Comparaison de deux modèles pour la prévision journalière en temps réel des apports naturels

Comparaison de deux modèles pour la prévision

journalière en temps réel des apports naturels

J. Ribeiro, N. Lauzon, J. Rousselle, H.T. Trung et J.D. Salas

Résumé: Cette étude présente la comparaison des performances de deux modèles employés pour la prévision en temps réeldes apports naturels journaliers des bassins des réservoirs de Chute-du-Diable et du Lac-Saint-Jean, et des débits journaliersmesurés sur le bassin de la rivière Mistassibi. Les trois bassins sont situés dans le système hydrique duSaguenay–Lac-Saint-Jean. Le premier modèle est de type conceptuel déterministe global et est couramment employé par lasociété Alcan pour la prévision en temps réel des apports journaliers. Le second modèle, qui est l’élément principal de cetteétude, est basé sur la structure des modèles communément appelés « black-box », une formulation généralisée des modèlesautorégressifs à moyenne mobile avec variable exogène de Box et Jenkins (ARMAX). Le filtre de Kalman est couplé à cemodèle afin d’effectuer un ajustement au jour le jour des paramètres de ce dernier. Des analyses d’autocorrélation et decorrélation croisée sur les données ont permis d’établir la structure préliminaire des modèles black-box, soit un par bassin.Leur structure définitive a été choisie suite à une analyse de sensibilité sur leurs paramètres. Les modèles retenus sont tous desmodèles ARMAX, et le comportement statistique des résidus a démontré l’adéquation de ceux-ci. La comparaison de cesmodèles ARMAX avec filtre de Kalman et du modèle déterministe a mené à la conclusion suivante : les modèles ARMAXavec filtre de Kalman sont supérieurs au modèle déterministe pour la prévision journalière en temps réel jusqu’à un horizon de2 jours. Pour un horizon de 3 jours, les modèles sont relativement équivalents. Pour un horizon de 4 jours ou plus, le modèledéterministe est supérieur aux modèles ARMAX avec filtre de Kalman.

Mots clés : prévisions, modèles black-box, filtre de Kalman, modèle déterministe, apports naturels.

Abstract : This study presents a comparison of the performances of two models used for real-time forecasting of daily inflowsto the Chute-du-Diable and the Lac-Saint-Jean reservoirs, and the daily flows measured on the Mistassibi River basin. Thethree drainage basins are located in the Saguenay–Lac-Saint-Jean water system. The first model, a conceptual one, is a globaldeterministic model that is currently being used by Alcan (Aluminum Company of Canada) to predict daily flows in real time.The second model, which forms the primary focus of this study, is based on the structure of models commonly known as“black-box” models, a generalized formulation of the autoregressive moving average models with exogeneous variable of Boxand Jenkins (ARMAX). The Kalman filter is coupled with this model to enable day-to-day adjustment of estimatedparameters. Autocorrelation and cross-correlation analyses on the data have made it possible to establish the preliminarystructure of the black-box model, that is, one per basin. The final structure was chosen following a sensitivity analysis on theparameters. The models retained are all ARMAX models, the statistical behavior of the residuals having demonstrated theiradequacy. Comparison of these ARMAX models with Kalman filter and the deterministic model have led to the followingconclusion: the ARMAX models with the Kalman filter are superior to the deterministic model for daily prediction in realtime within a horizon of 2 days. For a 3-day horizon, the models are, for practical purposes, equivalent. For a horizon of4 days or more, the deterministic model is superior to the ARMAX models with Kalman filter.

Key words: forecasting, black-box models, Kalman filter, deterministic model, natural inflows.

Introduction

Dans le cadre de la gestion de réservoirs pour des fins de pro-duction hydroélectrique, il est important de pouvoir effectuerla prévision en temps réel des apports naturels journaliers.

Dans cet article, la comparaison de deux modèles de prévisiondes apports naturels journaliers en temps réel est proposée.

Un des modèles est de type conceptuel déterministe global.Il est déjà couramment employé par la société Alcan pour laprévision des apports naturels en temps réel à un pas de temps

Reçu le 23 avril 1997. Révision acceptée le 9 septembre 1997.

J. Ribeiro. Institut de recherche en électricité du Québec, Service LAR, 1800, boulevard Lionel-Boulet, Varennes, QC J3X 1S1, Canada.N. Lauzon et J. Rousselle1. École polytechnique de Montréal, Département des génies civil, géologique et des mines, C. P. 6079,succursale Centre-ville, Montréal, QC H3C 3A7, Canada.H.T. Trung. Énergie électrique Québec, Société d’électrolyse et de chimie Alcan, 1954, rue Davis, C. P. 1800, Jonquière, QC G7S 4R5,Canada.J.D. Salas.Hydrologic Science and Engineering Program, Colorado State University, Fort Collins, CO 80523, U.S.A.

Les commentaires sur le contenu de cet article doivent être envoyés au directeur scientifique de la revue avant le 31 août 1998 (voirl’adresse au verso du plat supérieur).

1. Auteur correspondant (tél. : (514) 340-4711, poste 4802; téléc. : (514) 340-2989; e-mail : [email protected]).

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journalier pour l’exploitation du complexe hydroélectriquequ’il possède dans le système hydrique du Saguenay–Lac-Saint-Jean. Toutefois, la complexité de ce modèle et la volontéd’avoir des prévisions plus exactes des débits ont suscité l’in-térêt d’explorer le potentiel d’autres approches de modélisa-tion pour la prévision hydrologique. L’alternative proposéedans cette étude est d’employer l’approche stochastique pourla modélisation. Pour ce faire, un second modèle est utilisé,soit le modèle « black-box » qui est une formulation général-isée des modèles de Box et Jenkins (1970) avec donnéesexogènes (les modèles ARMAX). Dans le cadre de cette étude,ce modèle black-box est couplé avec le filtre de Kalman. Cedernier va permettre d’ajuster les valeurs des paramètres dumodèle black-box à chaque jour en fonction de l’apport natureljournalier le plus récemment observé sur le terrain, et ainsi demieux tenir compte de la dynamique du phénomène d’écoule-ment d’eau sur un bassin. Les performances de ces deuxmodèles en mode de prévision vont être évaluées à partir desdonnées des bassins des réservoirs de Chute-du-Diable (CD)et du Lac-Saint-Jean (LSJ), et de la rivière Mistassibi (MIS),du système hydrique du Saguenay–Lac-Saint-Jean au Québec(Canada).

