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Conditions et contraintes de la recherche en didactique des mathématiques : un témoignage

Yves CHEVALLARD

Université de Provence

y.chevallard@free.fr

Résumé Ce texte reprend et résume mon intervention le 14 octobre 2011 dans le cadre du Colloquium

organisé par l’ARDM et la CFEM. Il présente un bilan partiel et parcellaire, subjectif par

méthode, de mon activité de chercheur en didactique des mathématiques et de quelques-uns

des problèmes du métier que j’ai rencontrés au long de plusieurs décennies de pratique.

Mots clés

Approche autobiographique, chercheur, didactique, mathématiques, problème, profession

Approche autobiographique et problèmes de la profession J’ai été invité par l’ARDM et la CFEM la Commission française pour l’enseignement des

mathématiques à m’exprimer, le 14 octobre 2011, dans le cadre du Colloquium que ces

deux sociétés savantes organisent conjointement chaque année. Je dois cette invitation, non à

un intérêt particulier pour ma personne, mais au fait que l’International Commission on

Mathematical Instruction (en français, la Commission internationale de l’enseignement

mathématique), dont la CFEM est la sous-commission française, m’a attribué le prix Hans

Freudenthal pour 2009. Ce prix, attribué tous les deux ans, honore a major cumulative

research program. Chacun sait que Guy Brousseau a été lui-même, en 2003, le lauréat du prix

jumeau, le prix Felix Klein, qui honore a lifetime achievement. Je suis évidemment très

heureux d’inscrire mon nom après le sien et celui de quelques autres collègues dans les

annales de l’ICMI.

Je voudrais employer cette occasion tout à fait exceptionnelle pour tenter d’amorcer une

réflexion sur un thème peu fréquenté, me semble-t-il, mais qui a pris une importance

croissante à mes yeux au fil des années. De même qu’on peut s’interroger sur les problèmes

de la profession de professeur de mathématiques de l’enseignement secondaire (sauf

exception, je parlerai simplement de professeur ci-après), on peut s’interroger sur les

problèmes de la profession de chercheur en didactique des mathématiques (je parlerai

simplement de chercheur ci-après). Et de même qu’on peut tenter d’identifier leurs problèmes

en observant et en interrogeant des professeurs, on peut chercher à repérer les problèmes des

chercheurs en les observant et en les interrogeant. Pour ce faire, une technique particulière

consisterait à solliciter d’eux des mémoires autobiographiques où ils répondraient librement à

la question : « Quelles difficultés avez-vous rencontrées dans l’exercice de votre métier de

chercheur qui puissent être regardées comme des problèmes de la profession de chercheur ? »

C’est bien cela que je commencerai à faire ici même, mais en sollicitant ma propre expérience

de quelque 35 années de recherche en didactique des mathématiques.

J’ose espérer que l’inévitable personnalisation de mon propos rencontrera une attention

bienveillante. Le bilan qui suit s’arrête à l’année 2000. Il est divisé en cinq périodes, dont

chacune est scindée en trois sections, intitulées respectivement Chronique, Ce que j’ai appris

et Problèmes de la profession. Dans cette dernière section, j’ai formulé un petit nombre de

questions qui tentent d’énoncer ce que je crois être des problèmes importants de la profession

de chercheur. Inutile d’ajouter qu’il s’agit là d’un choix parmi un ensemble beaucoup plus

vaste. Chaque question se termine par cette apostrophe à la communauté des didacticiens des

mathématiques : Que comptez-vous faire à cet égard ? Pendant des années, j’ai été confronté

à des interpellations auxquelles j’ai essayé de ne pas me dérober. Avec un rien de malice peut-

être, je profite ici d’une circonstance exceptionnelle pour retourner le compliment.

Première période : jusqu’en 1961

Chronique 1

Je suis né en 1946. J’ai vécu dans un village proche de Marseille Carry-le-Rouet , à la

population alors plus que modeste, où j’allais à l’école communale. Un acteur célèbre,

Fernandel, y possédait une maison, où il venait régulièrement séjourner. En hiver, le village

me semblait coupé du monde que je pressentais à travers la radio et les quelques livres que je

me procurais. L’instituteur, fidèle du mouvement Freinet, ouvrait aussi des horizons : « La

Gerbe est arrivée ! » est un cri qui résonne encore à mes oreilles. À l’été surtout, on voyait

arriver des « riches » de Marseille. J’ai tôt appris par leurs enfants, mes camarades de jeu,

l’existence de deux ordres scolaires, l’ordre primaire et l’ordre secondaire, comme disent les

historiens. Ainsi, nous, nous étions à la communale, en CM1, quand nos camarades

« urbains » étaient au lycée, en 8e. En même temps, j’ai moi-même connu pendant trois

années les classes élémentaires du lycée Carnot de Tunis : comme souvent, je balançais, au

gré d’une histoire familiale compliquée, entre deux systèmes qui, en apparence, s’ignoraient.

Après la communale, je suis demeuré dans l’ordre primaire de la sixième à la troisième en

devenant l’élève, de la rentrée 1957 aux vacances d’été de 1961, d’un cours complémentaire

d’une petite ville proche, Martigues 1.

Ce que j’ai appris 1

Tout cela, et en particulier l’expérience de « l’ordre primaire », a marqué le didacticien que je

suis devenu. À Tunis, au milieu du XXe siècle, je rencontrai un univers familial scolairement

archaïque où, comme au XIXe siècle, de même qu’on se souciait que le petit écolier fût muni

d’un crayon, d’une gomme, d’une trousse, etc., on s’assurait qu’il disposât d’un livre de

grammaire, d’un livre de calcul, etc., sans que ceux-ci dussent être identiques à ceux utilisés

par les autres élèves de la classe, qui étaient pourtant déjà soumis, eux, aux normes

« modernes » d’unicité du manuel dans une même classe. Je m’en souviendrais longtemps

après devant la résurgence de cet « esprit XIXe siècle » lorsqu’apparurent les calculatrices :

longtemps les professeurs et les « autorités » n’osèrent pas imposer aux élèves d’une classe

donnée de disposer d’un unique modèle de calculatrice, au motif notamment qu’on ne pouvait

s’autoriser à favoriser commercialement telle ou telle marque ce qui semblait pourtant

depuis longtemps ne plus faire problème s’agissant des manuels.

Au cours complémentaire, en sixième, nous découvrîmes rétrospectivement que, à l’école

communale de Carry, Freinet aidant, la formation n’avait pas été aussi resserrée sur le français

et les mathématiques qu’en d’autres CM2. Cela suffisait pour être accusé de « dilettantisme ».

Ce fut pour moi la première stigmatisation d’un rapport à la connaissance et à l’ignorance un

peu décalé. En même temps, les petits pacoulins que nous étions n’avaient droit ni au grec, ni

au latin, dont on régalait les brillants sujets de la ville, ni à une seconde langue vivante. J’ai

1 Sur ce qu’était alors un cours complémentaire, comme sur tous les points sur lesquels il le jugera utile, je laisse

au lecteur le soin de s’informer par lui-même (à l’aide d’une brève recherche sur Internet ou autrement).

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découvert ainsi ce que je nommerai beaucoup plus tard la pénurie praxéologique, la rétention

organisée de connaissances, et, du même coup, la difficulté profonde à contrebattre cette

pénurie officielle, la quête corrélative de connaissances « introuvables », le bricolage

« didactique » pour se les procurer personnellement.

En sixième et en cinquième, le professeur d’anglais était un jeune étudiant en sciences,

sympathique et rigoureux, que le rectorat avait envoyé là, selon ses dires, à cause de la

pénurie de professeurs et au motif que sa note au bac en cette matière n’était pas mauvaise.

Beaucoup plus tard, ses enfants ne le connaîtront que comme professeur de mathématiques.

Mais son sérieux et son engagement étaient grands et je n’eus pas à me plaindre de ce que je

pus apprendre avec lui. (Au lycée, je serai même présenté au concours général d’anglais, il est

vrai sans succès.) C’est là que, comme il était usuel alors, j’appris l’alphabet phonétique

international. De tout cela il m’est resté un doute touchant l’idée que l’élève apprendrait

d’autant plus et d’autant mieux que le professeur est plus savant : c’est à l’élève d’étudier, le

professeur ne peut que l’aider à étudier mais il peut l’aider mieux.

Le ressouvenir des mathématiques étudiées au cours complémentaire de l’Île à Martigues a

joué un rôle dès mes premiers travaux de didactique : c’est là par exemple que j’appris la

distinction entre l’équivalence, notée A B, de deux expressions algébriques A et B et leur

égalité, notée A = B et construite syntaxiquement de façon à impliquer l’équivalence. Bien

d’autres choses m’en sont restées qui ont nourri ma réflexion. Dans cet univers scolairement

et socialement dominé, nombre de professeurs étaient d’anciens instituteurs épris de

république, de laïcité, de savoir, de culture : j’appris là qu’on pouvait vouloir faire son travail

le mieux possible et en même temps bannir toute esbroufe ; il m’en est resté une indifférence

totale à l’esprit de compétition, si naturel à certains qu’ils ne peuvent imaginer qu’on y soit

inaccessible.

J’ai vécu toutes ces années dans une grande proximité avec mon grand-père maternel, que j’ai

évoqué dans un article intitulé Concepts fondamentaux de la didactique (1992). Issu du petit

peuple marseillais, il jetait sur le monde un regard moqueur et volontiers sceptique. J’ai appris

de lui une défiance dubitative face à tout ce qui est censé « aller de soi », à ce qu’on nomme

en anglais taken-for-grantedness. J’en ai conservé une rétivité devant toutes les orthodoxies,

ce qui a fait de moi un agnostique en toutes matières, tout à fait incapable de partager

simplement les vérités communes.

Problèmes de la profession 1

J’ai eu tôt conscience que le « vécu didactique » de l’enfant puis de l’adolescent qu’il a été

constitue pour le chercheur une première matière première de sa clinique du didactique, socle

où prendront appui toutes les techniques de recherche, qu’elles soient dites « cliniques »,

« expérimentales » ou autres. (Le recours au ressouvenir est ainsi au cœur de la technique des

témoins utilisée encore récemment pour l’exploration de l’offre praxéologique en un domaine

donné : voir Ladage et Chevallard 2011.) Lorsque le témoin est le chercheur lui-même, ce

ressouvenir, qui suppose d’abord une anamnèse personnelle, suppose ensuite un travail

d’après-coup qui objective institutionnellement les productions de l’anamnèse personnelle et

les dépersonnalise. (L’examen de manuels anciens porte ainsi à la vue de quiconque l’usage

de la relation d’équivalence algébrique mentionnée plus haut.) Or il me semble que, sur toutes

ces choses, existe aujourd’hui, dans la communauté des didacticiens des mathématiques

français, un lourd silence institutionnel, qu’inspire un parti-pris discutable mais trop peu

discuté pour des techniques de recherche réputées « sûres » à l’exclusion de toute autre. D’où

cette question qui pourra, je l’espère, « faire problème » pour cette communauté : Quelle part

le vécu objectivé du chercheur peut-il avoir dans la recherche aujourd’hui ? Peut-on, et

comment, lever l’interdit qui semble peser sur l’usage des matériaux issus du ressouvenir en

la matière ? Comment « socialiser » de tels fragments cliniques sans les enfermer dans une

nouvelle orthodoxie rigide ? Que comptez-vous faire à cet égard ? Bien entendu, il y a en

l’espèce deux poids et deux mesures : le ressouvenir de l’élève, voire du professeur semble

accepté, surtout si vous interrogez 500 élèves ou 100 professeurs ; le ressouvenir qui, souvent

à son insu, meut le chercheur n’est pas reconnu. C’est là, à mes yeux, un problème non trivial

de la profession de chercheur.

Deuxième période : jusqu’en 1967

Chronique 2

En 1961, j’entre au lycée Thiers de Marseille, alors parangon de l’ordre secondaire. (Le

proviseur reprendra vivement une interlocutrice qui me rapportera l’épisode en lui

lançant qu’on n’était pas dans son lycée pour réussir le bac mais pour tenter Polytechnique.)

Je resterai là jusqu’à l’entrée à la rue d’Ulm, en 1967. J’avais de bons, voire de très bons

résultats scolaires. Mais, je l’ai déjà souligné, je restai un refuznik au plan des usages

institutionnels, quoique je fusse respectueux des gens et plutôt bien toléré par les professeurs

et l’administration. Lisant il y a peu un petit livre de l’anthropologue Marshall Sahlins (2008),

je suis tombé sur cette plaisanterie semble-t-il bien connue (p. 111) : à quelqu’un qui lui dit

banalement “Have a nice day!”, ce qu’il faut entendre ici de façon littérale (soit à peu près

« Prenez-vous une journée agréable »), un quidam ombrageux rétorque, outragé : “DON’T

TELL ME WHAT TO DO!” « Ne me dites pas ce que je dois faire ! » Tel était le sentiment

dominant de ces années, où, bien sûr, j’appris beaucoup.

