COMPORTEMENT DE STRUCTURES EN PORTIQUES … · Les images instantanées des portiques endommagés ont révélé que, en aucun cas, il pouvait y avoir une rupture totale, cependant

Président :

Rapporteur :

Examinateur :

Examinateur :

H. CHABIL

M L. SAMAI

A. TEKKOUK

K. DEMAGH

Professeur

Professeur

M.C

M.C

Université Mentouri, Constantine



Université Hadj Lakhder, Batna

Mai 2009

République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de L'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientif ique


Faculté des Sciences de L'Ingénieur Département de Génie Civil

№ d’ordre : …….. № de série : …….

Thèse Présentée pour l’Obtention du Diplôme de Magister

en Génie Civil

Option : "Le Béton Structurel Armé et Précontraint"

Par

Bader RACHED

Thème

COMPORTEMENT DE STRUCTURES EN PORTI QUES APRÈS LA RUPTURE D’UN POTEAU DE BASE

Membres du Jury de Soutenance :

i

REMERCI EMENTS

Je remercie ALLAH le tout puissant qui m’a guidé et qui m’a donné la force et la

volonté de réaliser ce travail.

Je remercie tout d’abord le Professeur SAMA I M.L de m’avoir proposé ce sujet de

thèse, de l’attention qu’il a portée à mon travail et des moments précieux de discussion qu’i l

m’a réservés. Je le remercie infiniment pour sa confiance, ses précieux conseils, sa

disponibilit é et sa courtoisie.

Je voudrais exprimer toute ma reconnaissance à Monsieur CHABIL.H, Professeur au

Département de Génie Civil à l’université Mentouri de Constantine, pour l’honneur qu’ il me

fait en acceptant de présider le jury de cette thèse.

Je tiens également à remercier les membres de jury de soutenance, docteur

TEKKOUK.A, Maître de Conférences au Département de Génie Civil à l’université Mentouri

de Constantine, et docteur DEMAGH.K, Maître de Conférences au Département de Génie

Civil à l’ université de Batna, d’avoir accepté d’examiner la présente thèse.

Mes remerciements et ma reconnaissance sont adressés envers mes collègues pour un

temps précieux passé ensemble. Mes plus vifs remerciements vont également à tous mes amis

avec qui j’ai partagé des moments inoubliables pendant mes études.

Enfin, toute ma gratitude, ma reconnaissance et mes très vifs remerciements à tous

ceux qui ont contribué de prés ou de loin et en particulier l'ensemble des enseignants du

département de génie civil de Constantine, à ma formation d'études de la graduation et de la

post graduation.

ii

DÉDICACE

Je dédie le présent travail

A mes très chers parents

A la mémoire de ma sœur Soumia

A mes sœurs et frères

A l’ensemble de ma famill e

ii i

RÉSUMÉ

Le thème de recherche a trait à l’obtention de l’i mage instantanée d’une structure multi-

étagée multi-travée après la rupture accidentelle d’un poteau de base. Cette image instantanée

est, en fait, représentée par le diagramme des moments fléchissants juste après la rupture

accidentelle. L’obtention de ce diagramme des moments fléchissants n’est pas une chose aisée,

elle nécessite l’utili sation incontournable des concepts de l’analyse plastique des structures et

une série de rétro-analyses. En effet le diagramme des moments fléchissants de n’importe

quelle structure dépend de la nature du chargement et des conditions d’appuis avec la

supposition que la réponse est élastique partout à travers la structure. En réalité, après

l’endommagement d’un poteau, ce diagramme des moments fléchissants va faire ressortir

inéluctablement des sections ou zones entières où les moments sont supérieurs aux moments

plastiques respectifs. Ceci étant juste d’un point de vue mathématique mais impossible d’un

point de vue physique.

Un portique de base à trois niveaux et trois travées a été retenu afin d’étudier le cas de

la rupture d’un poteau central et d’un poteau de rive. Les résultats obtenus après la série de

rétro-analyses ont été encourageants. Par ail leurs, deux autres portiques l’ un avec un niveau en

plus et l’autre avec une travée supplémentaire ont été analysés. L’étude dans un premier lieu a

concerné la détermination des vrais mécanismes de ruine pour les trois portiques retenus en

utili sant la méthode « pushover ». Ces mêmes portiques ont été réanalysés après la rupture d’un

poteau central et un poteau de rive en utili sant la même méthode et avec une série de

rétro-analyses jusqu'à l’obtention de l’image instantanée après la rupture. L’étude a été aussi

concerne l’étude des effets de quelques paramètres influents tels que la variation du rapport

α = V/H, la variation du rapport géométrico-mécanique l/Mpb, la forme en élévation du

portique, la position du poteau endommagé.

Les résultats obtenus ont été présentés sous forme graphique par la construction de

diagrammes d’interaction alors que ces derniers ne sont préconisés dans la li ttérature que pour

des portiques simples « single bay – single storey ».

Les images instantanées des portiques endommagés ont révélé que, en aucun cas, il

pouvait y avoir une rupture totale, cependant des ruptures partielles (mécanismes élémentaires)

ont été observées avec quelques désordres localisés.

Mots clés : comportement, structure, image instantanée, poteau de base, rétro-analyse, moment

fléchissant, moment plastique, rotule plastique, mécanisme.

iv

ABSTRACT

The research theme has reference to obtaining of the instantaneous image of a multi-bays

multi-storeys structure after the accidental damage of a lower column. This instantaneous

image, in fact, is represented by the bending moments diagram just after the accidental

collapse. Obtaining of this bending moments diagram is not an easy matter to achieve; it

requires the use of the concepts of the plastic analysis of the structures that cannot be ignored

and a series of retro-analyses. Indeed the bending moment diagram of any structure depends to

the nature of the loading and the conditions of supports with the assumption that the behaviour

is elastic everywhere through the structure. Actually, after the damage of a column, this

diagram of the bending moments wil l emphasize ineluctably sections or whole zones where the

moments are higher than the respective plastic moments. This is being right for a mathematical

point of view but impossible for a physical point of view.

Three storeys-three bays basic frame was selected in order to study the case of the damage

of a central column and an edge column. The results obtained after the series of retro-analyses

were encouraging. In addition, two other frames one with a storey in more and the other with

an additional bay were analyzed. The study in a first time related to the determination of truths

collapse mechanisms for the three frames retained by using the method “pushover” . These

same frames were reanalyzes after the damage of a central column and an edge column by

using the same method and with a series of retro-analyses until obtaining the instantaneous

image after the damage. The study was also relates to the study of the effects of some

influential parameters such as the variation of the ratio α = V/H, the variation of the ratio

Geometrical-mechanic l/Mpb, the form of rise in the frame, the position of the damaged

column.

The results obtained were presented in graphic form by the construction of interaction

diagrams, whereas these diagrams are recommended in the literature only for simple frames

"single bay – single storey".

The instantaneous images of the damaged frames revealed that, to in no case, it could be

have a total collapse, however partial collapses (elementary mechanisms) were observed with

some localised disorders.

Key words: structure, instantaneous image, lower column, retro-analysis, bending moment,

plastic moment, plastic hinge, mechanism.

v

مـلـخــص

القناطر، و ذلك بعد ول على ا لصورة اآلنية ملنشأة متعددة املستويات و متعددة موضوع البحث يتعلق باحلص

ضرر فجائي لعمود سفلي. يف احلقيقة هذه ا لصورة اآلنية متثل بواسطة بيان عزوم االحنناء بعد الضرر الفجائي.

احلصول على هذا البيان ليس باألمر اهلني، و هذا ما يتطلب االستعمال احلصري ملبادئ التحليالت البالستكية

للمنشآت بواسطة سلسلة من التحليالت التراجعية.

يف الواقع بيان عزوم االحنناء بالنسبة ألي منشأة يتعلق أساسا بطبيعة احلموالت و بشروط اإلسناد ، مع فرضية

أن السلوك يبقى مرنا يف كل مقاطع املنشأة . يف احلقيقة، بعد الضرر الفجائي للعمود،بيان عزوم االحنناء احملصل

عليه سيظهر حتما مقاطع أو مناطق كاملة هلا عزوم أكرب من العزوم البالستكية املرفقة. هذا األمر صحيح من

الناحية الرياضية لكنه مستحيل من الناحية الفيزيائية.

اختيار هيكل أساسي يتكون من ثالث مستويات وثالثة قناطر مكن من دراسة املنشأة يف حالة ضرر عمود

سفلي مركزي أو عمود سفلي جانيب . النتائج احملصل عليها بعد سلسلة من التحليالت التراجعية كانت

مشجعة . إضافة إىل ذلك مت اختيار هيكلني آخرين األول بزيادة طابق واآلخر بزيادة قنطرة فقط للدراسة.

يف أول األمر الدراسة تتعلق بتحديد ميكانزمات االيار احلقيقية لكل هيكل من اهلياكل الثالثة املختارة و ذلك

» تعىن بتحديد ميكانزمات االيار احلقيقية. حيث أن هاته اهلياكل نفسها pushoverبواسطة طريقة تسمى «

درست بعد تضرر أحد أعمدا السفلية إذ كان مركزيا أو جانبيا و ذلك باستعمال نفس الطريقة مع سلسلة من

التحليالت التراجعية حىت احلصول على الصورة اآلنية. تعلقت الدراسة أيضا بدراسة آثار بعض العوامل املؤثرة

،الشكل اهلندسي للهيكل، موضع العمود lpM/ ، تغري النسبة امليكانيكوهندسية H /V =αمثل تغري النسبة

املتضرر.

النتائج احملصل عليها مثلت بإنشاء رسومات بيانية بالرغم من أن هذه األخرية معتمدة نظريا فقط بالنسبة

للهياكل البسيطة ذات مستوى واحد وقنطرة واحدة فقط .

الصور اآلنية للهياكل املتضررة أظهرت يف كل احلاالت أنه ال يوجد ايار كلي للهيكل بل هنالك ايارات

جزئية فقط ( ميكانزمات جزئية) لوحظت مع بعض األخطار املوضعية.

الكلمات املفتاحية : سلوك، منشأة، صورة آنية، عمود سفلي، التحليالت التراجعية، عزم االحنناء، عزم

بالستكي ، ميكانزم.

vi

TABLE DES MATI ÈRES REMERCIEMENTS....................................................................................................................i

DÉDICACE ............................................................................................................................................ii

RÉSUMÉ .................................................................................................................................ii i

ABSTRACT ...............................................................................................................................iv

مـلـخــص ...............................................................................................................................................v

TABLE DES MATIÈRES..........................................................................................................vi

LISTE DES NOTATION S ET ABREVIA TIONS......................................................................xi

LISTE DES FIGURES.............................................................................................................xiv

1 INTRODUCTION....................................................................................................................1

1-1 Intérêt du calcul plastique............................................................................................................1

1-2 Problématique...............................................................................................................................1

1-3 Objectifs de la recherche...............................................................................................................2

1-4 Structuration de la thèse................................................................................................................3

2- CHARGES DE RUINE ET MÉ CANISMES DE RUINE POUR DES ÉLÉMENTS DE

STRUCTURES ET DES PORTIQUES SIMPLES.......................................................................4

2-1 Introduction...................................................................................................................................4

2-2 Méthodes utilisées pour le calcul des charges de ruine pour des éléments structuraux ou structures simples........................................................................................................................4

2-2-1- introduction..........................................................................................................................4

2-2-2 Calcul de la charge de ruine en util isant le théorème des moments libre et de réactions......5

2-2-3 Calcul de la charge de ruine en utilisant le principe des travaux virtuels.............................6

2-3 Exemples d’application.................................................................................................................6

2-3-1 Poutre simplement appuyée...................................................................................................6

i)- Théorème des moments libre et de réactions..........................................................................6

ii )- Principe des travaux virtuels .................................................................................................7

2-3-2 Poutre encastrée à une extrémité et appuyée à l’ autre ou console retenue...........................7


ii )- Principe des travaux virtuels .................................................................................................8

2-2-3 Poutre doublement encastrée................................................................................................9

vii


ii )- Principe des travaux virtuels..............................................................................................10

2-3-4 Poutre continue soumise à un chargement concentré.........................................................11

i)- Théorème des moments libre et de réactions........................................................................11

ii )- Principe des travaux virtuels ...............................................................................................14

2-4 Théorèmes fondamentaux de l’ analyse plastique des structures................................................15

2-4-1 Introduction.........................................................................................................................15

2-4-2 Théorème de la limite inférieure.........................................................................................15

2-4-3 Théorème de la limite supérieure.......................................................................................15

2-4-4 Théorème de l’unicité.........................................................................................................16

2-5 Détermination des charges de ruine et mécanismes de ruine d’un portique simple..................16

2-5-1 Méthode « pas à pas » ...........................................................................................................16

2- 5-1-1 Introduction.........................................................................................................................16

2-5-1-2 Caractéristiques du portique.........................................................................................16

2-5-1-3 Traitement du portique................................................................................................17

2-5-2 Méthode cinématique .........................................................................................................20

2-5-2-1 Introduction..................................................................................................................20

2-5-2-2 Beam mechanism.........................................................................................................21

2-5-2-3 Sway mechanism..........................................................................................................22

2-5-2-4 Combined mechanism..................................................................................................23

2-5-2-5 Effets du rapport λV/λH...............................................................................................25

2-5-2-6 Construction des diagrammes d’interaction.................................................................27

2-6 Détermination des charges de ruine et mécanismes de ruine d’une structure multi-étagée multi-travée.........................................................................................................................................28

2-6-1 Introduction.........................................................................................................................28

2-6-2 Analyse limite....................................................................................................................28

2-6-3 Méthode « pas à pas ».........................................................................................................29

2-6-4 Méthode non linéaire « pushover » ...................................................................................30

2-6-4-1 Introduction..................................................................................................................30

2-6-4-2 Définition de l’ analyse « pushover »............................................................................30

2-7 Cas particulier d’un portique à un niveau et deux travées..........................................................31

vii i

2-7-1 Introduction.........................................................................................................................31

2-7-2 présentation du portique......................................................................................................31

2-7-3 Mécanismes De Ruine Pour La Première Combinaison....................................................32

2-7-4 Représentation graphique....................................................................................................34

2-7-5 Synthèse...............................................................................................................................34

3 MÉCANISME DE RUINE POUR DES STRUCTURES EN PORTI QUES...........................36

3-1 Introduction.................................................................................................................................36

3-2 Raisons du choix de la méthode retenue pour l’ étude................................................................36

3-3 choix du portique témoin de base P 3N 3T.................................................................................37

3-4 Caractéristiques mécaniques et géométriques des trois Portiques retenus................................37

3-4-1 Caractéristiques Du P 3N 3T (portique de base) .................................................................37

3-4-2 Caractéristiques Du P 3N 4T...............................................................................................39

3-4-3 Caractéristiques Du P 4N 3T...............................................................................................41

3-5 Mécanismes de ruine pour les trois portiques témoins...............................................................43

3-5-1 Introduction.........................................................................................................................43

3-5-2 Mécanismes De Ruine des trois Portiques Témoins............................................................43

3-5-2-1 Portique P 3N 3T (portique de base) ............................................................................43

i) Présentation Des Mécanismes...........................................................................................43

ii ) Principales Constatations.................................................................................................46

ii i) Synthèse..........................................................................................................................47

3-5-2-2 portique P 3N 4T..........................................................................................................48



ii i) Synthèse..........................................................................................................................52

3-5-2-3 Portique P 4N 3T..........................................................................................................53



ii i) Synthèse..........................................................................................................................58

3-6 Construction des diagrammes d’interaction................................................................................60

3-6-1 Introduction.........................................................................................................................60

3-6-2 Principes Généraux De Construction...................................................................................61

3-6-3 Représentation graphique.................................................................................................... 61

ix

3-6-3-1 Introduction..................................................................................................................61

3-6-3-2 Développement graphique............................................................................................62

3-6-3-3 Discussion des résultats................................................................................................62

3-6-4 Synthèse...............................................................................................................................66

4 ANALYSE DE STRUCTURES EN PORTIQUES ENDOMMA GÉES .................................. 68

4-1 Rétro-analyse pour des structures simples endommagées..........................................................68

4-1-1 Introduction.........................................................................................................................68

4-1-2 Processus d’obtention de l’image réelle après l’endommagement......................................68

4-1-3 Exemples d’application.......................................................................................................68

4-1-3-1 Poutre doublement encastrée endommagée.................................................................68

4-2 Analyse des trois portiques témoins endommagés en utili sant la méthode non linéaire « pushover »..............................................................................................................................74

4-2-1 Introduction.........................................................................................................................74

4-2-2 Endommagement d’un poteau central du P 3N 3T (portique de base)................................75

4-2-2-1 Image instantanée après l’endommagement.................................................................75

4-2-2-2 Principales constatations.............................................................................................. 78

4-2-2-3 Synthèse....................................................................................................................... 78

4-2-3 Endommagement d’un poteau de rive du P 3N 3T (portique de base)................................ 79

4-2-3-1 Image instantanée après l’endommagement................................................................. 79

4-2-3-2 Principales constatations.............................................................................................. 82

4-2-3-3 Synthèse.......................................................................................................................82

4-2-4 Endommagement d’un poteau central du P 3N 4T..............................................................83


4-2-4-2 Principales constatations..............................................................................................86

4-2-4-3 Synthèse.......................................................................................................................86

4-2-5 Endommagement d’un poteau de rive du P 3N 4T..............................................................87



4-2-5-3 Synthèse.......................................................................................................................90

4-2-6 Endommagement d’un poteau central du P 4N 3T..............................................................91


x


4-2-6-3 Synthèse.......................................................................................................................94

4-2-7 Endommagement d’un poteau de rive du P 4N 3T..............................................................95



4-2-7-3 Synthèse.......................................................................................................................98

5 CONCLUSIONS ET PERSPECTIV ES................................................................................103

5-1 Introduction...............................................................................................................................103

5-2 Mécanismes de ruine des portiques non endommagés.............................................................103

5-3 Analyse de portiques endommagés...........................................................................................104

5-4 Perspectives..............................................................................................................................106

A CALCUL DU MOMENT PLASTIQUE ..............................................................................107

A.1 Section en charpente métallique...............................................................................................107

A.1.1 Introduction.......................................................................................................................107

A.1.2 Exemples...........................................................................................................................110

a) Section rectangulaire...........................................................................................................110

b) Section en I type IPE ..........................................................................................................112

A.2 Section non usuelle en béton armé...........................................................................................115

A.2.1 Introduction.......................................................................................................................115

A.2.2 analyse de section non usuelle en utilisant l’Eurocode 2..................................................116

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHI QUES

xi

LISTE DES NOTATIONS ET ABREVI ATIONS

Ac(x) L'aire de la partie supérieure du béton comprimé, en fonction de x

As Section des armatures tendues

A's Section des armatures comprimées

a Petite portée de la poutre

a1 Epaisseur de l'âme du profilé IPE

b Grande portée de la poutre

b1 Largeur du profilé en charpente métallique

d La hauteur utile de la section en béton armé

d' L’enrobage des armatures comprimées

E Module de déformation longitudinale des armatures (Module d’Young)

Ec Module d'élasticité du béton

e Epaisseur de la semelle du profilé IPE

Fcc Force résultante de compression du béton

Fsc Force résultante de compression dans les armatures comprimées

Fst Force résultante de traction dans les armatures tendues

fck Résistance caractéristique à la compression du béton

fs Contrainte dans les armatures tendues

f's Contrainte dans les armatures comprimées

H Charge concentrée horizontale

Hc Charge horizontale de ruine

h Hauteur d’étage

h1 Hauteur totale de la section d'un profi lé en charpente métallique

I Moment d'inertie de la section totale

j Nombre de rotules mécaniques

k Facteur de forme

l Travée de la poutre

M Moment fléchissant

Me Moment fléchissant élastique

(Mmax )i Moment fléchissant maximum de l’étape i

(Mmax )ij Le jieme plus grand moment fléchissant de l’étape i

(Mmax r )ij Le jieme plus grand moment résultant de l’étape i

Mp Moment plastique de la section

xii

Mpb Moment plastique de la poutre

Mpc Moment plastique du poteau

m Nombre de mécanismes élémentaires de ruine

N Effort normal

n Nombre de rotules plastiques

P Charge concentrée

Pc Charge de ruine

p Nombre de sections critiques

r Nombre de redondance ou degré d’hyperstaticité

S Moment statique de la moitié de la section

T(x) Effort tranchant dans la section à une distance x

V Charge concentrée verticale

Vc Charge verticale de ruine

v Demi-hauteur du profi lé en charpente métallique

ve Demi-hauteur de la section élastique du profilé en charpente métallique

wpl Module plastique d’un profilé en charpente métallique

α Rapport entre la charge concentrée verticale et la charge concentrée horizontale

δ Déplacement virtuel

ε Déformation relative

εcc Déformation relative dans le béton

εcu Déformation relative maximale dans le béton

εsc Déformation relative dans les armatures comprimées

εst Déformation relative dans les armatures tendues

θ Rotation plastique

λ Facteur de charge

λ c Facteur de charge de ruine

λ i Facteur de charge de l’étape i

λ l Limite inférieure du facteur de charge

λ r Facteur redresseur du moment fléchissant

λ u Limite supérieure du facteur de charge

σy Contrainte limite d’écoulement d’un profilé en charpente métallique

φ Rotation plastique

χ Courbure de la déformée

χe Courbure élastique de la déformée

xiii

∆ Déplacement virtuel

B.A Béton armé

C.M Charpente métallique

DMF Diagramme des moments fléchissants

DMFF Diagramme des moments fléchissants finaux

DMFR Diagramme des moments redressés

E.L.S Etat limite de service

E.L.U Etat limite ultime

P nN mT Portique témoin à n niveaux et m travées

xiv

LISTE DES FIGURES Figure.2-2 : Poutre encastrée d’un coté, et simplement appuyée de l’autre............................................8