L’application sur des données réelles de la combinaisond’un modèle black-box et du filtre de Kalman se situe entredeux catégories de travaux déjà documentés. D’une part, cettecombinaison constitue une généralisation du couplage demodèles autorégressifs à moyenne mobile (ARMA) avec lefiltre de Kalman tel que présenté dans Bennis et Bruneau(1993) et dans Bergman et Delleur (1985). Ces auteurs ontutilisé le filtre pour le même objectif que celui de ce présenttravail, soit l’ajustement périodique des paramètres du modèle.La généralisation proposée ici est l’utilisation de modèles plusgénéraux que les modèles ARMA. D’autre part, la combi-naison d’un modèle black-box avec le filtre constitue aussi unealternative au couplage du filtre avec un modèle déterministetels que ceux appliqués notamment dans Assaf et Quick(1991), Georgakakos (1986) ou Kitanidis et Bras (1980).L’avantage principal des modèles black-box par rapport auxmodèles déterministes est la simplicité de leurs structures, soitune fonction de transfert linéaire qui permet aisément le cou-plage du filtre de Kalman.

La première partie de l’article expose donc les descriptionssommaires des modèles black-box, du filtre de Kalman et dumodèle déterministe. La seconde partie présente les donnéespour les trois bassins considérés et les critères d’évaluationutilisés pour la comparaison des résultats des deux modèles.Cette partie donne aussi les conditions initiales d’emploi dumodèle black-box avec filtre de Kalman, de même que lesrésultats obtenus pour les deux modèles. Une conclusion surla valeur des performances des deux modèles vient finalementterminer l’article.

Méthodologie

Description des modèles black-boxLes modèles black-box sont en fait des fonctions de transfertavec bruit pour des systèmes linéaires et couvrent le casgénéral des modèles ARMAX introduits par Box et Jenkins(1970), lesquels connaissent une utilisation assez répandue enhydrologie (Haltiner et Salas 1988). Ces modèles linéaires ont

l’avantage d’être simples et aussi de très bien s’adapter à laprise en compte de la dynamique des systèmes par l’utilisationde techniques de filtrage (p. ex., filtre de Kalman). La présen-tation des modèles pour systèmes linéaires invariants que nousfaisons ici est basée essentiellement sur la notation de Ljung(1987), soit :

[1] yt = G(q)ut + H(q)et

où yt est la variable de sortie au temps t, ut est la variableexogène au temps t et G(q) et H(q) sont des séries depolynômes :

[2] G(q) = ∑k=1

∞gkq

−k

[3] H(q) = 1 + ∑k=1

∞

hkq−k

dans lesquels q est un opérateur mathématique tel que q-kut =ut-k.

L’ensemble des et est une séquence de variables aléatoiresindépendantes et identiquement distribuées de moyenne nulleet de variance λ, si yt est un scalaire, ou de matrice de covari-ance Λ si yt est un vecteur. Dans ce dernier cas, il faut alorsutiliser un vecteur de polynômes H(q). Un vecteur depolynômes G(q) est aussi nécessaire, si l’on considère plu-sieurs variables exogènes (u1,t, u2,t, …). On suppose générale-ment que la fonction de densité de probabilité de et est la loinormale.

Le modèle linéaire décrit par l’équation 1 est entièrementdéterminé par les équations 2 et 3 ainsi que par la fonction dedensité de probabilité des bruits et. Afin d’éviter la représen-tation des polynômes G(q) et H(q) par un nombre infini determes, on a recours à des ratios de polynômes, autrement dità des fonctions rationnelles. En effectuant les changementssuivants : G(q) = B(q)/[A(q)F(q)] et H(q) = C(q)/[A(q)D(q)],on arrive à la représentation générale des modèles linéairesavec fonction de transfert suivante :

[4] A(q)yt =B(q)F(q)

ut−nk+

C(q)D(q)

et

où nk représente le délai entre les entrées (ut) et les sorties (yt).Les polynômes A(q), B(q), C(q), D(q) et F(q) qui ont un nom-bre fini de coefficients (na, nb, nc, nd et nf, respectivement) sontdéfinis par

[5] A(q) = 1 + a1q−1 + K + an

aq−n

a

[6] B(q) = b1 + b2q−1 + K + bn

bq−n

b+1

[7] C(q) = 1 + c1q−1 + K + cn

cq−n

c

[8] D(q) = 1 + d1q−1 + K + dn

dq−n

d

[9] F(q) = 1 + f1q−1 + K + fn

fq−n

f

Selon le nombre de termes nuls parmi na, nb, nc, nd et nf, on a25 ou 32 types de modèles possibles. Parmi ces possibilités, ona en particulier :(i) les modèles AR (autorégressifs) d’ordre na si le polynôme

A(q) uniquement est utilisé;

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(ii) les modèles ARMA (autorégressifs à moyenne mobile)d’ordres na et nc si les polynômes A(q) et C(q) uniquementsont utilisés;

(iii) les modèles ARX (autorégressifs avec variable exogène)d’ordres na et nb si les polynômes A(q) et B(q) uniquementsont utilisés;

(iv) les modèles ARMAX (autorégressifs à moyenne mobileavec variable exogène) d’ordres na, nb et nc si lespolynômes A(q), B(q) et C(q) uniquement sont utilisés;

(v) les modèles ARARX (autorégressifs à séquence de bruitsautorégressive et avec variable exogène) d’ordre na, nb etnd si les polynômes A(q), B(q) et D(q) uniquement sontutilisés;

(vi) les modèles ARARMAX (autorégressifs à séquence debruits autorégressive, à moyenne mobile et avec variableexogène) d’ordre na, nb, nc et nd si les polynômes A(q),B(q), C(q) et D(q) uniquement sont utilisés.Notons que dans le cas d’un système à entrées et sorties

multiples, c’est-à-dire si ut est un vecteur de dimension m, etyt un vecteur de dimension p, alors G(q) dans l’équation 1 estune matrice de dimensions p sur m dont les termes sont desfonctions rationnelles structurées selon l’opérateur q.

La simulation par un modèle black-box consiste à ap-pliquer à l’équation 4 une séquence connue de signaux d’en-trées (ut

∗), ainsi qu’une séquence de bruits aléatoires (et∗)

générés suivant une densité de probabilité normale N(0,λ). Onobtient alors une sortie simulée qui tient compte d’un com-portement probable du système sollicité par les signaux (ut

∗).La prévision est cependant l’usage principal qu’on fera ici deces modèles, soit prédire au temps t la réponse yt+k que donnerale système au temps t + k. La meilleure prédiction, au sens desmoindres carrés, correspond à l’espérance conditionnelle deyt+k soit (Ljung 1987) :

[10] yt+k|t = H−

k(q)H−1(q)G(q)ut+k + H~

k(q)H−1(q)yt

où

[11] H~

k(q) = ∑n=k

∞

hnq−n+k

[12] H−

k(q) = ∑n=0

k−1

hnq−n

où yt+k est la valeur estimée de yt+k. On calcule l’espéranceconditionnelle au temps t + k en prenant les informations dis-ponibles jusqu’au temps t + k pour les signaux d’entrée u, et lesobservations y disponibles jusqu’au temps t.