Ce que j’ai appris 2

En seconde, le professeur de mathématiques, homme vertueux et craint, nous demanda tout de

go ce que valait la racine carrée de a2. Nous répondîmes en chœur la réponse apprise en

troisième : « plus ou moins a ». Le ciel nous tomba sur la tête : il fallait répondre « valeur

absolue de a ». J’apprends là en un seul coup la relativité institutionnelle des connaissances.

En seconde encore, je me procure le livre d’André Lentin et Jacques Rivaud, Éléments

d’algèbre moderne, paru chez Vuibert en 1956. Je découvre sans bien le comprendre un autre

monde, apparemment éloigné du monde mathématique scolaire fait alors de paraboles et

d’équations du second degré. Les mathématiques, c’est donc cela qui nous est enseigné et ce

n’est pas cela. Ce que sont les mathématiques est ainsi problématique. Le monde bouge ;

j’explore un tant soit peu cet autre monde, mais aussi les mondes d’avant, tels par exemple

que me les révèlent la Géométrie dans l’espace de Jacques Hadamard (8e éd., 1949) ou le

Nouveau cours de mathématiques générales de Robert Deltheil (1959), que me prête un

proche, élève d’une école d’ingénieurs marseillaise.

En 1964, j’entre en Maths sup. Les entrants devaient alors passer une épreuve de

mathématiques, en quelque sorte « pour voir ». À mon habitude, je n’avais aucune idée de ce

qu’il adviendrait de moi ; la plupart des autres candidats m’étaient d’ailleurs inconnus. Divine

surprise, je fus classé deuxième. L’élève classé premier s’appelait Alain Connes, qui devait

recevoir la médaille Fields en 1982. Conséquence de cet heureux hasard, nous fûmes assis

côte à côte tout au long de l’année, en haut du petit amphithéâtre que régentait Victor Charlier

de Chily, qui sur-jouait souvent son rôle. Ce que je voyais en observant Alain me montrait ce

que pouvait être un rapport aux mathématiques incommensurable avec les rapports personnels

« ordinaires » qui seuls m’étaient connus. Nous fûmes séparés en Math spé. Il entra à la rue

d’Ulm en 3/2, moi en 5/2. Un jour que, rue d’Ulm, je traversais la cour avec des camarades de

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promotion, nous le vîmes en train de travailler seul. Sa réputation s’était répandue. Sachant

que je le connaissais, ces camarades me demandèrent ce que je pensais de lui. Je répondis

sobrement : « C’est un génie. » Si l’histoire s’était arrêtée là, certains de mes collègues

didacticiens d’aujourd’hui m’auraient sans doute demandé : « Tu peux le prouver ? » Une

année d’observation clinique proche, en ce cas, m’avait suffi amplement pour m’en persuader.

À l’issue de la Maths sup., on me proposa d’aller dans la classe de Maths spé. de Jules Brun

mais je préférai choisir la classe de l’autre professeur de spéciales M’, André Pfeiffer. Pour

des raisons de santé, l’année fut pour moi difficile, malgré la bienveillance du professeur. J’en

retiendrai que je vécus en acte un fait qu’il est facile de relier à mes intérêts didactiques

actuels et dont je n’avais jusqu’alors qu’une connaissance personnelle intime : contrairement

à ce que les usages scolaires pouvaient laisser croire, un problème vrai ne se résout pas au fil

de la plume ; le temps qu’on y consacre est une variable essentielle et il faut donc apprendre à

vivre normalement et durablement dans la compagnie d’un problème ouvert, sans l’écarter,

sans l’oublier. André Pfeiffer nous proposait parfois des exercices sur lesquels il séchait lui-

même et il n’hésitait pas alors à y revenir jour après jour, en nous montrant chaque fois le peu

qu’il avait trouvé depuis la veille. Un exercice sur une équation matricielle nous retint ainsi

quatre jours de suite, ce qui, d’après les mœurs taupinales d’alors, semblait incongru.

La classe de l’année 1965-1966 eut des résultats calamiteux. Pfeiffer réagit trop vite à mes

yeux en « vidant » certains élèves, dont quelques-uns furent « rétrogradés » dans une

spéciale M. Parmi eux se trouvait un garçon qui ne se mettait pas en avant mais que j’avais

appris à apprécier lors des heures de travail hors de la présence du professeur. Je trouvais que

la décision le concernant n’était pas seulement injuste : elle était le fruit d’une erreur de

jugement. De fait, à la fin de l’année passée en M, classe qui ne préparait pas à ce concours, il

fut reçu à l’X, ce qui me réjouit fort sans m’étonner du tout. La notion de position

institutionnelle me devint évidente : depuis sa position de professeur, André Pfeiffer ne

pouvait voir ce que je voyais dans la position de proximité clinique que j’occupais à l’égard

de mon camarade. La reprise en main avait cependant opéré : sur les deux classes de M’, nous

fûmes quatre, cette année-là, à intégrer la rue d’Ulm.

Problèmes de la profession 2

Les classes préparatoires aux grandes écoles scientifiques constituent en France un haut lieu

de l’initiation mathématique des jeunes générations. Un rapport normé aux mathématiques y

prévaut largement. En simplifiant un peu, on peut dire que, dans le rapport mathématicien aux

mathématiques, les mathématiques sont un ensemble de problèmes ouverts, à résoudre à plus

ou moins long terme, alors que, dans le rapport taupinal aux mathématiques, elles sont un

ensemble de problèmes résolus, c’est-à-dire refermés, ou à résoudre sans attendre. Il s’agit là

de deux types de rapports qui me semblent avoir été reçus (institutionnellement, car les

variations personnelles sont innombrables) de façon peu critique, comme un donné non

questionné. Plus précisément le rapport taupinal, qui prévaut sous des formes succédanées au

secondaire stricto sensu, semble constituer une référence ordinaire dans l’imaginaire des

didacticiens, même si, dans la noosphère, la fascination pour le rapport mathématicien fait

régulièrement résurgence. (De très mauvaises habitudes ont été prises lorsqu’on a décrété, il y

a quelques décennies, qu’un didacticien des mathématiques devait avoir aux mathématiques

« au moins » le rapport moyen d’un professeur certifié ou agrégé de mathématiques.) Voici

alors la question que je propose à notre profession comme l’un de ses problèmes : Comment

situer, construire, faire évoluer un rapport didacticien aux mathématiques qui soit

véritablement adéquat au projet d’une science du didactique en mathématiques ?

Corrélativement, comment étudier comme des réalités objectives parmi d’autres les rapports

mathématicien, taupinal ou professoral aux mathématiques, en évitant d’en faire soit des

standards, soit des fétiches ? Que comptez-vous faire à cet égard ? Un tel rapport didacticien

doit libérer le chercheur d’assujettissements allogènes contreproductifs et souvent

tyranniques, et lui donner une puissance sui generis dans son commerce avec les

mathématiques en tant que chercheur en didactique. Pour risquer une formule qu’on pourra

rapprocher de celles par lesquelles j’ai voulu « croquer » les rapports mathématicien et

taupinal, dans le rapport didacticien aux mathématiques, celles-ci sont un ensemble de

problèmes à rouvrir.

Troisième période : jusqu’en 1976

Chronique 3

Je suis entré à la rue d’Ulm en octobre 1967, l’année de Mai-68. J’ai passé normalement

l’agrégation en 1970. J’avais suivi entretemps divers enseignements de logique

mathématique, d’abord à Paris 7 avec Daniel Lacombe, puis à l’IHP avec Jean-Louis Krivine

(dont j’avais étudié en détail le Que sais-je ? sur la théorie des ensembles). Pendant la

quatrième année allouée aux normaliens, j’eus la possibilité de faire, par dérogation, de brefs

remplacements en Maths sup. et en Maths spé. au lycée Thiers de Marseille, où j’eus à assurer

aussi un cours de logique élémentaire en khâgne, à la demande du professeur de philosophie,

Michel Gourinat. À la rentrée 1972, je suis affecté normalement mais tardivement dans le

secondaire, dans ce même lycée : on m’y confie une classe de cinquième, une classe de

quatrième, une classe de seconde A (qui accueillait des élèves déclarés rétifs aux

mathématiques). Je serai en cours d’année recruté comme assistant au département de

mathématiques de Luminy, où l’année bat son plein. On m’y propose d’emblée de devenir

« animateur » à l’IREM. Dès le mois de février 1972, j’anime un stage de formation au lycée

Vauvenargues d’Aix-en-Provence. Les IREM font à l’époque ce qu’on nomme sans élégance

du recyclage : il faut « recycler » les professeurs. Ce que demandent ces professeurs ? Au

collège, l’alors célèbre « droite affine en quatrième » ; au lycée, les probabilités (que la

plupart d’entre eux n’avaient jamais étudiées). Par ailleurs, à l’IREM, je crée et anime un

groupe de travail qui prend le nom d’Atelier « Mathématiques et interdisciplinarité ». De cet

atelier, auquel Alain Mercier participe assidument, sortiront plusieurs « brochures » selon

la terminologie des IREM dont deux seront réunies par un très actif collègue de l’IREM de

Lyon, Maurice Glaymann, pour être publiées chez Cédic en 1977 sous le titre Deux études

mathématiques sur la parenté. L’une de ces études relevait de la génétique des populations

on y employait notamment la distance de Mahalanobis , l’autre des « structures élémentaires

de la parenté », pour reprendre le titre du maître-ouvrage de Claude Lévi-Strauss paru en

1949. (Lors d’un entretien sur France Culture avec François Le Lionnais, me rapportera un

ami, Lévi-Strauss, à qui apparemment rien n’échappait, aura un mot aimable pour ce très

mince opuscule.) Une part essentielle de mon travail, cependant, était d’enseigner des

mathématiques en maîtrise, où l’on me confia une UV (« unité de valeur ») de topologie, et

surtout en DEUG, où de concert avec un collègue, Robert Rolland, j’enseignais les séries. De

cela et de quelques autres aventures éditoriales devait sortir en 1979, chez l’éditeur Cédic (qui

jouait alors un rôle important dans la noosphère de l’enseignement des mathématiques), allié

avec Fernand Nathan, un ouvrage en deux volumes intitulé Théorie des séries, dont je signai

le premier volume, Robert Rolland signant le second.

Ce que j’ai appris 3

Dans la période qui couvre mon année de 5/2 jusqu’à ma rencontre avec Guy Brousseau, j’ai

appris beaucoup, de façon quelque peu erratique. Lorsqu’Alain Connes quitta le lycée Thiers,

un an avant moi, il m’abandonna certains de ses livres, dont il estimait n’avoir plus besoin. Il

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y avait, parmi eux, le volume 3, intitulé Géométrie, du Nouveau cours de mathématiques

spéciales de Georges Cagnac, Edmond Ramis et Joanny Commeau, dont je possédais par

ailleurs mon propre exemplaire. Alain y avait mis des annotations manuscrites ainsi que des

bristols couverts de sa fine écriture. Au début du chapitre V, « Espaces affines », il avait

ajouté une fiche où l’on pouvait lire ce détail : « tous [sic] ensemble ayant même puissance

que EV peut être muni d’une structure d’EA ». On pouvait en conclure entre autres choses

qu’un intervalle de la droite réelle, par exemple ]0, 1[, peut être muni d’une structure d’espace

affine de dimension n, quel que soit n *. Il y avait là un thème qui devait être d’une

importance cruciale pour la suite de mon travail.

La logique mathématique me permettait de formuler plus largement le point précédent. Nous

sommes habitués à considérer qu’il peut y avoir plusieurs façons de construire une théorie T

d’un système S notamment (mais pas seulement) parce qu’il y a plusieurs langages L pour

« parler » de S en sorte qu’il existe en règle générale plusieurs théories, Ti, d’un système S.

