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COMPRENDRE : Lois et modèles Chapitre 6 : Application des lois de Newton et des lois de Kepler.

COMPRENDRE : Lois et modèles Chapitre 6 : Application des lois de Newton et des lois de Kepler

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Page 1: COMPRENDRE : Lois et modèles Chapitre 6 : Application des lois de Newton et des lois de Kepler

COMPRENDRE : Lois et modèles

Chapitre 6 : Application des lois de Newton et des

lois de Kepler.

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I-Mouvement dans un champ uniforme

Champ de pesanteur uniforme :La Terre crée, en un point de son voisinage, un champ de pesanteur défini par :

- sa direction verticale- son sens, vers la Terre- sa valeur, dépendant du lieu.

Remarque: Ce champ est uniforme dans une région de l’espace lorsque sa direction, son sens et sa valeur sont les mêmes en tout point de cette région.On peut considérer que dans une zone d’étude peu étendue (cube d’environ 1 km de côté), que le champ de pesanteur est uniforme.

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Mouvement d’un point matériel:

Observation : lancé d’une balle vers le fond de la salle de classe. Quelle est sa trajectoire?

On lance la balle dans l'air avec une vitesse initiale vo faisant un angle quelconque avec l'horizontale. Le mouvement du point G, centre d'inertie du solide s'effectue dans le plan vertical (O,x,z). Sa trajectoire est parabolique. Si on décompose le mouvement du projectile suivant l'axe vertical et horizontal on observe

-sur la verticale un mouvement uniformément accéléré tel

que az = -g.

- sur l'axe horizontal le mouvement est rectiligne uniforme.

Son accélération ax = 0.

Le vecteur accélération est constant et est égal au vecteur champ de pesanteur g

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Etude mécanique de ce mouvement:

Pour étudier le mouvement d’un objet, il est nécessaire d’effectuer une étude mécanique. Elle se fait en 5 étapes essentielles :

1) Définir le système : balle de masse m2) Définir le référentiel : référentiel terrestre supposé galiléen3) Définir le repère : cartésien, orthonormé, lié au référentiel

(O ; ; )

4) Faire le bilan des forces extérieures s’appliquant au système:

Avec : : vecteur poids de l’objet : poussée d’Archimède

: force de frottement de l’air

Donc

???

La poussée d'Archimède peut-être négligé car le poids du volume d'air déplacé est négligeable devant le poids de l'objet. De plus pour de faible distance parcourue et des vitesses de déplacement faibles, on pourra négliger les forces de frottement de l'air sur le projectile.

?

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Etude mécanique de ce mouvement:

5) Appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique (noté PFD) ou seconde loi de Newton :

La masse de la balle se conserve au cours du mouvement donc le PFD s’écrit :

Or D’où

Soit

Conclusion : Le vecteur accélération est constant, le mouvement est uniformément accéléré.

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Equation horaire du mouvement:A l'aide de l'étude mécanique et des conditions initiales, on peut déterminer les équations horaires du mouvement: ax(t), az(t), vx(t), vz(t), x(t) et z(t).

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Equation horaire du mouvement:Les conditions initiales, à t = 0 les vecteurs positions et vitesses ont pour coordonnée :

OM (0)

0

h

V (0)

V0 cos α

V0 sin α

α est l’angle fait par le vecteur vitesse initiale

avec l’axe horizontal.

0 0

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Equation horaire du mouvement:D’après le PFD écrit précédemment :

Donc on peut écrire, en projetant sur les axes de notre repère :

Déterminons les équations horaires des coordonnées du vecteur vitesse en calculant la PRIMITIVE du vecteur accélération :

Donc d’après les conditions initiales : Qu’est-ce qu’une PRIMITIVE : opération inverse de la dérivée donc

si ax est la dérivée de vx par rapport au temps, alors vx est la primitive de ax par rapport au temps.

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Equation horaire du mouvement:Déterminons les équations horaires des coordonnées du vecteur position en calculant la PRIMITIVE du vecteur vitesse :

Donc d’après les conditions initiales :

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Trajectoire d’un point:La trajectoire d’un point est l’ensemble des positions successives occupées par ce point pendant le mouvement.L’équation de la trajectoire est la relation liant les ordonnées et les abscisses du point à chaque instant soit l’équation z = f(x).

Pour déterminer la trajectoire de la balle, nous allons utiliser les équations horaires x(t) et z(t) :

Donc

La trajectoire obtenue est un polynôme du 2nd degré donc la trajectoire de la balle est bien parabolique. Elle dépendra des conditions initiales et de α.

𝑧=−𝑔

2 .𝑉 0 ² cos²𝛼𝑥2+ tan𝛼 .𝑥+h

On exprime t en fonction de x dans la première.

Puis on injecte cette expression dans la seconde.

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Mouvement dans un champ électrique uniforme:

Une particule de masse m dont on étudie le mouvement porte une charge q. Elle est placée dans un champ électrique uniforme .

A vous de jouer : Faire une étude mécanique du système. En déduire les équations horaires de la particule et l’équation de sa trajectoire.

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Etude mécanique de ce mouvement:

1) Définir le système : particule de masse m, de charge q2) Définir le référentiel : référentiel terrestre supposé galiléen3) Définir le repère : cartésien, orthonormé, lié au référentiel

(O ; ; )

4) Faire le bilan des forces extérieures s’appliquant au système:

Avec : : force électrostatique : vecteur poids de l’objet : poussée d’Archimède

: force de frottement de l’air

Donc

La poussée d'Archimède, le poids et les forces de frottement sont négligeables devant la force électrostatique. Par conséquent la somme des forces extérieures agissant sur le solide de charge électrique q se réduit essentiellement à la force électrostatique

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Etude mécanique de ce mouvement:

5) Appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique (noté PFD) ou seconde loi de Newton :

La masse de la particule se conserve au cours du mouvement donc le PFD s’écrit :

Or D’où

Soit

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Equation horaire du mouvement:A l'aide de l'étude mécanique et des conditions initiales, on peut déterminer les équations horaires du mouvement: ax(t), ay(t), vx(t), vy(t), x(t) et y(t).

