comportement statique des systèmes

Cours 06 - Comportement statique des systemes CPGE 1ère année

Sciences Industrielles pour l’Ingénieur Page 1/23 06/03/2012

Objectifs :

Savoirs

Je connais :

• les différents types d’action mécanique ; • la notion de champ de forces élémentaires ; • les torseurs particuliers : torseur couple et torseur glisseur ; • le théorème des actions réciproque ; • les notions de frottement et d’adhérence ; • les lois de Coulomb ; • la notion d’arc-boutement ; • les torseurs d’actions mécaniques transmissibles par les liaisons

usuelles ; • le schéma d’architecture et le graphe de structure ; • le principe fondamental de la statique • le théorème de la résultante statique et le théorème du moment

statique ; • les résultats pour les solides soumis au maximum à trois actions

mécaniques modélisables par des torseurs glisseurs.

Utiliser des démarches et des méthodes pour décrire et caractériser les actions mécaniques permettant de maintenir un système en équilibre.

Savoir-faire

Je sais :

• modéliser une action mécanique au niveau local ; • modéliser une action mécanique au niveau global à l’aide d’un

torseur ; • modéliser au niveau global l’action de la pesanteur ; • déterminer la position du centre de gravité d’un solide ; • modéliser au niveau local et au niveau global l’action mécanique de

contact dans le cas d’une tendance au glissement avec adhérence ou d’un glissement avec frottement ;

• faire le bilan des actions mécaniques extérieures à un ensemble isolé ;

• simplifier un torseur d’actions mécaniques dans le cas d’un problème plan ;

• utiliser une méthode de résolution adaptée à une problématique ;



Sommaire I - Introduction ............................................................. 3

II - Actions mécaniques .................................................. 3

II.1 - Définition ........................................................................ 3

II.2 - Point de vue local .............................................................. 3

II.3 - Du point de vue local au point de vue global ............................. 4

II.4 - Torseur des actions mécaniques ............................................ 5

II.5 - Cas de l’action mécanique de la pesanteur ............................... 6

II.6 - Phénomène de frottement ................................................... 8

II.7 - Actions mécaniques transmissibles par les liaisons usuelles ........ 11

III - Application du Principe Fondamental de la Statique (PFS) 14

III.1 - Graphe de structure et schéma d’architecture ....................... 14

III.2 - Isolement d’une partie du système ...................................... 16

III.3 - Bilan des actions mécaniques extérieurs (BAME) ..................... 16

III.4 - Principe Fondamental de la Statique .................................... 17

IV - Ensemble isolé soumis uniquement à des torseurs glisseurs .............................................................................. 19

V - Démarche de résolution d’un problème ........................ 21



I - Introduction

On a vu précédement que l’on pouvait, à l’aide d’une simulation « manuelle(1) » ou assistée par ordinateur, prévoir le comportement cinématique des systèmes.

Mais cela ne suffit pas pour concevoir un système ou vérifier qu’il répond bien aux attentes de ses utilisateurs. Il faut aussi s’intéresser aux actions mécaniques auxquelles les constituants de ce système sont soumis afin de dimensionner(2) les pièces qui le constituent, prévoir leurs déformations ou bien déterminer certaines caractéristiques des actionneurs.

C’est l’application du Principe Fondamental de la Statique qui, après avoir identifié et caractérisé les différentes actions mécaniques connues et recherchées, permet d’étudier la relation de cause à effet entre l’équilibre d’un système et les actions mécaniques en présence.

II - Actions mécaniques

II.1 - Définition

On apelle Action Mécanique (AM), toute cause capable de : - provoquer ou modifier le mouvement(3) d’un solide ; - provoquer la déformation d’un solide.

On distingue : • les actions mécaniques à distance. Elles agissent sur

tout le volume du solide. Exemple : actions magnétiques, action de la pesanteur… • les actions mécaniques de contact. Elles agissent

directement sur la surface du solide. Exemples : pression d’un fluide, action de contact entre deux solides… Qu’elle soit à distance ou de contact, une AM a toujours une origine et une cible. On utilisera donc la notation : i j→ Exemple :

- action de la pesanteur sur le solide 3 : 3p →

- action du solide 4 sur le solide 2 : 4 2→ - action d’un moteur sur le solide 1 : 1m →

II.2 - Point de vue local

L’action mécanique d’un élément 1 sur un solide 2 (AM de 1 2→ ) est répartie sur la surface (action de contact) ou sur le volume (action à distance) du solide 2.

Soit P, un point appartenant à 2 et concerné par cette action mécanique. On définit(4) localement une force

élémentaire 1 2( )dF P→uuuuuuuuur

agissant sur une surface ou un

volume de dimension réduite(5) définie au voisinage de P.

(1) Résolution « à la main » de problèmes de cinématique à l’aide de méthodes graphiques ou analytiques.

L’objectif décrit ici ne sera atteint en 1ère première année que pour des systèmes immobiles. Il faudra attendre la 2ème année pour découvrir le Principe Fondamental de la Dynamique et tra-vailler sur des systèmes en mou-vement.

(3) cela peut être : l’empêcher de bou-ger.

(2) Déterminer leurs formes et leurs dimensions.

(5) On parle d’une surface ou d’un volume élémentaire.

(4) A l’aide d’un vecteur qui nous indique la direction, le sens et la norme de force élémentaire.



L’expression de cette force élémentaire 1 2( )dF P→uuuuuuuuur

varie en

fonction de la nature de l’élément de 2 associé à P :

Nature de

l’élément

Elément géométrique

associé

Densité de l’action

mécanique unité

Expression de

1 2( )dF P→uuuuuuuuur

Ligne dl linéique qur

1N m−⎡ ⎤⋅⎣ ⎦ q dl⋅

ur

Surface ds surfacique qur

[ ]2N m ou Pa−⎡ ⎤⋅⎣ ⎦(1) q ds⋅

ur

Volume dv volumique qur

3N m−⎡ ⎤⋅⎣ ⎦ q dv⋅

ur

L’ensemble des forces élémentaires agissant sur l’ensemble des éléments concerné par l’action mécanique est appelé champ de forces associé à l’action mécanique. C’est la connaissance de ce champ de forces qui va permettre d’étudier les déformations(2). d’un solide soumis à une action mécanique.

II.3 - Du point de vue local au point de vue global

Pour étudier le comportement statique des systèmes, on fait l’hypothèse que les pièces qui le constituent sont indéformables(3). Dans ce cas, on peut utiliser un modèle global des actions mécaniques.

Si on reprend le cas d’un solide 2 soumis à l’action mécanique d’un élément 1, cela

revient à considérer que ce dernier exerce sur le solide 2 une force 1 2F →uuuuur

tel que :

1 2 1 2( )Z

F dF P→ →= ∫uuuuur uuuuuuuuur

Z est la zone du solide 2 sur laquelle s’exerce l’AM de 1 2→

(1) une force surfacique est équivalente à une pression.

(2) Pas au programme de 1ère année.

(3) sauf, bien sur, celles dont le rôle et de se déformer : ressorts,…



II.4 - Torseur des actions mécaniques

• Résultante de l’action mécanique

La résultante de l’action mécanique de 1 2→ , notée 1 2R →uuuuuur

correspond à l’action

mécanique globale créée par toutes contributions 1 2( )dF P→uuuuuuuuur

du champ de forces

élémentaires. On a donc :

1 2 1 2( )Z

R dF P→ →= ∫uuuuuur uuuuuuuuur

(Newton : N)

Mais cette notion de résultante ne suffit pas pour caractériser correctement l’effet de cette action mécanique sur le solide 2.

