11
COMPENSATION D'UN ASSERVISSENENT SUJET A SATURATION A L'AIDE D'UN COMPENSATEUR ARITHM]~TIOUE par Pierre L. THELLIER Ing6nieur de I re Classe du G6nie Maritime *, Master of Science. SOMMAtnE. - - D a n s cet article, nous ddr une mdthode de synthise de compensatear arithmdtique destind d compenser un asservissement comportant un dldment saturant. En limitant la valeur effieace du signal saturant, nous pourrons remplacer le systdme non lindaire par son dqui~,alent lindaire. Cette dtude est une extension des mdthodes statistiques de Wiener, Lee et Ne~vton 5 la synth~se des c,)mpensateurs arithmdtiques. PLAN.- Introduction.- I. Explication des notations.- 2. Saturation.- 3. Comparateurs arithmdtiques et sys- time gt in/ormation discrete. -- 4. Rappel sur les /onctions d'autocorrdlation d'un signal dchantillonnd. -- 5. Phi- losophie et ddfinition du probldme. -- 6. Relation entre la ~,aleur efficace et la probabilitd de saturation d'un signal. 7. Solution mathgmatique du problime.- Conclusion.- Appendices Iet II. INTRODUCTION En face d'un probl~me de compensation d'asser- vissement, le premier travail de l'ing6nieur est de transposer sur une feuille de papier les Garac%ris- tiques mathgmatiques, souvent simplifi6es, de cha- Gun des 616ments physiques. G6n6ralement, il obtiendra un ensemble d'616- ments lin6aires et non lin6aires. Nous supposerons que, dans le eas p%sent, la seule non lin6arit6 est unc saturation. Nous pouvons d'ores et d~jh s6parer deux catb- gories de signaux d'entr6e, auxquelles correspon- dent, grosso mode, deux m6thodes de syntheses de eorreeteur. Primo. -- Un signal d'entr6e d6termin6 h chaque instant, qui se reprgsente en fonetion dn temps, sans ambiguit6. Bien souvent il est d~composable en 6chelons de position, vitesse, acc616ration, etc.., et les r6ponses du systSme h ces signaux simples servent de crit6re de syuth~se. Dans ce cas, la synth~se fait appel aux m6thodes du diagramme de Bode [~3] du lieu de Nyquist [3], du lieu d'I~vans [13] etc .... Un caraetbre eommun h ces noml)reuses m6tho- des : elles ne mbnent pas direetement h l'61abora- tion d'un eorreeteur. [1 faut proc6der par it6ration. Si le systbme comporte des 616ments saturants, on pourra soit essayer de limiter le signal saturant de telle sorte que pour le maximum de l'enlr6e il ne d6passe jamais la limite de saturation, soit faire travailler le systbme en 6tat constant de saturation ; nous aurons alors un correcteur dit ,tout ou rien ,, [1 3]'. Par malheur, cc dernier pro@d6 de synth6se fait appel h la m6thode du plan de phase [3, 13] qui se transforme rapidement en hyperespace de phase d~s que le degr6 du systgme dfpasse 2. Nous citons pour m6moire la commande des moteurs couples [3, ~3]. Secundo. -- Un signal d'entr6e al6atoire entach6 d'un bruit al6atoire. On d6sire, dans ee Gas, trouver un eorrecteur s6parant, snivant un certain eritbre, le message du bruit tout en performant eertaines operations, telles que d6rivation, in%gration, pr6- diction. La m~thode de Wiener [t41 conduit sans al6a, en minimisant la valeur efficaee de l'erreur entre la sortie du syst~me et la sortie d6sir6e, h la formule du correcteur optimum. Nous devons h Newton [8] d'avoir 6tendu cettc m6thode hun asser- vissement comportant une saturation. Son raison- nement fut le suivant :.si nous pouvons limiter la valeur effieaee du signal saturant de telle sorte que la probabili% de saturation soit rnaintenue hun taux faible, i] nous sera possible de remplaeer le systgme non lin6aire par son 6quivalent lin6aire. Cette m6thode nous ayant donn6, dans son appli- cation, des r6sultats remarquables, nous nous sommes demand6 s'il serait possible de l'appliquer aux correcteurs arithm6tiques. Bien stir, nous avions la possibilit6, en prenant un caleulateur h faible p6riode d'6chantillonnage, d'approximer la fonetion de transfert analogique : solution on6reuse. Nous aeons done essay6 une synth~se directe dans le domaine Z qui nous a conduit au d6veloppement suivant. l, -- EXPLICATION DES NOTATIONS. Lettres minuscules repr~sentant des /onctions du temps : r(t) : signal fonetion du temps, r* (t) : signal 6ehantillonn6, * Fonderie de la Marine, tluelle-sur-Touvre, Charente. -- t85

Compensation d'un asservissenent sujet a saturation a l'aide d'un compensateur arithmétique

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Compensation d'un asservissenent sujet a saturation a l'aide d'un compensateur arithmétique

COMPENSATION D'UN ASSERVISSENENT SUJET A SATURATION A L'AIDE D'UN COMPENSATEUR ARITHM]~TIOUE

par Pierre L. T H E L L I E R Ing6nieur de I re Classe du G6nie Maritime *,

Master of Science.

SOMMAtnE. - -Dans cet article, nous ddr une mdthode de synthise de compensatear arithmdtique destind d compenser un asservissement comportant un dldment saturant. En limitant la valeur effieace du signal saturant, nous pourrons remplacer le systdme non lindaire par son dqui~,alent lindaire. Cette dtude est une extension des mdthodes

statistiques de Wiener, Lee et Ne~vton 5 la synth~se des c,)mpensateurs arithmdtiques.

P L A N . - In t roduc t ion . - I. Explication des n o t a t i o n s . - 2. S a t u r a t i o n . - 3. Comparateurs arithmdtiques et sys- time gt in/ormation discrete. - - 4. Rappel sur les /onctions d'autocorrdlation d'un signal dchantillonnd. - - 5. Phi- losophie et ddfinition du probldme. - - 6. Relation entre la ~,aleur efficace et la probabilitd de saturation d'un signal.

7. Solution mathgmatique du p r o b l i m e . - C o n c l u s i o n . - Appendices I e t II.

I N T R O D U C T I O N

En face d 'un probl~me de compensation d'asser- vissement, le premier travail de l 'ing6nieur est de transposer sur une feuille de papier les Garac%ris- tiques mathgmatiques, souvent simplifi6es, de cha- Gun des 616ments physiques.

G6n6ralement, il obtiendra un ensemble d'616- ments lin6aires et non lin6aires. Nous supposerons que, dans le eas p%sent, la seule non lin6arit6 est unc saturation.

Nous pouvons d'ores et d~jh s6parer deux catb- gories de signaux d'entr6e, auxquelles correspon- dent, grosso mode, deux m6thodes de syntheses de eorreeteur.

P r i m o . - - Un signal d'entr6e d6termin6 h chaque instant , qui se reprgsente en fonetion dn temps, sans ambiguit6.

Bien souvent il est d~composable en 6chelons de position, vitesse, acc616ration, etc.., et les r6ponses du systSme h ces signaux simples servent de crit6re de syuth~se. Dans ce cas, la synth~se fait appel aux m6thodes du diagramme de Bode [~3] du lieu de Nyquist [3], du lieu d'I~vans [13] etc ....

