Comportement dynamique des lignes aériennes de transport d'électricité dû aux bris de câbles. I. Modélisation mathématique

Comportement dynamique des lignes aeriennes de transport d'electricite du aux bris de ciibles. I. Modelisation mathematique

GHYSLAINE MCCLURE ET R E N ~ TINAWI DPpartement de gknie civil, ~ c o l e polytechnique de Montrkal, Campus de I' Universitk de Montrkal,

C . P . 6079, succursale A , Montrkal (Qukbec), Canada H3C 3A7

Requ le 18 mars 1988

RCvision acceptCe le 29 septembre 1988

Les auteurs presentent un modele mathematique pour l'analyse dynamique non linCaire des lignes aCriennes de transport dlClectricitC soumises i un bris de cdble. Ce modkle utilise des ClCments finis et des mCthodes numtriques CprouvCes disponibles dans la plupart des logiciels commerciaux d'analyse dynamique non IinCaire; le progiciel ADINA est utilisC ici. L'approche nouvelle proposCe, par rapport aux travaux antCrieurs dans le domaine, est de soigner i la fois la discretisation des cdbles et des supports, surtout au voisinage du point de bris, de faqon i permettre aux interactions dynamiques entre les composants de se manifester. Des Ctudes dynamiques paralltles sur modkles numCriques simplifiks mettent en evidence I'importance de ces interactions, en plus de celle des effets des non-IinCaritCs gComCtriques des cdbles et des supports, et de la contribution des modes supirieurs du modtle.

Le modtle mathCmatique propost est valid6 avec un Cchantillon de 7 sCries de mesures sur un total de 56 tests i Cchelle rkduite, rCalisCs et rapportCs par d'autres chercheurs pour le compte de 1'Electric Power Research Institute amCricain.

Les rCsultats de 1'Ctude sont particulitrement encourageants pour les concepteurs de lignes intCressCs i valider leurs crittres de conception sous charges dynamiques longitudinales puisque ces simulations numCriques sont rkalisables avec la plupart des programmes commerciaux d'analyse dynamique non linCaire par Cltments finis.

Mots clks : Analyse dynamique non IinCaire, lignes aCriennes de transport d'ClectricitC, simulation de bris de cdbles.

This paper presents a mathematical model for the nonlinear dynamic analysis of aerial electric transmission lines subjected to conductor breakage. The model uses existing finite elements and validated numerical techniques available in most commercial programs capable of handling nonlinear dynamic analysis. ADINA is used in this study. In comparison with other models, the novel approach presented here focusses on the discretization of the conductors as well as the supporting structures, specially near the breakage point. Dynamic interactions between all the structural components are therefore considered and comparisons with simpler models emphasize the importance of these interactions, the effects of geometric nonlinearities present in the conductors and in the supporting structures, and the contribution of higher modes.

The mathematical model is validated with 7 of 56 tests conducted on reduced-scale physical models, reported in work done for the American Electric Power Research Institute.

The results of the present study are very encouraging for designers interested in validating their design criteria for longitudinal dynamic loads by use of existing nonlinear dynamic finite element analysis packages.

Key words: Nonlinear dynamic analysis, electric transmission lines, conductor breakage simulation.

Can. J. Civ. Eng. 16, 335-353 (1989)

Introduction Dipnition du problbme

D'un point de vue structural, les lignes aCriennes de transport d'ClectricitC sont des systkmes fortement interactifs. Les forces qui agissent sur chaque composant de la ligne dependent non seulement des charges directement appliquies aux ciibles et aux supports mais aussi de la configuration et des propriCtCs mtcaniques de l'ensemble. Cette interaction est d'autant plus forte suivant l'axe longitudinal de la ligne lorsque les supports sont flexibles. Elle ne se limite pas non plus au comportement statique: l'interaction est aussi importante sous des charges dynamiques comme les dClestages de glace, les vents forts et turbulents, les vibrations Coliennes, et les forces transitoires causCes par les arcs de contournement. D'autres charges dynamiques encore plus sCvkres sont associCes a des bris de cibles, soit les chutes ou bris d'assemblages de suspension des conducteurs et les bris de supports. Bien que rnoins frCquentes, ces charges dynamiques exceptionnelles prCoccupent les concepteurs de lignes qui doivent s'assurer qu'un dCfaut structural se manifestant sous les charges de service ne produise que des dCgiits lirnitCs, faciles a rCparer, et ne se propage pas le long de la ligne avec un effet de cascade.

NOTA : Les commentaires sur le contenu de cet article doivent ttre envoyis au directeur scientifique de la revue avant le 3 1 octobre 1989 (voir I'adresse au verso du plat sugrieur).

Dans le but de simplifier le problkme, les concepteurs de lignes ne s'inttressent pas aux dCtails de la reponse dynamique d'une section de ligne soumise a un dkbalancement exception- nel comme un bris de cible. La pratique courante est de traiter le phCnomkne comme quasi statique et de comger par des facteurs d'impact la rCponse calculCe dans la configuration finale dCformCe suite au bris.

Depuis la fin des annCes 1940, plusieurs Ctudes exphimen- tales et thCoriques ont CtC consacrCes a la recherche de critkres 1 ~ s plus rCalistes possible pour la selection de facteurs d'impact. A la fin des annCes,l970, on note un regain d'inttrkt pour le sujet, surtout aux Etats-Unis: les dCveloppements en dynarnique des structures et la disponibilitk d'outils de calcul plus Clabores permettent de rkexaminer les critkres de facteurs d'impact et de soulever les difficult& thioriques de cette philosophie de conception. I1 faut admettre cependant que ces travaux ont eu assez peu d'influence sur la pratique des concepteurs de lignes qui utilisent encore majoritairernent aujourd'hui la mCthode des facteurs d'impact. Les efforts de recherche de Siddiqui (1981) et de Thomas et Peyrot (1982) ont surtout Ctt investis dans le dtveloppernent de programmes d'analyse dynarnique spCcialement adaptCs a 1'Ctude de bris de ciibles dans des sections de lignes. Ces travaux ont certes permis d'Clargir la cornprkhension du phknornkne, mais leurs hypothkses sirnplificatrices n'ont pu rendre pleinernent compte du comporternent interactif du systkrne. Les programmes cornmer-

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ciaux d'analyse dynamique non linCaire par ClCments finis permettent maintenant d'Ctudier le phCnomkne de bris de clble encore plus rigoureusement, ti l'aide de modkles mathkmatiques plus fiables et plus rkalistes.

Contexte de l'e'tude Les travaux prCsentCs dans cet article sont limit& aux

phtnomknes de bris de clbles et a leurs effets sur le comportement longitudinal des lignes aCriennes a haute tension. Nous croyons cependant que la plupart de nos discussions s'appli- quent aussi aux autres phtnomknes dynamiques de debalancement longitudinal.

Objectifs de l'e'tude Le premier objectif de la prCsente Ctude est de montrer qu'il

est possible dlCtudier les bris de clbles avec des modkles numCriques fiables.

Les simulations de modkles numCriques a l'aide du programme d'analyse dynamique non linCaire par ClCments finis ADINA (ADINA Engineering 1984) sont validCes avec des resultats expCrimentaux sur modkles rCduits, rapportes par Mozer (1978) et Mozer et al. (1981) et rCalisCs pour le compte de l'organisme amCricain EPRI (Electric Power Research Institute). Un Cchantillon de sept sCries de mesures est retenu parmi les 56 essais rapport&, afin de dCmontrer la robustesse du modkle mathkmatique proposC.

Cette Ctape de validation est essentielle pour Ctudier ensuite le comportement de tronqons de lignes rtelles pour lesquels aucune donnCe expCrimentale n'est disponible. La validation consiste a s'assurer que les caractCristiques essentielles du phCnomkne physique soient reproduites par le modkle mathematique. Concrktement, cette etape consiste 2 choisir les types d'elements finis appropriCs pour chaque composante de la ligne, a decider de la discretisation du modkle par des Ctudes prkliminaires de convergence sur differents maillages, a choisir quels effets non linCaires seront pris en compte et comment ils seront traites, et enfin 2 choisir une mCthode d'intkgration directe fiable pour les Cquations du mouvement. La mCthodolo- gie adoptCe dans la construction des modkles mathkmatiques et les principales difficult& rencontrkes dans les Ctudes numCri- ques initiales ont CtC discutCes ailleurs (McClure et Tinawi 1987, 1989), alors seules les caractCristiques des modkles finalement retenus seront prCsentCes ici.