Figure.2-3 : Poutre encastrée à ses deux extrémités..............................................................................10

Figure.2-4 : Poutre continue sous charges ponctuelles.........................................................................12

Figure.2-5 : Mécanisme de ruine des travées extrêmes .......................................................................12

Figure.2-6 : Mécanisme de ruine pour la travée du milieu ...................................................................13

Figure 2-7 : Conditions du vrai mécanisme de ruine en fonction de λ..................................................15

Figure.2-8 : Portique simple à une travée et un niveau.........................................................................16

Figure.2-9 : Détermination du mécanisme de ruine d’un portique simple : méthode « pas à pas »......18

Figure.2-10 : Courbe facteur de charge en fonction du déplacement horizontal du portique simple....20

Figure.2-11 : Portique simple à une travée et un niveau.......................................................................20

Figure.2-12 : « Beam mechanism » ......................................................................................................21

Figure.2-13 : « Sway mechanism ».......................................................................................................22

Figure.2-14: « Combined mechanism »................................................................................................23

Figure.2-15 : Diagramme des moments fléchissants du portique simple au moment de la ruine.........24

Figure.2-16 : diagramme des moments fléchissants poutre B-D ..........................................................24

Figure.2-17 : Diagramme des moments fléchissants total du portique simple......................................25

Figure.2-18 : Relation entre la charge de ruine horizontale et le rapport α...........................................26

Figure.2-19 : Diagramme d’interaction du portique simple..................................................................27

Figure.2-21 : Les dif férents types de mécanisme de ruine en fonction de α .......................................33

Figure.2-22 : Diagramme d’interaction pour le système de coordonnées λV- λH ...............................34

Figure.3-1 : Présentation du P 3N 3T (portique de base)........................................................................38

Figure.3-2 : Présentation du P 3N 4T.....................................................................................................40

Figure.3-3 : Présentation du P 4N 3T.....................................................................................................42

Figure.3-4 : Différents types de mécanismes de ruine développés pour le P 3N 3T..............................45



Figure.3-7 : Diagramme d’interaction: cas du P 3N 3T (portique de base).........................................62

Figure.3-8 : Diagramme d’interaction : cas du P 3N 4T .......................................................................63

Figure.3-9 : Diagramme d’interaction : cas du P 4N 3T .......................................................................63

Figure.4-1 : Poutre doublement encastrée avant l’endommagement.....................................................69

Figure.4-3 : Portique simple à une travée et un niveau avant l’ endommagement..................................71

Figure.4-4 : Rétro-analyse pour le portique endommagé.......................................................................73

Figure.4-5 : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 3N 3T : cas de Mpb= 150 kN.m ...................................................................................................75

xv

Figure.4-6 : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 3N 3T :

cas de Mpb= 175 kN.m ...................................................................................................76 Figure.4-7 : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 3N 3T :

cas de Mpb= 200 kN.m ...................................................................................................77 Figure.4-8 : Image instantanée après l’endommagement du poteau de rive du P 3N 3T :

cas de Mpb= 150 kN.m ...................................................................................................79 Figure.4-9 : Image instantanée après l’endommagement du poteau de rive du P 3N 3T:


cas de Mpb= 200 kN.m ...................................................................................................81 Figure.4-11 : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 3N 4T:



cas de Mpb= 200 kN.m ...................................................................................................85 Figure.4-14 : Image instantanée après l’endommagement du poteau de rive du P 3N 4T:









cas de Mpb= 200 kN.m ...................................................................................................97 Figure.A.1 : Poutre en charpente métallique sollicitée en flexion pure...............................................107

Figure.A.2 :Distribution des déformations relatives et des contraintes pour une section en CM .......108

xvi

Figure.A.4 :Diagramme moment-courbure pour les deux types de sections.......................................112

Figure.A.5 :Phasage de distribution des contraintes pour une section en I ..........................................112

Figure.A.6 :Module plastique d’une section en I.................................................................................114

Figure.A.7 : Distribution des contraintes et des déformations pour.....................................................116

Chapitre 1

INTRO DUCTIO N

Chapitre 1 Introduction

1

1 INTRODUCTION

1-1 Intérêt du calcul plastique

Une structure multi-étagée multi-travée correctement calculée et conçue à l’état

limite ultime et vérifiée à l’état limite de service présente toute les garanties d’être en

élasticité même après un séisme et ceci est dû à plusieurs paramètres qui ont trait à la

marge de sécurité. Cette dernière pourrait être quantifiée comme étant la différence

entre la vraie charge de ruine et la combinaison de charges à l’E.L.U. les charges à

l’E.L.U sont affectées de coefficients de pondération supérieurs à un, les résistances de

calcul sont les résistances caractéristiques (résistances admettant un minimum de

risque) divisées par des coeffi cients de sécurité supérieurs à un. Les structures sont

étudiées en plan alors qu’en réalité elles sont dans l’espace (confinement par des plans

parallèles et perpendiculaires). Si la structure devait perdre accidentellement un

poteau de base une redistribution des moments fléchissants démarrera, à cet effet

l’ image instantanée (diagramme des moments fléchissants immédiatement après la

rupture) ne peut être obtenue qu’en utilisant les concepts de l’analyse plastique des

structures dont un des fondements est la prise en compte des valeurs réelles des

différents moments plastiques (les moments fléchissants ne pouvant en aucun cas être

supérieurs aux différents moments plastiques correspondants). Le deuxième

fondement étant, de ce fait, la prise en charge du phénomène de redistribution des

moments fléchissants.

1-2 Problématique

Pour une structure correctement conçue à l’ E.L.U, le diagramme des moments

fléchissants pour les combinaisons de charges les plus défavorables à l’E.L.U ne

présentera aucun moment supérieur au moment plastique correspondant. Le moment

fléchissant dépendant des charges extérieures (intensité, nature…) et des conditions

d’appuis alors que le moment plastique ne dépend que des caractéristiques

géométriques et mécaniques des différentes sections. Si une telle structure devait

perdre un poteau de base accidentellement alors fatalement il va y avoir des sections

ou un ensemble de zones qui aurait dépassé le moment plastique. L’ analyse de

la structure sans un poteau de base va donner un diagramme des moments fléchissants

où une des sections ou un ensemble de sections critiques auront des moments

fléchissants supérieurs aux moments plastiques correspondants. Ceci est valable


2

mathématiquement mais impossible physiquement. En aucun cas le moment

fléchissant ne peut être supérieur au moment plastique.

L’obtention de l’ image instantanée immédiatement après la rupture accidentelle d’un

poteau de base ne peut se faire que par une série de rétro-analyses utili sant le principe

de redistribution des moments fléchissants et une connaissance adéquate des concepts

de l’analyse plastique des structures. Le procédé consiste à avoir la distribution des

moments fléchissants pour la structure endommagée. Sur le diagramme obtenu,

identifier la section où le moment est maximum (fatalement supérieur au moment

plastique correspondant) et le ramener au niveau du moment plastique correspondant.

L’ensemble des sections où les moments égalant les moments plastiques

correspondant deviennent des rotules (les rotules physiques sont remplacées par des

rotules mécaniques). La structure est réanalysée avec les rotules mécaniques et le

processus devra être poursuivi jusqu’à l’obtention de l’i mage instantanée

immédiatement après la rupture accidentelle. Cette dernière donnera le positionnement

des différentes rotules plastiques et à nul endroit le moment fléchissant ne sera

supérieur au moment plastique correspondant.

L’analyse de cette image devra révéler si la structure a subit une ruine totale ou une

ruine partielle.

1-3 Objectifs de la recherche

Les objectifs assignés à la présente thèse peuvent être classés comme suit :

- Prendre une structure en portique témoin à trois niveaux et trois travées soumise à des

combinaisons de charges verticales et horizontales (les charges verticales sont

appliquées au milieu de travées et les charges horizontales au niveau des jonctions

poutres-poteaux pour les niveaux).

- Faire une analyse complète des mécanismes de ruine et charges de ruine pour une

seule combinaison des paramètres géométrico-mécaniques (l / Mpb et h / Mpc).

- Etudier les effets du rajout d’une travée et ceux du rajout d’un niveau respectivement

au portique témoin et en conduisant la même analyse pour la détermination des

charges de ruine et mécanismes de ruine.

- Tenter de construire des diagrammes d’interaction pour l’ensemble de ces portiques

et obtenir l’étendue de chaque intervalle des valeurs de α en essayant de déterminer


3

avec précision les différentes valeurs tampons (limites ou frontières), valeurs pour

lesquelles il y aura une sur ruine de plusieurs mécanismes élémentaires ou combinés.

- Prendre les trois portiques et essayer d’obtenir l’ image instantanée après la rupture

accidentelle d’un poteau de base central et d’un poteau de base de rive.

- Identifier les paramètres les plus influents pour l’analyse des structures

endommagées.

- Sortir avec des conclusions concrètes et pratiques ainsi que des perspectives de

développement du présent thème.

1-4 Str uctur ation de la thèse

- Le chapitre 1 est réservé à l’ introduction générale avec une problématique

détail lée et les objectifs à atteindre.

- Le chapitre 2 constitue la base théorique, il présente le calcul des charges de ruine

pour des éléments de structure et structures allant de la poutre simplement

appuyée au portique « single bay tow storeys » en passant par le portique simple

« single bay single storey ». les différents méthodes de détermination des

mécanismes de ruine et charges de ruine y ont présentées.

- Le chapitre 3 est consacré pour la détermination des mécanismes de ruine pour les

trois portiques retenus ainsi que la construction de leurs diagrammes d’interaction.

- L’analyse de structures endommagées en utilisant la méthode non linéaire

« pushover » avec le développement de séries de rétro-analyses font l’objet du

chapitre 4.

- La conclusion générale et les perspectives sont présentées dans le chapitre 5.

- Le calcul du moment plastique pour des sections en charpente métallique et pour

des sections non usuelle en béton armé est donné dans l’annexe A.

Chapitre 2

CHARGES DE RUINE ET MÉC ANISMES DE RUINE POUR DES ÉLÉMENTS DE

STRUCTURES ET DES PORTIQUES SIMPLES

Chapitre 2 Charges de ruine et mécanismes de ruine pour des éléments de structures et des portiques simples

4

2- CHARGES DE RUINE ET MÉCANISM ES DE RUINE POUR DES ÉLÉMENTS DE STRUCTURES ET DES PORTIQUE S SIMPLES

2-1 Introduction

Les éléments de structures ou structures en génie civil peuvent être isostatiques ou

hyperstatiques. Le traitement des structures hyperstatiques est laborieux et fait appel à des

méthodes complexes et diffic iles à utili ser manuellement. L’apport ces dernières années de

l’outil informatique a facili té grandement cette opération. Les éléments de structures ou

structures sont en général calculés à l’E.L.U et vérifiés à l’E.L.S. Mais aucun code ne spécifie

les charges de ruine ou les mécanismes de ruine (manière de déformation d’une structure sous

une combinaison de charges extérieures). Ceci ne peut avoir lieu qu’en laboratoire ou après

un séisme sévère (structures ou éléments de structures poussés à l’extrême). La charge de

ruine est de facto différente de la charge à l’E.L.U.

L’objectif primordial de l’étude plastique des structures est de répondre à cette attente.

C'est-à-dire la détermination de vraies charges de ruine et des vrais mécanismes de ruine, leur

connaissance donne une idée précise sur la vraie marge de sécurité d’un élément de l’ouvrage

ou de l’ouvrage lui même.

L'analyse plastique des structures hyperstatiques consiste à considérer qu’au fur et à

mesure que la charge augmente il y’a apparition de rotules plastiques à chaque fois que le

moment dans une section donnée atteint la valeur du moment plastique. Ce dernier est

indépendant du chargement ou de sa nature. Il est une caractéristique de la section elle même

et ne dépend que des caractéristiques géométriques et mécaniques de celle-ci (cf. annexe A).

Évidement si r rotules plastiques se forment au total, la structure devient un système

isostatique (r étant le degré d’hyperstaticité) elle se transforme en un mécanisme

immédiatement avec la naissance ou création ou développement de la (r+1)nième rotule

plastique.

2-2 Méthodes utili sées pour le calcul des charges de ru ine pour des éléments structuraux ou structures simples

2-2-1- introduction Il a été annoncé précédemment que la ruine d’une structure se produit par la formation

d’un nombre suffisant de rotules plastiques aux endroits des sections critiques (plastifiées),

ceci engendre une diminution de la rigidité accompagnée à chaque fois d’une redistribution

des moments, jusqu’à ce que la structure devienne hypostatique. A ce stade le mécanisme de


5

ruine est atteint et la charge devient la charge de ruine. Cette charge est évidement différente

de la charge à l’E.L.U et la différence représente la vraie marge de sécurité pour la structure.

Les outils théoriques nécessaires pour cette détermination sont le théorème du moment

libre et des moments de réaction et la méthode basée sur les travaux virtuels.

2-2-2 Calcul de la charge de ruine en utili sant le théorème des moments libre et de réactions

Il est possible de déterminer le mécanisme de ruine des éléments structuraux où

structures simples et de tracer leurs diagramme des moments fléchissants à la ruine en

utili sant et en exploitant le théorème du moment libre et de réaction et ce sans passer par

aucune analyse. Une fois le diagramme des moments est déterminé, on peut vérifier la

satisfaction des trois conditions du vrai mécanisme de ruine et calculer facilement la charge

de ruine.

Cette méthode est basé sur le principe de : Mp1 + Mp2 = Mp3 (2-1)

La charge de ruine peut être déterminée facilement à partir de cette relation, étant donné que

le moment fléchissant libre au point d’application de la charge, Mp3, est en fonction de cette

dernière, l’équation 2-1 peut être réduite à une équation à une inconnue.

Ce théorème permet de déterminer les moments fléchissants inconnus c'est-à-dire les

moments qui ne sont pas égaux aux moments plastiques. Donc il est impératif de décider d’un

mécanisme de ruine donc des positions éventuelles des rotules plastiques et d’essayer grâce à

ce théorème et à la condition d’équilibre au niveau des nœuds ou joints de déterminer les

éventuels moments inconnus.

Moment fléchissant de réaction au point d’application de la charge

Moment fléchissant libre au point d’application de la charge (moment de la

poutre simplement appuyée)

Moment fléchissant réel au point d’application de la

charge


6

2-2-3 Calcul de la charge de ruin e en utili sant le prin cipe des travaux vir tuels

La charge de ruine peut être déterminée par une deuxième méthode, cette dernière

basée sur le principe des déplacements virtuels,

Le travail produit par l’effort extérieur, P, doit être égal au travail produit par l’ effort

intérieur, c'est-à-dire au travail accompli au niveau des rotules plastiques.

La charge de ruine produit un déplacement virtuel δ et un travail extérieur défini par

le produit P. δ, le moment plastique Mp produit une rotation virtuelle θ, Le travail virtuel

intérieur est Mp.θ au niveau d’une rotule, la charge de ruine des éléments structuraux ou

structures simples peut s’obtenir à partir de l’égalité suivante :

∑ Pi. δi= ∑ Mpi.θi (2-2)

2-3 Exemples d’application

2-3-1 Poutr e simplement appuyée

i)- Théorème des moments libr e et de réactions

La charge de ruine d’une poutre simplement appuyée soumise à une charge concentrée

au milieu de sa portée (figure 2-1-a) peut être déterminée par cette méthode, le degré

d’hyperstaticité de cette dernière est r = 0. Le nombre de rotules nécessaires pour qu’elle

devienne un mécanisme est : n = r + 1= 1.

Figure.2-1: Poutre simplement appuyée.

a) Schéma de la poutre

b) Diagramme du moment fléchissant

c) Mécanisme de ruine

P

l/2 l/2

l

B A

4

.P lM =

δ

Pc

θ θ

θ θ


7

La ruine de cette poutre aura lieu lorsqu’une rotule plastique se produit au niveau du

point d’application de charge (section critique) où le moment fléchissant est égale au moment

plastique.

On connaît l’allure des moments fléchissants réels au point d’application de la charge

lors de la ruine, Mp. Le moment fléchissant libre au point d’application de la charge prend la

valeur de 4

lP ⋅ (figure 2-1-b), dans ce cas (poutre isostatique), le moment fléchissant de

réaction au point d’application de la charge est nul d’où la relation (2-1) Devient :

4

.P lM c

p = (2-3)

l

MP p

c

4.= (2-4)

ii)- Principe des travaux vir tuels

La charge de ruine de cette poutre isostatique peut être déterminée par le principe des

travaux virtuels, Le travail produit par l’ef fort extérieur, Pc doit être égal au travail produit

par l’ef fort intérieur, Mp.

La géométrie de la structure (figure 2-1-c), nous permet d’écrire l’équation :

2

.θδ l=

L’égalité des travaux virtuels, lors de la ruine nous permet d’écrire

Pc.δ = Mp.2θ (2-5)

θ2.2 pc

l.M

θ.P =

D’où l

MP p

c = 4 (2-6)

2-3-2 Poutr e encastrée à une extrémité et appuyée à l’autre ou console retenue


Soit la poutre de section constante, encastrée à une extrémité et appuyée librement à

l’autre et à laquelle est appliquée une charge concentrée P (figure 2-2-a). Il s’agit donc d’une

poutre qui présente un (01) degré d’hyperstaticité, elle nécessite alors la formation de deux

rotules plastiques pour qu’elle devienne un mécanisme.


8

Comme le cas précédent, la charge de ruine peut être déterminée à partir du moment

libre et du moment de réaction d’où :

Mp + x = l

bP ac. .

Figure.2-2 : Poutre encastrée d’un coté, et simplement appuyée de l’autre

Utilisant la règle des triangles semblables on déduit la valeur (figure 2-2-c), où l

b.Mx p=

l

bP a

l

b.MM cp

p

. .+ =

D’où ba

bMP p

c .

)(1+= (2-7)


Le même principe des travaux virtuels a été utilisé pour déterminer la charge de ruine de la

poutre encastrée et appuyée (figure 2-2).

∑∑ =i i iPi Mp θδ ..


charge

Moment fléchissant de réaction au point

d’application de la charge

Moment de la poutre comme si elle étant simplement

appuyée


c) Distribution des moments fléchissants au moment de la

ruine

b) Mécanisme de ruine

P

a b

l

B A

Mp

Mp

x

δ

φ θ

Pc

θ φ


9

La géométrie de la structure (figure2-2-b), nous permet d’écrire l’équation :

ϕθδ .a. b== D’où θϕ .b

a=

. . .( )ϕδ θ θ += + pc p MP M (2-8)

)( ϕθ θ θ ⋅⋅ = ⋅ + ⋅ +b

aP a M M pc p

pc Mba

blP ⋅

⋅+= )(

(2-9)

2-2-3 Poutr e doublement encastrée

i)- Théorème des moments libre et de réactions

On étudie une poutre de section constante, parfaitement encastrée à ses extrémités et

soumise à une charge concentrée, P, (figure 2-3-a). Il s’agit donc d’une poutre qui est deux

fois hyperstatique, elle nécessite alors la formation de trois rotules plastiques pour qu’elle

devienne un mécanisme.

D’après le diagramme des moments fléchissants, les rotules plastiques ne pouvant se

former qu’au droit des sections critiques, c’est au niveau de l’application de la charge et au

niveau des deux encastrements.

Mp + Mp = l

aPc ⋅

Donc la charge de ruine est donnée par :

ba

lMP p

c ⋅⋅

=2

(2-10)


charge

Moment fléchissant de réaction au point

d’application de la charge

Moment fléchissant libre


10

Figure.2-3 : Poutre encastrée à ses deux extrémités.


La charge de ruine de cette poutre (figure 2-3-a), peut être déterminée par la deuxième

méthode, cette dernière basée sur le principe des déplacements virtuels, la charge de ruine Pc

produit un déplacement virtuel δ, le moment plastique Mp produit une rotation virtuel 2θ à mi

travée de la poutre et une rotation virtuelle θ au niveau de l’encastrement gauche et φ au

niveau de l’encastrement droit de la poutre.


b) Diagramme des moments fléchissants en élasticité

c) Diagramme du moment libre

d) Diagramme des moments de réaction

f) Mécanisme de ruine

e) Diagramme des moments fléchissants au moment de la ruine

Mp

l

bP.a.

2

2..

l

bPa

l

bP.a.

2

2..

l

bPa

Mp

Mp Mp

Mp

φ φ

θ θ

δ

Pc

P

a b

l

B A


11

La géométrie de la structure au moment de la ruine (figure 2-3-f) a permet d’écrire

l’équation :

ϕθδ .a. b== D’où θϕ .b

a=

La charge de ruine, Pc provoque la formation des trois rotules plastiques, ainsi que le

déplacement virtuel δ, le travail extérieur est égal au produit λV.δ, le travail externe est égal à

la somme des produits du moment plastique fois les rotations virtuelles.

( )ϕδ θ ϕ θ +⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅pc p MP M Mp (2-11)

)( ϕθ θ θ θ ⋅⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ +b

aM

b

aP a M Mp pc p

pc Mba

lP ⋅

⋅⋅= 2

(2-12)

NB : les mêmes résultats théoriques sont obtenus par les deux méthodes.

