 pour tout v e L~'0(. , A, #).

l(v) = f < / ( @ , t9

~E~/fAlCQUES. -- 1) S i r est une fonction de Yotmg de R + duns R + et si X ~ L~(tP, A, #), l ' int6grunde (co, x) ~-~ ~(~o, x) = q~(/[X(~o) -- xll ) v6rifie l'in6gulit6 go(o~, x )> I[x[l - - a (co ) uvee ~>~o, int6gruble. En effet, spit Vla duale de ~. On u [[xl] <([IX(w)][ + + y~(1)) + ?(co, x). I1 stdiit de prendre g(o~) = [IX(co)I] + V(1) pour tout co e ~ .

2) Le th6or~me pr6c6dent est plus fort que le th6or[me de DU~FOI~D-PET- TIS ([12], tb6or. 1, p. 101) et plus pr6cis que le th6or~me de CASXAI~G ([4], th6or. 1).

4. - Compaeit6 faible dans l'espace des multifonctions int6gralement born6es.

Duns ce purugraphe E est un espace de Banach s@arable, ayant la propridtd de Radon-Nikodym et tel que son dual ]ort E~ spit s@arable. Spit ff~sk(E) l 'eusemble des eonvexes faiblement compacts non rides de E, muni de la distance de t tausdorff, h, laqaelle distance induit sur l 'espace s A, #) des multifonetions A-mesurubles et int6gralement born6es de ~9 ~ vuleurs duns ~$a~(E), lu dista;lce not6e encore h, uinsi d6finie: pour F et A duns s A, #)

En ut i l isant les th6or~mes d'existence de s61ections mesurubles ([9], CASTAI~G- VALADIE]~) , o n u

D

= e II<l <l} est lu boule unit6 de L~;(tP, A, #). On se propose d'6tublir un crit~re de compacit6 duns 1 s A, #) dont le win-

eipe de d6monstrution se t rouvMt d6j~ duns CASTAI~G ([6]) qui constitue une ver-

354 CH)~RLE~ C)~STA~ - PAU~ETTE CL~UZU~E: Compacit~ faible, etc.

sion mul t ivoque du th~orSme 3.1, du paragr~phe 3 et qui s 'uppl ique ~ l '~tude de l 'existence des 418merits de meilleure approximat ion duns 1 s A, I~). Pour t ou t

s A, #), on note

Irl: o ~ sup IO*(x', r ( o ) ) l , (o e 9 ) .

TLr~O~]~:E 4.1. -- On suppose E' b sdparable et E ayant la propridtd fie Radon Ni- kodym. Soit Jr un ensemble dans E~of~(E)([2, A,I~ ) qui vdrifie les conditions suivantes:

(i) L'ensemble {]/'1: / ' e Jr est uni/ormdment intdgrable dans L~(~2, A, #).

(ii) _Pour tout A ~ A, l'ensemble

A

est relativement ]aiblement compact dans E. Alors, pour route suite gdn&alis~e (F~)~el) dans Jr il existe une sous suite gdnd-

ralisde (1"~)~ x et zJ ~ s A,/~) teUe que, pour tout u ~ L ~ i ( ~ , A,/~), on air:

lira f (~*(u(co),/'/(co)) #(dco) : f (~*(u(co), zJ(co))#(dco) . Q

Par suite, pour tout X ~ s A, #), on a

I)]~YI0~STRATION. -- Observons d 'abord que, pour t ou t F e s A, #), l'~p- pl icat ion

lr: u ~f~*(u(co), F(co))#(d~) D

de ~o(.~2, A, #) duns R e s t sous-lin~aire, cont inue pour 1~ norme [1" Ii~, ~ddit ive et l 'on u t r iv ia lement

f~*(u(co), r(co))~(d~o) < Ilu]l~flrJ(co)~(d~) �9

Oomme l 'ensemble { I F [ : / ' e J C} est uni form~ment int~grable, on en dddui t que l 'ensemble {/r: /" ~ Jr est re la t ivement compact duns l 'espace des applicat ions con- t inues de L~'~(s A ,# ) duns R mun i de la convergence simple. Pa r suite, si

CHARLES C A S T A I N G - P A U L E T T E CLAUZUI~E: Co,mpacitd ]aible, etc. 3 5 5

( P ~ ) ~ est une suite g6n6ralis6e duns J~, il existe une sons suite g6n6ralis6e (P~)~e~ et un 616ment h L~(~(2, A, #) --> R tels que

lira/r,(u) = l(u) i

pour tout u fix6 duns L~,(~9, A , # ) .