Les fonctions de transfert présentées dans cette section sontadéquates pour des systèmes linéaires invariants, c’est-à-direque les caractéristiques demeurent constantes dans le temps.Dans le cas de systèmes dynamiques, il est nécessaire, poureffectuer des prévisions ou du contrôle en temps réel, d’avoirrecours à une procédure d’estimation récursive des paramètresdu système. Une telle procédure, le filtre de Kalman, estutilisée dans cette étude et est présentée à la section suivante.

Description du filtre de KalmanLa formulation mathématique du filtre de Kalman peut se trou-ver dans de nombreux ouvrages, dont notamment Lloyd (1984)

et Wood et O’Connell (1985). Dans ce qui suit, nous rappelonsseulement les aspects nécessaires à cette étude. Selon la struc-ture adoptée ici, l’ensemble des paramètres du modèle black-box constitue le vecteur d’état du système. La mesureeffectuée sur le système est le débit. Au fur et à mesure que lesdébits sont disponibles, il s’agit de mettre à jour l’estimationdu vecteur d’état et, par la suite, d’utiliser ce dernier pour faireune prévision.

De façon formelle, on fait l’hypothèse que le vecteur d’étatθt évolue selon une marche aléatoire, ce qui donne l’équationd’état suivante :

[13] θt = θt−1 + wt

où wt est supposé être un bruit blanc gaussien de matrice decovariance R1 = E[wtwt

T] appelée aussi dérive (ou « drift ») duprocessus et qui gouverne les changements d’états du système.

L’équation de mesure donne la relation entre les intrants(débits antérieurs et données météorologiques) et les sorties(débit futur). C’est une fonction linéaire de l’état de la formerégressive suivante :

[14] yt = Ψtθt + et

où yt est le débit au temps t et Ψt est le vecteur ligne de régres-sion qui contient les valeurs pertinentes pour la prévision. Leterme et représente l’erreur du modèle et a pour varianceR2 = E[et

2].Au départ (à t = 0), il faut connaître l’estimation de l’état

initial du système (θ0), la matrice de covariance de l’erreur quiest faite sur l’état initial du système (P0), la dérive du processus(R1) et la variance du bruit de mesure (R2). Pour t = 1, 2, …,l’algorithme du filtre de Kalman pour l’estimation récursivedu vecteur d’état (θt) s’effectue selon les étapes suivantes :(i) estimation du débit yt :

[15] yt = Ψtθt|t−1

(ii) mesure du débit yt;(iii) calcul de l’erreur d’innovation : et = yt − yt;(iv) calcul de la matrice de gain de Kalman (Kt) par

[16] Kt = Pt|t−1ΨtT(ΨtPt|t−1Ψt

T + R2)−1

(v) calcul de l’estimateur filtré :

[17] θt|t = θt|t−1 + Ktet

(vi) calcul de la covariance de l’erreur d’estimation :

[18] Pt|t = Pt|t−1 − KtΨtPt|t−1

(vii) estimation de l’état ultérieur : θt+1|t = θt|t;(viii)propagation de la covariance de l’erreur d’estimation :

Pt+1|t = Pt|t + R1.Ces étapes doivent être répétées chaque fois que le temps

est incrémenté.L’application de la technique du filtre de Kalman en hy-

drologie pose différents problèmes liés à la complexité de lamodélisation précipitation–ruissellement. En effet, les loisphysiques régissant cette modélisation ne sont pas entièrementconnues, d’où la méconnaissance de R1 et R2. Cela pose aussides problèmes d’estimation pour θ0 et P0, dont une solution estsuggérée dans la partie application de cette étude.

Description du modèle déterministe (PRÉVIS)Dénommé PRÉVIS, ce modèle utilisé chez Alcan est une ver-

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sion modifiée de celui présenté par Kite (1978). Installé chezAlcan depuis 1979, ce modèle fait l’objet de mises à jour surune base régulière (Bouchard 1986; Lauzon et Gignac 1993;Thompstone et al. 1981). Il s’agit d’un modèle de type concep-tuel global dont la structure s’apparente à un système de réser-voirs reliés en série et qui produisent différents typesd’écoulements d’eau : de surface, de surface en régime saturé,dû à la fonte de neige, hypodermique et souterrain (fig. 1). Ilest adapté au bassin versant par le biais de paramètres dont lesvaleurs sont obtenues lors de sa calibration. Ces paramètres seretrouvent dans les équations qui définissent la structure dumodèle. Une description détaillée du modèle est fournie dansLauzon (1995).

Pour améliorer les prévisions de PRÉVIS, une procédurede correction des prévisions conçue par Alcan est employée(Bouchard et Salesse 1986). Elle consiste à modifier les prévi-sions d’apports naturels de la journée en cours et les suivantesen leur ajoutant la valeur de l’écart entre l’apport naturel ob-servé et celui calculé pour la journée précédente. Ainsi, au jourt, pour avoir la prévision du jour t + i, le calcul s’effectue dela façon suivante :

[19] ycorr,t+i = ycal,t+i + (yobs,t − ycal,t)

où ycorr,t est l’apport naturel corrigé obtenu par la procédure decorrection au temps t, yobs,t est l’apport naturel observé au jourt et ycal,t est l’apport naturel calculé par le modèle hydrologiqueau jour t.

Les travaux de Bouchard et Salesse (1986) démontrent quecette procédure améliore les performances de PRÉVIS, maisà très court terme seulement, de 1 à 3 jours à l’avance.

Application et analyse

Données de l’étudeLes bassins des réservoirs de Chute-du-Diable (CD) et de Lac-Saint-Jean (LSJ), et de la rivière Mistassibi (MIS) sont présen-tés à la figure 2. Les données pour ceux-ci sont :(i) les apports naturels journaliers estimés par bilan hydrique

à CD et LSJ et les débits d’écoulement mesurés à MIS;

(ii) les températures maximales, moyennes et minimales jour-nalières sur les trois bassins;

(iii) les hauteurs de précipitation journalière liquide (pluie),solide (neige) et totale (pluie + équivalent en eau de laneige précipitée) estimées comme une moyenne sur toutel’étendue de chaque bassin;

(iv) les valeurs moyennes, pour chaque bassin, de l’équivalentd’eau du manteau nival à la fin du mois de mars provenantdes relevés de neige pris au Saguenay–Lac-Saint-Jean(pour le calcul des lames d’eau dues à la fonte de neige).