Mais il semble beaucoup plus difficile de concevoir qu’une même théorie T a plusieurs

modèles Mk (ce qui est pourtant un fait banal en logique mathématique). Il en résulte alors

ceci : lorsqu’on parle d’un certain système S dans le langage L d’une théorie T, on croit parler

de S alors même qu’on parle du même coup d’une foule d’autres systèmes dont certains nous

apparaîtraient, si nous en prenions conscience, comme « bizarres » qui a jamais regardé

l’intervalle ]0, 1[ de comme, disons, un espace affine à trois dimensions ? Sans entrer dans

un détail technique qui risquerait de rebuter (même si ces questions sont en vérité

passionnantes), j’ajoute que toutes les théories d’un certain type – les théories dites « du

premier ordre » −, dès lors qu’elles ont un modèle infini ont des modèles de toute cardinalité

(c’est le « théorème de Löwenheim-Skolem »). En particulier, une telle théorie ne peut avoir

un modèle unique (à isomorphisme près), de sorte que, en un sens, quand on parle, on ne peut

savoir « de quoi on parle » au juste.

Dans l’exemple des espaces affines, on passe « simplement » d’un système à un système

équipotent. Le phénomène de non-équipotence des modèles que je viens d’évoquer

apparaissait plus encore comme un obstacle à la diffusion des théories « non catégoriques »

(dont tous les modèles ne sont pas isomorphes). En préparant l’agrégation, j’avais étudié le

livre de Jean Dieudonné, Algèbre linéaire et géométrie élémentaire (1964). L’auteur y

proposait une théorie des réels du premier ordre, suffisante, selon lui, pour faire de la

géométrie élémentaire. Or il m’était apparu que cette proposition ne pouvait guère être

acceptée dans l’enseignement parce qu’on ne peut plus parler alors du corps des réels (à

isomorphisme près) et qu’on doit en principe évoquer un corps des réels. Bien entendu, dans

l’enseignement courant, aujourd’hui comme hier, le système des nombres réels n’est pas

vraiment défini, mais on fait comme si, en en parlant, on renvoyait à des entités clairement

repérées. Ce « comme si » exprime ce que j’appellerai la contrainte d’univocité ou, si l’on

veut, de non-équivocité. Pour user de formulations familières en mathématiques, cette

contrainte impose que, lorsque nous parlons, nous supposions ipso facto que ce dont nous

parlons existe et est unique. C’est là une contrainte forte et de haut niveau, que je situerais

dans l’échelle des niveaux de codétermination didactique au-delà même du niveau des

civilisations, au niveau de l’espèce humaine, de l’humanité. Ces considérations constituaient

les prodromes de la théorie de la transposition didactique. Quand une personne ou une

institution et une personne n’est souvent que le porte-parole qui s’ignore d’une institution

nous parle de « quelque chose », entendez d’un système supposé, ce qu’elle dit ne

caractérise pas ce système et on est donc en droit, on est même obligé de soulever cette

question fondamentale : quelle est cette chose dont on nous parle là ? Qu’est-elle au juste ?

L’expérience du « recyclage » des professeurs allait dans le même sens. Lorsque ceux-ci

demandent à l’époque Qu’est-ce donc que « la droite affine » ?, ou Qu’est-ce donc qu’une

« probabilité » ?, et plus généralement lorsque quiconque demande Qu’est-ce donc que

cela ?, on tient là une interrogation anthropologique indépassable découlant, en l’espèce, de la

fragmentation institutionnelle des sociétés humaines. Derrière la résistance des personnes à

laquelle se heurtait le travail de « recyclage », j’apercevais des ténacités institutionnelles.

Derrière les personnes, je saisissais des institutions auxquelles les personnes demeuraient

durement assujetties, même quand elles étaient convaincues de parler en leur nom propre,

mues par leurs convictions « personnelles ».

Les années 1960 voient un grand chambardement dans le curriculum mathématique : on passe

alors des mathématiques dites « classiques » qui suscitent, de ce seul fait, un regain de

passion chez les réactionnaires de tout poil, si ignorants qu’ils en aient été aux

mathématiques « modernes ». Je dirai aujourd’hui que la période voit une réfection de

l’ensemble des infrastructures mathématiques de l’enseignement scolaire (et universitaire)

des mathématiques. J’appartiens à une génération pour laquelle ce changement fut souvent

vécu avec enthousiasme ou, du moins, sans traumatisme. J’ai évoqué plus haut la découverte,

en classe de seconde, du livre de Lentin et Rivaud, Éléments d’algèbre moderne. En classes

préparatoires, je lis régulièrement le Bulletin de l’APMEP, qui suit le détail du changement en

cours. À la rue d’Ulm, j’étudie les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki. À la

Faculté des sciences de Paris, je suis en particulier le cours d’Henri Cartan, qui expose alors la

matière de son Calcul différentiel et de ses Formes différentielles, ouvrages parus chez

Hermann en 1967. Or tout ce mouvement se traduit par une redéfinition des notions les plus

« communes » de l’enseignement de base. Les angles, notamment, sont au cœur de la

tourmente déconstructrice et rebâtisseuse : les anciennes définitions sont mises au rencard,

tandis que les nouvelles apparaissent on ne peut plus complexes. Malgré cela, l’adhésion

tranquille, qui prévalait jusqu’alors, à des évidences institutionnelles que la patine du temps

avait sanctifiées n’est plus de mise.

Depuis mes années en classes préparatoires, et plus encore après, j’ai beaucoup lu dans le

domaine des sciences humaines et sociales, notamment en psychologie (Piaget surtout), en

sociologie, en ethnologie (Lévi-Strauss en particulier) et dans le champ de l’éducation, où

j’avais dévoré entre autres choses les ouvrages de Georges Lapassade. C’est dans son livre

L’entrée dans la vie (1963), tiré de sa thèse d’État, que j’avais découvert la notion de néoténie

telle que l’employait l’anatomiste néerlandais Louis Bolk (1866-1930). L’idée historiquement

banale de l’inachèvement de l’être humain en découlait aisément. Inachèvement implique

indéfinition, flottement, indétermination. Cela rejoignait évidemment les observations

associées à l’équivocité fondamentale du langage.

Problèmes de la profession 3

C’est ici l’occasion de formuler deux questions que je ne justifierai pas plus avant. La

première pourrait s’énoncer ainsi : Que faut-il savoir ? Que faut-il apprendre ? (En Math spé.

je m’étais un jour aperçu que notre professeur, fort savant à nos yeux, ignorait pourtant

l’existence des formules d’Olinde Rodrigues pour les rotations de l’espace.) Je retiendrai une

formulation volontairement plus explicite : Dans l’immense multitude des œuvres qu’un

chercheur en didactique peut, en tant que tel, rencontrer à son avantage, quelles sont, à un

moment donné, les rencontres obligées ? Les rencontres optimales ? Les rencontres

souhaitables ? Dépassant sans les annuler les contingences des biographies singulières et

tâchant d’en conserver autant que possible la diversité praxéologique, comment influer en

conséquence sur la formation initiale et continuée des chercheurs ? Que comptez-vous faire à

cet égard ? Au plan mathématique, par exemple, ma génération a été confrontée à la

reconstruction bourbakiste des mathématiques, rigoureuse et théoriciste, mais aussi, quoique

9

moins frontalement, certes, aux emplois pionniers des mathématiques en sciences sociales et

humaines Lévi-Strauss (1949) avait ainsi collaboré avec André Weil (1906-1998) et

Philippe Courrège avait ultérieurement proposé Un modèle mathématique des structures

élémentaires de parenté (1965).

Quatrième période : jusqu’en 1990

Chronique 4

J’ai rencontré Guy Brousseau en juin 1976, à l’IREM d’Aix-Marseille (où je travaillais depuis

1972). J’avais alors trente ans révolus. Guy était là pour mettre en place une réplique du DEA

de didactique des mathématiques qui existait alors à Bordeaux. J’assistais à cette rencontre

pour un motif un peu périphérique : j’y avais été invité au simple titre d’enseignant du

département de mathématiques susceptible d’accueillir dans ses cours et TD des étudiants du

futur DEA, lesquels viendraient y effectuer des observations « naturalistes ». Je ne me doutais

pas de ce qui allait s’ensuivre. Guy et quelques autres « Bordelais » venaient régulièrement à

Marseille pour donner les cours du DEA, qu’une petite troupe marseillaise suivait avec

passion. Nous allions également à Talence, notamment pour y réaliser des observations de

classes. J’entrepris très vite de développer des recherches propres et de diriger des mémoires

de DEA. (Comme les plus jeunes lecteurs le comprendront, la normalisation actuelle des

usages universitaires, qui est censée, semble-t-il, garantir l’excellence, ou du moins assurer la

qualité, n’avait pas encore frappé.) Mes recherches portaient sur l’enseignement des

mathématiques au collège ou au lycée, et non à l’école élémentaire, ce qui assurait de fait que

nous pourrions ainsi « faire nos gammes » en didactique sans être tout de go confrontés à la

norme très exigeante des travaux bordelais. Les deux premiers DEA, ceux d’Odile Schneider

et de Jacques Tonnelle, en découlent. À l’IREM, ce sont des années intenses, où la présence

de Jean-Louis Ovaert joue un rôle clé (au moins jusqu’à l’arrivée de la gauche au pouvoir en

1981, où il est appelé au ministère). Je bénéficie d’une grande liberté d’accès à un panorama

d’œuvres aussi large que possible : la bibliothèque de l’IREM contenait par exemple aussi

bien L’ordre divin (1979) de Johann Peter Süssmilch, premier traité de démographie (1741),

dont la considération n’est pas inutile quand on se préoccupe d’enseignement de la statistique,

que les livres de Gregory Bateson, tel l’ouvrage Vers une écologie de l’esprit (tome 1, 1977),

ou L’anthropologie du geste (1974) de Marcel Jousse, qui fut notamment l’élève de Marcel

Mauss et fonda en 1932 un « Institut de rythmo-pédagogie ». Au plan national, les

didacticiens des mathématiques forment alors une « bande » active, laborieuse, conviviale et,

dans mon souvenir, fraternelle. C’est dans cet état d’esprit que je m’engage avec Claude

Comiti au prix de force coups de téléphone entre Marseille et Grenoble dans la

préparation de la première école d’été de didactique des mathématiques, qui a lieu du 7 au 13

juillet 1980 à Chamrousse. Pendant plusieurs semaines, à l’IREM d’Aix-Marseille, je mène de

front deux tâches qui me parurent à l’époque assez légères : concevoir et organiser, y compris

matériellement, l’école d’été ; et rédiger le cours que je devais y proposer. En 1984, je suis

amené à accepter la direction de l’IREM que je conserverai, faute de candidats, jusqu’à

mon départ pour l’IUFM, à la rentrée 1991, comme professeur des universités. Malgré cela, je

dispose alors d’une grande liberté, et cela pour plusieurs raisons, puisqu’il est bien des façons

pour un chercheur d’aliéner sa liberté. Plusieurs d’entre nous n’ont alors aucun « plan de

carrière ». À vrai dire, on pouvait à l’époque demeurer assistant à vie. Ce qui m’importait et

m’importe toujours par-dessus tout, c’était de travailler, de faire de la didactique, de faire

reconnaître la didactique comme science nouvelle. Un ami physicien aujourd’hui disparu, qui

avait en sympathie les didacticiens, me dit un jour, dans ce qu’il crut être un accès de lucidité

et qui était un excès de pessimisme, songeant à moi-même et à quelques autres, dont Guy

Brousseau : « Vous ne deviendrez jamais profs… » Tous les didacticiens, certes, n’avait pas

l’innocence qu’il nous prêtait. Mais, comme sans doute quelques autres à l’époque, je

travaillais intensément à un projet scientifique collectif, sans visée personnelle. Je n’ai ainsi

jamais songé à faire une thèse la thèse d’État, au reste, allait cesser d’exister du fait de la loi

Savary de 1984. Lorsque l’idée m’en est venue il s’agissait de la thèse nouveau style , le

Doyen de la Faculté des sciences de Luminy, à qui j’en parlais fortuitement dans un

ascenseur, me dit : « Mais tu ne vas pas faire une thèse ! C’est ridicule. Passe ton

habilitation ! » Ce que je ferai en 1990, avec (entre autres) Alain Connes dans le jury.

Ce que j’ai appris 4

Théorisations en didactique

Ces quinze années furent une période florissante, où se loge une part essentielle de ma vie de

chercheur. J’ai appris d’abord et surtout la théorie des situations didactiques (TSD). À partir

de 1976, nous fûmes littéralement plongés dans la TSD, théorie déjà très riche à l’époque

mais où des avancées se produisaient sous nos yeux mêmes. C’est ainsi qu’un jour où, à

quelques-uns, nous arrivions à l’école Jules-Michelet, Guy nous prévint abruptement : « Il y a

une quatrième dialectique ! » Après les dialectiques de l’action, de la formulation, de la

validation, il venait d’introduire la dialectique de l’institutionnalisation.