I1 est clair que 1 est sous-lin6aire, additive et v6rifie

A

pour tout A e A et tout u e L~'~(~, A, #). De la condition (i), on d6duit que, pour tout u fix6 duns L~'~(tQ, A, if) et pour route suite croissante (A~)~A e A, on a

l im l (Z ,~ .u ) = l ( Z a u ) . n - - > r

On a, pour tout A e A e t tout x ' e E ' ,

l(g~x') <~*(x', ~ )

avec JC a relat ivement faiblement compact duns E d'apr6s la condition (ii). Donc 1 v6rifie les conditions d'application de la proposition 2.1.

Alors lu mult imesure M de A & valeurs convexes faiblement compaetes non rides de E, d6finie par lu formule 6*(x', M(A)) = lO~.~x') pour tout (A, x') e AXE ' , est telle qlle M(A) c v(A)B pour tout A e A off B est luboule uuit6 de E et v est une mesure positive sur A absolument continue par rapport s #. En ver tu de la

�9 p 1 ~(~ proposition 2.3, M udmet une denslte A avec A e s ,A , #) unique ff-p.p.); soit l(z~x' ) = 5*(x', M(A)) =f6*(x', A(e)))ff(d~o) pour tout (A, x') e A x E ' car E~ est

A t

s@arable par hypoth6se. Posons 9(w, x') ---- 5*(x', A(o))) pour (~o, x') e ~9 x E b. I1 est clair que 9 v6rifie les conditions d'application de la proposition 2.2. Par suite, on a

t(u) =f~*(u(~), 3(~))ff(d~) /2

pour tou t u e L~'~(~, A, #), ce qui uch6ve la d6monstrat ion du premier point de l!6none6,

/2 D

V6rifions le deuxi~me point de l'6nonc6. En ver tu de ce qui precede, pour tout u e L~;(Q, A, #), lu suite g6n6rulis6e (~*(u(.) , / '~(-)))~ converge faiblement vers ~*(u(.) ,A(.)) duns L~(~ ,A ,#) car pour tout A e A , tout ueL~(J~2, A,#) , on

3 5 6 C H A R L E S C A S T A I N G - P A U L E T T E C L A U Z U R E : Compaeit~ ]aible~ etc.

t r ivialement ZAU e .L~',(/2, A, #) et par suite

lim f (~*(u(co),F~(m))#(dco)=f (~*(u(co), A(co))#(dco). A A

D'ofi,

f �9 lim in~ Id*(u(o)),/'~(m)) - - O*(u(m), X(m))[if(de)) >~

~ f

car l 'applieution ] ~-~fl]l d# de L~(/2, A,p) duns R eat fuiblement semi-continue /2

nf~rieurement. Or, pour tout u eL~;(~Q, A,p) , avec Hul[~<l, on u

D 'o~

lim~ inf h(F~, X) ~> f ~2

A -

pour tout u E L~'~(f2, A, #) u v e c Ilu]l~<l. D'ofl

lim inf h(F~, X) >1 h(A, X) . i

5 . - M i n i m i s a t i o n .

Ce parugr~phe est consucr4 ~ l 'existence d 'un minimum pour des fonctionnelles int6grales convexes et ~ l 'existence des 616ments de meilleure upproximution duns Z~

1 et duns l 'espace s162 Soit 5~ une sons tr ibu # compl&e de A et C u n ensemble d'~pplicutions de l 'espucc (.(2, 5~) duns un espuce mesurable (S, 8); C eat d~compo- sable si pour tout B e ~5, tou t (u, v) ~ C X C, l 'application qui coincide uvec u sur B et avec v sur ~ \ B uppart ient ~ C.

Voici un lemme facile qui est crucial duns l 'existence d 'un minimum pour les fonctionnelles int4grules que nous uvons en rue.

LE~a-~E 5.1. - Avee les notations prgcddentes, soit C un ensemble ddeomposable d'ap- plieations (5~ 8)-mesurables de [2 duns S, ~: ~ x S --> [0, ~ c~] un intdgrande qui v& ri]ie les conditions suivantes:

(i) Vu e C, ~ ( ' , u( ' ) ) est ~-mesurable.