2-3-4 Poutr e continue soumise à un chargement concentr é


Soit une poutre continue à trois travées, dont le schéma statique et les différentes

caractéristiques sont donnés dans la figure (2-4-a).

L’analyse de ce type de poutres se fait d’une manière similaire que les cas

précédemment étudiés, chaque travée devant être étudiée séparément. Il y a lieu à prendre en

considération les hypothèses suivantes :

- Au niveau des appuis entre les travées de la poutre, le moment fléchissant est identique à

droite et à gauche de l’ appui. La rotule plastique se forme dans les membres les plus

faibles (c’est-à-dire que le moment plastique à prendre en considération sera le moment

le plus faible des deux travées de la poutre considérée à ce niveau).

- Il est improbable que les travées de la poutre se rompent simultanément, donc chaque

travée est à vérifier individuellement. La charge de ruine de la poutre continue est la plus

petite des charges de ruine des travées prises séparément. Il s’agit donc d’une ruine

partielle de la poutre.


12

La poutre peut être représentée comme une série de travées indépendantes (figure 2-4-c).

Figure.2-4 : Poutre continue sous charges ponctuelles

Tr avées AB, CD :

Isolant les travées (AB) et (CD), (symétrie du chargement et même portée) le schéma de

calcul était celui d’une poutre encastrée à une extrémité et simplement appuyée à l’autre

(figure 2-4-c), si elles se rompent en premier, le diagramme des moments fléchissants aura la

forme donnée sur la figure (2-5-a) avec un mécanisme de ruine représenté sur la figure (2-5-b).

Figure.2-5 : Mécanisme de ruine des travées extrêmes

a) Diagramme du moment plastique (ruine)


Mp1

x

θ

θ θ

θ

Pc1

Mp1

δ

a) Schéma de la poutre Continue

b) Diagramme des moments fléchissants au moment de la

ruine avec la supposition que Mp1 < Mp2

c) Schéma de calcul des travées

A

Mp1

B

Mp2 Mp1

D C

l2l 1

l2l /2 1/2 l2/2 l1/2 l1l /2 1/2

l1

P1 P2 P1

Mp1

Mp2

Mp1

24

.11 pcMP l −

24

.11 pcMP l −


13

Utilisant le même principe que pour les exemples précédents pour le calcul de la charge de

ruine, on obtient donc :

l

lPM x c

p ⋅⋅

+ =4

211

1 (2-13)

Des triangles semblables on déduit la valeur de x, d’où 2

1pMx =

l

lM PM cp

p ⋅⋅

+ =42

2111

1

La charge de ruine est égale donc à :

11

1

6pc M

lP = ⋅ (2-14)

Tr avées BC :

Ce type de problème est similaire à celui da la poutre encastrée à ses deux extrémités,

les rotules plastiques ne pouvant se former qu’au droit des sections critiques, c’est au niveau

de l’application de la charge et au niveau des deux encastrements, (figure 2-3).

Figure.2-6 : Mécanisme de ruine pour la travée du milieu

On aura : 2

21

2

)4 (

l

M MP pp

c

+⋅= (2-15)

a) Diagramme des moments fléchissants au moment imminent de la ruine


Mp1

θ

θ θ

θ

Pc2

Mp1 Mp1

δ


14

Conclusion : la charge de ruine est égale au min (Pc1, Pc2) donc elle est fonction des valeurs

des moments plastiques et des portées. Avec les valeurs littérales, il n’est pas possible de

dire quelle est la travée critique.


La charge de ruine de la poutre continue peut être déterminée par la méthode des

travaux virtuels. La ruine de cette dernière peut se produire seulement par un des deux

mécanismes représentés dans les figures (2-5-b et 2-6-b), des deux travées AB ou CD et BC,

la plus petite valeur des deux charges de ruine Pc1 et Pc2 de ces deux mécanismes est la vraie

charge de ruine.

L’équation des travaux virtuels pour chacun des deux mécanismes nous permet

d’écrire :

- Travées AB, CD :

)(221 θθθ += ⋅⋅⋅ pc M

lP (2-16)

pc Ml

P = ⋅61

- Travées BC :

θθ θθ ⋅= ⋅ + ⋅ +⋅⋅ 1 2 12 22 pc p p MM M

lP

2

21

2

)4 (

l

M MP pp

c

+⋅= (2-17)

Il est à noter qu’à chaque fois les deux méthodes donnent exactement la même expression

pour les charges de ruine.


15

2-4 Théorèmes fondamentaux de l’analyse plastique des structures

2-4-1 Introduction

L’analyse plastique des structures a pour objet de calculer la charge réelle de ruine

d’une partie de structures ou de structures et les mécanismes de ruine correspondants. La

détermination du facteur de charge de ruine, λc, ainsi que les mécanismes de ruine des

structures dépend essentiellement de la satisfaction des trois conditions du vrai mécanisme de

ruine à savoir la condition d’équilibre, la condition d’écoulement et la condition de

mécanisme.

La figure (2-7) présente les trois conditions, où les flèches indiquent les conditions qui

ont été satisfaites.

Condition d’écoulement λ < λc, limite inférieure

λ = λc Condition d’équilibre

Condition de mécanisme λ > λc, limite supérieure

Figure 2-7 : Conditions du vrai mécanisme de ruine en fonction de λ

2-4-2 Théorème de la limite inférieure

Si, dans une structure sujette à un chargement défini par un facteur de charge positif,

λ, une distribution des moments fléchissants satisfaisant les conditions d’équilibre et

d’écoulement peut être trouvée, ensuite λ inférieur, ou égal au facteur de charge de ruine λc.

Dans ce cas la valeur de λ est une limite inférieure pour λc.

2-4-3 Théorème de la limite supéri eure

Dans ce cas la distribution des moments fléchissants dans les structures ne vérifie que

les conditions d’équilibre et de mécanisme, le facteur de charge correspondant, λ, est

supérieur ou égal au facteur de charge de ruine, λc, la valeur de ce facteur est une limite

supérieure pour λc.


16

2-4-4 Théorème de l’u nicité

Si une structure est sujette à un chargement défini par un facteur de charge positif, λ,

et une distribution des moments fléchissants qui satisfait les trois conditions peut être trouvée,

alors λ=λc. Il est impossible d’obtenir une autre distribution des moments fléchissants pour

n’importe quelle autre valeur de λ qui satisfait les trois conditions simultanément.

2-5 Détermination des charges de ruine et mécanismes de ruine d’un port ique simple

2-5-1 Méthode « pas à pas »

2- 5-1-1 Introduction

Pour mieux comprendre le comportement des portiques hyperstatiques soumis à des

combinaisons de charge horizontale et verticale croissante jusqu'à la ruine, il a été jugé utile

de considérer carrément un exemple d’un portique simple et d’étudier son comportement

après la formation des rotules plastiques et ce jusqu’à la transformation de la structure en un

mécanisme partiel ou total. Ceci permettra de mettre en lumière les quelques théorèmes

importants et essentiels cités ci-dessus de l’analyse plastique des structures.

2-5-1-2 Caractéri stiques du por tique

Les caractéristiques géométriques et mécaniques du portique simple et les points

d’application des charges concentrées verticales, λV, et horizontales, λH, et les sections

critiques de A à E, sont représentés sur la figure (2-8) :

Figure.2-8 : Portique simple à une travée et un niveau

λ.V kN

Mp constant

A

C

E

B

h

b

λ.H kN

a

D


17

2-5-1-3 Traitement du port ique

Le portique représenté sur la figure (2-8) supporte les charges concentrées verticales

λV et horizontales λH, où λ est le facteur de charge. Il est supposé initialement que V=H=1

kN, le comportement du portique quand λ est augmenté, est résumé dans la figure (2-9).

Au début de ce processus, le comportement du portique est élastique (c’est-à-dire le

comportement des sections critiques est élastique), et une analyse élastique donne un

diagramme des moments fléchissant représenté dans l’étape №1. Quand λ=38.91 le plus

grand moment fléchissant se trouve au niveau de l’encastrement droit (point E), ce dernier

devient égal au moment plastique (Mp= 100 kN.m) et une rotule plastique se forme au niveau

de cette section critique.

Evidement, la structure entière en dehors de la section, E, est encore élastique et le demeure

quand la valeur du facteur de charge, λ, est au dessus de 38.91. Et La section, E, se comporte

comme une rotule mécanique et de ce fait elle peut pivoter librement. Le moment fléchissant

au point E doit rester égal au moment plastique.

L’étape №2 représente la structure effective qui résiste au chargement quand λ est augmenté.

C’est simplement le portique originel avec une rotule sans frottement au point E (la rotule

physique est remplacée par une rotule mécanique). Cette structure peut être réanalysé par la

même méthode élastique comme à l’étape №1.

Le résultat de l’analyse est le changement en moments fléchissants. Pour obtenir les moments

totaux, il est nécessaire d’ajouter le changement (différence) en moments fléchissants aux

moments fléchissants quand λ=38.91 (N.B : la rotule sans frottement en E assure que le

changement en moments fléchissants en E est nul, de telle sorte que le moment reste égal au

moment plastique, dans ce cas le moment maximum est sous la charge concentrée verticale au

niveau de la section critique point C.

Mc= 82.7 kN.m étant le deuxième plus grand moment de l’étape №2

Mc=82.7 + 2.47λ’= Mp =100 kN.m d’où λ’= 7

D’où la nouvelle valeur de λ= 38.91+ 7= 45.91.


18

Figure.2-9 : Détermination du mécanisme de ruine d’un portique simple par la méthode « pas à pas »

Portique sous charges unitaires (kN)

DMF sous charges unitaires (kN.m)

DMT (kN.m)

Eta

pe №

1

Eta

pe №

2

Eta

pe №

3

Eta

pe №

4

1 1

C B

A D

2.08 0.78

2.12

1.14 2.57

λ= 38.91

30.4 80.9

82.7

44.4 100

: Rotule mécanique

1 1

C B

A D

: Rotule mécanique

0.14 2.34

2.81 0

λ= 45.91

31.4 97.3

100

64.2 100

1 1

C B

A D

4.04

0

3.94 0

2.98

λ= 46.58

33.4 100

100

66.8 100

1 1

C B

A D

0

10 0

5

λ= 50

0 50 100

100

100 100


19

Comme l’ indique l’étape №3, à partir de ce moment il y’a deux pivots (rotules) dans

la structure effective qui peut quand même être analysée élastiquement. Très rapidement,

cependant, une rotule se forme au niveau de la section critique (point D) quand λ atteint la

valeur de 46,58.

MD= 97.3 + 4.04λ’’ = Mp = 100KN.m d’où λ’’ =0.67

D’où la nouvelle valeur de λ=45.91+0.67 = 46,58

Le processus peut continuer à l’étape №4 avec trois rotules sans frottement jusqu’à ce

que la valeur de λ atteigne la valeur de 50, le moment max de l’étape №3 se trouve au niveau

de la section critique (point A).

D’où MA= 66.8 +10λ’ ’’ = Mp = 100KN.m d’où λ’ ’ ’= 3.32

D’où la nouvelle valeur de λ=46,58 + 3.32 = 49.9

A ce moment, une quatrième rotule plastique prend naissance.

Il est intéressant de remarquer deux points au sujet du moment fléchissant total représenté

dans la figure (2-9).

- La distribution des moments fléchissants est en équilibre avec les charges appliquées,

la condition d’équilibre est l’une des conditions fondamentales requise par la méthode

« pas à pas ».

- Les moments fléchissants ne dépassant nulle part, le moment plastique des membres,

ceci étant la condition d’écoulement.

Toute tentative de continuer le processus utilisant une structure effective avec quatre

rotules sans frottement est impossible, puisque les équations deviennent singulières et ne

peuvent pas être résolues. En fait la structure devient un mécanisme.

La distribution des moments fléchissants à ce point satisfait la condition d’équilibre et la

condition d’écoulement et en plus :

- Il y’a suffisamment de rotules plastiques (n=r+1=3+1=4) pour la structure pour qu’elle

devienne un mécanisme, ceci étant la condition de mécanisme [7].

La courbe représentée dans la figure (2-10), définit la relation entre le facteur de charge pour

chaque étape en fonction des déplacements horizontaux du portique simple à une travée et à

un étage figure (2-9).


20

Figure.2-10 : Courbe facteur de charge λ en fonction du déplacement horizontal

du portique simple

2-5-2 Méthode cinématique

2-5-2-1 Introduction

Le présent paragraphe a pour objet la détermination des charges de ruine et les

mécanismes de ruine d’un portique simple composé d’une travée et d’un niveau (figure 2-11).

Figure.2-11 : Portique simple à une travée et un niveau

Ce portique est trois fois hyperstatique, il ne devient un mécanisme qu’après la

formation de quatre rotules plastiques. A cet effet les charges de ruine et les mécanismes de

ruine de ce portique sont déterminés par une série de combinaisons des mécanismes

2.47 Mp constant = 100 kN

A

C

D

B

10 m

λ.H kN λ.V kN

5 m


21

élémentaires et ce à cause de la complexité de ce dernier Comparativement aux poutres

doublement encastrées. Cette méthode est basée sur le principe des déplacements virtuels, elle

consiste a combiner les diff érents mécanismes élémentaires de ruine, m, (m=p- r, où

p représente le nombre de sections critiques) jusqu'à l’obtention du plus petit facteur de

charge, λc . Le mécanisme et la charge de ruine de chaque combinaison sont obtenus à partir

de l’égalité du travail produit par les charges extérieures ∑Pi.δ et le travail produit par les

efforts internes ∑ Mp.θ (ce travail est obtenu par rotation des différentes rotules plastique).

Les possibles déformés du portique sont représentées dans les figures (2-12 à 2-14) et

dépendent essentiellement de la valeur des deux charges λV et λH. Le portique se transforme

en un mécanisme de panneau ou « Sway mechanism » si la charge horizontale est

prépondérante, si la charge verticale est prépondérante, il se produit un mécanisme de poutre

ou ‘’ Beam mechanism’’ où un mécanisme combiné ‘’ Combined mechanism’’ avec la

participation des deux charges.

La combinaison des charges verticales λV et horizontales λH provoque la formation de deux

(m=p- r =5-3=2, où p représente le nombre de sections critiques) mécanismes élémentaires et

un troisième avec la combinaison des deux.

2-5-2-2 Beam mechanism

Dans ce cas, la ruine de la structure est causée par la charge concentrée verticale λV,

le mécanisme et l’emplacement des rotules sont représentés dans la figure (2-12). Le schéma

de calcul était celui d’une poutre encastrée aux deux extrémités (les nœuds des portiques sont

assimilés à des encastrements parfaits).

La géométrie de la structure nous permet d’écrire l’équation :

ϕθδ ⋅=⋅= ba D’où θϕ ⋅=b

a

Figure.2-12 : « Beam mechanism »

λ.Vc

φ

E

δ

h

b a

θ φ θ


22

La charge concentrée verticale provoque la formation des trois rotules plastiques, ainsi

que le déplacement virtuel δ, le travail extérieur est égal au produit λV. δ, le travail interne est

égal à la somme des produits du moment plastique fois les rotations virtuelles ∑Mp.θi.

( )ϕλ δ θ ϕ θ +⋅ = ⋅ + ⋅ + pc p p MV M M (2-18)

)( θλ θ θ θ θb

aM

b

aV a M M pc p p +⋅ = ⋅ + ⋅ +

pc Mba

lV

⋅⋅= 2λ (2-19)

Pour une charge unitaire de V=1 kN , a=5m et b=10m

λ=60

2-5-2-3 Sway mechanism

L’effort horizontal λH transforme la structure en un mécanisme de panneau ou étage

ou ‘ ’Sway mechanism’’, suite à la naissance de quatre rotules plastiques au droit des sections

critiques (figure 2-14).

La géométrie de la structure nous permet d’écrire l’équation :

θ⋅=∆ h

Figure.2-13 : « Sway mechanism »

h

b

λ.Hc

a

θ θ θ θ

∆ ∆


23

Avec le même principe des déplacements virtuels, on peut calculer facilement le

facteur de charge de ruine de ce mécanisme :

θλ ⋅⋅ ∆ = pc MH 4 (2-20)

θλ θ ⋅⋅ = pc MH h 4

pc Mh

H4=λ (2-21)

Pour une charge unitaire de H=1 kN, et h=5m

λ=80

2-5-2-4 Combined mechanism

Le mécanisme représenté dans la figure (2-14) produit par la combinaison des deux

mécanismes élémentaires, ces dernieres provoquent des déformations du portique dans les

deux sens avec naissance de quatre rotules plastiques.le facteur de charge peut etre calculé à

partir :

Figure.2-14: « Combined mechanism »

δλ ⋅cV + ⋅ ∆cHλ = θ⋅⋅⋅

pMba

l2 + θ⋅pM

h

4 - θ⋅pM - θ⋅pM (2-22)

« external Work ,beam mechanism »

« external Work ,sway mechanism »

« internal Work ,beam mechanism »

« Internal Work ,sway mechanism »

“ internal Work, at hinge which has disappeared”

h

b

λ.Hc

a

θ θ θ θ

∆ ∆

θ θ φ

φ

λ.Vc

δ


24

θλ aVc ⋅ + θλ hH c ⋅ = θ⋅⋅⋅

pMba

l2 + θ⋅pM4 - θ⋅pM2

V ac ⋅λ + H hc ⋅λ = pMb

l ⋅

+⋅2

2 (2-23)

Pour H= V= 1 kN, a = 5m, b =10m et h = 5m

λ =50

Il est constaté que ce mécanisme a la plus petite valeur du facteur de charge, donc λc =50

d’où le diagramme des moments fléchissants au moment de la ruine est le suivant :

Figure.2-15 : Diagramme des moments fléchissants du portique simple

au moment de la ruine

Pour calculer la valeur du moment au niveau de la section B, il faut utili ser le théorème du

moment libre et de réaction :

Figure.2-16 : diagramme des moments fléchissants poutre B-D

MB

100

100

100 100

MB

Mp

Mp x

B D

b a


25

XMl

bV aM plibre +=⋅⋅= (2-24)

D’ou X= 66.67 kN.m

D’après le diagramme des moments fléchissants on a :

515

BBp MXMM −=

−

D’où MB= 50 KN.m, le diagramme des moments est comme suit :

Figure.2-17 : Diagramme des moments fléchissants total du portique simple au moment de la ruine

Les trois conditions du vrai mécanisme, condition d’équilibre, d’écoulement et de mécanisme

sont satisfaites.

2-5-2-5 Effets du rapport λV/λH

Le présent paragraphe a pour objet l’étude de l’ influence du rapport entre la charge

concentrée verticale, λV, et la charge concentrée horizontale, λH, α= λV/λH, sur la charge de

ruine du portique simple a une travée et un niveau (figure 2-18).

D’après le paragraphe précédent, on a trois types de mécanismes de ruine avec trois charges

de ruine correspondantes du portique en question. En introduisant la relation linéaire entre

50

100

100

100 100


26

ces deux charges, λV = α.λH dans les relations caractérisant chaque mécanisme et ce pour

les données suivantes :

a=5m

b=10m

h=5m

Pour le « beam mechanism » ou mécanisme I on a : pMHα

λ5

3= (2-25)

Pour le « sway mechanism » ou mécanisme II on a : pMH5

4=λ (2-26)

Pour le « combined mechanism » ou mécanisme II I on a : pMH

αλ

+=

1

1 (2-

27)

Pour une valeur unitaire du moment plastique Mp =1 kN.m, on peut construire les

courbes traduisant la relation entre la charge de ruine horizontale et le rapport α et ce pour

chaque mécanisme de ruine. On peut constater que pour chaque valeur de α trois valeurs

différentes de charge de ruine chacune correspondant à l’un des mécanismes de ruine.

Figure.2-18 : Relation entre la charge de ruine horizontale et le rapport α


27

2-5-2-6 Constructi on des diagrammes d’ interaction

Af in d’il lustrer le comportement du portique représenté dans la figure (2-11) vis-à-vis

des combinaisons de charges horizontales et verticales, il est nécessaire de représenter la

relation entre ces deux charges par un diagramme d’interaction figure (2-19). Il s’agit de la

relation entre les deux charges de ruine représentée dans le système de coordonnées (λV, λH)

.ce diagramme permet de déterminer le type de mécanisme de ruine et la charge de ruine

correspondante.

a=5m

b=10m

h=5m

Mp=100 kN.m

- ‘’Beam mechanism’ ’ ( I ) pour : λVc=60 kN et λH Є [0, 40]

- ‘’Sway mechanism’ ’ ( II ) pour : λHc = 80 kN et λV Є [0, 20]

- ‘’Combined mechanism’ ’ ( III )pour : λV + λH = Mp

Avec λH Є [40, 80]

Avec λV Є [20, 60]

Figure.2-19 : Diagramme d’interaction du portique simple.

0

20

40

60

80

0 20 40 60 80 100

Charge horizontale concentrée λH (kN)

Cha

rge

vert

ical

e λ

V (

kN)

I

II

II I


28

2-6 Détermination des charges de ruine et mécanismes de ruine d’une structure multi-étagée multi -travée

2-6-1 Introduction

La méthode utili sant le théorème du moment libre et moments de réaction est

utili sée pour des éléments structuraux simples (poutre simplement appuyée, console retenue,

poutre continue,…) et elle peut être exploitée pour la détermination des moment inconnus

dans un portique où le nombre de sections critiques est supérieur au nombre de rotules

nécessaires pour sa transformation en un mécanisme. Quand la structure devient multi-étagée

multi-travée son utili sant pour la détermination de devient quasiment impossible (plus

d’inconnus géométriques que de relations des moments inconnus).