J’appris bien sûr à voir et à interroger les phénomènes de transposition didactique. Les

institutions et les personnes qui leur sont assujetties, qui ont l’air de savoir ce dont elles

parlent, et en vérité qui ont l’air de savoir, tout court, de quoi parlent-elles au juste ? Et que

savent-elles en vérité ? Lorsqu’un professeur dit à un autre « Ce matin, je leur ai fait a2 b

2 »

et que son interlocuteur a l’air de comprendre de quoi il s’agit, de quoi s’agit-il au juste ?

Qu’ont donc réellement rencontré les élèves ? Auront-ils rencontré par exemple une égalité

aussi simple que x2 7 = (x 7)(x + 7) ? Que sont-ils censés avoir appris à faire ? (Il y

avait là, en germe, la notion d’écologie des savoirs qui devait être développée notamment

dans la thèse soutenue en 1988 par Landy Rajoson sous le titre L’analyse écologique des

conditions et des contraintes dans l’étude des phénomènes de transposition didactique : trois

études de cas.) La clé de l’énigme tenait en deux assertions. D’abord, les « savoirs » qu’on

observe dans l’enseignement, tel « a2 b

2 », n’ont en règle générale pas été produits là où on

les observe et viennent donc d’ailleurs, ce phénomène tenant en particulier à ce que ceux qui

les enseignent n’ont pas l’autorité, la légitimité pour enseigner des savoirs dont ils seraient les

producteurs. Ensuite, le savoir observé diffère du savoir premier, « légitime », vivant

« ailleurs », dont il procède, et cela parce que, dans le système d’enseignement, jouent des

conditions et des contraintes autres que celles sous lesquelles ces savoirs sont originellement

venus à l’existence.

J’appris encore le débat au sein d’une communauté scientifique et, d’abord, ses aléas. Le

cours de Chamrousse fut publié en 1985 aux éditions La Pensée sauvage de Grenoble.

Matériellement, l’ouvrage comportait une ambiguïté que releva sévèrement Hans Freudenthal

dans le compte rendu qu’il en donna dans Educational studies in mathematics : la couverture

portait le titre La transposition didactique. Du savoir savant au savoir enseigné ; mais, passé

le sommaire, une nouvelle page offrait cette variante : La transposition didactique. Des

mathématiques savantes aux mathématiques enseignées. On pouvait voir en ce lapsus calami

une négligence fâcheuse. L’erreur éditoriale n’était pourtant pas dénuée de sens. Car une

théorie scientifique ne saurait être une théorie ad hoc : pour prouver sa validité même si

cela n’est pas suffisant, certes elle doit prétendre à rendre raison d’un univers d’objets très

vaste. La théorie de la transposition didactique devait être une théorie de la transposition des

savoirs, et pas seulement des savoirs mathématiques. On voit qu’il y avait là d’emblée une

11

pierre d’achoppement, qu’on peut subsumer sous la notion plus large de dialectique du

spécifique et du générique.

Réceptions déformantes : transposition didactique et savoir savant

Dans la première année du DEA « marseillais », nous eûmes le plaisir intellectuel et humain à

la fois d’entendre Michel Brossard, psychologue spécialiste du développement, à la parole

pesée, et qui collaborait avec Guy à Bordeaux. D’une chemise contenant divers feuillets dont

il s’aidait pour faire son cours, il sortit une feuille ne comportant que quelques lignes

empruntées à un sociologue qui m’était alors inconnu, Michel Verret (né en 1927), où

l’expression « transposition didactique » figurait explicitement. Je reconnus la parenté de ce

que l’auteur cité pouvait désigner ainsi avec les phénomènes au centre de mes préoccupations

d’alors. J’appellerais donc transposition didactique le processus à étudier par lequel on

passe d’un savoir d’origine à un savoir enseigné. Michel Brossard m’avait sans le savoir

transmis un message jamais envoyé et je m’étais trouvé là pour le recevoir : il y a ainsi

d’étranges rendez-vous, que nul n’a fixés, et qui n’en sont pas moins décisifs. Mais il arrive

que ce qui commence bien dérape ensuite : je découvris plus tard que, selon un procédé que

Nietzche aurait peut-être qualifié d’histoire d’antiquaire, d’aucuns attribuaient la paternité de

ce que j’avançais à Michel Verret lui-même (lequel, me glissa-t-on, en fut amusé), ce qui

avait pour principal démérite de brouiller la réception de la théorie.

J’appris donc, du même mouvement, le phénomène de réception déformante. Chacun voit

midi à sa porte : à la notion et à l’expression de savoir savant, d’aucuns prétendirent

substituer (ou ajouter) celles de « savoir de référence », de « savoir expert », etc. Bien que

désuet, le qualificatif savant ne semblait pas faire problème dans le cas des mathématiques :

chacun convenait que, des savoirs mathématiques, il existe une forme « savante », celle

associée aux mathématiciens producteurs de mathématiques. Mais très vite après la

publication du livre, je fus interpellé par des collègues de diverses disciplines : où est le

« savoir savant » en EPS, en français, en anglais par exemple, demandaient-ils ? Je mis un peu

de temps à comprendre ; et ce sont les enseignants de l’UFR STAPS de l’université où je me

trouvais alors (depuis 1972) qui me permirent de mieux saisir le problème. Où est donc le

savoir « savant » en matière de football ou de cyclisme ? (Je parle là des sports de

compétition.) Pour éprouver un peu plus mes interlocuteurs, que je voyais déconcertés, je

répondais en choisissant d’incarner ces « savoirs savants » en des professionnels reconnus,

certes, mais de réputation intellectuelle un peu terne : le savant en vélo, disais-je donc, c’est

Poulidor (Raymond), en football, Papin (Jean-Pierre). Leur surprise n’eut alors d’égale que

celle que j’éprouvai moi-même quand je compris que, à leurs yeux, les « savants » en matière

de sports, c’était eux, enseignants et enseignants-chercheurs des UFR STAPS de France et de

Navarre. Or il ne pouvait y avoir pire méprise. Pour la théorie de la transposition didactique

telle que je l’avais élaborée, Picasso (Pablo) était un savant en matière de peinture, Flaubert

(Gustave) en matière d’écriture romanesque, Noureev (Rudolf) en matière de danse, Prost

(Alain) en matière de courses automobiles et Albaladejo (Pierre) en matière de drop (au

rugby).

Deux obstacles arrêtaient sur ce point la réception de la théorie. Comme bien d’autres, ces

collègues confondaient les « savoirs de » (la danse, la peinture, la natation, etc.), qui sont des

savoirs consubstantiels à la pratique de haut niveau de ces arts, et les « savoirs sur » (la danse,

la peinture, la natation, etc.), dont l’archétype est « l’histoire de », et qui peuvent certes

modifier l’écologie et l’économie des « savoirs de » mais ne sauraient être a priori identifiés à

eux. (Nombre de mathématiciens fort « savants » ne sont pas des savants en histoire ou en

philosophie des mathématiques, sans parler de didactique des mathématiques.) Eux étaient

peut-être des savants en quelque savoir relatif à telle activité sportive mais, sauf exception, ils

n’étaient pas des savants en la matière, c’est-à-dire des « sportifs de haut niveau ». « Savant »

est historiquement, en français, le premier participe présent du verbe savoir : un savant est un

« sachant », quelqu’un qu’on regarde comme nourrissant son action d’un savoir qui est seul

jugé susceptible d’expliquer ses hautes performances footballistiques, musicales,

mathématiques ou autres.

En théorie de la transposition didactique, et à plus forte raison en théorie anthropologique du

didactique, une définition se réfère par principe à l’ensemble des activités humaines : c’est là

une caractéristique de l’abord anthropologique en didactique, où l’on doit autant que possible

se déprendre des valeurs culturelles, des visions institutionnelles d’un monde social fragmenté

et polémique. Cette extension « anthropologique » des notions n’allait pas de soi pour tout un

ensemble de raisons, certaines superficielles, d’autres plus profondes : voilà ce que j’appris

encore. Un commentateur de télévision, ancien joueur de tennis de haut niveau, évoquait

récemment, à propos de deux joueuses engagées dans le tournoi de Wimbledon, combien

profonde était, à ses yeux, la « science de la terre battue » de ces jeunes femmes, c’est-à-dire

combien elles étaient savantes en matière de tennis sur terre battue. Mais la réception d’un tel

exemple (comme de ceux qui précèdent) est gênée par un obstacle des plus redoutables.

L’adjectif « savant », en effet, fait résonner une note laudative : le « savant », en ce sens,

impose le respect, convainc de la valeur et de la force du savoir dont procèderaient ses

performances, savoir qui, bien que seulement inféré (il correspond plus ou moins à la

compétence chomskyenne), est tenu pour une valeur assez rare pour apparaître précieuse.

Mais voilà ! Nous ne sommes pas tous d’accord quant à la reconnaissance de tels savoirs.

Pour beaucoup, là où d’aucuns imaginent la présence d’un savoir, d’autres ne voient rien de

tel : le coureur cycliste qui franchit en vainqueur un col le fait-il grâce à un savoir supérieur

ou à une bonne paire de jambes ? La note laudative laisse alors place à une péjoration altière :

il n’y a pas là trace de savoir, diront certains, et le champion de haut niveau n’est en rien un

savant ! Bref, la reconnaissance de sa « savance » (pour employer un mot d’ancien français)

fait défaut. Il résulte de tout cela que, plus de trente ans après le cours de Chamrousse, le

concept de savoir savant n’est toujours pas reçu dans son exacte signification. Tout cela fait

que n’est toujours pas compris un point fondamental de la théorie de la transposition

didactique : lorsque le plus haut savoir supposé en un domaine d’activité donné au sein d’une

société donnée n’y est pas regardé comme « savant », alors l’enseignement de ce « savoir à

enseigner » ne saurait s’autoriser pleinement de ce plus haut savoir et doit rechercher le

parrainage d’autres « autorités », par exemple du métier lui-même (et non pas du savoir qui le

fait tenir), ce qui oblige à des contorsions coûteuses et souvent contre-productives.

Les effets d’une rupture épistémologique inaccomplie

J’appris aussi durant cette période que la rupture épistémologique qui rend possible

l’émergence d’un champ scientifique était, en didactique, encore peu avancée. Dans

l’enseignement scolaire, tout se passe comme si le professeur disait aux élèves (et, au-delà

d’eux, à la société), à propos du savoir enseigné : « Vous pouvez me croire, parce que ce n’est

pas de moi ! » Cette situation faite à ces acteurs essentiels de la diffusion scolaire des savoirs,

qui les fait apparaître officiellement comme n’étant pas les producteurs des savoirs qu’ils

enseignent, a eu des conséquences non négligeables sur l’épistémologie des chercheurs.

Quand vous n’êtes pas producteur d’un savoir, vous n’avez pas à défendre ce savoir : il y a

pour cela de supposées autorités, qui vous autorisent par avance, et cela même en

mathématiques, où le professeur est, il est vrai, censé « défendre » un théorème en en donnant

une démonstration mais n’a pas traditionnellement à défendre la démonstration elle-même –

celle-ci étant censée être justifiée par la « lumière naturelle », pour parler comme Descartes.

Pour cela, avoir à défendre une assertion qu’aucune autorité ne défend pour vous par avance,

comme il en va par nature dans la recherche, devient alors une situation inconfortable pour

13

des chercheurs encore assujettis à l’épistémologie des professeurs. De là qu’ils recherchent

des prédécesseurs, auxquels on aurait emprunté en tapinois la matière de son propos. De là

aussi qu’ils professent une éthique « méthodologique » étroite, qui rejette tout rapport à la

contingence engageant plus profondément la responsabilité épistémologique du chercheur. Je

pense à cet égard à l’incapacité persistante d’assumer le travail que j’appelle clinique, mené

en synchronie comme en diachronie, cela à tous les niveaux de l’échelle de codétermination

didactique (le niveau de l’école aussi bien que celui de la société, par exemple), qui est le

socle ou, si l’on peut dire, le camp de base, de tout travail possible en tout champ scientifique.