Le second objectif de l'ttude est de vCrifier certaines hypothkses concernant le comportement dynamique des lignes sous bris de clble. Les principales questions d'intCrCt sont : (i) Les non 1inCaritCs gComCtriques sont-elles importantes dans la rCponse dynamique? (ii) L'interaction dynamique entre toutes les composantes de la ligne est-elle significative? (iii) Peut-on dCcoupler le comportement dynamique des clbles et des supports, en traitant le bris de clble comme une force extCrieure agissant sur le support au point de bris? La rCponse a ces questions est primordiale avant d'entreprendre les Ctudes de cas riels (McClure 1989) parce qu'elle permettra de choisir les modkles numtriques et les mCthodes de calcul convenables.

Le bris de clble dans une section de ligne Description soinmaire d'une ligne ae'rienne

La figure 1 illustre schtmatiquement une section intacte de ligne avec indentification de ses composants structuraux. Le clble de garde, plact au-dessus des conducteurs, les protkge de la foudre. Dtpendamment de 1'Ctalement transversal des conducteurs, un ou deux cibles de garde peuvent Ctre nkcessaires pour assurer cette protection. I1 s'agit gtntralement de cibles

CABLE

COND

DE GARDE

UCTEURS -

C H A ~ N E DE S U S P E N S I O N -

D 'ANCRAGE

FIG. 1. Schema des composants structuraux d'une ligne akrienne. (Adapt6 de Mozer 1978 .)

FIG. 2. Exemples de pyl6nes de suspension : (a) pyl6ne autoporteur en treillis Mae West; ( b ) pyl6ne ?i chainette. (Reproduit avec la permission d'Hydro-Qu6bec 1982.)

structuraux en acier galvanisk. En plus de leur fonction Clectrique, les chaines d'isolateurs font aussi nkcessairement partie du systkme d'attache des conducteurs au pyl6ne. Le comportement structural de ces assemblages d'attache est dCterminant dans le transfert des charges de la ligne au pyl6ne. Les deux grandes classes d'assemblages d'attache sont les chaines de suspension et les chaines d'ancrage. Dans une portCe suspendue, les pinces de suspension et les chaines d'isolateurs sont libres de balancer longitudinalement et transversalement en rCaction aux charges sur les conducteurs. ldtalement, si toutes les chaines de suspension sont verticales, le pyl6ne de suspension ne rCsiste qu'aux charges de gravitC de la ligne. Dans une portCe en ancrage, les conducteurs sont encastrCs dans les chaines d'isolateurs qui s'accrochent au pylbne, de sorte que toutes les charges provenant des conducteurs sont transmises au support. Un groupe de porttes limit6 aux deux extrCmitts par des chaines d'ancrage aux supports s'appelle un canton de ligne et si la flexibilitC des supports d'ancrage est nCgligCe, chaque canton de ligne rCagit indkpendamment des autres aux charges appliqukes. I1 existe une grande variCtC de modkles de supports de suspension et leur rigidit6 longitudinale (c.4-d. la rigidit6 latCrale du pylbne suivant la direction de la ligne) varie beaucoup suivant les modkles. Les pyl6nes 2 treillis autoporteurs (fig. 2a), par exemple, sont beaucoup plus rigides que les pyl6nes 2 chainette (fig. 2b) dont la traverse qui suspend les conducteurs est trks flexible. I1 est clair que pour un m&me canton de ligne, le choix du type de support de suspension influence 2 la fois la redistribution des charges aux points

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TRACT l ON OANS LE CONDUCTEUR TAT F I N A L AU P O I N T A Or

I ' TEMPS

BALANCEMENT MAXIMUM DE L A C H A ~ N E DE S U S P E N S I O N

D~PLACEI IENT L O N G I T U D I N A L

T DU P O I N T A

FIG. 3. Rkponse typique d'une section de ligne sournise A un bris de clble.

d'attache des clbles aux pyl6nes et celle des charges rtsultantes a la fondation.

Explication physique du phknomine de bris Les bris de clbles sont rarement causts par des surcharges

climatiques (vent, verglas) sur les cdbles et tchappent a une description probabiliste. 11s surviennent surtout suite a des dtfauts de mattriau dans les pibces d'attache ou les joints de recouvrement, a des dommages par vibration en fatigue, a des pointes de traction dues a de puissants arcs de contournement, ou m&me a des impacts fortuits d'objets (avions), coups de feu ou autres formes de sabotage.

Suite a un bris de clble, la ligne subit un destquilibre longitudinal qui doit &tre compenst par une redistribution des contraintes dans le systkme, rendue possible par le balancement des chaines d'isolateurs jusqu'a ce que chaque point de suspension soit en tquilibre. Le caractere dynamique de cette redistribution de traction a t t t ttudit pour la premikre fois par Haro et al. (1956) a partir d'essais grandeur nature sur des lignes de 110 et 220 kV. La figure 3 reproduit schtmatiquement l'historique de la traction dans le conducteur, a l'endroit du point d'attache adjacent au bris, et l'historique du dtplacement longitudinal de ce m&me point. Aprks la rupture du clble, la traction dtcroit rapidement au support d'essai, soit dans la portte adjacente au bris, jusqu'a 5 a 10% de la valeur initiale. Elle reste stable pendant quelques dixikmes de seconde puis augmente pour atteindre sa premikre pointe. On observe ensuite une strie de pointes et de creux jusqu'a ce que le rtgime permanent soit atteint, en gtntral quelques minutes aprks le bris. Des reflexions d'ondes provenant du deuxikme support causent des pointes considtrables sur le premier support aprks quelques secondes et souvent cette deuxikme pointe est supt- rieure la premikre. En plus des rtflexions aux points de suspension, les ondes de choc proviennent aussi des mouve- ments des assemblages de suspension et de la poutre ou des

Les rtactions longitudinales a la console ou a la poutre sont compltmentaires a la traction dynamique dtveloppte dans la portte intacte. En supposant des porttes tgales, niveltes et parfaitement aligntes, la charge longitudinale a la console passe immtdiatement de ztro a un maximum. On retrouve ensuite la m&me succession de pointes et de creux que pour la traction horizontale, avec une deuxikme pointe souvent plus grande que la premikre. Pour une structure encastrte a la base, il sera inttressant de comparer, dans cet article, le profil dynamique du moment renversant a la base avec celui de l'entrte a la console. Des exemples tirts de Mozer (1978) seront reproduits plus loin sur les historiques numtriques obtenus avec ADINA.

Formation mathkmatique du phknomine de bris La rtponse dynamique d'une section de ligne soumise a un

bris de clble est une exemple typique de problkme de vibrations libres. Avant le bris, la ligne est au repos sous les prttensions internes des clbles et l'effet des charges permanentes; on suppose que le vent est nu1 de sorte que les effets atrodyna- miques sur les clbles sont ntgligeables. La rupture soudaine d'un clble cause une acceltration initiale nulle au point de bris. Aucune force dynamique exttrieure n'ttant appliqute au systkme, le problkme dynamique est rtduit a un problkme aux conditions initiales.

Pour un amortissement de type visqueux, l'tquation gtntrale du mouvement d'un systkme 2 plusieurs degrts de libertt, 5 chaque instant t , s'tcrit

oh [MI, [ C ] et [U symbolisent les matrices de masse, d'amortissement et de rigiditt, respectivement, et sont ttablies a chaque instant t . Les vecteurs { i j ) , {u} et {U} sont, dans l'ordre, les vecteurs des acctltrations, des vitesses et des dtplacements en fonction des degrts de libertt. La quantifica- tion des forces dissipatives, a travers la matrice d'amortissement [ C ] , est trks complexe, surtout dans un systkme mixte comme un canton de ligne ou plusieurs types d'tltments structuraux interagissent. Les principales sources d'amortissement prtsentes lors d'un bris de clbles sont l'amortissement interne des clbles et l'amortissement structural des supports. Cependent, nous n'avons pas inclus d'amortissement dans notre ttude.

Pour un systkme lintaire, la rtponse a l'tquation 1 rendue non amortie est une combinaison de toutes les rtponses harmoniques de ses degrts de libertt :

Uo [2] U = Uo cos wt +- sin wz

W

ou l'indice 0 indique une condition initiale et w symbolise la pulsation naturelle du mode de vibration considtrt. La mtthode de superposition modale, couramment utiliste pour rtsoudre les systkmes dynamiques lintaires, est invalide dans les systkmes non lintaires. Le problkme du bris de ctible ttant non lintaire, la rtponse du systkme n'est plus la superposition d'harmoniques cornme en [2] et il est ntcessaire de reformuler les tquations du mouvement sous forme incrtmentale pour les solutionner. Les details des mtthodes d'inttgration directe de ces tquations sont revus dans McClure et Tinawi (1 989).