Les conditions initiales, à t = 0 les vecteurs positions et vitesses ont pour coordonnée :

D’après le PFD écrit précédemment :

Donc on peut écrire, en projetant sur les axes de notre repère :

OM (0)

0

0

V (0)

V0 cos α

V0 sin α

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Equation horaire du mouvement:Déterminons les équations horaires des coordonnées du vecteur vitesse en calculant la PRIMITIVE du vecteur accélération :

Donc d’après les conditions initiales :

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Equation horaire du mouvement:Déterminons les équations horaires des coordonnées du vecteur position en calculant la PRIMITIVE du vecteur vitesse :

Donc d’après les conditions initiales :

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Trajectoire de la particule:L’équation de la trajectoire est la relation liant les ordonnées et les abscisses du point à chaque instant soit l’équation y = f(x).

Pour déterminer la trajectoire de la particule, nous allons utiliser les équations horaires x(t) et y(t) :

Donc La trajectoire obtenue est un polynôme du 2nd degré donc la trajectoire de la particule est bien parabolique. Elle dépendra des conditions initiales, de α , de m et de la charge de la particule q.

𝑦=−𝑞 .𝐸

2 .𝑚 .𝑉 0 ² cos ²𝛼𝑥2+ tan𝛼 .𝑥

On exprime t en fonction de x dans la première.

Puis on injecte cette expression dans la seconde.

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II-Mouvement des planètes

Lois de KEPLER:

Johannes KEPLER (1571-1630) a énoncé 3 lois empiriques grâce à ses calculs et grâce aux observations remarquables de Tycho BRAHE (1546-1601) des mouvements des six planètes connues à l’époque: Mercure, Venus, Terre, Mars, Jupiter et Saturne.

Depuis Ptolémée (200 avant JC) et jusqu’au XVème siècle, la croyance était que la Terre était le centre de l’Univers.

Copernic (1473-1543) pense que le Soleil est le centre de l’Univers et que les planètes tournent autour.

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Première loi de KEPLER ou loi des orbites:

Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d’une planète est une ellipse dont l’un des foyers est le centre du Soleil.

Point Math : F1 et F2 sont les foyers de l’ellipse.a : « demi-grand axe »b : « demi-petit axe »Tout point X de l’ellipse vérifie la relation:

XF1 + XF2 = 2a = constante

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Deuxième loi de KEPLER ou loi des aires:

Le segment de droite reliant le Soleil à la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.

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Troisième loi de KEPLER ou loi des périodes:

Pour toutes les planètes du système solaire, le rapport entre le carré de la période de révolution et le cube du demi grand axe est une constante.

T2/a3 = constante

Le rapport T²/a3 est le

même pour tous les

satellites de la Terre,

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Déterminons les caractéristiques du mouvement d’un satellite de masse m, qui tourne à l’altitude h, autour de la Terre.

On suppose que la Terre a une répartition des masses à symétrie sphérique donc que le centre de la Terre est confondu avec son centre d’inertie.

III-Mouvement des satellites

Etude mécanique de ce mouvement:

1) Définir le système : satellite de masse m,2) Définir le référentiel : référentiel géocentrique supposé

galiléen3) Définir le repère : lié au satellite (O ; ; ), orthonormé

: vecteur unitaire de direction et de sens Le centre du satellite vers le centre de la Terre.: vecteur unitaire de direction la tangente à la trajectoire du satellite et de sens donné par le déplacement du satellite.

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4) Faire le bilan des forces extérieures s’appliquant au système:

Avec : : force d’attraction gravitationnelle exercée par la Terre

5) Appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique (noté PFD) ou seconde loi de Newton. La masse du satellite se conserve au cours du mouvement donc :

D’où Soit

L’accélération du centre d’inertie du satellite est donc indépendante de la masse de ce dernier et est centripète.

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Comment décrire la trajectoire du satellite autour de la Terre ?

Bien qu’elliptique, les trajectoires des satellites peuvent, très souvent, être assimilées à des cercles.

�⃗��⃗�

Alors le vecteur unitaire est confondu avec le vecteur de la base de Frenet tout comme le vecteur unitaire est confondu avec le vecteur .

Pour mémoire, dans la base de Frenet, on peut décomposer le vecteur accélération comme ceci, pour tout mouvement circulaire :

Or

L’accélération n’a donc pas de composante tangentielle. dv/dt est donc nulle. v est donc constant (attention: le vecteur v, lui, n’est pas constant). Le mouvement d’un satellite est donc circulaire uniforme.

(1)

(2)

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Quelle est la valeur de la vitesse du satellite ?

Par identification sur les équations (1) et (2), on obtient :

Soit ou

La vitesse ne dépend donc que de l’altitude du satellite.

𝒗=√𝑮 .𝑴𝑻𝒓

𝒗=√𝑮 .𝑴𝑻𝑹𝑻 +𝒉

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Quelle est la valeur de la période de révolution du satellite ?

Par définition :

Soit

Remarque : on retrouve la 3ème loi de KEPLER :

Donc

Application au calcul de l’altitude d’un satellite.

𝑻=𝟐𝝅 √ 𝒓 𝟑

𝑮 .𝑴𝑻

𝑻 ²=𝟒𝝅 ² 𝒓𝟑

𝑮 .𝑴𝑻𝑻 ²𝒓𝟑 =

𝟒𝝅 ²𝑮 .𝑴𝑻

=𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