En effet, on s’intéresse à la façon dont cette action mécanique va provoquer, modifier ou empêcher le mouvement du solide 2.

Exemple :

Pour les deux montages des clapets anti-retour schématisés ci-dessous, la résultante

2 1R →uuuuuur

de l’action mécanique de l’eau 2 sur le clapet 1 est la même.

Pour autant, le mouvement du clapet engendré par cette action mécanique sera différent d’un montage à l’autre :

- rotation de centre A dans le sens horaire (montage 1) ;

- rotation de centre B dans le sens anti-horaire (montage 2).

Pour caractériser cette différence on utilise la notion de moment résultant.

• Moment Résultant de l’action mécanique

Le moment résultant de l’action mécanique de 1 2→ , exprimé en un point J fixe, est un vecteur qui permet de « caractériser » la capacité de cette action mécanique à provoquer, à modifier ou à empêcher un mouvement de rotation du solide 2 autour d’un axe passant par ce point J. Il est définit par :

,1 2 1 2( )JZ

M JP dF P→ →= ∧∫uuuuuuuur uuur uuuuuuuuur

(Newton. mètre : N.m)

Z est la zone du solide 2 sur laquelle s’exerce l’AM de 1 2→



Torseur de l’action mécanique

Pour faire le bilan des effets d’une action mécanique 1 agissant sur un solide 2, on utilise le torseur suivant :

{ }1 2

1 21 2

,1 2 1 2

( )

( )Z

JJZJ

dF PR

M JP dF P

→→

→→ →

⎧ ⎫⎪ ⎪⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬

∧⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

∫

∫

uuuuuuuuuuuruuuuuur

uuuuuuuur uuur uuuuuuuuuuurT

On appelle « éléments de réduction » du torseur, au point J, de l’AM de 1 2→ :

- La résultante de l’AM de 1 2→ (1) : 1 2R →uuuuuur

. Elle est indépendante du point

d’expression du torseur.

- Le moment résultant de l’AM de 1 2→ (2) : ,1 2JM →uuuuuuuur

. Il dépend du point

d’expression du torseur.

Remarque : le moment vérifie la relation du champ des moments d’un torseur :

Aet B∀ de l’espace ,1 2 ,1 2 1 2B AM M BA R→ → →= + ∧uuuuuuuur uuuuuuuur uuur uuuuuur

(3)

Torseurs d’AM particuliers :

Un torseur dont le moment est nul est appelé torseur glisseur :

{ } 1 21 2

0J

R →→

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

uuuuuur

rT

Cela signifie que l’action mécanique de 1 2→ ne va pas provoquer, modifier ou empêcher un mouvement de rotation du solide 2 autour du point J.

Un torseur dont la résultante est nulleest appelé torseur couple :

{ }1 2,1 2

0

JJM→

→

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

r

uuuuuuuurT

Ce torseur reste le même pour tout les points de l’espace. En effet :

{,1 2 ,1 2 1 2 ,1 20

I J jM M IJ R M→ → → →=

= + ∧ =r

uuuuuuuur uuuuuuuur uur uuuuuur uuuuuuuur

Théorème des actions réciproques : { } { }1 2 2 1→ →= −T T

II.5 - Cas de l’action mécanique de la pesanteur

Bien qu’elle puisse être parfois être négligée(4), l’action mécanique de la pesanteur est présente dans toutes les études du comportement statique des systèmes.

Nous nous limiterons cependant aux cas des solides homogènes(5), c'est-à-dire aux solides pour lesquels la masse volumique est constante :

P∀ ∈ solide, ( )P Cteρ = ρ =

Quelques ordres de grandeur :

Acier 37800 kg m−ρ = ⋅

Aluminium 32700 kg m−ρ = ⋅

PVC 31400 kg m−ρ ≈ ⋅

(2) Appelé plus simplement « mo-ment de 1 sur 2 »

(3) On reconnait la relation du champ des vecteurs vitesse.

En effet le vecteur vitesse est le moment du torseur ciné-matique.

(1) Appelée plus simplement « résul-tante de 1 sur 2 »

(4) En comparaison avec d’autres actions mécaniques agissant sur le ou les solides isolés.

(5) Ce qui n’est pas le cas des matériaux composites : fibre de verre, fibre de carbone,…



• Point de vue local

L’action de la pesanteur sur un solide 1 est une action mécanique à distance. Le champ de force associé est tel que :

1P∀ ∈

1( )pesdF P dm g dv g→ = ⋅ = ρ ⋅ ⋅uuuuuuuuuuuur ur ur

gur

est appelé champ de pesanteur :

- Il est orienté suivant la verticale descendante ;

- sa norme est 29,81g g m s−= = ⋅ur

.

• Point de vue global

La résultante de l’action de la pesanteur sur 1(1) est telle que :

1 1 1

1 1 1 1( )pes pesV V V

R dF P dv g g dv g V m g→ →= = ρ ⋅ ⋅ = ρ ⋅ ⋅ = ρ ⋅ ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫uuuuuuuuur uuuuuuuuuuuur ur ur ur ur

1

1

11

V volumedem massede⎧⎨⎩

Le moment résultant, au point J, de l’action de la pesanteur sur 1 est tel que :

( )1 1

, 1J pesV V

M JP g dv JP dv g→ = ∧ ρ ⋅ ⋅ = ⋅ ∧ ρ ⋅∫ ∫uuuuuuuuuuur uuur ur uuur ur

Il existe un point G1, appelé centre de gravité du solide 1, tel que :

1

1 0V

G P dv⋅ =∫uuuur r

Ainsi : 1

1

, 1 1 0G pesV

M G P dv g→ = ⋅ ∧ ρ ⋅ =∫uuuuuuuuuuuur uuuur ur r

La position de ce centre de gravité peut être trouvée grâce à :

1

11

1

VOG OP dv

V= ⋅∫

uuuur uuur ou

1

11

1

VOG OP dm

m= ⋅∫

uuuur uuur(2) ( 1 1m V et dm dv= ρ ⋅ = ρ ⋅ )

En effet : ( )1 1 1 1 1

1 1 1 1 10V V V V V

G P dv G O OP dv G O dv OP dv G O V OP dv= ⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫r uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur

1

1 1V

OG V OP dv⇒ ⋅ = ⋅∫uuuur uuur

Le centre de gravité est toujours situé sur les éléments de symétrie du solide : point, plan, droite…

Dans le cas du pare-brise :

1G est dans le plan 1 1( , , )O y zuur uur

Le torseur, au point G1, de l’action de la pesanteur sur 1 est un glisseur tel que :

Pour des solides dont certaines dimen-sions sont néglige-ables (plaques, tiges) on utilisera un élément ds ou dl et une masse surfacique ou linéique.

(2) Le centre de gravité est le barycentre des masses élémentaires

dm .

{ }1

11

0pes

G

m g→

⎧ ⎫⋅⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

ur

rT

(1) Appelée « poids » de 1.

Dans le cas ou le solide est un assemblage de n volumes de for-mes simples dont on connait la position des centres de gravité Gi , le centre de gravité G du solide est le barycentre des masses des n volumes :

1

1 n

i ii

OG m OGm =

= ⋅∑uuur uuuur



II.6 - Phénomène de frottement

Le phénomène de frottement est omniprésent dans l’étude du comportement et la conception des systèmes. Il peut être :

- utile lorsqu’il s’agit de freiner ou d’accélérer un solide ; - néfaste lorsqu’il est à l’origine de pertes d’énergie ou

d’usures trop importantes ; - négligeable dans la plupart des cas.