- consoles et, bien sOr, des vibrations libres des conducteurs Les sources de non-linkaritks intacts dans le canton. Govers (1970), Frandsen et Juul (1976), Les non-linearitts gtomthiques sont sans contredit les plus Mozer (1978), Peyrot et al. (1980) et Richardson (1987) ont influentes sur le comportement d'une ligne atrienne sous tous confirm6 ces observations globales lors d'essais sur charges longitudinales. Elles proviennent surtout de quatre modeles rtduits ou sur tronqons de lignes grandeur nature. sources : ( i ) le comportement des cdbles; (ii) le balancement des

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element de c s b l e t y p i ( t r a c t i o n seulernent) H b t U t > L H D L t h run1tt L -

Nombre d'Qldments par portbe

2 t r c ] i s noeuds

Portee Conducteur Csble de garde \

Norn : Choque porlke mesure 9754 mm

FIG. 4. Modkle F-134 utilisC pour les simulations numkriques des tests 1'EPRI. Voir le tableau 1 pour les donnCes.

assemblages de suspension des conducteurs; (iii) le cornporte- TABLEAU 1. DonnCes des sept tests simulCs de l'EPRI, d'apr2s Mozer rnent des supports sous grands deplacernents; (iv) l'effet P- ( 1978) delta sur les supports. Les deux prernikres sources sont toujours prksentes alors que celles qui sont attribuCes au cornporternent Traction initiale du support sont plus ou rnoins irnportantes suivant le degr6 de Longueur de la tige (N) flexibilite longitudinale des supports et leurs proprietks de suspension inertielles. Test (mm) Conducteur Cible de garde

De grandes pointes de traction sont susceptibles de se developper dans un problkrne de bris de clbles; elles peuvent atteindre 1,5 a 2 fois la traction statique initiale dans le clble. I1 n'est donc pas impossible que le niveau de chargernent approche celui de la resistance ultirne des ciibles et de certains ClCrnents des supports pour rnobiliser le cornporternent non linCaire des rnatkriaux sollicitb. La prksente Ctude se lirnite cependant a l'hypothkse que tous les rnatCriaux utilises gardent un cornporternent lintaire et restent tlastiques.

Revue des methodes pour la prediction des efforts de pointe Notions de facteur d'impact

A cause de son caractkre dynarnique, la repartition des forces de debalancernent suite au bris de clble presente des pointes de courte duke dont l'intensite est difficile a calculer. C'est en partie pourquoi, jusqu'a rnaintenant, le calcul de la resistance des lignes sous charges dynarniques s'est toujours bast sur des rntthodes statiques tquivalentes. Les prernikres directives quant au choix de facteurs d'irnpact proviennent d'une Ctude de Govers (1970) analysant une sCrie de resultats d'essais sur pyl6nes treillis rigides autoporteurs. Govers juge nCgligeable la flexibilite des supports et construit des abaques qui permettent la sClection de rapports d'arnplification dynarnique en fonction de deux facteurs seulernent : le rapport portCelflkche et le rapport portCellongueur de l'assernblage de suspension ou de sa

- --

RigiditC axiale Masse spCcifique (N) (kglmm)

Conducteur 53 820 8 , 8 8 ~ lo-5 Chble de garde 14 678 1,95~ loe5

projection verticale. Toutes ces rnesures concement la portCe intacte oh se produira le bris. L'influence de la longueur de l'assernblage de suspension est plus irnportante que celle de la flkche relative qui est en fait une rnesure de l'influence de la traction initiale du conducteur. Des forces de traction initiale plus Clevkes induisent des charges transitoires plus fortes et cet effet est d'autant plus rnarquC que les assemblages de suspension sont courts. Cornellini et Manuzio (1968) avaient dtja fait ces rernarques mais sans les appuyer sur des rksultats precis cornrne l'a fait Govers.

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FIG. 5. Modkles simplifiCs F-15, F-21 et F-33, avec charges extkrieures en bout de console. Les charges extkrieures sont dCfinies en figure 7.

DDNNEES DU SUPPORT

TUBE D ' A C I E R ?E PDIDS STANDARD TYPE 405 CATEGORIE 0 MAT: Cex t , = 1 6 . 9 mm

+ in t , = 1 2 , 3 mm

PDUTRE: +ex t , = 12.1 mm

= 9 , 3

MAILLAGE DU CABLE DE GARDE

2 61e'rnents p o r o b o l i q u e s par p o r t e e

Noeud

FIG. 6. Modttle simplifik F-47, avec charges extCrieures en bout de console. Les charges extkrieures sont dkfinies en figure 7.

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Mozer et al. (1977) ont aussi proposC un modkle mathCma- tique pour le calcul de facteurs d'impact a partir de rksultats d'essais a tchelle rCduite sur supports plus flexibles. Ces facteurs sont de beaucoup infkrieurs aux prkdictions de Govers; certains sont plus de 2 fois moindres. Une premiere explication a ces grandes differences est sans doute l'apport de la flexibilite des supports qui permet de mobiliser toute l'interaction dynamique des portCes adjacentes dans le canton.

Lummis (dans une discussion a la fin de l'article de Mozer et al. 1977) remet en cause la signification du facteur d'impact tel que defini par Mozer et ses collaborateurs et par Govers (1970). I1 reconnait que le critkre de force s'avere satisfaisant comme mesure approximative de la resistance statique d'un systeme rigide. Pour un systeme flexible, par contre, il suggere qu'un critere CnergCtique soit utilisC pour Cvaluer la resistance dynamique nCcessaire : l'inclusion des trois dimensions d'ener- gie (cinCtique, potentielle gravitationnelle et potentielle de deformation) fournirait un critere plus rCvClateur que la force seule.

Peyrot et al. (1980) ont Ctt les premiers a dCvelopper des modkles thCoriques pour le calcul des facteurs d'impact. Leurs travaux vont justement dans le sens proposC par Lummis, c.-a-d. qu'ils sont axCs sur la notion d'Cnergie. La formule finalement proposee par Peyrot et ses collaborateurs tient compte de la perte dlCnergie potentielle gravitationnelle subie par les cibles lors du bris et de la dissipation d'knergie de dkformation dans les cibles et les supports. La pulsation naturelle du premier mode de vibration transversale du cible de la portCe directement adjacente au bris est aussi incluse dans la formule pour reflCter le fait que lorsque toute la masse des conducteurs de cette portCe est relichie, 1'Cnergie potentielle libCree est transformCe en Cnergie cinttique et la masse oscille autour de sa position d'kquilibre finale.

DifJicultts de l'usage des facteurs d'impact Une premiere difficult6 dans l'usage des facteurs d'impact

rCside dans le manque de validation des mCthodes de prtdiction disponibles. Le peu de donntes recueillies a date par des essais grandeur nature ou sur modkles rCduits rend difficile l'extrapo- lation pour des cas sptcifiques. I1 faut rCaliser que chaque tronGon de ligne est unique et que le manque de rksultats experimentaux est encore plus marque pour les lignes a tres haute tension et pour les lignes trks flexibles comme celles sur pyl6nes de suspension a chainette, par exemple.

Une autre difficult6 encore plus fondamentale concerne la remise en question de la pertinence m&me de l'usage de facteurs d'impact. A moins qu'on ait affaire a des ruptures vraiment fragiles de composants de ligne, le facteur d'impact comme tel est peu significatif car les charges de debalancement n'agissent pas comme une impulsion. La force de traction de pointe n'est donc pas toujours une bonne indication de la rksistance ntcessaire au support. L'Ctude du contenu CnergCtique du chargement, de la duke des pointes de charges et de leur situation dans le temps est tout aussi importante. La cornparaison de la durCe de la charge de pointe avec la pCriode naturelle du systeme portant est d'importance capitale. Quand la duree est beaucoup plus grande que la periode naturelle, les forces dynamiques de dkbalancement peuvent avoir beaucoup d'effet sur la structure, m&me si l'amplitude des forces est faible. A l'inverse, si la durCe des pointes est tres courte par rapport a la pCriode naturelle, m&me si l'amplitude est importante, la structure peut ne pas avoir le temps de rCagir, et subir des amplifications dynamiques negligeables.

l o 1 FORCE AXIALE i L'EXTR~MITE DE LA CONSOLE NO I

I I

l ,00 I,IO 1,20 1,30 1,40

( b l EFFORT TRANCHANT VERTICAL L ' E X T R ~ M I T ~ 9 DE L A CONSOLE NO I

' ( c 1 EFFORT TRANCHANT LONGITUDINAL 'A LA CONSOLE NO (

I I I l ,OO l,lO 1,20 1,30 l ,-I0

TEMPS ( s I

FIG. 7. Charges extirieures appliqukes sur les modkles simplifiis. (Les charges sont superposies aux efforts internes au bout de la console du modkle F-134 sous les conditions du test E21 de I'EPRI.) EG, nurnkro de groupe de l'ilkrnent; E, indice de l'ilkrnent dans ce groupe; N, noeud oh la riponse est calculie; R , force axiale F,(t); S, force verticale F,(t); T, force horizontale longitudinale F,(t).