De cette rupture épistémologique en souffrance découlait aussi, et d’un même mouvement,

cette plaie de la vie scientifique réelle : l’insuffisance, en quantité et en qualité, du travail

réalisé pour recevoir en pair le travail d’autrui et non comme un professeur brutal recevant

le travail d’un élève qu’il juge a priori insuffisant et fautif. Autour de 1980, j’avais avancé ce

qui m’apparaissait cliniquement comme bien attesté : l’algèbre élémentaire est un savoir

culturellement péjoré, à le comparer en premier lieu au savoir géométrique. Or c’était là une

assertion d’un type qui répugnait à certains, comme si j’avais déclaré que l’algèbre est bleue

ou que les équations du second degré sont libidineuses. Cette assertion soulevait, certes, deux

questions parfaitement légitimes : l’algèbre est péjorée, dites-vous, mais péjorée par qui ? Et

puis bien sûr : quelle que soit la réponse à la question précédente, comment l’établissez-

vous ? Dans les objections à l’endroit de cette « thèse », je continue de voir d’abord, hélas !,

une forme d’attitude « politiquement correcte ». Si l’on concède que les différentes parties des

mathématiques enseignées ne sont pas également valorisées, où s’arrêtera-t-on ? Si l’on

affirme que telle partie du curriculum est dépréciée, cela peut être dommageable aux

professeurs, aux élèves, à leurs parents même, et finalement à l’enseignement des

mathématiques. Or le problème est que, dans une approche anthropologique des faits

didactiques (et des conditions et contraintes qui les gouvernent), une telle condition supposée

– la péjoration de l’algébrique – ne peut être ignorée, car, sans même qu’ils en aient

conscience, elle change réellement la situation de l’élève, du professeur et de chacun. La

péjoration d’un objet, ainsi, est corrélée ordinairement à l’affirmation de la facilité de l’usage

de cet objet. (Ainsi en va-t-il par exemple aujourd’hui s’agissant de l’Internet : voir Ladage &

Chevallard 2011.) Cela conduit en règle générale à deux grandes conséquences solidaires :

tout d’abord, on étudie insuffisamment l’objet ainsi déclaré « facile » d’emploi, si bien que, en

pratique, on le connaît peu, et mal ; ensuite, et par voie de conséquence, on n’utilise guère

l’objet que dans des usages stéréotypés « faciles », ce qui, bien évidemment, conforte le

verdict initial de « facilité ». Lorsque, d’aventure, un emploi plus « difficile » est tenté sans

succès , on déclarera que l’objet péjoré est « incapable » d’un tel emploi. Ainsi en va-t-il

avec le calcul algébrique élémentaire, dont les usages scolaires restent limités et ne permettent

guère, par exemple, de développer une culture de l’anticipation et du contrôle dans le travail

mathématique, ce qui conduirait par exemple à prévoir que, si l’équation x2 – x – 1 = 0 a une

racine positive, celle-ci est supérieure à 1, parce que l’égalité x2 – x – 1 = 0 implique que l’on

a aussi x = 1 + 1/x.

Une culture commune à construire

La médiocrité du débat « scientifique » tenait et tient toujours, me semble-t-il, d’abord à un

manque de culture commune de la communauté des chercheurs. Rappelant récemment que le

mot d’algèbre fut pointé à son introduction en Occident comme « ne signifiant rien dans les

langues européennes », je fus « mouché » par un referee anonyme qui objecta que bien

d’autres mots, tel magasin, nous sont venus de l’arabe sans inconvénient apparent pour eux.

Ce collègue, qui aurait dû agir en pair dans le cadre de ce qui est en principe une peer

review, et non un exercice de bullying – et qui aurait dû entendre que je parlais du mot

d’algèbre et non d’un autre, ne connaissait-il pas, par exemple, ce passage où l’historien des

mathématiques David Eugene Smith (1925/1958, p. 392) note que Viète « rejected the name

“algebra” as having no significance in the European languages, and proposed to use the term

“analysis,” and it is probably to his influence that the popularity of this term in connection

with higher algebra is due » ? Il aurait dû. Pour travailler efficacement ensemble, il faut

comme dans une classe scolaire ordinaire savoir ensemble, ignorer ensemble et apprendre

ensemble ; et, par là, il faut savoir à un moment donné ce que chacun d’entre nous ou presque

sait et ce que chacun d’entre nous ou presque ignore. Le contraire de cette indispensable

solidarité épistémologique s’incarne dans la figure culturellement bien connue de Monsieur

Je-sais-tout l’allemand l’appelle Besserwisser, « qui sait mieux », l’anglais know-it-all ou

know-all, l’espagnol sabelotodo, « qui sait tout », etc. Cette figure semble avoir, chez les

didacticiens des mathématiques, une origine sui generis. Car celui qui sait, dans l’univers

scolaire, c’est le professeur, qui, dans l’état historique actuel du métier, est, face aux élèves,

condamné à savoir et doit renoncer à tout aveu d’ignorance. (Bien entendu, comme d’autres,

j’ai été marqué par l’expérience d’un professeur dont des signes objectifs nous disaient qu’il

était fort savant et qui, pourtant, n’hésitait pas à nous dire son ignorance sur tel ou tel point.)

L’interdit d’ignorer pèse tyranniquement sur la vie des classes. La manière de participer au

débat qu’adoptent encore trop de chercheurs en didactique est souvent l’écho de cette

contrainte caractéristique du régime scolaire actuel du savoir et de l’ignorance. Il me semble

donc que la source proche du know-it-all-ism des didacticiens, de leur adultisme, selon une

terminologie que j’ai tôt employée, se trouve à nouveau dans une insuffisante rupture avec la

figure du professeur.

Dans l’approche anthropologique du didactique, il convient de prendre en compte des faits de

niveaux très différents : faits de civilisation, de société, d’école, de pédagogie ; et, s’agissant

des personnes elles-mêmes, des faits psychologiques (au sens large du terme). Dans chaque

cas, les « sciences » qui ont le monopole de tels faits peuvent être utiles au didacticien et il

convient donc de les consulter, même si la chose se révèle souvent décevante car la question

que, du fait de ses propres travaux, le didacticien est conduit à leur poser n’a guère de chances

d’y avoir été posée et d’y avoir reçu réponse. Mais de telles fréquentations ramènent

ordinairement des matériaux à partir desquels le didacticien peut espérer articuler une réponse

à la question que lui pose sa recherche. J’appris cependant que ces données incontournables

de la vie du chercheur posent deux ordres de problèmes. Quel que soit l’apport espéré, la

fréquentation de ces sciences « contributives » exige des lectures nombreuses et diverses et

une information régulièrement renouvelée. Un tel travail ne peut se réduire à la consultation

assidue de quelques livres-fétiches qu’on s’entendrait pour sacraliser. Pour ne donner ici

qu’un exemple, si, en certains domaines de la didactique des mathématiques, il est au moins

utile d’avoir en tête la notion de proof-generated concept introduite par Imre Lakatos dans

Proofs and refutations (1976, p. 89), il n’est pas inutile de connaître l’article de Solomon

Feferman (1981) intitulé The logic of mathematical discovery versus the logical structure of

mathematics (Feferman 1998, pp. 77-93), où les thèses lakatosiennes sont discutées. J’ajoute à

cela que le chercheur doit se nourrir même de mauvais livres et d’articles médiocres, qui

peuvent cependant l’alerter sur l’existence de telle ou telle ressource peut-être utile. Je crois

que notre communauté n’a qu’à gagner à une ouverture large sur les productions

contemporaines et anciennes dans une foule de domaines qu’il n’est pas possible de

circonscrire à l’avance. La connaissance utile est souvent connaissance à venir, à découvrir

ou à créer : elle ne saurait être identifiée d’avance sans coup férir.

Second commentaire annoncé : quel que soit le prix qu’il accorde aux apports possibles de tel

champ de connaissance, le chercheur ne doit pas s’inféoder à ce champ et aliéner sa liberté en

reprenant à son compte les contraintes qui y prévalent, comme s’il désirait s’y voir reconnu en

tant que bon et loyal sujet. Ces contraintes, quand elles ne se révèlent pas superfétatoires,

15

permettent sans doute d’être bien vu et peut-être productif dans le champ concerné, qu’il

s’agisse de psychologie, de sociologie, de linguistique, d’histoire, etc. Mais elles risquent fort

de n’être pas véritablement compatibles avec les contraintes imposées par l’objet d’étude

propre du chercheur. Et, à plus forte raison, il ne convient donc pas que celui-ci cherche,

ouvertement ou subrepticement, à les imposer à ses pairs.

La théorie des rapports et l’appel aux renoncements ostensifs

Dès le cours de Chamrousse, il avait fallu employer un vocabulaire en partie spécifique et des

notations inédites. La chose est banale dans les sciences ; mais elle apparaissait là suspecte,

sinon interdite. J’ai vite appris qu’un chercheur ne doit pas accepter les invitations répétées à

se soumettre à la doxa ambiante et au langage de la tribu tel qu’il est. On n’imagine pas un

étudiant disant au professeur qui vient de donner la définition mathématique de la notion de

groupe que, pour lui, un groupe, « ça n’est pas ça », que la notion emporte avec elle une

nuance de convivialité, de chaleur qu’il ne retrouve pas dans la définition donnée. Or cela est

présent en didactique depuis le début.

La théorie des rapports, élaborée dans les années 1980, en fournirait quelques exemples.

L’époque était marquée par le mot d’ordre constructiviste : l’élève, disait-on, « construit son

savoir ». Ce slogan me parut contestable à plusieurs égards. Tout d’abord, je rejetais des

expressions comme « le savoir de l’élève », le « savoir du professeur », etc. J’avais parlé de

savoir à enseigner, de savoir savant, non du savoir de telle institution ou de telle personne. Le

savoir transposé en une institution (la notion de transposition didactique s’était élargie en la

notion de transposition institutionnelle) est une réalité associée à l’institution, dont celle-ci

nourrit son action. On peut certes vouloir décrire cette réalité ; mais on ne l’observe qu’à

travers les rapports qu’ont avec elle les différents types de sujets de l’institution. Encore ces

rapports ne peuvent-ils être observés qu’incomplètement à partir d’une position donnée dans

l’institution ou dans ses entours, chaque position découpant dans le rapport observé une part

« publique » (visible) et une part « privée » (invisible). Un individu n’a pas « un savoir »

comme il a un bras ou une jambe, mais un rapport à un savoir supposé. Plus largement, étant

donné un objet o, un individu x a un rapport personnel à cet objet, que je notai R(x ; o). Ce

rapport avait quelque chose du rapport « idéal » à l’objet o que sont censés avoir, dans

l’institution I, les sujets de cette institution I qui viennent y occuper la position p : le rapport

institutionnel à o pour les sujets en position p dans I, que je notai RI(p ; o). Si, par exemple,

l’objet o est « la fonction logarithme népérien », notée usuellement ln, il existe à un moment

donné, dans l’institution qu’est une classe de terminale scientifique, TS, un rapport

institutionnel pour la position d’élève, , à savoir le rapport institutionnel RTS( ; ln), et un

rapport institutionnel pour la position de professeur, , à savoir le rapport institutionnel

RTS( ; ln). Ce second rapport comporte bien sûr des éléments relatifs au fait que le professeur

doit enseigner l’objet o = ln, c’est-à-dire que l’objet ln est pour les sujets en position un

objet à enseigner, éléments que ne comporte pas le rapport RTS( ; ln), qui intègre, lui, des

éléments relatifs au fait que l’objet ln est pour les sujets en position un objet à apprendre, en

sorte que, si l’intersection des rapports RTS( ; ln) et RTS( ; ln) n’est certes pas vide, on ne

saurait avancer que le second inclut le premier, que RTS( ; ln) est « plus riche » que RTS( ; ln)

à tous égards.

La formule « l’élève construit son savoir » pouvait alors subir une première transmutation ;

elle devenait : « l’élève construit son rapport au savoir ». Une seconde transformation apparut

en même temps nécessaire : l’élève ne construit pas son rapport au savoir, ce rapport se

construit et l’élève peut contribuer à cette construction, qu’il ne maîtrise pas complètement.

Mais la formule « l’élève contribue à construire son rapport au savoir » comportait une

ambiguïté que, pour ma courte honte, je n’ai jamais réussi à dissiper : on y voit apparaître le

syntagme « rapport au savoir » qui, sous d’autres plumes celle notamment de Jacky

Beillerot fit bientôt florès en sciences de l’éducation. Pour moi, « le savoir » était un objet o

parmi d’autres, que je notais ironiquement $, et on pouvait donc parler des rapports

personnels R(x ; $) ou des rapports institutionnels RI(p ; $). Mais à tel « savoir » déterminé,

disons l’algèbre élémentaire, a, existaient de même des rapports personnels R(x ; a) et des

rapports institutionnels RI(p ; a) ; et il en allait ainsi pour tout objet o possible. Il semble que,

du fait du succès de la notion de rapport au savoir (à laquelle est consacré aujourd’hui un

article de Wikipédia), la réception de cette théorie se soit accompagnée d’une atrophie de la

conceptualisation proposée.