On différencie deux cas :

FROTTEMENT entre 2 solides en contact

Il existe un mouvement relatif entre les 2 solides

ADHERENCE entre 2 solides en contact

Il existe une tendance au mouvement mais il n’y a pas de mouvement relatif entre les 2 solides.

On peut illustrer cela avec l’exemple d’un colis S2 posé sur un plan incliné S1 :

A partir d’une valeur limite de l’angle d’inclinaison α , il y perte d’adhérence entre S2 et S1. Il y a alors apparition d’un mouvement relatif avec frottement de S2 par rapport à S1.

Mise en évidence des phénomènes de frottement et d’adhérenceOn prend l’exemple d’un colis S2 posé sur un plan horizontal S1.

Le colis est au repos

Une action mécanique extérieure Fr

agit sur S2 et tend à le faire glisser par rapport à S1.

S2 se met à glisser par rapport au sol dans le même sens que

Fr

.

0F =r

limF F<r uuur

limF F=r uuur

limF F>r uuur

Il existe une action tangentielle d’adhérence aT

ur de

S2 sur S1 (de même norme et de sens opposée à Fr

) qui s’oppose à la tendance au mouvement relatif entre S2 et S1. Cette action tangentielle d’adhérence a une limite

limaTuuuur

(égale et opposée à limFuur

) à partir de laquelle

l’opposition à la tendance au mouvement ne sera plus suffisante pour maintenir S2 immobile.

Il existe une action tangentielle

de frottement fTur

de S2 sur S1

(de norme constante et < Fr

)

qui s’oppose (sans l’empêcher) au glissement de S2 par rapport à S1.

ADHERENCE ADHERENCE LIMITE FROTTEMENT

Pr

: résultante de l’action de la pesanteur sur S2

Nr

: résultante des actions de pression de contact de S1 sur S2

Fr

: résultante de l’action extérieure agissant sur S2 dans le but de le faire glisser sur S1

Taur

et Tfur

: résultantes des actions tangentielles d’adhérence et de frottement de S1 sur S2

Il y a frottement ou adhérence que s’il y a un mouvement ou une tendance au mouvement relatif entre les solides en contact ! Dans notre exemple , il n’y aucun de ces phénomènes lorsque

0α = .



Evolution de la résultante des actions tangentielles de frottement et d’adhérence :


aT F= −uur ur

lim limaT F= −uuuuur uuuur

limf aT Cte T= <uur uuur uuuuur

angle d’adhérence aϕ < ϕ angle d’adhérence aϕ angle de frottement f aϕ < ϕ

tana a

T TNN

ϕ = =

uur

ur limtan a

a aT

CteN

μ = ϕ = =

aμ est le coefficient d’adhérence

tan ff f

TCte

Nμ = ϕ = =

fμ est le coefficient de frottement

• Point de vue local : loi de Coulomb

Soient deux solides 1 et 2 en contact sur une surface S et ayant une tendance au mouvement ou un mouvement relatif. La force élémentaire 1 2( )dF P→

uuuuuuuuurde 1 sur 2 au point P se décompose en :

- une force élémentaire de pression 1 2( )dN P→uuuuuuuuuur

normale au plan de contact(1) ;

- une force élémentaire tangentielle 1 2( )dT P→uuuuuuuuur

appartenant au plan de contact.

On a donc : 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )dF P dN P dT P→ → →= +uuuuuuuuur uuuuuuuuuur uuuuuuuuur


Vitesse de glissement 2/1 0PV ∈ =ruuuuur

Vitesse de glissement 2/1 0PV ∈ =ruuuuur

Vitesse de glissement 2/1 0PV ∈ ≠ruuuuur

ϕ (angle d’adhérence) aϕ (angle d’adhérence limite) fϕ (angle de frottement)

1 2 1 2( ) ( )adT P dN P→ →< μ ⋅uuuuuuur uuuuuuuur

Coef. d’adhérence tana aμ = ϕ

1 2 1 2( ) ( )adT P dN P→ →= μ ⋅uuuuuuur uuuuuuuur

Coef. d’adhérence tana aμ = ϕ

1 2 1 2( ) ( )fdT P dN P→ →= μ ⋅uuuuuuur uuuuuuuur

Coef. de frottement tanf fμ = ϕ

1 2( )dF P→

uuuuuuurest à L’INTERIEUR du

cône d’adhérence(2) 1 2( )dF P→

uuuuuuurest SUR le cône

d’adhérence(2) 1 2( )dF P→

uuuuuuurest SUR le cône de

frottement(3)

1 2( )dT P→

uuuuuuur s’oppose à la

tendance au glissement de 2/1.

1 2( )dT P→

uuuuuuur s’oppose à la

tendance au glissement de 2/1. 1 2( )dT P→

uuuuuuur s’oppose au

glissement de 2/1.

1 2 2/1( ) 0PdT P V→ ∈∧ =uuuuuuur uuuuur r

(4)

1 2 2/1( ) 0PdT P V→ ∈⋅ <uuuuuuur uuuuur

(5)

(1) Plan tangent commun aux deux solides.

(4 et 5) La force élémentaire tan-gentielle est :

- colinéaire avec la vitesse de glis-sement ;

- de sens opposé avec la vitesse de glissement.

(3) De sommet P et demi-angle au

sommet fϕ .

(2) De sommet P et demi-angle au

sommet aϕ .



Coefficients de frottement et d’adhérence : μ ou f

Le coefficient d’adhérence aμ est toujours légèrement supérieur au coefficient de frottement

fμ ( a fμ > μ ).

On fera cependant, lors de l’étude du comportement statique et dynamique des systèmes, l’hypothèse simplificatrice qu’ils sont égaux. On utilisera alors uniquement le coefficient de frottement que l’on notera : μ ou f .

La valeur de ce coefficientne dépend pas : dépend essentiellement(1) :

- de l’intensité de la force élémentaire de pression ;

- de l’étendue de la surface de contact.

- de la nature des matériaux en contact ;- de la présence ou non de lubrifiant.

Quelques ordres de grandeurs de coefficient de frottement :

• Point de vue global

Lors de la prise en compte du phénomène d’adhérence dans l’étude du comportement statique d’un système, on se placera à la limite du glissement pour exprimer le torseur de l’action mécanique de 1 agissant sur 2 :

{ } ( )1 2 1 2 1 21 2

1 2 1 2 1 2,1 2 1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )S

JJ SJSJ

dF P dN P dT PRJP dN P dT PM JP dF P

→ → →→→ → →→ →

⎧ ⎫ ⎧ +⎪ ⎪⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ∧ +∧⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩⎪ ⎪⎩ ⎭

∫

∫∫

uuuuuuuuuuur uuuuuuuuuur uuuuuuuuuruuuuuur

uuur uuuuuuuuuur uuuuuuuuuruuuuuuuur uuur uuuuuuuuuuurT⎫⎪⎬

⎪ ⎪⎭

Ainsi on pourra utiliser l’équation qui lie 1 2( )dN P→uuuuuuuuuur

(en général connu), μ et

1 2( )dF P→uuuuuuuuur

: 1 2 1 2( ) ( )dT P dN P→ →= μ ⋅uuuuuuuuur uuuuuuuuuur

Phénomène d’arc-boutement

On appelle arc-boutement, le phénomène issu de l’adhérence pour lequel un équilibre subsiste indépendamment de l’intensité de l’effort qui tend à le rompre. Exemple : sur un serre-joint c’est le phénomène d’arc-boutement qui solidarise le mord mobile et le mord fixe après la 1ère phase de réglage de l’écart entre les deux mords.