Les données pour la période de 1964 à 1992 ont été utiliséespour calibrer les modèles et celles de la période de 1993 à 1995vont servir pour valider les modèles en mode de prévision.L’utilisation de longues séquences de données pour la calibra-tion se justifie par la nécessité d’avoir une estimation robustedes paramètres des modèles, de même que de la matrice decovariance de ces paramètres qui est employée par le filtre deKalman. D’autres détails sur les conditions de calibration desmodèles sont fournis plus loin dans cet article.

Critères d’évaluationPour chaque modèle, l’analyse de l’autocorrélation des résidusde modélisation (écarts entre les débits observés et prévus) demême que l’analyse de corrélation croisée entre ces résidus etles débits observés sont d’abord réalisées. Ces analyses per-mettent de vérifier l’adéquation de chacun des modèles (black-box avec filtre de Kalman et PRÉVIS) ainsi que leurspossibilités d’amélioration respectives. Dans le cas idéal, lesrésidus de la modélisation sont aléatoires et non corrélés avecles apports naturels prévus par le modèle. Une analyse de sen-sibilité sur les paramètres du modèle black-box est aussi effec-tuée afin de vérifier que chacun d’eux ait une influencesignificative dans la modélisation. La variation dans le tempsdes paramètres du modèle black-box par le filtre de Kalman estaussi étudiée. Il s’agit, dans ce cas-ci, de vérifier qu’il n’y a pasde variations aberrantes. Cette étape peut aussi permettred’éliminer des paramètres qui ont des effets antagonistes etainsi de favoriser la parcimonie du modèle.

Ensuite, les résultats en mode de prévision des modèles sont

Fig. 1. Structure du modèle PRÉVIS.

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comparés à l’aide des critères de performance suivants(Bouchard 1986), soit pour l’horizon de prévision j :(i) l’erreur type d’estimation (Sj) :

[20] Sj =

1N ∑(yobs,i

i=1

N

− ycal,i−j)2

1/2

où yobs, i est le débit observé au jour i, ycal, i−j est le débit calculéau jour i - j pour le jour i et constituant donc le débit prévu jjour(s) à l’avance, et N est la taille de l’échantillon (l’erreurtype d’estimation est sensible aux grands écarts de prévision,et une prévision est d’autant meilleure que Sj est faible);(ii) le coefficient de corrélation entre les valeurs observées et

prévues (CCRj) :

[21]CCRj =

∑(yobs,i − y−obs)(ycal,i−j − y−cal,j)i=1

N

∑(i=1

N

yobs,i − y−obs)2∑i=1

N

(ycal,i−j − y−cal,j)2

1/2

où y−obs et y−cal,j sont les moyennes des débits observés et prédits,respectivement, pour l’horizon de prévision j (la prévision estd’autant meilleure que CCRj est proche de 1);(iii) le critère de Nash (NASHj) :

Fig. 2. Bassins du système hydrique du Saguenay–Lac-Saint-Jean.

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[22] NASHj = 1 −

∑(yobs,ii=1

N

− ycal,i−j)2

∑(i=1

N

yobs,i− y−obs)2

c’est un nombre réel inférieur ou égal à 1 et il compare laperformance des prévisions à la prévision donnée par lamoyenne (une prévision parfaite correspond à NASHj = 1 etune valeur de NASHj plus petite que 0 indique que la moyennedes observations constitue une meilleure prévision que cellescalculées par le modèle);(iv) le critère de pointe (CPj) :

[23] CPj =

∑(yobs,i

i=1

Np

− ycal,i−j)2yobs,i2

1/4

∑i=1

Np

yobs,i2

1/2

où Np est généralement considéré comme la période pendantlaquelle les débits observés sont supérieurs au tiers du débit depointe moyen observé (ce critère mesure, plus précisément quele coefficient de Nash, la qualité des simulations en période decrue, et la prévision est d’autant meilleure que CPj est prochede 0).

Calibration et conditions initiales du filtre de KalmanAvant de détailler l’analyse des performances des modèlesblack-box avec filtre de Kalman et PRÉVIS, les étapes decalibration des modèles black-box (un pour chaque bassin étu-dié) de même que la détermination des conditions initialesd’application du filtre de Kalman sont abordées. Dans le cadrede cette application, pour chaque bassin, il est possible de re-courir à sept variables exogènes journalières : la températuremaximale (u1,t), la température minimale (u2,t), la températuremoyenne (u3,t), la précipitation liquide (pluie : u4,t); la précipi-tation solide (neige : u5,t), la précipitation totale (pluie +équivalent d’eau de la neige précipitée : u6,t) et la lame d’eauissue de la fonte de neige durant le printemps (u7,t). Il est ànoter que les lames d’eau journalières issues de la fonte deneige sont calculées à partir d’un modèle de fonte de neigecombinant la méthode des degrés-jours, telle que décrite no-

Fig. 3. Propriétés des erreurs de prévision à 1 jour d’avance à Chute-du-Diable pour l’année 1993 par le modèle ARMAXFK : (a) erreurs deprévision, (b) autocorrélation des erreurs et (c) corrélation croisée entre les apports naturels observés et les erreurs de prévision.

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tamment par Gray et Male (1981) ou Rango et Martinec(1995), et la contribution énergétique à la fonte par la pluie,selon la relation donnée par Linsley et al. (1982). L’équationdu modèle est donc :

[24] u7,t = max(St-1 - St, 0)

avec

[25]

St = St−1 −a +

u4,t

80(u3,t − Tb) + 0,10u5,t

St = St−1 + 0,10u5,t

si u3,t > Tb

si u3,t ≤ Tb

où St est l’équivalent d’eau du manteau nival au jour t (cm), a,le facteur de degrés-jours (cm⋅°C-1⋅jour-1), Tb, la températurede base ou de référence (prise égale à 5°C pour cette applica-tion). La constante 0,10 devant u5,t est la valeur supposée de ladensité de la neige afin de passer d’une hauteur de précipitationsolide à son équivalent en eau. À chaque année, la valeur in-itiale de l’équivalent d’eau (S0) pour chaque bassin est celleobservée à la fin du mois de mars sur le terrain.

Ainsi, avec sept variables exogènes, le modèle black-box

de l’équation 4 devient

[26] A(q)yt = ∑i=1

7Bi(q)Fi(q)

ui,t−nk,i

+C(q)D(q)

et

avec un nombre de coefficients nb,i et nf,i pour les polynômesBi(q) et Fi(q), respectivement, et un délai nk,i pour chaque vari-able exogène.