Les notions de rapport personnel et de rapport institutionnel allaient de pair avec deux ou trois

autres notions clés pour parler des « sujets ». Tout d’abord la notion d’institution, que j’ai déjà

utilisée ; ensuite, celle de personne ; enfin celle d’assujettissement d’une personne à une

institution. Une personne n’existe que par ses assujettissements institutionnels : elle est à

chaque instant la résultante d’un nexus d’assujettissements. Bien entendu, le mot

d’assujettissement fut reçu trop souvent au sens du français commun. Contre cela, j’ai dû

souligner que nos assujettissements sont le moyen et l’unique moyen de notre puissance.

(Une chaîne de vélo, disais-je, ne sert à rien si elle n’est pas adéquatement assujettie au

pédalier.) J’ai insisté aussi sur ce fait que la liberté de la personne consistait à se délivrer

d’assujettissements installés, voire indurés, en se donnant à de nouveaux assujettissements.

Mais en quoi consistent alors ces assujettissements qui « font » la personne ? Un individu x

traverse depuis sa naissance une foule innombrable d’institutions Ik, où il occupe une suite de positions pk. Il est ainsi assujetti à une foule immense de rapports RIk

(pk ; o), qui contribueront

à la construction de ses rapports personnel R(x ; o). La personne est regardée ici comme

l’émergent du système complexe, évolutif des rapports personnels de l’individu.

La réception de la théorie ne pouvait pas être simple : elle supposait ascèse ostensive et

renoncement aux à-peu-près verbaux. Les « formules » qu’elle contenait devaient aider et

aident effectivement qui ose les employer. Lors d’une école d’été, présentant ce qui était à

ses yeux les différences entre recherches américaines et recherches françaises en matière de

mathematics education, Jeremy Kilpatrick montra à l’auditoire, d’une manière plutôt neutre,

des « formules » du type R(x ; o), RI(p ; o) ou peut-être encore R(x ; R(x ; o)), ce qui désigne le

rapport de x à son propre rapport à o, en ajoutant que, cela, on ne le voyait pas dans la

littérature d’outre-Atlantique. On n’était pas loin de l’idée d’une possible censure, à ceci près

que, à l’évidence, la personnalité du conférencier ne le portait guère à ce genre de choses.

De la théorie des rapports à la théorie praxéologique

À l’instar de la théorie de la transposition didactique des savoirs, la théorie des rapports

personnels et institutionnels avait un grand degré de généricité. Elle était indispensable pour

penser le sujet d’une manière qui ne fût pas « mentaliste », qui donnât à voir les ressorts de

l’action du sujet et leur genèse au lieu de les imaginer stockés quelque part dans son

« esprit ». En 1989, quand je commence à diriger le travail de thèse de Marianna Bosch (elle

devait soutenir sa thèse en 1994), une lacune pourtant est patente dans ce qui deviendra la

théorie anthropologique du didactique : elle concerne l’origine du contenu des rapports à un

objet o. Pourquoi par exemple ce rapport à la fonction logarithme chez ces personnes, et cet

autre rapport chez d’autres personnes ? La réponse est en essence la suivante : le rapport de x

à o est engendré par tout ce que x fait ou a fait avec o dans toutes les institutions où x a

rencontré l’objet o. Dans le même temps, le besoin se faisait sentir de préciser ce qu’est, dans

la formule par laquelle je désigne aujourd’hui un système didactique, à savoir S(X ; y ; ),

l’enjeu didactique . Il y avait bien sûr la notion de savoir cet enjeu serait un « savoir »

, mais, dans une perspective anthropologique, cette notion s’avérait limitative dans un

17

monde où non seulement le titre de « savoir savant » est chèrement disputé, mais où même le

titre de (simple) savoir ne s’accorde pas si facilement. Se moucher suppose-t-il un savoir ? Et

descendre un escalier ? À ces questions, il fallait à l’évidence répondre oui, alors même que

toute une société en refusait l’augure avec un joli mouvement du menton.

Tout cela conduisit à la notion de praxéologie : toute action humaine est faite de l’exécution

de tâches de différents types, à chaque type de tâches T est associée au moins une technique ,

chaque technique requiert (de façon latente en général, qui devient manifeste sous certaines

conditions) un discours justificatif et générateur d’intelligibilité que j’appelai une technologie,

la technologie de la technique , que je notai par la lettre . Enfin, au-dessus de ces trois

niveaux, figurait la composante théorique, la théorie, , qui justifiait, voire imposait et, par

son entremise, . On arrivait ainsi à un quadruplet noté [T / / / ], qui était une

praxéologie. Dans cette entité, il y avait un premier bloc, la praxis [T / ], et un second bloc,

le logos [ / ] ; et l’on pouvait écrire quelque chose comme [T / / / ] = [T / ] [ / ].

Retrouvant la langue courante, on pouvait aussi, grosso modo, identifier d’une part praxis et

« savoir-faire », d’autre part logos et « savoir ». La transposée [T / / / ]t de la praxéologie

[T / / / ] d’une institution dans une autre pouvait s’écrire [T / / / ]t = [T / ]

t [ /

]t et offrir de nombreuses variantes. On pouvait notamment avoir, à la limite, et pendant un

temps au moins, [ / ]t = (un savoir-faire « nu », en attente d’un « savoir » le justifiant et

l’expliquant), ou, plus fréquemment encore peut-être, [T / ]t = (un savoir en attente

d’emploi). Cette notion permettait un regard acéré sur les connaissances à apprendre et à

enseigner : loin d’être une notion spéculative (ou contemplative), elle allait jouer un rôle actif

dans la suite des choses.

Pour faire bonne mesure, j’ajoute que, fouillant les débarras de l’histoire, d’aucuns me

cherchèrent un prédécesseur en matière de praxéologie. L’un de ces érudits d’occasion, qui

n’est pas de notre tribu, écrira sans sourciller que j’aurais tiré cette notion de l’œuvre d’un

auteur, Alfred Espinas (1844-1922), dont je n’avais à l’époque jamais entendu parler et qui,

bien entendu, ne donnait pas au mot de praxéologie le sens qu’il a en TAD. Mais là, je

n’appris rien qui vaille ; je savais déjà tout.

Problèmes de la profession 4

Telles que je les perçois, les conditions du travail scientifique en didactique des

mathématiques ont été marquées depuis toujours, et jusqu’à aujourd’hui, par deux carences

solidaires : un débat scientifique trop peu approfondi, gêné par une culture commune trop

étroite et demeurée insuffisamment travaillée. Une contrainte commande ces conditions :

l’insuffisance de la rupture épistémologique avec la culture du métier de professeur métier

qu’il s’agit sans doute d’étudier, non de singer. Une première question en découle : Comment

la communauté des chercheurs peut-elle assumer l’indépassable spécificité de ses rapports

aux outils de la recherche, en particulier à la création endogène d’œuvres (par contraste avec

l’importation d’œuvres allogènes toutes faites) et, plus largement, à la déconstruction de

rapports ailleurs dominants mais inadéquats au travail du didacticien ? Que comptez-vous

faire à cet égard ? Je réserverai en outre une question spéciale à la grande affaire du débat

scientifique et en particulier aux difficultés d’une peer review qui, trop souvent, ne mérite pas

ce nom : Comment la communauté des chercheurs peut-elle organiser un débat scientifique

informé, studieux, voire laborieux, et donc rigoureux, non déformant, bienveillant et pertinent

à la fois, enfin dépourvu d’angles morts grâce, par exemple, à l’adoption des normes

exigeantes de l’open peer review ? Que comptez-vous faire à cet égard ? Je complète enfin

ces interrogations par celle-ci : Comment élaborer une culture commune indéfiniment ouverte,

au service de la recherche, qui répudie notamment tout « catéchisme » limitatif et apporte en

même temps les aides utiles aux chercheurs pour partager le trésor évolutif de connaissances

rassemblé activement par leur communauté ? Que comptez-vous faire à cet égard ?

Cinquième période : jusqu’en 2000

Chronique 5

J’ai travaillé à l’IREM d’Aix-Marseille depuis le début de l’année civile 1972 jusqu’à la

rentrée universitaire 1991, quand s’est ouvert l’IUFM de l’académie d’Aix-Marseille où

j’avais été nommé comme professeur des universités. L’année 1990-1991 avait été occupée,

non sans enthousiasme, à penser l’IUFM à venir. J’avais beaucoup appris à l’IREM, dont

j’étais le directeur depuis 1984. (Je fis dans ces fonctions plus que mon temps : à la fin des

années 1980, en effet, personne ne voulait être directeur et j’eus toutes les peines du monde à

me trouver un successeur, sur qui j’organisai inamicalement de fortes pressions amicales pour

qu’il accepte l’offre qui lui était faite.) J’espérais que certaines contraintes que j’avais

rencontrées jusque-là pourraient être levées à l’IUFM. Or j’y rencontrai d’abord des

contraintes négatives nouvelles, qui n’existaient pas à l’IREM. Ainsi n’y avait-il pas de vraie

bibliothèque, mais une « médiathèque » sur le modèle des CDI du secondaire, conçue pour les

élèves professeurs de l’IUFM, non pour leurs formateurs, fussent-ils enseignants chercheurs

de métier. J’ajoute à cela un autre contraste avec l’IREM que je venais de quitter, qui n’était

qu’un symptôme, certes, mais fort déplaisant : téléphoniquement, à l’IUFM, nous n’avions

pas droit à l’international ! Cette décision du directeur, qui participait clairement de l’univers

du secondaire, était handicapante pour faire de la science ; mais l’IUFM était-il un lieu où l’on

devait faire de la science ? La réponse de l’institution du ministère, tout le premier était

clairement non.

Il y avait aussi, bien sûr, des contrastes positifs. Je pris d’emblée la direction de la filière

« Mathématiques », où l’on formait les professeurs de mathématiques des collèges et lycées,

les PLC comme on disait en nombre d’IUFM, les PCL comme nous disions à Marseille. À

l’IREM, je m’étais convaincu de la très faible efficacité de la formation continue, qui touchait

au mieux 10 % des professeurs de l’académie, des fidèles que l’on voyait revenir année après

année. À l’IUFM, nous avions devant nous, à peu de chose près, la totalité des promotions

successives de futurs professeurs. En outre, quoique le volume de formation restât

ridiculement réduit par rapport à ce qu’il doit être dans une vraie profession, il n’en était pas

moins considérablement supérieur à ce qu’il avait pu être dans le cadre du CPR.

La formation des professeurs stagiaires était fondée sur les difficultés que nous rapportaient

ces élèves professeurs, à travers des questions écrites recueillies chaque semaine ouvrable.

Bien entendu nous n’avions pas forcément « en stock » des réponses solides à ces questions ;

mais le principe était de prendre acte que telle ou telle question se posait, qu’elle était un

« problème de la profession » auquel la recherche devait à terme apporter une solution. J’étais

certain d’une chose que beaucoup ne partagent pas en réalité, même aujourd’hui. Dans la

dynamique qui emporte des pans entiers de la vie sociale, tels ceux de la santé ou de

l’éducation, la formation n’est pas première, parce qu’elle doit s’alimenter, dans nos sociétés,

à la recherche. Plus exactement, il y a une dialectique de la recherche et de la formation, celle-

ci fournissant des problèmes « primaires » à celle-là et servant de milieu « adidactique »

principal auquel confronter une production de recherche, quelque modeste qu’elle soit.

L’ambition que je conçus alors, avec un petit nombre de guérilleros avec qui j’avais parfois

longuement travaillé à l’IREM je pense notamment à Odile Schneider, à Jacques Tonnelle,

à Michel Jullien, à Christian Reymonet pouvait se dire ainsi : il s’agissait de concevoir et

de réaliser une formation qui contribuerait à faire passer le métier de professeur du statut

19

séculaire de semi-profession à celui de profession ; qui, donc, participerait à (et de) la

professionnalisation du métier de professeur. C’est à cela que nous avons employé nos forces,

avec enthousiasme, au prix de bien des batailles, sans nous laisser décourager par les

aboiements que suscitait le passage de la caravane. En tout cela, bien sûr, j’appris beaucoup.

Ce que j’ai appris 5

De l’IREM à l’IUFM : ce que j’aurais voulu ignorer

Les années passées à l’IREM avaient vu se développer mes activités de recherche et celles des

quelques personnes qui composaient avec moi le « groupe Didactique » de l’IREM. Mais

l’existence de ce groupe même me paraissait être une anomalie permanente : il jouxtait

d’autres groupes, autrement étiquetés il y avait ainsi le groupe Analyse, le groupe

Géométrie, etc. , qui ne prétendaient nullement « faire de la didactique » ni même « faire de

la recherche » en quelque domaine que ce fût, alors bien sûr que, dans le groupe Didactique,

nous travaillions également sur l’enseignement et l’apprentissage de l’algèbre, de la géométrie

ou de la statistique par exemple. Deux mondes se côtoyaient donc, non sans malentendus.