Un caraetbre eommun h ces noml)reuses m6tho- des : elles ne mbnent pas direetement h l'61abora- t ion d 'un eorreeteur. [1 faut proc6der par it6ration. Si le systbme comporte des 616ments saturants, on pourra soit essayer de l imiter le signal saturant de telle sorte que pour le maximum de l'enlr6e il ne d6passe jamais la limite de saturat ion, soit faire travailler le systbme en 6tat constant de saturat ion ; nous aurons alors un correcteur dit , t o u t ou rien ,, [1 3]'.

Par malheur, cc dernier pro@d6 de synth6se fait appel h la m6thode du plan de phase [3, 13] qui se transforme rapidement en hyperespace de phase

d~s que le degr6 du systgme dfpasse 2. Nous citons pour m6moire la commande des moteurs couples [3, ~3].

S e c u n d o . - - Un signal d'entr6e al6atoire entach6 d 'un bruit al6atoire. On d6sire, dans ee Gas, t rouver un eorrecteur s6parant, snivant un certain eritbre, le message du bruit tout en performant eertaines operations, telles que d6rivation, in%gration, pr6- diction. La m~thode de Wiener [t41 conduit sans al6a, en minimisant la valeur efficaee de l 'erreur entre la sortie du syst~me et la sortie d6sir6e, h la formule du correcteur optimum. Nous devons h Newton [8] d 'avoir 6tendu cettc m6thode h u n asser- vissement comportant une saturation. Son raison- nement fut le suivant :.si nous pouvons limiter la valeur effieaee du signal saturant de telle sorte que la probabili% de saturat ion soit rnaintenue h u n t aux faible, i] nous sera possible de remplaeer le systgme non lin6aire par son 6quivalent lin6aire.

Cette m6thode nous ayant donn6, dans son appli- cation, des r6sultats remarquables, nous nous sommes demand6 s'il serait possible de l 'appliquer aux correcteurs arithm6tiques. Bien stir, nous avions la possibilit6, en prenant un caleulateur h faible p6riode d'6chantillonnage, d 'approximer la fonetion de t ransfer t analogique : solution on6reuse. Nous aeons done essay6 une synth~se directe dans le domaine Z qui nous a conduit au d6veloppement suivant.

l , - - E X P L I C A T I O N D E S N O T A T I O N S .

Lettres minuscules repr~sentant des /onctions du temps :

r(t) : signal fonetion du temps, r* (t) : signal 6ehantillonn6,

* Fonderie de la Marine, tluelle-sur-Touvre, Charente.

- - t 8 5

Page 2: Compensation d'un asservissenent sujet a saturation a l'aide d'un compensateur arithmétique

2/t2

r~ (t)': valeur moyenne de

I /-+r. = I m (t) dt,

r~ (t) 2T0. --To

%, (r : fonetion d'autocorr61ation du signal r ( t ) = f+r. r(t) r(t + ~) dt.

2To j --To

Lettres ma]uscules reprgsentant en gdngral des trans]ormges de Laplace :

P. L. T H E L L I E R [ANNALES DES TI~L]~COMMUNICATIONS

devient en module sup6rieur ~ ~ , , le signal de sortie tend rapidement vers une tlmite fixe L. Nous voyons que l 'arbitraire de notre d6finition r6side dans la diff6rence L - - a , . Nous la supposerons [petite par rapport h an.

Cette d6finition s'applique h deux ph6nom~nes to ta lement diff6rents :

la saturat ion d 'un 616ment comme par exemple le flux d ' induit d 'un moteur 61eclrique en fonction de l ' intensit6 (fig. ~l) ;

Sortie

/ H L ~ l m ~e la r~l~oase T. . . . . . / _ _ __ :____

Ma~m.m de la r6po.le "<Yal , f li~aire

O E n t r e e

I Excitation m~-ua correal~mdaat A une r ~p o n se Lin~aLre

1 -as1

/ - L /

/ R~ponse du aystbae liagire

~luivalent i lm ~ l ~ e n t saturant F1G. J. --- Courbe de v6ponse d'un 616ment saturant.

R(s) : L[r(t)] = transform6e de Laplace de r(t); la transform6e inverse se note r(t) = L -1 [R(s)],

R* (z, rn) : transform6e en Z modifi6e de r* (t), R* (z) : transform6e en Z de r* (t), Cr, (s) : spectre dr: ~:ensit~ dc puissance de r(t) ;

c'est aussi la transform6e de Laplace des deux e6t6s de ?+.v (z),

err (z) : spectre de densit6 de puissance der* (t) ; c'est aussi la transform6e en Z de

z = esr, T = p6riode d'6chantillonnage, P, (x) : densit6 de probabilit6. P~ (x) dx repr6-

sente la probabilit6 de t rouver le si- gnal r(t) dans l ' intervalle (x, x + dx).

2. - - S A T U R A T I O N .

La saturat ion est une des non lin6arit6s le plus fr6quemment rencontr6es. Dans notre expos6, nous entendrons saturat ion au sens large du mot et nous en donnerons la d6finition suivante.

Pour un signal d'entr6e compris en module entre 0 et as, le signal de sortie de l'616ment sa turant lui est proportionnel. Quand le signal d'entr6e croft et

-- i86

la l imitat ion volontaire d 'un signal ; par exemple, dans un engin t616guid6 autopropuls6, on limite Pan- gle de hraquage des gouvernes afin de l imiter le fac- teur de charge de l 'ensemble. Quel que soit l 'ordre, l'acc616ration transversale ne d6passera pas une eertaine valeur. On peut assimiler ceei h une satu- ration en acc616ration (fig. 2).

So r t i e

L +CIal

�9 ~,r . / /o i+;

/ -L -Gal

Fro. 2. - - Courbe de r6ponse d'un limiteur.

Entree

Page 3: Compensation d'un asservissenent sujet a saturation a l'aide d'un compensateur arithmétique

t. 15, n~ 19601 COMPENSATION D ' U N AVERTISSEMENT 3/12

3. - - COMPENSATEUI=tS AI=tITH1VI~TIQUES ET S Y S T ~ M E S

A I N F O R M A T I O N DISCB~.TE [5, t0, t2].

Posons z = e sT

Un systgme h information discrete est un syst~me qui re$oit des signaux h intervalles de temps cons- tan t et rien entre les intervalles. Les syst~mes hinfor- mation disergte, pratiquement inconnus il y a dix ans, ont vu leur domaine seientifique st teehnlque s'6tendre de fa~on 6tonnante en raison de la diffu- sion des ealculateurs arithm6tiques en temps r6el.

L'6ehantillonnage d'une information apparalt soit par n6eessit6 physique (signal de sortie d'un radar de veille : la p6riode d'6ehantillonnage est 6gale au temps mis par l 'antenne pour faire un tour), soit parce que l'6ehanti]lonnage est rendu d6sirable par l'utilisation d'un calculateur arithm6tique (un eal- eulateur h haute fr6quenee d'6chantillonnage peut eontr61er plusieurs asservissements). Ce dernier cas semble se r6pandre de p]us en plus dans l'industrie.