CKARLES CASTAING - PAULETTE CLAUZURE: Compacitd ]aible, etc. 357

(ii) I1 existe une suite (u~).>~ duns C telle que J(u..) soit ]ini pour tout n e N * , et telle que lira J(u.) -~ inf J (u) , J dtant l'application de C duns [0, ~ c~] d~]inie par

J(u) =f~(~, u(o~))~(do~), pour tout u e C .

Alors pour toute suite (B~)~ dans 51 telle queJ~m+~#(B.) -~ O, on a:

lim f ~(to, u,~(~))tt(da 0 = 0 . .Bn

E~ ~o~s~qu~.~e, Z~ suite (~(., u~(.)))~.~ est u~ilor~me~t i.t~gr~b~ ~ s ~ ( ~ , 51, #) (~).

DI~MONSTRATION. -- Raisonnons par l 'absurde. Supposons ciu'il existe une suite (B~)~> i darts 51 telle que lim #(B~) -= 0 et telle que

lim f ~ ( m , u~(ro))#(dco) :~ O. n - * -}- e~

B~

Alors il existe e > 0 et une suite str ictemellt eroissante d'entiers (ne)k~ N tels que fcy(o), u,Jco))#(deg)>e pour tout nk. Consid6rons la suite (x~)ks N construite ~ part ir

Bnk de la suite (u,~)~N et d 'un gl4ment quelconque v de dora J , en posant

x . J w ) =- u.~(eg) si ~o e Y2~.B~

x.JoJ) = v(co) si ~o e B.~.

Puisque C est ane part ie d~composable de l 'ensemble des applications (5t, 8) mesLtrables de /2 duns S, x,~ appar t ient ~ C quel que soit Ic, et par suite inf J(u) <

u e 0

<<.J(x,~), pour tout k e N. D'ofi

i ~ J ( u ) ~ < l i s i n f [ f ~(~, ~ .~(~)) , ~ ) + f ~ ( ~ , ~ ( ~ ) ) , ( ~ ) ]

Comme v e d o m J et l im#(B.~) = 0, on a

lim f of(m, v(m))#(do~) = 0 k--> + c~

.Bn~

(i) I1 est connu qu'une suite born4e (v~)n>~i dansL~(~9, ~, #) eat uniform~ment int4grable s ietseulementsipour route suite(B~)~>Adans 31, avec lim/~(B~) = 0, ona lira Slv~l#---- 0.

#--> § pa #---> -t- co ~ n

358 Ct~AELE8 CASTAING - PAULETTE CLAUZUEE: Compacit~ faible, etc.

et par suite

inf.~v J(u) <lim~inf f ~(o~, u.~(~o))#(do~) .

En raison de la dgfinition de la suite (u,~)~ on a, pour tou t k e N,

Duns ces conditions

ini~ec J(u) <~i~ inf ~9

- - 8

8 ,

c'est-~-4irc inf J ( u ) < i n f J ( u ) - s, ce qui est absurde et ach~ve la d4monstration. ueC ueC

Za proposit ion suivante est cons4qnence facile du lemrne 5.1 ct du th~or~me 3.1.

PROPOSITION 5.1. -- Soit E un espace de Banach tel que E~ ait la propridt~ de Radon Nikodym. Soit ~0: ~ x E -> [0, -{- oo] un int~grande A @ r E)-mesurable, convexe semi- vontinu in]drieurement sur E pour tout o9 e f2 et tel que ~o(o~, x) >1 ][x[[ - - ~(co) pour tout (co, x ) ~ ~ x E avee ~ #-intdgrable positive. Soit C une part@ non vide, ddcomposable duns L~(t), r a(Z~(A),Z~;(A)) fermde. On suppose qu'il existe une suite (u.) duns C qui vdri]ie les conditions suivantes:

(i) Vn, J(u~)=f~(~o , u~(o)))#(do~) est / ini et

lira J(u~) = inf J ( u ) .

(ii) L'ensemble H ~ = c j un d#: n >/1} est relativement /aiblement compact dans E, pour tout B ~ r "B

(iii) Toute mesure vectorielle m: :5--> E, ~ variation bornde qui vdri/ie re(B) c=-6 (H~), VB e ,~, admet une densit~ Bochner #-intdgrable et 93-mesurable.