Pour moi, les IREM, instituts de recherche sur l’enseignement des mathématiques, devaient

devenir de véritables instituts de recherche, avec leurs collaborateurs « professionnels », leurs

« terrains », leurs formations (qui permettaient notamment la mise à l’épreuve des fruits de la

recherche) et avec, en tout premier lieu, leurs chercheurs. Or je compris bien vite que c’était

là un point de vue qui reculait au lieu de s’imposer : la quasi-totalité des gens qui « venaient à

l’IREM » considéraient sans le dire parce que, à leurs yeux, cela allait de soi qu’il ne

s’agissait nullement d’un institut de recherche. La situation évoluait en sens inverse de celle

que je souhaitais voir se réaliser.

D’une part, en effet, je voyais les didacticiens qui avaient trouvé avantage à amorcer leurs

recherches dans un IREM s’efforcer de migrer vers des institutions plus respectables en créant

des « laboratoires » ou en se faisant une place dans des laboratoires existants en des domaines

connexes non fondamentalement hostiles à la didactique c’était souvent, me semble-t-il,

affaire d’arrangements personnels. D’autre part, les IREM continuaient à être ce pour quoi, en

vérité, ils avaient été conçus : des lieux francs où des professeurs pouvaient se retrouver pour

« réfléchir » hors hiérarchie sur des questions d’enseignement, mais d’où la recherche

proprement dite, celle qui se traduit en thèses, en articles publiés, etc., était exclue. Le mot de

« réflexion » était le mot-fétiche qui définissait idéalement la nature des activités qu’on y

menait « normalement » : on créait des « groupes de réflexion », qui allaient parfois, il est

vrai, jusqu’à être des « groupes de travail », où des productions pour la classe prenaient

forme. J’étais pour l’essentiel hostile à cette problématique institutionnelle mais je devais

l’assumer comme directeur.

Les transfuges des IREM, dont j’étais, eurent à vivre une expérience que, personnellement, je

n’avais pas vu venir. Dans les IREM, nous étions respectés, voire reconnus et, dans une

certaine mesure même, appréciés, même si une coterie anti-didacticienne s’était emparée de

certains moyens qui auraient dû échoir en partage à l’ensemble de la communauté des IREM.

(Ainsi étais-je, à l’instar de quelques autres, persona non grata en telle revue dont cette bande

avait fait son repaire.) Sitôt que nous fûmes entrés à l’IUFM, avant que cette institution se

mette même à fonctionner, nous fûmes tenus pour suspects de la part de ceux-là même dont

nous nous étions crus si proches. Bref, nous étions sous surveillance, car nous fréquentions

désormais un mauvais lieu et l’on devait craindre que, saisis d’un illuminisme pédagogique

que personne ne nous connaissait, nous y bradions la gloire des mathématiques, que tentaient

de protéger, à sage distance de la fournaise des IUFM, quelques prêtres et prêtresses des

mathématiques éternelles qui continuaient à officier dans les IREM. J’aurais pu dire :

« Foutaise ! » Mais le ver était dans le fruit qui, quelques années plus tard, aurait accompli

son œuvre.

Quand je quittai l’IREM, les relations avec les corps d’inspection n’étaient plus depuis

longtemps un vrai problème chacun avait son territoire où l’autre n’intervenait guère. Une

proposition de coopération avec le CPR lancée depuis l’IREM quelques années auparavant

sous la houlette de Jean-Louis Ovaert, qui avait quelque titre à conduire une telle entreprise,

s’était ainsi brisée sur le refus affolé des IPR. Dès que je fus parti, à la rentrée 1991, on vit

réapparaître d’une part des IPR mus par un fort sentiment irrédentiste, qui rétablirent aussitôt

les hiérarchies traditionnelles, et d’autre part cette catégorie de collègues mathématiciens qui

venaient là mus par le désir d’aider les professeurs en leur prodiguant les bienfaits dont leur

lien avec le haut savoir mathématique leur donnaient le monopole. J’ai appelé ces personnes,

souvent des plus estimables au plan humain, des évergètes, en reprenant ainsi un mot formé

d’après le grec (εύεργετέω signifie « je fais du bien », un évergète est un bienfaiteur). Tout

cela, à mes yeux, contribuaient, sous des apparences de générosité désintéressée, à maintenir

le métier de professeur dans son état traditionnel de semi-profession, marqué notamment par

la rareté ou plutôt par la quasi-absence de hauts savoirs professionnels issus de la recherche.

À distance à l’IUFM je pouvais ignorer tout cela. Mais je ne pouvais en être dupe tout à

fait : le vieux monde était de retour ; plus tard mais cela semblait alors si lointain ! , il

fondrait sur sa proie et c’en serait fini des IUFM.

À l’IUFM : tout prendre

Entre le travail accompli à l’IREM (où j’étais resté presque vingt ans) et celui que je devais

mener à bien à l’IUFM à partir de 1991, il y avait une différence notable. Dans le premier cas,

je faisais de la recherche « libérale », dont les sujets étaient plus ou moins décidés librement

libéralement , comme il en va souvent avec les sujets de thèse. À l’IUFM, cette recherche

libérale n’était plus de mise : nous étions confrontés, en quelque sorte de force, à des

questions apportées par de jeunes professionnels en formation, et nous n’étions pas libres de

choisir : il fallait tout prendre. J’appris là à reconnaître deux conditions solidaires essentielles

à la productivité de la recherche : ne pas choisir (et ne renoncer à chercher qu’en dernière

limite, quand le problème apparaît provisoirement tout à fait hors de portée), et embrasser un

vaste domaine au lieu de se « spécialiser » de façon souvent illusoire dans de minuscules

parcelles de l’immense champ que le souci d’une profession en devenir nous imposait de

labourer. La formation devint dès lors une succession recommencée année après année de

déconstructions et de reconstructions, dont je ne donnerai ici, à titre d’illustrations, que deux

ou trois exemples, en me cantonnant à des questions mathématiques. Une question que la

clinique de cette formation m’avait par exemple amené à poser on verra le lien avec une

observation faite plus haut était la suivante : l’axiomatique du plan de Hilbert suppose un

ensemble de parties du plan appelées droites et satisfaisant à certaines conditions imposées

par cette axiomatique ; si l’on identifie alors ce plan à l’espace affine 2, est-il vrai que

l’ensemble des variétés affines de dimension 1 de 2 n’est pas le seul ensemble de parties de

2 satisfaisant cette axiomatique ? La réponse du Journal du séminaire des PCL2 commençait

ainsi : « La réponse est immédiate, et positive : si est une bijection quelconque de 2, le

couple (2, ( )) satisfait l’axiomatique de Hilbert (par transport de structure), et cette

axiomatique ne caractérise donc pas les variétés affines de dimension 1 de 2. » (Chevallard

2006-2007, pp. 451-452). À cela faisait alors pendant une remarque des plus concrètes :

Le fait que la rectilinéarité, notion physique, ne puisse pas être caractérisée en termes

mathématiques entraîne que, avec des élèves de 6e notamment, on ne peut faire

« l’économie » d’une construction préalable de la notion sensible de droite, qu’aucune

théorie mathématique ne saurait à elle seule engendrer. D’une manière générale, en 2de

21

comme en 6e, il convient de revenir aussi souvent que c’est utile à l’espace sensible :

comme en d’autres domaines, les mathématiques supposent ici le non-mathématique,

qu’il s’agit précisément de mathématiser.

La même observation était faite aussi à propos de la perpendicularité physique, qu’on ne

saurait davantage caractériser mathématiquement. Le but était toujours d’explorer le topos

réel et non pas supposé de l’élève. Ainsi montrait-on que, lorsque certains élèves, en

cinquième, disent avoir réussi à construire un triangle non aplati de côté 9, 5 et 4 centimètres,

lorsque certains même ajoutent que, si l’on commence par le petit côté, la chose est plus

évidente encore, ces élèves ne déraisonnent pas. Si a b c sont les mesures en question,

avec a = b + c, si les côtés qui devraient avoir pour mesure b et c ont, par suite d’une petite

imprécision graphique, pour mesures réelles b(1+r) et c(1+r), le triangle effectivement tracé a

une hauteur h dont le calcul montre qu’elle vérifie h2 2rbc. Pour r = 1 %, on a h

2 0,02 4

5 = 0,4 et donc h 0,63, ce qui, si l’unité est le centimètre, est clairement visible sur le

dessin. Si l’on commence par le petit côté, la hauteur est h’2 2rab =

a

c (2rab) =

a

c h

2. Ici,

a

c =

9

4 = 2,25 et donc

a

c = 1,5, ce qui donne h’ 0,95. Le calcul confirme ainsi la raison

graphique des élèves, contre la raison géométrique du professeur.

Le dépérissement de l’enseignement des mathématiques

L’exploration serrée de l’enseignement réel des mathématiques qui, par le truchement des

professeurs stagiaires, était notre première pierre de touche m’apprit bien des choses. Ce

qu’allait me montrer le travail systématique sur le curriculum secondaire, auquel je me voyais

désormais librement astreint, et ce que, par contraste, je ne voyais que par bribes dans la

pratique de la recherche libérale qui avait été la mienne à l’IREM, c’était l’état historique de

décomposition où se trouvait le corpus mathématique enseigné, après la commotion de la

réforme des mathématiques modernes (qui avait procédé utilement à la réfection générale des

infrastructures mathématiques) et la réaction en forme de contre-réforme qui s’était ensuivie

autour de 1978. Instruit par des exemples historiques mémorables (celui de la rhétorique dans

le dernier tiers du XIXe siècle, celui aussi du latin-grec dans la seconde moitié du XX

e, où

chaque fois une discipline « reine » était tombée du piédestal où elle était demeurée depuis

des siècles), j’avais plus d’une fois, au cours de ces années, prévenu les futurs professeurs que

nous formions qu’ils ne termineraient peut-être pas leur carrière comme ils la commençaient

comme professeurs de mathématiques, tout court.

Je ne brosserai ici que bien rapidement le tableau que je découvrais alors chaque jour

davantage. Les « œuvres » mathématiques à étudier trônaient dans le programme comme des

monuments dont personne ne connaissait plus trop l’usage, ni même l’origine. Les raisons

d’être semblaient perdues ; elles l’étaient. Pourquoi étudiait-on, à l’école, les angles, les

triangles, les tétraèdres, les fractions et leur simplification, l’inverse d’un nombre et tutti

quanti ? Il y avait eu un temps où les manuels proposaient, en fin de chapitre, une section

intitulée Utilité de… qui faisaient connaître certaines des raisons d’être des réalités

mathématiques que l’on venait de passer en revue. Dans un Traité de géométrie élémentaire

(Poulain 1885), au chapitre Des parallèles et des parallélogrammes, on trouve ainsi un bref

développement intitulé Utilité des théorèmes concernant les parallélogrammes. Dans le

langage du temps, l’auteur y précise que « ces théorèmes servent à en démontrer d’autres qui

ont pour objet de prouver que deux droites sont égales, que deux angles sont égaux, que deux

droites sont parallèles » (p. 39). Il n’y avait là aucun lyrisme, aucune superbe, aucune

grandiloquence : c’est cela qui me fera dire, au scandale de certains, que « les mathématiques,

c’est de la plomberie ». Pour retrouver une certaine authenticité épistémologique des

mathématiques enseignées, il convenait et il convient toujours de « démonumentaliser »

cet enseignement, de retrouver les raisons d’être des œuvres mathématiques étudiées. Or cela

suppose que l’on accepte ce fait essentiel, antinomique des discours euphoriques sur les

mathématiques, sur leur beauté, etc., qu’est la nature « plombière » de l’activité

mathématique. Tel est le roc énorme qui bloque le passage vers un avenir où l’enseignement

des mathématiques retrouve son lustre et son pouvoir attractif à l’endroit de qui ne se laisse

plus prendre aux discours apologétiques traditionnels.