matériaux en contact

f ou μ

Surfaces sèches Surfaces lubrifiées

Acier/Acier 0.15 0.09

Acier/Fonte 0.16 0.08 à 0.04

Acier/Bronze 0.10 0.09

Téflon/Acier 0.04 -

Fonte/Bronze 0.20 0.08 à 0.04

Nylon/Acier 0.35 0.12

Bois/Bois 0.4 à 0.2 0.16 à 0.04

Pneu/Route 0.6 0.30 à 0.10

(1) Il dépend aussi : - de l’état de rugosité des surfaces en contact ; - de la température des surfaces en contact ; - …



II.7 - Actions mécaniques transmissibles par les liaisons usuelles

Dans un système, les solides exercent des actions mécaniques sur les autres solides avec qui ils sont en contact. On dit alors qu’ils transmettent des actions mécaniques par l’intermédiaire des liaisons. Exemple : Sur le pont ci-contre, une partie du poids du pont est transmise aux haubans, qui eux même le transmettent au mât.

• Hypothèse de liaisons parfaites

Sauf si le contraire est précisé, on considère que le contact entre les surfaces des solides en liaison se fait sans adhérence ni frottement(1). En l’absence de frottement, la puissance dissipée par échauffement au niveau de la liaison entre deux solides est supposée nulle.

On admet l’expression de la puissance développée, au niveau de la liaison entre deux solides 1 et 2, par les actions mécaniques transmises par cette liaison :

{ } { } 1 2 2/11 2

,1 2 2/1(1 2) 2 / 1

J JJJ

RP

M V→

→→ ∈

⎧ ⎫ ⎧ ⎫Ω⎪ ⎪ ⎪ ⎪↔ = ⊗ = ⊗⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭

uuuuuur uuuuur

uuuuuuuur uuuuuuurT V (⊗ : « comoment »)

Le comoment défini ci-dessus, qui se détaille à partir des éléments de réduction des deux torseurs, doit donc être nul :

1 2 2/1 ,1 2 2/1(1 2) 0J JP R V M→ ∈ →↔ = ⋅ + ⋅Ω =uuuuuur uuuuuuur uuuuuuuur uuuuur

Le détail de ces deux produits scalaires conduit à la somme de 6 termes indépendants de même signe qui doivent tous être nuls.

On en déduit ainsi, par dualité avec la forme des torseurs cinématiques, la forme des torseurs d’actions mécaniques transmissibles par les liaisons usuelles supposées sans frottement :

- pour chaque degrés de liberté(2) supprimé, il existe une composante d’action mécanique susceptible d’être transmise par la liaison ;

- réciproquement, aucune composante d’action mécanique ne peut être transmise là ou un mouvement relatif est possible.

Exemple : Liaison glissière(3) de direction xur

entre 1 et 2.

(1) Cette hypothèse vient s’ajouter aux deux autres hypo-thèses de liaison parfaite découvertes dans le cours de cinématique : - surface de contact géométriquement parfaite, - jeux de fonction-nement nuls entre les surfaces de contact.

(2) Chaque terme nul du torseur ciné-matique de la liaison.

(3) Supposée parfaite.

Lorsqu’une action mécanique s’exerce sur 1, certaines de ses composantes ne seront pas transmises à 2 par l’intermédiaire de la liaison. Elles seront « absorbées » par les mouvements relatifs possibles entre 2 et 1.

Si on applique une force xF

urà 1, 2 ne

« ressent » rien !

Dans l’application du théorème de l’énergie cinétique (programme de 2ème année) on appellera cette puissance : puissance des inter-efforts.



Nom et description géométrique

Représentation3D

Forme du torseur cinématique

Forme du torseur d’action mécanique transmissible(1)

GLISSIERE de direction x

r

{ }, 2 /1

2 /1

( , , )

0

0 0

0 0

x A

A x y z

v ∈

=

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

V { },1 2

1 2 1 2 ,1 2

1 2 ,1 2 ( , , )

0 A

A

AA x y z

L

Y MZ N

→

→ → →

→ →

⎧ ⎫⎪ ⎪

= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

T

Pour tout point A

APPUI PLAN de normale z

r

{ }, 2 /1

2/1 , 2 /1

,2 /1 ( , , )

0

0

0

x A

y A

zA x y z

v

v

∈

∈=

ω

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

V

{ },1 2

1 2 ,1 2

1 2 ( , , )

00

0

A

A

A x y z

L

MZ

→

→ →

→

⎧ ⎫⎪ ⎪

= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

T

Pour tout point A

CYLINDRE-PLAN (ou LINEAIRE

RECTILIGNE) de contact ( )x,O

ret

de normale zr

{ },2 /1 , 2 /1

2 /1 , 2 /1

,2 /1 ( , , )

0

0

x x A

y A

zA x y z

v

v

∈

∈

ω

=

ω

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

V

{ }1 2 ,1 2

1 2 ( , , )

0 00

0A

A x y z

MZ

→ →

→

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

T

Pour tout point A appartenant au plan )z,x,O(

SPHERE-PLAN (ou

PONCTUELLE) de contact O et de

normale zr

{ },2/1 , 2/1

2/1 ,2/1 , 2/1

,2/1 ( , , )0

x x A

y y A

zA x y z

v

v∈

∈

ω

= ω

ω

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

V

{ }1 2

1 2 ( , , )

0 00 0

0A x y zZ→

→

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

T

Pout tout point appartenant à la normale ( , )O z

r

PIVOT GLISSANT d’axe ( )x,O

r

{ },2/1 , 2/1

2/1

( , , )

0 0

0 0

x x A

A x y z

v ∈ω

=

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

V

{ }1 2 1 2 ,1 2

1 2 ,1 2 ( , , )

0 0

A

AA x y z

Y MZ N

→ → →

→ →

⎧ ⎫⎪ ⎪

= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

T

Pour tout point A appartenant à l’axe ( ),O x

r

PIVOT d’axe ( )x,O

r

{ },2 /1

2 /1

( , , )

0

0 0

0 0

x

A x y z

ω

=

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

V

{ }1 2

1 2 1 2 ,1 2

1 2 ,1 2 ( , , )

0

A

AA x y z

XY MZ N

→

→ → →

→ →

⎧ ⎫⎪ ⎪

= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

T


r

Bien entendu, on peut aussi utiliser une écriture en ligne de ces torseurs :

{ } 1 2 1 2 1 2 1 21 2

,1 2 ,1 2 ,1 2 ,1 2A A A AA A

R X x Y y Z z

M L x M y N z→ → → →

→→ → → →

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⋅ + ⋅ + ⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⋅ + ⋅ + ⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

uuuuuur ur ur r

uuuuuuuur ur ur rT

z

Oyx

(1) On utilisera les notations suivantes :

{ }1 2 ,1 2

1 2 1 2 ,1 2

1 2 ,1 2 ( , , )