La ge'ntration de spectres de re'ponse Mozer et al. (1981) ont dCveloppC une methode simplifiee

pour Cvaluer l'amplitude maximale de la reponse des supports de lignes directement sollicitCs par des charges longitudinales dues a des bris de conducteurs. La methode est analogue a celle des spectres de rCponse utilises pour l'analyse sismique des structures. La charge de debalancernent longitudinal resultant au point d'attache est traitCe comme une excitation forcCe completement exterieure au systeme alors que le support est idealist par un systeme lineaire tlastique a un seul degrC de libertt dynamique. On Cmet donc l'hypothese qu'il n'y a aucune interaction dynamique entre la ligne et les supports, que les supports reagissent a l'excitation uniquement suivant leur mode

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EFFORT TRANCHANT LONGITUDINAL A L A CONSOLE No 1

MOMENT DE FLEXION LONGITUDINAL AU SUPPORT NO 1

,,, 4 ---- TEST DE L'EPRI E z o c

Temps ( s )

FIG. 8. RCponse dynarnique calculie sous les conditions du test E20 de I'EPRI. (Les mesures expirimentales reprisenties par une ligne discontinue sont tirLes de Mozer 1978.)

fondamental et que leurs dtplacements restent petits. L'intt- grale de Duhamel permet d'tvaluer le dtplacement dynamique maximal et de calculer le facteur d'amplification dynamique de la rtponse en dtplacernent. Ce calcul est rtpttt pour une large gamme de ptriodes naturelles et de facteurs d'arnortissernent internes du support. Reconnaissant que le pararnktre dttermi- nant l'allure du spectre est la force de prttension initiale, Mozer et al. (1981) ont gtntrt plusieurs spectres de rtponses correspondant B diverses forces de traction, puis les ont regroup& et simplifits pour obtenir des spectres plus gtntraux pour fins de dimensionnernent ou, d tout le rnoins, pour estirner l'arnplification dynamique subie par le pyl6ne. I1 est finalement suggtrt d'utiliser ces spectres pour identifier les bandes de frtquences dangeureuses ou l'arnplification dynarnique est de beaucoup sugrieure d l'unitt.

La gkne'ration d'historiques de charges de de'balancernent longitudinal

Rtalisant les limites d'application et les difficultts thtoriques associCes aux facteurs d'impact, Thomas et Peyrot (1982) ont dtveloppt le logiciel CABLE 7 dtdit a la generation nurntrique de l'historique des charges de dtbalancement longitudinal B la console ou i la poutre caustes par un ou plusieurs bris de ciibles. Les problkmes traitts sont plans et la flexibilitt des supports est rnodtliste par un ressort hookien au niveau de l'attache des conducteurs. L'amortissement structural des supports est nt- gligt alors que leur rnasse peut Ctre discrttiste aux points

EFFORT TRANCHANT LONGITUDINAL A L A CONSOLE No 1

TEST DE L'EPRI E21A

TEST DE L'EPRI E21B

MOMENT DE FLEXION LONGITUDINAL AU SUPPORT No 1

8 1 ---- TEST DE L'EPRI E21A

TEST DE L'EPRI E2lB A

I 1 I l,OO 1,lO 1,20 I ,30 1:40

Temps ( s )

FIG. 9. RCponse dynamique calculie sous les conditions du test E21 de I'EPRI. (Les mesures expCrimentales reprisenties par une ligne discontinue sont tirCes de Mozer 1978.)

d'attache des ciibles seulement. Les ciibles sont cependant modtlists avec beaucoup plus de prtcision, par une vingtaine d'tltments cattnaires (Peyrot et Goulois 1979) par portte. Le problkrne dynamique est trait6 cornrne un problkrne de vibrations libres avec acctlerations initiales sptcifites aux masses discrktes et calcultes suivant le principe de d'Alernbert.

Les historiques de charges gtntrts par Thomas et Peyrot (1982) s'accordent raisonnablement avec les rtsultats d'essais publits i condition d'inclure un arnortissernent visqueux de l'ordre de 20% de l'arnortissernent critique dans les cables. Ce fort taux d'arnortissement permet de filtrer les composantes en hautes frtquences resultant de la discrttisation tout en ayant peu d'effet sur les premikres pointes de basses frtquences, dansles premikres secondes suivant le bris.

I1 est entendu, par contre, qu'un tel arnortissement exagkre la contribution rtelle des ciibles par rapport i celle des supports. En effet, si l'on considkre un bris deciible survenant sous une condition de vent nul, l'arnortissement atrodynarnique des ciibles est pratiquement ntgligeable. I1 ne faut pas confondre l'arnortissernent atrodynamique avec l'arnortissernent structural interne qui depend du glissement et du frotternent des brins entre eux lorsque qu'un ciible toronnt est fltchi. Des Ctudes de Noiseux et Beauchernin (1983) ont dtmontrt que cet amortissement interne ne dtpasse pas l'tquivalent de quelques pourcentages d'arnortissernent visqueux critique. I1 faut tgalernent noter que les ciibles utilists dans les essais exptrirnentaux (strie E dans Mozer 1978) sont des fils et non pas des ciibles toronnts, ce

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EFFORT TRANCHANT LONGITUDINAL 6 LA CONSOLE No 1

EFFORT TRANCHANT LONGITUDINAL o A LA CONSOL- 1

- --- TEST DE L'EPRI E I I A


X I TEST DE L'EPRI E22A

-1 TEST DE L'EPRI E 2 2 B

FIG. 10. Reponse dynamique calculee sous les conditions du test E22 de 1'EPRI. (Les mesures exptrimentales reprksentkes par une ligne discontinue sont tirkes de Mozer 1978.)

O O

qui rCduit encore davantage leur capacitC d'amortissement. )i notre avis, la principale source d'amortissement structural qui

L

agit dans le systbme provient des supports. Thomas et Peyrot suggkrent d'utiliser la fonction F ( t )

gCnCrCe comme charge extCrieure sur des modkles dynamiques

m ll,oo

I 1 I I

1,lO 1,ZO I ,30 1,40

Temps ( s

des supports, ou t reprksente le temps. Cette suggestion implique un dCcouplage des effets dynamiques de la ligne et des supports au dela du premier mode de vibration longitudinal des supports, comme pr2conisC par Mozer et al. (1981).

Siddiqui (1981) a aussi dtveloppC un programme d'analyse dynamique d'une section de ligne soumise 2 un bris de cdble (programme BROKE), mais il ne se limite pas 2 gCnCrer l'historique des charges de dkbalancement a la console et s'intkresse aussi aux efforts internes dans les supports. Contrai- rement aux travaux de Thomas et Peyrot oh l'emphase Ctait surtout mise sur la modklisation des clbles, ceux de Siddiqui accordent davantage d'importance a la modClisation des supports, au dCtriment des clbles dont seule la rigidit6 longitudinale Cquivalente est reprCsentCe. L'interaction dynamique des clbles et des supports est donc nCgligCe encore une fois, de m&me que l'effet dggrands dkplacements et des grandes rotations dansles membrures des supports.

Les travaux de Siddiqui (198 1) et de Thomas et Peyrot (1982) sont certes utiles pour mieux comprendre certains -aspects du comportement d'un canton de ligne soumis a un bris de clble, surtout pour vCrifier l'influence de nombreux paramktres sur les

fJ ----- TEST DE L'EPRI €308


P I ,--- MOMENT mAxlnun SELON MOZER e t a l . (1981)

Temps ( s

FIG. 11. RCponse dynarnique calculCe sous les conditions du test E30 de I'EPRI. (Les mesures expkrimentales reprCsentCes par une ligne discontinue sont tirCes de Mozer 1978.)

charges de pointe. Par contre, les hypothkses simplificatrices utilisCes empechent la modClisation de l'interaction dynamique entre tous les composants du canton de ligne.