La méthode utilisant les concepts des travaux virtuels devient laborieuse quand la structure

dépasse un niveau et une travée. Les équations deviennent très lourdes à reprendre. Les

méthodes pouvant contourner les difficul tés dont l’analyse limite, la méthode « pas à pas » et

la méthode « pushover » dont l’utili sation nécessite une connaissance en informatique et une

exploitation judicieuse du logiciel existant SAP 2000.

2-6-2 Analyse limite

Il y’a des programmes disponibles qui suivront la formation des rotules plastiques et

calculent la charge de ruine ou le facteur de charge de ruine pour une telle structure. Surtout si

cette dernière dépasse un niveau et une travée.

Cependant, une méthode manuelle est également disponible, et il n'est pas diff icile de

l’employer et d’avoir une idée précise sur son mode de déformation au moment de la ruine.

Elle est présentée en ci après, de manière assez précise. La limi tation principale de la dite

méthode est que le chargement doit être proportionnel, de sorte que les intensités relatives des

différentes charges demeurent constantes et l’intensité absolue est définie par un facteur de

charge, λ. Un calcul séparé peut être effectué pour chaque combinaison de charges.

Le principal objectif de la méthode est la détermination du facteur de charge de ruine,

λc, ou à la limite la détermination du plus petit intervalle possible englobant cette valeur.

Les étapes principales à suivre dans l'analyse sont données chronologiquement ci

après:


29

i) Identifier les mécanismes élémentaires et les équations de travail correspondantes, et

déterminer pour chacun de ces mécanismes le facteur de charge de ruine correspondant.

ii) Entamer l’opération de combinaison entre les différents mécanismes élémentaires

en commençant par celui qui aura donné la plus petite valeur de λ, combiner les mécanismes

pour éliminer les rotules plastiques en maintenant localement la géométrie originale de la

structure (garder les membres droits ou les joints perpendiculaires, par exemple). Trouver le

facteur de charge de chaque mécanisme combiné.

iii) Le plus petit facteur de charge est le plus proche du facteur de charge de ruine de

la structure (conformément au théorème de la limite supérieure).

iv) Etablir le mécanisme en trouvant le diagramme des moments fléchissants

correspondant. Si le diagramme des moments fléchissants satisfait les conditions

d’écoulement, de mécanisme et d'équilibre, le mécanisme est le vrai mécanisme de ruine de la

structure. Le facteur de charge est égal au facteur de charge de ruine. Au cas où ce diagramme

fait ressortir des moments supérieurs aux moments plastiques correspondants alors la

condition d’écoulement n’est pas satisfaites et le mécanisme n'est pas le vrai et le facteur de

charge λu est plus grand que le facteur de charge de ruine λc.

v) À cet instant il faut ramener le plus grand moment fléchissant au niveau du

moment plastique correspondant. Cette réduction menée de manière proportionnelle va

entraîner une diminution de rotules plastiques (M < Mp) et de ce fait la valeur de λ est une

limite inférieure λl (conformément au théorème de la limite inférieure).

vi) La vraie valeur du facteur de charge de ruine λc est ainsi cernée entre λl et λu, de

sort que :

λl ≤ λc ≤ λu

La procédure s’avère être laborieuse et la détermination de, λc, est, dans la plupart des

cas, donnée par intervalle et le vrai mécanisme de ruine ne peut être obtenu car les trois

conditions ne peuvent être satisfaites simultanément. Pour λ = λu la condition d’écoulement

n’est pas satisfaite alors que pour λ = λl la condition de mécanisme n’est pas satisfaite.

2-6-3 Méthode « pas à pas »

Elle consiste à analyser et réanalyser la structure statiquement étape par étape jusqu'à

l’obtention de la (r+1)nième rotule plastique. La dernière étape donne forcement le

mécanisme de ruine de cette structure.


30

Ce mécanisme doit satisfaire théoriquement les trois conditions fondamentales de

l’analyse plastique des structures, à savoir la condition d’écoulement, de mécanisme, et

d’équil ibre simultanément. Les détails sur la procédure de détermination du vrai mécanisme

de ruine et charge de ruine sont donnés dans le paragraphe (§ 5-2-1).

2-6-4 Méthode non linéaire « pushover »


Une évaluation fiable du comportement d’une structure ou d’un portique multi

travée et multi étagé face à un tremblement de terre, en terme de dommages, requiert un outil

permettant une analyse des structures au delà du domaine élastique.

La méthode d’analyse de type « pushover », représente une nouvelle approche

d’estimation de dommages, incluant notamment les effets du comportement post-élastique.

2-6-4-2 Définit ion de l’ analyse « pushover »

L'analyse « pushover » est une analyse statique non-linéaire de la structure permettant

de présenter de façon simplifiée le comportement de la structure (elle tient compte du

phénomène de redistribution des moments fléchissants) et ce sous l'effet de diff érents types de

charges statiques ou dues au tremblement de terre.

L'analyse « pushover » se compose de quelques étapes présentées ci-dessous :

- définition des rotules plastiques dans le modèle de calcul de la structure

- affectation des propriétés non-linéaires aux rotules (diagrammes force-

déplacement ou moment-rotation)

- analyse « statique » ou modale de la structure

- définition du jeu de forces transversales ou verticales

- définition du nœud de contrôle et de la direction et valeur du déplacement

admissible

- définition des paramètres de l'analyse non-linéaire


31

2-7 Cas particulier d’un port ique à un niveau et deux travées

2-7-1 Introduction

Ce qui est donné dans la littérature de l’analyse plastique des structures avec

suffisamment de détails concerne les structures allant de la poutre simple au portique d’un

niveau et d’une travée. Boukeloua [2] a opté pour un portique témoin le plus simple après le

« single bay single storey » à savoir un portique de deux niveaux et d’une travée lors de

l’élaboration de sa thèse de magister [2].

2-7-2 présentation du portiqu e

Les caractéristiques géométriques et mécaniques du portique et les points

d’application des charges concentrées verticales, λV, et horizontales, λH, sont représentés

ci dessous sur la figure.3-1-a :

l = 6m ; h = 3m

Mpb =200 kN.m ; Mpc =150 kN.m

r = 6

p = 12 numérotées de 1 à 12 figure (2-20-b)

m= p - r = 6

Le nombre de rotules nécessaires pour avoir un mécanisme de ruine n = r + 1 = 7

Le portique en question comprend deux encastrements, A et F, deux joints, B et E

(rencontre de plus de deux éléments), et deux nœuds C et D (rencontre de deux éléments).

h=3m

λH

λH λV

λV

l =6m

h=3m

a) dimensions et chargement

A

B

C D

E

F 1

2

3

5 6

8

12

10 11

7

4

b) position des sections critiques

Figure 2-20 : présentation du portique témoin testé par Boukeloua [2]


32

1 2

3

4

6 5

2-7-3 Mécanismes De Ruine Pour La Première Combinaison

- Les mécanismes de ruine obtenus après l’analyse plastique du portique testé par Boukeloua [2]

en utilisant la méthode « pas à pas » sont résumés dans la figure (2-21) pour la première

combinaison de h/Mpc = 3/150= 0.02 kN-1 et l/Mpb= 6/200= 0.03 kN-1.

a- mécanisme de ruine pour α ≤ 0,5

b- mécanisme de ruine pour 0,5 < α < 1,5

c- mécanisme de ruine pour α =1,5

d- mécanisme de ruine pour α=1.6

e- mécanisme de ruine pour α =2

f- mécanisme de ruine pour α = 2,5 et 2,67

g- mécanisme de ruine pour

α=3 et 3,33 h- mécanisme de ruine pour

α =4 i- mécanisme de ruine pour

α =5

3

2 1

4 5

1 2

3 5

4

7 6

1

2

4

3

5

6

1

2

3

4

5

6

3

2

4

1

6

5

3

2

5

1

6

4

4

2

6

1

5

3

5

2

7

1

4

3

6


33

j- mécanisme de ruine pour α=6

k- mécanisme de ruine pour α =6,5

l- mécanisme de ruine pour α =7 et 8

m- mécanisme de ruine pour α=9 et 10

n- mécanisme de ruine pour α ≥11

Figure.2-21 : Les différents types de mécanisme de ruine en fonction de α pour

la combinaison de h/Mpc =3/150=0.02 KN-1 et l/Mpb=6/200=0.03 KN-1

Les principales constatations qui ont été tirées par Boukeloua [2] sont :

- Pour la valeur de α, α < 1,5 des « lower sway mechanisms » sont observés

- Un « double combined mechanism» se produit pour 1,5 < α ≤ 5

- La valeur de α= 5 comme celle de α= 1.5 peuvent être considérée comme des valeurs

frontières ou des valeurs « tampon »

- pour des valeurs de α > 5 un « top beam mechanism » s’est développé

- Pour α ≥ 11 un « double beam mechanism » s’est produit

7 6

4 1

5

2

3

7

6

5 1

4

2

3

6

5

7 1

4

3

2

7

5

6 1

4

3

2

7

6

4 1

5

2

3


34

2-7-4 Représentation graphique

Boukeloua [2] est arrivé à la construction des diagrammes d’interaction du portique testé à

deux niveaux et une travée (figure 2-22) similairement à ce qui est donné pour un portique

« single bay single storey » représenté sur la figure (2-19).

Figure 2-22 : Diagramme d’i nteraction pour le système de coordonnées λV- λH : cas de la première combinaison.

2-7-5 Synthèse

Les principales conclusions auxquelles a abouti Boukeloua [2] peuvent être

synthétisées comme suit :

- La variation de l et h sans rapport avec les valeurs respectives des Mpb et Mpc n’a

aucun sens.

- Par contre la variation géométrico-mécanique des poutres et des poteaux a une

influence directe sur les mécanismes de ruine et charges de ruine.

- Le rapport α= V/H agit directement sur les mécanismes de ruine et charges de

ruine.


35

- Il a été identifié trois intervalles de α ayant trait aux différents mécanismes.

L’étendue de chacun d’entre eux a été trouvé directement en relation avec la

combinaison (l/Mpb ; h/Mpc) retenue.

Chapitre 3

MÉCA NISME DE RUINE POUR DES STRUCTURES EN PORTI QUES

Chapitre 3 Mécanismes de ruine pour des structures en portiques

36

3 MÉCANI SME DE RUINE POUR DES STRUCTURES EN PORTI QUES

3-1 Introduction

Les mécanismes de ruine ainsi que les charges de ruine de structures en portiques

dépendent d’une multitude de paramètres (les dimensions en plan et en élévation de la

structure, les caractéristiques géométriques et mécaniques des matériaux mis en œuvre, la

nature du chargement, la simulation des charges réparties uniformément …). Le même

processus décrit dans le chapitre précédent (chapitre 2) a été utili sé pour étudier l’ef fet de

quelques paramètres sur le comportement des structures en portiques jusqu'à l’ obtention du

vrai mécanisme de ruine et la charge de ruine correspondantes. La vérification des conditions

du vrai mécanisme est indispensable pour chaque étape.

Le présent chapitre a pour objet de déterminer les mécanismes de ruine pour des

structures en portiques sous l’ef fet du rapport α = V/H (V étant la charge verticale concentrée

et H étant la charge horizontale concentrée) ainsi que la construction des diagrammes

d’interaction appropriés.

3-2 Raisons du choix de la méthode retenue pour l’étude

Il est constaté que la détermination du mécanisme et de la charge de ruine des

éléments de structures ou structures simples par les différentes méthodes de l’analyse

plastique, a conduit aux mêmes résultats, mais il faut dire qu’en dehors des cas de structures

simples, et chaque fois que le degré d’hyperstaticité augmente, la détermination des vraies

charges de ruine par la méthode cinématique devient laborieuse car elle exige une série de

combinaisons entre les diff érents mécanismes élémentaires en incluant le mécanisme de joint

« joint rotation mechanism » afin de minimiser la valeur du facteur de charge, λ. Cette

méthode peut être très longue sans garantie d’obtention du vrai mécanisme de ruine.

La méthode « pas à pas » a ses limites car une partie du travail devrait se faire manuellement

alors que la méthode non linéaire dite « pushover » peut être salutaire et peut faire éviter le

risque d’erreurs et la lourdeur de la première ainsi que la deuxième. Elle est facile

d’util isation grâce à la disponibilité de logiciels entre autre le SAP2000. Pour cela, la

méthode non linéaire « pushover » a été retenue pour le reste du travail car elle permettra et

facil itera l’analyse d’une multitude de portiques avec un ensemble de paramètres différents.


37

3-3 choix du portique témoin de base P 3N 3T

Pour la présente étude, il a jugé nécessaire de sélectionner trois portiques témoins à

savoir un portique témoin de base à trois niveaux et trois travées dénommé P 3N 3T, un

portique à trois niveaux et quatre travées (P 3N 4T) qui va mettre en exergue l’ effet du rajout

d’une travée sur les mécanismes de ruines et les charges de ruine, et un troisième portique

témoin de quatre niveaux et trois travées (P 4N 3T) qui va faire ressortir l’ effet du rajout d’un

niveau sur les mécanismes de ruines et les charges de ruine.

3-4 Caractéristiques mécaniques et géométriques des trois Por tiques retenus

3-4-1 Caractér istiques Du P 3N 3T (port ique de base)

Les caractéristiques géométriques et mécaniques du P 3N 3T (portique de base)

et les points d’application des charges concentrées verticales et horizontales, λV, et

horizontales, λH, (V = H = 1 kN) sont représentés sur la figure (3-1-a) :

Une combinaison de charges concentrées verticales et horizontales a été réalisée avec

h/Mpc=3/200=0.015 kN-1 et l/Mpb=6/150=0.04 kN-1.

N.B : les charges latérales (horizontales) sont appliquées uniquement pour déterminer

les mécanismes de ruine et les charges de ruine du portique témoin non endommagé.

l = 6m

h =3m

Mpb =150 kN.m

Mpc =200 kN.m

r = 3.k -j

r : degré d’hyperstaticité

k : nombre de barres

j : nombre de rotules mécaniques

r = 3×9 - 0 = 27

Les sections critiques sont représentées dans la figure (3-1-b) et sont numérotées

de 1 à 49.

Le nombre de rotules nécessaires pour avoir un mécanisme de ruine n = r + 1 = 28

Le portique en question comprend quatre encastrements, dix joints (rencontre de plus

de deux éléments), et deux nœuds (rencontre de deux éléments).


38

a) dimensions et chargement en élévation

b) numérotation des sections critiques

Figure (3-1) : Présentation du P 3N 3T (portique de base)

λV kN

λV kN

λV kN

λV N

λV kN

λV kN

λV kN

λV kN

6m 6m 6m

3m

3m

3m

λV kN

λH kN

λH kN

λH kN

1

2

3 4

5

7 6

8

12

13 14

16 15

18

19 20

17

22 21

23

27

29

31 30

28

32

35 34

33

38

37 36

45

44 43

42

49

48

47 46

26

25

24

40

41

39

11

9

10


39

3-4-2 Caractéristiq ues Du P 3N 4T

Les caractéristiques géométriques et mécaniques du P 3N 4T et les points

d’application des charges concentrées verticales et horizontales, λV, et horizontales,

λH, (V = H = 1 kN) sont représentés sur la figure (3-2-a) :


h/Mpc=3/200=0.015 kN-1 et l/Mpb=6/150=0.04 kN-1.



l = 6m

h =3m

Mpb =150 kN.m

Mpc =200 kN.m

r = 3.k -j




r = 3×12 - 0 = 36


de 1 à 64.

Le nombre de rotules nécessaires pour avoir un mécanisme de ruine n = r + 1 = 37.




40



Figure (3-2) : Présentation du P 3N 4T

λV kN

λV kN

λV kN

λV kN

λV kN

λV kN

λV kN

λV kN

6m 6m 6m

3m

3m

3m

λV kN

6m

λV kN

λV kN

λV kN

λH kN

λH kN

λH kN

14

2

18

2

12

13

16 15

19 20

17

21

23

31

35

38

27

29

23

28

32

34

33

37 36

60

59 58

57

64

63

62 61

46

50

53

42

44

45

43

47

49

48

42 51

1

2

3 4

5

7 6

8

9

11

10

39

40

41

25

26

24

56

55

54


41

3-4-3 Caractéristiques Du P 4N 3T

Les caractéristiques géométriques et mécaniques du P 4N 3T et les points

d’application des charges concentrées verticales et horizontales, λV, et horizontales,

λH, (V = H = 1 kN) sont représentés sur la figure (3-3-a) :


h/Mpc=3/200=0.015 kN-1 et l/Mpb=6/150=0.04 kN-1.



l = 6m

h =3m

Mpb =150 kN.m

Mpc =200 kN.m

r = 3.k -j




r = 3×12 - 0 = 36


de 1 à 66.

Le nombre de rotules nécessaires pour avoir un mécanisme de ruine n = r + 1 = 37.




42



Figure (3-3) : Présentation du P 4N 3T

λV kN

λV kN

λV kN

λV kN

λV kN

λV kN

λV kN

λV kN

6m 6m 6m

3m

3m

3m

λV kN

3m

λV kN λV kN λV kN λH kN

λH kN

λH kN

λH kN

1

2

3 4

6

16

17 18

20 19

36

38 40

39

37

59

58 57

56

11 30

29

31 51 50

49

66

5

7 22

23 24

21 41

44 43

42

62

61 60

8

10 26

27 28

25 45

48 47

46

65

64 63

9

12

14 34

33

32

13

35 55

54

53

52

15


43

3-5 Mécanismes de ruine pour les trois portiques témoins

3-5-1 Introduction

La présente étude a pour objet de déterminer les mécanismes de ruine des trois

portiques témoins soumis à une combinaison de charges concentrées verticales et horizontales

linéairement dépendantes, λV et λH avec α = V/H. Les caractéristiques géométriques et

mécaniques (h, l, Mpc, Mpb) ont les mêmes valeurs pour les trois portiques étudiés.

Il a été jugé nécessaire et pratique de ne représenter les portiques avec les différentes

rotules plastiques qu’à chaque changement de l’ ordre d’apparition de ces dernières et ce pour

les valeurs ou les intervalles appropriés de α.

3-5-2 Mécanismes De Ruine des trois Portiques Témoins

3-5-2-1 Porti que P 3N 3T (portiqu e de base)

i) Présentation Des Mécanismes

Une série de combinaisons de charges concentrée verticales et horizontales a été réalisée en

fonction de α pour h/Mpc= 3/200= 0.015 kN-1 et l/Mpb= 6/150= 0.04 kN-1, les mécanismes de

ruine obtenus sont représentés sur la figure (3-1) avec l’emplacement des rotules plastiques

sur le portique témoin P 3N 3T (portique de base).

a- mécanisme de ruine pour α < 0.6


44

b- mécanisme de ruine pour 0.6 < α < 0.93

c- mécanisme de ruine pour α = 0.93

28e rotule

27e rotule


45

d- mécanisme de ruine pour 0.93 < α < 4.5

e- mécanisme de ruine pour α > 4.5

Figure.3-4 : Les différents types de mécanismes de ruine développés

en fonction de α pour le P 3N 3T (portique de base).


46

ii) Prin cipales Constatations

L’analyse du portique pour la combinaison de h/Mpc=3/200=0.015 KN-1 et

l/Mpb=6/150=0.04 KN-1 et en faisant varier le rapport α =V/H révèle les faits saillants

suivants :

- Pour des valeurs de α ≤ 0.6 le mécanisme élémentaire se forme avec la naissance

de la dix huitième rotule et est un « total first and second story sway mechanism ».

Les charges horizontales étant prépondérantes (figure 3-4-a).

- Pour l’int ervalle 0.6< α < 0.93 un « total lower storey combined mechanism » avec

un « total second storey sway mechanism » se forme mais avec seize rotules

plastiques. Pour toute valeur de α comprise entre 0.6 et 0.93 ; l’ordre de formation

de rotules plastiques est proportionnel avec la valeur de α, les rotules plastiques

formées au niveau des poutres du deuxième et dernier étage pourront être

considérées comme bloquées (car elles ne peuvent pas agir sur déformabilité

globale de la structure). Dans ce cas les sept rotules plastiques considérées comme

bloquées sont développées au niveau des poutres du deuxième et dernier étage

(figure 3-4-b).

- Le nombre théorique de rotules nécessaires pour la transformation du portique

témoin en question en un mécanisme est de n= r+1= 28. Ce qui est, en fait, la

condition de mécanisme conformément aux théorèmes de la plasticité. Pour le cas

singulier de α = 0.93 (figure.4-1-c) la vint huitième rotule développée, pour ce cas,

donne naissance à un « over collapse » (sur ruine) où deux mécanismes ont lieu

simultanément « total second storey sway mechanism » avec « total combined

mechanism » cette valeur de α peut être considérée comme une valeur « tampon »

ou une valeur frontière (figure 3-4-c).

- Pour l’i ntervalle de 0.93< α < 4.5 le nombre de rotules plastiques formées est de

vint deux, et ce au niveau des mêmes sections critiques et toujours dans le même

ordre. la nature du mécanisme de ruine observé est un « lower storey combined

mechanism » et un « total combined mechanism », ce mécanisme peut être

identifié comme un « double combined mechanism ». la création d’une rotule

supplémentaire n’est pas nécessaire et sa présence compliquerait la déformation.


47

La similitude avec « sway + combined mechanism » d’un portique simple à une

travée et un étage (« single storey single bay frame ») est évidente (figure 3-4-d).