Alors l'intdgrale /onctionnelle

J(u) =f~(~, u(~))#(d~) .O

atteint son min imum sur C.

])]~MOSISTI~ATION. -- R~sulte faci lement du lemme 5.1. et du th6or~me 3.1. En effet, le lemme 5.1. et les conditions (ii) et (iii) pe rme t t en t d'affirmer que la suite (u~) est re la t ivement faiblement compacte duns L~(D, :B, #), par application du th~o-

CHARLES 0ASTAING - PAULETTE 0LAUZURE: Compacitg ]aible, e~e. 359

r6me 3.1. En ver tu du th6or6ms d'Eberlein-Smulian, on peut supposer que lu suite (~)~>A converge fuiblement vers ~ duns ~ ( f 2 , ~ , #). Alors il est 6vident que (G)~>~ converge fuiblement vers t / duns Z~(~2, A, #). Cette propri6t6 est anssi valuble duns l e c u s mult ivoque (cf. remurque 2, suivunt lu proposition 5.4., plus loin). Comme C est fuiblement ferm6 duns /~ ( f2 , A,/~), on a ~ ~ C. Or J e s t semi-eontinu inf6rieure- ment su r /~ ( f2 , A, #) pour lu topologie faible de cet espuee. D'ofl le r6sultut ~nnonc6, ear on u tr iviulement,

inf J(u) <J(~/) <l i ra inf J(u~) = lira J(u~).

Rv,~ARQUES. - Comme consdquenees du lemme 5.1. et de Is proposition 5 .2 , on re t rouve les r6sultuts de meilleure ~pproxim~tion de SIgI~C~A~I-A~Do ([16]),

s t

1) Duns le eus 6tudi6 par Shintuni-Ando, E ~ R et duns eelui 6tudi6 par Vuludier E est lm sspacs de ]~anach r6flexif s6puruble. ]~tunt donn6 X e Z~(f2, A, #) et K un convexe ferm6 non vide de E, on note

Alors il sxiste Y E L~(f2, ~B, #) s t plus pr6cis6ment ]? ~ S~(a3) tel qus

f l ] X ( w ) - J~(w)]l#(dw) = Inf { f i [ X ( w ) - :Y(og)il/~(dw): :Y e S~(9~)I. Q

En sffet, il suffit d 'appliquer la proposition 5.2. en prenunt ~(~o, x) = ]iX(to) - - x]], (o~,x) e f J • s t C = S~(a3). Comme C est d6eomposable duns Z~(f2, 93,#), con- vexe ferm6 duns L~(f2, A,#) , toute suite minimisants (~t~) v6rifie les conditions d 'gpplication de ]a proposition 5.2., purce que (u~) est uniform6ment int6grable duns L~(f2, ~B, #) s t E sst r6flexif. D'ofi l 'existence de I v.

2) Duns ([14], th. 2.9. (i)), I=[EI~I~I~DOI~F consid6re l 'espucs d'Orliez Z~(K2, g , # ) off E est un espaee de Bunuch r6flexif, q9 une fonetion de Young sutisfuisant g ]u A2-eondition. E tan t donn6 X ~ Lsv(f2 , A, #) et un convexe ferm6 K non vide de E, on pose

= e G ( . Q ,

Herrndorf prouve qu'il existe ~ e L~(f2, ~ , #) tel que

f r - ~9

= inf {fqs(I]X(o~ ) - - Y(co)ll)#(do~): Y f2

e / .

360 C~A~LES CASTA~NG - PAULETT]~ CLAUZUI~E: Compacitd faible, etc.

On retrouve ce r6sultut en uppliquunt le th6or~me 3.1. en prenunt 90(o~, x ) = = ~b(HX((o ) --xl]), (~, x ) e ~9• e t ] e lemme 5.1, eompte tenu de lu remurque 1) du th~or~me 3.1. En effet, prenons C = S~(~B).