Interaction dynamique non IinCaire des cibles et des supports : une approche nouvelle

L'approche que nous prCconisons consiste soigner a la fois la modClisation des cdbles et des supports pour simuler les bris de clbles avec davantage de rCalisme. Les programmes commerciaux d'analyse dynamique non lintaire par ClCments finis, comme ADINA, permettent de simuler le comportement de modkles de divers degrCs de complexit6 pour mettre en Cvidence l'importance des non-1inCaritCs dans la rkponse dynamique et surtout l'importance des interactions dynamiques entre tous les composants du canton de ligne. Ces programmes commerciaux offrent les options de calcul essentielles comme la solution du problkme aux valeurs propres et des problkmes de vibrations libres et de vibrations forctes 2 l'aide de plusieurs mtthodes numtriques. Leurs inventaires d'C1tments finis sont plus com- plets que ceux des programmes spCcialisCs en bris h e clbles comme BROKE ou CABLE 7, et leurs bases thCoriques sont davantage Cprouvtes. Le modkle mathtmatique proposC dans cet article sera donc bask sur l'utilisation du loiziciel ADINA,

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lequel permet de tenir compte des non-1inCaritCs gComCtriques de la ligne et de simuler la condition d'accC1Cration initiale non

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EFFORT TRANCHANT LONGITUDINAL A LA CONSOLE No 1

TEST DE L'EPRI E31A

TEST DE L'EPRI ~ 3 2

MOMENT DE FLEXION LONGITUDINAL - I

AU SUPPORT No 1

r / , , , , l,OO l,lO 1,20 1,30 1,40

Temps ( s

- 0

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5 W n - = "w~a Z z 0 cn -

I- 2-0 W -. I 0 Z

FIG. 12. RCponse dynamique calculCe sous les conditions du test E3 1 de I'EPRI. (Les mesures exptrimentales reprCsentCes par une ligne discontinue sont tirkes de Mozer 1978.)

- --- TEST DE L'EPRI E ~ I A

- .- TEST DE L'EPRI E318

\. \:-

nulle a l'aide d'une option spCciale, l'option element death. Cette option consiste annuler, un instant choisi, la contribution d'un ou de plusieurs Cltments a la matrice de rigidit6 globale du systkme tout en conservant intacte la contribution 2 la matrice de masse. Dans le contexte du bris de clble, l'option peut Ctre interpr6tCe comme Cquivalente 2 une description non linCaire sptciale de la loi du matCriau qui fait qu'a l'instant choisi, les ClCments de clbles perdent toute rigiditC, ce qui crCe des forces de dkbalancement inertielles dans le systkme dks l'instant At suivant.

Notre Ctude est basCe sur trois types de modbles mathCma- tiques dCcrits plus en dCtails aux paragraphes suivants. Chaque type de modkle permet d'examiner un aspect particulier du comportement d'une section de ligne soumise 2 un bris de clble. Le modkle F-134 est assez dCtaillC pour simuler les sept tests de I'EPRI retenus. Une strie de quatre modkles sirnplifiCs reprB sente un support unique entre deux portCes Cgales de clble de garde, sollicit6 par trois composantes de force extCrieure i l1extrCmitC d'une console. Les modkles F-15, F-21 et F-33 varient le maillage du support, celui des clbles Ctant fixe. Le modkle F-47 a un maillage plus fin pour les cibles alors que le maillage du support est identique B celui du F-15. Ces modkles simplifiCs mettent en Cvidence les effets de la discrktisation des supports et des non-1inCaritCs gComttriques dans la rkponse.

EFFORT TRANCHANT LONGITUDINAL A LA CONSOLE No 1

- --- TEST DE L'EPRI E 3 5 A

MOMENT DE FLEXION LONGITUDINAL AU SUPPORT No 1

0 I TEST DE L'EPRI E35A

TEST DE L'EPRI E 3 5 8

Temps ( s

FIG. 13. RCponse dynamique calculte sous les conditions du test E35 de I'EPRI. (Les mesures expCrimentales reprtsenttes par une ligne discontinue sont tirCes de Mozer 1978.)

Modkle F-134 La construction de modkles numCriques fiables doit s'ap-

puyer sur des analyses prtliminaires avec des modkles plus simples qui permettent de valider plusieurs paramktres essen- tiels de l'analyse, tels le choix du maillage des c2bles et de l'algorithme dlintCgration numCrique des tquations d'tquilibre dynamique du systkme. Les travaux prkliminaires rapportCs dans McClure et Tinawi (1 987) ont men6 i la construction d'un modkle debase simulant le comportement d'un modkle rCduit de section de ligne test6 par Mozer et al. (1981). Ce modkle de base, oh l'emphase avait CtC mise sur la modClisation des clbles, a CtC amCliorC par un maillage plus raffinC des portCes du clble de garde et du conducteur directement adjacentes au point de bris. Cette nouvelle idCalisation, qui porte le nom de modkle F-134, est illustrCe i la figure 4 et les diffkrents paramktres des tests de I'EPRI sont indiquts au tableau 1 pour les sept cas simults (E20, E21, E22, E30, E31, E35 et E36). Les paramktres variCs dans ces simulations sont le niveau de traction initiale dans le conducteur et le clble de garde, et la longueur de la tige de suspension des conducteurs.

Le modkle F-134 combine une bonne discrktisation des propriCtCs d'inertie ?I la fois pour les c2bles et les supports. Les portCes du clble de garde directement adjacentes au bris comptent 10 Cltments isoparamCtriques B trois nceuds alors que

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EFFORT TRANCHANT LONGITUDINAL 4 L A CONSOLE No 1

J --- - TEST DE L'EPRI ~ 3 6 ~


---- TEST DE L'EPRI € 3 6 8 N Z , F

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Temps ( s )

FIG. 14. RCponse dynamique calculCe sous les conditions du test E36 de I'EPRI. (Les mesures exptrimentales reprksenttes par une ligne discontinue sont tirCes de Mozer 1978.)

la portCe de conducteur directement sollicitCe en compte 20. Chaque support compte six elCments de cadre tridimensionnel retenant les effets non 1inCaires dus aux grands dCplacements et aux grandes rotations. La tige de suspension est reprCsentCe par un seul Clement barre qui permet de simuler correctement le mouvement de balancement suite au bris. Aucun amortissement n'est inclus dans le modkle et la masse des divers composants est groupie a chaque nceud dCfini.

Les difficult& numtriques rencontrkes lors de la validation de ces modkles sont discuttes sCparCment dans McClure et Tinawi (1989). L'algorithme d'intkgration directe Wilson 0 (Wilson et al. 1973), avec 0 = 1,4 et At = 0,75 ms, a finalement CtC retenu pour prCdire les effets de la deuxikme pointe de rtponse, gCnCralement les plus importants. Si la rCponse a la premikre pointe est dCsirCe, il faut utiliser un algorithme plus prCcis, soit en rkduisant le At a 0,25 ms, soit encore en utilisant la rkgle trapCzoi'dale (Newmark 1959) avec At = 0,25 ms.

Mode'les F-15, F-21, et F-33 Pour les mCmes tests de I'EPRI, la modClisation des supports

a CtC CtudiCe sCparCment l'aide de modkles simplifiCs reprksentant un seul support avec ses deux portCes de cible de garde adjacentes ancrCes au chevalet, comme montrC a la figure 5. Les modkles F- 1 5, F-2 1 et F-33 reprksentent des modkles de plus en plus raffinCs du support tout en conservant le mCme maillage plut6t grossier pour les cibles. L'ttude de ces modkles

consiste a comparer seulement leurs frequences et leurs modes de vibration naturels en tenant compte d'une formulation diagonale ou non diagonale des matrices d'inertie et aussi a verifier l'effet de la masse de la portCe de conducteur intacte directement adjacente au bris sur les rCsultats du problkme aux valeurs propres.

Modbles F-15 et F-47 Finalement, l'importance des non-1inCaritCs gComCtriques

dans la rCponse dynamique du systkme soumis au bris de cible est CtudiCe a l'aide des modkles simplifiCs F-15 (fig. 5) et F-47 (fig. 6) ou la discretisation du cible de garde est plus raffinCe que dans le modkle F- 15. Un chargement fictif, bast sur l'historique des efforts internes a la console du modkle F-134 (donntes du test E2 1 de I'EPRI), est appliquC a la console des modkles simplifies. Ce chargement externe est schCmatisC a la figure 7, superpost aux rCsultats du modkle F-134. Nous insistons ici sur le fait que ce chargement n'est que fictif et ne sert qu'a mettre en Cvidence l'importance des non-1inCaritCs dans la rCponse dynamique des modkles; il ne doit pas 2tre consider6 comme un chargement Cquivalent au bris de cible. Les modkles F-15 et F-47 sont analysCs d'une part avec la mCthode de superposition modale, et d'autre part avec diffkrentes variantes d'intkgration directe dans le temps, afin de mettre en Cvidence l'influence des modes sup6rieurs dans certains ClCments de rCponse et l'importance des effets non 1inCaires.

Le modkle F- 134 aurait pu servir comme modkle de base pour Ctudier l'effet de la discretisation des supports et de l'importance des non-1inCaritCs. Cependant, les coiits des calculs auraient CtC prohibitifs alors que des modkles simplifiCs sont tout aussi efficaces pour dCmontrer l'importance de ces paramktres.