- Pour les valeurs de α > 4.5, les valeurs des charges concentrées verticales, V, sont

nettement supérieures aux charges concentrées horizontales, H, les poutres sont

les éléments les plus fragilisés et le mécanisme de ruine du portique en question

est un « top, second and lower beam mechanism», ces mécanismes de poutre ont

lieu suite à la formation de vingt sept rotules plastiques au niveau de sections

critiques des poutres avec un ordre de formation identique à celui du figure (3-4-

e).

iii) Synthèse

- pour de faibles valeurs de α, α < 0.6 la charge concentrée horizontale, H, est

prépondérante et des « total fi rst and second story sway mechanisms » sont

observés. Ce mécanisme ne peut être se déformé qu’avec deux autre «joint rotation

mechanism» au niveau de premier étage et «left and right hand joint rotation

mechanism» au niveau de deuxième étage.

- Une combinaison de « total lower storey combined mechanism » avec un « total

second storey sway mechanism » a lieu pour 0.6 ≤ α < 0.93 ; la dernière rotule

prend naissance au niveau du poteau gauche de rive qui a produit «left hand joint

rotation mechanism» au niveau du deuxième étage. La valeur de α = 0.6 est une

valeur frontière entre les deux mécanismes de ruine «second storey sway

mechanism » et la combinaison de « lower storey combined mechanism » avec le

« second storey sway mechanism ».

- la valeur de α = 0.93 peut être considérée comme valeur frontière ou une valeur

« tampon » et d’aill eurs elle est la valeur unique pour laquelle se sont développées

vint huit rotule, les deux dernières rotules apparaissant simultanément, l’une des

deux participe à la formation du « total combined mechanism » et l’autre participe

à la formation du « total second storey sway mechanism » donc le mécanisme de

ruine formé est une combinaison entre les deux mécanisme « total second storey

sway mechanism » et le mécanisme « total combined mechanism ».


48

- un « lower storey combined mechanism » et un « total combined mechanism » a

lieu pour 0.93 < α ≤ 4.5 ; La valeur de α = 4.5 est une valeur frontière entre les

deux mécanismes de ruine « top, second and lower beam mechanism» et la

combinaison de « lower storey combined mechanism » et « total combined

mechanism ».

- pour des valeurs de α > 4.5 les charges verticales sont prépondérantes, et elles

produisent carrément les «beam mechanisms» au niveau de chaque poutre.

3-5-2-2 portique P 3N 4T


Une série de combinaisons de charges concentrée verticales et horizontales a été

réalisé en fonction de α pour les mêmes rapports géomètrico-mécaniques, les mécanismes de

ruine obtenus sont représentés sur la figure (3-5) avec l’emplacement des rotules plastiques

sur le portique témoin P 3N 4T.



49



34e rotule

33e rotule


50


e- mécanisme de ruine pour α > 3.33

Figure 3-5 : Les différents types de mécanismes de ruine développés en fonction de α pour le P 3N 4T.


51

ii) Prin cipales Constatations

Les principales remarques et constatations des mécanismes de ruine du portique

témoin №2 obtenus sont :

- Les mêmes modes de ruine que pour le précédent cas sont développés pour

différents intervalles de α.

- « total first and second storey sway mechanism » se forme avec la naissance de la

vint troisième rotule pour des valeurs de α < 0.47 ; donc les charges horizontales

sont prépondérantes (figure 3-5-a).

- Pour l’int ervalle 0.47≤ α < 0.73 un « total lower storey combined mechanism »

avec un « total second storey sway mechanism » se forme mais avec vint neuf

rotules plastiques. Pour toute valeur de α comprise entre 0.47 et 0.73 ; l’ ordre de

formation des rotules plastiques est proportionnel avec la valeur de α, les rotules

plastiques formées au niveau des poutres du deuxième et dernier étage pourraient

être considérées comme bloquées (car elles ne peuvent pas agir sur la

déformabilité globale de la structure). Dans ce cas les huit rotules plastiques

considérées comme bloquées ont lieu au niveau des poutres du deuxième et dernier

étage (figure 3-5-b).

- Pour le cas α =0.73 la trente quatrième rotule développée pour ce cas donne

naissance à un « over collapse » (sur ruine) où deux mécanismes ont lieu

simultanément « total second storey sway mechanism » avec « total combined

mechanism » cette valeur de α peut être considérée comme une valeur « tampon »

ou une valeur frontière (figure 3-5-c).

- Pour l’i ntervalle de 0.73< α < 3.33 le nombre de rotules plastiques formées est

de vint neuf, et ce au niveau des mêmes sections critiques et toujours dans le

même ordre. la nature du mécanisme de ruine observé est un « lower storey

combined mechanism » et un « total combined mechanism », ce mécanisme peut

être identifié comme un « double combined mechanism ». la création d’une rotule

supplémentaire n’est pas nécessaire et sa présence compliquerait la déformabilité.

La similitude avec « sway + combined mechanism » d’un portique simple à une

travée et un étage (« single storey single bay frame ») est évidente (figure 3-5-d).


52

- Pour les valeurs de α ≥3.33, les valeurs des charges concentrées verticales, V, sont

nettement supérieures aux charges concentrées horizontales, H, les poutres sont

les éléments les plus fragilisés et le mécanisme de ruine du portique en question

est constitué de séries de « beam mechanisms » au niveau des trois étages, ces

dernières ont lieu suite à la formation de trente six rotules plastiques au niveau de

sections critiques des poutres avec un ordre de formation identique à celui du

figure (3-5-e).

iii) Synthèse

- Le développement de trente sept rotules plastiques (condition de mécanisme) n’est

pas satisfait pour toutes les valeurs du rapport α.

- pour α< 0.47 des « total first and second storey sway mechanism » sont observés.

Ce mécanisme ne peut être avoir lieu qu’avec trois autres «joint rotation

mechanism» au niveau du premier étage et «left and right hand joint rotation

mechanism» au niveau du deuxième étage.

- « total lower storey combined mechanism » avec un « total second storey sway

mechanism » se produit pour 0.47 < α ≤ 0.73 ; la dernière rotule prenant

naissance au niveau du poteau gauche de rive au niveau du deuxième étage. La

valeur de α = 0.47 est une valeur frontière entre les deux mécanismes de ruine

« total fi rst and second storey sway mechanism » et la combinaison de « total

lower storey combined mechanism » avec un « total second storey sway

mechanism ».

- la valeur de α =0.73 peut être considérée comme valeur frontière ou une valeur

« tampon » et elle est la valeur pour laquelle trente quatre rotules se sont

développées les deux dernières rotules apparaissant simultanément, l’une des deux

participe à la formation du « total combined mechanism » et l’autre participe à la

formation du « total second storey sway mechanism », donc le mécanisme de

ruine formé est une combinaison entre les deux mécanismes « total second storey

sway mechanism » et le mécanisme « total combined mechanism ».


53

- un « lower storey combined mechanism » et un « total combined mechanism » est

observé pour 0.73 < α ≤ 3.33 ; La valeur de α = 3.33 est une valeur frontière entre

les deux mécanismes de ruine « top, second and lower beam mechanism» et la

combinaison de « lower storey combined mechanism » et « total combined

mechanism ».


produisent carrément des «beam mechanisms» au niveau de chaque poutre.

3-5-2-3 Porti que P 4N 3T


Les mécanismes de ruine représentés dans la figure.4-4 sont pour le troisième

portique P 4N 3T pour la même combinaison des rapports géomètrico-mécaniques

h/Mpc =3 /200= 0.015 KN-1 et l/Mpb= 6 /150=0.04 KN-1 en fonction du rapport α.



54



35e rotule

34e rotule


55


e- mécanisme de ruine pour

α = 1.39

35e rotule

34e rotule


56

f- mécanisme de ruine pour 1.39 < α < 7.49

g- mécanisme de ruine pour α > 7.49

Figure 3-6 : Les différents types de mécanismes de ruine développés en fonction de α pour le P 4N 3T.


57

ii) Prin cipales Constatations - un mode de ruine supplémentaire a été observé par rapport au précédents cas pour

différents intervalles de, α, précisément a la partie inclinée où α est compris entre

0.84 et 7.49

- « first and second storey sway mechanism » se forme avec la naissance de la vint

troisième rotule pour des valeurs de α < 0.84 ; donc les charges horizontales sont

prépondérantes (figure 3-6-a).

- Pour l’intervalle 0.84< α ≤ 1.2 un « total lower storey combined mechanism » avec

un « total second storey sway mechanism » se forme mais avec vint sept rotules.

Pour toute valeur de α comprise entre 0.84 et 1.2 l’o rdre de formation des rotules

plastiques est proportionnel avec la valeur de α, les onze rotules plastiques

considérées comme bloquées se développées au niveau des poutres du deuxième et

troisième étage (figure 3-6-b).

- pour la valeur de α = 1.2 ; une combinaison de trois mécanismes élémentaires

« total second storey sway mechanism» avec « total lower storey combined» et un

« total third storey sway mechanism » a lieu, avec la formation de trente cinq

rotules (figure 3-6-c).

- Pour l’int ervalle 1.2≤ α ≤ 1.39 un « total lower and second storey combined

mechanism » avec un « total third storey sway mechanism » se forme mais avec

trente deux rotules. Pour toute valeur de α comprise entre 1.2 et 1.39 l’o rdre de

formation de rotules plastiques est proportionnel avec la valeur de α, dans ce cas

les neuf rotules formées considérées comme bloquées se développées au niveau

des poutres du troisième et dernier étage (figure 3-6-d).

- un « over collapse » (sur-ruine) où deux mécanismes ont lieu simultanément

« total third storey sway mechanism » avec « double combined mechanism » a

lieu pour la valeur de α = 1.39 ; avec la formation de trente cinq rotules

(figure 3-6-e).

- Pour l’i ntervalle de 1.39< α < 7.49 le nombre de rotules plastiques formées est

de vint huit, et ce au niveau des mêmes sections critiques et toujours dans le même


58

ordre. la combinaison de « lower storey combined mechanism » et « total

combined mechanism » peut être identifi ée comme un « double combined

mechanism » (figure 3-6-f).

- Pour les valeurs de α ≥7.49, une série de « beam mechanism»a lieu au niveau des

poutres des quatre niveaux, ces mécanismes ont lieu suite à la formation de trente

six rotules plastiques au niveau de sections critiques des poutres avec un ordre de

formation identique de ces rotules (figure 3-6-g).

iii) Synthèse

- Le développement de trente sept rotules plastiques (condition de mécanisme) n’est

pas satisfait pour touts les valeurs du rapport α.

- Pour α <0.84 la charge concentrée horizontale, H, est prépondérante et des « first

and second storey sway mechanism » sont observés. la déformabilité provoque

quatre «joint rotation mechanism» au niveau du premier et du deuxième étage et

des «left and right hand joint rotation mechanisms» au niveau du deuxième étage

de se formée.

- Une combinaison de « total lower storey combined mechanism » avec un « total

second storey sway mechanism » a lieu pour 0.84 < α ≤ 1.2 ; la dernière rotule

prend naissance au niveau du poteau gauche de rive, et un «right hand joint

rotation mechanism» au niveau du deuxième étage est observé.

- Une première valeur frontière « tampon » de α =1.2 produit trente cinq rotules, les

deux dernières rotules apparaissant simultanément, l’ une des deux participe à la

formation du « total second storey sway mechanism » et l’autre participe à la

formation du « total third storey sway mechanism », donc le mécanisme de ruine

développé est une combinaison entre trois mécanismes « total second storey sway

mechanism » et le mécanisme « total lower storey combined mechanism » et le

autre « total third storey sway mechanism » avec l’apparition de deux « right hand

joint rotation mechanism» qui sont observés au niveau du deuxième et du

troisième étage.


59

- une combinaison de « total lower and second storey combined mechanism » avec

un « total third storey sway mechanism » a lieu pour 1.2 < α ≤ 1.39 ; la dernière

rotule prend naissance au niveau du poteau gauche de rive, avec l’ apparition du

«right hand joint rotation mechanism» au niveau du troisième étage. Ce type du

mécanisme de ruine est lié directement de l’augmentation du nombre d’étages.

- une deuxième valeur frontière « tampon » de α =1.39 produit trente cinq rotules,

les deux dernières rotules apparaissant simultanément l’une des deux participe à la

formation du « double combined mechanism » et l’autre participe à la formation

du «third storey sway mechanism», donc le mécanisme de ruine développé est une

combinaison entre les deux mécanismes «second storey sway mechanism» et le

mécanisme « lower storey combined and total combined mechanism ».

- un « double combined mechanism » se produit pour 1.39 < α ≤ 7.49 ; la frontière

entre les deux mécanismes de ruine « top, second and lower beam mechanism» et

la combinaison de « lower storey combined mechanism » et « total combined

mechanism » est de α = 7.49 ;


produisent des «beam mechanisms» (création de trois rotules) au niveau de chaque

poutre.

3-5-3 Synthèse des synthèses Après l’ analyse des trois portiques non endommagés pour la détermination des vrais

mécanismes de ruine par la méthode « pushover » il s’est avéré que le paramètre le plus

influent est le rapport α = V/H. il a un effet direct sur les mécanismes obtenus et les charges

de ruine. L’étude a révélé trois principaux intervalles de ‘α’ où les principaux changements

sont constatés, l’étendue de ces intervalles est directement influencée par la forme en

élévation du portique (effet du rajout d’un niveau ou d’une travée).

Pour de faibles valeurs de ‘α ’ :

α > 0.60 pour le P 3N 3T (portique de base)

α > 0.47 pour le P 3N 4T


La prépondérance est aux « sway mechanisms » localisés ou totaux.


60

Pour de grandes valeurs de ‘α ’ :

α > 4.50 pour le P 3N 3T (portique de base)



La prépondérance est aux « beam mechanisms » localisés ou totaux.

Pour des valeurs intermédiaires de α où les mécanismes prépondérants sont des « combined

mechanism » avec des combinaisons de quelques mécanismes élémentaires y compris des

« joint rotation mechanism ».cette zone intermédiaire a été trouvée être influencée par le

nombre de niveaux et par celui des travées.

L’obtention de valeurs tampons intermédiaires a nécessite un travail miticuleux.

- Pour le portique de base P 3N 3T, la valeur tampon intermédiaire trouvée est de 0.73

- Pour le portique à quatre travées P 3N 3T, la valeur tampon intermédiaire trouvée est

de 0.73

- Pour le portique à quatre niveaux P 3N 3T, deux valeurs tampons intermédiaires ont

été trouvées à savoir α =1.2 et α =1.39

3-6 Construction des diagrammes d’interaction

3-6-1 Introduction

Il ressort de ce qui a été réalisé dans les chapitres (2 et 3) que les paramètres les plus

influents sont les rapports α =V/H et les combinaisons l/M pb ; h/Mpc et le changement du

nombre de niveau et nombre de travées. Ces paramètres influent directement sur les valeurs

des charges causant la ruine et aussi sur la nature des mécanismes de ruine identifiés. Les

variations de l et h sans relation avec les moments plastiques respectifs ont produit des

résultats dans tous les sens car il s’est avéré qu’elles ne représentaient pas des cas pratiques et

pourraient engendrer des incohérences vis-à-vis du dimensionnement. Dans le présent

chapitre, il a été jugé utile d’opter pour une représentation graphique pour mettre en exergue

les effets du paramètre le plus influent à savoir, α, et ce pour une seule combinaison de

l/Mpb et h/Mpc en relation avec le changement du nombre de niveaux ou de travées.


61

L’util isation de la méthode non linéaire « pushover » a permis l’ étude et l’analyse des

trois portiques témoins retenus et ce pour large variation du rapport α= V/H. cette analyse a

permis l’i dentif ication des valeurs de α pour lesquelles s’opère le changement des

mécanismes de ruine. Les valeurs tampons ne sont pas figées et varient pour chaque portique

témoins les valeurs changent aussi lorsque les rapports géométrico-mécaniques

l/Mpb ; h/Mpc [2].

L’analyse a fait ressortir la possibili té de construire des diagrammes d’i nteraction

similaires a ce qui est donné par la théorie pour des structures simples « single bay single

storey »et aussi par ce qui a été réalisé par Boukeloua pour le portique à deux niveaux et une

travée.

3-6-2 Pr incipes Généraux De Construction

Dés qu’il y’a plus d’une variable (contrainte, effort, moment …etc.) qui influent sur le

comportement ou la rupture d’un élément de structure ou d’une structure entière, il y’a

nécessité absolue de recourir à une courbe reliant les deux ou trois variables qui interagissent.

Ceci étant le cas pour la construction des cercles de Mohr reliant les contraintes normales et

tangentielles, les diagrammes d’interaction en flexion composée reliant les efforts de

compression aux moments fléchissants dans un plan donné, les diagrammes d’interaction en

flexion déviée reliant les efforts de compression aux deux moments agissants dans deux plans

perpendiculaires ou les diagrammes mettant en relief les critères retenus en analyse plastique

à savoir les critères de Von Mises et Tresca.

Pour le cas présent, les variables en question sont les charges horizontales et les

charges verticales qui ne sont pas complètement indépendantes mais sont prises, pour des

soucis de simplicité, comme étant proportionnelles. Leurs interaction et en fonction de α agit

directement sur la nature des mécanismes de ruine développés, et cette nature est mieux

explicitée graphiquement.

3-6-3 Représentation graphique


La représentation graphique de l’ interaction (V-H) a deux possibilités pour le choix du

système de coordonnées le premier est de prendre directement λH en abscisse et λV en

ordonnée et le second est d’opter pour un système de coordonnées adimensionnelles à savoir

Hh/Mpc en abscisse et Vl/Mpb en ordonnée. Ce dernier système est praticable pour discerner


62

les effets du changement de l’ensemble des paramètres (H, h, V, l, Mpb et Mpc) pour de

différentes valeurs.

3-6-3-2 Développement graphique

Le développement concerne l’ensemble des portiques testés. Le premier est de trois

niveaux et trois travées, le deuxième est de trois niveaux et quatre travées et le dernier est de

quatre niveaux et trois travées, ce pour une seule combinaison de l/Mpb et h/Mpc les graphes

sont représentés sur les figures (3-7) à (3-9)

3-6-3-3 Discussion des résultats

Le développement graphique a été réalisé pour des valeurs de α allant de 0 à 200 et ce

pour la combinaison retenue de l/M pb et h/Mpc, les graphes sont représentés dans les

figures (3-7) à (3-9) pour chacun des trois portiques.

Il ressort de la construction des trois diagrammes d’interaction (un pour chaque

combinaison de charge) ce qui suit :

Figure 3-7 : Diagramme d’interaction pour le système de coordonnées λV- λH

: cas du P 3N 3T (portique de base).

zone (I)

zone (II)

zone (III)

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180


Cha

rge

vert

ical

e λ

V (

kN)

α = 0.6

α = 0.93

α = 4.5

h/Mpc = 3 / 200 l/Mpb = 6/ 150

Mécanismes de ruine Apparition de la première rotule


63

Figure 3-8 : Diagramme d’interaction pour le système de coordonnées λV- λH

: cas du P 3N 4T

Figure 3-9 : Diagramme d’i nteraction pour le système de coordonnées λV- λH : cas du P 4N 3T.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

0 20 40 60 80 100 120 140


Cha

rge

vert

ical

e λ

V (

kN)

α = 0.84 α = 1.2

α = 1.39

α = 7.49

h/Mpc = 3 / 200 l/Mpb = 6/ 150


zone (I)

zone (II )

zone (III )

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220


Cha

rge

vert

ical

e λ

V (

kN)

α =0.47

α = 0.73

α = 3.33

h/Mpc = 3 / 200 l/Mpb = 6/ 150

zone (III )

zone (II)

zone (I)



64

- La première courbe à son tour représente graphiquement les combinaisons de charges qui

engendrent l’apparition de la première rotule plastique dans le portique témoin testé.

- Il y’a une forte simili tude avec les diagrammes d’i nteraction développés pour un « Single

bay –single storey frame » et pour un portique « Single bay –tow storey frame » réalisées

par Boukeloua avec trois parties distinctes de la courbe enveloppe.

a- Parti e №1

λH semblent constant tendance de « Sway mechanism » la charge horizontale est

prépondérante.

P 3N 3T:

- Pour α ≤ 0.60 tendance de « total first and second story sway mechanism ».

P 3N 4T:

- Pour α ≤ 0.73 tendance de « total first and second storey sway mechanism ».

P 4N 3T:

- Pour α ≤ 0.84 tendance de « total first and second storey sway mechanism ».

b- Parti e №2

Partie inclinée représentante des tendances des « combined mechanism » d’où la

contribution des charges verticales et horizontales à la formation des mécanismes de

ruine est prépondérante.

P 3N 3T:

- Pour α∈] 0.93 – 0.6 [ tendance de « total lower storey combined mechanism »

avec un « total second storey sway mechanism ».

- Pour α = 0.93 tendance de « total second storey sway mechanism » avec

« total combined mechanism »

- Pour α∈] 0.93 – 4.5 [ tendance de « double combined mechanism ».


65

P 3N 4T:

- Pour α∈] 0.47 – 0.73 [ tendance de « total lower storey combined

mechanism » avec un « total second storey sway mechanism ».

- Pour α = 0.73 tendance de « total second storey sway mechanism » avec « total

combined mechanism ».


P 4N 3T:

- Pour α∈] 0.84 –1.2 [ tendance de « total lower storey combined mechanism »

avec un « total second storey sway mechanism ».

- Pour α = 1.2 tendance de « total second storey sway mechanism» avec un

« total lower storey combined mechanism » et « total third storey sway

mechanism ».

