Concepts de Base sur le Comportement Mcanique des ... ??Il y a en fait identit entre les composantes des tenseurs de rang deux et les ... nous crirons donc les lments des tenseurs de rang 2 sous la forme

  • Published on
    06-Feb-2018

  • View
    217

  • Download
    5

Embed Size (px)

Transcript

<ul><li><p>Jean-Marie Berthelot </p><p>Concepts de Base sur le Comportement Mcanique des Matriaux et des Structures </p><p> ISMANS Institut Suprieur des Matriaux Le Mans, France et Mcaniques Avancs </p><p>(S) </p><p>M </p><p>(D) </p><p>( )uS </p><p>( )S </p><p>( , )Su M t </p><p> ( , )St M t</p></li><li><p> Jean-Marie Berthelot </p><p> Concepts de Base sur le Comportement </p><p>des Matriaux et des Structures Jean-Marie Berthelot est Professeur mrite lInstitut Suprieur des Matriaux et Mcaniques Avancs (ISMANS), Le Mans, France. IL exerce ses comptences dans les domaines de la Mcanique des Matriaux et des Matriaux Composites. Spcialiste reconnu au niveau international, ses travaux dans le domaine du Comportement Mcanique des Matriaux Composites font lobjet de publications rgulires dans des congrs et journaux scientifiques. Il est lauteur de diffrents ouvrages de Mcanique et sur les Composites. </p></li><li><p>Jean-Marie Berthelot </p><p>Concepts de Base sur le Comportement des Matriaux et des Structures </p><p> ISMANS Institut Suprieur des Matriaux Le Mans, France et Mcaniques Avancs </p></li><li><p>Avant-Propos </p><p> Ce court ouvrage dveloppe une synthse des concepts de base ncessaires </p><p>pour lanalyse du Comportement Mcanique des Matriaux et des Structures. Aprs lintroduction dlments mathmatiques (Chapitre 1), les outils usuels de lanalyse du Comportement Mcanique des Matriaux et des Structures sont con-sidrs: contraintes (Chapitre 2); dformations (Chapitre 3); comportement lasti-que des matriaux (Chapitre 4); mcanique des structures dformables (Chapitre 5). </p><p> Vallouise, 27 Aot 2009 Jean-Marie Berthelot </p></li><li><p>Table des Matires </p><p>Avant-Propos v </p><p>Chapitre 1 lments Mathmatiques 1 1.1 Changement de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Expression Gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Expression dans la cas dune Rotation autour dun Axe . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Tenseurs de Rang Deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Changement de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3 Diagonalisation dune Matrice: Vecteurs et Valeurs Propres . . . . . . . . . 5 1.2.4 Inverse dune Matrice Symtrique dOrdre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 </p><p>Chapitre 2 Contraintes 7 2.1 tat des Contraintes dans un Solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1 Tenseur des Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.2 Force Exerce en un Point sur un lment des Surface . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Proprits du Tenseur des Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.1 Signification Physique des Composantes du Tenseur. . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.2 Composantes Normale et Tangentielle du Vecteur Contrainte . . . . . . . 10 2.2.3 Directions Principales. Contraintes Principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.4 Change de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 tats Particuliers de Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.1 Tenseur Sphrique et Dviateur des Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.2 Compression ou Traction Sphrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.3 Traction ou Compression Simple dans une Direction . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.4 Cisaillement Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.5 tat de Contraintes Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.6 tat de Contraintes Quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Notation Matricielle de lIngnieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.1 Introduction de la Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.2 Changement de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 </p><p>Chapitre 3 Dformations 20 3.1 Le Tenseur des Dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1.1 Dformations en un Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1.2 Tenseur des Dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1.3 Interprtation des Composantes du Tenseur des Dformations . . . . . . 23 3.1.4 Conditions de Compatibilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 tat des Dformations en un Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.1 Allongement Unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.2 Dformation en Cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.3 Tenseur des Dformations dans les Directions Principales . . . . . . . . . 