Resultats des simulations numeriques pour sept tests de I'EPRI

Les rksultats expkrimentaux disponibles dans Mozer (1978) se limitent aux historiaues de l'effort tranchant longitudinal a la console adjacente au bhs et du moment de flexion longitudinal it la base du support no 1. Aux figures 8 a 14, ces rCsultats expCrimentaux sont superposCs aux rCsultats numtriques obtenus avec la mCthode Wilson 0 (0 = 1,4 et At = 0,75 ms). Rappelons que sur ces historiques, le bris est initiC au temps to + At en utilisant l'option element death dlADINA qui annule la rigidit6 des ClCments de cible de la portCe brisCe. L'instant to correspond ici a 1 s, l'analyse statique dans la configuration initiale sous poids propre et forces de prttension ayant prCcedC l'analyse dynamique. Lorsque deux courbes expCrimentales sont superposCes sur un mCme historique, il s'agit tout simple- ment d'une rCpCtition du mCme test visant a vtrifier la reproductibilitk des mesures. Les tableaux 2 et 3 permettent aussi de comparer les valeurs de pointe et leur contenu CnergCtique approximatif tel qu'indiquC par l'aire sous la courbe des historiques. Rappelons que ces historiques sont obtenus avec le post-processeur ADINA-PLOT et que les symboles EG, E et N utilisCs (voir fig. 7-14 et 18-21) referent, dans l'ordre, au numCro de goupe de 17C1Cment, a l'indice de 1'ClCment dans ce groupe et a l'indice du nceud ou la rCponse est calculCe.

La precision de l'algorithme d'intkgration numCrique retenu est trop faible pour prtdire correctement la premikre pointe de l'effort tranchant a la console (tableau 2) : les valeurs numtriques sous-estiment les valeurs expCrimentales avec des Ccarts de l'ordre de 40%. Les historiques montrent que les simulations

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McCLURE ET TlNAWl : I

(a) f l = 5 , 6 7 Hz

(b) f 2 = 2 8 , 3 H z

( e ) f = 8 7 , l H z 5

FIG. 15. Huit premiers modes de flexion longitudinale du support pour le modkle simplifik F-33

numCriques dispersent l'effet de la premikre pointe sur une plus longue duke et avec une intensite plus faible que les mesures expCrimentales. La prediction de l'aire approximative sous la courbe sous cette pointe comporte des erreurs rCduites a l'ordre de 20%, sauf pour le test E35 ou l'erreur est encore de l'ordre de 50%. Nous avons dCja discutC (McClure et Tinawi 1989) le cas spCcial de ce test ou la combinaison d'une tige de suspension plus courte avec une traction dans le conducteur relativement ClevCe et une traction plus faible dans le cible de garde produit des forces de dtbalancement plus riches en hautes frequences que celles des autres tests CtudiCs. L'algorithme d'intkgration

filtre pratiquement toutes les frCquences supCrieures a 270 Hz, et la premikre pointe de l'effort tranchant est trks influencCe par ce filtrage pace qu'elle se produit alors que l'onde des forces de dkbalancement vient d'etre initiCe et voyage a sa plus grande vitesse. Le At choisi est donc insuffisant et les Ctudes numC- riques ont montrC que le maillage d'ClCments finis comme tel est inadCquat pour ce test particulier.

La deuxikme pointe de l'effort tranchant a la console est toujours surestimte par le modkle numCrique, et les Ccarts sur les valeurs maximales varient de l'ordre de 10 a 40% selon les tests. Du point de vue dynamique, il est cependant plus

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TABLEAU 2. Pointes de I'effort tranchant longitudinal P la console no 1 pour les sept tests simults de I'EPRI

Premikre pointe Deuxikme pointe -

Source des V I t l A I V2 t2 A2 V 2 t 2

Modtle rtsultats (N) (s) (N.s) (N) (s) (N.s) (N) (s)

E20 Mtthode Wilson 0 21 0,15 2,O 96 0,31 9,6 66 0,29 Test E20C de I'EPRI 41 O,11 2,O 77 0,34 8,7 62 0,31 TestE20DdeI'EPRI 42 0,12 2,2 75 0,36 7,9 57 0,29

E21 Mtthode Wilson 0 25 0,16 2,4 99 0,31 9,3 66 0,29 TestE21Ade11EPRI 41 0,12 2,O 70 0,34 7,4 57 0,30 Test E21B de I'EPRI 41 0,12 2,2 75 0,34 7,3 57 0,30

E22 Mtthode Wilson 0 20 0,12 2,8 100 0,31 9, l 68 0,28 Test E22A de I'EPRI 40 0,12 2,O 68 0,34 7,3 57 0,29 Test E22B de 1'EPRI 41 O,11 2,O 73 0,33 8.1 57 0,29

E30 Mtthode Wilson 0 20 0,16 2,O 75 0,23 8,9 55 0,28 Test E30A de I'EPRI 24 0,13 1,7 57 0,24 7,l 50 0,28 Test E30B de I'EPRI 24 0,14 1,7 56 0,24 6,8 48 0,28

E31 Mtthode Wilson 0 24 0,16 1,8 78 0,26 9 , l 58 0,28 TestE31Ade11EPRI 26 0,14 1,7 62 0,24 7,2 50 0,28 Test E31B de I'EPRI 26 0,14 2,O 58 0,25 7,6 50 0,28

E35 Mtthode Wilson 0 20 0,04 1,2 85 0,32 11,5 71 0,26 Test E35A de I'EPRI 51 0,07 2,O 69 0,30 10,4 50 0,28 Test E35B de I'EPRI 48 0,08 2,l 63 0,30 9,8 50 0,28

E36 MCthode Wilson 0 36 0,09 1,5 77 0,29 10,O 64 0,28 Test E36B de I'EPRI 49 0,06 1,9 69 0,28 10,4 53 0,26

NOTA: Ai , aire approximative sous la courbe de I'historique de I'effort tranchant; V,, effort tranchant la console, pointe no i; V1. valeur moyenne de I'effort tranchant ?I la deux ihe pointe; t i , temps correspondant a Vi sur I'historique de I'effort tranchant (temps de dClai entre la pointe i et I'instant du bris); t , , instant qui correspond environ ?i la moitie de la deuxPme pointe. Pour la methode Wilson 0, 0 = 1,4 et At = 0.75 ms.

TABLEAU 3. Pointes du moment de flexion longitudinal P la base du support no 1 pour les sept tests simults de I'EPRI

Premikre pointe

Source des rCsultats

Mtthode Wilson 0 Test E20C de I'EPRI Test E20D de I'EPRI

MCthode Wilson 0 Test E2 1 A de I'EPRI Test E21 B de I'EPRI

Mtthode Wilson 0 Test E22A de I'EPRI Test E22B de I'EPRI

Mtthode Wilson 0 Test E30 de I'EPRIa

Mtthode Wilson 0 Test E3 1A de I'EPRI Test E31B de I'EPRI

Mtthode Wilson 0 Test E35A de I'EPRI Test E35B de I'EPRI

Mtthode Wilson 0 Test E36B de I'EPRI

Deuxikme pointe

Aire sous la courbe MR t2 jusqu'a t = 0,375 s

(N.m) (s) (N.m.s)

NOTA : Mfi , moment de flexion longitudinal A la base, pointe no i; t i , temps correspondant M f i sur I'historique du moment. Pour la m6thode Wilson 8, 8 = 1,4 et At = 0,75 ms.

"R6sultat ti115 de Mozer et al. (1981).

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MODELE F - 4 7

"1 SUPERPOSITION MODALE ( 6 0 MODES) NOEUD 22

M O D ~ L E F-15 SUPERPOSITION MODALE (30 MODES) NOEUD 6

M O D ~ L E F - 15 4 W l LSON 8 At = c

0

u?. I

ll,oo I 1 I I

1 ,I0 1,ZO 1,30 1,40

TEMPS ( s )

FIG. 16. Historiques du dtplacement longitudinal a I'extrtmitt de la console chargte, calculCs pour les modkles F-15 et F-47.

TABLEAU 4. Effet de la convergence du maillage du support .sur les valeurs propres des premiers modes

de flexion longitudinale (modkles simplifits)

FrCquences naturelles calculCes NumCro (Hz) du mode (fig. 15) Modkle F-15 Modtle F-21 Modkle F-33

significatif de comparer (tableau 2) la valeur moyenne de la deuxikme pointe, qui reprCsente en quelque sorte une valeur de pointe plus probable, de m2me que l'aire sous la courbe de cette pointe. Les modkles numCriques surestiment encore ces valeurs de l'ordre de 20%. Si plus de precision est nCcessaire, les rtsultats obtenus avec la rkgle trapCzoi'dale sont prtfCrables, avec des Ccarts rCduits a l'ordre de 10% en moyenne.