+ o o

L[g* (t)] = E g(nT) z--'* = G* (z);

G* (z) est dite transform~e en Z de g(t) ou G(s). Nous rappelons les 6gallt6s :

+ c o

G* (z) = ~ n ~ _ o o G(s + jnwr ) , w, = 2 = I T ,

c* ( z ) = R* (~). G* (~). (fig. 4).

d c h ~ t i l l o n n e u r f i c t i f

T ..~ c ' ( z )

d c l a u t i l l o n e u r I - - ~ c-" ( t ) T i

~(.) / e'(,) ] ~ ~t c(.) r(t) r ' ( t ) o(t)

FIG. 4.

On trouvera dans les r6f6renees [5, 10, 12] des tables de transformges en Z directes et inverses.

3.1. Quelques rappels sur la transformation en Z et Ia transformation en Z modifl~e.

(On trouvera en Appendice un dfveloppement sur la transform6e en Z des deux c6t6s.)

3-1~. Trans[ormde en Z.

La transform6e en Z n'est rien d'autre qu'une transform6e de Laplace d'une fonction du temps, 6ehantillonn6e, d~ms laquelle z = e "T. En effet, on d6montre que L[g*(t)] est une fraction rationnelle de e sT .

Soit g(t) un signal ou bien la r6ponse impulsion- nelle d'un syst~me lin6aire. La fonction g* (t) s'6crit (voir fig. 3) :

e(t)

T 2T 3 T

Fro. 3. - - F o n c t i o n c o n t i n u e du t e m p s g(t) el, f onc t ion 6chan t i l l onn6e g*(t).

g* (t) = g(o) 8(t)4- o~(7') ~(t - T) + . . .

+ g( , ,r ) ~ ( t - , r ) + . . .

n entier positif. ~(t) impulsion de Dirac telle que

~ q-Oo

a(o) = c~, ~(t) = o p , . . . t # o, ~(t) dt ~ 1.

La transform6e de I,aplace de g* (t) s'6crit : + o o

L[~* (t)l = E ~(,,T) e - - < 'rt ~ O

3-12. Trans/orrnde en Z modifide.

La sortie c(t) de l'616ment G(s) excit6 par les impulsions du signal r*(t) est continue. Malheureu- sement la transform6e inverse de C*(Z) donne les valeurs de la fonetion aux instants d'6ehantillon- nags seulement. Quant h C(s), transform6e de Laplace de e(t), elle est quasiment inutilisable ear e'est une fonction rationnelle de s e t e ~T.

Une des grandes id6es du pr Jury fur d'introduire un retard fietif et variable AT. En faisant varier A, on d6erit l'intervalle eompris entre nT et (n + t) T. En faisant varlet n, on d6erit toute la fonetion (voir fig. 5).

r e ~ a r 4 e t ~ e h L n t i i l o n n e u r flctif.

V . . . . ~ . / c'(z,~) dch .~ , t l l lRssu r i---4 AT ~ - - /

T [ I. t T

R(.) / #(*) ~ t C ( x )

Fro. 5.

Dans ees conditions :

+ o o

C* (z,A) = E g (nT- -AT)~-n= n - - O

+ C O

z"'l E g(nT + roT) r"% f t ~ O

en posant

m ~ l - - A 0 ~ m ~ t , t = ( n + r n - - t ) T .

On trouvera dans la r6f6rence [5] des tables de transform6es en (Z, m) direetes et inverses.

Nous rappelons les 6galit6s :

1 +co (2* (z, m.) = ~n~_co C(s + jmvr) e-(s+lnwr}(t-m)T,

C* (z, m) = tl* (z) .G* (z, m).

On remarquera que C* (z, m) et C(s) sont deux transform6es de Laplace d'une m~me fonetion continue du temps.

187 - -

Page 4: Compensation d'un asservissenent sujet a saturation a l'aide d'un compensateur arithmétique

4 / i2

C* (z, m) est done soumis aux m6mes rdgles que que C(s).

P. L. T H E L L I E R

3-12. Compensateur arithmdtique.

Le compensateur ari thm6tique n'est qu 'un eas particulier des syst~mes 6chantillonn6s, le calcu- lateur ar i thm6tique n '6 tant lui-mgme qu 'un cas particulier des compensateurs arithm6tiques.

R(~) / R'(~) D'(~)

o'(t)

[ANNALES DES T~L~OMMONICATIONS

r(t)

Nous supposerons aequise la notion de fonction d'autocorr61ation et de spectre de puissance dans le domaine eontinu.

Soit : r(t) un signal al6atoire stationnaire ergo- dique d6fini par ses fonetions de densit6 de proba- bilit6, r* (t) le signal 6chontillonn6, H o (s) un circuit bloqueur,

r ] c(~ / H o ( S ) -

c(t)

o T 2T 3T

t

o T ~T 3 T o T ~T 3 T q

FIG. 6 , - l~volution et transformation du signal r(t) h travers un compen~ateur arithmdtique.

t

Nous en donnerons la d6finition suivante : Un compensateur ari thm6tique est un syst~me qui

d61ivre en sortie un signal constant pendant le temps n T <~ t < (n -4-1) T.

Ce signal de sortie entre n T et (n -F 1) T, h un retard pros correspondant au temps de calcul, est une fonction lin6aire du signal de sortie aux instants (n - - 1) T . . . (n - - p) T et du signal d'entr6e aux instants n T . . . ( n - - m ) T ; p e t m entiers tels que p >~ m.

On repr6sente g6n6ralement un tel syst~me par le sch6ma de la figure 6. D* (z) fraction rationnelle en z, D* (z) = (ao Jr al z -x -F . . . § e-asr / ( l 4_

b l z -1 + . . . + bvz-V),

e - a S r re tard relatif au temps de calcul, H 0 (s) = (i - - e -r~) Is circuit bloqueur d'ordre z6ro. Cette repr6sentation est 6vidente si l 'on consid~re que z -1 = e- ' r repr6sen te un retard d 'une p6riode, et que c*(z)/R*(z)= D*(z).

4.--- BAPPEL SUR LES FONCTIONS D 'AUTOCORR~.LATION

D'UN SIGNAL I~.CHANTILLONN]~ [1, 2, 4, 6, 1o, i2].

Dans la suite de notre d6veloppement, nous sup- poserons que tout signal appart ient h un ensemble de fonctions al6atoires stationnaires et ergodiques, e'est-h-dire que les fonctions de distribution de pro- babilit6 sont ind6pendantes de l'origine du temps et que les moyennes temporelles prises sur une fonc- tion sont 6gales aux moyennes prises sur l 'ensemble des fonctions.

r 1 (t) Ia fonction en marche d'escalier, sortie de H o (s) (voir fig. 7 et 8).

Aux instants t = nT, n entier, nous avons P,, (x) = P, (x).

Mais aux instants tels que n T -F z <~ t <~ ( n q - l ) T - - r

r ( t ) / r r'(t) ~ [ rx(t)

FIG. 7.

(r quanti t6 infiniment petite) la fonction de densit$ de probabilit6 de r* (t) se r6duit h une impulsion ,,nit6 P, . (x) = a(x).