- Pour α∈] 1.2 –1.39 [ tendance de « total lower and second storey combined

mechanism » avec un « total third storey sway mechanism ».

- Pour α = 1.39 tendance de « total third storey sway mechanism » avec un

« double combined mechanism ».


c- Parti e №3

λV a des valeurs plus au moins constantes, l’étendue de cette partie dépend

essentiellement de α dont la charge verticale est prépondérante et pour une

combinaison de l/Mpb ; h/Mpc considérée constante, d’où l’ importance de ces deux

paramètres par rapport aux valeurs des charges de ruine et des mécanismes de ruine

développés.

P 3N 3T :

- Pour α ≥ 4.5 tendance de «beam mechanism» au niveau de chaque poutre.

P 3N 4T :


P 4N 3T :


66


3-6-4 Synthèse

A la suite de ce qui a été développé au paragraphe (§ 3-5) où les différents mécanismes

ont été traité dans le détail et ce qui a été développé dans le paragraphe (§3-6-3) avec les

différents développements graphiques pour les trois portiques témoins, il ressort

qu’effectivement que le paramètre le plus influent est le rapport α pour une combinaison

donnée de l/Mpb et h/Mpc.

Ces diagrammes d’interaction présentent une forte similitude avec ceux des portiques

simples (un niveau et une travée) et ceux des portiques de deux niveaux et une travée

réalisés par Boukeloua [2] :

a- Partie №1 : tendance de « Sway mechanism » dont la charge horizontale est

prépondérante. cette partie est nettement similaire pour les trois portiques témoins

ainsi que le portique simple (un niveau et une travée) et le portique de deux niveaux

et une travée représentés dans le chapitre 2.

b- Partie №2 : Partie inclinée représentante des tendances (chaque tendance représente

une inclinaison) des « combined mechanism ». la similitude est relativement

semblable des trois portiques testés avec ceux des portiques simples (un niveau et

une travée) et ceux des portiques de deux niveaux et une travée décrits dans le

chapitre 2. Il est constaté que le P 3N 3T a deux inclinaisons ainsi que le P 3N 4T

par contre le P 4N 3T a trois inclinaisons.

c- Partie №3 : tendance de « beam mechanism » dont la charge verticale est

prépondérante. cette partie est édifiante pour les trois portiques témoins ainsi que le

portique simple (un niveau et une travée) et relativement similaire avec le portique

de deux niveaux et une travée représentés dans le chapitre 2.

A partir des diagrammes d’interaction, la détermination des mécanismes de ruine est très

possible, elle est liée directement à la relation entre les deux charges λV et λH présentées sur

les diagrammes d’interaction en fonction de α.

Le rapport α=λV/λH agit directement sur les charges de ruine et les mécanismes

développés.


67

La partie inclinée qui représentante des tendances des « combined mechanism » est liée

directement avec le nombre de niveaux d’un portique à l’autre, c'est-à-dire, chaque rajout

d’un niveau va faire créé à son toure une nouvelle tendance des « combined mechanism ».

Il est clair que ce diagramme d’interaction est divisé en trois zones:

- zone (I) : représente les combinaisons de charges (λV et λH) sécuritaires, c'est-à-

dire, le comportement des sections critiques est parfaitement élastique

- zone (II ) : représente les combinaisons de charges (λV et λH) qui participe à la

formation d’un nombre de rotules plastiques inférieur à celui qui cause la ruine

- zone (II I) : représente les combinaisons de charges inacceptables.

Chapitre 4

ANALYSE DE STRUCTURES EN PORTI QUES ENDOMMAGÉES

Chapitre 4 Analyse de structures en portiques endommagées

68

4 ANALYSE DE STRUCTURES EN PORTIQUES ENDOMMA GÉES

4-1 Rétro-analyses pour des structur es simples endommagées

4-1-1 Introduction

L’image réelle instantanée après l’endommagement d’une section ou plus ou d’un

élément de structure ne peut être obtenue qu’en utilisant les concepts de l’analyse plastique

des structures et ce exclusivement par le biais de rétro-analyses de la structure en tenant

compte du phénomène de redistribution des moments fléchissants.

4-1-2 Processus d’obtention de l’image réelle après l’endommagement

L’analyse de la structure sans tenir compte des différentes valeurs des moments

plastiques aux différentes positions critiques (là où les moments sont maximums) va faire

ressortir inéluctablement des moments fléchissants supérieurs aux moments plastiques

correspondants. La distribution des moments fléchissants étant indépendante de la forme des

sections, alors que les moments plastiques sont des caractéristiques des sections dépendant

exclusivement des formes géométriques de ces dernières et de leurs caractéristiques

mécaniques. Les méthodes de détermination des diagrammes des moments fléchissants (ces

derniers sont uniquement fonction de la nature du chargement et des conditions d’appuis)

supposent un comportement élastique ceci étant correct du point de vue mathématique et

impossible du point de vue physique car les moments fléchissants ne peuvent, en aucun cas,

être supérieurs aux moments plastiques correspondant. D’où la nécessité d’adopter une

démarche qui consiste à ramener l’ensemble des moments fléchissants, au maximum, au

niveau des sections critiques aux moments plastiques respectifs. La redistribution des

moments fléchissants commence dés l’i nstant qu’une section atteint le moment plastique et ce

processus continue jusqu’à ce qu’i l n y ait plus de moment fléchissant supérieur au moment

plastique à quelque niveau que se soit. Au moment de l’arrêt du processus de redistribution,

l’ image instantanée est alors obtenue et les positions de différentes rotules plastiques

complètement identifi ées.

4-1-3 Exemples d’application

4-1-3-1 Poutre doublement encastrée endommagée

Les caractéristiques géométriques et mécaniques de la poutre doublement encastrée et le

point d’application de la charges concentrée verticale, V, et les sections critiques de A à C au

niveau des nœuds et sous l’application de la charge concentrée, sont représentés sur la

figure (4-1) :


69

Figure (4-1) : Poutre doublement encastrée avant l’endommagement.

La poutre doublement encastrée représentée sur la figure (4-1-a) supporte une charge

verticale concentrée, V, permanente d’une valeur de 70 kN. Le comportement de la poutre

avant l’endommagement est élastique (c'est-à-dire le comportement des sections critiques est

élastique), et une analyse élastique donne un diagramme des moment fléchissants représenté

sur la figure (4-1-b).

Une fois la structure subit un endommagement, pour le cas présent encastrement au

niveau du point B est remplacé par une rotule mécanique où le moment devient égal à zéro.

Le traitement de la poutre doublement encastrée après l’endommagement devient celui d’une

poutre encastrée à une extrémité (point A) et articulée à l’autre (B). Le diagramme des

moments fléchissants de cette dernière figure 4-2-a (étape № 1 du processus) relève un

moment max au niveau de l’encastrement A supérieur au moment plastique (il en de même

pour une partie de la poutre proche de cet encastrement). Ceci étant juste du point de vue

mathématique car le comportement est supposé être élastique et ce diagramme ne tient en

aucune manière la valeur du moment plastique mais impossible du point de vue physique. A

cet instant une rétro-analyse devient nécessaire et un processus commencera par ramener le

moment max observé dans ce cas (115.97 kN.m) au niveau du moment plastique

(Mp= 100 kN) le facteur redresseur, λr devient égal à 115.97 / 100= 1.159 ce qui donne un

diagramme des moments fléchissant redressé (figure 4-2-a-colonne4). La poutre originelle

endommagée est remplacée par une poutre avec deux articulations au niveau des

encastrements la rotule mécanique (M= Mp) est remplacée par une rotule mécanique (M= 0)

et elle est réanalysée de la même manière que pour l’étape №1 mais en prenant en compte le

a) schéma de la poutre

b) diagramme des moments fléchissants avant

l’ endommagement (kN.m)

70 kN

A B

3 m 6 m

92.79

62.40

47.21

Mp = 100 kN.m


70

phénomène de redressement de l’étape №1. Le diagramme des moment fléchissants redressés

de l’étape №1 aurait été obtenu avec un chargement de (70 –X) kN dans ce cas X= 9.64 kN.

Poutre sous charge concentrée (kN)

DMF sous charge fictive (kN.m)

DMF sous charge Réelle de 70 kN

(kN.m)

DMFR (kN.m)

Eta

pe №

1

a) rétro-analyse pour la poutre endommagée étape № 1

Eta

pe №

2

b) Rétro-analyse pour la poutre endommagée étape № 2

Figure (4-2) : Rétro-analyse pour la poutre endommagée

La poutre bi- encastrée est analysée avec cette différence de chargement avec un

diagramme des moments fléchissants représenté sur la figure (4-2-b-colonne 2) ce diagramme

devait être supérieur au diagramme des moments fléchissants redressé de l’étape №1 et il est

représenté sur la figure (4-2-b-colonne 3). Ce diagramme ne nécessite pas d’être redressé à

son tour car tous les moments sont inférieurs aux moments plastiques. Le processus de rétro-

analyses s’arrête automatiquement, dans le cas où ce diagramme nécessite d’être redressé à

son tour une troisième étape aurait être nécessaire.

En fin de processus la poutre qui était à l’or igine avait l’endommagement deux fois

hyperstatique est devenu à la fin du processus (image instantanée) après la rupture de

l’encastrement) une poutre isostatique.

54.04

100

: Rotule plastique

0

75.73

100

0

100

75.73

λr = 1

9.64

B A

: Rotule mécanique

21.69

0 0

62.68

115.97

λr = 1.159

70

B 35

A

Poutre endommagée au niveau du nœud B

0

0


71

4-3-1-2 Porti que simple endommagé

Les caractéristiques géométriques et mécaniques du portique et les points d’application

des charges concentrées verticale, V, et horizontale, H, et les sections critiques de A à E au

niveau des nœuds et sous l’application des charges concentrées V et H, sont représentés dans

la figure (4-3) :

Figure (4-3) : Portique simple à une travée et un niveau avant l’endommagement.

Le portique simple représenté sur la figure (4-3-a) supporte une combinaison de

charges, une charge verticale concentrée, V, et une charge horizontale concentrée, H, il est

supposé initialement que V = H = 35 kN. Le comportement du portique avant

l’endommagement est élastique (c'est-à-dire le comportement des sections critiques est

élastique), et une analyse élastique donne un diagramme des moment fléchissants représenté

sur la figure (4-3-b).

Une fois le portique subit un endommagement, dans ce cas, au niveau du nœud, D. ce

nœud est modélisé par une rotule mécanique (figure 4-4-a) le traitement du portique

35 kN

Mp = 100 kN.m

A

C

E

B

5

10

35 kN

5

D

26.71

74.87

71.79

87.24 42.50

a) schéma du portique

b) diagramme des moments fléchissants avant

l’endommagement (kN.m)


72

endommagé donne un diagramme des moments fléchissants (figure 4-4-a-colonne 3). Ce

diagramme des moments fléchissants relève un moment max au niveau de l’encastrement, E,

supérieur à Mp (il en est de même pour une partie du montant droit proche de cet

encastrement). Ceci étant juste du point de vue mathématique mais impossible du point de

vue physique. A cet instant le processus de rétro-analyses s’enclenché et le facteur redresseur,

λr, a une valeur de 1.108 (Mmax / Mp= 110.79/100) (figure 4-4-a) le diagramme des

moments fléchissants redressé est représenté au niveau de la quatrième colonne de la figure

(4-4-a).

Le portique originel endommagé est remplacé par un portique avec deux rotules (une

rotule modélisant l’endommagement au point D et une rotule mécanique qui remplace la

rotule physique M = Mp au point E de l’ étape №1). Le portique en question est réanalysé sous

l’action des charges excédentaires c’est la diff érence entre les charges appliquées

permanentes (35 kN) est les charges qui auraient données le diagramme des moments

fléchissants redressé (figure 4-4-a-colonne 4) [35 - 31.59= 3.41 kN].

Le diagramme des moments fléchissants sous cette différence de charges qui ont fait des

charges fictives représenté sur la figure (4-4-b-colonne 2).

Le diagramme des moments fléchissants étant la superposition du diagramme des

moments fléchissants redressé de l’étape №1 et le diagramme des moment fléchissants sous la

combinaisons différences de charges (figure 4-4-b-colonne 2). Ce diagramme est représenté

sur la figure (4-4-b-colonne 3) et il s’avère que le moment plastique avec au niveau du

point A est supérieur au moment plastique avec une petite zone proche du point A sur le

montant gauche, le facteur redresseur correspondant est de 1.0448 et le diagramme des

moments fléchissants redressé correspondant est représenté sur la figure (4-4-b-colonne 4).

Le processus de rétro-analyses devant être poursuivi et la même démarche est adoptée

au niveau de la troisième étape dont le diagramme des moments fléchissants redressé final est

représenté sur la figure (4-4-c-colonne 4). La fin de cette étape révèle que le portique avant

l’endommagement étant trois fois hyperstatique s’est transforme à la fin du processus (image

instantanée immédiatement après la rupture d’un nœud) en un mécanisme de ruine dont la

nature est facilement identifiée à un « combined mechanism ».

Dans ce cas la rupture d’un encastrement a engendre une ruine totale.


73

c) Rétro-analyse pour le portique endommagé (étape №3)

Figure (4-4) : Rétro-analyse pour le portique endommagé

portique sous charges concentrées (kN)

DMF sous charges fictives (kN.m)

DMF sous charges réelles de 35 kN

(kN.m)

DMFR (kN.m)

Eta

pe №

1

a) Rétro-analyse pour le portique endommagé (étape №1)

Eta

pe №

2

b) Rétro-analyse pour le portique endommagé (étape №2)

Eta

pe №

3

85.74

29.34

87.29 100

0

: Rotule plastique

93.76

29.68

100 100

0

100

25

100 100

0

6.24

4.68

0 0

0

100

25

100 100

0

λr = 1

0.93

0.93

A

B C D

E

3.41

3.41

A

B C D

E

: Rotule mécanique

96.79

29.81

104.81 100

0

λr = 1.048

11.05

0.47

17.52 0

0

95

32.51

96.71 110.79

0

λr = 1.108

35

35

A

B C D

E

Portique endommagé au niveau du nœud D


74

4-2 Analyse des trois port iques témoins endommagés en util isant la méthode non linéaire « pushover »

4-2-1 Introduction

L’i mage instantanée après l’endommagement d’un élément de la structure

(diagramme des moments fléchissants immédiatement après la rupture où les sections qui

auront atteint les valeurs des moments plastiques correspondants sont clairement et

précisément identifi ées) n’est possible que par l’ utili sation de rétro-analyses. L’obtention de

l’ image réelle en utilisant le processus décrit dans le paragraphe précédent (§ 4-1) pour des

structures simples est facile mais quand la structure devient multi-étagée et/ou multi-travée,

le processus devient laborieux. Pour se faire, la méthode « pushover » a été util isée pour

l’obtention de l’ image instantanée pour trois portiques témoins dont un portique témoin de

base avec trois niveaux et trois travées. Ces images instantanées ont été obtenues suite

respectivement à la rupture d’un poteau central et poteau de rive. En plus de cela les effets

quelques paramètres influents sont mis en exergue (le rapport géométrico-mécanique à

savoir l/Mpb et le rajout d’un niveau ou celui d’une travée).

Le présent travail a été accompli pour une valeur constante de h/Mpc =3/200=0.015 kN-1 et

trois valeurs de l/Mpb à savoir 0.03, 0.034 et 0.04 kN-1 donc trois cas différents :

- le premier cas pour Mpb =150 kN.m, Mpc =200 kN.m : donc la valeur du rapport

géométrico-mécanique l/Mpb= 6/150 = 0.04 kN-1.

- le deuxième cas pour Mpb =175 kN.m, Mpc =200 kN.m : donc la valeur du rapport


- le troisième cas pour Mpb =200 kN.m, Mpc =200 kN.m : donc la valeur du rapport


En ce qui concerne le chargement, seul un cas de chargement (des charges verticales) a été

retenu (V= 100 kN).

Il a été jugé nécessaire et pratique de représenter les diagrammes des moments

fléchissants et les portiques endommagés avec les différentes rotules plastiques développées

et leur ordre d’apparition.


75

4-2-2 Endommagement d’un poteau central du P 3N 3T (portique de base)

4-2-2-1 Image instantanée après l’ endommagement

-1er cas : Mpb =150 kN.m, Mpc =200 kN.m

a) diagramme des moments fléchissants du P 3N 3T après la rupture d’un poteau central (kN.m)

b) disposition des rotules plastiques avec ordre d’apparition du P 3N 3T

Figure (4-5) : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 3N 3T : cas de Mpb= 150 kN.m

27.06

0 42.49 79.21

75.24 150 150

66.27

150

150 83.24

35.66

150

150

49.49

0

69.56

19.82 20.54 23.93

74.88 150 150

8.44

150

150 69.71

27.30

150

150

42.50 70.79

34.23

80.44 47.58

75.48 150 150

85.89

150

150 63.15

150

150

64.11

0

: Rotule plastique

1

13

10

3

13

2 5

13

11

6 4

13

7 13

12 8

13 9


76

-2ème cas : Mpb =175 kN.m, Mpc =200 kN.m




37.22

6.52 94.54 39.16

74.73 128.60 121.07

72.73

132.20

175

78.51

34.30

175

117.14

59.25

14.90

80.07

23.88 20.30 28.49

73.48 127.46 124.20

86.32

129.92

175

66.71

27.56

175

123.39

86.32 80.46

43.01

0 94.93 44.21

72.92 128.03 120.64

56.18

131.06

175 57.97

175

116.28

78.82

14.77

: Rotule plastique

1 3

5 2

6 4


77

-3èmecas : Mpb =200 kN.m, Mpc =200 kN.m

a) diagramme des moments fléchissants du P 3N 3T après la rupture

d’un poteau central (kN.m)



46.75

7.12 38.30 108.53

73.62 106.41 99.42

77.67

112.83

200

75.29

35.79

200

98.83

67.40

12.15

92.60

28.82 21.15 32.66

72.09 105.68 102.12

90.1

111.36

200

65.72

27.42

200

104.24

63.25 91.47

54.93

1.84 94.93 39.50

70.33 103.81 107.55

106.76

107.63

200 52.58

200

90.09

93.24

17.52

: Rotule plastique

1 3

5 2

6 4


78

4-2-2-2 Pr incipales constatations

L’analyse du portique P 3N3T après l’endommagement du poteau central fait

ressortir les constatations suivantes :

- Les rotules plastiques se sont développées uniquement au niveau des poutres.

- Le nombre développé de rotules plastiques juste après l’endommagement pour le

premier cas (Mpb =150 kN.m) est de dix-huit les six dernières rotules apparaissant

simultanément en mi-travée des poutres (figure 4-5) mais pour les deuxième

(Mpb =175 kN.m) et troisième cas (Mpb =200 kN.m) le nombre est réduit à six

(figures 4-6 et 4-7).

- L’emplacement et l’ordre des six premières rotules plastiques développées pour le

premier cas et ceux pour le deuxième et le troisième cas sont absolument les mêmes.

- Dés qu’une des conditions (équilibre, écoulement et mécanisme) n’est pas satisfaite,

en l’occurrence, la condition d’équilibre, dans ce cas, le processus est condamné à

s’arrêter quelque soit le nombre de rotules plastiques développé. Cette situation est en

fait expliquée par le développement d’un mécanisme élémentaire ou d’une ruine

partielle.

- Les rotules plastiques formées au niveau des poutres du deuxième et troisième cas

pourront être considérées comme bloquées (car elles ne peuvent pas agir sur la

déformabili té globale de la structure). Dans ce cas les six rotules plastiques peuvent

être considérées comme bloquées (figure 4-6-b et 4-7-b).

- Le nombre théorique de rotules nécessaires pour la transformation du portique témoin

en question en un mécanisme est de n= r + 1= 28. ce qu’est, en fait, la condition de

mécanisme conformément aux théorèmes de la plasticité. Cette dernière n’est pas

satisfaite pour l’ ensemble de ces cas.

4-2-2-3 Synthèse

- L’endommagement d’un poteau central n’entraîne pas l’écroulement total de la

structure (le nombre de rotules ainsi que leur emplacement n’atteint pas le nombre

nécessaire de sa transformation en un mécanisme total).

- Pour le deuxième et le troisième cas, l’endommagement du poteau n’entraîne aucune

déformabili té du portique. De ce fait, l’endommagement est local car les six rotules

développées considérées comme bloquées (le portique pouvant être considéré comme

statique).

- Les ruines partielles sont constituées de « beam mechanisms ». Les rotules ont

tendance à se développer au niveau des poutres, les poteaux restants intacts.