28 3.2.4 Changement de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 </p></li><li><p>viii Contents </p><p>3.3 tats Particuliers de Dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.1 Tenseur Sphrique et Dviateur des Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.2 tats Particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4 Notation Matricielle de lIngnieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4.1 Introduction de la Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4.2 Changement de Base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 </p><p>Chapitre 4 Comportement lastique des Matriaux 35 4.1 Schma dlasticit Linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1.2 Matrice de Rigidit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1.3 Matrice de Flexibilit ou Souplesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.1.4 Changement de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.1.5 Les Diffrents Types de Matriaux Anisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2 Matriaux Isotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2.1 Relations dlasticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2.2 Modules dlasticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2.3 Relations entre les Coefficients dlasticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2.4 Expressions des Matrices de Rigidit et Souplesse . . . . . . . . . . . . . . . 43 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 </p><p>Chapitre 5 Problme de Mcanique des Solides Dformables 46 5.1 Relation fondamentale pour un Solide Dformable. . . . . . . . . . . . . . 46 5.2 Formulation de lAnalyse des Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2.1 nonc du Problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2.2 quations en Coordonnes Cartsiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.2.3 quations en Coordonnes Cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.3 Thormes de lnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.3.1 Variation dune Fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.3.2 Thorme des Travaux Virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.3.3 Dynamique des Solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.4 Mthodes Variationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.4.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.4.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.5 Analyse par lments Finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 </p></li><li><p>CHAPITRE 1 </p><p>lments Mathmatiques </p><p>L'tat des dformations et l'tat des contraintes en un point d'un solide soumis un chargement mcanique sont dfinis partir de matrices carres 3 3. Nous rappelons dans ce chapitre quelques lments relatifs aux concepts utiliss. </p><p>1.1 CHANGEMENT DE BASE </p><p>1.1.1 Expression gnrale </p><p>L'orientation d'un espace gomtrique (S) par rapport un systme de rfrence (R) (figure 1.1) est caractrise par les vecteurs de base ( )e = ( ) e e e, ,1 2 3 d'un systme d'axes (1, 2, 3) li l'espace (S), ( )e tant une base de l'espace vectoriel 3 . Tout changement de ce systme d'axes est caractris par une matrice de changement de base ,ija= A permettant d'exprimer les nouveaux </p><p>vecteurs de base ( ) ( ) e e e e=' ' ' ', ,1 2 3 en fonction des anciens suivant l'expression : </p><p>e a e a e a e</p><p>e a e a e a e</p><p>e a e a e a e</p><p>= + +</p><p>= + +</p><p>= + +</p><p>'</p><p>'</p><p>'</p><p>,</p><p>,</p><p>.</p><p>1 11 1 12 2 13 3</p><p>2 21 1 22 2 23 3</p><p>3 31 1 32 2 33 3</p><p> (1.1) </p><p>FIGURE 1.1. Orientation d'un espace gomtrique (S). </p><p>(R) </p><p>3 </p><p>(S) </p><p>1 </p><p>2 </p><p>1e</p><p>2e3e</p></li><li><p>86 Chapitre 1 Elments mathmatiques </p><p>Nous crirons cette relation sous la forme matricielle : </p><p>e e</p><p>e e</p><p>ee</p><p> = </p><p>A</p><p>'</p><p>'</p><p>'</p><p>1 1</p><p>2 2</p><p>23</p><p>. (1.2) </p><p>La relation inverse s'exprime, en introduisant la matrice inverse A1 de A, suivant : </p><p>ee</p><p>e e</p><p>e e</p><p> = </p><p>A</p><p>'</p><p>'</p><p>'</p><p>111</p><p>2 2</p><p>2 3</p><p>. (1.3) </p><p>Dans le cas de bases orthonormes directes, la matrice de changement de base est symtrique et unitaire : son dterminant est gal 1 et son inverse est confon-due avec la matrice transpose. La relation inverse est donc simplifie suivant : </p><p> t </p><p>ee</p><p>e e</p><p>e e</p><p> = </p><p>A</p><p>'</p><p>'</p><p>'</p><p>11</p><p>2 2</p><p>2 3</p><p>, (1.4) </p><p>o la matrice At est la matrice transpose de A. </p><p>1.1.2 Expression dans le cas de la rotation autour d'un axe </p><p>Dans le cas d'une rotation autour de la direction e3 (figure 1.2), la relation </p><p>entre les bases ( ) e e e' ' ', ,1 2 3 et ( ) e e e, ,1 2 3 s'crit : </p><p>'1 1 2'2 1 2'3 3</p><p>cos sin ,</p><p>sin cos ,</p><p>.