~ r(t)

rt(t)

o T ~T 3T 4T

FIG. 8. - - Repr6sentation des divers signaux de la figure 7.

De ce fait, la fonetion r* (t) n 'est pas une fonction stationnaire car ses fonctions de probabilit6 d6pen- dent de l'origine du temps.

Cependant, si nous consid6rons la s6quenee rs (nT) nous retombons sur un ph6nom~ne al6atoire station- naire pour lequel :

- - 188 - -

Page 5: Compensation d'un asservissenent sujet a saturation a l'aide d'un compensateur arithmétique

t. 15, n ol 7-8, 1960]

Montrons que lcs valeurs moyenncs des puissan- ces de r(t), re (nT) et r x (t) sont 6gales :

1 f + 2 , r~' (t) = lim ~ , , r~ (t) dt To--'Y<~ 0 . / -- To

/Y = - x'~ P, (x) dx,

t +~r r ~ ( n T ) = lim , , Z r'~(nT)

2 V ~ 2 N + I .-_~ s

= / 2 ~ x m Pr (x) dx = rra (t),

. J ~ + T o r~(t) = ]ira ~ r~(t) dt

r0--+oo 2To d -T~ t +2v

= Jim ,__ X r~ (nT) = r~ (ti. 2v ->co 22N + 1 n--2v

' i On n oubl era pas que r *= (t) n 'en diff~re que par un facteur constant d6pendant de la largeur des impulsions.

Nons voyons que l '6chantillonnage et le passage h travers un circuit bloqueur d 'un ph6nom6ne al6a- toire, stationnaire, ergodique, ne change pas la valeur efficace.

En gardant h l 'esprit ]es pr6cautions h prendre en raison du caract~re non stationnaire de r* (t), on introdui t la notion de fonction d'autocorr61ation de signal 6chantillonn6 comme une moyenne dans le temps

~1 / + To ~r*r* (2-) = lin~ - - ~ r* (t) ,'* (t + ~) ,ll .

T . - - ~ 2 T O ! _ To

En utilisant Ia formule suivanle [J0]

l +~v %, (v) = lira ~.- r(nT r z . - ~ 2~v + 1 .=X_z~ ~(~T) +

on d6montre ais6ment qne :

~r*r* (2") : "~ (~*r (2") = 7~ K = ~ o ~ ~rr (KT) ~(t -- KT).

La notion de spectre de puissance s ' introduit de la m8me mani~re que dans le domaine continu, mais cette fois-ci la transfo,m6e de Laplace des deux c6t6s devient transform6e en Z des deux c6t6s (Appen- dice I)

t +c~

La transform@ en Z n '6tant q, , 'un eas particulier de la transform6e de Laplace, les formules des fone-

~(t)

=(t)

x2

COMPENSATION n 'Ulq AVERTISSEMENT 5 /~2

tions d'autocorr61ation en continu sont applicables aux fonctions d'autocorr61ation des signaux 6chan- tillonn6s.

Par cons6quent, la fonction d'autocorr61ation du signal de sortie du correcteur, signal en marche d'escalier, s 'obtient ais6ment ~ partir de la fonction d'autocorr61ation du signal 6chantillonn6.

5. PHILOSOPHIE

ET D]~FINITION DU PROBLI~ME.

Pour r6soudre un probl~me d'asservissement comportant des saturations, on peut s'engager dans deux votes diff6rentes :

ou bien essayer de r6soudre le probl~me h l'aide des m6thodes de r6solution des 6quations diff6ren- tielles non lin6aires. Cette m6thode peut donner de bons r6sultats dans le cas de syst~mes simples et surtout quand on d6sire faire travailler l'616ment saturant au maximum de ses possibilit6s ;

on bien faire la synth~se d 'un correcteur lin6aire qni maintiendra le signal d'entr6e de l'616ment satu- rant dans des limites telles que la saturat ion ne sera presque jamais atteinte. Ce cas est parfois d6si- rable ; par exemple dans le vol d 'un missile, il est peu souhaitable que l 'engin vole continuellement au maximum de ses possibilit6s d'6volution, car il perdra une grande patt ie de son 6nergie en traln6e. Dans ces conditions, nous pouvons remplacer 1'616- ment saturant par son approximation lindaire (cf. fig. I e t 2) et le probl~me se traite sur le plan lin6aire. C'est dans cet esprit que nous aborderons notre probl6me.

5.1 . Df i f ln i t ion m a t h f i m a t i q u e du p r o b l b m e .

Donnges.

1. Le signal d'entr6e entach6 de bruit et le signal de sortie d6sir6 du syst~me, fonctions al6atoires du temps, stationnaires, ergodiques h distribution d 'ampli tude gaussienne, d6crits par leur fonction d'autocorr61ation. Le caract~re d 'ampli tude h dis- t r ibut ion gaussienne est peu restrictif car c'est le cas de nombreux signaux. En outre, on d6montre qne la somme d 'un nombre infini de signaux al6atoires 5 distributions quelconques est ,,n signal h distri- bution gaussienne.

2. Les 616ments fixes, comportant l'616ment satu- rant . Dans l 'hypoth~se faite, ces 616ments fixes sont

T

Fro. 9 . - Sch6ma fonctionnel il lustrant le probl6me.

- - t 8 9 -

%(t)

Page 6: Compensation d'un asservissenent sujet a saturation a l'aide d'un compensateur arithmétique

6/12

d6crits par leur fonction de transfert , transform6e de Laplace de l ' approximat ion lin6aire.

Dgterminer un compensateur arithm6tique tel que :

1. la valeur efflcace de l 'erreur entre la 'sortie du syst~me et la sortie d6sir6e soit minimum ;

2. le signal d'entr6e de l'616ment saturant , appel6 encore signal sa turant , air sa valeur efficace main- tenue au-dessous d 'une certaine valeur de telle sorte que la probabilit6 de saturat ion demeure faible.

La figure 9, illustre le probl6me. s(t) : signal d'entr~.e, n(t) : bruit , T : p6riode d'6chantillonnage du compensateur, D* (z): fonction de t ransfer t du compensateur, H 0 (s) : (i - - e -~s)ls circuit bloqueur, G(s) : fonction de t ransfer t des 616ments fixes

lin6aris6s, qs (t) : s igna lsa turan t , Gs (s) : fonction de t ransfer t entre la sortie du calcu-

lateur et le signal sa turant , i(t) : sortie d6sir6e du systgme, q(t) : sortie du syst~me, y(t) : diff6rence entre la sortie d6sir6e i(t) et la

sortie r6elle q(t). Nots : G(s) et G, (s) ont tous leurs p61es et z6ros

dans la partie gauche du plan des c( s ~). La probabilit6 de saturat ion 6tant maintenue

un t aux faible, le systbme se comportera presque tout le temps comme un systbme lin6aire.

P. L. THELLIER [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATIONS

Hypoth&e.

La p6riode d'6ehantillonnage a 6t6 choisie de telle sorte que ~ / T soit sup6rieur h la fr6quence de coupure des spectres de s(t) et n(t).