79

4-2-3 Endommagement d’un poteau de rive du P 3N 3T (portique de base)




d’un poteau de rive (kN.m)


Figure (4-8) : Image instantanée après l’endommagement du poteau de rive du P 3N 3T : cas de Mpb= 150 kN.m

8.61 42.95 150

28.94

80.83 75.88 150

150 150

150

10.84

6.70

1.76

150

85.42 0.62 80.97

38.66 20.07 13.42

81.95 68.42 150

127.19 139.09

150

12.37

37.82

23.56

150

95.32

66.54

32.85

69.03 10.59

87.76 64.93 150

134.23 150

150 9.75

20.14 150

114.09

0.62

0

150

: Rotule plastique

10

7 5

4

2

10 8

1

10

6 3

9


80





Figure (4-9) : Image instantanée après l’endommagement du poteau de rive du P 3N 3T: cas de Mpb= 175 kN.m

11.65 48.81

21.82 118.32

80.83 67.55 135.16

149.19 166.54

145.32

10.84

5.25

1.72

175

83.12 2.50 78.07

39.50 20.89 10.95

81.81 67.32 121.66

124 141.91

12.37

34.19

24.04

175

88.30

67.80

15.72

67.26 5.58

87.76 59.65 118.18

126.50 161.50

111.36

2.03 19.18

175

107.32

5.94

13.49

111.36

118.32

: Rotule plastique

3

2

1


81






14.43 54.86 95.51

18.83

80.72 66.90 108.10

146.70 166.62

116.20

8.14

3.71

0.42

200

81.69 14.40 73.79

41.25 22.13 9.32

81.89 65.86 97.76

122.78 145.60

13.42

32.26

23.08

200

85.27

65.44

0.46

52.40 4.43

87.94 57.35 94.14

124.16 167.31

88.29

0.05

17.98

200

106.18

18.98

38.68 88.29

95.51

: Rotule plastique

3

2

1


82


L’analyse du portique P 3N3T après l’endommagement du poteau de rive fait




premier cas (Mpb =150 kN.m) est de douze les trois dernières rotules apparaissant

simultanément en mi-travée des poutres (figure 4-8) mais pour les deuxième

(Mpb =175 kN.m) et troisième cas (Mpb =200 kN.m) le nombre est réduit à trois

(figures 4-9 et 4-10).

- L’emplacement et l’o rdre des trois premières rotules plastiques développées pour le






partielle.

- Les deux rotules plastiques (5) et (7) formées au niveau des poutres du premier cas et

ceux du deuxième et troisième cas pouvant être considérées comme bloquées (car

elles ne peuvent pas agir sur la déformabilité globale de la structure). Dans ce cas les

trois rotules plastiques considérées comme bloquées (figure 4-9-b et 4-10-b).


en question en un mécanisme est de n= r + 1= 28. ce qui est, en fait, la condition de



4-2-3-3 Synthèse

- L’endommagement d’un poteau de rive n’entraîne pas l’ écroulement total de la




déformabili té du portique. De ce fait, l’endommagement est local car les trois rotules


statique).




83

4-2-4 Endommagement d’un poteau central du P 3N 4T



a) diagramme des moments fl échissants du P 3N 4T après la rupture d’un poteau central (kN.m)


Figure (4-11) : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 3N 4T: cas de Mpb= 150 kN.m

40.10 0

40.07 4.62

80.46

73.07 77.38

150 72.08

150 150

68.97

150

81.77 150

5.67 76.27

42.27

5.36 31.37

150

69.37 39.97

80.63

67.97 82.82

150 86.30

150 150

73.58

150

77.76 150

150

60.79

4.18 63.70

0

18.04 5.06 16.53 27.18

70.71 79.10

150 81.60

150 150

72.64

150

76.97 150

150

69.17

29.07 0.29 28.32 69.54

7.44 46.55

: Rotule plastique

3

13 13 7

1

11

6

13 13 8

4

12

5

13 13 9

2

10


84





39.46 3.58

50.32 3.06

94.76

72.15 77.42

175 76.06

127.52 122.16

69.80

130.03

79.65 175

12.53 75.37

41.50

4.61 41.12

119.32

79.99 33.87

95.01

65.45 83.18

175 94.76

127.25 121.43

73.46

129.49

74.37 175

119.87

60.18

0.88 80.24

11.62

18.52 5.26 20.93 31.62

69.33 79.21

175 86.28

126.72 124.93

72.42

128.44

75.05 175

124.85

69.16

29.67 0.42 37.91 80.24

5.34 57.83

3.58

: Rotule plastique

3 1

6 4

5 2


85



d’un poteau central (kN.m)



39.32 4.24

62.76 2.89

108.42

71.26 77.42

200 79.20

104.35 98.71

69.89

108.69

78.27 200

1.05

75.27 40.52

5.22 52.02

97.42

92.19 34.67

107.81

62.93 83.53

186.26

103.03

102.98 102.67

73.09

105.97

71.11 200

91.10

60.79

1.98 69.97

14.37

19.44 5.96 25.57 36.06

68.00 79.29

200 90.15

103.58 101.45

71.49

102.89

73.85 200

98.65

69.63

30.11 0.53

47.09 91.58

3.16 68.78

12.32

: Rotule plastique

3 1

4

5 2


86





premier cas (Mpb =150 kN.m) est de dix-huit les six dernières rotules apparaissant

simultanément au mi-travée des poutres (figure 4-11) mais pour les deuxième cas

(Mpb =175kN.m) le nombre est réduit à six et pour le dernier cas (Mpb =200 kN.m) le

nombre est réduit à cinq rotules seulement (figures 4-12 et 4-13).

- L’emplacement et l’ordre des cinq premières rotules plastiques développées pour le






partielle.


pourront être considérées comme bloquées (car elles ne peuvent pas agir sur la

déformabili té globale de la structure). Dans ce cas les six (2èmecas) et les cinq rotules

(3èmecas) plastiques considérées comme bloquées (figure 4-12-b et 4-13-b).




satisfaite pour l’ ensemble des cas.

4-2-4-3 Synthèse





déformabili té du portique. De ce fait, l’endommagement est local car les six (2èmecas)

et les cinq rotules (3èmecas) développées pouvant être considérées comme bloquées

(le portique pouvant être considéré comme statique).


tendance à se développer au niveau des poutres et les poteaux restants intacts.


87

4-2-5 Endommagement d’un poteau de rive du P 3N 4T



a) diagramme des moments fléchissants du P 3N 4T après la rupture d’un poteau de rive (kN.m)


Figure (4-14) : Image instantanée après l’endommagement du poteau de rive du P 3N 4T: cas de Mpb= 150 kN.m

5.17

41.14 3.19 60.33

74.76 79.94 150

57.93

150 69.19

127.7 142.17 24.78 19.45

5.24

6.74 6.74

46.63 57.93

150

78.55 5.68

74.45

74.86 85.25

150

105.06

150 64.15

115.90 139.17 45.22 32.33

150

13.59

70.68 72.73 10.63

11.22 27.12 23.88

75.02 80.62 150

104.92

150 69.51

111.73 122.26 45.05 38.72

150 26.96

32.13 6.37 63.01

56.29 48.30

1.5

13.4

2.59

150

150

: Rotule plastique

6

5

2

5

2

3

4

7

1


88



b) disposition des rotules plastiques avec ordre d’apparition du PT 3N 4T


3.44

47.82 5.58 58.10

74.79 79.88 145.34

124.02

135.17 68.46

125.96 142.97 26.40 20.1

18.59

14.27 7.90

45.41 56.73

175

77.05 6.37

68.28

75.16 85.13

111.82

103.06

118.41 61.85

114.75 145.35 46.61 30.95

175

14.49

68.14 72.12 29.65

12.12 28.10 25.55

75.13 80.63 117.84

104.16

121.42 68.12

111.32 126.52 45.58 37.25

175

27.43

30.87 7.63 61.33

54.25 47.19

0.31

0.67

13.43

111.82

117.84

: Rotule plastique

2

3

1


89





1.52

8.01 54.24 55.59

74.82 79.82 116.21

122.35

108.10 67.44

124.23 143.78

28.01 20.72

31.25

16.12 8.72

43.57 56.07

200

62.82 7.4

53.39

45.46 85.02

88.74

101.24

94.37 59.51

113.78 151.68

47.83 29.31

200

16.19

65.95 71.93 48.32

12.9 28.79 27.15

75.24 80.60 95.06

103.24

97.53 66.75

110.74 130.52

43.57 35.98

200

28.07

29.59 8.87 59.24

52.63 45.55

2.08

15.24

24.95

88.74

95.06

: Rotule plastique

2

3

1


90






premier cas (Mpb =150 kN.m) est de neuf les trois dernières rotules apparaissant

simultanément au mi-travée des poutres (figure 4-14) mais pour les deuxième

(Mpb =175 kN.m) et troisième cas (Mpb =200 kN.m) le nombre est réduit à trois

(figures 4-15 et 4-16).

- L’emplacement et l’o rdre des trois premières rotules plastiques développées pour le






partielle.

- Les trois rotules plastiques du deuxième et troisième cas pourront être considérées

comme bloquées (car elles ne peuvent pas agir sur la déformabilité globale de la

structure). Dans ce cas les trois rotules plastiques pouvant être considérées comme

bloquées (figure 4-15-b et 4-16-b).





4-2-5-3 Synthèse





déformabili té du portique. De ce fait, l’endommagement est local car les trois rotules


statique).




91

4-2-6 Endommagement d’un poteau central du P 4N 3T






74.96 150 150

73.34

150

150 76.74

36.80

150

150

38.61

1.23

75.74

24.98 19.56

150 68.25

150

38.05

74.26

39.94

75.16 150 150

65.38

150

84.30 150

150

34.89

6.02

27.56

0 80.66 39.63

18.55

75.01 150 150

81.73

150

28.62

150

40.68 69.34

64.52

0 150 63.49

49.73

75.51 150 150

85.47

150

47.27

150

150

81.04

68.96

37.03

: Rotule plastique

15

4

8 1 17

5

2

17

17 14

3 17

9 17

13 11

17 7

17 6

17 16 12 10


92





73.80 126.84 123.66

86.55

128.68

175 74.02

35.43

175

122.31

48.12

1.10

88.49

28.74

48.51

5.26 86.51 38.59

74.26 126.96 121.57

78.38

128.91

175 81.18

175

118.14

44.09

2.45

37.31

6.21 95.48 37.43

22.97 19.83 29.32

73.48 128.28 125.17

86.55

131.56

175

66.16

175

125.35

51.14 79.52

80.48

12.05 150

44.80

60.60 36.38 79.32

72.97 126.78 120.75

94.52

128.55

175

59.53

175

116.50

95.68 13.22

: Rotule plastique

7 1

2 4

5 3

8 6


93





72.66 103.59 107.18 99.75

35.36

99.50

58.92 100.95 60.28

56.04

80.80

200

73.87

200

1.46 6.23 99.05 38.51

73.36 103.46 97.92

73.63

106.91

200

95.84 55.27

1.43

46.59

7.34 37.21 109.14

28.13 20.93 33.29

72.28 104.99 101.31

89.75

109.97

200

65.70

28.50

200

102.63

63.67 90.86

200

79.66 12.50

91.30 37.63

70.42 102.03 102.39

103.12

104.06

184.57

200

89.34 96.88

14.71

108.70

71.11

42.03

: Rotule plastique

7 1

2 4

5 3

6


94





premier cas (Mpb =150 kN.m) est de vingt quatre les huit dernières rotules

apparaissant simultanément au mi-travée des poutres (figure 4-17) mais pour les

deuxième cas (Mpb =175kN.m) le nombre est réduit à huit et pour le dernier cas

(Mpb =200 kN.m) le nombre est réduit à sept rotules seulement (figures 4-18

et 4-19).

- L’emplacement et l’ordre des sept premières rotules plastiques développées pour le






partielle.


pouvant être considérées comme bloquées (car elles ne peuvent pas agir sur la

déformabili té globale de la structure). Dans ce cas les huit (2èmecas) et les sept rotules

(3èmecas) plastiques considérées comme bloquées (figure 4-18-b et 4-19-b).





4-2-6-3 Synthèse





déformabili té du portique. De ce fait, l’endommagement est local car les huit

(2èmecas) et les sept rotules (3èmecas) développées pouvant être considérées comme

bloquées (le portique pouvant être considéré comme statique).




95

4-2-7 Endommagement d’un poteau de rive du P 4N 3T






8.02 43.51

150

25.79

82.08 72.34 150 150

5.22 71.05 6.98 88.39

38.40 13.17 20.47

81.66 68.42 150

94.00 139.46

150

10.77

36.56

23.89 150

94.00

73.63

32.77

61.61

150 150

14.16

5.33

150

8.95

82.95 74.97 150

150

69.84 15.91

0.05

150

62.41 9.25

150

150 10.99

87.61 65.00 150

133.77 150

150 8.99

20.01 150

113.75 0

150

80.52

87.54 4.92

: Rotule plastique

14 7

1

14 9 8

5

2

14 10 3

6

11

14 12 4

13


96





10.94 49.12

117.08 20.55

81.85 66.32 132.98 140.97

2.66 70.24 2.31 79.16

39.50 11.13 21.29

81.62 67.08 121.04

123.55 141.55

13.20

33.75

24.29

175

88.32

71.36

15.67

175

9.54

144.81 163.14

8.52

3.21

175

61.81 5.86

80.80 68.16 130.17

147.86 162.88

65.72 9.49

0.81

65.19 9.25

135.33

175

69.61

5.03

87.66 59.47 115.81

125.54 161.24

106.62 0.85

19.82

105.72 13.76 106.62

175

2.87 81.87

5.03

117.08

: Rotule plastique

1

3

2

4


97





13.58 55.06

94.89 17.86

81.82 65.83 106.67 113.34

1.22 68.98 15.55 64.31

41.26 9.57 22.56

81.70 65.76 97.45

122.54 145.27

14.06

31.91

23.22

200

85.75

69.60

0.33

49.03

20.06

142.53 164.40

6.17 3.95

200

4.95

80.73 67.31 103.78

145.93 163.86

54.44 7.39 1.52

200

63.68 19.42 53.12

3.37

87.84 57.20 92.10

123.52 167.08

84.20 0.80 18.53

200

104.99 32.92 84.20

107.56

16.72 80.73 4.01

94.89

: Rotule plastique

1

3

2

4


98





premier cas (Mpb =150 kN.m) est de dix sept les quatre dernières rotules apparaissant

simultanément au mi-travée des poutres (figure 4-20) mais pour les deuxième

(Mpb =175 kN.m) et troisième cas (Mpb =200 kN.m) le nombre est réduit à quatre

(figures 4-21 et 4-22).

- L’emplacement et l’ordre des quatre premières rotules plastiques développées pour le






partielle.

- Les cinq rotules plastiques (8), (9), (10), (11) et (12) formées au niveau des poutres

du premier cas (figure 4-20-b) et ceux du deuxième et troisième cas pouvant être

considérées comme bloquées (car elles ne peuvent pas agir sur la déformabil ité

globale de la structure). Dans ce cas les trois rotules plastiques considérées comme

bloquées (figure 4-21-b et 4-22-b).





4-2-7-3 Synthèse





déformabili té du portique. De ce fait, l’endommagement est local car les quatre

rotules développées considérées comme bloquées (le portique pouvant être considéré

comme statique).




99

4-3 Synthèse des synthèses

i. L’image instantanée après la rupture d’un poteau de base a été trouvée fortement

influencée par le rapport géométrico-mécanique l/Mpb. Le nombre de rotules développé est

proportionnel à l/Mpb (l’augmentation du rapport l/M pb prenant les valeurs suivantes 0.03 ;

0.034 ; 0.04 engendre une augmentation du nombre de rotules développé).

Par contre, le nombre de rotules développé est inversement proportionnel au Mpb

(l’augmentation du moment plastique de la poutre engendre une diminution du nombre de

rotules développé) et ceci pour les trois portiques et ce pour les deux cas étudiés à savoir

la rupture d’un poteau central et la rupture d’un poteau de rive.

- Endommagement d’un poteau central

Pour le P 3N 3T avec l/Mpb = 0.03 le nombre de rotules développé est de six.


Pour le P 3N 3T avec l/Mpb = 0.04 le nombre de rotules développé est de dix huit.



Pour le P 3N 4T avec l/Mpb = 0.04 le nombre de rotules développé est de dix huit.

Pour le P 4N 3T avec l/Mpb = 0.03 le nombre de rotules développé est de sept.

Pour le P 4N 3T avec l/Mpb = 0.034 le nombre de rotules développé est de huit.

Pour le P 4N 3T avec l/Mpb = 0.04 le nombre de rotules développé est de vingt quatre.

- Endommagement d’un poteau de rive

Pour le P 3N 3T avec l/Mpb = 0.03 le nombre de rotules développé est de trois.


Pour le P 3N 3T avec l/Mpb = 0.04 le nombre de rotules développé est de dix douze.



Pour le P 3N 4T avec l/Mpb = 0.04 le nombre de rotules développé est de neuf.

Pour le P 4N 3T avec l/Mpb = 0.03 le nombre de rotules développé est de quatre.

Pour le P 4N 3T avec l/Mpb = 0.034 le nombre de rotules développé est de quatre.

Pour le P 4N 3T avec l/Mpb = 0.04 le nombre de rotules développé est de dix sept.


100

Il est à noter que :

- Pour la rupture d’un poteau de base central la diminution du nombre de rotules

développé entre le cas de (l/Mpb = 0.04) et les deux cas de (l/Mpb = 0.034 ;l/M pb =

0.04) est de 66.67% et ceci pour les trois portiques témoins.

- Pour la rupture d’un poteau de rive la diminution du nombre de rotules développé

entre le cas de (l/M pb = 0.04) et les deux cas de (l/M pb = 0.034 ; l/Mpb = 0.04) est

respectivement de 75 et 76.46 %.

ii. La nature du poteau endommagé (de rive ou central) agit directement sur le nombre de

rotules développé ainsi que l’ordre et l’emplacement de ces dernières. Ce constat a été

observé pour les trois valeurs de l/Mpb.

- Cas de l/Mpb = 0.03 :

- L’endommagement d’un poteau central du P 3N 3T, le nombre de rotules

développé est de six.

- L’endommagement d’un poteau de rive du P 3N 3T, le nombre de rotules

développé est de trois.






développé est de sept.


développé est de quatre.

- Cas de l/Mpb = 0.034 :








101




développé est de huit.


développé est de quatre.

- Cas de l/Mpb = 0.04 :


développé est de dix huit.


développé est de douze.


développé est de dix huit.


développé est de neuf.


développé est de vingt quatre.


développé est de dix sept.

ii i. L’effet du changement de la forme en élévation (le rajout d’un niveau ou le rajout d’une

travée) est identif ié par la disposition des rotules aux différentes sections ou zones

critiques de chaque portique étudié. La disposition des rotules est similaire pour chaque

cas du rapport géométrico- mécanique l/Mpb.

- Endommagement d’un poteau central : cas de (l/M pb = 0..04 et l/Mpb = 0.034), la

disposition des rotules est identique pour les trois portiques témoins.

- Endommagement d’un poteau central : cas de (l/M pb = 0..03), la disposition des

rotules est identique pour les deux portiques témoins P 3N 3T, P 3N 4T et

quasiment similaire pour le portique témoin P 4N 3T avec une rotule manquante

au niveau du nœud droit du quatrième niveau.


102

- Endommagement d’un poteau de rive : cas de (l/M pb = 0..04 et l/M pb = 0.034), la

disposition des rotules est identique pour les trois portiques témoins.

- Endommagement d’un poteau de rive : cas de (l/M pb = 0..03), la disposition des

rotules est identique pour les deux portiques témoins P 3N 3T, P 3N 4T et

quasiment identique pour le portique témoin P 4N 3T avec trois rotules

manquantes considérées comme bloquées.

iv. Il à noter que les rotules développées peuvent être assimilées à des rotules bloquées,

c’est-à-dire, sans influence sur la déformabilité de la structure (si comme si elles étaient

des rotules mécaniques directement incrustées dans la structures) et ceci pour les cas

d’endommagement suivants :

- Endommagement d’un poteau central

Pour le P 3N 3T avec l/Mpb = 0.034, le nombre de rotules bloquées est de six.




Pour le P 3N 3T avec l/Mpb = 0.034, le nombre de rotules bloquées est de huit.

Pour le P 3N 3T avec l/Mpb = 0.03, le nombre de rotules bloquées est de sept.

- Endommagement d’un poteau de rive

Pour le P 3N 3T avec l/Mpb = 0.034, le nombre de rotules bloquées est de trois.




Pour le P 3N 3T avec l/Mpb = 0.034, le nombre de rotules bloquées est de quatre.

Pour le P 3N 3T avec l/Mpb = 0.03, le nombre de rotules bloquées est de quatre.

Chapitre 5

CONCLUSIONS ET PERSPECTI VES

Chapitre 5 Conclusions et perspectives

103

5 CONCLUSIONS ET PERSPECTIVE S

5-1 Introduction

Les conclusions de la présente recherche peuvent être scindées en deux grands axes :

Le premier est l’obtention de mécanismes de ruine et la construction de diagrammes

d’interaction pour un portique témoin non endommagé PT 3N 3T (port ique de base) et aussi

la mise en exergue des effets des paramètres censés être les plus influents sur le

comportement du portique témoin à savoir le rapport α=V/H ainsi que celui du rajout d’un

niveau ou le rajout d’une travée.

Le deuxième axe concerne l’analyse des images instantanées des trois portiques après

l’endommagement d’un poteau de base. L’étude a concerné l’endommagement d’un poteau

central et d’un poteau de rive distincte. Les effets du changement du rapport géométrico-

mécanique l/Mpb tout en gardant h/Mpc constant sont mis en valeur

5-2 Mécanismes de ruine des portiques non endommagés

i. Après l’analyse des trois portiques non endommagés pour la détermination des vrais

mécanismes de ruine par la méthode « pushover » il s’est avéré que le paramètre le plus

influent est le rapport α = V/H. il a un effet direct sur les mécanismes obtenus et les

charges de ruine. L’étude a révélé trois principaux intervalles de ‘α ’ où les principaux

changements sont constatés, l’étendue de ces intervalles est directement influencée par

la forme en élévation du portique (effet du rajout d’un niveau ou d’une travée).

Pour de faibles valeurs de ‘α’ : La prépondérance est aux « sway mechanisms »

localisée ou totaux.