Alors C est une purtie d~eomposuble de Z~(12, ~, #). Si (u.) est une suite mini- misunte, i.e., (u~)c C et telle que l i m J ( u ~ ) = in f J (u ) uvec giu)=f~b(tlX(w)--

n u e C ~2

--u(co)ll)#(dw), le lemme 5.1. permet d'~fllrmer que lu suite (u~) est uniformdment int~gruble duns L~(~2, 3~, #), donc relutivement f~iblement comp~cte car E est r~- flexiI. Ceci 4t~nt, on peut supposer que (u.) converge fuiblement vers ~ duns Z~(~2, ~, #), donc (u~) converge uussi fuiblement vers 4 duns L~(/2, A, #). Tout revient ~ prouver que ~ e C, Bar, on uuru ulors

lim inf J(un) ~ J((e) >~ inf J(u) n u e O

par semi-continuit~ faible de J sur L~(~9, A, #). Tout d'ubord, ~'e S1K(~B)= (u L~(~9, ~, #): u(a)) e / g p.p.}, l~este s vdrifier que

En effet,

9

Q

est s.c.i, duns L1(~9, A,/~) pottr lu topologie fuible, doric on u

f r ( ] ~ ) # ( d w , <lira i n f f ~ ( ~ ) # ( d o ) ) ~ s u p f r ( ~ ) # ( d w ) .

Or, pour tout n e N, et pour tout ~o e ~9, on

par convexit~ de ~b. Or

s u p f *(llX(~) -- u~(~)ll)~(a~) < + ~ , ~2

par suite f +oo.

Le cas 2) fait apparaitre des variantes d'dnonc6 possibles de la proposition 5.2. (duns luquelle on u suppos~ C faiblement ferm6 duns Z~(~, A,/~)!).

0 K A R L E S CASTAING - P A U L E T T E CLAUZUtCE: Compacitd /aible, etc. 3 6 1

Voici muintenunt un r4sult~t d'existence de meilleure approximation duns

On sc donne une sous tr ibu # complete ~5 de A e t on suppose qne E~ et E sent s~parables avec E udmet t~nt la propri4t~ de l~adon-~ikodym. Le probl~me pos4

t9 est le suiv~nt. Soit C u n e purtie non vide d4composuble de ~xo~(~)( ~ .~ #), i . e , pour tout B G ~ , tout (F, A) G C • C lu multffonction Z~F-~ Z~o A ~ppart ient ~ C.

1 Eta n t donn4 ua ~14n:ent X G s A, #), t rouver s G C tel que

On uuru besoin de lu notion suiv~nte qui est l 'analogue de cello correspondent uu cus off C est f~iblemen~ ferm4 d~ns Z~(Y2, A, #) pour le cas veetoriel. Une purtie C de s ~ ~Q, ~ , #) est (( ]aiblement ]ermg ~, si toute suite g~n4ru]is4e (F~)a~ duns C qui converge (< fuiblement >> vers FG s St, #), c'est-~-dir%

converge (( faiblement )~ vcrs F e C d~ns : ~$o,~(E)(~9, A, #). Le r4sultut suivunt est lu version multivoque du lemme 5.1. et intervient d~ns

l 'existence des ~14ments de meilleure ~pproximution duns ~o~(~)(/2, 5~, #). Soient 9 r l 'ensemble des parties ferm4es non rides d 'un espuee polonais P, C

an ensemble d4composuble d'upplicutions de l'espuce (~Q, ~) duns l'espuce mesh- ruble (9 ~, ~) off ~ est l~ tr ibu sur ~- engendr4e par los ensembles de la forme {F G ~-: F c~ 0 ve 0}, 0 &unt onvert d~ns P. I1 est clair qu'une multifonction T de ~2 duns P est ~-mesur~ble, uu sons: pore" tout ouvert 0 d~ns P, F-O = {~ G [2: F(~o) ~ 0

0} G ~ , si et seulement si l'applieation I" de t9 duns ~- est (~, ~)-mesurable. En ver tu des considerations pr~c~dentes, on pout ~noncer le lemme suivunt qui

est une version multivoque du lemme 5.1.

LE~V~rE 5.3. -- Soient r une sous tribu # complete de A, h la distance de Hausdor]]

des fermds non rides de E, C une pattie non vide ddcomposable dans : ~o~,(~)(~9, ~, #) 1 et X e ~Xo~(~)(tP, A, #).

Si ( Y , ) ~ I est une suite darts C telle qq~e

Q

alors la suite (l~I)n>~: est uniformdment intdgrable dans L~(~, 3~, #).