Cette restriction fera l 'objet d 'un prochain article. Elle peut s 'expliquer grossi~rement "h l 'aide du th6or~me de Shannon [5]. Supposons que la signal s(t) ait une fr6quence de coupure inf6rieure h ~ ]T (cette condition est toujours r6alis6e), que le bruit soit blanc entre 0 et 50 radians et que T = I.

Le spectre de s* (t) sera entre - - ~ et ~- ~ iden- tique h celui de s(t). Quant h celui de n* (t) du fait du recouvrement des spectres (th6or~me de Shan- non), il aura un niveau 6gal h 25 lois celui de n(t). Pour peu que le rapport signal sur brui t soit de l 'ordre de 2 h basse fr6quence, apr~s 6chantillonnage, il sera de l 'ordre de 0,1. Le signal sera noy6 dans le bruit .

6. B E L A T I O N E N T R E LA V A L E U t t EFFII~AI~E

E T LA P t t O B A B I L I T ] ~ D E S A T U B A T I O N D ' U N S I G N A L .

La description d 'un 616ment sa turant a 6t6 illus- tr6e par les figures I e t 2. Nous avons suppos6 que nous pouvions agir sur la probabilit6 de saturat ion en l imi tant la valeur efficace du signal sa turant . Voyons la question de plus pr~s.

6-1. Montrons qu 'un signal al6atoire stationnaire

I I I ~

Fro. t0. ~ Sch6ma s6rie 6quivalent ~ l'asservissement de la figure 9.

Nous pouvons donc remplacer le sch6ma de l 'asservissement par le sch6ma s6rie 6quivalent d6duit de la th6orie des syst6mes lin6aires 6chantil- lonn6s.

Q* (~, m ) / s * (~) = D* (~) C* (~, m) / ( l + I)* (~) CI' (-~)).

Formule dans laquelle G 1 (s) = t t o (s) • G(,~). Nous voyons dans ees conditions que le sch6ma

s6rie suivant (fig. 10) est 6quivalent au syst6me inilial.

D* (=) = D* (=)/(1 + D* (~) c . , (=)).

Une fois D* (z) connu on a ais6ment D* (z). Arriv6s h ce point, nous devons faire une hypo-

th~se d'ailleurs peu restrictive.

%(s) ~ ( t )

ergodique h distr ibution d 'ampli tude gaussienne, t raversant un compensateur arithm6tique, conserve ses propri6t6s de distr ibution d 'ampli tude gaus- sienne. (Voir fig. i t . )

, - - 1 "~ I ~-

Fro. 11. - - Transformation d'un signal v(t) dans un compensateur arilhm6tique.

Nous avons montr6 (w 4) que la s6quence v(nT) poss~de les m~mes propri6t6s statlstlques que v(t).

Nous pouvons 6crire : V* (z) = % + v(T) z -1 + v(2T) z -2 +

. . . + v(nT) z - n + . . . ,

D* (z) = d o + d(T) z -1 + d(2T) z - z + . . . + d(nT) z -~, + . . . .

190

Page 7: Compensation d'un asservissenent sujet a saturation a l'aide d'un compensateur arithmétique

t. 15, n ~ 7-8, 1960]

Le th6or~me de la convolution r6elle appliqu6 aux syst~mes 6chantillonn~s donne :

,v (~r) = ~: v(;,r).~l(,~-- ;,) 7: ~o~0

Les d(nT) 6tant des constantes, nous voyons que la s6quence w(nT) a l e s m8mes propri~t6s statisti- ques que v(nT) et par cons6quent que v(t). I1 en e s t de rn~me de w 1 (t), signal de sortie du circuit bloqueur.

Par cons6quent, le signal saturant , "~ la sortie du compensateur arithm6tique, est un signal al6atoire h distribution d 'ampli tude gaussienne.

6-2. ~tablissons la relation qui exisle entre la probabilit6 de salural ion et la valeur etlqcace du signal sat urant.

Soit r(t) le signal d'entr6e d 'un 616ment saturant . La distribution d 'ampli tude est gaussienne.

P, (x) = e- ("-~) ' t2~

,..;.',: va,:ia,~,.e ,,~ .,:= f 2":"(:;_ >)~- pr (.,,) ,l.,..

La variance se relic directement "~ la valeur effi- eaee et h la valeur moyenne. En effet :

~2 :: ( z - ~)2_: z " - (~)2. Dans la plupart des eas ~ = 0 et par cons6quent :

Revenons aux figures I e t 2. La probabilit6 de t rouver le signal sa turan t en dehors de la zone

P= XO -1

XO -2

10-3

10-4 40"

\

COMPENSATION D 'UN AVEBTISSEMENT 7/12

~st]a. Par exemple si ast = 10 et si l 'on veut limiter la probabilit6 de saturat ion h 5 ~ , il faudra limiter la valeur effieaee du signal sa turant h ~ = 5.

FIG. 1 2 . - Probat)ilit6 de s a tu r a t i on de l'616mcnt s a t u r a n t en fonction du r appo r t de la la rgeur de la zone de foncl ion- neme ,d lin6aire %t '~ la va leur effieaee du signal s a t u r a n t r

P~ est par d6finition la probabilit6 de s , tu ra t ion de l'616ment saturant .

La figure 12 repr6sente P, en fonction du rapport

7 . S O L U T I O N M A T H ~ , M A T I Q U E

D U P R O B L ~ , M E .

Le probl~me eonsiste a minimiser la valeur effl-

cace de l 'erreur Cy-2(t) en astreignant la valeur eni-

cace du signal sa turant r h demeurer inf6- rieure h une certaine valeur :

q~ It) -<. ~ .

lin6aire limit6e h :~ (~ sit est :

�9 l / ' % , l a e-=~l 2~ d~x. Ps= l - - ~ J_%da

f(t)

t

Fro. 13. - - Fonc t ion de t e m p s d6finie pou r lou t t.

Pour r6soudre ce probl~me, nous emploierons simultangment le calcul des variations et un multipli- cateur de Lagrange.

Introduisons la fonction :

F =y'~ (t) + pq,~ (t),

p 6tant le mult ipl icateur de Lagrange. Nous avons :

y(t) = i(t) -- q(t),

d'ofi :

y2 (t) = i 2 (t) - - 2 i(t).q(t) + q2 (t);

i 2 (t) s 'exprime en fonction de la fonction d 'auto- corr61ation q0u (z) :

i 2 (t) = q0u (0).

Posons v(t) = s(t) -t- n(t) et soit w* (t) la sortie de D* (=).

Nous pouvons 6crire en vertu du th6or~me de convolution

/ : q(t) = w* (t -- t2) gl (t2) dt2,

n l a i s

Ce qui entralne pour q2 (t) :

q2 (t) =

v* ( t - t l q) g~ (q ) ( l t 2 • d* (t,) at,. ~

I/2 / 7 ] d*(t~)dt3 ~ v * ( t - - t a - t 4 ) gx(t4)dt4 "

- - [ 9 t

Page 8: Compensation d'un asservissenent sujet a saturation a l'aide d'un compensateur arithmétique

8/12

Enf in , nous avons l ' exprcss ion q2 (t) en p r e n a n t la m o y e n n e dans le t e m p s de q~ (t).