La TAD se développe au chevet du métier de professeur

L’état de la TAD au début de la décennie 2000 ne sera plus le même qu’au début de la

décennie 1990. Le travail réalisé à l’IUFM fut à cet égard fondamental. En formation initiale,

comme je l’ai dit, il fallait affronter en droit tous les problèmes qui se faisaient jour. Le

« trésor » accumulé jusque-là en fut largement enrichi. Pour cela, je revins alors sur certains

acquis antérieurs. Les idées de type de tâches (ou, plus exactement, de type de problèmes), de

technique, de raison d’être même, et finalement de praxéologie (didactico-mathématique)

m’étaient apparues déjà clairement dans les remarquables ouvrages de Léonhard Épistemon

parus chez Cédic/Fernand Nathan grâce à la diligence de Jean-Louis Ovaert et de Jean-Luc

Verley. Là encore le contraste était fort entre certains discours complaisants sur les

mathématiques et un travail au plus près des besoins de l’activité mathématique, dont voici un

simple et unique exemple (Analyse 1, 1983, pp. 21-22) :

a) Parties ouvertes. Cette notion est utile pour étudier les problèmes locaux : continuité

(chapitre 3), dérivabilité (chapitre 4), différentiabilité (Analyse 5), comparaison des

fonctions au voisinage d’un point (chapitre 3), propriétés affines et métriques des courbes

et des surfaces (Analyse 2), etc. Pour montrer qu’une partie U est ouverte, on dispose des méthodes suivantes :

Pour tout point a de U, on construit un intervalle (ou une boule) de centre a contenu dans U (autrement dit, on utilise la définition des ouverts).

On fait apparaître U comme image réciproque d’un intervalle ouvert par une fonction

numérique continue. Ainsi, les parties de ou de n définies par des inégalités strictes

portant sur des fonctions continues sont ouvertes.

On utilise les opérations sur les ouverts. Les points précédents sont illustrés par les exercices 1.26, 1.27 et 1.31, et les VRAI OU FAUX 25 à 28.

Dans ces ouvrages, je rencontrai aussi l’idée que, lorsqu’on étudie un « exercice », c’est en

fait tout un type de problèmes pour lequel on ébauche une technique censée marcher au moins

sur le spécimen étudié. L’idée d’organisation mathématique (et plus largement d’organisation

praxéologique) me fut inspirée notamment par la lecture du livre de Hans Freudenthal,

Mathematics as an educational task (1973). La base théorique restait bien entendu la théorie

des situations didactiques de Guy Brousseau. Mais, dans la pratique de la formation, je

m’appuyais aussi sur un article peu connu du mathématicien Georges Bouligand (1889-1979)

intitulé « Regards sur la formation mathématique » (1962) qui allait contre la

monumentalisation du curriculum en promouvant l’idée simple et fondamentale que le travail

mathématique est la résultante d’une part de l’activité de résolution de problèmes, d’autre part

de l’activité d’élaboration d’une synthèse qui mette en forme l’organisation mathématique

issue de la résolution des problèmes étudiés, l’oubli d’un des deux termes constitutifs du

dualisme problèmes/synthèse conduisant à un curriculum mathématique inauthentique. Tout

cela se concrétisait dans les notions d’AER d’activité d’étude et de recherche et

d’organisation didactique, avec le modèle des moments de l’étude ou encore la notion de

question cruciale dans l’étude d’un problème, toutes choses que je ne rappellerai pas ici.

De fait, tout cela et bien d’autres choses encore se trouvent dans les éditions successives du

23

séminaire destiné aux PCL2 de mathématiques de l’IUFM d’Aix-Marseille. Je dois à la vérité

de dire que bien peu de gens dans la communauté didacticienne française, semble-t-il, firent

l’effort d’en prendre connaissance. Des bribes circulaient grâce aux articles que de loin en

loin je publiais. Mais tout s’est passé comme si un texte long autour de 500 pages , riche,

systématique restait invisible en dépit même des invitations à le lire qu’il m’arriva de lancer à

plusieurs reprises dans de grandes réunions nationales. Je reste persuadé qu’un des mobiles

derrière cette incuriosité apparente était simplement le fait que, pour beaucoup d’entre nous,

des documents adressés à des étudiants ne sauraient être porteurs de morceaux de science

méritant qu’un chercheur en prenne connaissance, ce qui allait à contre-fil de notre

problématique de formation fondée sur la dialectique de la recherche et de la formation et ce

qui était et reste pour moi un signe de mauvaise santé épistémologique de notre communauté.

Ces circonstances ont pesé sur la réception de la TAD. C’est ainsi que, si la notion

d’organisation mathématique a été reçue à peu près correctement, la notion indissociable

d’organisation didactique a fait l’objet de méprises dont l’examen nous ramènerait à des

problèmes déjà évoqués. Très tôt j’ai utilisé l’adjectif didactique non pour qualifier un geste

d’enseignement seulement, mais pour désigner un geste d’étude (effectué par un étudiant, un

élève, un chercheur) ou d’aide à l’étude (réalisé par un professeur, un parent, un directeur de

recherche). Un « savoir didactique » est donc, en mathématiques, une praxéologie (ou un

fragment de praxéologie) dont la mise en œuvre permet d’étudier des questions de

mathématiques. C’est ainsi que savoir que, pour prouver que U est ouvert, je peux faire

« apparaître U comme image réciproque d’un intervalle ouvert par une fonction numérique

continue » est une connaissance didactique de nature mathématique. Les principaux outils

d’étude de questions de mathématiques sont eux-mêmes mathématiques. Certains outils

didactiques sont, certes, non mathématiques, parce qu’ils n’ont pas (encore) été

mathématisés : il y a tendanciellement une mathématisation du didactique en mathématiques,

le mathématique stricto sensu et le didactique nouant entre eux des relations dialectiques. Plus

généralement, si, dans un champ de connaissance et d’action donné, j’appelle praxéologique

ce qui relève proprement de ce champ, le didactique relatif à ce champ sera fait en grande

partie de praxéologies de ce champ et se construira dans une relation dialectique avec celui-ci,

avec en particulier une intégration progressive du didactique dans le praxéologique. C’est tout

cela, au moins, que j’appris alors, sans toujours pouvoir le faire connaître et reconnaître au-

delà d’un cercle étroit, faute de conditions idoines.

Problèmes de la profession 5

La noosphère de l’enseignement des mathématiques apparaît, à travers les IREM notamment,

comme faite d’au moins deux mondes qui s’ignorent et dont chacun peut décrire l’autre

comme se livrant à des activités non ou peu pertinentes. Au sein même des jeux de pouvoir

dont la noosphère est le lieu et souvent l’enjeu, l’évergétisme traditionnel, qui renaît

périodiquement de ses cendres et dont j’ai dit les ambiguïtés, soulève un problème historique

profond à comparer la situation actuelle, par exemple, à celle qui prévaut depuis longtemps

dans l’univers de la santé. De ce point de vue, je formulerai au moins cette question :

Comment la recherche en didactique peut-elle rendre compte de la diversité des travaux sur

(ou pour) l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques ? Par contraste notamment

avec une attitude d’apparente bienveillance pratique et humaine qui masquerait une relative

indifférence épistémologique, quelle place et quel statut la recherche en didactique peut-elle

donner à de tels travaux et à leurs résultats ? Que comptez-vous faire à cet égard ? Contre la

tentation de fabriquer sans cesse des petits mondes noosphériens que n’épargnent pas les

fièvres obsidionales, on peut avancer une stratégie de développement scientifique ouverte,

visant de vastes domaines de pratique celui des professeurs de mathématiques, bien sûr,

mais pas seulement , où la recherche s’efforce indéfiniment d’articuler le local et le global,

ce que j’exprimerai à travers cette question : Rejetant les illusions du libéralisme

épistémologique, quelles réorganisations de la cartographie des domaines de recherche

permettraient à la didactique d’apparaître comme une source essentielle de connaissances

sur les difficultés concrètes de la diffusion des connaissances ? Que comptez-vous faire à cet

égard ? Une autre question encore ne peut pas ne pas être posée, qui est liée à ce qui pourra

apparaître rétrospectivement comme une urgence historique de notre temps, et dont l’abord

suppose un certain sang-froid épistémologique : Comment la recherche en didactique peut-

elle prendre en charge l’hypothèse d’un effondrement historique en cours du paradigme

ancien et actuel de l’enseignement scolaire des mathématiques et travailler à explorer les

lignes de force les moins improbables de l’évolution de nos systèmes d’enseignement ? Que

comptez-vous faire à cet égard ?

Épilogue : la recherche continue Mon récit s’arrête volontairement à l’année 2000. Cette année-là voit l’introduction dans

certaines classes de première des travaux personnels encadrés (TPE), que suivront au collège

les itinéraires de découverte (IDD). Simultanément, et parfois en écho, dans la formation

dispensée à l’IUFM d’Aix-Marseille aux futurs professeurs de mathématiques, de nouveaux

problèmes sont travaillés et, corrélativement, de nouveaux concepts émergent, qui posent les

premiers jalons des recherches actuellement en cours : la notion d’AER est ainsi plongée dans

celle de PER de parcours d’étude et de recherche et les travaux ultérieurs amèneront à

dégager la notion plus générale encore d’enquête, en même temps que se dessinera à

travers le schéma herbartien notamment le portrait-robot d’un nouveau paradigme de

l’étude scolaire, le paradigme du questionnement du monde. Si nombre de problèmes

demeurent, la recherche continue.

Références bibliographiques

Bateson, G. (1977). Vers une écologie de l’esprit, tome 1. Paris : Seuil.

Bouligand, G. (1962). Regards sur la formation mathématique. Dans F. Le Lionnais (Éd.), Les

grands courants de la pensée mathématique (pp. 532-542). Paris : Albert Blanchard.

Bourbaki, N. (1970-). Éléments de mathématique. Paris : Hermann.

Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques. Grenoble : La Pensée sauvage.

Cartan, H. (1967). Calcul différentiel. Paris : Hermann.

Cartan, H. (1967). Formes différentielles. Paris : Hermann.

Chevallard, Y. (1977). Deux études mathématiques sur la parenté. Paris : Cédic.

Chevallard, Y. (1979), Théorie des séries. 1. Séries numériques. Paris : Cédic/Fernand

Nathan.

Chevallard, Y. (1985). La Transposition didactique. Du savoir savant au savoir enseigné (2e

éd. 1991). Grenoble : La Pensée sauvage.

Chevallard, Y. (1992). Concepts fondamentaux de la didactique : perspectives apportées par

une approche anthropologique. Recherches en didactique des mathématiques, 12(1), 7-32.

Chevallard, Y. (2006-2007). Séminaire de didactique des mathématiques 2006-2007 [en

ligne] : http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/article.php3?id_article=141

Courrège, P. (1965). Un modèle mathématique des structures élémentaires de parenté.

L’Homme, 5(3), 248-290.

25

Deltheil, R. (1959). Nouveau cours de mathématiques générales, vol. 1. Paris : Baillière.

Dieudonné, J. (1964). Algèbre linéaire et géométrie élémentaire. Paris : Hermann.

Feferman, S. (1998). In the light of logic. New York : Oxford University Press.

Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht : Reidel.

Hadamard, J. (1949). Leçons de géométrie élémentaire. 2. Géométrie dans l’espace. Paris :

Armand Colin.

Jousse, M. (1974). L’anthropologie du geste. Paris : Gallimard.

Krivine, J.-L. (1969). Théorie axiomatique des ensembles. Paris : PUF.

Ladage, C. & Chevallard, Y. (2011). Enquêter avec Internet. Études pour une didactique de

l’enquête. Éducation & didactique, 5(2), 85-116.

Lakatos, I. (1976). Proofs and refutations. Cambridge : Cambridge University Press.

Lapassade, G. (1963). L’entrée dans la vie. Essai sur l’inachèvement de l’homme. Paris :

Minuit.

Lentin, A. & Rivaud, J. (1956). Éléments d’algèbre moderne. Paris : Vuibert.

Lévi-Strauss, C. (1949). Les structures élémentaires de la parenté. Paris : PUF.

Ovaert, J.-L. & Verley, J.-L. (1983). Analyse 1. Paris : Cédic/Fernand Nathan.

Poulain, A. (1885). Traité de géométrie élémentaire. Paris : Desclée De Brouwer.

Rajoson, L. (1988). L’analyse écologique des conditions et des contraintes dans l’étude des

phénomènes de transposition didactique : trois études de cas [Thèse de troisième cycle].

Marseille : IREM.

Rolland, R. (1979). Théorie des séries. 2. Séries entières. Paris : Cédic/Fernand Nathan.

Sahlins, M. (2008). The Western Illusion of Human Nature. Chicago : Prickly Paradigm Press.

Smith, D. E. (1958). History of mathematics: Vol. II Special topics of elementary mathematics

(Édition originale 1925). New York : Dover.

Süssmilch, J. P. (1979). L’ordre divin dans les changements de l’espèce humaine, démontré

par la naissance, la mort et la propagation de celle-ci. Paris : INED.