A

A

AA x y z

X L

Y M

Z N

→ →

→ → →

→ →

=

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

T



Nom et description géométrique

Représentation3D

Forme du torseur cinématique

Forme du torseur d’action mécanique transmissible

HELICOIDALE d’axe ( )x,O

r

{ },2/1

,2/1

2/1

( , , )

.2

0 0

0 0

xx

A x y z

p±ω

ω π

=

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

V { }1 2

1 2

1 2 1 2 ,1 2

1 2 ,1 2( , , )

2A

AA x y z

pXXY MZ N

→→

→ → →

→ →

⎧ ⎫± ⋅⎪ ⎪π⎪ ⎪= ⎨ ⎬

⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

T

Pas à droite - et Pas à gauche +


r

p : pas de la liaison(1)

SPHERIQUE (ou ROTULE) de

centre O

{ },2 /1

2 /1 ,2 /1

,2 /1 ( , , )

0

0

0

x

y

zO x y z

ω

= ω

ω

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

V

{ }1 2

1 2 1 2

1 2 ( , , )

000O x y z

XYZ

→

→ →

→

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

T

Seulement au point O

SPHERE-CYLINDRE (ou

LINEAIRE ANNULAIRE) de centre O et de

direction xr

{ },2/1 , 2/1

2/1 ,2/1

,2/1 ( , , )

0

0

x x O

y

zO x y z

v ∈ω

= ω

ω

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

V

{ }1 2 1 2

1 2 ( , , )

0 000O x y z

YZ

→ →

→

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

T

Seulement au point O

Cas particulier de la liaison hélicoïdale : Pour cette liaison, la dualité entre la forme du torseur cinématique et la forme du torseur d’action mécanique transmissible est moins évidente. Rappel : cette liaison n’admet qu’un seul degrés de liberté. La translation et la rotation n’étant pas indépendantes(2). On cherche la forme du torseur d’action mécanique transmissible qui assure une puissance développée au niveau de la liaison qui soit nulle :

1 2 2/1 ,1 2 2/1(1 2) 0J JP R V M→ ∈ →↔ = ⋅ + ⋅Ω =uuuuuur uuuuuuur uuuuuuuur uuuuur

Ce qui nous conduit, entre autre, à : 1 2 ,2/1 ,1 2 ,2/1 02x A xpX L→ →± ⋅ω ⋅ + ⋅ ω =π

Donc :

,1 2 1 2 2ApL X→ →= ± ⋅π

Pas à droite

Pas à gauche

⇒ −

⇒ +⎧⎨⎩

(3)

z

Oyx

(1) C’est la distance linéaire parcourue par le solide 1 par apport au solide 2 lorsque le solide 1 tourne d’un tour par rapport au solide 2.

(2) Elles sont liées par le pas « p ».

(3) Attention : c’est « l’inverse » du torseur ciné-matique (voir le calcul de la puissance dévelop-pée au niveau de la liaison).



III - Application du Principe Fondamental de la Statique (PFS)

La démarche utilisée pour un résoudre une problématique liée à la détermination d’actions mécaniques sur un système en équilibre, peut se résumer à :

III.1 - Graphe de structure et schéma d’architecture

Un des objectifs, lors de l’étude du comportement statique d’un système, peut être de valider le dimensionnement des solutions techniques(1) adoptées par le concepteur du système pour réaliser les liaisons.

Dans ce cas, le schéma cinématique minimal(2) construit à partir du graphe des liaisons, ne suffit plus.

On utilise alors des outils de représentation qui collent plus à la réalité technologique du système et qui font apparaître plus clairement les différents constituants et les actions mécaniques mises en jeu.

Sur le graphe de structure et le schéma architectural figurent :

- toutes les liaisons élémentaires sans les regrouper en liaisons équivalentes ;

- les actions mécaniques extérieures et intérieures au système (de contact ou à distance) : couple moteur, pression d’un fluide, action d’un ressort, action de la pesanteur…

Ces outils de représentation ne sont pas normalisés. L’objectif est de faire apparaitre toutes les informations(3) qui vont ensuite faciliter le bilan des actions mécaniques lors de l’isolement de solides ou de groupes de solides !

(2) Très pratique pour étudier le compor-tement cinématique du système, Il permet de visualiser sim-plement les mouve-ments relatifs des différentes classes d’équivalence cinéma-tiques.

(1) Roulement à billes, coussinets…

(3) Il peut être très utile de faire ap-paraître aussi sur le graphe de structure le nombre de compo-santes inconnues de chacun des torseurs d’action mécanique. Cela facilitera le décompte des incon-nues « statiques » lors d’un isolement.



Exemple : L’ensemble gouvernail barre franche 1 est en liaison pivot

d’axe (A, zr ) par rapport à la coque du bateau 0. Lorsque le pilotage est automatique, l’ensemble 1 est actionné par un vérin (2+3).

La liaison pivot d’axe (A, zr ) entre 1 et 0 est un modèle adapté pour une étude du comportement cinématique du système car Il traduit le mouvement de 1/0 observé sur le système réel. Dans le cas d’une étude du comportement statique dont l’objectif serait de dimensionner les solutions techniques qui permettent ce mouvement, il faut tenir compte des composants technologiques utilisés.

En l’occurrence on utilise deux roulements à billes à contact radial ayant pour centres de poussée respectifs les points A1 et A2 éloignés d’une distance L. On choisit donc de modéliser ces composants technologiques par une liaison sphérique rotule de centre A1 et une liaison sphère-cylindre de centre A2

et de direction zr . Cela permettra de déterminer plus facilement les actions mécaniques exercées sur chacun des roulements à billes.

On ajoute aussi, sur le schéma cinématique et le graphe des liaisons, des informations sur les actions mécaniques extérieures et intérieures au système :

• l’eau exerce une action mécanique sur le gouvernail modélisée globalement par une résultante

xFFeaur.1 −=→ au point P ;

• à l’intérieur du vérin, le fluide sous pression exerce une action mécanique sur le corps du vérin 3 ainsi que sur la tige du vérin 2 ;

• seuls les ensembles 0 et 1 sont soumis à l’action mécanique de la pesanteur gr (Hypothèse : on néglige cette AM sur les solides 2 et 3).

Pilote automatique de bateau

Un pilote automatique permet d’ajuster auto-matiquement le cap d’un bateau sans l’intervention humaine.



III.2 - Isolement d’une partie du système

Isoler un solide ou un ensemble de solides(1) revient à définir une frontière fictive qui englobe cet ensemble isolé et définir ainsi :

- un milieu intérieur (qui est dans la frontière), noté Σ ;

- un milieu extérieur (qui est en dehors de la frontière) noté Σ .

III.3 - Bilan des actions mécaniques extérieurs (BAME)

On définit : • des actions mécaniques extérieures qui correspondent à toutes les actions

mécaniques exercées par le milieu extérieur Σ (solide, fluide, ressort, pesanteur, …) et qui agissent SUR un des éléments du milieu intérieurΣ .

• des actions mécaniques intérieures qui correspondent à toutes les actions mécaniques exercées par un élément (solide, fluide, ressort, …) appartenant au milieu intérieur Σ et qui agit sur un autre élément du milieu intérieurΣ .

Les actions mécaniques intérieures ne sont pas prises en compte dans l’application du principe fondamental de la statique !