"q2 (t) =

/7 /_7 /____i ~176 gl (t4) dta• q~v*v* ( t l - t 2 - - t3 t4) .

I1 nous res te m a i n t e n a n t h calculer i(t) X q(t). Soit :

" t f ' + * 0 lm ~ ] i(t).q(t) dt =

T,--->-oo ~ 10 .J' -- T,

/ S fY d* (q) dr1 gl (t~) 9v*i (q + t~) dt 2. - - OO

Ce qui nous donne en d6fini t ive pour l ' express ion

d e F :

f_= f_Y F = q~n (0) - - 2 _ d* (q) dr, g l (ta) dt,

~pv,l (t~ + t2) + f _ i ~ 1 7 6 (tJ dtt j~+~176 (t2) dt2

/ Y / Y oo ds(ta) dta oo g~(t4) dt~v*v*(q+tg---ta--t4)

/_Y /_Y #_s + p - ds (tl) dr1 _ gls (t 2) d t 2 d~ (t3) dt 3

g~, (t) se d6finit eomme L - I [ H o ( s ) .G , (s)]. Posons :

as* (t) = d,*~ (t) + Xd,*~ ( t ) ,

d ~ (t) = va leur de d* (t) r e n d a n t F s ta t ionna i re , tt dsx (t) - - va r i a t i on de d , (t).

Nous ob t i end rons d * (t) en 6cr ivant que la d6ri- v6e de F pa r r a p p o r t h k est nulle pour 1 = 0 :

X 0

__ (1:3, (,1) d tl [ ~ i o o d rra +00 at2

/ i ~ 1 ( t 4 ) a t 4 - ] - O / i ~ 1 7 6 1 7 6 1 7 6

q0v*v" (t 1 + t 2 - - t3 - - ta)--

/ y gl (t2) q0v*i (t 1 + t2) O.

In t rodu i sons m a i n t e n a n t le fai t que cer ta ines fonc- t ions sont 6ehant i l lonn6es :

+oo ds~x (t) = Y~ dsx (h.T) ~T (t -- kT). *

k-- --oo

P a r cons6quen t :

fy f d~' x (t).dt = E d,x (kT) ,3T (t-- kT).dt,

+oo

�9 ~T (t) impulsions de Dirac. L'indice T a 6t6 introduit pour 6viter toute confusion avec la fonction ~ (t) d6fi- nie plus loin.

P. L. THELLIER [ANNALES DES TI%IUI%COMMUNICATION

De la m4mc mani6re :

f_S _7 _ d*s,~(t)'dt=~Eoodsm(kT)"

L 'exp re s s ion de %*v* ('r) en fonc t ion de q0v, ('r) est imm6dia te . Comme nous l ' avons vu p a r a g r a p h e 4 :

t +oo 9,'," (v) = "~ E 9v, (kT) ~r (v-- kT).

k=--oO

En ce qui conce rne l ' express ion de %.~ (v) elle est plus diff ici lement accessible. Nous ve r rons h la fin de cet expos6 c o m m e n t dans cer ta ins cas qui consti- t u e n t la ma jo r i t6 des probl6mes p ra t iques , on peut la r a t t a c h e r h ~ l ~r).

~0v*i (T) = lira l f + r , +oo "-~ YG J-T. ,~-~-oo v (kr) ~T (t -- kT) •

i(t + v) at, = I m 1 +,v

~ - ~ (2w + I)T ~-~-~ v(=V), i(~r + z).

~ F [ : 0 Dans ces condi t ions l ' 6qua t ion ~ ), : 0

dev ien t :

+oo r oo (ly Z d,). (k 1 T) d$ia (If3 T) ga (t2) dt2 x

kl---oo Lks--oo . oo

~1(t4) dr4 ~ - P ~ 3 g l s ( t 2 ) d t 2 f _ 3 g l s ( t 4 ) d t 4 t

q0v*v* (k a V + t 2 - - k 3 T -- t4) - -

/ y a4 gl (t2) q0~*i (k I T + t2) = 0.

E n effet pou r t o u t e va leu r de t ,51= k 1 T(k 1 ent ier) , elle es t i d e n t i q u e m e n t v6rifi6e du fai t de la null i t6 de d ~ (t) e t pou r t a :fi k a T l e p remie r t e r m e en t re c rochet est nul du fair de la null i t6 de d * (t).

Posons :

[g ( t ) =f+cc~

1~(8) = (IDv* i (8). G~ (-- s). I V f+oo r-,-~

"a(t) = L J _ _ o O gl (t2) at2" . 1 _ r 1 6 2 gl (t4) dt4) ~- 1"+~176 P + ~ 7

PJ-oo gl. (t~)(It 2 J-oo gl* (t,)dt4J ~Ov*v* (t J- t 2 - - t4) ,

LA(~) [G~ (s).G~ (--s) + f)Gr,(s)G~(--.,)]dP~,((3's)

Dans ces condi t ions , no t re 6qua t ion se t r an s fo rme

e n :

+oo Z dsx (k~ T)

k t -- --oo

t t , - -~ (b. (k3 T)a(k~ 7" -- k3 7') - - y(k~ T] = 0.

dsx (k I T) d e v a n t 4tre p h y s i q u e m e n t r6alisable, n ' ex i s t e que pou r k l / > 0. I1 est nul pour kl < 0. Donc l ' 6qua t ion ci-dessus est 6quiva len te h la sui- van t e :

+oo E d~,~ (k3 T) ~(k~ -- kz) T -- y(h,, T) = 0 k~/> 0.

/r = --OO

- - i 9 2

Page 9: Compensation d'un asservissenent sujet a saturation a l'aide d'un compensateur arithmétique

t.15, n ~ 7-8. 1960]

Nous donnons iei la solution de cette 6quation dont la d6monstrat ion sc trouve en Appendice IL

- r * (~) -i ~ d +

�9 D % (z) - h +* (z)

[P* ( z ) /k -* (z)]+ = partie de F* ( z ) l A - * ( z ) ayant tous ses p61cs h l ' int6rieur du cercle unit6 et telle que F* (z) /A-* (z) - - [F* (z) /A-* (z)]+ ait tous ses p61es h l 'ext6rieur du cercle unit&

A +* (z) = partie de A* (z) ayan t tous ses p61es et z6ros 'a l ' int6rieur du cercle unit6 et tclle que :

A-* (~) = 1" (~)IA+* (=)

ait tous ses p61es et z@os 'a l 'ext6rieur du cercle unit&

P* (4 = z [ o , , ~ (.). o , ( - s)], A $ (z) Ov$v (z) Z [C 1 (8) O 1 ( - - 8) @ ~9r (8) (~is (--- 8)].

Dans ee eas la transformde en Z e s t entendue au sens transform6e en Z des deux eSt6s (voir appen- dice I).

Une lois l'expression de D ~ (z) ddtermin6e, il nous reste h ealeuler p en imposant h la valeur eltlcace de qs (t) de rester inf6rieure h ~.

La densit6 spectra|e de q, (t) a pour expression :

O~. (~,) : 0% (e.r) x D.%(e.r) x D,*~ (e -*T) .l[ 0 (s) G~ (s).Ilo (-- s) G, (--s).

