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  • Jean-Marie Berthelot

    Concepts de Base sur le Comportement Mcanique des Matriaux et des Structures

    ISMANS Institut Suprieur des Matriaux Le Mans, France et Mcaniques Avancs

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  • Jean-Marie Berthelot

    Concepts de Base sur le Comportement

    des Matriaux et des Structures Jean-Marie Berthelot est Professeur mrite lInstitut Suprieur des Matriaux et Mcaniques Avancs (ISMANS), Le Mans, France. IL exerce ses comptences dans les domaines de la Mcanique des Matriaux et des Matriaux Composites. Spcialiste reconnu au niveau international, ses travaux dans le domaine du Comportement Mcanique des Matriaux Composites font lobjet de publications rgulires dans des congrs et journaux scientifiques. Il est lauteur de diffrents ouvrages de Mcanique et sur les Composites.

  • Jean-Marie Berthelot

    Concepts de Base sur le Comportement des Matriaux et des Structures

    ISMANS Institut Suprieur des Matriaux Le Mans, France et Mcaniques Avancs

  • Avant-Propos

    Ce court ouvrage dveloppe une synthse des concepts de base ncessaires

    pour lanalyse du Comportement Mcanique des Matriaux et des Structures. Aprs lintroduction dlments mathmatiques (Chapitre 1), les outils usuels de lanalyse du Comportement Mcanique des Matriaux et des Structures sont con-sidrs: contraintes (Chapitre 2); dformations (Chapitre 3); comportement lasti-que des matriaux (Chapitre 4); mcanique des structures dformables (Chapitre 5).

    Vallouise, 27 Aot 2009 Jean-Marie Berthelot

  • Table des Matires

    Avant-Propos v

    Chapitre 1 lments Mathmatiques 1 1.1 Changement de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Expression Gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Expression dans la cas dune Rotation autour dun Axe . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Tenseurs de Rang Deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Changement de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3 Diagonalisation dune Matrice: Vecteurs et Valeurs Propres . . . . . . . . . 5 1.2.4 Inverse dune Matrice Symtrique dOrdre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    Chapitre 2 Contraintes 7 2.1 tat des Contraintes dans un Solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1 Tenseur des Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.2 Force Exerce en un Point sur un lment des Surface . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Proprits du Tenseur des Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.1 Signification Physique des Composantes du Tenseur. . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.2 Composantes Normale et Tangentielle du Vecteur Contrainte . . . . . . . 10 2.2.3 Directions Principales. Contraintes Principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.4 Change de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 tats Particuliers de Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.1 Tenseur Sphrique et Dviateur des Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.2 Compression ou Traction Sphrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.3 Traction ou Compression Simple dans une Direction . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.4 Cisaillement Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.5 tat de Contraintes Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.6 tat de Contraintes Quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Notation Matricielle de lIngnieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.1 Introduction de la Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.2 Changement de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    Chapitre 3 Dformations 20 3.1 Le Tenseur des Dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1.1 Dformations en un Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1.2 Tenseur des Dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1.3 Interprtation des Composantes du Tenseur des Dformations . . . . . . 23 3.1.4 Conditions de Compatibilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 tat des Dformations en un Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.1 Allongement Unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.2 Dformation en Cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.3 Tenseur des Dformations dans les Directions Principales . . . . . . . . . 28 3.2.4 Changement de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

  • viii Contents

    3.3 tats Particuliers de Dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.1 Tenseur Sphrique et Dviateur des Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.2 tats Particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4 Notation Matricielle de lIngnieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4.1 Introduction de la Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4.2 Changement de Base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    Chapitre 4 Comportement lastique des Matriaux 35 4.1 Schma dlasticit Linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1.2 Matrice de Rigidit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1.3 Matrice de Flexibilit ou Souplesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.1.4 Changement de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.1.5 Les Diffrents Types de Matriaux Anisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2 Matriaux Isotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2.1 Relations dlasticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2.2 Modules dlasticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2.3 Relations entre les Coefficients dlasticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2.4 Expressions des Matrices de Rigidit et Souplesse . . . . . . . . . . . . . . . 43 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    Chapitre 5 Problme de Mcanique des Solides Dformables 46 5.1 Relation fondamentale pour un Solide Dformable. . . . . . . . . . . . . . 46 5.2 Formulation de lAnalyse des Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2.1 nonc du Problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2.2 quations en Coordonnes Cartsiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.2.3 quations en Coordonnes Cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.3 Thormes de lnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.3.1 Variation dune Fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.3.2 Thorme des Travaux Virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.3.3 Dynamique des Solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.4 Mthodes Variationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.4.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.4.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.5 Analyse par lments Finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

  • CHAPITRE 1

    lments Mathmatiques

    L'tat des dformations et l'tat des contraintes en un point d'un solide soumis un chargement mcanique sont dfinis partir de matrices carres 3 3. Nous rappelons dans ce chapitre quelques lments relatifs aux concepts utiliss.

    1.1 CHANGEMENT DE BASE

    1.1.1 Expression gnrale

    L'orientation d'un espace gomtrique (S) par rapport un systme de rfrence (R) (figure 1.1) est caractrise par les vecteurs de base ( )e = ( ) e e e, ,1 2 3 d'un systme d'axes (1, 2, 3) li l'espace (S), ( )e tant une base de l'espace vectoriel 3 . Tout changement de ce systme d'axes est caractris par une matrice de changement de base ,ija= A permettant d'exprimer les nouveaux

    vecteurs de

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