La calibration de ce modèle qui consiste à déterminer sesparamètres significatifs et leurs valeurs a été faite en troisétapes suite à la séparation des données en trois saisons : prin-temps (du 01/04 au 30/06), été–automne (du 01/07 au 30/11)et hiver (du 01/12 au 31/03). Les séquences de données em-ployées pour la calibration et divisées selon les saisonss’étalent de 1964 à 1992.

Dans la première étape, un modèle de type ARMA avec desapports différenciés a été déterminé pour chaque bassin et pourchaque saison selon la procédure de Box et Jenkins (1970),afin de connaître les paramètres significatifs à considérer dansles polynômes A(q), C(q) et D(q) du modèle black-box. Dansla deuxième étape, les paramètres significatifs des polynômesBi(q) et Fi(q) ont été identifiés selon une analyse de corrélation

Fig. 4. Propriétés des erreurs de prévision à 1 jour d’avance à Chute-du-Diable pour l’année 1993 par le modèle PRÉVIS : (a) erreurs deprévision, (b) autocorrélation des erreurs et (c) corrélation croisée entre les apports naturels observés et les erreurs de prévision.

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croisée telle que décrite dans Haltiner et Salas (1988), entreles apports naturels et chacune des variables exogènes men-tionnées plus haut, pour chaque bassin et pour chaque saison.Dans cette même étape, l’estimation des valeurs desparamètres significatifs de tous les polynômes du modèleblack-box pour chaque bassin et pour chaque saison a été ef-fectuée.

Pour finaliser ces deux étapes, une analyse de sensibilité surles paramètres des modèles est effectuée. Il s’agit de vérifierque chaque paramètre a une influence significative dans lamodélisation. La méthode consiste à faire varier le nombre deparamètres de chaque polynôme et d’évaluer le gain qu’ap-portent ces modifications dans la qualité de la modélisation.Les critères d’évaluation de ce gain qui ont été utilisés sont lavaleur de la racine carrée de l’erreur quadratique moyenne etle critère d’Akaike (1974). La conclusion de cette analyse desensibilité est que le polynôme D(q) n’apporte aucun gain sig-nificatif à la modélisation pour tous les cas et peut donc êtrenégligé. Le polynôme F(q) peut aussi être négligé pour les troisbassins aux saisons d’été–automne et d’hiver. Il est donc ap-paru que la structure des modèles pour les saisons d’été–automneet d’hiver sont identiques et de type ARMAX. Pour calculer ledébit au jour t, les modèles demandent le débit au jour t - 1

(yt-1) à CD et LSJ, les débits aux jours t - 1 et t - 2 (yt-1 et yt-2)à MIS et les précipitations liquides des jours t à t - 4 (u4,t àu4,t-4) à CD, LSJ et MIS. Pour le printemps, à la structure desmodèles précédents, il faut ajouter les lames ruissellées issuesde la fonte de neige des jours t à t - 4 (u7,t à u7,t-4), les tempéra-tures maximale, minimale et moyenne du jour t (u1,t, u2,t et u3,t)et un paramètre autorégressif d’ordre 1 pour le polynôme F(q)pour les variables u4 et u7, respectivement.

Les structures de modèles relativement semblables desaison en saison obtenues lors de la deuxième étape ont finale-ment nécessité la troisième étape. Elle a consisté à déterminerun modèle global fonctionnant à l’année pour chaque bassin,plus souple d’utilisation et plus compatible avec l’emploi dufiltre de Kalman comme procédure d’ajustement au jour le jourdes paramètres (Ribeiro et al. 1996). Ce modèle global, com-biné avec le filtre de Kalman, a obtenu de meilleures perform-ances durant la phase prévision sur toutes les saisons parrapport aux modèles saisonniers. Cette conclusion s’expliquepar le fait que le modèle global et le filtre sont utilisés encontinu d’une saison à l’autre. Avec les modèles saisonniers,le filtre de Kalman doit subir, au début de la saison, une périoded’adaptation qui cause une réduction de la qualité des prévi-sions. La structure des modèles globaux pour CD et LSJ est

Fig. 5. Variation des paramètres du modèle ARMAXFK par le filtre de Kalman à Chute-du-Diable pour l’année 1993.

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Fig. 6. Comparaison des modèles ARMAXFK et PRÉVIS par les critères de performances à Chute-du-Diable pour l’année 1993.

Horizon de prévision (jours)

Site 1 2 3 4 5 6 7

CD 93 A A P P P P PCD 94 A A A P P P PCD 95 A P P P P P PGlobal CD A A P P P P PLSJ 93 A A A A A A ALSJ 94 A A P P P P PLSJ 95 M P P P P P PGlobal LSJ A A P P P P PMIS 93 A A A P P P PMIS 94 A A A M P P PMIS 95 A A P P P P PGlobal MIS A A A P P P PGlobal A A P P P P P

Nota : A, le modèle ARMAX avec filtre de Kalman est le meilleur; M,les deux modèles ont des performances identiques; P, le modèle PRÉVIS estle meilleur; CD, bassin du réservoir de Chute-du-Diable; LSJ, bassin duréservoir du Lac-Saint-Jean; MIS, bassin de la rivière Mistassibi.

Tableau 1.Meilleur modèle pour la prévision jusqu’à 7 joursd’avance pour les années 1993, 1994 et 1995.

Horizon de prévision (jours)

Saison Site 1 2 3 4 5 6 7

Printemps CD A A P P P P PPrintemps LSJ A A P P P P PPrintemps MIS A A A P P P PPrintemps Global A A P P P P PÉté–automne CD A A A A P P PÉté–automne LSJ P A P P P P PÉté–automne MIS A A A A P P PÉté–automne Global A A A A P P PHiver CD P P P P P P PHiver LSJ P P P P P P PHiver MIS A A A A A P PHiver Global P P P P P P P

Nota : A, le modèle ARMAX avec filtre de Kalman est le meilleur; P, lemodèle PRÉVIS est le meilleur; CD, bassin du réservoir deChute-du-Diable; LSJ, bassin du réservoir du Lac-Saint-Jean; MIS, bassinde la rivière Mistassibi.

Tableau 2.Meilleur modèle pour la prévision jusqu’à 7 joursd’avance selon les saisons; performances globales pour les troissites de 1993 à 1995.

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donc illustrée par

[27] yt = a1yt−1 + ∑i=0

4

b4, i+1u4, t−i + ∑i=0

4

b7, i+1u7, t−i + et

Pour le modèle de MIS, il faut ajouter le terme a2yt-2 au mem-bre de droite de l’équation 27. Il est à noter que dans cettetroisième étape, une nouvelle analyse de sensibilité sur lesparamètres a permis de conclure de négliger complètement lepolynôme F(q). Le modèle de l’équation 27 est donc de typeARMAX.