Pour recenser les actions mécaniques extérieures, on utilise le graphe des structures sur lequel on vient directement entourer l’ensemble isolé. Chaque trait coupé par notre frontière d’étude correspond à une action mécanique extérieure que l’on décrit littéralement : AM de i j→ ( i ∈Σ et j ∈Σ ) Chacune de ces actions mécaniques est ensuite modélisée à l’aide d’un torseur d’action mécanique : Lors de cette étape, on s’attachera à vérifier la présence ou non d’hypothèses couramment utilisées :

- action de la pesanteur négligeable (lorsque la norme du poids des pièces est négligeable devant l’intensité des autres actions mécaniques) ;

- liaisons parfaites. La somme de ces torseurs forme le torseur des actions mécaniques extérieures à Σ :

{ } { }1

ni

i→ΣΣ→Σ

==∑T T n est le nombre d’actions mécaniques extérieures

Exemple : On choisit d’isoler un ensemble 2 3Σ = +

(1) Lors de l’étude de la Résistance Des Matériaux (RDM), on est amené à isoler des portions de solides.

{ },

i ji j

A i jA

R

M→

→→

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

uuuuuur

uuuuuuuurT

Attention : Il ne faut pas oublier que pour additionner les torseurs, il faut impérativement tous les exprimer au même point !

On isole jamais le bâti !



Bilan des actions mécaniques extérieures à 2 3Σ = + : - action de 0 3→ (par l’intermédiaire d’une liaison sphérique de centre C) ; - action de 1 2→ (par l’intermédiaire d’une liaison sphérique de centre B) ; - action de 3pes → (négligée) ;

- action de 2pes → (négligée) ; Sous forme de torseur :

{ }3 3 3

0 30 3

0 3 0 3,0 3

0 3 ( , , )

000CC

C x y z

XR

YM Z

→→

→ →→

→

= =⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ r r r

uuuuur

uuuuuuuurT { }2 2 2

1 21 2

1 2 1 2,1 2

1 2 ( , , )

000BB

B x y z

XR

YM Z

→→

→ →→

→

= =⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ r r r

uuuuur

uuuuuuurT

Donc : { } { } { }0 3 1 2→ →Σ→Σ = +T T T

III.4 - Principe Fondamental de la Statique

La condition nécessaire pour qu’un ensemble isolé Σ soit en équilibre par rapport à un repère galiléen(1) est que la somme des torseurs des actions mécaniques extérieures à Σ soit nulle :

{ } { },

00

0AA

R

MΣ→Σ

Σ→ΣΣ→Σ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⇒ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭

uuuuuuur r

uuuuuuuuur rT pour tout point A

Cette équation torsorielle conduit à 2 équations vectorielles :

• Théorème de la résultante statique : 0RΣ→Σ =uuuuuuur r

• Théorème du moment statique : , 0AM Σ→Σ =uuuuuuuuur r

Après avoir exprimé les différents vecteurs dans la même base ( , , )x y zur ur r

, chacune de

ces équations vectorielles conduit à 3 équations scalaires, soit 6 au total :

,

,

,

00

0 0

0 0

A

A

A

M xR x

R y M y

R z M z

Σ→ΣΣ→Σ

Σ→Σ Σ→Σ

Σ→Σ Σ→Σ

⋅ =⋅ =

⋅ = ⋅ =

⋅ = ⋅ =

uuuuuuuuur uruuuuuuur ur

uuuuuuur ur uuuuuuuuur ur

uuuuuuur r uuuuuuuuur r

Exemple : Pilote automatique de bateau Le théorème du moment statique nous donne :

,0 3 ,1 2, 0 0C CCM M M→ →Σ→Σ = ⇒ + =uuuuuuuuur uuuuuuuuur uuuuuuuurr r

Or ,0 3 0CM → =uuuuuuuuur r

et ,1 2 ,1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2

0

( ) ( ) 0C BM M CB R t x X x Y y Z z→ → → → → →= + ∧ = λ ⋅ ∧ ⋅ + ⋅ + ⋅ =r

uuuuuuuur uuuuuuuur uuur uuuuuur uur uur uur uur r

14243

Donc 1 2 1 20 0Y et Z→ →= =

Cette application du PFS ne nous permet pas de terminer parfaitement toutes les composantes inconnues du torseur d’AM de 1 2→ mais les résultats obtenus seront utilisés plus tard pour répondre à une problématique concrète.

(1) En SII, on définit un repère Galiléen comme étant un repère considéré comme fixe à l’échelle de ce que l’on étudie.

L’action de 2 3→ , de 2fluide → et de

3fluide → sont des actions mécaniques intérieures.



Cas particulier d’un problème plan Exemple :

Pour ce problème plan ( , , )O x y

ur ur, tous

les torseurs d’AM ont la forme :

{ }( , , ) ( , , )

0?

?0? 0i

P O x y x y z

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬→Σ⎪ ⎪⎩ ⎭∀

=uuruur r r r

T

On peut admettre que l’on est face à un problème « plan » si : • la géométrie des liaisons du système présente un

plan de symétrie, • les AM extérieures exercées sur ce système sont

symétriques par rapport à ce plan, c’est à dire que : - les résultantes des AM extérieures sont parallèles au plan de symétrie,

- les moments des AM extérieures sont perpendiculaires au plan de symétrie.

Dans le cas d’un problème plan, l’application du PFS ne peut fournir au maximum que 3 équations scalaires : - 2 équations issues du théorème de la résultante

statique projeté sur les 2 axes de la base appartenant au plan ;

- 1 équation issue du théorème du moment statique projeté sur le 3ème axe de la base (perpendiculaire au plan).

En général, il est mentionné dans l’énoncé d’un exercice que l’on est face à un problème plan. Mais il faut être capable de simplifier les torseurs d’AM en annulant certaines composantes des éléments de réduction.

Les composantes à annuler sont celles qui correspondent à des actions mécaniques susceptibles de faire sortir les solides du plan(1)

Problème plan ( , , )O x yur ur

Problème plan ( , , )O y zur r

Problème plan ( , , )O x zur r

{ }( , , )

0

0

0

??

?i j

P x y z

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬→⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

=r r r

T

( , , )P O x y∀uur uur

{ }0

0

0 ( , , )

???

i j

P x y z

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬→⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

=r r r

T

( , , )P O y z∀uur uur

{ }0

0

0 ( , , )

??

?i j

P x y z

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬→⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

=r r r

T

( , , )P O x z∀uur uur

(1) Rappel : un terme du moment résultant d’une AM correspond à la capacité qu’a cette AM de faire tourner un solide autour de l’axe correspondant à cette composante.



IV - Ensemble isolé soumis uniquement à des torseurs glisseurs Dans un problème plan, le bilan des actions mécaniques peut dans certains cas(1) nous conduire à recenser au maximum 3 actions mécaniques extérieures modélisables par des torseurs glisseurs.