</p><p>e e e</p><p>e e e</p><p>e e</p><p>= +</p><p>= +</p><p>=</p><p> (1.5) </p><p>D'o la matrice de changement de base : </p><p> cos sin 0sin cos 00 0 1</p><p> = </p><p>A . (1.6) </p><p>La matrice de changement de base inverse est : </p><p> tcos sin 0sin cos 0</p><p>0 0 1</p><p> = </p><p>A . (1.7) </p></li><li><p>1.2 Tenseur de rang deux 3 </p><p>FIGURE 1.2. Rotation autour de la direction 3. </p><p>D'o la relation inverse : </p><p>' '1 1 2</p><p>' '2 1 2</p><p>'3 3</p><p>cos sin ,</p><p>sin cos ,</p><p>.</p><p>e e e</p><p>e e e</p><p>e e</p><p>= </p><p>= +</p><p>=</p><p> (1.8) </p><p>1.2 TENSEUR DE RANG DEUX </p><p>1.2.1 Introduction </p><p>La notion de tenseur est ncessaire pour tablir les relations entre effets physiques et causes dans les milieux anisotropes. Dans de tels milieux, une cause applique suivant une direction produit en gnral un effet orient dans une autre direction. Les phnomnes physiques sont alors dcrits par des tenseurs. </p><p>Les grandeurs, qui ne dpendent pas de la direction de mesure et qui sont mesures par un seul nombre, sont reprsentes par des scalaires, ou tenseurs d'ordre zro. Les vecteurs sont des tenseurs d'ordre un, qui reprsentent des grandeurs caractrises par un nombre et une direction. Les grandeurs physiques plus complexes sont reprsentes par des tenseurs d'ordre suprieur un. </p><p>D'une manire gnrale, un tenseur peut tre dfini comme tablissant une application linaire entre deux tenseurs d'ordres infrieurs. En particulier, un tenseur de rang deux, dfini sur l'espace vectoriel 3 , est un oprateur linaire qui fait correspondre tout vecteur X de l'espace vectoriel 3 un vecteur Y de </p><p>3 . Ce tenseur est reprsent dans la base ( )e par un tableau d'lments Tkl appel tableau des composantes du tenseur dans la base ( )e . Ce tableau est </p><p>1 </p><p>2 </p><p>3 </p><p>2 </p><p>1 </p><p>1e 2e </p><p>3e </p><p>1e </p><p>2e </p></li><li><p>4 Chapitre 1 Elments mathmatiques </p><p>constitu de 9 nombres (k, l = 1, 2, 3). Dans la base ( )e' , ce mme tenseur est re-prsent par un tableau d'lments relis aux prcdents par l'expression : </p><p> ij ik jl klT a a T i j k l = = 1 2 3, , , , , , , (1.9) </p><p>o les termes aik et ajl sont les lments de la matrice de changement de base. La relation prcdente utilise la convention de sommation, dans laquelle une rp-tition d'indice implique une sommation. La relation (1.9) est quivalente : </p><p> ij i j i j i jT a a T a a T a a T i j = + + + =1 1 11 1 2 12 3 3 33 1 2 3, , , , . (1.10) </p><p>L'expression (1.9) peut tre prise comme relation de dfinition d'un tenseur de rang deux : tableau se transformant dans un changement de base suivant la rela-tion (1.9). </p><p>Il y a en fait identit entre les composantes des tenseurs de rang deux et les lments des matrices carres. Dans le cas o l'espace vectoriel de rfrence est l'espace 3 , nous crirons donc les lments des tenseurs de rang 2 sous la forme matricielle : </p><p>T T T</p><p>T T T</p><p>T T T</p><p>= </p><p>T11 12 13</p><p>21 22 23</p><p>31 32 33</p><p>. (1.11) </p><p>1.2.2 Changement de base </p><p>Dans le cas de bases orthonormes directes, la relation (1.9) de changement de base peut s'crire : ij ik kl lkT a T a = . (1.12) </p><p>Compte tenu des lments apports prcdemment, cette relation peut se mettre sous la forme d'une criture matricielle, suivant : </p><p> t =T A TA , (1.13) </p><p>o T est la matrice ijT . La relation inverse s'crit : </p><p> t =T A T A . (1.14) </p><p>1.2.3 Diagonalisation d'une matrice. Vecteurs propres et valeurs propres </p><p>On dit qu'un vecteur non nul u est vecteur propre d'un tenseur T si le vecteur uT est colinaire u . Tout vecteur colinaire un vecteur propre est galement </p><p>vecteur propre, et la direction d'un vecteur propre est, par dfinition, une direction principale du tenseur. Le vecteur u doit donc vrifier l'quation : </p></li><li><p>1.2 Tenseur de rang deux 5 </p><p> ( ) 0u =T I , (1.15) </p><p>o I est le tenseur unit de rang deux, ou la matrice (3 3) unit. Cette relation s'crit dans une base orthonorme ( )e : </p><p> ( ) 0ij ij jT u = , (1.16) en introduisant le symbole de Kronecker dfini par : </p><p> 1 si ,0 si .ij</p><p>i ji j</p><p>=</p><p>= (1.17) </p><p>Le vecteur u tant diffrent du vecteur nul, ce systme admet des solutions si : </p><p> ( )det 0 =T I . (1.18) </p><p>Cette quation possde gnralement trois racines distinctes : (1) (2) (3), , , </p><p>appeles valeurs propres ou valeurs principales. chaque valeur propre ( )k correspond un vecteur propre ( )ku do...</p></li></ul>

Recommended

View more >