Cc qui nous permet d 'obtenir la valeur etlleace de qs(t) par la formule c lass ique:

"~ (~)~ V,, (,,) '1 f + o o = -- O.q (j~,)d~v.

' '-'~c j -oo

En transposant le ehemin d'int6gration dans le domaine Z par la formule de Sklansky [I~].

~,~ (~) : ~, o * , (~) D * (,9 x

cercle D* (z - ~ ) Z [GlS (s) Gls ( - - s)]dqz. unit6

On d6terminera p par approximations sueces- sires atln de satisfaire h la condition q~ (t) ~< ~z.

La connaiss'mce dc p d6termine enti~rement D ~ (~).

t:lemarque J.

Dans de nombreux cas, le bruit et le signal d'entr6e ne sont pas eorrgl6s. Quant au signal de sortie d6sir6e i(t), ce n'est rien d 'autre que le signal s(t) pass6 h travers un filtre H(s), r6alisant ]'op6ra- t ion d&ir6e : d6rivation, int6gration, prediction, etc. H(s) n '6tant pas forc6ment r6alisable.

Dans ces condi t ions :

~,*l (v) lira Z f +r ' = v* (t) • i(t + "~) dr, T,--->oo = 0 -1' --T~

lira (nT) 8~, (t - nT) dt T,-->oo J --To n - - - - ~

COMPENSATION D'UI~I AVEaTISSEMENT 9/12

Permutons les signes Z et.[

f__+oo (2.N +1 1) T-_iv %.i (r = h(h) . lh,, 2 i v s (nT) • iv---~r s(nT + "~ -- tl).dtl,

_ l_ / -+oo - 7" j _ ~ h(h) ~"" (,c - h) dh.

Passons dans le domaine s.

t �9 r -- 7 I f ( 8 . O , (~.).

Flemarque 2.

I1 peut ~.tre commode dans l '6valuation des expres-

sions A* (z) q~ (t) d'utiliser la formule de Mori [6].

Z [ G ( , ) . G ( - - , ) ] ~ j ~ - ~' t ~ * (ejwT, , , ) 1'~,

Z 1 .

1 G* (=, m)z=a~r 12 = I G* (z, m ) , = ~ m t = d,n.

En effet, la df te rmina t ion de G* (z, m) est ais6e puisque des tables (5) fournissent les transform6es en Z, m, des fonetions usuelles. On a faeilcment :

I G* (z, m)=-,i~m 12

en 6crivant :

I G* (z, m)~=,i~r ! ~ = G* (=, m) • G* (=-x, m) I~-,~T.

Quant/~ l 'int6grale, elle ne pr6sente aucune ditll- cult6, m n 'exis tant qu 'au num6rateur.

De ee fait :

[ ~* (=) = Tr (1 ~* (., ,,,1" + p I G. (~, m) I"), T

~oro, o..~ iC . (~, m)l" aqz.

8. GONCLUSION.

Au cours de cet exposi, nous avons pass& en revue les diff6rents points de vue que l'on pouvait adopter en face d 'un problOne de compensation d'asservissement comportant des saturations.

Nous avons adopt6 l 'un d'entre eux : optimisation du syst6me au sens de Wiener, tout en main tenant la probabilit6 de saturat ion au-dessous d 'un certain niveau. I1 ne faut pas se leurrer sur l 'universalit6 de cette m6thode ; dans certaines circonstanees, une autre peut ~tre meilleure. En tout cas, eelle-ci a l 'avantage de conduire h une solution math6ma- tique simple.

Apr~s un bref rappel sur les compensateurs arith- m6tiques et les fonctions d'autocorr61ation des sys- t6mes 6chanti]lonn6s, nous avons appliqu6 cette m6thode d 'opt imisat ion en presence d'une contrainte aux compensateurs ari thm~tiques.

Les di~cul t6s d'ordre th6orique ont pu 6tre vain- cues grace h la t ransformat ion en Z. Malgr6 cela, il ne faut passe cachet les diffieult6s qui demeurent : l '6valuation des fonctions de corr61ation dans le

i 9 3

Page 10: Compensation d'un asservissenent sujet a saturation a l'aide d'un compensateur arithmétique

10/~2 domaine Z peut pr6senter de s6rieuses dittlcult6s de calcul ; de m~me la d6composit ion des expressions en parties ayant pbles et z~ros h l ' int6rieur et l 'ext6rieur du cercle unit& Aune 6poque off le calcu- lateur ari thm~tique devient un ins t rument de plus en plus r~pandu dans le domaine de ]a recherche scientifique, ces difficult& ne peuvent &re consi- d6r6es comme r6dhibitoires.

De route fagon, cet te m&hode, qui nous a donn6 d'excellents r6sultats dans la pratique, semble gtre une des plus puissantes dont nous disposons, jusqu 'h ce jour, dans la syn th&e des asservissements. Ceci est dfi au fait qu'elle repose sur une grande id6e philosophique : la th6orie de l ' information de Nor- bert Wiener.

A P P E N D I C E [

P . L . T H E L L I E R [ANNALES DES Ti~L~COMMUNICATIONs

Nous en d~duisons :

+ c o ~; f ( - nT) ~- = G* (~-~).

n = 0

D'ofl l 'expression de la transform6c en Z des deux c6t6s de F(s)

�9 l:* (~) = G* (~-~) + G* (~) - - f(o),

f(o) s 'obt ient ais6ment en prenant :

f(o) = 1i,,, . s . % (s). s-->oo

A P P E N D I C E I I

S O L U T I O N D E L ' ~ . Q U A T I O N DE W I E N E R - H O P F

D A N S LE D O M A I N E Z

T R A N S F O R M A T I O N E N Z D E S D E U X COTi~.S

Soit une fonction f(t) d6tinie pour tout t et ayant une transform6e de Laplace F(s)

F'(s) = / L c o f(t) e -*t dt,

f0 +oo F>.) = f _ o f(') 0- , , d, + r(,) e - , , d,,

= / 4 - C O +oo f(-- t) e - s t dt + f(t) e - s t dr.

Posons :

G 1 (s) = f.!0 +oo f(-- t) e - ' t dr,

f+co G~ (s) = f(t) e - , t dr,

F (s) = G 1 (-- S) + G z (s).

G 1 ( - - s) et a~ (s) s 'obtiem, ent h part ir de F(s) en d6composant cette derni~re en 6]~ments ayant leurs p61es dans la partie droite et dans la partie gauche du plan de s.

Par d6finition, In transform6e en Z des deux cbt6s est :

+o<3 F*(z) = Z f(kT) z-k,

k ~ - - o o

0 4-00

F* (z) = ~--~co f(kT) ~ -F k-o ~ f(kT) z--k -- f(o).

Or nous avons :

+ o o Y~ f(kT) z--k = Z[G 2 (s)] = G* (z).

k--O

Mais d 'aut rc part ,

0 + o o Z f(kT) =-~ = z f ( - ~T) =*.

k-- - -00 'n.--O

Soit

G* (~) = Z[G1 (,)].

Nous d6sirons rfsoudre l '6quation :

-boo Z d(k aT) 8(k i - k a ) 7 ' - - y(kt T ) = 0 pourk 1>7. 0.

ka = - -oo

Cette 6quation ressemhle h ] '6quation de Wiener- t{opf [14]. Par consfquent , nous adopterons une m6thode analogue pour la r6soudre.