Dans ces conditions, on pourra utiliser les résultats suivants :

ENSEMBLE ISOLE SOUMIS A 2 GLISSEURS(1)

Si un ensemble isolé est en équilibre sous l’action de 2 glisseurs alors :

• ces 2 glisseurs sont opposés(1) (même norme, même direction, sens contraire)

• ces 2 glisseurs ont comme même direction : la droite d’action passant par les points ou sont exprimés les 2 torseurs glisseurs

Exemple : Coffre motorisé d’Audi A8

Problème plan ( , , )O x yur ur

Hypothèse : l’action de la pesanteur est négligeable sur toutes les pièces sauf sur le coffre 28. On isole la bielle 22, BAME à 22 :

- action de 16 22→ - action de 28 22→ - action de 22pes → : négligée

En tenant compte des simplifications liées au problème plan dans l’écriture des torseurs d’actions mécaniques transmissibles par les liaisons pivot en D et C :

{ }16 22

16 22 16 22

( , , )0

0

0

0D x y z

XY

→

→ →=

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

T et { }28 22

28 22 28 22

( , , )0

0

0

0C x y z

XY

→

→ →=

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

T

Ces deux torseurs sont des torseurs glisseurs, on a donc :

16 22 22 16R R→ →= −uuuuuuuuur uuuuuuuuur

et ( )16 22 22 16R R CD=→ →Δ = Δuuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuur

En effet, le théorème du moment

statique nous donne : ,16 22 ,28 22, 0 0D DDM M M→ →Σ→Σ = ⇒ + =uuuuuuuuur uuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuurr r

Or ,16 22 0DM → =uuuuuuuuuuur r

et ,28 22 ,28 22 28 22

0

0D CM M DC R→ → →= + ∧ =r

uuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuur uuur uuuuuuuuur r

14243

Par abus de langage, on parle de « glisseurs » à la place de « torseurs glisseurs ».

(2) Intuitivement, on aurait plutôt tendance à choisir la deuxième solution. La bielle 22 est en compression pour soutenir le poids du coffre.

Donc

DCuuur

et 28 22R →uuuuuuuuur

sont colinéaires

(1) Théorème de la résultante statique.



ENSEMBLE ISOLE SOUMIS A 3 GLISSEURS(1)

Si un ensemble isolé est en équilibre sous l’action de 3 glisseurs alors :

• ces 3 glisseurs sont coplanaires

• les directions de ces 3 glisseurs sont concourantes ou parallèles

• la somme vectorielle de ces 3 glisseurs est nulle(1)

Exemple : Coffre motorisé d’Audi A8

On isole le coffre 28, BAME à 28 : - action de 22 28→ (direction (CD) déterminée en isolant la bielle 22) - action de 25 22→ - action de 28pes → (norme, sens et direction connues)

En tenant compte des simplifications liées au problème plan dans l’écriture des torseurs d’actions mécaniques transmissibles par la liaison pivot en B et C :

{ }25 28

25 28 25 28

( , , )0

0

0

0B x y z

XY

→

→ →=

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

T et { }22 28

22 28 22 28

( , , )0

0

0

0C x y z

XY

→

→ →=

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

T

De plus on a : { }28

28

( , , )

28

0 00

0 0pes

G x y z

m g→ = − ⋅⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

T

Ces trois torseurs sont des torseurs glisseurs, on a donc :

25 28 22 28 28, sont concourantes en JR R Rpes

et Δ→ → →

Δ Δuuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuuur et 25 28 22 28 28 0pesR R R→ → →+ + =uuuuuuuur uuuuuuuur uuuuuuuuur r

On connait 22 28 28R Rpes

et Δ→ →

Δuuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuuur , on peut

donc trouver J et en déduire 25 28R →

Δuuuuuuuuuuur

On connait 28pesR →uuuuuuuuuur

, on peut donc

déterminer 22 28 25 28R et R→ →uuuuuuuuur uuuuuuuuur

Ces résultats, pour les ensembles isolés soumis à 2 ou 3 glisseurs, seront particulièrement utiles pour la RESOLUTION GRAPHIQUE de problèmes !

(1) Théorème de la résultante statique.



V - Démarche de résolution d’un problème

Bien que chaque cas soit différent et que seule la pratique et la confrontation à de nombreuses situations différentes permettent de se préparer à faire face à des problématiques inédites, on peut proposer les démarches de résolution ci-dessous :

Remarque : Si, dans le cas d’un problème plan, le bilan des actions mécaniques extérieures à un ensemble isolé fait apparaître 2 ou 3 torseurs glisseurs, on peut alors imaginer une traduction graphique du PFS(4) pour obtenir une valeur approchée de la norme de l’action mécanique recherchée à partir de l’action mécanique connue.

(1) L’objectif final étant de dimensionner les constituants choisis pour réaliser la liaison. (2) On peut parler dans ce cas là de « loi entrée-sortie en efforts ».

(3) La « stratégie » adoptée s’apparente beaucoup à celle utilisée pour détermi-ner une loi entrée-sortie en vitesse à partir d’une fermeture cinématique.

(4) Voir IV.

L’application de la démarche doit impérativement être accompagnée d’une rédaction complète et pré-cise : On isole…

Bilan des actions

mécaniques exté-rieures à … : … est en

équilibre. Le PFS appliqué à … au point… OU le théorème de la résultante sta-tique appliqué à … (en projection sur…) OU le théorème du mo-ment statique appliqué à … au point … (et en projection sur …) s’écrit :



Hypothèses courantes• Les liaisons sont considérées comme parfaites et/ou sans frottement : cette hypothèse, très fréquemment utilisée, signifie que l’on peut utiliser les torseurs d’action mécanique transmissible par les liaisons vues dans le cours, à condition bien sur de les exprimer en un point de leur zone de validité.

Attention de ne pas de ne pas mélanger les notations utilisées pour les torseurs cinématiques avec celle utilisées pour les torseurs d’action mécaniques.

Il faut être vigilant lorsque l’hypothèse est formulée de la façon suivante : Les liaisons sont considérées comme parfaites et/ou sans frottement SAUF la liaison…

• Le poids des pièces est négligé devant les autres actions mécaniques : cette hypothèse, très fréquemment utilisée, signifie que le poids le plus important est très faible devant la plus petite des autres actions mécaniques (un facteur d’ordre 10 au minimum).

Dans ce cas, l’action de la pesanteur sur l’ensemble isolé devra apparaître lors du bilan des actions mécaniques extérieures à l’ensemble isolé mais elle n’apparaitra pas dans l’écriture du Principe Fondamental de la Statique.

Il faut être vigilant lorsque l’hypothèse est formulée de la façon suivante : Le poids des pièces est négligé devant les autres actions mécaniques SAUF pour la pièce…

• On se place à la limite du glissement : cette hypothèse, permet de placer la résultante de l’action mécanique de contact sur le cône d’adhérence(1). Cela permet d’utiliser l’équation qui lie le coefficient de frottement (≈coef. d’adhérence), la composante normale et la composante tangentielle de l’action mécanique de contact. De plus, le sens de la composante tangentielle est opposé au sens du mouvement qui existerait SI il y avait glissement (2).

UnitésLe choix préalable d’unités de longueur (ex : mm ) et d’unités d’efforts (ex : N ) conditionne les unités des moments obtenus (ex : N mm⋅ ). Les écritures fréquemment rencontrées sont :

N m⋅ daN m⋅ (déca Newton.mètre 10N m= ⋅ )

mN m⋅ (milli Newton.mètre 310 N m−= ⋅ )

Quelque soit l’unité utilisée, il faut impérativement la préciser lors d’application numérique :

Exemple : { }1 2

( , , )

50

80 12

0 0

0

A x y z

M

N

N daN→ ⋅=

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

T ou { }1 2

( , , )

50

80

0

(120

0

)0

A x y z

en N et N m→ = ⋅⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ r r r

T

La présence éventuelle d’actions de pression sur un ensemble isolé nécessite de connaître les unités de pression usuelles utilisées dans les sujets :

Un Pascal (Pa ) est égal à un Newton (N ) par mettre carré ( 2m ).

Un Méga Pascal (MPa ) est égal à 610 Pa .