La procédure de calibration de ces modèles ARMAX glo-baux est abordée plus loin en même temps que la descriptionde l’établissement des conditions nécessaires à l’emploi dufiltre de Kalman. Pour le modèle déterministe PRÉVIS, laprocédure de calibration des paramètres employée dans cetteétude est celle qui a été établie chez Alcan, avec les séquencesde données de 1964 à 1992. Avant d’intégrer le filtre de Kal-man à la modélisation, l’analyse des perfomances des modèlesARMAX globaux a été effectuée sur l’ensemble des données(1964–1995). Il est apparu que les modèles ARMAX sont plusstables et donnent de meilleurs résultats que des modèlesARMA calibrés sur les mêmes bassins avec les mêmes don-

nées, ce qui confirme l’intérêt de considérer des variablesexogènes (précipitations, lames d’eau dues à la fonte deneige, etc.) dans la modélisation. Avec les données de 1993à 1995 avec lesquels la comparaison des modèles ARMAXet PRÉVIS a pu être faite, on constate que les modèlesARMAX fournissent de meilleures prévisions que le mo-dèle PRÉVIS à 1 jour d’avance et parfois jusqu’à 2 joursd’avance.

Maintenant, l’application du filtre de Kalman requiert ladéfinition : (i) du vecteur d’état initial du système contenantles paramètres du modèle (θ0), (ii) de la matrice de covarianceinitiale de l’erreur sur le vecteur d’état (P0), (iii) de la matricede covariance des bruits du système (R1) et (iv) de la matricede covariance des erreurs du modèle (R2). L’estimation duvecteur θ0 nécessite la calibration du modèle concerné qui,compte tenu de la présence de la lame d’eau ruissellée issuede la fonte de neige, a été faite à l’aide des données du prin-temps de 1964 à 1992 inclusivement. De meilleurs résultatssont obtenus ainsi par rapport à la calibration effectuée surl’ensemble de l’année. Lorsque le modèle est calibré sur l’en-semble de l’année, les lames d’eau dues à la fonte de neige nesont pas continues (il y a des valeurs positives durant la périodede fonte et nulles autrement). Cette discontinuité introduit un

Fig. 7. Hydrogrammes de ruissellement observés et prévus 1 jour d’avance par (a) PRÉVIS et (b) ARMAXFK à Chute-du-Diable pour l’année1993.

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biais dans l’estimation des paramètres du modèle et de la ma-trice de covariance des paramètres, ce qui réduit, par la suite,la qualité de la modélisation.

La procédure d’estimation de θ0, P0, R1 et R2 est donc lasuivante :(i) calibration du modèle ARMAX sur les 29 échantillons

printaniers disponibles (1964–1992), ce qui donne un vec-teur de paramètres θ et une estimation de la variance del’erreur du modèle R2 pour chaque année;

(ii) la médiane des 29 vecteurs de paramètres est prise commevaleur initiale du vecteur d’état (θ0);

(iii) la covariance de l’erreur d’estimation du vecteur d’étatinitial (P0) est fixée à zéro;

(iv) la médiane des 29 variances des erreurs du modèle estprise comme valeur de la variance du modèle (R2);

(v) la covariance R1 est estimée en prenant la covariance del’échantillon des 29 vecteurs des paramètres estimés, mul-tipliée par un coefficient c dont la valeur optimale a étéobtenue après plusieurs essais (c = 0,001 pour CD et LSJ,c = 1 pour MIS).Le filtre de Kalman adaptatif, pour lequel le terme R2 varie

selon le débit, a été utilisé pour MIS en raison de la fiabilitéde ses données d’apports. L’équation d’estimation considérée

est R2 = 100 + 0,01yt2. Pour les réservoirs, un filtre non adap-tatif (avec R2 constant) a été considéré.

Resultats

Pour la prévision, les séquences de données de 1993 à 1995sont utilisées pour les trois bassins. La partie Résultats présented’abord une analyse sommaire de certaines caractéristiquesstatistiques des erreurs de modélisation et de la variation desparamètres des modèles ARMAX par le filtre de Kalman.L’évaluation des performances des modèles pour des prévi-sions allant de 1 à 7 jours suivant les critères de performancedécrits précédemment est ensuite fournie.

D’abord, l’analyse d’autocorrélation des écarts entre lesdébits observés et prévus, de même que l’analyse de corréla-tion croisée entre ces écarts et les débits observés vont permet-tre de vérifier l’adéquation de chacun des modèles ainsi queleurs possibilités d’améliorations respectives. Un exemple estdonné aux figures 3 et 4, où ces analyses sont faites sur leserreurs de modélisation pour les prévisions 1 jour d’avance del’année 1993 à CD avec les modèles ARMAX combiné avecfiltre de Kalman (ARMAXFK) et le modèle PRÉVIS, respec-tivement. Ces deux figures illustrent la tendance observée surles erreurs de modélisation des deux modèles.

Fig. 8. Hydrogrammes de ruissellement observés et prévus 4 jours d’avance par (a) PRÉVIS et (b) ARMAXFK à Chute-du-Diable pour l’année1993.

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Pour PRÉVIS, les erreurs présentent en général des auto-corrélations significatives pour les trois bassins, autant pourl’année que pour les trois saisons : printemps, été–automne ethiver. Des corrélations croisées significatives entre les erreursde modélisation et les débits observés sont constatées à toutesles saisons pour MIS, plus particulièrement à l’été–automne età l’hiver pour LSJ, et principalement au printemps et àl’été–automne pour CD. Il est à noter que les autocorrélationsdes erreurs augmentent lorsque l’horizon de prévision aug-mente.

Pour les modèles ARMAXFK, les résultats des analysesd’autocorrélation et de corrélation croisée sont meilleursque ceux de PRÉVIS. Il faut donc conclure que le modèlePRÉVIS laisse plus de place à l’amélioration que les modèlesARMAXFK. Des autocorrélations significatives sont néan-moins observées pour CD aux printemps 1994 et 1995 et auxhivers 1993 et 1994, pour LSJ sur l’ensemble de l’année et àtoutes les saisons à l’exception de l’hiver, et pour MIS àl’hiver. Comme avec PRÉVIS, il faut noter que les autocor-rélations des erreurs des modèles ARMAXFK augmententaussi lorsque l’horizon de prévision augmente.