D]~0NSTRATION. -- Posons ~(eo, F) = h(X(~o), F) pour tout F ferm4 duns E. I1 1 est clair que pour tout :YG ~o~(E)(/2, ~ , # ) , ~( . , Y(.)) est A-mesuruble et finie. Le

362 CHARLES CASTA~ - PAU~ETTE CLAUZURE: Compacitd Jaible, etc.

lemme 5.1. permet d'uffirmer que pour route suite (B.)~>~ duns 55 avec lira #(B~) = 0, o n u

l im fh(X(o~), Y.(o)))#(do~) = 0

Bn

or, on u, pour tout co e ~ et tout n~>l,

Ir.( )l = {0))<h({o}, +

D'ofl

l im f re-+ co

B .

[ :g.[(~)#(d~) <lim _ oo f 1/I (~)~(d~) + ~-~olim z [ h(X(o)), Y.(o)(#(d~) Bn .Bn

ce qui termine lu d6monstrution. Lu proposition suivunte permet d 'obtenir l 'existence des 616ments de meilleure

approximation duns s 55, #). C'est lu version multivoque de la proposi- t ion 5.2.

PROPOSITION 5.4. -- Soient 55 une sous tribu # complete de A et X ~ g~os~(m(Y2, A,/~), C une part@ d~composable duns ~ s162 ~ , #), Jaiblement ]ermde dans s A, tt). Soit (Y~)~>~I une suite duns C qui @rijie les conditions suivantes:

(ii) Pour tout B ~ 55, [ J { f Y . d#} est relativement Jaiblement compact dans E. n ~ l "B

Alors il existe ~ ~ C tel que

12

D]~IONSTRATIO2q. -- Comme C est d6composable, lu condition (i) implique que lu suite (]~g~[)~>~l est aniform6ment int6grable duns L]~(D, 55,#).

Puisque (~Y~)~>A v6rifie la condition (ii), il r6sulte du th6or6me 4.1. qu'il existe une suite g6n6rulis6e ( Ya)a~ duns C qui converge fuiblement vers lY e C duns l 'espace g}o~(~)(/2, A,#) car on u suppos6 qae C est fuiblement fvrmee duns s162 A,#). Lu d6monstrution du deuxi6me point de l'6nonc6 du th6or6me 4.1. permet de con- clare que ~ est un 616ment de ~( meillenre approximation ,) car on u

D D

CHARLES CASTAI~C~ - PAULET~E CLAUZV~E: Compacitg ]aible, etc. 363

R v , ~ n q v ~ s . - 1) Le lectettr ~ pu remurquer que l 'existence des ~l~ments de meilleure approximat ion duns 1 s ~ , / t ) repose sup le th4or~me de compacit~ fuible 4.1., la d4eomposubi]it~ de C et la ]ermeture ]aibIe de C art sens in t rodui t pr~- c~demment. En eontras te avec le eas vectoriel, il est parfois diffieile de v4rifier qu 'une telle pa t t ie C de s ~ / ~ ) soit f~iblement ferm4e d~ns ~ s A, #).

2) I1 est bon de remurquer 1~ propri4t4 suivante qui est l 'analogue du c~s veetoriel. Soit (F~)~a une suite generahsee duns . . . . s163 ~ , # ) et Foe s ~5,#). Alors on a l '4quiv~lence stfiv~nte:

(x) VucL~;(~,~,~), l im I ~*(u(~),l"do~))#(do~) = . t~ t9

(2) Vv~L~'(Y2, A , # ) , limf~*(v(co),Fi(a)))#(d~o)----- �9

t~ ~9

~*(u(o), Fo(O~))~(a~)

~*(v(~o), Fo(~))~(d~)

de sorte que ~ ~o~(s)($2, ~ , #) est f~iblement ferm~ d~ns ~ s A, #). D'o/t l 'existenee des ~l~ments de meilleure ~pproxim~tion si C 1 --~ Cxo~(s)(f2, 53,#) et E est r~flexif. On re t rouve ainsi le r~sultat de L c v ([15]).

3) I1 est possible d%noncer d 'autres r~sult~ts relatifs ~ la minimisgtion en uti l isant le th~orgme 3.1. e t les r~sultats de compueit~ duns ([5]) et duns ([6]}. Les r~sult~ts de compaeit~ pr~sent~s iei in terviennent duns les probl~mes d'4volution ([7]) et duns les probl~mes de contr61e ( c i A~s~E~ [1]).

Pour terminer , nous remercions M. V A L A D ~ qui ~ lu u t ten t ivement ce pupier.

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