Un bar ( bar ) est égal à 510 Pa .

(1) En réalité, tant qu’il n’y a pas perte d’adhérence, la résul-tante est située à l’intérieur du cône, mais sa position exacte est inconnue (voir II.6)

(2) C’est pour cette raison qu’il est possible de rencontrer, sur une figure associé à un problème de statique, un vecteur vitesse de glissement pour lever le doute sur le sens de la tendance au glissement et permettre ainsi l’orientation correcte de la composante tangentielle.



Exemple : Pilote automatique de bateau Problématique 1 : Déterminer, connaissant l’effort

2 1 1F x→ ⋅ur

développé par le vérin pour maintenir la barre

en équilibre, les AM transmises par les liaisons en A1 et A2 (en vue du dimensionnement des roulements à billes)

Problématique 2 : Déterminer l’effort 2 1 1F x→ ⋅ur

que doit développer le vérin hydraulique pour maintenir la barre en équilibre sous l’action de l’eau sur le safran.

Pour ces deux problématiques différen-tes, c’est le même isolement qui permet de faire apparaitre les actions mécaniques con-nues et celles re-cherchées :

BAME à 1 :

Action de 10 1LA⎯⎯⎯→ Action de

20 1LA⎯⎯⎯→ Action de 1pes → Action de 1eau → Action de 2 1→ Sous forme de torseurs écris en colonne :

{ }1

1

0

0

0

10 1

1 10 10 1

10 1

RA

X

Y

Z

LA

LA LA

LA

=

→

→→

→

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

T { }1

2

0

0

0 0

20 1

2 20 10 1

A R

X

Y

LA

LA LA=

→

→→

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

T

{ }1

1

0 0

0 0

01G R

pes

m g

→ =

− ⋅

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

T { }1

1

01

0 0

0 0P R

eau

Feau

→

− →

=

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

T

{ }1

2 1

2 1

0

0 0

0 0B R

F →

→ =

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

T

Pour traduire cette équation torsorielle en équations scalaires, il faut exprimer les différents torseurs au même point et dans la même base. En choisissant le point A1, on évite d’avoir à déplacer le torseur dont la résultante est la plus « lourde ».

2 21,0 1 2,0 1

LA LAA AM M→ →=uuuuuuur uuuuuuur

2 2 21 2 0 1 1 0 1 1 0 1 1( )LA LA LAAA R L z X x Y y→ → →+ ∧ =− ⋅ ∧ ⋅ + ⋅

uuuuruuuur ur ur ur

1, 1 , 1A pes G pesM M→ →=uuuuuuuuur uuuuuuuur

1 1 1 1 1( ( )1)pesAG R d y e z m g z⋅→+ ∧ = ⋅ − ⋅ ∧ ⋅−uuur uuuuuur ur ur ur

1, 1 , 1A eau P eauM M→ →=uuuuuuuuur uuuuuuuur

1 1 1 1 1 1( ( ))eau eauAP R b y c z F x⋅→ →+ ∧ = ⋅ − ⋅ ∧ −uuur uuuuuur ur ur ur

1,2 1 ,2 1A BM M→ →=uuuuuuur uuuuuur

1 2 1 1 2 1 1( ( ))AB R a y F x⋅→ →+ ∧ = ⋅ ∧uuur uuuur ur ur

BAME à 1 :

Action de 10 1LA⎯⎯⎯→ Action de

20 1LA⎯⎯⎯→ Action de 1pes → Action de 1eau → Action de 2 1→ Sous forme de torseurs écris en ligne :

{ } 1 1 1

1 0

1 1 11 0 1 0 1 0 1

0 1A

X x Y y Z zLA LA LALA ⋅ ⋅ ⋅

= → → →→

⎧ ⎫+ +⎨ ⎬⎩ ⎭

r

r r r

T

{ } 1 1

2 0

2 22 0 1 0 1

0 1A

X x Y yLA LALA ⋅ ⋅

= → →→

⎧ ⎫+⎨ ⎬⎩ ⎭

r

r r

T

{ } 11

0

1pes

G

m g z→

− ⋅ ⋅=

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

r

r

T

{ } 11

1

0eau

P

F xeau→

− ⋅→=⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

r

r

T

{ } 12 1

2 1

0B

F x→

⋅→=⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

r

r

T

Théorème du moment statique au point A1

projeté sur l’axe 1zur

: 1,1 1 1 0AM z→ ⋅ =uuuuuuur ur

11,1 1 1 1,0 1

LAA AM z M→ →⋅ =

uuuuuuuruuuuuuur ur2

1 1,0 1 1 1, 1 1

1, 1 1 1,2 1 1

LAA A pes

A eau A

z M z M z

M z M z

→ →

→ →

⋅ + ⋅ + ⋅

+ ⋅ ⋅+

uuuuuuurur ur uuuuuuuuur ur

uuuuuuuuur ur uuuuuuur ur

Sur les calculs détaillés sur l’exemple de droite, on voit que de tous les produits vectoriels qui

font apparaître 1zur

vont être ⊥ à 1zur

.

1 2 1 2 1 10eau eaua

b F a F F Fb→ → → →⇒ = ⇒ ⋅⋅ − ⋅ =

{ }1

1

0 0

2 20 1 0 1

2 2 20 1 0 10 1

A R

X L Y

Y L X

LA LA

LA LA LA

⋅

= − ⋅

→ →

→ →→

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

T { }11

1

0

0 0

0

1

1A R

pes

m g d

m g

→

− ⋅ ⋅

=

− ⋅

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

T { }11

1

01

0 1

0 1A R

eau

Feau

c Feau

b Feau

→

− →

= ⋅ →

⋅ →

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

T

{ }11

2 1

2 1

2 1

0

0 0

0A R

F

a F

→

→

→

=

− ⋅

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

T

C’est l’application du PFS sur l’ensemble

2 3E = + (voir III.4) qui nous à permis de déterminer la direction de l’action mécanique du vérin sur la barre.

Il y a 5 composantes inconnues dans les torseurs, on doit donc pouvoir les déterminer avec les 6 équations scalaires du PFS :

{ } { }1 1 0=→T

(1) Pour faire ce choix, il peut être intéressant d’observer le schéma d’architecture sur lequel on entoure l’ensemble isolé. Seules les actions mécaniques qui sont susceptibles de faire tourner (ou de l’en empêcher) 1 autour de

l’axe 1 1( , )A zur

vont

apparaître dans la

composante sur 1zur

de

1,1 1AM →

uuuuuuuuur.

Dans notre cas :

1 2 1eauF et F→ →uuuuuuuur uuuuur

Il ne reste plus qu’à résoudre ce système de 6 équations à 5 inconnues pour déterminer toutes les composantes des torseurs d’AM des liaisons en A1 et A2.

En observant les torseurs on identifie(1) l’équation scalaire issue de l’application du PFS qui va nous donner directement une relation entre :

2 1 1eauF et F→ →

Ce qui nous donne :

1 2 20 1 0 1 1 2 1 0 1 1

1 2 20 1 0 1 0 1 1

1 1 2 10 1 1

0 0

0 0

00

LA LA LAeau

LA LA LAeau

LA eau

X X F F L Y m g d

Y Y L X c F

b F a FZ m g

→ → → → →

→ → → →

→ →→

+ − + = ⋅ − − ⋅ ⋅ =

⇒ + = − ⋅ + ⋅ =

⋅ − ⋅ =− ⋅ =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

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comportement statique des systèmes