Pour le filtre de Kalman plus particulièrement, la figure 5donne un exemple typique des variations qu’il opère, dans cecas-ci, sur les paramètres du modèle black-box pour CD durant

l’année 1993. Sur l’ensemble des années, on constate pour CDet LSJ que le terme autorégressif demeure pratiquement con-stant. Les termes liés à la pluie et la lame d’eau issue de lafonte de neige sont plus variables. Dans certains cas, on peutobserver l’effet de chacune de ces variations sur le ruisselle-ment. Par exemple, à CD en 1993 (fig. 5), on voit l’effet despluies tombées 2 ou 3 jours (paramètres b4,3 et b4,4) avant surla crue du printemps, tandis que la crue d’automne est plutôtdue à la pluie tombée 4 jours avant (paramètre b4,5). Toutefois,on ne peut procéder à une interprétation systématique pourtous les bassins et pour tous les paramètres, si ce n’est qu’au-cune variation aberrante n’est constatée.

Pour ce qui est de la comparaison des performances desdeux modèles en mode de prévision, rappelons que les donnéesemployées sont celles de 1993 à 1995. Quatre périodes de com-paraison sont considérées : annuel, printemps, été–automne ethiver, selon quatre critères de performance : l’erreur type d’es-timation, le coefficient de corrélation, le coefficient de Nashet le critère de pointe. La figure 6 donne un exemple typiquedes résultats obtenus par les modèles ARMAXFK et PRÉVISselon ces quatre critères de performances à CD pour l’année1993. Les tableaux 1 et 2 présentent une synthèse des résultatspour chacune des quatre périodes respectivement, et ce pourles trois bassins étudiés. La conclusion générale pour toutes les

Fig. 9. Hydrogrammes de ruissellement observés et prévus 7 jours d’avance par (a) PRÉVIS et (b) ARMAXFK à Chute-du-Diable pour l’année1993.

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saisons sur tous les bassins est que le modèle ARMAXFK estsupérieur au modèle PRÉVIS pour la prévision journalière entemps réel jusqu’à un horizon de 2 jours. Pour un horizon de3 jours, les deux modèles sont relativement équivalents. Pourun horizon de 4 jours ou plus, le modèle PRÉVIS est supérieurau modèle ARMAXFK. Il faut cependant noter le cas particu-lier de la saison d’hiver où, au bassin de MIS, le modèleARMAXFK est supérieur au modèle PRÉVIS à presque tousles horizons, et inversement pour les bassins de CD et LSJ. Lamême conclusion se dégage par l’observation des hydrogram-mes observés et prévus par les deux modèles pour l’année 1993à 1, 4 et 7 jours d’avance à CD (figs. 7, 8 et 9). La faiblessedu modèle ARMAXFK est qu’il n’anticipe pas suffisammentsur l’évolution de l’hydrogramme. Toutefois, la prévision à 1ou 2 jours d’avance est très bonne.

Conclusions

Principalement, ce travail a présenté un modèle ARMAXgénéralisé pour la prévision en temps réel des apports naturelsaux réservoirs de Chute-du-Diable et Lac-Saint-Jean, et desdébits de la rivière Mistassibi. Ce modèle est simple et relative-ment parcimonieux. Couplé avec le filtre de Kalman pour l’es-timation récursive de ses paramètres, ce modèle donne desrésultats satisfaisants pour la prévision journalière en tempsréel. Dans le cadre de la comparaison de ce modèle avec lemodèle déterministe PRÉVIS, les points qui suivent sont àsouligner : (i) la structure du modèle black-box, qui est de typenon conceptuel et linéaire, est très simple par rapport à celle dePRÉVIS; (ii) le modèle black-box qui compte 11 à 12paramètres selon le bassin considéré est plus parcimonieuxque PRÉVIS, lequel a 16 paramètres actifs; (iii) le modèleARMAX a été désavantagé, car le modèle de fonte de neigequ’il utilise pour calculer les lames d’eau est plutôt sommaire(ce calcul est plus fiable pour le modèle PRÉVIS).

Malgré ce dernier point, les performances des modèlesARMAX couplés avec le filtre de Kalman sont déjà de bonnequalité pour des horizons de prévision courts. Il est envisage-able que les performances de ces modèles puissent s’améliorerpour des prévisions à court terme et aussi à plus long terme, siun modèle de fonte de neige plus efficace est utilisé. Lagénéralisation des modèles linéaires que représentent lesmodèles black-box semble donc constituer une approche demodélisation relativement simple et efficace pour les prévi-sions hydrologiques journalières à court terme. Une autre pos-sibilité intéressante de modélisation suivant l’approchestochastique est d’utiliser des modèles non linéaires, tels queles réseaux de neurones. Finalement, le couplage du filtre deKalman avec un modèle déterministe comme PRÉVIS consti-tue aussi une avenue intéressante.

Remerciements

La réalisation de cette étude a été possible grâce à la subven-tion Recherche et développement Coopérative Poly–Alcan(CRD0167898) du Conseil de recherches en sciencesnaturelles et en génie du Canada. Les auteurs tiennent aussi àremercier Monsieur Gaston Patenaude pour la réalisation de lafigure 2 de cet article.

Références

Akaike, H. 1974. A new look at the statistical model identification.IEEE Transactions on Automatic Control, AC–19(6) : 716–723.

Assaf, H., et Quick, M.C. 1991. Updating hydrological model fore-casts. Revue canadienne de génie civil, 18 : 663–674.

Bennis, S., et Bruneau, P. 1993. Amélioration de méthodes d’estima-tion des débits journaliers. Revue canadienne de génie civil, 20 :490–499.

Bergman, M.J., et Delleur, J.W. 1985. Kalman filter estimation andprediction of daily stream flows. Water Resources Bulletin,21(5) : 815–832.

Bouchard, S. 1986. Amélioration d’un modèle hydrologique déter-ministe et son application à la prévision des ruissellements dubassin du lac St-Jean. Mémoire de maîtrise, Université du Québecà Chicoutimi, Chicoutimi.

Bouchard, S., et Salesse, L. 1986. Amélioration et structuration dusystème de prévision hydrologique à court termePRÉVIS. Groupe Ressources hydrauliques, Énergie électriqueQuébec, Société d’électrolyse et de chimie Alcan ltée, Jonquière,rapport interne RH 86–01.

Box, G.E.P., et Jenkins, G.M. 1970. Time series analysis: forecastingand control. Holden Day, San Francisco.

Georgakakos, K.P. 1986. A generalized stochastic hydrometeorologi-cal model for flood and flash-flood forecasting. Water ResourcesResearch, 22(13) : 2083–2106.

Gray, D.M., et Male, D.H. 1981. Handbook of snow: principles, proc-esses, management and use. Pergamon Press Canada, Toronto.