Le tableau 3 compare les rCsultats obtenus pour les pointes du moment de flexion longitudinal 2 la base du support no 1. La

premikre pointe est sous-estimte de l'ordre de 20% en moyenne par le modkle numCrique intCgrC avec I'opCrateur Wilson 8, ce qui est consCquent avec le mauvais rendement du modkle numCrique pour la premikre pointe de l'effort tranchant. La deuxikme pointe du moment est surestimCe en moyenne de 30% par le modkle numCrique alors que l'aire totale sous les deux premikres pointes du moment est surestimCe de 20%. La regle trapizoi'dale permet des prkdictions plus justes avec des Ccarts de l'ordre de +20% sur les deux premikres pointes du moment.

En conclusion, l'allure gCnCrale des historiques obtenus numkriquement resemble assez celle des historiques mesurCs, sauf pour la premikre pointe de l'effort tranchant a la console. L'utilisation de la rkgle trapCzoi'dale avec At rCduit permet des prkdictions amCliorCes, surtout pour les deuxikmes pointes : les Ccarts sont rCduits 10% pour la moyenne de l'effort tranchant de pointe et 20% pur le moment de flexion. I1 est normal que les modkles numiriques prCdisent des efforts supCrieurs aux historiques mesurCs expCrimentalement. Tout d'abord, la discrktisation d'un systkme continu en ClCments finis, avec formulation basCe sur la mCthode des dCplacements, entraine nkcessairement un modkle numCrique plus rigide que la rCalitC. Les predictions numCriques pourraient encore &tre amCliorCes par un maillage plus fin de la console et du chevalet du cible de garde qui transmettent les efforts de dkbalancement au reste du support. De plus, il faut considCrer qu'aucun amortissement structural n'a CtC introduit dans les modkles numCriques alors qu'en rialit6 les supports contribuent amortir les effets dynamiques.

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M O D ~ L E F - 4 7 SUPERPOSITION MODALE ( 6 0 MODES)

M O D ~ L E F-15 SUPERPOSITION MODALE ( 3 0 MODES) NOEUD 5

;: l ,OO 1,lO 1,20 I ,30 1,40

TEMPS ( 5 1

SUPERPOSITION MODALE ( 2 0 MODES) NOEUD 5

. MODELE F- 15 WILSON 0 At = 0,75 ms NOEUD 5

TEMPS ( s

FIG. 17. Historiques du dCplacement longitudinal 2 I'extdmitC du chevalet du cdble de garde, calculCs pour les modkles F-15 et F-47.

Interaction dynamique des composants de ligne Tel que mentionnC plus haut, l'interaction dynamique des

composants est mise en Cvidence sur des modkles simplifiCs d'un support unique entre deux portCes de ciible de garde intact, sollicit6 par des forces extCrieures a 1'extrCmitC d'une console.

Notre premikre prkoccupation est certainement l'idkalisation des ciibles car il faut bien s'assurer que l'onde des forces de dkbalancement qui est transmise dans les portCes adjacentes au bris soit correctement representee dans le modkle numCrique. Cette question a CtC CtudiCe en dCtail dans les analyses pre- liminaires (McClure et Tinawi 1987) et il semble que le maillage des ciibles finalement retenu dans le modkle F-134 soit satisfaisant.

Effet de la discre'tisation des supports (modPles F-15 , F-21 et F-33)

Cornrne la conception de la ligne sous les charges longitudinales exige d'assurer une rksistance suffisante des supports, il faut que l'idkalisation des supports soit assez rkaliste pour que les efforts internes calculb soient prCcis et que l'interaction dynarnique avec les ciibles puisse se manifester. L'Ctude du probleme aux valeurs propres des modkles simplifiCs de la figure 5 est un bon rnoyen de vCrifier les limites du maillage du support coup16 aux deux portCes adjacentes de chble de garde intact.

Le tableau 4 rCsume les rCsultats d'une premikre sCrie d'essais numCriques avec matrice de masse diagonale, negligeant

l'inertie rotationnelle des ClCments du support. Quelques modes de vibration du modkle F-33 (avec 16 ClCments dans le mht) sont aussi montrCs la figure 15. En prenant les rCsultats de ce modkle comme base de comparaison, les pCriodes des 2" et 4" modes de flexion longitudinale du mht cornmencent a devenir imprkcises avec le modkle F-15, les Ccarts relatifs Ctant de l'ordre de 10%. L'Ccart ateint 18% sur la frkquence du premier mode de flexion longitudinale des consoles. Ces Ccarts sont significatifs si l'on considkre que le phCnomkne de bris de ciible implique certainement une participation importante des dC- formCes du 2" mode longitudinal du mht (fig. 15 b) et du premier mode longitudinal de la console (fig. 15e).

Une autre sCrie d'essais numCriques avec matrice de masse non diagonale cette fois, incluant aussi l'inertie rotationnelle des Cltments du support, indique que pour les frkquences naturelles CtudiCes, infkrieures a 150 Hz, les modes de vibration transversaux et longitudinaux restent dCcouplCs. L'effet de la formulation non diagonale de la matrice de masse est nCgligea- ble sur les modes des chbles seuls mais il augmente 1Cgkrernent les frkquences des modes infkrieurs du support. L'augmentation est d'autant plus forte pour le modkle F-15 dont le maillage du support est grossier : 1'Ccart est de l'ordre de 10% pour les 2e et 4e modes longitudinaux et les 2e et 3e modes transversaux du miit.

Une dernikre sCrie de problkmes aux valeurs propres a servi a Ctudier l'effet de l'addition d'une masse concentric a la

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F~G. 18. Historiques de l'effort tranchant longitudinal 21 I'extrCmitC de la console chargCe, calculCs pour les modbles F-15 et F-47.

console, tquivalente a la moitit de la masse des clbles de la portte intacte du conducteur adjacente au point de bris. Comme prkvu, l'ajout de cette masse diminue de quelques pourcentages les frkquences des modes longitudinaux inftrieurs du support. I1 introduit aussi quelques modes de vibration suppltmentaires dans la gamme des frkquences ttudites (0- 150 Hz) : un mode de flexion longitudinale de la console combint au 2e mode de flexion longitudinale du mlt, autour de 30 Hz, et un mode de flexion verticale de la console sollicitke combint a une flexion transversale du chevalet du clble de garde, autour de 85 Hz. Ces modes sont susceptibles dl&tre importants dans un problkme de bris de clble oh la portte de conducteur intacte est effectivement active.

Bien que le problkme du bris de clble soit non lintaire et ne puisse &tre rigoureusement analyst par superposition modale, l'ttude du problkme aux valeurs propres des trois modkles simplifits permet de conclure que la discrttisation du support dans le modkle F-15 aurait avantage &tre modifike. Les essais numkriques indiquent qu'il n'est pas ntcessaire d'adopter une formulation de masse non diagonale mais que le maillage devrait &tre plus fin dans le mlt et dans la console adjacente au point de bris.

Importance des non-line'arite's ge'ome'triques et des modes supe'rieurs (modiles F-15 et F-47)

L'importance des non-lintaritks gtomttriques et des modes

sup6rieurs dans la rkponse est mise en tvidence en comparant la rkponse des modkles simplifits F- 15 et F-47 soumis aux charges exttrieures de la figure 7. La superposition modale simule la rtponse du systkme lintaire tquivalent a la configuration initiale alors que l'intkgration directe par Wilson 8 tient compte des effets non lintaires. Pour le modkle F-15, les analyses dynamiques suivantes sont compartes : (i) superposition modale des 20 premiers modes (0-61 Hz) incluant les quatre modes inftrieurs de flexion longitudinale du mlt; (ii) superposition modale des 30 premiers modes (0-286 Hz); (iii) intkgration directe avec l'optrateur Wilson 8 (8 = 1,4 et At = 0,75 ms) filtrant les frtquences suptrieures a 270 Hz. La mCme inttgration directe est faite pour le modkle F-47. Plusieurs modes de basse frtquence sont introduits a cause du maillage plus fin des clbles, de sorte qu'une superposition modale avec les 60 premiers modes (0-17,6 Hz) inclut seulement le premier mode de flexion longitudinale des supports. Rappelons que la discrttisation des cibles de garde du modkle F-47 est identique a celle du modde de base F- 134.

Remarquons qu'il est possible d'utiliser, en pratique, un chargement exttrieur tel que montrk a la figure 7 et d'effectuer une superposition modale simple oh les non-linkaritts sont ntgligtes. Nous recommandons fortement de ne pas le faire car l'interaction dynamique des composants et les effets des non-lintaritts gComCtriques sont importants, comme le prou- vent les rtsultats discutts aux paragraphes suivanp.