Nous poscrons :

+ c o Z ~- ( , ,T ) .8+ (/,.--,,,) T = 8(/,T),

8 + ( l e T ) = 0 p o u r k < 0 ,

8 - (kT) = O p o u r k > 0 ,

8(kT), de par le probl6n,c, est pair.

De m&ne, posons :

+ c o Z 8- (mT)c(k-- m) T = y(kg).

Notre 6quation se t ransforme en :

+co F +Zoo Z 8 - (,,~T) ~ d(/c~ T)

~a = - - c x : ) L ~ = - c o

( / q - -k a - m ) T - c ( k 1 - , n ) T J = 0 pourk 1 ~ 0 . A+

Puisque 8- (roT) est diff6rent de z6ro t)our m < 0, le crochet dolt 8tre 6gal h z6ro pour k I > /0 , m ~ O.

oo 2 d(k aT) 8 + (k 1 - k a - m ) T - c ( k l - r e ) T = 0

k I = ~ O O

p O U l ?

kl>/O, m~<O.

P o s o n s n = k 1 - m / > O .

+ c o d(ka T) 8+ (n -- kz) T = c(nT) pour n > 0.

k s = - -oo

Le premier membre est nu] pour n < 0 en raison du caract6re de 8+ (kT) . Posons done :

c(nT) = c+ (nT) + c_ (nT),

e + ( n T ) = 0 p o u r n < 0 ,

c - (nT) = O p o u r n > 0 .

i 9 4

Page 11: Compensation d'un asservissenent sujet a saturation a l'aide d'un compensateur arithmétique

t. 15, n ~ 7-8, 1960]

Nous pourrons done 6crire maintenant pour toute valeur de n

+co Z d(k~ T) ~+ ( n - ks) T = c+ (nT).

Puisque 8 + (kT') n'existe que pour k > 0 nous aVOnS .

k,Z=o d(k3 T) 8 + (n - k3) T = e+ (nT).

Cette 6quation se rdsout aisdment dans ]e dolnaine Z.

D*(~).~+*(4 = (:~ (4.

11 nous faut repasser maintenant aux expressions initiales 8(kT) et 7(kT).

D'apr6s la d6finition de 8- (kT) et 8 + (kT), nous avons en passant dans le donmine Z :

A-* (~) x A+* (=) = A*(~).

8 ~- (kT) n'existe que pour l~'~ 0 dora" A+* (z) a tous sew p6les h l ' int6rieur du eerele unit& A+* (z) in tervenant au d6nominateur de D* (z) dolt avoir tous ses z6ros "a l ' int6rieur du eerele unit& Done A+* (z) est la partie de A* (z) ayant tous ses p61es et z6ros h l ' int6rieur du eerele unit6 et telle que :

A-* (~) = A* (:)1 A+* (=).

De mOne appliquons la t ransformation en Z h l 'expression dormant ,((kT).

~X-* (4 x (:* (~) F* (4,

c* (~) = r * (=)llX-* (=).

D'autrc part :

(:* (:)- ~ ~(,,T) :-,,.

Done :

+ O O

C* (z ) - Y, e(nT) . . . . ~ + ~ .

n=0

Par eons6quent :

C* (z) = iF* (4/A-* (z)J+,

[ F* (z)/A - * (z)l + = pai'tie de F* (z ) /a - * (~) ayant tous ses p61es h l 'int 6rieur du cercle unit6 ct telle que F* (z) lA-.* ( z ) - - - [ r * (z)IAL * (z)j+ air tot, s ses p61es "a l 'ext6rieur du eerele unit&

Ceei conduit pour D* (z) h l 'expression :

D* (~) = i v * ( ~ ) / A - * (~)I + ] a + * ( 4

Solution de l '6quation initiale.

COMPENSATION D~UN AVEHTISSEMENT 11/12

B IBLIOGllAPHIE

[1] CHAr~C (S. S. L.). Statistical design tl,.eory for digi- tal controlled continuous systems. (Etude sta- tistiquc des syst6mes continus h conunande ,tu- m6rique.) A. I. E. E. Transactions, vol. 77, pt II, (1958), pp.

[2] I"nANKLIN (G. F.). Linear fihering of sampled data. (Le filtrage lindaire des signaux 6chantillonn6s.) I. R. E. Convention Record, Part. 4, (1955), pp. tt9-t28.

[3] GILLE (J. C.), PELEGIIIN (M.), DECAULNE (P.). Th6orie et technique des asservisscnmnts. Dunod, Paris (1956).

[4] JOHNSON (G. W.). Statistical analysis of sampled- data systems. (Analyse statistique des sys- t6mes 6eha ntillon n 6s.) I. R. E. Wescon Convention Record, (1957), Parl. 4, pi t. 87-195.

[5] Ju .~ (E. l.). Sampled data control systen,s. (Sys- t6mes de commande 'h informations discrO, es.) John Wiley and Sons, Inc. Publishers. New-York.

[6] Morn (M.). Statistical treatment of sampleddata control systems for actual random inputs. Etude statistique des sysl~mcs de commandc i, infof mations 6chantilhmn6cs pour signaux d'entr6e al6aloires.) A. S. M. E. Transactions vol. 80, (1958), pp. 444-456.

[7] N~WTON (G. C.), GouLn (1~. A.), KAISER (J. 1;.). Analytical design of linear feedback eonlrols. (Etude analytique des asservissements lindaircs.) John Wiley and Sons, Inc. Publishers. New York, ( ).

[Sj NEWTON (G. (~. Jr.). Compcnsati(m of feedback control systems subject to saturation. (La com- pensation des asservissements sujets h satura- tion.) J. Franklin Inst.(1952), pp. 254, 281, 286, 391, 413.

L91 NASLIN (P.). Les syst6mcs asservis, g'ditions de la Recue d'Optiquc, l'aris (195~l).

[10] I/AGAZZ, Nt (J. l / . ) , FRANKLIN (G. F.). Saml,led data eonlrol syslems. (SystSmes de cmmnande '~ donn6es 6chanlillonn6cs.) McGraw Hill Book Company, Inc. (t958), p.

[llj SKL*r~SKY (.1.). On closed-form expressions for mean squares in discrete - continuous systems. (Des expressions explicites des nmycnncs qua- dratiqucs dans les syst6mes continu-discret.) 1. R. E. Transactions on Automatic Control, P. G. A. C. (4 mars 1958), p. 21.

[12j Tou (J. T.). Digital and sampled-data control sys- tems. (Syst6mes de commande h informations numdriqucs et 6chantillonn6es.) McGra,, Hill Book Cmnpany, Inc. (~959), p.

[ i 3 j T,IUXAL (J. G.). Aulomatic feedback cmm'ol sys- tem synthesis. (Synth6se des asservissements) McGraw Hill Book Company Inc.

[14] Wlr:~nn (N.). The extrapolation, interpolat!on and smoolhing of stationnary time series. (Extrapolation, inlerpolation et lissage des s6ries stationnaires dans lc temps.) John Wileyand Sons, N.Y.

195