Pour de grandes valeurs de ‘α’ : La prépondérance est aux « beam mechanisms »

localisée ou totaux.

Pour des valeurs intermidiaires de α où les mécanismes prépondrants sont des

« combined mechanisms » avec des combinaisons de quelques mécanismes élémentaires

y compris des « joint rotation mechanisms ».cette zone intermidiaire a été trouvée être

influencée aussi bien par le nombre de niveaux que par celui des travées.


104

ii. Les rapports géométrico-mécanique à savoir l/Mpb et h/Mpc agissent directement sur la

nature des mécanismes de ruine et les charges de ruine. De ce fait L’étendue de chaque

intervalle est directement liée à la combinaison (l/Mpb et h/Mpc).

iii. La troisième condition celle de mécanisme (développement de n rotules plastiques où

n=r+1 pour que la structure se transforme en un mécanisme), en conformité avec les

trois théorèmes fondamentaux de l’analyse plastique des structures, n’est pas

impérativement satisfaite pour les portiques à plus d’une travée et plus d’un niveau.

Cette non satisfaction de la condition de mécanisme a été observée pour les cas où un

mécanisme élémentaire où la combinaison de deux où plusieurs mécanismes

élémentaires se seront développés. L’analogie avec le « Beam mechanism » d’un

portique à un niveau et une travée est édifiante (développement de trois rotules au lieu

de quatre nécessaires pour le portique). De ce fait la condition de mécanisme n’est

satisfaite que s’il n y a pas de ruine partielle d’une partie de la structure ou de plusieurs.

Les explications ont été données avec détail dans le chapitre.3.

iv. La construction de diagrammes d’interaction, dans la littérature, n’est préconisée que

pour des portiques simples « Single bay single storey », il s’est avéré qu’elle a été

possible aussi bien pour le portique témoin d’une travée et deux niveaux P 2N 1T étudié

par Boukeloua [2] que pour les portiques (P 3N 3T, P 3N 4T et P 4N 3T) analysés dans

la présente thèse. La principale conclusion, elle concerne la forme de la partie inclinée

des diagrammes d’interaction c'est-à-dire celle qui concerne les « combined

méchanisms » cette partie a révélé la présence de deux valeurs tampons (limites ou

frontières) pour le cas du P 2N 1T, trois valeurs tampons pour les portiques P 3N 3T et

P 3N 4T et quatre valeurs tampons pour le portique P 4N 3T.

5-3 Analyse de portiques endommagés

L’étude a révélé que l’obtention de l’image instantanée après l’endommagement d’un

poteau de base d’une structure en portique n’est pas une opération facile car elle nécessite tout

d’abord une connaissance approfondie sur les concepts de l’analyse plastique des structures

avec une grande maîtrise de l’outil i nformatique.


105

L’étude fait ressortir les quelques principales conclusions suivantes :

i. L’i mage instantanée après la rupture d’un poteau de base a été trouvée fortement

influencer par le rapport géométrico-mécanique (l / Mpb prenant trois valeurs). Le

nombre de rotules développé est proportionnel à l/Mpb 0.03 0.034 0.04

(l’augmentation du rapport l/Mpb engendre une augmentation du nombre de rotules

développé), par contre, le nombre de rotules développé est inversement

proportionnel au Mpb (l’augmentation du moment plastique de la poutre engendre

une diminution du nombre de rotules développé) et ceci pour les trois portiques ainsi

que les deux cas étudiés à savoir la rupture d’un poteau central et la rupture d’un

poteau de rive.

ii. La nature du poteau endommagé (de rive ou central) agit directement sur le nombre

de rotules développé ainsi que l’ordre et l’ emplacement de ces dernières et ceci est

observé pour les trois les trois valeurs du rapport géométrico-mécanique l/Mpb.

L’effet du changement de la forme en élévation (le rajout d’un niveau ou le rajout d’une

travée) est caractérisé par la disposition des rotules aux diff érentes sections ou

zones critiques de chaque portique étudié. La disposition des rotules s’est avéré

être identique.

ii i. Il est à noté qu’un certain nombre de rotules peuvent être considérées comme des

rotules bloquées c'est-à-dire sans influence sur la déformabilité de la structure (c’est

comme si elles étaient des rotules mécaniques directement incrustées dans la

structure) et sans risques pour la structure endommagée.

iv. Les ruines partielles sont constituées de « beam mechanism ». Les rotules ont

tendance à se développer au niveau des poutres et non des poteaux. Ce qui facilite

l’opération de réhabili tation (recréation du poteau et replâtrage des zones

endommagées).

v. La rupture accidentelle d’un poteau central ou d’un poteau de rive n’entraîne pas

l’écroulement total de la structure (le nombre de rotules ainsi que leur emplacement

n’atteint pas le nombre nécessaire de sa transformation en un mécanisme total).


106

5-4 Perspectives

Le présent thème peut être développé dans plusieurs directions, et à notre sens, il y a

lieu de commencer par affiner et compléter ce qui a été réalisé dans le cadre de

l’accomplissement de la présente thèse en deux grandes parties :

Perspectives pour l’obtention des Mécanismes de ruine des portiques non endommagés :

i. Augmenter le nombre de sections critiques en augmentant le nombre des charges

concentrées verticales ou en utilisant carrément des charges uniformément réparties.

ii. Etablir une relation de l’étendue de chaque intervalle de, α, pour les différents

mécanismes de ruine en étudiant un nombre plus important de portiques pour les

valeurs tampons de α.

ii i. Elargissant l’ intervalle de variation pour les rapports géométrico-mécanique l/M pb et

h/Mpc.

Perspectives pour l’analyse des portiques endommagés :

i. Etudier (déterminer) un nombre plus important de portiques endommagés en faisant

changer la position du poteau endommagé au niveau des différents niveaux.

ii. Augmenter le nombre de sections critiques en augmentant le nombre des charges

concentrées verticales ou en utilisant carrément des charges uniformément réparties.

ii i. Analyser des portiques endommagés pour un taux d’endommagement de l’élément

endommagé (poteau ou poutre) donné.

iv. Elargissant l’ intervalle de variation pour les rapports géométrico-mécanique l/M pb et

h/Mpc.

v. Faire une étude sur les structures tridimensionnelles endommagées.

Annexe A

CALCUL DU MOMENT PLASTIQUE

Annexe A Calcul du moment plastique

107

A. CALCUL DU MO MENT PLASTIQUE

A.1 Section en charpente métallique

A.1.1 Introduction

Soit une poutre en charpente métallique sollicitée en flexion pure dans le plan (X, Y) par un

couple de moment, M, figure (A.1)

Figure (A.1). Poutre en charpente métallique sollicitée en flexion pure

� Le moment fléchissant est uniforme sur la longueur de la poutre M(x) = M et l’effort

tranchant est nul T(x) = 0.

� En raison de la symétrie du problème, la courbure de la poutre déplacée est constante χ(x)

= χ uniforme et les sections droites avant déformation restent droites après déformation

(droites et perpendiculaires à la fibre moyenne).

� Le centre de courbure est commun à toutes les sections droites : la fibre moyenne se

déforme donc selon un cercle, figure (A.1.b).

Compte tenu de ces hypothèses, la déformation longitudinale varie linéairement ε = a. y + b.

En choisissant l’origine des Y, l’axe neutre, la déformation longitudinale devient ε = a. y.

Noter qu’a priori la position de l’axe neutre est inconnue :

� En élasticité, on montre que l’axe neutre est confondu avec l’axe moyen contenant le

centre d’inertie de la section droite.

� En flexion pure les sollicitations sont réduites à :

• L’effort normal est nul N = 0 ;

• Le moment fléchissant M ;

• L’effort tranchant T = 0.

Y

M M

X

a) poutre en flexion pure

Y

M M

X

b) déformée de la poutre

Rayon de courbure


108

Le moment fléchissant est calculé à partir du diagramme de contrainte normale dans le cas

d’un profilé à double plan de symétrie en flexion élasto-plastique pure figure (A.2).

Figure (A.2). Distribution des déformations relatives et des contraintes pour une section en CM

M y y ds y y b y dy y y b y dyvv

S v

⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫∫∫ ∫++

( ) − 0

( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )σσ σ

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫

+ +

−

e

e

v v

v

dyM y y b y dy y y b y0

2 ( ) ( ) ( ) ( )σσ

Comme : χ

σχε

⋅==

Ev yy

e , donc : e

y

vE

σχ =⋅

Il vient :

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫

+ +

−

e

e

v v

v

yM E y b y dy y b y dy0

22 ( ) ( )σχ

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∫ ∫

+

+

e

e

v

e v

y y b y dy y b y dyv

M0

2 ( ) ( )1

2 σ

A la limite, faisons tendre Ve vers 0 (la section est totalement plastifiée), ou ce qui revient au

même, faisons tendre la courbure χ vers l’ infini, alors le moment fléchissant tend vers une

limite Mp appelé moment plastique.

Y

Z

Zone plastique

Ve

-Ve

V

-V

Zone élastique

Zone plastique

ε

σy

σ

σy

ε(y) = + χ

c) Contraintes b) Déformations a) Section en CM


109

MMe

p v 0= lim

Une façon commode de calculer Mp est de le faire à partir du diagramme de contrainte limite

bi-rectangulaire (toute la section est plastifiée).

∫+

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅v

p y ySM y b y dy0

22 ( ) σσ

Où S désigne le moment statique de la demi-section par rapport à l’axe moyen du profilé

complet.

On pose : Wpl = 2.S

Wpl : Module plastique.

Mp = Wpl . σy (A1.1)

Remarques :

Le moment plastique est une idéalisation, il ne peut jamais être réellement atteint car une

rupture des fibres les plus tendues (ou les fibres les plus comprimées) surviendra plutôt.

Les deux moments fléchissants seuils sont comparés entre eux en égard au comportement

élasto-plastique de la section droite.

� Le moment élastique, Me, est tel que la section droite est totalement dans le domaine

élastique, le diagramme de contrainte normale limite σy.

Si on désigne par :

I : moment d’inertie de la section.

21h

v = : la de mi-hauteur du profilé bi-rectangulaire.

Alors : lh

M ye 2

1

= ⋅σ

(A1.2)

� Le moment plastique Mp est tel que la section droite est totalement dans le domaine

plastique, le diagramme de contrainte étant bi-rectangulaire.

Mp = 2.S.σy (A1.3)


110

Mp/Me : est un rapport adimensionnel, il ne dépend que des caractéristiques de la section

droite. C’est le facteur de forme noté K.

Pour un profilé bi-symétrique, on a :

11 >⋅

= =I

S h

M

MK

e

p (A1.4)

A.1.2 Exemples

a) Section rectangulaire

Le profilé rectangulaire est soumis à l’action d’un moment fléchissant progressif

croissant, le diagramme des contraintes passe par les trois domaines élastique, élasto-plastique

et plastique représentés sur la figure (A.3).

Figure (A.3). Phasage de distribution des contraintes d’une section rectangulaire

i) Phase élastique :

On peut appliquer les lois de la résistance des matériaux

σ⋅=v

IM

σ : La contrainte sur la fibre la plus tendue (ou comprimée).

12

31 1b h

I⋅

= : Moment d’inertie de la section droite.

21h

v = : La demi-hauteur.

Donc : σ⋅= ⋅ ⋅ 216

1M b h

σ < σy σy σy

z

σy σy

σ

Ve

V

-V

-Ve

0

σ < σy

Phase élastique Phase élasto-plastique Phase plastique

h1

b1


111

La courbure est donnée par :

EvEIM

⋅= ⋅ ⇔ = σχχ

On définit le moment élastique tel que la contrainte maximale atteinte la limite élastique σy .

yhM b σ⋅= ⋅ ⋅ 216

1 (A1.5)

La courbure élastique correspondante est :

Ehy

e ⋅=

1

2σχ

ii) Phase élasto-plastique :

On calcule le moment fléchissant :

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∫ ∫

+ +

+

e

e

v v

e v

y y b y dy y b y dyv

M0

2 ( ) ( )1

2 σ

+ −

⋅= ⋅ ⋅ ( )

3 2

12 21 2

31

ee

ey vv

bb v

vM σ

= ⋅ − )

3(

22

1e

y

vM b vσ

Et la courbure :

Ε⋅

=e

y

v

σχ

En domaine élastique :

eeM

M

χχ= avec : eχχ <

En domaine élasto-plastique :

= ⋅ −

−2

3

11

2

3

eeM

M

χχ

(A1.6)

On remarque que M tend vers Mp quand χ → + ∞.

Donc ici ep MM2

3= (le facteur de forme du profilé rectangulaire est égal à 2

3).


112

L’évaluation du moment fléchissant en fonction de la courbure est reportée dans un

diagramme adimensionnel figure (A.4)

Figure (A.4). Diagramme moment-courbure pour les deux types de sections b) Section en I type IPE La section en IPE est une section symétrique par rapport à l’ axe Y et à l’axe Z, la distribution

des contraintes est représentée sur la figure (A.5) ci-après.

Figure (A.5). Phasage de distribution des contraintes pour une section en I i) Phase élastique :

On peut appliquer les lois de la résistance des matériaux en régime élastique linéaire.

On calcul l’inertie du profilé :

( ) ( )22

13

131 2

263

2v e

b e b eI a v e −

⋅+

⋅= − +

Donc le moment élastique :

( ) ( ) ye y evv

eb

v

b ea v e

v v

IM σσ ⋅

−

⋅⋅

+⋅⋅

− +⋅

= = 213

131 2

3 6 2

2 (A1.7)

σ < σy

σ < σy

Phase élastique Phase élasto-plastique Phase plastique Section en I

σy

σy

σ

σy

σy

Y

AN

Ve

-Ve

V

-V

Z

e

1.6

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

16 18 2 4 0

M/Me

χ/χe

Section rectangulaire

Section en I

h1

b1

a1


113

Et la courbure correspondante:

Ε⋅=

vy

e

σχ

ii) Phase élasto-plastique :

Le moment fléchissant est obtenu par intégration des moments élémentaires produits par les

contraintes normales.

(A1.8)

Et la courbure correspondante vaut:

e

y

Ε ⋅ v=

σχ

Etablissant la courbe

e eM

M;

χχ

figure (A.4).

Donc :

( )

( ) ( )2

31

3

313

31

212 1

2

1

23 6 2

2

23

11

v ev

b e

v

b ev e

v

a

v

b aa v e

M

Me

e

e ⋅ −⋅⋅

+⋅⋅

− +⋅

−+ − ⋅

−

=

−

χχ

Comme exemple un cas particulier de l’ IPE 200.

10021= =h

v mm

b1 = 100 mm

a1 = 5.6 mm

e = 8.5 mm

22.18

1.8720.96

−

= e

eM

M χχ

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∫ ∫ ∫

+ −

+ −

e

e

v v e

v

v

v eey dyy b y dy y b y dy y b y

vM

0

2 ( ) ( ) ( )1

2 σ

( ) ( )

⋅ −

−= ⋅ = − + 11

22 21

2

2

22 b a

v ev v

aM e

y eσ


114

Le facteur de forme est obtenu quand la courbure tend vers l’infi ni.

15.1= = lim ≈∞e

xp

p

M

M

M

MK

Le facteur de forme est voisin de 1.

A.1.3 Conclusions

� Une fois le moment élastique atteint, une faible augmentation des solli citations provoque

la plastification des semelles, on atteint pratiquement le moment résistant.

� Dans la pratique on supposera donc :

1- Quant le moment plastique peut être effectivement atteint.

2- La poutre a un comportement élastique linéaire jusqu’à ce que le moment plastique soit

atteint.

Remarque :

L’étude des profilés dans le domaine élasto-plastique est limitée au cas des profi lés à deux

plans de symétrie dans ce cas l’axe neutre est confondue avec l’ axe moyen (axe du centre

d’inertie), qui est également l’axe de symétrie.

Le moment plastique d’un profilé vaut :

Mp = Wpl σy

On donne la valeur du module plastique Wpl pour une section en I fléchie par rapport à l’axe

parallèle ou perpendiculaire à l’âme, fi gure (A.6)

Figure (A.6). Module plastique d’une section en I

Y

Z

e

h1

b1

a1


115

- Section fléchie verticalement :

(par rapport à l’axe Z)

( ) ( ) eb a h eha

w Zpl ⋅+ − ⋅ −⋅

= 1 1 11

. 4

- Section fléchie transversalement :

(par rapport à l’axe Y)

( )4

22

21

1

2

.

ah e

e bw Ypl ⋅+ − ⋅⋅=

a1 : épaisseur de l’âme de la section.

b1 : largeur de la semelle.

e : épaisseur de la semelle.

h1 : hauteur de section.

A.2 Section non usuelle en béton armé

A.2.1 Introduction

La détermination du moment plastique d’une section non usuelle est basée sur les concepts de

la théorie générale. Cette dernière est basée sur les cinq hypothèses fondamentales :

a) La théorie de flexion pour le béton armé suppose que le béton se fissure dans les

régions des contraintes de traction et que, après fissuration, toutes les contraintes de

traction sont portées par les armatures. On suppose également que la section droite

d'une pièce demeure plane après déformation, de sorte qu'à travers la section la

distribution des déformations est linéaire.

b) L’état limite à la ruine est obtenu quand la déformation relative dans le béton εcc à la

fibre la plus comprimée atteint une valeur spécifique εcu (les principaux codes la

prennent égale à 3500.106).

c) A la rupture (image instantanée de la ruine), la distribution des contraintes de

compression dans le béton est définie par un bloc parabole-rectangulaire représente la

distribution à la rupture quand les déformations compressives sont dans la marge

plastique et elle est associée à la conception pour l'état limite ultime.


116

d) Le bloc rectangulaire équivalent de contrainte est une alternative simplifi ée à la

distribution parabole-rectangle, figure (A.7).

e) Car il y a une compatibil ité de déformations entre l’armature et le béton adjacent, les

déformations d'acier dans la traction, εst, et dans la compression, εsc, peuvent être

déterminées à partir du diagramme de déformations.

Remarque :

Ces hypothèses exigent que la section transversale ait un axe de symétrie vertical.

A.2.2 analyse de section non usuelle en utili sant l’Eurocode 2

Figure (A.7).Distribution des contraintes et des déformations pour une section non usuelle à l’E.L.U

Soit une section non usuelle en béton doublement armé sollicitée en flexion simple.

A partir de l’ équilibre interne :

Fsc + Fcc = Fst (A2.1)

De sorte que :

Fsc = 0.567fck Ac(x)

Fcc = f’ s A’s

Fst = fs As

Où f’ s et fs sont les contraintes dans les armatures tendues et comprimées

a) section non usuelle

εcc

εsc

Fst Fst εst

Fs

Fc

As

Ac(x)

d

d’ A’s 0.8x x

Axe

d) distribution des b) distribution des


117

Substituant, l’équation d’équilibre (A2.1) devient alors :

0.567fck Ac(x) + f’s A’ s = fs As (A2.2)

L’équation (A2.2) est une équation qui présente trois inconnues interdépendantes Ac(x), f’ s, fs,

qui ne peut être résolue que par la méthode d’essais successifs [6]

Les étapes à suivre dans cette méthode sont :

1) Fixer x initialement, il est préconisé de prendre une valeur égale à d/2.

2) Calculer εst et εsc par :

−=x

d xccst εε (A2.3)

et

−=x

x dccsc

'εε (A2.4)

Où d est la hauteur utile et d' est l’enrobage des armatures comprimées.

À l'état limite ultime la déformation maximale du béton comprimé est prise :

εcc = εcu = 0.0035

Après avoir déterminé les déformations, on peut évaluer les contraintes dans les armatures, f’ s

et fs à partir des diagrammes contraintes-déformations appropriées.

3) substituant x, f’ s et fs dans l’équation d’équil ibre (A2.2), si l’égalité est obtenue, x est une

solution , Si ce n'est pas le cas, le problème exigerait la solution en essayant des valeurs

successives de x jusqu’à ce que :

Fcc + Fcc = Fst

Une fois la profondeur de l’axe neutre est connue, l’équili bre est atteint, le moment ultime de

la section sera donné par :

a) Par rapport à la section des armatures tendues

(A2.5)

b) Par rapport au centre de gravité de la section de la partie comprimée du béton

(A2.6)

)F (d d' ) F .(d 0.4xA

Msc cc

s

u = ⋅ − + −

)'F (d 0.4x) F (0.4x dcdg

Mst sc

u = ⋅ − + −

RÉFÉRENCES BIBLIOG RAPHIQUES

[1]. BEROUAL. S, " caractérisation des sections en BA équivalents a la gamme des profil és IPE en utili sant la caractéristique des Matériaux adoptés par les Eurocodes 2 et 3". Thèse de Magister. Université de Skikda. Algérie (2008).

[2]. BOUKELOUA S. "Etude des mécanismes de ruine pour des structures multi-étagées". Thèse de Magister. Université de Skikda. Algérie (2008).

[3]. BOUKHLOUF. B, CHARIF .A.H, "Analyse élasto-plastique des structures planes

par la méthode des rotules plastiques". Thèse de Magister. Université de Batna. Algérie.

[4]. BOUSSAFEL S. "Analyse plastique d’éléments structuraux rectilignes en béton armé et en charpente métallique - Etude comparative". Thèse de Magister. Université de Constantine. Algérie (2003).

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[6]. JEAN COURBON, Plasticité appliquée au calcul des structures (1976)

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COMPORTEMENT DE STRUCTURES EN PORTIQUES … · Les images instantanées des portiques endommagés ont révélé que, en aucun cas, il pouvait y avoir une rupture totale, cependant