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FIG. 19. Historiques de l'effort tranchant longitudinal a llextrCmitC du chevalet du clble de garde, calculCs pour les modkles F-15 et F-47.

a M O D ~ L E F-15 o M O D ~ L E F-15

M O D ~ L E F - 1 5 j SUPERPOSITION MODALE ( 3 0 MODESI -

M O D ~ L E F - 15 SUPERPOSITION MODALE ( 2 0 MODESI

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TEMPS ( s ) TEMPS ( s )

SUPERPOSITION MODALE ( 3 0 MODES) 3

TEMPS ( s TEMPS I s )

FIG. 20. Historiques de l'effort tranchant longitudinal a la base du mlt, calculCs pour les modkles F-15 et F-47.

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MODEL€ F-15 WILSON 8

TEMPS ( 5 ) TEMPS ( s )

FIG. 21. Historiques du moment de flexion longitudinal a la base du mbt, calculCs pour les modkles F-15 et F-47.

La rtponse des modkles F-15 et F-47 tvalute par inttgration directe est pratiquement identique, B quelques pourcentages prks, ce qui indique que les modes de vibration suptrieurs des clbles ne sont pratiquement pas sollicitts par les forces appliqutes. Les modes suptrieurs du support, par contre, sont trks influents.

Dans le calcul du dtplacement longitudinal au bout de la console chargte (fig. 16), l'ajout des modes suptrieurs (61-286 Hz) dans la superposition modale du modkle F-15 contribue un 18% suppltmentaire B la valeur de pointe. Cette contribution est rkduite de moitit pour le dtplacement au bout du chevalet du cfible de garde (fig. 17) puisque la console et le chevalet en filtrent une partie. Les non-lintaritts gtomttriques sont trks importantes dans la prtdiction des dtplacements que l'analyse modale lintaire sous-estime d'environ 35%.

Les historiques de l'effort tranchant B l'extrtmitt libre de la console chargte (fig. 18) devraient idtalement correspondre B la charge longitudinale appliqute montrte 21 la figure 7c. L'examen des historiques montre que la contribution des modes suptrieurs (61-286 Hz) est excessivement importante. Les effets non lintaires sont aussi significatifs : ils augmentent de 20% l'effort moyen de la deuxikme pointe. Les m&mes tendances, mais moins accentutes, sont aussi obsewtes pour l'effort tranchant au bout du chevalet du clble de garde (fig. 19). L'effort tranchant B la base du mlt (fig. 20) est aussi trks influenct par les modes suptrieurs, mais l'importance des non-linkaritks est encore plus significative en rtduisant l'effort maximum d'environ 60%,.

Finalement, les valeurs de pointe des historiques du moment de flexion longitudinal B la base du mlt (fig. 21) sont peu sensibles aux non-lintaritts gtomttriques. La durte de la deuxikme pointe est cependant accrue par les effets non linkaires qui augmentent de 30% l'aire sous l'historique de cette pointe. Un tlargissement semblable est aussi not6 dans l'historique de l'effort tranchant longitudinal B la base du mlt. L'influence des modes suptrieurs sur la deuxikme pointe du moment est de l'ordre de 14%.

La discrttisation du support a certainement un effet significatif sur la rkponse puisque la contribution des modes suptrieurs (61-286 Hz) est importante pour tous les efforts internes ttudits. Ceci a t t t vtrifit par une superposition modale B 30 modes sur le modkle F-21 qui double le nombre d'tltments dans le support du modkle F-15. En raison de cet effet seul, le moment maximal B la base s'est accru de 14% par rapport aux rtsultats du modkle F-15, alors que l'effort tranchant B la base du mlt s'est accru de plus de 20%.

En rtsumt, les effets non lintaires sont surtout importants dans la prtdiction des dtplacements de la t&te du support, et des efforts tranchants B la base du mlt et au bout de la console chargte. L'importance des modes suptrieurs est notable pour tous les efforts internes ttudits, ce qui suggkre encore la ntcessitt de raffiner le maillage du support.

Conclusions Un modkle mathtmatique non lintaire est prtsentt pour la

simulation du comportement dynamique des lignes atriennes de

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transport d'klectricitk dd a un bris de cdble. Le modele propose combine a la fois les effets de la discretisation des cdbles et celle des supports : l'idkalisation des cdbles doit bien reprksenter la propagation de l'onde de dkbalancement de traction dans le chble adjacent au bris alors que celle des supports doit permettre aux interactions dynamiques chbles-supports de se manifester. Le modele nurnerique donne des rksultats fiables lorsque ceux-ci sont comparks des mesures experimentales faites par d'autres chercheurs sur des moddes rkduits pour le compte de 1'Electric Power Research Institute americain.

En moyenne, pour les sept series de rksultats comparkes, le modkle numkrique surestime de 10% seulement l'effort tranchant longitudinal maximum a la console adjacente au point de bris et d'environ 20% les deux premieres pointes du moment de flexion longitudinal a la base. Ces prkdictions numkriques sont tres satisfaisantes pour des fins de conception de ligne, compte tenu que le modele numkrique n'inclut aucun amortissement structural. Des ttudes paralleles sur des modeles simplifiks representant un support unique avec deux porttes de cible de garde ancrkes a l'extrtmitk du chevalet dtmontrent que les prkdictions numCriques pourraient encore &tre amkliorees par un maillage plus fin dans le support, spkcialement a la console et au chevalet du cdble de garde qui sont dkterminants dans l'interaction cdbles-supports. Ces ktudes numkriques confirment les points suivants :

(1) L'interaction dynamique entre les supports et les cibles est imporante. La prksence de chbles intacts influence les modes de deformation du support soumis au dkbalancement longitudinal. Le couplage des reponses cibles-supports ne se fait pas qu'au niveau quasi statique des rigidites : les effets d'innertie sont aussi importants, a fortiori dans les cas de lignes reelles ou la masse des cibles conducteurs offre une contribution notable a la masse totale du canton.

(2) Les effets des non-lintaritks gkomktriques sont importants et doivent &tre inclus dans l'analyse, tant dans les chbles que dans les supports, surtout pour la prediction des dkplacements et des efforts tranchants dans le support. Une analyse linkaire par superposition modale donne des resultats qui sont trks loin de la rkalitk : les dkplacements en tCte de support sont sous-estimes d'environ 35% et les efforts tranchants la base sont surestimks d'environ 60%. Les non-linkaritks tendent aussi a allonger la durke de la deuxikme pointe des efforts internes a la base du support.

(3) La contribution des modes supkrieurs (au-dela du 4e mode de flexion longitudinale du support) est significative pour tous les modeles simplifiks ktudiks. Ceci renforce la nCcessite de raffiner le maillage du support et dkmontre encore l'irnportance des interactions dynamiques cibles-supports.

Nos observations confirment kgalement qu'il n'est pas indiquk d'ktudier ces problemes de bris de cibles par dkcou- plage des cibles et des supports.

Nous sommes fort encouragks par les rCsultats de cette ktude numkrique qui viennent confirmer la faisabilite de simulations numkriques fiables pour les problkmes de bris de cibles. I1 faut souligner qu'en pratique, les lignes de transport ne sont pas conyes pour rksister a toutes les surcharges dynamiques caudes par les bris de cibles; on tolere gentralement que ces bris endommagent une ou deux structures adjacentes a condition que tout risque de propagation en cascade du defaut soit empCchk. A cette fin, la modklisation du bris de composants suite au bris de cible peut facilement Ctre intCgrke aux modeles numkriques: des exernples de plastification de consoles sont donnks par McClure (1989) avec des modeles de supports de dimensions rielles.

D'autres modeles pourraient &tre adaptks l'ktude des effets d'autres charges dynamiques de dkbalancement longitudinal comme les bris de chaines de supension ou les delestages de portkes givrkes ou glades. Avec l a disponibilitk de nombreux programmes commerciaux d'analyse dynamique non linkaire par klkments finis, de telles Ctudes dkpassent le cadre acadB mique en devenant a la portke des concepteurs de lignes. ~ t a n t donnk les coQts ClevCs et les difficultks de rkalisation d'essais dynamiques grandeur nature, et les problemes liks a l'extrapo- lation des rksultats obtenus sur modeles rkduits, les simulations numkriques d'kvenements dynarniques complexes offrent un potentiel presque illirnitk dans la poursuite de l'objectif fondamental d'une conception de plus en plus rationnelle des lignes atriennes de transport d'klectricitk a haute tension.

Remerciements La recherche rapportke dans cet article a CtC financke par le

Conseil de recherches en sciences naturelles et en gknie du Canada sous forme de la subvention no A8958 et d'une bourse d'ktudes supkrieures mkritte par G. McClure.

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Documents

Comportement dynamique des lignes aériennes de transport d'électricité dû aux bris de câbles. I. Modélisation mathématique