Haltiner, J.P., et Salas, J.D. 1988. Short-term forecasting of snowmeltrunoff using ARMAX models. Water Resources Bulletin, 24(5) :1083–1089.

Kitanidis, P.K., et Bras, R.L. 1980. Real-time forecasting with a con-ceptual hydrologic model. Water Resources Research, 16(6) :1025–1044.

Kite, G.W. 1978. Development of a hydrologic model for a Canadianwatershed. Revue canadienne de génie civil, 5(1) : 126–134.

Lauzon, N. 1995. Méthodes de validation et de prévision à courtterme des apports naturels. Mémoire de maîtrise, Département degénie civil, École polytechnique de Montréal, Montréal.

Lauzon, N., et Gignac, C. 1993. Amélioration et calibration dumodèle hydrologique PRÉVIS : rapport de stage, été 1993.Groupe Ressources hydriques, Énergie électrique Québec, Sociétéd’électrolyse et de chimie Alcan ltée, Jonquière, rapport interneRH 93–16.

Linsley, R.K., Kohler, M.A., et Paulhus, J. 1982. Hydrology for engi-neers, 3e éd. McGraw-Hill, New York.

Ljung, L. 1987. System identification, theory for the user. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New York.

Lloyd, E. (Éditeur.) 1984. Handbook of applicable mathematics. Vol.VI. Statistics. Partie B. Directeur scientifique : W. Ledermann.John Wiley & Sons, New York.

Rango, A., et Martinec, J. 1995. Revisiting the degree-day method forsnowmelt computations. Water Resources Bulletin, 31(4) :657–669.

Ribeiro, J., Salas, J.D., et Rousselle, J. 1996. Système de prévisionhydrologique journalière en temps réel : prévision journalière entemps réel, par un modèle de type Armax avec filtre de Kalman,des débits d’apports naturels aux réservoirs Chute du Diable et LacSaint-Jean, et des débits de la Rivière Mistassibi — Comparaisonavec le modèle Prévis. Rapport projet Recherche et développe-ment Coopérative École polytechnique – Alcan, École polytech-nique de Montréal, Montréal.

Thompstone, R.M., Bouchard, S., Pilon, P.J., et Bergeron, R. 1981.Real-time hydrological forecasting for a multi-reservoir hydro-electric system. Groupe de la recherche et du développement,Énergie électrique Québec, Société d’électrolyse et de chimie Al-can ltée, Jonquière, rapport interne RD 81–01.

Ribeiro et al. 303

© 1998 CNRC Canada

L97-099.CHPTue Jun 23 15:45:18 1998


Wood, E.F., et O’Connell, P.E. 1985. Real-time forecasting. DansHydrological forecasting. Éditeurs : M.G. Anderson et T.P. Burt.John Wiley & Sons, New York. pp. 505–558.

Liste des symboles

a facteur de degrés-jourA(q) polynôme du modèle black-box avec un

nombre fini de coefficients naAR modèle autorégressifARARMAX modèle autorégressif à séquence de bruits

autorégressive, à moyenne mobile et avecvariable exogène

ARARX modèle autorégressif à séquence de bruitsautorégressive et avec variable exogène

ARMA modèle autorégressif à moyenne mobileARMAX modèle autorégressif à moyenne mobile avec

variable exogèneARMAXFK modèle ARMAX avec utilisation du filtre de

Kalman comme procédure d’estimationrécursive des paramètres

ARX modèle autorégressif avec variable exogèneB(q) polynôme du modèle black-box avec un

nombre fini de coefficients nbCCRj coefficient de corrélation pour l’horizon de

prévision jCD bassin du réservoir de Chute-du-DiableCPj critère de pointe pour l’horizon de prévision jC(q) polynôme du modèle black-box avec un

nombre fini de coefficients ncD(q) polynôme du modèle black-box avec un

nombre fini de coefficients ndet variables aléatoires indépendantes et

identiquement distribuées de moyenne nulle etde variance λ (R2 dans le filtre de Kalman)

F(q) polynôme du modèle black-box avec unnombre fini de coefficients nf

G(q) polynôme du modèle black-box,G(q) = B(q)/[A(q)F(q)]

H(q) polynôme du modèle black-box,H(q) = C(q)/[A(q)D(q)]

H~

k(q) polynôme du modèle black-box pour lavariable de sortie, utilisé en mode de prévisionpour un horizon de prévision k

H−

k(q) polynôme du modèle black-box pour lvariable exogène, utilisé en mode de prévisionpour un horizon de prévision k

Kt matrice de gain de Kalman au temps tLSJ bassin du réservoir du Lac-Saint-JeanMIS bassin de la rivière Mistassibi

N taille de l’échantillon d’apportsNASHj coefficient de Nash pour l’horizon de

prévision jni nombre de coefficients des polynômes du

modèle black-box (i = a, b, c, d, f)nk délai de longueur k entre les variables d’entrée

s (ut) et de sortie (yt)Np taille de l’échantillon d’apports observés

supérieurs au tiers de l’apport de point moyenobservé

PRÉVIS nom donné au modèle hydrologique conceptueldéterministe global de calcul des apportsnaturels d’Alcan

Pt matrice de covariance de l’erreur d’estimationdu vecteur d’état du filtre de Kalman autemps t

q opérateur mathématique tel que q-kut = ut-kR1 matrice de covariance de wtR2 variance de l’erreur et de l’équation du système

dans le filtre de Kalman (et est le même quedans l’équation du modèle black-box)

Sj erreur type d’estimation pour l’horizon deprévision j

St équivalent d’eau du manteau nival au jour tTb température de base ou de référenceui,t variable exogène i du modèle black-box au

temps twt bruit blanc gaussien de l’équation d’état du

filtre de Kalman (wt ~ N(0,R1))y−cal,j moyenne des apports naturels prévus j jour(s)

à l’avanceycal,t apport naturel calculé au jour tycal,t-j apport naturel calculé au jour t - j pour le jour t

et constituant donc l’apport prévu j jour(s) àl’avance

ycorr,t apport naturel corrigé obtenu par la procédurede correction de PRÉVIS au temps t

y−obs moyenne des apports naturels observésyobs,t apport naturel observé au jour tyt débit ou apport naturel et variable de sortie du

modèle black-box au temps tyt estimation de la variable yt du modèle

black-box au temps tθt vecteur colonne d’état du filtre de Kalman au

temps tΨt matrice d’impulsions au temps t de l’équation

du système dans le filtre de Kalman (unvecteur ligne dans notre cas)

‘

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Documents

Comparaison de deux modèles pour la prévision journalière en temps réel des apports naturels